北京各区2018高三一模导数word汇编

【东城一模】(19)（本小题14分） 已知函数()(1)x f x e a x =-+.若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； (Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(Ⅲ）求证：当a 0a =时，曲线()y f x = (x>0)总在曲线2ln y x =+的上方． 19）（共14分）解：（I ）函数()e (1)xf x a x =-+的定义域为R . 因为()e (1)xf x a x =-+，所以'()e xf x a =-. 由'(0)10f a =-=得1a =. ……………………………4分 （II ）'()e (R)x f x a x =-∈.①当0a >时，令'()0f x =得ln x a =.ln x a <时，'()0f x <；ln x a >时，'()0f x >.()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时，()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-. “()0f x ≥恒成立”等价于“()f x 最小值大于等于0”，即ln 0a a -≥. 因为0a >，所以01a <≤.②当0a =时，()e 0xf x =>符合题意；③当0a <时，取011x a=-+，则111101()e (11)e 10a a f x a a -+-+=--++=-<，不符合题意.综上，若()0f x ≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为[0,1]. ……………………9分（III ）当0a =时，令()()(2ln )e ln 2(0)xh x f x x x x =-+=-->，可求1'()e xh x x=-. 因为121'()e 1002h =-<，'(1)e 10h =->，且1'()e xh x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以在（0，）上存在唯一的0x ，使得0001'()e 0xh x x =-=，即001e x x =，且 0112x .当x 变化时，()h x 与'()h x 在（0，）上的情况如下：则当0x x =时，()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22xh x x x x =--=+-. 因为01(,1)2x ∈，所以0001()220h x x x =+->=. 所以当0a =时，()2ln (0)f x x x >+>所以当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. .. …………14分 【西城一模】18．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x xf x a x x x x'=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号．令221()ln g x a x x x =+-+，[6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x-+-+'==．[8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]【海淀一模】(18)（本小题13分）已知函数ln ()x f x x a =+(I)当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间； (Ⅱ)当0a时，若函数()f x 的最大值为，求a 的值.18.（本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()xf x x=故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ··························································· 4分（Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故02()f x =e 故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e ···················································· 13分 故a 的值为2e . （Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a .2'()1g x x=-e ，令'()0g x =，得2x =e.故的最大值为()ln g =-=e e e e e ，即a =e . ··························· 13分【朝阳一模】18． (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：1<-．（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. （ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-. ….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分 （Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根. 令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，)(x f )(x f所以0112x <<. 则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ….….13分【丰台一模】（18）（本小题共13分）已知函数()e (ln 1)()xf x a x a =-+∈R ． （Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()y f x =在1(,1)2上有极值，求a 的取值范围． （18）（本小题共13分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()e x af x x'=-． ……………………1分 （Ⅰ）因为(1)e f a =-，(1)e f a '=-， ……………………3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e )(e )(1)y a a x --=--， 即(e )y a x =-． ……………………5分 （Ⅱ）()e x a f x x'=-． （ⅰ）当0a ≤时，对于任意1(,1)2x ∈，都有()0f x '>， …………………6分所以函数()f x 在1(,1)2上为增函数，没有极值，不合题意． (8)分（ⅱ）当0a >时，令()e x a g x x =-，则2()e 0x ag x x'=+>．…………………9分所以()g x 在1(,1)2上单调递增，即()f x '在1(,1)2上单调递增，…………10分所以函数()f x 在1(,1)2上有极值，等价于(1)0,1()0.2f f '>⎧⎪⎨'<⎪⎩ …………………12分所以e 0,20.a a ->⎧⎪<e a <<． 所以a的取值范围是(2． ……………………13分 【石景山一模】19．（本小题共14分）已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明） 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-． …………3分（Ⅱ）令()'()2x g x f x e x ==-．则'()2x g x e =-, …………5分 故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-． ………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分。