等腰三角形培优提高练习题[1]

合集下载

第十二章全等三角形、等腰三角形(培优卷1) 八年级数学人教版上册

人教版2021-2022年八年级上册数学全等三角形、等腰三角形（培优卷1）1．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．4．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，F为BC边上的两点，CF ＝DB，连接AD，过点C作CE⊥AD于点G，交AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB＝15°，AD＝6，求线段GD的长度；（2）求证：∠EFB＝∠CDA；（3）若∠FEB＝75°，试找出AG，CE，EF之间的数量关系，直接写出结论．6．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图1，DE与AC交于点P，观察并猜想BD与DP的数量关系：．（2）如图2，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（3）若DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请画出图形并写出你的结论，无需证明．7．【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE＝EC．∴AC＝AE+EC＝AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．10．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF ＝AE，连接BE，EF．（1）求证：BE＝EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．如图，已知BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．12．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为，△EFC的周长为；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD 的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．14．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．15.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．16.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．。

等腰三角形培优训练2022-2023学年人教版八年级数学上册

13.3 等腰三角形培优训练一、单选题1．如图，B 在AC 上，D 在CE 上， AD =BD =BC ， ∠ACE =25° ， ∠ADE 的度数为（）A ．50°B ．65°C ．75°D ．80°2．如图，平面直角坐标系中，已知定点A （3，0）和B （0，4），若动点C 在y 轴上运动，则使△ABC 为等腰三角形的点C 有（）个．A ．3B ．4C ．5D ．63．如图， △ABC 中， BD 是角平分线， DE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 D ，若 DE =7 ， AE =5 ，则 AB = （）A ．10B ．12C ．14D ．164．如图是正五边形ABCDE ， DG 平分正五边形的外角△EDF ，连接AD ，则△ADG= （）A ．54°B ．60°C ．72°D ．88°5．如图，在△ABC 中，运用尺规作图的方法在BC 边上取一点P ，使PA +PB =BC ，下列作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE =CD ，则下列结论错误．．的是（）A ．∠CED =30°B ．∠BDE =120°C ．DE =BD D ．DE =AB7．下列命题是真命题的是（）A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在 △ ABC 中， ∠A =∠B =2∠C ，则 △ ABC 为直角三角形8．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为（）A ．44B ．43C ．42D ．419．如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF△AB 于点F，延长BC交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5二、填空题10．等腰三角形腰AB =10，底边BC =12，则△ABC 的周长为．11．规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 底角的度数为．12．如图，在等边三角形ABC 中，AB =2，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE =CD ，则BE 的长为．13．如图，在 ΔABC 中， ∠ACB =120° ， CD 平分 ∠ACB ，作 AE//DC ，交 BC 的延长线于点 E ，则ΔACE 是三角形.14．已知射线OM.以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，如图所示，则△AOB= (度)15．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，△B =30°，CD 是高．若AD=2，则BD= ．三、作图题16．如图，在9×4的方格纸ABCD 中，每个小正方形的边长均为1，点E 为格点（注：小正方形顶点称为格点）.请仅用无刻度直尺按要求画图.△在CD 边上找一点P ，连结AP ，使△AEP 是等腰三角形； △在AB 边上找一点Q ，使EQ△AP ，画出线段EQ.四、解答题17．如图， △ABC 中， AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且 △ABE=△ACD ，BE 、CD 交于点O ，求证： △OBC 是等腰三角形.18．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，a ＝4，b ＝6，若三角形的周长是小于16的偶数，判断△ABC 的形状．19．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接ED ，BD ．若BD 平分∠ABC ，求证：BD ⊥AC ．20．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使CE=CD．求证：DB =DE ．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 边的中点，DE△AC 于点E ，DF△BC 于点F ，DE ＝DF ．求证：△ABC 是等边三角形．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AD 平分△BAC ，∠EBC =∠E =60°．若BE =6cm ，DE =2cm ，求BC 的长．23．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD 是高，△A=30°，求证：BD =14AB .24．阅读下列材料：小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC 中，△BAC=120°,△ABC=40°，试过△ABC 的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.他的做法是：如图2，首先保留最小角△C ，然后过三角形顶点A 画直线交BC 于点D ．将△BAC 分成两个角，使△DAC=20°，△ABC 即可被分割成两个等腰三角形.喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 他的做法是：如图3，先画△ADC ，使DA=DC ，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，如果DC=BC ，那么△CDB =△ABC ，因为△CDB=2△A ，所以△ABC= 2△A ．于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．25．如图[感知]如图①，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，易知：△ADC△△BEA （1）[探究]如图②，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BA 、CB 的延长线上，且AD=BE ，△ADC与△BEA 还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）[拓展]如图③，在△ABC 中，AB=AC ，△1=△2，点D 、E 分别在BA 、FB 的延长线上，且AD=BE=CF ，若AF=2AD ，S△ABF=6，则S△BCD的大小为答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD=BC，∠ACE=25°，∴∠BDC=∠C=25°，∴∠ABD=50°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠ADE=∠A+∠C=75°.故答案为：C.【分析】由等边对等角得∠BDC=∠C=25°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=50°，由等边对等角得∠A=∠ABD=50°，根据三角形外角的性质求出∠ADE=∠A+∠C=75°.2．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：当BC＝BA时，使△ABC为等腰三角形的点C有2个；当AB＝AC时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；当CA＝CB时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；综上所述，若动点C在y轴上运动，使△ABC为等腰三角形的点C有4个；故答案为：B．【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。

人教版八年级数学 13.3 等腰三角形培优训练(含答案)

人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。

中考数学等腰三角形培优辅导训练试题

中考数学等腰三角形培优辅导训练试题D AF21EDCA B等腰三角形培优专练一、选择题1、下列命题正确的是[ ]A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何角都是轴对称图形 2、等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于［］A.顶角B.顶角的21C.顶角的2倍 D 底角的213、如图, 在△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则下列判断正确的是［］A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACDC.∠A ＝∠DCBD.∠A ＝2∠BCD 4、如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足［］A.∠1＝2∠2B.2∠1＋∠2＝180°C.∠1＋3∠2＝180°D.3∠1－∠2＝180°第3题第4题5、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④6、如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形第6题第8题7、Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm8、如图，E 是等边△A BC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 9、正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°10、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个A36°E DFB CCA1DB23第10题第12题11、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对二、填空题12、如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD==∠，，则1∠的度数是________。

等腰三角形培优试题

等腰三角形培优训练实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形； 2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；4．用“三角形中一个外角是不相邻内角的2倍关系”构造等腰三角形．例1 如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根．例2如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ．求证：BD 是∠ABC 的角平分线．例3如图在△ABC 中，已知∠C ＝60°，AC>BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC(1)证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； (2)证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；(3)对△ABC 、△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′，从面积大小关系上，你能得出什么结论?(1)是基础，(2)是(1)的自然推论，(3) 由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．例4 如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，这个六边形的周长是 cm ．设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键．例5 如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个AB 既可作等腰三角形PAB 的腰，也可作为等腰三角形PAB 的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P 点的个数．例6如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，求证：AB 十BD ＝CD ．如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法．例7如图，在五边形ABCDE 中，∠B ＝∠E ，∠C=∠D ，BC=DE ，M 为CD 中点，求证：AM ⊥CD ．证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．等腰三角形练习题1、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边长为．2、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是．3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠B=36°，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD ，则图中等腰三角形共有个．4、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号．5、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形，③S AEPF 四边形=21 S ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个6、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( )A ．∠AED>∠AGFB ．∠AED ＝∠AGFB ．C ．∠AED<∠AGFD ．不能确定7、如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是( )A ．AC>2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2ABD ．AC<2AB8、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )A ．30°B ．30°或150°C ． 120°或150°D ．30°或120°或150°9、在等边正方形ABCD 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PAD 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个10、如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．11、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB ＝AC ，D 是△ABC 内一点，∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD ＝BA ．12、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．。

等腰三角形培优提高练习题[1](精品文档)

等腰三角形提高训练题培优训练1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为．2．△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，则∠DPF= 度．3．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是．(烟台市中考题)4．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是( ) A．140°B．80°或100° C ．100°或140°D．80°或140°5．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③SAEPF四边形=21S ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的是( )A．1个B．2个C．3个D．4个(苏州市中考题)6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，则∠ECF＝( )A．60°B．45°C．30°D．不确定7．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O点．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，则△GMO周长+△ENO的周长－△FHO的周长．8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值= ．（“五羊杯”竞赛题）9．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=21∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上) (天津市中考题)10．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°(“希望杯”邀请赛) 11．在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( )A．只有一个且为等腰三角形B．至少有两个且都为等腰三角形7题6题8题9题5题BCAE12．如图，AA′、BB′分别是∠EAD、∠DBC的平分线，若AA′=BB′＝AB，则∠BAC的度数为．(全国初中数学联赛题)13．如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．(1)求证：PD+PE=CF；(2)若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系?写出你的猜想并证明．14．如图，等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，过点F作FQ⊥AB于Q，设BP= x，AQ＝y．(1)用x的代数式表示y；(2)当PB的长等于多少时，点P与点Q重合? (福州市中考题)15．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．16．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．17．如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，则∠A= ．18．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度． (江苏省竞赛题)19．在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个20．如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=21DC=21DE ，则∠D ＝（）A ．30°B ．450°C ． 60°D ．67．5°21．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( )A ．PA+PB+PC<AB+ACB ． PA+PB+PC>AB+ACC ．PA+PB+PC=AB+ACD ．PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与P 点位置有关22．如图，在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．(2002年全国初中数学竞赛)23．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB ＝AC ，D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD ＝BA ．24．如图，等边三角形ABD 和等边三角形CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ．(1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)E 点在何处时，△BEF 面积的最小值．。

中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )A.12B.9C.12或9D.9或72.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD6.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm二、填空题11.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．12.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝.13.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.14.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝________.15.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为．16.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为.三、解答题17.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.18.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.19.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数.20.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.21.如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，点H是BC 边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE＝12BF；(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论；22.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE 的度数；(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．答案1.A2.D3.C4.C.5.C6.C7.A8.D9.D10.C.11.答案为：100°.12.答案为：7.13.答案为：40°.14.答案为：75°15.答案为：72°.16.答案为：20°.17.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.18.（1）证明：∵AC＝BC∴∠B＝∠BAC∵∠ACE＝∠B+∠BAC∴∠BAC＝12∠ACE∵CF平分∠ACE∴∠ACF＝∠ECF＝12∠ACE∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.19.证明：(1)∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.∵△BEF 是等边三角形∴EB ＝BF ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠CBF.在△ABE 和△CBF 中⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF EB ＝BF ，∴△ABE ≌△CBF(SAS).∴AE ＝CF.(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.∵△ABE ≌△CBF∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.20.解：(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠B ＝∠A ＝∠C ＝60°∵∠B ＋∠1＋∠DEB ＝180°∠DEB ＋∠DEF ＋∠2＝180°∵∠DEF ＝60°∴∠1＋∠DEB ＝∠2＋∠DEB∴∠2＝∠1＝50°；(2)连接DF∵DF∥BC∴∠FDE＝∠DEB∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°∵∠B＝60°，∠DEF＝60°∴∠1＝∠3.21.证明：(1)∵AB＝BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC，CE＝AE∵CD⊥AB∴∠ACD＝∠DBF在△ADC和△FDB中∴△ADC≌△FDB(ASA)；(2)∵△ADC≌△FDB∴AC＝BF又∵CE＝AE∴CE＝12BF；(3)△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点∴GH垂直平分BC∴GC＝GB∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°又∵BE⊥AC∴△ECG为等腰直角三角形.22.(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°在△ABE和△BCD中AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC∴△ABE≌△BCD∴∠ABE＝∠BCD∵∠ABE＋∠CBG＝60°∴∠BDG＋∠CBG＝60°∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG∴∠CGE＝60°；(2)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°∴∠EAB＝∠CBD＝120°在△ABE和△BCD中AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠D＝∠E∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．。

八年级数学下----等腰三角形和等边三角形培优练习题

八年级数学下－---等腰三角形和等边三角形培优练习题一、填空选择题:1.如下图1,等边△AB Ｃ的边长为3,P 为BC 上一点,且ＢＰ＝１,D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°,则ＣD 的长为（ ) A ．32ﻩﻩB ．23ﻩ C ．12D ．342．如上图２，△AB Ｃ中，Ｄ、E 分别是BC 、AC 的中点，ＢＦ平分∠ABC ，交DE 于点F,若ＢC ＝6, 则DF 的长是（ )（A)2 (B)３ (Ｃ)25(Ｄ）4 3．如上图3,点A 的坐标是(2,２），若点P 在x 轴上,且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是( ）Ａ.(4，0) Ｂ.(1．0) C.(－２2,0) D.(2,０)4．如上图1,AB=ＡC,B Ｄ=ＢC,若∠A ＝40°，则∠A ＢＤ的度数是( ） A ．20 ﻩB ．30 ﻩC.35 ﻩD.405．如上图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝6,ＢC=8，AE 平分么BAC 交BC 于点Ｅ，点Ｄ为AB 的中点,连结DE,则△B ＤＥ的周长是( ) Ａ．7+5 B ．1０ C.4+２5 Ｄ．126.如上图３，在△ABC 中，AB =AC ，∠A ＝3６°,BD 、C Ｅ分别是△A ＢＣ、△ＢＣＤ的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ) (A ）5个（B ）4个（C ）３个（D)2个7.在等腰ABC △中，AB AC ,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和１2两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）Ａ．7 ﻩＢ．1１ﻩﻩC.７或11ﻩ D.7或10８．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm,则其腰上的高为ｃm ． 9.已知等腰ABC △的周长为１0,若设腰长为x ，则x 的取值范围是 . １0.在△A BC 中，AB=AC ,AB 的垂直平分线与ＡC 所在的直线相交所得到锐角为50°,AD CPB60° ED CBA(第6题)BA DC1 2 3 4-112xy A则∠B 等于_ 度．1１.如下图1,过边长为1的等边△ＡB Ｃ的边ＡB 上一点P,作ＰE ⊥A Ｃ于E ，Q 为B Ｃ延长线上一点,当PA=ＣＱ时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为( ）Ａ．13 B ．12 C ．23D.不能确定１2.如下图2,等腰△ ABC 中，ＡB=A Ｃ，∠A=20°。

等腰三角形培优提高练习题

一．选择题（共6小题）1．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个（第2题）（第3题）（第4题）3．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm25．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或106．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（）A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠α为定值时，∠CDE为定值C．当∠β为定值时，∠CDE为定值D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值二．填空题（共8小题）7．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2：1两部分，已知三角形底边长为5cm，则腰长为cm．8．如图，在△ABC中，EG∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，AB=10，AC=12，△AEG的周长为．（第8题）（第9题）（第10题）9．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．10．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP=cm．11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是．（第12题）（第14题）（第14题）13．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形．14．如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为．三．解答题（共15小题）15．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC 于点E．求证：△AEF为等腰三角形．17．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．18．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．19．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．21．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．22．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC．求证：∠DCE=45°．23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，O为△ABC内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO的度数．24．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．25．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．26．如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．27．（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=40°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE=；（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）．28．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？。

北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形培优训练同步习题

等腰三角形培优训练同步习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A. B. C. D. 32．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．103．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）C. 2D. -1B. 1+24．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为＋＋A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题5．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上的任意一点，PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M、N，BD是AC边上的高，BD=10,则PM+PN=_________.6．如图，）ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则）CEF周长的最小值为______．7．如图，在△ABC中，AB=AC=BD）DA=DC，则∠B的度数是______.8．如图，△ABC中，AB＋14＋AM平分∠BAC＋∠BAM＋15°，点D＋E分别为AM＋AB的动点，则BD＋DE的最小值是______＋9．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2=4，则△A n B n A n+1的边长为__________．三、解答题10．已知△ABC中，AB）AC）BC）6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP）CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.11．＋1＋如图1，已知：在△ABC中，AB＋AC＋10＋BD平分∠ABC＋CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB＋AC于E＋F两点，则图中共有______个等腰三角形；EF与BE＋CF 之间的数量关系是_____＋△AEF的周长是___________＋＋2＋如图2，若将(1)中“△ABC中，AB＋AC＋10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB＋8＋AC＋10”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE＋CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长＋＋3＋已知：如图3＋D在△ABC外，AB＋AC，且BD平分∠ABC＋CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB＋AC于E＋F两点，则EF与BE＋CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明12．如果经过三角形某一个顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形,那么我们称该三角形为等腰三角形的生成三角形,简称生成三角形.(1)如图,已知等腰直角三角形ABC,∠A=90°,试说明:△ABC是生成三角形;(2)若等腰三角形DEF有一个内角等于36°,请你画出简图说明△DEF是生成三角形.(要求画出直线,标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数)13．如图，△ABC中，AC＝BC＝10 cm，AB＝12 cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P 从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2 cm，设运动时间为t秒．）1）求CD的长）（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？14．请在下图方格中画出三个以AB为腰的等腰三角形ABC.(要求：1、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点C在格点上；3、只需画出图形即可，不写画法；4）标．上字母．．．，．每漏标一个扣．．．．．．1．分．）)15．如图）已知∠AOB）点P是∠AOB内部的一个定点）点E）F分别是OA）OB上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小）试在图上确定点E）F的位置．(2)若OP）4）要使得△PEF的周长的最小值为4）则∠AOB）________）16．如图，已知点B＋C＋D在同一条直线上，＋ABC和＋CDE都是等边三角形.BE交AC于F＋AD交CE于H＋＋求证：＋BCE＋＋ACD＋＋求证：CF=CH＋＋判断＋CFH的形状并说明理由＋参考答案1．C【解析】如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC 中，利用勾股定理，可求出S △ABC =12 故选：C ．点睛：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．2．B【解析】延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF ∥BC ，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8．故选B.点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和30°直角三角形的性质，正确作出辅助线，求得MN 的长是解决问题的关键．3．B【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为2；第一次折叠后，，腰长为12，所以周长为11122++=+. 故答案为B.4．B【解析】由等边三角形的性质得，点B ，C 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点P ，则EP+CP=BE 最小，又BE=AD ，所以EP+CP 的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.5．10【解析】解：如图，连接AP ．∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12AC •BD =12AB •PM +12AC •PN ．∵AB =AC ，∴PM +PN =BD ．∵BD =10，∴PM +PN =10．点睛：本题考查了等腰三角形的性质）三角形的面积）作辅助线把）ABC 分成两个三角形是解题的关键．6．6【解析】如图，因为90ADC ABC ∠=∠=︒，所以分别作点C 关于AD 、AB 的对称点M 、N ，连接MN ，MN 与AD 交于点E ，与AB 交于点F ，连接CE 、CF ，则此时△CEF 的周长最小，连接AC ，交MN 于点P ，由作图可知CE=ME 、CF=FN ，∴△CEF 的周长：CE+CF+EF=MN ，∵△ABD 是等边三角形，∴AB=AD=3，∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CDB=∠CBD=30°，∴CD=CB ，∵DM=CD，BN=CB，∴CM=2CD=2BC=CN，MN//BD，∴∠M=∠N=∠CDB=30°，又∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，∴CD=CB，∠DAC=∠BAC=12∠DAB=30°，∴AC=2CD，∠M=∠DAC，∴AC=CM，又∵∠ACD=∠MCP，∴△ACD≌△MCP，∴MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，∴MN=2MP=6，即△CEF周长的最小值是6，故答案为：6.【点睛】本题考查了最短路径问题，涉及到等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，正确根据轴对称的性质作出符合条件的图形是解题的关键.7．36°【解析】试题解析：设∠B=x）∵AB=AC）∴∠C=∠B=x）∵DA=DC）∴∠C=∠DAC=x）∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x）∵AB=BD）∴∠ADB=∠BAD=2x）在△ABD中，∠B=x）∠ADB=∠BAD=2x）∴x+2x+2x=180°）解得x=36°）∴∠B=36°）故选C.8．7【解析】作点E关于AM的对称点H，则DE=DH，所以BD+DE=BD+DH，当BH⊥AC 时，BH的值最小，即BD+DE的最小值是垂线段BH的长.因为∠BAC=30°，∠AHB=90°，所以AB=2BH，所以BH=7，即BD+DE的最小值是7.故答案为7.9．2n【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∵∠MON=30°，∵OA2=4，∴OA1=A1B1=2，∴A2B1=2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，以此类推△A n B n A n+1的边长为2n．故答案为：2n．点睛：本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．10．（1）CD＝32；（2）线段DE的长度保持不变，理由见解析.【解析】）1）过P点作PF∥AC交BC于F，即可构成小等边三角形BPF，再证明△PFD≌△QCD 即可求解；）2）根据（1）分两种情况：点P在线段AB上时，点P在BA的延长线上时分别求解即可得出结论.解：）1）过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P为AB的中点，∴BP＝12A B＝3，∵AB）AC）BC ）∴∠B）∠ACB）∠BAC）60°）∵PF∥AC）∴∠PFB）∠ACB）60°）∠BPF）∠BAC）60°）∴△PBF是等边三角形）∴BF）FP）BP）3）∴FC）BC）BF）3）由题意，BP）CQ）∴FP）CQ，∵PF∥AC）∴∠DPF）∠DQC，又∠PDF）∠QDC）∴△PFD≌△QCD，∴CD＝DF＝12FC＝32；）2）当点P）Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变）分两种情况讨论：①当点P在线段AB上时）过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB）PF，∵PE⊥BC）∴BE）EF，由（1）知△PFD≌△QCD）CD）DF，∴DE＝EF＋DF＝12BC＝3，②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE）3）∴当点P）Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定、性质和等边三角形的性质.综合运用已知条件并构造辅助线是解题的关键.11．＋1＋5＋BE＋CF＋EF＋C△AEF＋20＋(2) 2＋EF＋BE＋CF＋C△AEF＋18＋(3) EF＋FC＋BE【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义可得＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD，然后求出＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD，再根据等角对等边可得BE=DE＋CF=DF，然后解答即可；＋2）根据角平分线的定义可得＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD，然后求出＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD，再根据等角对等边可得BE=DE＋CF=DF，然后解答即可；＋3）由（2）知BE=ED＋CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE＋CF＋EF有怎样的数量关系．试题解析：解：（1＋BE+CF=EF．理由如下：＋AB=AC＋＋＋ABC=＋ACB＋＋BD平分＋ABC＋CD平分＋ACB＋＋＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD＋＋＋DBC=＋DCB＋＋DB=DC＋＋EF＋BC＋＋＋AEF=＋ABC＋＋AFE=＋ACB＋＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD＋＋＋EBD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD＋＋BE=DE＋CF=DF＋AE=AF＋＋等腰三角形有＋ABC＋＋AEF＋＋DEB＋＋DFC＋＋BDC共5个，＋BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF＋＋AEF 的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20＋故答案为：5＋BE+CF=EF＋20＋＋2＋BE+CF=EF＋＋BD平分＋ABC＋CD平分＋ACB＋＋＋EBD=＋CBD＋＋FCD=＋BCD＋＋EF＋BC＋＋＋EDB=＋CBD＋＋FDC=＋BCD＋＋＋E BD=＋EDB＋＋FDC=＋BCD＋＋BE=DE＋CF=DF＋＋等腰三角形有＋BDE＋＋CFD＋＋BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF＋＋AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18＋此时有两个等腰三角形，EF＋BE＋CF＋C△AEF＋18＋＋3＋BE＋CF=EF＋由（1）知BE=ED＋＋EF＋BC＋＋＋EDC=＋DCG=＋ACD＋＋CF=DF＋又＋ED＋DF=EF＋＋BE＋CF=EF＋点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．12．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得△ABD））ACD的形状，可得证明结论；（2）根据顶角是36°，可画底角的角平分线，可得答案，根据顶角是108°的等腰三角形，把顶角分成12，可得答案．试题解析：证明：过点A作AD）BC，垂足为D）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，））B=）BAD））C=）CAD）））ABD和△ACD是等腰三角形，∴△ABC是生成三角形；）2）如图：））DEG 与△EFG 都是等腰三角形，△DEF 是生成三角形．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角对等边是判定等腰三角形的方法． 13．（1）8；（2）1.8；（3）1.8或5；（3）当 2.5t =或3t =或 3.6t =或 6.4t =时，△ADP 是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）根据题意，运用等腰三角形的性质，求得AD 的长，再根据勾股定理求得CD 的长即可；（2）分两种情况进行讨论：当DP⊥AC 时，△ADP 是直角三角形，当PD⊥AD 时，△ADP 是直角三角形，分别根据相似三角形的性质求解即可；（3）分三种情况进行讨论：当PA=PD 时，当AP=AD 时，当AD=PD 时，分别做辅助线构造三角形，运用速度、路程、时间的关系，求得t 的值即可. 试题解析：解：（1））AB ）12 cm ）点D 是AB 的中点 ∴162AD AB cm == ）AC ）BC ，点D 是AB 的中点 ∴CD AB ⊥在Rt ADC ∆中， 8CD ===（2）当APD ∆为直角三角形时，有两种情况，分别为：①当90APD ∠=︒时，即点P 在AC 边上由1122AC DP AD CD ⋅=⋅，得68 4.810DP ⨯==在Rt APD ∆中， 3.6AP ==∴ 3.61.82AP t v === ②当90ADP ∠=︒时，点P 与点C 重合如图，此时， 1052AC t v ===（秒） ∴ 当t 为1.8秒或5秒时，△ADP 是直角三角形．（3）当 2.5t =或3t =或 3.6t =或 6.4t =时，△ADP 是等腰三角形． 14．答案见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可．试题解析：解：如图所示：点睛：本题考查了对等腰三角形的性质和勾股定理的应用，主要培养学生的观察能力和画图能力，题型较好，难度也不大． 15．(1) 作图见解析. (2)30° 【解析】试题分析：（1）分别作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E）OB 于F. ）2）由轴对称的性质知OP=OC）OP=OD ，且）PEF 周长的最小值是CD ，所以dqga4OCD 是等边三角形，而）COD=2∠EOF ，由此即可求解.试题解析：(1)如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E）OB于F.此时，△PEF的周长最小．(2)根据轴对称的性质得，OC=OP=OD））COE=∠POE，∠DOF=∠POF，）PEF的周长的最小值=CD）因为OP=4）△PEF的周长的最小值为4）所以）OCD是等边三角形.因为∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，所以∠PEF=12∠COD=30°.16．＋证明见解析②证明△BCF≌△ACH；③△CFH是等边三角形【解析】试题分析：①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．③由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．试题解析：①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又BC=AC、CE=CD，∴△BCE≌△ACD．②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．。

8下培优专题1-等腰三角形

Strive for a breakthrough, help others to success
类型三证明角的关系
例4.已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠DBC＝
1 2
∠BAC.
证明：过点A作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴∠CAF＝∠BAF＝1/2∠BAC. ∵AF⊥BC，BD⊥AC， ∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠CAF，
(1)求∠1的度数； (2)求证：△GEF是等腰三角形．
解：(1)由折叠的性质可得∠GEF＝∠FEC＝64°. ∵在长方形纸条ABCD中，AD∥BC， ∴∠1＝∠GEB＝180°－64°－64°＝52°. (2)证明：∵在长方形纸条ABCD中，AD∥BC， ∴∠GFE＝∠FEC＝64°. 又由折叠的性质可得∠GEF＝∠FEC＝64°， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴GE＝GF， ∴△GEF是等腰三角形．
A
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
30°
几何语言：在△ABC中,
B
C
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
B
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所
对的直角边等于斜边的一半)
A
30°
C
推论：
1．如图，已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么AD的长是( C )
(2)∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD.∵∠BAD＝40°， ∴∠CAD＝∠BAD＝40°.∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝70°. ∵∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝20°.故答案为：20.
(3)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝90°－1/2∠CAD ＝90°－1/2∠BAD. ∵∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝90°－∠ADE ＝90°－(90°－1/2∠BAD)＝1/2∠BAD.

(完整word版)八上等腰三角形精品提高题系列

1.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．（ I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．2.如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，且∠PAB=∠PAC=22°，求∠APC的度数.3.如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.5.在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC＜60°）（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．②若∠ABC=2α，∠ACB=60°-α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的式子表示）．6.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，求证：AC=BD+CD.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．如图，过△ABC的边BC的中点M作直线垂直于∠A的平分线AA′，且分别交直线AB，AC于点E，F，已知：如图在△ABC中，BD，CE为两条高线，F为BD上一点，G为CE延长线上一点，BF=AC，CG=AB．（1）请你判断△AFG的形状并证明．（2）当F为BD反向延长线上一点，G为CE反向延线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请你画出图形，并证明你的结论．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E，F为线段BC上的两点，且CE=BF，连接AF，过点C 作CD⊥AF于点G，交AB于点D，连接DE，交AF于点M．（1）求证：∠ACD=∠AFC；（2）求证：ME=MF在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；（2）如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；（3）如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．1.如图，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请直接写出关系式_______（2）如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．2.如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3.已知△ABC，∠BAC=45°，以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AD=AB、AE=AC，且∠BAD=∠CAE，连CD、BE交于F，连AF．（1）①如图1，若∠BAD=60°，则∠AFE=_______度；②如图2，若∠BAD=90°，则∠AFE=_______度；（2）如图3，若∠BAD=a°，猜想∠AFE的度数（用a表示），并予以证明．4.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论1.如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC=68°（1）求证：∠ADC=124°；（2）若AB+BD=AC，求∠ACB的度数2.已知：在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E．设△ACD的面积是S．（1）求△ABD的面积；（2）求证：AD=DE；（3）探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论3.在△ABC中，∠BAC=90°，射线AM∥BC，点D在射线AM上（不与点A重合），连接BD，过点D作BD的垂线交CA的延长线于点P（1）如图①，若∠C=30°，且AB=DB，求∠APD的度数；（2）如图②，若∠C=45°，当点D在射线AM上运动时，PD与BD之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明；（3）如图③，在（2）的条件下，连接BP，设BP与射线AM的交点为Q，∠AQP=α，∠APD=β，当点D在射线AM上运动时，α与β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明．4.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．1.在锐角三角形ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作△ABD和△ACE，使得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列结论：①BE=DC；②BE⊥DC；③AG是△ADE的中线；④∠DAG=∠ABC．其中正确的结论有哪些？2.在△ABC中，AB≠AC，分别以AB，AC为边作等腰△ABD和△ACE，AD=AB，AC=AE，且∠ACB=∠BAD=∠CAE=α，连接DE，交CA延长线于点M，求证：M为DE中点3.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，求∠AFG与α的数量关系.4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．（1）求证：AD=AE；（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．1.如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）求证：FA平分∠DFE；（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系2.如图1，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）F、H分别是BE与DC的中点；①如图2．当∠DAB=∠CAE=90°时，求∠AFH的度数；②请探究当∠DAB等于多少度时，AF=FH？请说明理由．3.如图，△ABC向外侧作等腰Rt△ABD与Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，F为BC的中点，连接F、A并延长交DE于G点，请问：AF与DE之间存在怎样的数量关系和位置关系?4.已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=_______；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=_______.（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）5.在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过B点作∠BDE=90°，且点D 在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图①，当DE与AC交于P时，求证：BD=DP；（2）如图②，当DE与AC的延长线交于点P时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图③，当DE与CA的延长线交于点P时，请直接写出DB与PD的数量关系，此时过D作DF⊥AB于F，求证：AP+AB=2AF．6.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图①）．（1）求证：AE=CG；（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；（3）过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图③），找出图中与BE 相等的线段，并证明．2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC边上的-点，过点P引直线分别交AB于点M，交AC的延长线于点N，且PM=PN．（1）写出图中除AB和AC，PM和PN外的其他相等的线段．（2）证明你的结论3.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E为边AC上的两动点，以相同的速度D从A向C，E从C 向A运动，AM⊥BD交BC于N，连NE并延长交BD延长线于F．①说明∠ABD=∠NAC②当D，E运动到如图2所示的位置时，试作出图形，并判断FD与FE的数量关系，请写出你的结论．（不要求证明）③对图1证明△FED为等腰三角形．4.已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是_______（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图，△ABD与△ACE中，AB=AC，∠ACE+∠ABD=180°，BD=CE，BC延长线交ED于F．（1）求证：∠DBF=∠ECF；（2）图中是否存在与DF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）DG=CF；（3）直接写出CF与DE的数量关系．1.已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直接写出答案；（2）如图2，当点A、C、E三点在同一条直线上时，其他条件不变，试探究BM与MD的数量关系和位置关系，请说明理由．2.如图1，△ABC中，AB=AC，连B，C分别作BD⊥AB，CD⊥AC，BD、CD相交于D点，P为BC上一点，过P的直线交AB于E，AC延长线于F，且满足PE=PF，连结DP．（1）求证：DP⊥EF；（2）如图2，若P为BC延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否成立？3.（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．4.如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD=BC=AC=1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE+PF的值是（）A．B．C．D．5.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H（1）求∠APB度数；（2）求证：△ABP≌△FBP；（3）求证：AH+BD=AB6.已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．8.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9.在△ABC中，AB=AC，D在AC上，AE=AC交BD的延长线于点E，AF平分∠CAE交BE于F. （1）如图1，连CF，求证：∠ABE=∠ACF；（2）如图2，当∠ABC=60°时，且BD平分∠ABC，请写出AF、EF、BF的数量关系，不需证明；（3）如图3，若∠BAC=90°，且BD平分∠ABC，求证：BD=2EF．1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为线段AC上的一点（不和点A、C重合），点E在线段BD 的延长线上，点F在线段BD上，连接CE、CF、AE，且∠ECF=90°，CE=CF，过点F作FG⊥BD分别交线段BC、线段AC的延长线于点P、G．（1）如图l，求证：AC=CG；（2）如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH=BH时，求证：∠BHG=∠AHD．2.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动是，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论．（2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变．4.如图，等腰三角形ABC中，∠AC=90°，D，E分别为AB，AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD，交BE于点G，交AC于点M．（1）求证：GM=GE；（2）求证：BG=AF+FG．1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线AC上一点，直线AE⊥直线BD，垂足为E，直线AE 和直线BC交于点H，过点C作AB的平行线，交直线AE于F，连DF．（1）若D在线段AC上（如图1），求证：∠CDB=∠CDF；（2）若D在AC延长线上（如图2），求证：∠CDB+∠CDF=180°．2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，占M在线段AC上（不与C重合），BM延长线与过点C的直线交于D，连接AD，∠MAD=∠DBC，AE⊥BM于E，当M在线段AC上时，求证：BD-CD=2DE3.已知△ABC，∠BAC=90°，等腰直角△BDE，∠BDE=90°，BD=DE，点D在线段AC上．（1）如图1，当∠ACB=30°，点E在BC上时，试判断AD与CE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当∠ACB=45°，点E在BC外时，连结EC、BD并延长交于点F，设ED与BC交于点N，(完整word版)八上等腰三角形精品提高题系列图中是否存在与BN相等的线段？若存在．请加以证明．若不存在，请说明理由．。

等腰三角形培优题目有答案

等腰三⾓形培优题⽬有答案2014.3.29 等腰三⾓形1.等腰三⾓形⼀腰上的⾼与另⼀腰的夹⾓为30°则顶⾓的度数为什么？2.等腰三⾓形顶⾓为α，⼀条腰上的⾼与底边所夹的⾓是β，则β与α的关系式为β=___________。

图1解答：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的⾼AE ，E 为垂⾜，则可知∠EAC=∠EAB =12α，⼜∠EAC C C =-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC ==ββα12。

3.如图1，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ．（1）求证：AE=BC ；（2）如图（2），过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转⾓α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，⼜∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE，BE=BC，∴AE=BC．（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三⾓形．证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠DAE=∠CBF，∴∠GAB=∠GBA，∴GA=GB，即△GAB为等腰三⾓形．5.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂⾜为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠EAC，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直⾓三⾓形，∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA）．6.如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OC=6，OA=8，直线MN的解析式为y=﹣x+6 在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三⾓形是等腰三⾓形，请直接写出P点的坐标．解答：（1）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6）当以点P，B，C三点为顶点的三⾓形是等腰三⾓形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=64，解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；③当PB=BC时，（a﹣8）2+（﹣a+6﹣6）2=64，解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．8.已知：如图，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE BC12，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。

2.2 等腰三角形浙教版数学八年级上册素养提升练(含解析)

第2章　特殊三角形2.2　等腰三角形基础过关全练知识点1　等腰三角形及有关概念1.【一题多变】(2022江苏宿迁中考)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是( )A.8 cmB.13 cmC.8 cm或13 cmD.11 cm或13 cm[变式1]　已知等腰三角形的两边长分别为x、y,且满足|x-4|+(2x-y)2=0,则该三角形的周长为( )A.12B.16C.20D.16或20[变式2]　将一个长为20 cm的绳子围成一个等腰三角形,若已知一边长为4 cm,则这个等腰三角形的腰长是( )A.4 cmB.8 cmC.4 cm或8 cmD.4 cm或12 cm2.【新情境·微型机器人】如图所示,两个全等的等边三角形的边长为1 m,一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动,行走2 022 m停下,则这个微型机器人停在( )A.点A处B.点B处C.点C处D.点D处3.【教材变式·P55T4】(2023浙江杭州第十四中学附属学校期中)等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成21 cm,12 cm两部分,则这个等腰三角形的腰长为 .知识点2　等腰三角形的轴对称性4.下列说法:①等腰三角形是轴对称图形;②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线;③等腰三角形的对称轴至少有一条;④等边三角形的对称轴有三条.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AD=8 cm,BC=6 cm,点E、F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是( )A.48 cm2B.24 cm2C.12 cm2D.6 cm2能力提升全练6.【易错题】如图,已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中有一个一边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画( )A.5条B.4条C.3条D.2条7.(2021江苏扬州中考,6,★★☆)如图,在4×4的正方形网格中有两个格点A、B,连结AB,在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰直角三角形,满足条件的格点C的个数是( )A.2B.3C.4D.58.(2021青海中考,3,★★☆)已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b满2a-3b+5+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为( )A.8B.6或8C.7D.7或89.【新定义试题】(2022江苏苏州中考,12,★★☆)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 . 10.【分类讨论思想】(2023浙江温州永嘉崇德实验学校月考,15,★★☆)设a、b分别是等腰三角形的两边长,m是这个三角形的周长,当a、b、m满足方程组a-2b=m-7,a+b=m4+2时,m的值是 .11.【新独家原创】如图,单位长度为1 cm的数轴上点A表示的数为-10,点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿着数轴向右运动,同时点Q从点O 出发,以1 cm/s的速度沿着射线OB运动,设运动时间为t s.(1)当t= 时,OP的长度为3 cm;(2)经过 s,△POQ是以PQ为底边的等腰三角形.12.【分类讨论思想】如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出三个以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的等腰三角形.(要求:画出示意图,并在长为3的边上标注数字3)素养探究全练13.【抽象能力】如图,在△ABC中,AB=AC=BC,△ABC所在的平面上有一点P(如图中所画的点P1),使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有几个(包括点P1)?请在图中画出来.14.【推理能力】【新独家原创】如图1,等腰△ABC中,AB=AC,点D 为BC的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)求证:DE=DF;(2)如图2,过点C作CG⊥AB,垂足为G,则CG与DE之间存在着怎样的数量关系?请说明理由;(3)如图3,若点D为BC延长线上任意一点,请你直接写出DE、DF、CG 之间的数量关系.图1 图2 图3答案全解全析基础过关全练1.D　当腰长为3 cm时,∵3+3>5,∴能组成三角形,此时等腰三角形的周长为3+3+5=11(cm),当腰长为5 cm时,∵3+5>5,∴能组成三角形,此时等腰三角形的周长为5+5+3=13(cm),则这个等腰三角形的周长为11 cm或13 cm.故选D.[变式1]　C　根据题意得x-4=0,2x-y=0,解得x=4,y=8.当腰长为4时,∵4+4=8,∴不能组成三角形;当腰长为8时,∵4+8>8,∴能组成三角形.此时等腰三角形的周长=4+8+8=20.故选C.[变式2]　B　当4 cm为腰长时,底边长为20-4×2=12 cm,×(20-4)=8 ∵4+4<12,∴不能构成三角形;当4 cm为底边长时,腰长为12cm,∵4+8>8,∴能构成三角形.∴这个等腰三角形的腰长是8 cm.故选B.2.A　由题意可得,微型机器人从点A开始行走1 m停在点B处,行走2 m 停在点C处,行走3 m停在点D处,行走4 m停在点B处,行走5 m停在点E处,行走6 m返回到点A处,∵2 022÷6=337,∴微型机器人行走2 022 m停在点A处.故选A.3.答案　14 cm解析　根据题意得等腰三角形的周长为21+12=33 cm,设腰长为2x cm,则底边长为(33-4x)cm.①若2x+x=21,则x=7,则腰长为14 cm,底边长为5 cm,∵14+5>14,∴符合题意.②若2x+x=12,则x=4,则腰长为8 cm,底边长为17 cm,∵8+8<17,∴不合题意,舍去.∴这个等腰三角形的腰长为14 cm.4.C 等腰三角形是轴对称图形,故①正确;等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线,故②错误;只有两条边相等的等腰三角形有1条对称轴,等边三角形是特殊的等腰三角形,有3条对称轴,故③④正确.故选C.5.C ∵AD 是BC 边上的高,AB=AC,∴△ABC 关于直线AD 对称,∴△CEF 和△BEF 关于直线AD 对称,∴S △CEF =S △BEF ,∵S △ABC =12BC·AD=12×6×8=24(cm 2),∴S 阴影=12S △ABC =12×24=12(cm 2).故选C.能力提升全练6.B 如图所示,当AF=AB=3,BA=BD=3,AE=AB=3,BG=AG 时,都能得到符合题意的等腰三角形.故选B.7.B 如图,当AB 为等腰直角三角形的底边时,符合条件的点C 不存在;当AB 为等腰直角三角形的一条腰时,符合条件的点C 有3个.故选B.8.D ∵2a -3b +5+(2a+3b-13)2=0,∴2a -3b +5=0,2a +3b -13=0,解得a =2,b =3,当b 为底边长时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为2+2+3=7;当a 为底边长时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为2+3+3=8.∴等腰三角形的周长为7或8.故选D.9.答案　6　解析　∵△ABC 是等腰三角形,底边BC=3,∴AB=AC,当AB=AC=2BC 时,能构成三角形,∴△ABC 是“倍长三角形”;当BC=2AB=2AC 时,AB+AC=BC,不能构成三角形,不符合题意.∴当等腰△ABC 是“倍长三角形”时,腰AB 的长为6.10.答案　5或163解析　①当a 为腰长,b 为底边长时,2a+b=m,即b=m-2a,把b=m-2a 代入方程组a -2b =m -7,a +b =m 4+2得,a -2(m -2a )=m -7,a +m -2a =m 4+2,解得a =1,m =4,∴b=2,∵1+1=2,∴不能构成三角形;②当b 为腰长,a 为底边长时,2b+a=m,即a=m-2b,把a=m-2b 代入方程组a -2b =m -7,a +b =m 4+2可得,m -2b -2b =m -7,m -2b +b =m 4+2,解得b =74,m =5,∴a=32,∵74+32>74,∴能构成三角形;③当a=b 时,把a=b 代入方程组a -2b =m -7,a +b =m 4+2可得,b -2b =m -7,b +b =m 4+2,解得b =53,m =163,∴底边长为2,∵53+53>2,∴能构成三角形.故m 的值是5或163.11.答案　(1)72或132　(2)103或10解析　(1)根据题意可得,OA=10 cm,当点P 在线段OA 上时,OP=3 cm,则PA=10-3=7(cm);当点P 在AO 的延长线上时,PA=10+3=13(cm).∵点P 的运动速度为2 cm/s,∴t=7÷2=72或t=13÷2=132.(2)根据题意可得,PA=2t cm,OQ=t cm,当点P 在线段OA 上时,OP=(10-2t)cm,在△POQ 中,OP=OQ,则10-2t=t,解得t=103;当点P 在AO 的延长线上时,OP=(2t-10)cm,在△POQ 中,OP=OQ,则2t-10=t,解得t=10,∴经过103或10 s,△POQ 是以PQ 为底边的等腰三角形.12.解析　满足条件的图形如图所示(答案不唯一).素养探究全练13.解析　如图,在△ABC 的边BC 的垂直平分线上,有P 1、P 2、P 3和P 4四个点满足条件,同理,在边AB,AC 的垂直平分线上也有四个点满足条件,易知三条垂直平分线都经过点P 1,所以满足条件的点P 共有4×3-2=10个.(画出了部分图形)14.解析　(1)∵点D 为BC 的中点,∴BD=CD,在△ABD 和△ACD 中,AB =AC ,BD =CD ,AD =AD ,∴△ABD ≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD,∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴DE=DF.(2)CG=2DE.理由如下:∵S △ABD =12AB·DE,S △ACD =12AC·DF,AB=AC,∴S △ABD +S △ACD =12AB(DE+DF),∵DE=DF,∴S △ABD +S △ACD =AB·DE,∵S △ABC =12AB·CG,∴CG=2DE.(3)CG=DE-DF.详解:如图,连结AD,∵S △ABD =12AB·DE,S △ACD =12AC·DF,AB=AC,∴S △ABC =S △ABD -S △ACD =12AB(DE-DF),∵S △ABC =12AB·CG,∴12AB·CG=12AB(DE-DF),∴CG=DE-DF.。

等腰三角形练习(含答案)

EDC A B F1.等腰三角形练习题(第一课时)一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°EDCABHFG二、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．三、解答题11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．12．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB13．已知△ABC 中AB=AC ，点P 是底边的中点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，• 求证：PD=PE.四、探究题14．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB答案:1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．6cm 12．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ．∴∠ABC=∠ADC 13．连接AP ，证明AP 平分∠BAC ．14．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形练习题(第二课时)一、选择题1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cmD C A BE D ABFEDCABH F（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EFC ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 8．一灯塔P 在小岛A 的北偏西25°，从小岛A 沿正北方向前进30海里后到达小岛，•此时测得灯塔P 在北偏西50°方向，则P 与小岛B 相距________．三、解答题 9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ，求证：BF=CF ．E D CA BF10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF四、探究题11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ，求证：AE=BE ．ECABF答案:1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 8．30海里9．连接BC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠ABD=∠ACE ，∴∠FBC=∠FCB ，∴FB=FC 10．证明∠D=∠BED11．证明∠EAD=∠EDA ，∠EBD=∠EDB 分别得到AE=DE ，BE=DE。

《等腰三角形》提高训练湘教版八年级数学上册

《等腰三角形》提高训练姓名__________小组____________一、选择题（本大题共5小题，共25分）1．（5分）如图，在△ABC中，∠C=29°，D为边AC上一点，且AB=AD，DB=DC，则∠A的度数为（）A．54°B．58°C．61°D．64°2．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且=，AE=BE，则的值为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，点P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°．若AP+BP=4，则PC的最小值为（）A．2B．2C．D．34．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．10B．8C．5D．45．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点B．AD 平分∠BACC．AB=2BD D．∠B=∠C二、填空题（本大题共5小题，共25分）6．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC边延长线上一点，并且CD=CA=2cm，∠ADC=15°，则BC=cm．7．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为．8．（5分）已知，CD是△ABC的高，若AC=，AD=BC=2，则∠ABC的度数为．9．（5分）一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为．10．（5分）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为．三、解答题（本大题共5小题，共50分）11．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，求∠C度数．12．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AC，AB边上，且AB=AC，BF=CD，AE+BD=AC．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°，求∠EDF的度数．13．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C 开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P运动的时间为t 秒．当t为何值时，△BCP为等腰三角形？14．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．15．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE+DF=3，则△ABC的边长为多少？《等腰三角形》提高训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25分）1．（5分）如图，在△ABC中，∠C=29°，D为边AC上一点，且AB=AD，DB=DC，则∠A的度数为（）A．54°B．58°C．61°D．64°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠C=29°，由外角的性质得到∠ADB=∠C+∠DBC=58°，由于AB=AD，于是得到∠ABD=∠ADB=58°，然后根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DB=DC，∠C=29°，∴∠DBC=∠C=29°，∴∠ADB=∠C+∠DBC=58°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=58°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=64°．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．2．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且=，AE=BE，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，BC=AB，由AE=BE可得到CB=2AE，再由得到CD=2AD，则，然后根据两边及其夹角法可得到：△AED∽△CBD，进而解答即可．【解答】解：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB，∵AE=BE，∴CB=2AE，∵，∴CD=2AD，∴，而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD．∴，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．3．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，点P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°．若AP+BP=4，则PC的最小值为（）A．2B．2C．D．3【分析】把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到∠AP′P=30°，根据直角三角形的性质得到PP′=AP，根据勾股定理和配方法计算．【解答】解：把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，则AP=AP′，∠PAP′=120°，∠AP′C=∠APB=120°，∴∠AP′P=30°，∴PP′=AP，∠PP′C=90°，∵AP+BP=4，∴BP=4﹣PA，在Rt△PP′C中，PC===，则PC的最小值为=2，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及配方法的应用，掌握旋转变换的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．4．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．10B．8C．5D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点B．AD 平分∠BACC．AB=2BD D．∠B=∠C【分析】由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=DC．∴AD平分∠BAC，无法确定AB=2BD．故A、B、D正确，C错误．故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共5小题，共25分）6．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC边延长线上一点，并且CD=CA=2cm，∠ADC=15°，则BC=cm．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠CDA=∠D=15°，推出∠ACD=30°即可解决问题；【解答】解：∵CA=CD，∴∠CAD=∠D=15°，∴∠ACB=∠CAD+∠D=30°，∵∠ABC=90°，AD=2cm，∴AB=AC=1cm，∴BC===cm，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为6．【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．【解答】解：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵，∴△ABE≌△CAF（ASA）；∴S△ACF +S△BDE=S△ABD∵△ABC的面积为24，CD=3BD，∴△ABD的面积是：×24=6，∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（5分）已知，CD是△ABC的高，若AC=，AD=BC=2，则∠ABC的度数为120°或60°．【分析】分两种情形：①当高CD在△ABC内部时．当高CD在△ACB′外部时．分别求解即可；【解答】解：有两种情形：①当高CD在△ABC内部时．∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴CD===，∴sinB==，∴∠B=60°．②当高CD在△ACB′外部时，同法可得∠CB′D=60°，∴∠AB′C=120°，故答案为120°或60°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．（5分）一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为3或7．【分析】设腰长为x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）=2或（5+x）﹣（2x+x）=2，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．【解答】解：设腰长为2x，则（2x+x）﹣（5+x）=2或（5+x）﹣（2x+x）=2，解得：x=3.5，x=1.5，∴2x=7或3，①三角形ABC三边长为7、7、5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是3、3、5，符合三角形三边关系定理；故答案为：3或7．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难度不大，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证．10．（5分）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为6或8．【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可．【解答】解：（1）当AD+AC=9时，∵CD是AB边的中线，∴AD=AC，∴AC=9，AC=6；（2）当AD+AC=12时，则AC=12，AC=8；所以腰长为6或8．故答案为：6或8．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做题时注意分类讨论思想的运用．三、解答题（本大题共5小题，共50分）11．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，求∠C度数．【分析】根据题意可知∠ADB的度数，然后再利用∠ADC是三角形ADC的一个外角即可求得答案．【解答】解：∵若AB=AD=CD，∠BAD=100°，∴∠B=∠ADC=（180°﹣100°）=40°，又∵在等腰三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，∴∠BDA=∠DAC+∠C，又∵∠C=∠DAC，∴∠C=×40°=20°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为180°的知识点，此题难度不大．12．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AC，AB边上，且AB=AC，BF=CD，AE+BD=AC．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°，求∠EDF的度数．【分析】（1）等量代换得到BD=EC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠B=∠C=（180°﹣50°）=65°，根据全等三角形的性质得到∠BFD=∠CDE，等量代换即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE+BD=AC，AE+CE=AC，∴BD=EC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDF与△CED中，，∴△BDF≌△CED，（SAS），∴DE=EF；即△DEF是等腰三角形；（2）解：∵∠A=50°，∴∠B=∠C=（180°﹣50°）=65°，∵△BDF≌△CED，∴∠BFD=∠CDE，∵∠CDE+∠EDF=∠BFD+∠B，∴∠EDF=∠B=65°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．13．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C 开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P运动的时间为t 秒．当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【分析】先根据勾股定理求出AC的长，由于点P是动点，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴AC==8cm．当点P在AC上时，CP=CB=6cm，t=3；当点P在AB上时，分三种情况：若BP=BC=6cm，则AP=4cm，t=6；若CP=CB=6cm，作CM⊥AB，∵∠B=∠B，∠BMC=∠BCA，∴△ABC∽△CBM，∴==，即==，∴CM=4.8cm，PM=BM=3.6cm，∴AP=2.8cm，t=5.4．若PC=PB，则∠B=∠BCP，∠A=∠ACP，∴AP=CP=BP=5cm，t=6.5．综上所述，当t=t=3或5.4或6.5或6秒时，△BCP为等腰三角形．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．14．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE，根据余角的性质得到∠AEB=∠AFD，等量代换即可得到结论；（2）根据线段中点的定义得到BC=2BE=4，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵BD⊥AC，∴∠ABC=∠ADF=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠DAF+∠AFD=90°，∴∠AEB=∠AFD，∵∠BFE=∠AFD，∴∠BEF=∠BFE；（2）∵E是BC中点，BE=2，∴BC=2BE=4，∵∠ABC=90°，AC=5，∴AB==3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．15．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE+DF=3，则△ABC的边长为多少？【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=30°，根据角平分线的性质得到DE=DF，求得AD=2DE=3，于是得到结论．【解答】解：连接AD，∵AB=AC，D为BC边的中点，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∵DE+DF=3，∴DE=DF=1.5，∴AD=2DE=3，∴AB=AD=2，故△ABC的边长为2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．。

实验班八年级(上)《等腰三角形》提高训练及答案解析

八年级（上）《等腰三角形》提高训练班级：________________姓名：_______________________一、选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°第1题第2题2．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°3．如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°第3题第4题4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5° D．52.5°5．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n 的度数为（）﹣1A．B．C．D．第5题第6题6．如图所示，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．47．如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（）A．114°B．123°C．132°D．147°第7题第8题第9题8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，下列结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为（）A．10cm2B．12cm2C．16cm2D．20cm2第10题第12题二、填空题（共10小题）11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=．13．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于．第13题第14题14．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积cm2．15．有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是．第15题第16题16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A 的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．17．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是．第17题第18题18．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B 点时，M、N同时停止运动．（1）当点M、N运动秒时，M、N两点重合；（2）当点M、N运动秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．19．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC 的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有个．（请在图形中表示点P的位置）第19题第20题20．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC 重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．若△AEM构成等腰三角形，则BE的长为．三、解答题（共10小题）21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．第21题22．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．第22题23．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．（2）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．第23题24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE=ED；（2）Q请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．第24题25．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．第25题26．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．（1）求证：∠BDC=∠BAC；（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．第26题27．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．第27题28．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=度．（直接填写度数）第28题29．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？第29题30．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC 和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD=AE；（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN 的形状，并说明理由．第30题八年级（上）《等腰三角形》提高训练参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A．2．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．3．（2016•聊城模拟）如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【解答】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，∴∠AQR=∠AOB=40°，∵OP=QP，∴∠PQO=∠AOB=40°，∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．故选C4．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5° D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．5．（2016•六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1的度数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠A n﹣1A n B n﹣1=．故选：C．6．（2016春•蓝田县期末）如图所示，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：①∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB为等腰三角形；③△AOC为等腰三角形；④△BOC为等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE为等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD为等腰三角形；⑦△COE为等腰三角形．故答案是：7个．7．（2016•慈溪市一模）如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（）A．114°B．123°C．132°D．147°【解答】解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°，故选B．8．（2016•阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．9．（2016•海曙区一模）如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，下列结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵BA=BC，BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，BD⊥AC，且AD=CD，∵DE∥BC，∴∠2=∠3，△ADE∽△ACB，∴∠1=∠3，故①正确；===，即DE=BC，故②正确；由△ADE∽△ACB，且=可得=（）2=，即S△ADE=S△ABC，故③正确；故选：D．10．（2016秋•江阴市期中）如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为（）A．10cm2B．12cm2C．16cm2D．20cm2【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，∴AP=QP，∴S△ABP=S△BQP，S△APC=S△PQC，∴S△ABC=2S阴影=20cm2，故选D．二．填空题（共10小题）11．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．12．（2016秋•玉环县期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=8．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，∴BE=EG，CD=DF，∵FG=2，ED=6，∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8，故答案为8．13．（2016秋•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE 过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3（cm）．故答案为：3cm．14．（2016秋•东湖区月考）如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC 交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积18cm2．【解答】解：∵∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=FC，∴EF=BE+CF，∴AE+EF+AF=AB+AC，∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴（AC+BC+AC）﹣（AE+EF+AF）=12，∴BC=12cm，∵O到AB的距离为3cm，∴△OBC的面积是cm×3cm=18cm2．，故答案为：18．15．（2016•江西模拟）有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是25°或40°或10°．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣80°=100°，∠C=（180°﹣100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=（180°﹣∠A）=（180°﹣80°）=50°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣50°=130°，∠C=（180°﹣130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°﹣2×80°=20°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣20°=160°，∠C=（180°﹣160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．16．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3，6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【解答】解：由题意可得，第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴CP=6cm，∴t=6÷2=3秒；第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，∴∠PCB=∠PBC，∴PA=PC=PB=5cm，∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AP=6cm，AB=10cm，∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，作CD⊥AB于点D，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A==，∴，AB=10cm，设CD=4a，则AD=3a，∴（4a）2+（3a）2=62，解得，a=，∴AD=3a=，∴AP=2AD=7.2cm，∴t==5.4s，故答案为：3，6或6.5或5.4．17．（2015春•重庆校级期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是①②④．【解答】解：①连接EG．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．∴∠ABF=∠EBD．∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，故②正确；③如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，∵∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；④∵AG是∠DAC的平分线，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵∴△ABN≌△GBN，∴AN=GN，∴四边形AFGE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC．故④正确；⑤∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，∴EF≠AE，∴EF≠FG，故⑤错误．故答案为：①②④．18．（2015秋•江阴市校级期中）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；（2）当点M、N运动4，8，16秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12，故当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；故答案为：12；（2）①当M在AC上，N在AB上时，有AM=AN，△AMN为等边三角形，符合题意，即t=12﹣2t，解得t=4；②当M、N均在AC上时，有BM=BN，△BMN为等腰三角形，符合题意，则CM=AN，即12﹣t=2t﹣12，解得t=8；③当M、N均在BC上时，N点已经追过M点，有AM=AN，△AMN为等腰三角形，符合题意，则CM=BN，即t﹣12=36﹣2t，解得t=16．故答案为4，8，16．19．（2014春•海盐县校级期末）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有6个．（请在图形中表示点P的位置）【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．故答案为：6．20．（2014•河南模拟）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．若△AEM构成等腰三角形，则BE的长为1或．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，∴∠AEF=∠B=∠C，∵∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．三．解答题（共10小题）21．（2016秋•淮安期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°22．（2016秋•宁城县期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【解答】解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC=∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴∠BDC=∠BAC．23．（2016秋•义乌市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．（2）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．【解答】解：（1）∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°，∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°，∴∠BDA=∠CED，∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），∴AD≠AE，ⅰ）如图所示，当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50°，∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；ⅱ）如图所示，当DA=DE时，∠EAD=∠AED=65°，∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；（2）由（1）可得∠BDA=∠CED，又∵∠B=∠C=50°，AB=DC=2，∴在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．24．（2016秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE=ED；（2）Q请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；（2）∵AE=ED，EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴EF是AD的垂直平分线，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，∴∠B=∠CA．25．（2015春•威海期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵EH⊥AB于H，∴△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．26．（2015秋•宜城市期末）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．（1）求证：∠BDC=∠BAC；（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．【解答】解：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BDC=∠BAC．（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴△ABD为等腰三角形；（3）∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=180°，∴∠ABC=72°．27．（2015秋•台州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．【解答】解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度数是20°或40°．28．（2016秋•盂县期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP 交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．29．（2016秋•天津期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？【解答】解：（1），△BPD与△CQP是全等．理由如下：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm则CP=BC﹣BP=10﹣4=6cmCQ=AC﹣AQ=12﹣8=4cm∵D是AB的中点∴BD=AB=×12=6cm∴BP=CQ，BD=CP又∵△ABC中，AB=AC∴∠B=∠C在△BPD和△CQP中BP=CQ∠B=∠CBD=CP∴△BPD≌△CQP（SAS）（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP=2t，AQ=4t∴t的取值范围为0＜t≤3则CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t∵△CPQ的周长为18cm，∴PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）=6t﹣4要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：①当CP=CQ时，则有10﹣2t=12﹣4t解得：t=1 …（9分）②当PQ=PC时，则有6t﹣4=10﹣2t解得：t=…（10分）③当QP=QC时，则有6t﹣4=12﹣4t解得：t=…（11分）三种情况均符合t的取值范围．综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形30．（2016秋•顺庆区期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD=AE；（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC、△DCE均是等边三角形，∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴BD=AE；（2）△CMN为等边三角形，理由如下：由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN，∵AC=BC，AM=BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°，∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°，∴△CMN为等边三角形．第31页（共8页）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

等腰三角形提高训练题1 培优训练 1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为．
2．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= 度．
3．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，
若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是． (烟台市中考题)
4．△ABC 的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B ，那么∠C 的外角的大小是( )
A ．140°
B ．80°或100°
C ．100°或140°
D ．80°或140°
5．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，
两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；
②△EPF 是等腰直角三角形，③S AEPF 四边形=2
1 S ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个 (苏州市中考题)
6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝AE ，BC ＝BF ，则∠ECF ＝( )
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．不确定 7．如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O 点．作MN ∥BC ，EF ∥AB ，GH ∥AC ，BC ＝a ，AC=b ，AB ＝c ，则△GMO 周长+△ENO 的周长－△FHO 的周长．
8．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，则∠B ：∠C 的值= ．（“五羊杯”竞赛题）
9．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=2
1∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上) (天津市中考题)
10．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ． 120°或150°
D ．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛)
11．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( )
A ．只有一个且为等腰三角形
B ．至少有两个且都为等腰三角形7题 6题 8题 9题
5题
B C A E
12．如图，AA′、BB′分别是∠EAD、∠DBC的平分线，若AA′=
BB′＝AB，则∠BAC的度数为．(全国初中数学联赛题)
13．如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．
(1)求证：PD+PE=CF；
(2)若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系?写出你的猜想并证明．
14．如图，等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，过点F作FQ⊥AB于Q，设BP= x，AQ＝y．
(1)用x的代数式表示y；(2)当PB的长等于多少时，点P与点Q重合? (福州市中考题)
15．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
16．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
17．如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，则∠A= ．
18．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度． (江苏省竞赛题)
19．在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )
A ．1个
B ．4个
C ．7个
D ．10个
20．如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=
21DC=21DE ，则∠D ＝（）
A ．30°
B ．450°
C ． 60°
D ．67．5°
21．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( )
A ．PA+PB+PC<AB+AC
B ． PA+PB+PC>AB+AC
C ．PA+PB+PC=AB+AC
D ．PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与P 点位置有关
22．如图，在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．(2002年全国初中数学竞赛)
23．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB ＝AC ，D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD ＝BA ．
24．如图，等边三角形ABD 和等边三角形CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ．
(1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)E 点在何处时，△BEF 面积的最小值．。