重庆一中高2020级文数高三下期第二次周考-含答案

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(3.28)重庆一中高2020级高三下3月月考数学(文科)试题

A．3
B．4
C．8
D．12
5．已知曲线 y ax1 1(a 0 且 a 1) 过定点 k,b ，若 m n b 且 m 0, n 0 ，
则 4 1 的最小值为（） mn
A． 9 2
B．9
C．5
D． 5 2
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入 n, x 的值分别为 3，3．则输出 v 的值为（）
了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有 600 位好友参与了“微信运动”，他随机选取了 40 位微信好友(女 20 人，男 20 人)，统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下： 5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860 8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
9 ③当 2 5 t 8 时，△ABC 为钝角三角形；
④当 t 4， a ln 2 时，△ABC 的面积为 15 ln2 2 ． 8
其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）
3
2020 年 3 月 28 日 15:00—17：00，发卷时间：14:50，上传截止时间：17:20
C．命题“若 (x 1)ex 1 0 ，则 x 0 ”的逆否命题为：“若 x 0 ，则 (x 1)ex 1 0”；
D．“命题 p q 为真”是“命题 p q 为真”的充分不必要条件．
4．若抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点是椭圆 x2 y2 1的一个焦点，则 p （） 4p p

重庆市第一中学2020届高三下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合P ＝{x |x +2≥x 2}，Q ＝{x ∈N ||x |≤3}，则P ∩Q ＝（） A. [﹣1，2] B. [0，2] C. {0，1，2} D. {﹣1，0，1，2} 【答案】C 【解析】【分析】解不等式x +2≥x 2求出集合P ，再求出集合Q ，再利用集合的交集运算即可算出结果.【详解】解不等式x +2≥x 2，得12x -≤≤，∴集合P ＝{x |x +2≥x 2}＝{}12x x -≤≤，又∵集合Q ＝{x ∈N ||x |≤3}＝{0，1，2，3}， ∴P ∩Q ＝{0，1，2}，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.2.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（） 5 B.525 D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模．【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴22(1)(2)5b =-+-=．故选：C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．3.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（） A. 5- B. 5C. 34i -+D. 34i -【答案】A【解析】【分析】首先求出复数22z i =-+，再根据复数的代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解：由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题. 4.一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（） A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀 C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C 【解析】【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定故选：C【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3【答案】C 【解析】分析】现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士分别记为A 、B ，3名医生分别记为a 、b、c，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.【详解】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士记A、B，3名医生分别记为a、b、c，所有的基本事件有：(),A B、(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c、(),a b、(),a c、(),b c，共10种，其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有：(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c，共6种，因此，所求事件的概率为60.610P==.故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a>得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A. 这组新数据的平均数为mB. 这组新数据的平均数为a m+C. 这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准差为【答案】D 【解析】【分析】计算得到新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为，结合选项得到答案.【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为.故选：D【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.7.已知107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D，若()x y D∀∈,，2x y a+≤为真命题，则实数a的取值范围是A. [)5,+∞ B. [)2,+∞C. [)1,+∞ D. [)0,+∞【答案】A【解析】【分析】本题可先通过线性规划得出平面区域D，在解出2x y+的取值范围，最后得出a的取值范围．【详解】绘制不等式组107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域如图所示，令2z x y=+，结合目标函数2z x y=+的几何意义可得2z x y=+在点B处取得最大值，联立直线方程可得10770x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得4373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即47,33B⎛⎫⎪⎝⎭，则max472533z=⨯+=. 结合恒成立的条件可知5a≥，即实数a的取值范围是[)5,+∞，本题选择A选项．【点睛】求线性目标函数z ax by=+的最值，当b0>时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0<时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.解本题时，由线性规划知识确定2x y+的最值，然后结合恒成立的条件确定实数a的取值范围即可．8.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A. 183B. 182C. 123D. 243【答案】B【解析】【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•23π，联立解得：r，l，h22l r=-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh.【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23π，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22l r=-=62.该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh2=2.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）x=a的值为（）A. 4B. 12C.2eD. e【答案】C 【解析】【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.10.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. y =D.y x = 【答案】C 【解析】【分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ，由双曲线定义知122PF PF a -=，因为1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中，由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为y =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.11.已知函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点(0,1)B -，在区间(,)183ππ上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当12172,(,)123t t ππ∈--，且12t t ≠时，12()()f t f t =，则12()f t t +=（）A. B. 1-C. 1【答案】B 【解析】分析：由题意，求得,w ϕ的值，写出函数()f x 的解析式，求函数的对称轴，得到12t t +的值，再求解()12f t t +的值即可.详解：由函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象过点(0,1)B -，所以2sin 1ϕ=-，解得1sin 2ϕ=-，所以6πϕ=-，即()2sin()6f x x πω=-，由()f x 的图象向左平移π个单位后得()2sin[()]2sin()66g x x wx w ππωππ=+-=+-，由两函数的图象完全重合，知2w k π=，所以2,w k k Z π=∈，又3182T w πππ-≤=，所以185w ≤，所以2w =，所以()2sin(2)6f x x π=-，则其图象的对称轴为,23k x k Z ππ=+∈，当12172,(,)123t t ππ∈--，其对称轴为73236x πππ=-⨯+=-，所以12772()63t t ππ+=⨯-=-，所以()1277295()2sin[2()]2sin 2sin 133666f t t f πππππ+=-=⨯--=-=-=-，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得12t t +的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（）A. 20B. 18C. 16D. 14【答案】C 【解析】【分析】先解()0g x =，求得()f x 的值，再根据函数的解析式，利用二次函数，函数的图象的平移伸缩变换及偶函数的图像性质作图，利用数形结合方法即可得到答案. 【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象，当02x <≤时，()()21f x x =- ,是抛物线的一段，当(]()()12,2,22,1,2,3,,22x x k k k f x f x >∈+=⋯=-时，,是由(]22,2,x k k ∈- 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到R 上的函数()f x 的图象，考察()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有6个和10个， ∴函数g(x)的零点个数为61016+=,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，涉及分段函数，函数的图象的平移，伸缩变换，函数的奇偶性，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则33S a ______.【答案】7 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21152a a q +=，31154a q a q +=，两式相除可得2312q q q +=+，解将12q =，12a =，1233331212712S a a a a a ++=++==.故答案为：7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 14.已知抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，过点P （2，1）的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则|AF |+|BF |＝_____. 【答案】10 【解析】【分析】因为P （1，2）是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）中点，则由中点坐标公式得x 1+x 2＝4，再利用抛物线焦半径公式得|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，进而求出|AF |+|BF |. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵P （2，1）是AB 中点， ∴122x x +=2，即x 1+x 2＝4. ∵F （3，0）是抛物线y 2＝12x 的焦点， ∴|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，则|AF |+|BF |＝x 1+x 2+3+3＝10，故答案为：10.【点睛】本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF |＝x 2p+，及其运算能力，属于基础题.15.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *），则S 100＝_____.【答案】5050 【解析】【分析】先由题设条件求出t ，再由2S n ＝a n （a n +1）得2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1），进而得出S n ，代入求S 100. 【详解】∵a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *）， ∴当n ＝1，有2S 1＝a 1（a 1+t ），即2＝1+t ，解得：t ＝1.∴2S n ＝a n （a n +1）①，又当n ≥2时，有2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1）②，∴①﹣②可得：2（S n ﹣S n ﹣1）＝a n （a n +1）﹣a n ﹣1（a n ﹣1+1），整理得：a n +a n ﹣1＝a n 2﹣a n ﹣12， ∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1＝1.所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，公差d ＝1的等差数列， ∴其前n 项和S n ()12n n +=，∴S 100()10011002+==5050.故答案为：5050.【点睛】本题主要考查由数列的前n 项和与第n 项的关系式求其通项公式及等差数列前n 项和公式，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π 【解析】【分析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =所以球的表面积为254π5π=⎝⎭.35π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，ABC ∆是等边三角形， D 是BC 边上的动点（含端点），记BAD ∠=α,ADC β∠=.（1）求2cos cos αβ-的最大值；（2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积. 【答案】(1)当α＝6π，即D 为BC 3233【解析】【分析】（1）由题意可得β=α+3π，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值．（2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB 的长度；进而求得三角形面积．【详解】（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋3π， 0≤α≤3π，故2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭3sin +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当α＝6π，即D 为BC 3（2）由cos β＝17 ，得sin β＝437，故sin α＝sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos3π－cos βsin 3π33，由正弦定理sin sin AB BDADB BAD=∠∠，故AB＝sinsinβαBD＝43733×1＝83，故S△ABD＝12AB·BD·sin B＝1832312323⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2.（1）求证：AB1∥平面A1CD；（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连AC1交A1C于点E，连DE.证明DE∥AB1，然后证明AB1∥平面A1CD；（2）∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角，可得 A1D⊥平面CDB1B，求出四棱锥的底面积与高，即可求解体积.【详解】（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE.因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，又D是B1C1的中点，故DE∥AB1，又AB1⊄平面A1CD，DE⊂平面A1CD，故AB1∥平面A1CD.（2）由（1）知DE∥AB1，又C1D∥BC，故∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角.设AC＝2m，则2211112C E m CD m DE=+=+=，，故△C 1DE 为等腰三角形，故∠C 1DE ＝60°，故△C 1DE 为等边三角形，则有212m +=，得到m ＝1.故△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，故A 1D ⊥C 1B 1，又B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故A 1D ⊥B 1B ，又B 1B ∩C 1B 1＝B 1，故A 1D ⊥平面CDB 1B ，又梯形CDB 1B 的面积()11122223222CDB B S A D =⨯+⨯==梯形，，则四棱锥A 1﹣CDB 1B 的体积1111322233CDB B V S A D =⋅=⨯⨯=梯形.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型 1个月2个月 3个月 4个月总计A20 35 35 10 100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑【答案】(1) ˆ29yx =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x +++++==，611191666ii y ==⨯=∑ 所以()1221ˆni i i n i i x y nxybx n x ==-==-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，1ˆˆ62 3.59ˆay bx =-=-⨯=，所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+. 当11x =时，211931ˆy=⨯+=.故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，应该采购B 型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .证明：直线PQ 与坐标轴平行.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，求解即可；（2）因为PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为x =或2y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）解：2a =，将2P ⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，得222214b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）证明：∵PQ 平分APB ∠欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为2x =或2y =只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B 为22,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，1212222222PA PBy y k k x x --+=+--()()()()12211222222222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-- ()()1221222222y x y x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()121212212222x x y y x y x y =-+-+++ ()12121221211112222222x x x m x m x x m x x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12122222m m x x x x=-+-++()()222222220m m m m =-+--+-=得证.【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题. 21.已知函数（R ）．（1）当14a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；（Ⅱ）[1ln 2,)-+∞【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中[2(12)]'()(1)(1)x ax a f x x x --=>-+，其单调性要对a 进行分类，0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，不合题意，故有0a >，按极值点112a-与0的大小分类研究单调性有最大值．试题解析：（1）当14a =时，21()ln(1)4f x x x x =++-，则11(1)()1(1)122(1)x x f x x x x x -=+-=>-++'，令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<， ∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)．（2）由题意[2(12)]()(1)(1)x ax a f x x x -->-+'=，（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ．（2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，2112x a=-， ①当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意． ②当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1(1,)2a -+∞上单调递增，在1(0,1)2a-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =，要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102a <<，所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<．③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在1(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增，在1(1,0)2a-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a-≤，代入化简得1ln 2ln 2104a a ++-≥，① 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11()(1)04g a a a =-'>恒成立，故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以12a >时，①式恒成立，综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞．考点：函数的单调性与最值．【名题点晴】本题实质考查导数的应用，主要围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，这类问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．要注意分类讨论时分类标准的确定，函数的最值与函数极值的区别与联系．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α= 【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值.【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-=∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ= （2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ， ∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=.∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-. ∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α= ∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-= ∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想. [选修4-5：不等式选讲]23.已知0a >，0b >，22143a b ab +=+. （1）求证：1ab ≤；（2）若b a >，求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得2210,344>+=≥+ab a b ab ab，可得()2134+≥ab ab ，解不等式可得证明；（2）由0b a >>，所以110->a b ，要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证221113++≥a ab b ，利用基本不等式可得证明；【详解】证明：（1）由条件，有2210,344>+=≥+ab a b ab ab ，所以()2134+≥ab ab ，即()24310--≤ab ab ，所以1ab ≤.（2）因为0b a >>，所以110->a b，要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证2211111113⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a ab b a b （*），只需证221113++≥a ab b 因为01ab <≤，所以221112133++≥+=≥a ab b ab ab ab，即（*）式成立，故原不等式成立.【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，熟练掌握基本不等式的性质进行证明是解题的关键.。

2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学(文)试题

（）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 5
6. 正项等差数列 an 的前 n 和为 Sn ，已知 a2 a8 a52 8 0 ，则 S9 （）
A. 35
B. 36
C. 45
D. 54
7. 小王到重庆游玩，计划用两天的时间打卡“朝天门”、“解放碑”、“洪崖洞”、“磁器口”、
“南山一棵树”五个网红景点.若将这五个景点随机安排在两天时间里，第一天游览两个，第二
则 3d b4 b1 6 ， d 2
bn 1 (n 1) 2 2n 1；
（2） cn
(2n
1 1) log2
22n1
1 (2n 1)(2n 1)
1 2
1 2n 1
1 2n 1
Tn
1 2
1 1
1 3
1 3
1 5
...
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n
1
n 2n
1
.
19.解：（1）证明：由
（1）求证： AC 平面 BCE ；（2）求三棱锥 B DCE 的体积V .
20. 设函数 f (x) ln x 1 x . 2
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）令 g(x)
f
(x)
1 2
x
1 2x2
.当 x 0 时， g(x) ax 2 ，求实数 a 的取值范围.
A. 2 i
B. 1 2i
C. 2 i
3. 非零向量 a ， b 满足 | b | 2 | a | ，且 (a b ) a ，则 a 与 b 的夹角为（
D. 2 i
）
A.
6
B.

重庆一中高2020级高三下学期3月月考数学文科试题

高2020级高三下3月月考数学（文科）试题一、选择题1．已知集合{}32,A x x n n Z ==+∈，{}24B x x =-<<，则A B =I （） A ．{}1,2-B ．{}2C ．{}1-D ．∅2．i 为虚数单位，复数21iz i=-在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列命题是真命题的是（）A ．命题:p x R ∀∈，211x -≤，则0:p x R ⌝∃∈，2011x -≥B ．命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题C ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”D ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件4．若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p =（） A ．3B ．4C ．8D ．125．已知曲线11x y a -=+（0a >且1a ≠）过定点(),k b ，若m n b +=且0m >，0n >，则41m n+的最小值为（） A ．92B ．9C ．5D ．526．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（）A ．15B ．16C ．47D ．487．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（）ABCD．9．已知函数()()2log 2f x x =+，若在[]2,5-上随机取一个实数0x ，则()01f x ≥的概率为（） A ．35B ．56C ．57D ．6710．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为m ，则m 的取值范围是（） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞11．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 交于,A B 两点，1F A 与y轴相交于点D ，若1BD F A ⊥，则椭圆C 的离心率等于（）A ．13BC ．12D12．已知函数()2,0115,024x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩，函数()2g x x =，若函数()()y f x g x =-有4个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()5,+∞B ．155,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．195,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．195,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．曲线2ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为______.14．已知抛物线()220y pxp =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为______.15．已知三棱锥P ABC -满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AB =，3APB π∠=，则该三棱锥的外接球的体积为______.16．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且2CA CB mc ⋅=u u u r u u u r，有下列结论：①28t <<； ②229m -<>；③当8t <<时，ABC ∆为钝角三角形；④当4t =，ln 2a =时，ABC ∆的面积为228.其中正确的是______.（填写所有正确结论的编号）三、解答题17．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，65a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .18．如图，在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB CD PQ P P ，AB AD ⊥，PAD ∆为正三角形，O 为AD 的中点，且2AD AB ==，1CD PQ ==. （1）求证：平面POB ⊥平面PAC ；（2）求多面体ABCDPQ 的体积.19．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下：男性好友走路的步数情况可分为五个类别：()02000A -步（说明“02000-”表示大于等于0，小于等于2000，下同），()20015000B -步，()50018000C -步，()800110000D -步，()10001E 步及以上，且,,B D E 三种类别人数比例为1:3:4，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001~10000步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d κ-=++++，20．在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PF QF 的周长为.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）过点()2,0M 的直线交P 的轨迹W 于,A B 两点，N 为W 上一点，且满足OA OB tON +=u u u r u u u r u u u r，其中23t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求AB 的取值范围. 21．已知函数()()1sin ,02f x ax x a a R a =-∈≠. （1）讨论()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性；（2）当0a >时，若()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1π-，讨论：函数()f x 在()0,π内的零点个数.22．直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为23x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.23．已知函数()28f x x ax =-++，()11g x x x =++-.（1）当0a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.。

2020-2021学年重庆一中高三(下)第二次月考语文试卷(附答案详解)

2020-2021学年重庆一中高三（下）第二次月考语文试卷一、现代文阅读（本大题共2小题，共35.0分）1.阅读下面的文字，完成各题。

材料一：现阶段我们说的数字货币，一种等同于加密数字货币。

早在上世纪80年代，已陆续有国外专家开始研究加密货币，他们称之为电子现金系统。

我们知道现金体系有两大特点，一是匿名性，也就是说我用现金买商品时不需要向商家交代我是谁这个问题，二是现金交易双方点对点直接交易，不需要通过向第三方发出申请，一手交钱一手交货，效率非常高。

而电子现金系统就是要在互联网电子通讯的环境下实现现金支付的特点，而密码学以及分布式计算等技术的应用则是要实现电子现金支付网络的必要手段。

2008年化名中本聪的学者发表了一篇比特币电子现金支付系统的论文，才真正从技术和运行规则设计层面，让加密数字货币成为现实。

近年来流行的比特币、莱特币、以太币等都是基于类似的技术和运行规则。

加密数字货币的核心特点在于，能够实现类似现金的匿名的点对点支付（其匿名程度无法达到现金的程度，并且事实上现金交易也并不能实现绝对的匿名），而其作为货币体系的一次重要突破，背后的意义在于：第一，它通过互联网实现了全球范围内点对点支付，极大的提高了货币在全球范围内的流通效率；第二，它的发行和运行完全依靠计算机程序自动实现，且总量恒定，其信用支撑脱离现有的央行中心化机制。

一定程度上加密数字货币的兴起与当前各国货币无锚滥发，导致一些人对主权货币失去信心有关。

而另一种我们说的数字货币则是基于现有银行货币体系的法定数字货币，也就是现在法定电子货币的升级形态，引入计算机代码运行等新技术，又保持对货币运行的适度掌控力。

其核心特点在于，货币发行和运行的可编程性，能够有效追踪货币在交易过程中的流通轨迹。

今年年初我国央行推进了数字货币研究所的挂牌进程，法定数字货币的推行有可能带来更高的交易效率和更低的交易成本，并且通过准确把握货币流向以优化货币政策的制定和执行。

重庆市第一中学2020届高三下学期6月模拟考试+语文试卷答案

2020年重庆一中高2020级高三下期模拟考试语文参考答案1．A 【解析：原文是“正在日益降低或消失”，此处“完全消失”曲解原文】2．B【解析：不是层层递进式结构】3．A 【解析：B原文“极为重要”，不是“最重要”；C没有这样的逻辑关系；D申遗成功是对二十四节气的文化价值的认可，而非全面体现其当代价值】4．C【解析：世界经济贸易增长受到冲击并不能直接推动线上新型消费的发展】5．A 【解析：材料一没有分析“直播带货”的缺点】6．参考答案：（1）继续保持并发挥“直播带货”的互动性强、亲和力强、产品价格低等优势。

（2）充分利用政府部门的扶助和支持，与线下消费相融合。

（3）直播带货要以质量取胜：把消费者的利益放在第一位，应通过规范商品、明确经营者责任义务、规范主播群体、强化监管等着力解决消费者不满意的诸多问题。

评分参考：每点2分，其余答案来自材料言之成理皆可给分，但必须分别来自三则材料。

7．B 【解析：是没吃饱，没吃好，不是没有吃】8．参考答案：①作者所经历的生活实际。

比如作者写到自己初到乌市几个月，四处漂泊，吃饭常常糊弄自己，地也不扫，被子也懒得叠，活得潦倒又潦草的情状。

②作者观察到的他人行状。

比如文中描写了对门小姐虽然是接住朋友房子几天，但是她们不敷衍生活，买来各种材料，认真做饭认真吃饭，到扫过道，住到哪就把哪当成家的状况。

③作者的假设推想的情景。

比如作者假想有人因为早晨能不能领受一缕阳光，生活就有了巨大的差别；假想有人因吸入煤屑而生活处处不如人意。

评分参考：每点2分，概括须准确，列举材料须恰当。

其他表述，言之成理可酌情给分。

9．参考答案：（1）①“你”代表的是那些生活处境不佳而把个人不幸错误地归咎于生活、社会、时代的人；②“他们”代表的是对待生活仔细认真，能从日常细节上营造幸福小环境，让自己的生活越来越幸福的人。

（2）①对“你”，作者同情于其生活境况，但更多是对其不能正确认识微小东西对生活具有重大影响的委婉批评。

重庆一中2019-2020学年高三下学期第二次学月考试理科数学试题卷(答案)

10. 解析：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接的半圆半径是 r = 1 12 = 3 ，设外接球的半径是
2
R
，球心 O
到该底面的距离 d
，则
S△ABC
=
16 2
=
3，
BD
=
3
，由题设 V
=
1 3
S△ABC
h
=
1 6
6h
=
3 ，最
大体积对应的高为 SD = h = 3 ，故 R2 = d 2 + 3 ，即 R2 = (3 − R)2 + 3 ，解之得 R = 2 ，所以外接球的体积
1 2
x
+
π 6
=
a ，故④正确. 2
故选 B．
9. 解析：设 A 中构成等差数列的元素为 a,b,c ，则有 2b = a + c ，由此可得 a,c 应该同奇同偶，而当 a,c
同奇同偶时，则必存在中间项 b , 所以问题转变为只需在1 − 40 中寻找同奇同偶数的情况。 a,c 同为奇
数的可能的情况为 C220 ，同为偶数的可能的情况为 C220 ，所以一共有 2 C220 = 380 种，故选 C.
重庆一中 2019-2020 学年高三下期第二次学月考试
理科数学答案与解析
一、选择题： CCAD；CDBB；CDBA
4．解析：原问题等价于等差数列中，已知 a1 = 4 ， a5 = 2 ，求 a2 + a3 + a4 的值．由等差数列的性质可知：
a2
+ a4
=
a1
+ a5
=
6 ， a3
=
a1
+ a5 2

重庆市第一中学2020届高三下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合P ＝{x |x +2≥x 2}，Q ＝{x ∈N ||x |≤3}，则P ∩Q ＝（） A. [﹣1，2] B. [0，2] C. {0，1，2} D. {﹣1，0，1，2} 【答案】C 【解析】【分析】解不等式x +2≥x 2求出集合P ，再求出集合Q ，再利用集合的交集运算即可算出结果.【详解】解不等式x +2≥x 2，得12x -≤≤，∴集合P ＝{x |x +2≥x 2}＝{}12x x -≤≤，又∵集合Q ＝{x ∈N ||x |≤3}＝{0，1，2，3}， ∴P ∩Q ＝{0，1，2}，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.2.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（） 5 B.525 D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模．【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴22(1)(2)5b =-+-=．故选：C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．3.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（） A. 5- B. 5 C. 34i -+ D. 34i -【答案】A【解析】【分析】首先求出复数22z i =-+，再根据复数的代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解：由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题. 4.一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（） A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀 C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C 【解析】【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定故选：C【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3【答案】C 【解析】分析】现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士分别记为A 、B ，3名医生分别记为a 、b、c，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.【详解】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士记A、B，3名医生分别记为a、b、c，所有的基本事件有：(),A B、(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c、(),a b、(),a c、(),b c，共10种，其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有：(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c，共6种，因此，所求事件的概率为60.610P==.故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a>得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A. 这组新数据的平均数为mB. 这组新数据的平均数为a m+C. 这组新数据的方差为anD. 这组新数据的标准差为n【答案】D【解析】【分析】计算得到新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为n，结合选项得到答案.【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为n.故选：D【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.7.已知107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D，若()x y D∀∈,，2x y a+≤为真命题，则实数a的取值范围是A. [)5,+∞ B. [)2,+∞C. [)1,+∞ D. [)0,+∞【答案】A【解析】【分析】本题可先通过线性规划得出平面区域D，在解出2x y+的取值范围，最后得出a的取值范围．【详解】绘制不等式组107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域如图所示，令2z x y=+，结合目标函数2z x y=+的几何意义可得2z x y=+在点B处取得最大值，联立直线方程可得10770x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得4373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即47,33B⎛⎫⎪⎝⎭，则max472533z=⨯+=. 结合恒成立的条件可知5a≥，即实数a的取值范围是[)5,+∞，本题选择A选项．【点睛】求线性目标函数z ax by=+的最值，当b0>时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0<时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.解本题时，由线性规划知识确定2x y+的最值，然后结合恒成立的条件确定实数a的取值范围即可．8.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A. 183B. 182C. 123D. 243【答案】B【解析】【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•23π，联立解得：r，l，h22l r=-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh.【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23π，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22l r=-=62.该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh2=2.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）x=a的值为（）A. 4B. 12C.2eD. e【答案】C【解析】【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】由已知得()()2a f x g x x x''==，，设切点横坐标为t ，∴2alnt t a t t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.10.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 2y x =D.2y x = 【答案】C 【解析】分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ，由双曲线定义知122PF PF a -=，因为1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中，由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为2y x =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.11.已知函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点(0,1)B -，在区间(,)183ππ上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当12172,(,)123t t ππ∈--，且12t t ≠时，12()()f t f t =，则12()f t t +=（） A. 3 B. 1-C. 13【答案】B 【解析】分析：由题意，求得,w ϕ的值，写出函数()f x 的解析式，求函数的对称轴，得到12t t +的值，再求解()12f t t +的值即可.详解：由函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象过点(0,1)B -，所以2sin 1ϕ=-，解得1sin 2ϕ=-，所以6πϕ=-，即()2sin()6f x x πω=-，由()f x 的图象向左平移π个单位后得()2sin[()]2sin()66g x x wx w ππωππ=+-=+-，由两函数的图象完全重合，知2w k π=，所以2,w k k Z π=∈，又3182T w πππ-≤=，所以185w ≤，所以2w =，所以()2sin(2)6f x x π=-，则其图象的对称轴为,23k x k Z ππ=+∈，当12172,(,)123t t ππ∈--，其对称轴为73236x πππ=-⨯+=-，所以12772()63t t ππ+=⨯-=-，所以()1277295()2sin[2()]2sin 2sin 133666f t t f πππππ+=-=⨯--=-=-=-，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得12t t +的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（）A. 20B. 18C. 16D. 14【答案】C 【解析】【分析】先解()0g x =，求得()f x 的值，再根据函数的解析式，利用二次函数，函数的图象的平移伸缩变换及偶函数的图像性质作图，利用数形结合方法即可得到答案. 【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象，当02x <≤时，()()21f x x =- ,是抛物线的一段，当(]()()12,2,22,1,2,3,,22x x k k k f x f x >∈+=⋯=-时，,是由(]22,2,x k k ∈- 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到R 上的函数()f x 的图象，考察()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有6个和10个， ∴函数g(x)的零点个数为61016+=,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，涉及分段函数，函数的图象的平移，伸缩变换，函数的奇偶性，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则33S a ______.【答案】7 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21152a a q +=，31154a q a q +=，两式相除可得2312q q q +=+，解将12q =，12a =，1233331212712S a a a a a ++=++==.故答案为：7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 14.已知抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，过点P （2，1）的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则|AF |+|BF |＝_____. 【答案】10 【解析】【分析】因为P （1，2）是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）中点，则由中点坐标公式得x 1+x 2＝4，再利用抛物线焦半径公式得|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，进而求出|AF |+|BF |. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵P （2，1）是AB 中点， ∴122x x +=2，即x 1+x 2＝4. ∵F （3，0）是抛物线y 2＝12x 的焦点， ∴|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，则|AF |+|BF |＝x 1+x 2+3+3＝10，故答案为：10.【点睛】本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF |＝x 2p+，及其运算能力，属于基础题.15.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *），则S 100＝_____.【答案】5050 【解析】【分析】先由题设条件求出t ，再由2S n ＝a n （a n +1）得2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1），进而得出S n ，代入求S 100. 【详解】∵a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *）， ∴当n ＝1，有2S 1＝a 1（a 1+t ），即2＝1+t ，解得：t ＝1.∴2S n ＝a n （a n +1）①，又当n ≥2时，有2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1）②，∴①﹣②可得：2（S n ﹣S n ﹣1）＝a n （a n +1）﹣a n ﹣1（a n ﹣1+1），整理得：a n +a n ﹣1＝a n 2﹣a n ﹣12， ∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1＝1.所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，公差d ＝1的等差数列，∴其前n 项和S n ()12n n +=，∴S 100()10011002+==5050.故答案为：5050.【点睛】本题主要考查由数列的前n 项和与第n 项的关系式求其通项公式及等差数列前n 项和公式，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π 【解析】【分析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =所以球的表面积为254π5π=⎝⎭.故答案为：3；5π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，ABC ∆是等边三角形， D 是BC 边上的动点（含端点），记BAD ∠=α,ADC β∠=.（1）求2cos cos αβ-的最大值；（2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积. 【答案】(1)当α＝6π，即D 为BC 3233【解析】【分析】（1）由题意可得β=α+3π，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值．（2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB 的长度；进而求得三角形面积．【详解】（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋3π， 0≤α≤3π，故2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭3sin +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当α＝6π，即D 为BC 3（2）由cos β＝17 ，得sin β＝437，故sin α＝sin3πβ⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin βcos3π－cos βsin3π＝33，由正弦定理sin sinAB BDADB BAD=∠∠，故AB＝sinsinβαBD＝43733×1＝83，故S△ABD＝12AB·BD·sin B＝1832312323⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2.（1）求证：AB1∥平面A1CD；（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连AC1交A1C于点E，连DE.证明DE∥AB1，然后证明AB1∥平面A1CD；（2）∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角，可得 A1D⊥平面CDB1B，求出四棱锥的底面积与高，即可求解体积.【详解】（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE.因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，又D 是B 1C 1的中点，故DE ∥AB 1，又AB 1⊄平面A 1CD ，DE ⊂平面A 1CD ，故AB 1∥平面A 1CD.（2）由（1）知DE ∥AB 1，又C 1D ∥BC ，故∠C 1DE 或其补角为异面直线AB 1和BC 所成角. 设AC ＝2m ，则2211112C E m C D m DE =+=+=，，，故△C 1DE 为等腰三角形，故∠C 1DE ＝60°，故△C 1DE 为等边三角形，则有212m +=，得到m ＝1.故△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，故A 1D ⊥C 1B 1，又B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故A 1D ⊥B 1B ，又B 1B ∩C 1B 1＝B 1，故A 1D ⊥平面CDB 1B ，又梯形CDB 1B 的面积()11122223222CDB B S A D =⨯+⨯==梯形，，则四棱锥A 1﹣CDB 1B 的体积1111322233CDB B V S A D =⋅=⨯⨯=梯形. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型 1个月2个月3个月4个月总计A 20 35 35 10 100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑【答案】(1) ˆ29yx =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x +++++==，611191666i i y ==⨯=∑所以()1221ˆni i i n i i x y nxybx n x ==-==-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，1ˆˆ62 3.59ˆay bx =-=-⨯=，所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+. 当11x =时，211931ˆy=⨯+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，应该采购B 型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点22,2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .证明：直线PQ 与坐标轴平行.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，求解即可；（2）因为PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ 的方程为2x =或22y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）解：2a =，将22,2P ⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，得22222214b⎛⎫⎪⎝⎭+=，解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）证明：∵PQ 平分APB ∠ 欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为2x =或22y =只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B 为22,2-⎭，经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，1212222222PA PBy y k k x x --+=--((()()12211222222222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-- ((1221222222y x y x ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭))121212212222x x y y x y x y =-++++ ()12121221211112222222x x x m x m x x m x x m ⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭(()12122222m m x x x x=-+++(()222222220m m m m =-+-+-= 得证.【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题. 21.已知函数（R ）．（1）当14a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；（Ⅱ）[1ln 2,)-+∞【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中[2(12)]'()(1)(1)x ax a f x x x --=>-+，其单调性要对a 进行分类，0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，不合题意，故有0a >，按极值点112a-与0的大小分类研究单调性有最大值．试题解析：（1）当14a =时，21()ln(1)4f x x x x =++-，则11(1)()1(1)122(1)x x f x x x x x -=+-=>-++'，令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<， ∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)．（2）由题意[2(12)]()(1)(1)x ax a f x x x -->-+'=，（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ．（2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，2112x a=-，①当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意． ②当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1(1,)2a -+∞上单调递增，在1(0,1)2a-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =，要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102a <<，所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<． ③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在1(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增，在1(1,0)2a-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a-≤，代入化简得1ln 2ln 2104a a ++-≥，① 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11()(1)04g a a a =-'>恒成立，故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以12a >时，①式恒成立，综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞．考点：函数的单调性与最值．【名题点晴】本题实质考查导数的应用，主要围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，这类问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．要注意分类讨论时分类标准的确定，函数的最值与函数极值的区别与联系．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α= 【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值. 【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-=∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ= （2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ， ∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=.∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-. ∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α= ∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.[选修4-5：不等式选讲]23.已知0a >，0b >，22143a b ab +=+. （1）求证：1ab ≤；（2）若b a >，求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得2210,344>+=≥+ab a b ab ab ，可得()2134+≥ab ab ，解不等式可得证明；（2）由0b a >>，所以110->a b ，要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证221113++≥a ab b ，利用基本不等式可得证明；【详解】证明：（1）由条件，有2210,344>+=≥+ab a b ab ab ，所以()2134+≥ab ab ，即()24310--≤ab ab ，所以1ab ≤.（2）因为0b a >>，所以110->a b，要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证2211111113⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a ab b a b （*），只需证221113++≥a ab b 因为01ab <≤，所以221112133++≥+=≥a ab b ab ab ab，即（*）式成立，故原不等式成立.【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，熟练掌握基本不等式的性质进行证明是解题的关键.。

2020年重庆市高三学业检测(第二次)-文科数学(含答案、评分细则)

2020年重庆市高三学业抽测（第二次）文科数学一、选择题：1. 已知集合22{|230},{|log 1}A x x x B x x =--≤=>，则=B A YA ．(2)+∞，B ．]3,2(C ．]3,1[- D. ),1[+∞- 2. 欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，7πi 5e 表示的复数位于复平面中的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是A ．350B ．500C ．600D ．10004．已知点1(2,)8在幂函数()nf x x =的图象上，设3()3a f =，(ln π)b f =，2()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<5. 已知点22(sin,cos )33P ππ落在角θ的终边上，且02θπ∈（，），则θ的值为 A ．3π B ．23π C ．53π D ．116π6. 已知:p x k ≥，2:11q x <+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-7. 某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A ，2人来自社区B ，2人来自社区C ．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为频率组距0.005 0.01 分) 0.0075 0.0125 0.015 10 30 50 70 90 110 130 150 0.0025(第3题图)A ．35B ．34C ．710 D ．458.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->, 1()2f x =, 2()2f x =-,且12||x x -最小值为2π,若将()y f x =的图象沿x 轴向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得图象关于原点对称，则实数ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.3π D.712π 9. 设实数x 、y满足y =54y x +-的最大值为 A ．12- B ．2- C ．12 D ．210. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线C 交于M ，N 两点，若4PF MF =u u u r u u u r，则||MN =A ．32B ．3C ．92D ．911. 已知(34)2,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩对任意1x ，2(,)x ∈-∞+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，那么实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．4(,2]3D ．4(,4]312. 两球1O 和2O 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．3(2π B．4(2π C．6(2π D．12(2π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13. 设非零向量,a b r r 满足()a a b ⊥-r r r ，且||2||b a =r r，则向量a r 与b r 的夹角为________． 14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h (单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系式24.9 6.510h t t =-++，则该运动员在2t =时的瞬时速度是 (/)m s ．15. 设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin cos sin a B C b A C c +=，则ABC △外接圆的面积是．16. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若12||2||MF MF =,则双曲线C 的离心率为．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分为12分）一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：（Ⅰ）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：，，参考数据：514195i ii x y ==∑，．18．（本小题满分为12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31log ()n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．x y y x y x 7.71221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$$a y bx =-$521453.75i i x ==∑19.（本小题满分为12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：FD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若三棱锥B ADF -的体积为13，求点A 到面BDF 的距离．（第19题图）20.（本小题满分为12分）已知函数，．(为自然对数的底数)（Ⅰ）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知圆22:(2)24C x y ++=与定点(2,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若ABP∆为等边三角形，求直线l 的方程.ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF DE ∥AF FE ⊥222AF EF DE ===()()xf x e ax a =+∈R ()ln xg x e x =e 0x ≥()0f x >a 1a =-()()()M x g x f x =-[1,]e（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为(2,0)，直线和曲线交于、两点，求的值．23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知2()2f x x a =+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()15f x x +-≥的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式23()2x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.xOy l t O x C l C M l C A B 11||||MA MB +文科数学参考答案及评分意见一、选择题：15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::．二、填空题：13. 14．13.1- 15．π416三、解答题：17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算，1(120110907060)905y =++++=， (2)分则5152221419559.59032453.7559.5i ii ii x y nx ybxnx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$，$90329.5394a y bx =-=+⨯=$，所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+．.......................................6分（Ⅱ）设定价为元，则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-，其中，..............8分则232640.43033.8y x x =-+-，所以640.4102(32)x =-≈⨯-（元），........................11分为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．.......................................12分 18．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，..........................2分两式相减化简得13n n a a +=(2)n ≥，...................................................4分又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=．........................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n nn -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，.....8分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=y x x 7.7x ≥10所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-....................10分 11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．........................................12分19．解：（Ⅰ）证明：作DHAF ⊥于H ，∵，， ∴，∴，...............2分∵，∴，∴，∴，即，................4分∵面面，为两个面的交线，∴面．.....................6分（Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，，所以，又AD DF ==.............9分∴，2BDF S =V ，设点A 到面BDF 的距离为h ,则11332h =⨯，3h =．..12分 20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立， ∴若，则为任意实数时，恒成立；....................................1分若，恒成立，即在上恒成立，......................2分设，则，.....................................3分当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以当时，取得最大值，，所以的取值范围为，综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．...............5分AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH==45HDF ∠=︒2AF =1AH=45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DFAD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEFAB AD⊥AB ⊥ADEF111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB=BD =0x ≥()0f x >0x =()0xf x e=>0x >()0xf x e ax =+>xe a x >-0x >()x e Q x x =-22(1)()x x xxe e x e Q x x x--⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞（Ⅱ）依题意，，所以，....................................6分设，则，.......................................8分当，，故在上单调增函数，因此在上的最小值为，即，.................10分又，所以在上，，所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分 21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，.................................3分所以故轨迹方程为：． .................................................5分（Ⅱ）直线的方程为，联立消去得. 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有， ..................7分 ()ln xx M x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x =+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e()h x [1,]e (1)0h=1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0x e >[1,]e 1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g x f x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r =||||IC IM+=I ,C M 2a c ==b =E 22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631k k x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+设的中点为，则，，直线的斜率为（由题意知0k ≠），又P 为直线上的一点，所以 ,......................................9分当为等边三角形时，,解得，即直线的方程为或．.......................12分22．解：（Ⅰ）将222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=，............................2分将代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =，∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．........................5分（ii ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得2320t --=，设、两点对应的参数为、，则，，且12t t +=1232t t =-，∴16，.............................. ..........8分 ∴12=．..............................10分 23.解:（Ⅰ）当时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则得； .................................................2分AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆||||2PQ AB =223(1)31k k +=+1k =±l 20x y --=20x y +-=t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t =1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-得； ..................................................3分得， ....................................................4 分所以的解集为....................................5分（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，又因为，................................7分要使原不等式恒成立，则只需，由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。

重庆一中高2020级高三下期第二次周考(参考答案)

4 4k 2 1 4k 2
4 4k 2 4 k2
2
(1 k 2 )2
4
(1 4k 2 4 k 2 )2 5
2
当且仅当1 4k 2 4 k 2 k 2 1 k 1 时取等号 …………12 分
21 解 : （ Ⅰ ） m 1 时 , f (x) x2 2xlnx f /(x) 2x21 2x2 2x1(x0) f /(1) 1,k 1 xx
cos C
解：（I）由已知
2 sin
A sin C
, 即 cos C sin B
2sin
A sin Ccos B,
cos B
sin B
sin B C 2sin Acos B,
18．解：（Ⅰ）女生打分平均数 1（68+69+76+75+70 78+79+82+87+96 ）= 78 ， 10
又∵平面 SCD ⊥平面 ABCD , 平面 SCD ∩平面 ABCD CD , S 在平面 SCD 内
∴ SE 面ABCD ∴ SE 即为 S 到平面 BCQ 的距离,即 SE h ………………8 分
在 SCD 中, SC SD CD 2, ∴ SE 3
在直角梯形 ABCD 中,易求得: BC 3 ∵ M , N 为中点 ∴
MN // AB ∴ AB // 面MNPQ
又∵平面 MNPQ ∩平面 ABCD PQ ∴ AB // PQ ,
又
AB
BC, PQ
BC, SBCQ
1 2
BC
PQ
3 PQ 2
…………10 分
V ∴ QBCN
VNBCQ
V 1
2 SBCQ

重庆一中高2020级高三下学期期中考试试题(含标准答案)

秘密★启用前【考试时间：】2020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（含标准答案）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合{}22P x x x =+≥，{}3Q x Nx =∈≤，则P Q =I ( )A ．[1,2]-B ．[0,2]C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2. 已知向量(1,2)a =r ，(1,)b x =-r ，若a b r r∥ ，则b =r ( )A. 3B. C. 5D.3. 复数12z i =+，若复数1z 与2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =g ( ) A.B.C.D.4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( )A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学5. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )A ．0.7B ．0.4C ．0.6D ．0.36. 已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是m ，方差是n ，将这组数据的每个数都乘以(0) a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数是mB ．这组新数据的平均数是a m +C ．这组新数据的方差是an D．这组新数据的标准差是7. 已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D ，若对(,)x y D ∀∈都有2x y a +≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)5,+∞B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞5-534i -+34i -8. 将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )A． B． C． D． 9. 若函数ln )() (f x a x a R =∈与函数()g x =a 的值为( )A ．4B ．12 C ．2eD ．e10. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P的中点，O 是坐标原点，若1OF M ∆的周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距）且13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为( ) A．y x = B．y = C ．12y x =±D ． 2y x =± 11. 已知函数()2sin()(0,)2x f x πωϕωϕ+><=的图象过点(0,1)A -，且在(,)183ππ上单调，同时将()f x 的图象向左平移π个单位后与原图象重合，当12172,(,)123x x ππ∈--且12x x ≠时12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A． B ．1- C ．1 D12. 已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( ) A. 20B. 18C. 16D. 14第Ⅰ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则33S a =_________.14. 已知抛物线212y x =的焦点为F ，过点(2,1)P 的直线l 与该抛物线交于,A B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则AF BF +=_________.15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且2()n n n S a a t =+（, t R n N *∈∈），则100S = _________.16. 在三棱锥P ABC -中，2,1,90 PA PC BA BC ABC ︒====∠=，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是_________；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________. （本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（不含端点）记BAD ∠=α,ADC β∠=. （1）求2cos cos αβ-的最大值；（2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积.18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（1）求证：11AB A CD ∥平面；（2）若异面直线1AB 和BC 所成角为60︒，求四棱锥11A CDB B -的体积.19.（12甲公司前期的经营状况，对该公司2019月（5—10据绘制了相应的折线图，如右图所示.（1利润y （单位：百万元）与月份代码x 求y 关于x （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型1号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？参考数据：6196i i y ==∑ ；61371i i i x y ==∑.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅=--∑∑∑∑，ˆ.ˆˆay x b =- 20.（12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且经过点2P . （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，且与椭圆交于,A B 两点（异于点P ），过点P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q . 证明：直线PQ 与坐标轴平行.21.（12分）已知函数()()2ln 1,.f x x ax x a R =++-∈（1）当14a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若对于任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数). 以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C 、2C 于点,A B （,A B 异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α的值.23. [选修4—5：不等式选讲] （10分）已知0a >，0b >，22143a b ab+=+. （1）求证：1ab ≤；（2）若b a >，求证：3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 命题人：张露审题人：张志华付红12020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（参考答案）二、填空题13. 7 14. 10 15. 505016. 5 π三、解答题17.解：（1）,(0,)33ππβαα=+∈Q ，∴2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2(0,)(,)3333ππππαα∈∴+∈Q ，，故当32ππα+=·································· 6分（2）由cos β＝17 ，得sin β＝7，故sin α＝sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos 3π－cos βsin 3π＝14，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，得AB ＝sin sin βαBD ＝83，故S △ABD ＝12AB·BD·sin B ＝18123⨯⨯=. ·····································································12分18.（1）证明：如图，连1AC 交1A C 于点E ，连DE .因为直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形，故点E 是1AC 中点，又D 是11B C 的中点，故1DE AB ∥，又111,, AB ACD DE ACD ⊄⊂平面平面故11AB A CD ∥平面. ·····································（2）解：由（1）知1DE AB ∥，又1C D BC ∥，故1C DE ∠或其补角为异面直线1AB 和BC 所成角. 设2AC m =，则11C E C D DE ===1C DE ∆为等腰三角形，故160C DE ︒∠=，故1C DE ∆=1m =.故111A B C ∆为等腰直角三角形，故111A D C B ⊥，又11111111B B A B C A D A B C ⊥⊂平面，平面，故11A D B B ⊥，又1111B B C B B =I ，故11A D CDB B ⊥平面，又梯形1CDB B的面积11122CDB B S A D =⨯⨯==，则四棱锥11A CDB B -的体积1111233CDB B V S A D ==⨯=g . ·············································· 12分19. 解：（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x +++++==，y =6111961666i i y ==⨯=∑，所以616221ˆ=i ii i i x y nx ybx nx==-⋅=-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，162 3.59a y b x =-=-⨯=))).所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为29y x =+. ··················································· 6分由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当13x =时，213935y =⨯+=)（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元. ······················································································ 8分（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为12013523531042.35100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月），B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为21013024032042.7100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月）， 12x x <Q ，∴采购B 型新材料更好. ······················································································ 12分注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分。

【5月15日百强校重庆一中高三月考文数】重庆市第一中学2020届高三下学期5月月考文科数学试卷含答案

方程为（）
A． x2 y2 1
B． x2 y2 1 2
C． x2 y2 1 23
D． x2 y2 1 33
5．数列an 满足 a1 1， a2 3 ， an1 2n an n 1, 2, ，则 a3 （）
A．5
B．9
C．10
D．15
2x y 2≥0
6．设变量
x
A． a≥1
B． a≤1
C． a≥ 3
D． a≤ 3
3．当 0＜x＜1时，下列大小关系正确的是（）
A． x3＜3x＜log3 x
B． 3x＜x3＜log3 x
C． log3x＜x3
4．已知双曲线 C 的中心为原点，点 F 2 , 0 是双曲线 C 的一个焦点，点 F 到渐近线的距离为 1，则 C 的
13．已知 b 为实数， i 为虚数单位，若 2 b i 为实数，则 b ________． 1i
2
14．已知正项数列an 的前
n
项和为
Sn
，若以
an
,
Sn
为坐标的点在曲线
y
1 2
x
x
1
上，则数列an 的
通项公式为________．
15．在△ABC 中， AB AC AB AC ， AB 2 ， AC 1 ， E 、 F 为 BC 的三等分点，则 AE AF
（参考数据： sin15 0.2588 ， sin 7.5 0.1305 ）
A．12
B．18
C．24
D．32
11．已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限），若 AF 3FB ，则直
线 l 的斜率为（）

2020年重庆市第二次高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年重庆市省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（） A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）B.3D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。