数值分析实验一 插值与拟合1
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
数值分析实验插值与拟合
《数值分析》课程实验一：插值与拟合一、实验目的1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。
二、实验内容1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。
2. 设]5,5[,11)(2-∈+=x xx f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。
不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。
(2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。
三、实验步骤1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：⎩⎨⎧≠===ji j i x l ij j i ,0,,1)(δ的一组基函数{}ni i x l 0)(=，l i (x )的表达式为∏≠==--=nij j ji j i n i x x x x x l ,0),,1,0()(有了基函数{}ni i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为∑==ni i i n x l y x L 0)()((2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为1102110],,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-则n 次多项式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N差商表的构造过程：x i f (x i ) 一阶差商 二阶差商三阶差商 四阶差商x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0, x 1]x 2 f (x 2) f [x 1, x 2] f [x 0, x 1,x 2]x 3 f (x 3) f [x 2, x 3] f [x 1, x 2,x 3] f [x 0, x 1,x 2,x 3]x 4 f (x 4)f [x 3, x 4]f [x 2, x 3,x 4]f [x 1, x 2,x 3,x 4]f [x 0, x 1,x 2,x 3,x 4]试验结果：2. MATLAB程序实现：试验结果：3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ； （2）列表计算)2,,1,0(0n j xmi ji=∑=和∑==mi i j i n j y x 0),,1,0( ；（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =； （4）写出拟合多项式∑==nk kk n xa x p 0)(。
数值分析实验报告--插值与拟合及其并行算法
《数值分析》实验报告实验五、插值与拟合及其并行算法一．实验目的：1．学会拉格朗日插值， 分段线性插值或三次样条插值以及曲 线拟合等数值分析问题，通过 MATLAB 编程解决这些数 值分析问题，并且加深对此次实验内容的理解。
2．加强编程能力和编程技巧，练习从数值分析角度看问题， 同时用 MATLAB 编写代码。
二．实验要求：学会在计算机上实现拉格朗日插值，分段线性插值或三次 样条插值以及曲线拟合等数值分析问题，分析几种插值方法的异 同。
三．实验内容：分别用下列题目完成①：拉格朗日插值及其误 差分析 ②：三次样条 ③: 曲线拟合及其误差分析，实验要求。
四．实验题目： （1）已知 sin 30 D = 0.5 ， sin 45D = 0.707 1 ，sin 60 D = 0.866 0 ，用拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序求 sin 20D 的近似值，并估计其误差。
（2）观测得出函数 y=f(x)在若干点处的值为 f(0)=0, f(2)=16, f(4)=36, f(6)=54, f(10)=82 和 f＇(0)=8, f＇(10)=7, 试求 f(x)的三次样条函数,并计算 f(3)和 f(8)的近似值. （ 3 ） t=[2.1 7.9 10.1 13 14.5 15.3];r=[13.5 36.9 45.7 求出 r 与 t 之间的关系， 及三 57.3 62.78 74.9];根据给出数据， 种误差，并作出拟合曲线。
五．实验原理：（1）拉格朗日插值公式：P5 ( x) = ∑ y i l i ( x)i =05li ( x) =( x − x 0 ) " ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) " ( x − x n ) ( xi − x0 ) " ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) " ( xi − x n )（2）三次样条插值公式：Ｓn（x）=｛Ｓi（x）=a i x ＋b i x ＋c i x＋d i ， x ∈ ［x i −1 ，x i ］ ，i=1,2,….,n｝32（3）曲线拟合： 最小二乘法并不只限于多项式，也可以用于任何具体给出的函数 形式。
学生 实验一 拟合与插值
实验一拟合和插值教学目的１.了解最小二乘法的原理.２.通过实例的学习,懂得如何用拟合和插值的方法解决实际的问题,并能注意它们的联系与区别,会用Matlab来求解教学内容１.拟合与插值的原理及简单分类．２.相应问题的实例建模及用软件求解的实现．３.练习与上机实验的内容．插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。
绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
拟合：Zj2.m课堂练习与作业：1， 所有例题上机实现；P9 1.5 上机实现 2.4. 用下列数据拟合函数112223sin()k x y e k x x -=+中的参数12,k k 。
数据序号 y/kg x1/cm2 x2 x3 1 15.02 23.73 5.49 1.21 1415.94 23.52 5.18 1.98 2 12.62 22.34 4.32 1.35 15 14.33 21.86 4.86 1.59 3 14.86 28.84 5.04 1.92 16 15.11 28.95 5.18 1.37 4 13.98 27.67 4.72 1.49 17 13.81 24.53 4.88 1.39 5 15.91 20.83 5.35 1.56 18 15.58 27.65 5.02 1.66 6 12.47 22.27 4.27 1.50 19 15.85 27.29 5.55 1.70 7 15.80 27.57 5.25 1.85 20 15.28 29.07 5.26 1.82 8 14.32 28.01 4.62 1.51 21 16.40 32.47 5.18 1.75 9 13.76 24.79 4.42 1.4622 15.02 29.65 5.08 1.7010 15.18 28.96 5.30 1.66 23 15.73 22.11 4.90 1.8111 14.20 25.77 4.87 1.64 24 14.75 22.43 4.65 1.8212 17.07 23.17 5.80 1.90 25 14.35 20.04 5.08 1.5313 15.40 28.57 5.22 1.665. p163 5.6 结合上课ppt（数学建模实例：人口预报问题）。
数值计算插值法与拟合实验
dy0=-10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;dyn=10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);
plot(xx,m,'ok')
2、
程序：
x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]';
plot(xx,m,'ok')
第二个方程
程序
x=-5:0.2:5;
y=atan(x);
plot(x,y,'r');
hold on
x1=-5:1:5;
y1=atan(x1);
xx=-4.5:0.5:4.5;
yy=malagr(x1,y1,xx);
plot(xx,yy,'+')
dy0=1./(1+25);dyn=1./(1+25);
实验报告三
一、实验目的
通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。
二、实验题目
1、插值效果比较
实验题目：将区间 10等份，对下列函数分别计算插值节点 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与 的图形进行比较：
y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]';
plot(x,y,'or');hold on
%三.2:1.5;
y1=p1(1)*x1.^3+p1(2)*x1.^2+p1(3)*x1+p1(4);
数值分析计算实习题答案
数值分析计算实习题答案数值分析计算实习题答案数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行近似求解的学科。
在数值分析的学习过程中，实习题是一种重要的学习方式，通过实践来巩固理论知识，并培养解决实际问题的能力。
本文将为大家提供一些数值分析计算实习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数值分析的相关知识。
一、插值与拟合1. 已知一组数据点，要求通过这些数据点构造一个一次插值多项式，并求出在某一特定点的函数值。
答案：首先，我们可以根据给定的数据点构造一个一次插值多项式。
假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个一次多项式p(x) = a0 + a1x，其中a0和a1为待定系数。
根据插值条件，我们有p(x0) = y0，p(x1) = y1。
将这两个条件代入多项式中，可以得到一个方程组，通过求解这个方程组，我们就可以确定a0和a1的值。
最后，将求得的多项式代入到某一特定点，就可以得到该点的函数值。
2. 已知一组数据点，要求通过这些数据点进行最小二乘拟合，并求出拟合曲线的表达式。
答案：最小二乘拟合是一种通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线的方法。
假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个拟合曲线的表达式y =a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为待定系数。
根据最小二乘拟合原理，我们需要最小化误差平方和E = Σ(yi - f(xi))^2，其中yi为实际数据点的y值，f(xi)为拟合曲线在xi处的函数值。
通过求解这个最小化问题，我们就可以确定拟合曲线的表达式。
二、数值积分1. 已知一个函数的表达式，要求通过数值积分的方法计算函数在某一区间上的定积分值。
答案：数值积分是一种通过将定积分转化为数值求和来近似计算的方法。
假设给定的函数表达式为f(x)，我们可以将定积分∫[a, b]f(x)dx近似为Σwi * f(xi)，其中wi为权重系数，xi为待定节点。
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
数值分析中的插值和拟合
数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。
一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。
然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。
二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。
以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。
假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。
实验一 插值与拟合
实验一、数据插值与曲线拟合【实验目的】1．了解数据插值、曲线拟合的概念和原理。
2．掌握一维、二维的数据插值方法。
3．掌握多项式拟合方法和一般曲线拟合方法。
【实验内容】把题目和相应的完整命令写在实验报告上。
1．数据插值有什么插值方式？曲线拟合依据的基本原理是什么？数据插值与曲线拟合有什么不同点？2．某实验室对一根长10米的钢轨进行热源的温度在60秒内传播测试。
x:表示测量点，h:测量时间，t:测量得到的（1）用线性插值求出在25秒时3.6米处钢轨的温度。
（2）用样条插值求出在这60秒内每隔20秒，钢轨每隔1米处的温度。
3．用命令polyfit来验证课本《数学模型》第10页中“参数估计”部分式子（4）的各参数。
【相关知识说明】1．数据插值问题1：某气温测量站，在某一天的早上6时至傍晚5时内，每隔1小时测量一次气温，得到下表试估计在h=8.2，11.5，12.1，16.7时的气温值。
类似上面，在工程测量和科学实验中，往往测量出一批数据，例如n 个数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，这些数据点反映了一个函数关系()y F x =，然而我们并不知道()F x 的表达式是怎么样的。
数据插值的任务就是根据已测得的数据构造一个函数()y f x =，使得在(1,2,,)i x i n =处，有()()i i f x F x =，且在两个相邻的采样点之间，()f x 光滑过度。
数据插值的基本思路是构造一个相对简单的函数()y f x =，通过全部的数据点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，即(),1,2,,i i y f x i n ==。
再用()f x 来计算要插值的点。
（1）一维数据插值的命令（MATLAB 语言，下同）cx是需要插值的数据。
method为可选参数，表示要用什么方式来插值：注意：x的数据必须单调，cx不能超出x的范围。
（2）二维数据插值的命令现在我们来看怎么回答问题1，这是一维插值问题。
插值与拟合实验
（3）三次样条插值 y
比分段线性插值更光滑。
xi-1 xi
b x
a
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分 段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一
x
Matlab程序： ch608.m
4、用MATLAB做二维网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点的 函数值 插值 节点 被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取
称为拉格朗日插值基函数。特别的：
两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x1 x x2 y x x0 x x2 y x x0 x x1 y L2 x 0 1 2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
其中 a1, a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi, yi) 与曲线y=f (x)的距离i 的平方和最小 。 记 J (a1 , a2 , am )
数值分析实验插值与拟合
数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。
插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。
基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。
牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。
非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。
分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。
样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。
拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。
拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。
线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。
最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。
在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。
非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。
非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。
局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。
在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。
例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。
在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。
在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。
需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。
如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。
因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。
实验报告—拟合与插值
实验报告七拟合与插值一、曲线拟合1、多项式拟合【示例】以下步骤可对二维数据作多项式拟合。
已知：数据横坐标：a=[1 2 5 7 11 12];数据纵坐标：b=[ 32.78 32.65 27.25 25.55 19.24 14.65];【解】先将数据绘制成散点图：a=[1 2 5 7 11 12]; b=[ 32.78 32.65 27.25 25.55 19.24 14.65];plot(a,b, '-o') % 绘图，线型为实线，点型为空心圆点，颜色为默认的蓝色。
观察绘制出来的图形，大致在一条直线上，所以用一次多项式（直线）拟合：p= polyfit(a,b,1); y1=p (1)*a+p (2); % 线性拟合。
polyfit命令中的数字“1”表示用一次多项式。
% p是向量，各分量表示多项式从高到低的各个系数；y1是用这些系数构造的多项式的值。
hold on; plot(a,y1,'r') % 绘制图形，观察拟合效果。
颜色为红色。
也可以试着用三次多项式来拟合：q= polyfit(a,b,3); y2= q(1)*a.^3+q(2)*a.^2+q(3)*a+ q(4); % 3次多项式拟合hold on; plot(a,y2,'k') % 绘制曲线，观察拟合效果。
颜色为黑色。
【要求】执行以上命令，并仿照示例，对下列数据作多项式拟合，写出拟合多项式：数据横坐标：x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20];数据纵坐标：y= [70.2 41.6 -9.1 -52 -100 -67.4 -112 -166 -104 -168 -103 -128 -90.5 -52.1 -10.4 60.6 85.9 153 199 301];024681012141618202、一般的最小二乘拟合【示例1】已知数据横、纵坐标分别为x =1:0.5:10; y=[0.84 2.24 3.64 3.74 1.2701 -4.29 -12.11 -19.79 -23.97 -21.34 -10.06 9.09 32.19 52.76 63.32 57.69 33.38 -6.78 -54.40];并已知该组数据满足 12sin()ay x a x =，其中12,a a 为待定系数。
数值分析插值法与拟合实验
实验报告
一、实验目的
感受插值效果的比较以及拟合多项式效果的比较。
二、实验题目
1.插值效果的比较
将区间[-5,5]5等分和10等分，对下列函数分别计算插值节点错误！未找到引用源。
的值，进行不同类型的插值，做出插值函数的图形并与错误！未找到引用源。
的图形进行比较：
做拉格朗日插值。
2.拟合多项式实验
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数错误！未找到引用源。
和拟合函数的图形。
三、实验原理
拉格朗日插值和多项拟合插值的通用程序
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
(1)实验1中通过图象，可以很明显的辨别出拉格朗日插值并不是插值点越多图象就一定越精确，会有高阶插值的振荡现象。
(2)通过三个图象的对比，发现基本都是重合在一起的。
.三次多项式五次多项式拟合的平方误差分别为1.8571e-004和4.7727e-005，可知五次多项式拟合比三次多项式拟合更加准确。
但是后面去计算一下拟合所需要的时间，会发现拟合次数越大，时间越长，所以也不一定是次数越大越好，需要把时间也考虑进去。
数值分析中的插值与拟合
数值分析中的插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的技术，用于估计或预测数据集中缺失或未知部分的数值。
在本文中，我们将讨论插值和拟合的概念、方法和应用。
一、插值插值是通过已知数据点之间的连续函数来估计中间数据点的数值。
插值方法可以根据不同的数据和需求选择合适的插值函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值。
1.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
通过已知的n个数据点，可以构建一个n-1次的插值多项式。
这个多项式通过已知数据点上的函数值来准确地经过每一个点。
1.2 牛顿插值牛顿插值方法也是一种多项式插值方法，通过差商的概念来构建插值多项式。
差商是一个递归定义的系数，通过已知数据点的函数值计算得出。
牛顿插值可以通过递推的方式计算出插值多项式。
1.3 埃尔米特插值埃尔米特插值是一种插值方法，适用于已知数据点和导数值的情况。
它基于拉格朗日插值的思想，通过引入导数信息来逼近数据的真实分布。
埃尔米特插值可以更准确地估计数据点之间的值，并且可以保持导数的连续性。
二、拟合拟合是通过一个模型函数来逼近已知数据点的数值。
拟合方法旨在找到最适合数据集的函数形式，并通过最小化误差来确定函数的参数。
常见的拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和曲线拟合。
2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点到拟合函数的误差平方和来确定最佳拟合曲线或曲面。
最小二乘法适用于线性和非线性拟合问题，可以用于拟合各种类型的非线性函数。
2.2 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法。
通过多项式的线性组合来近似已知数据集的数值。
多项式拟合可以通过最小二乘法或其他优化算法来确定拟合函数的系数。
2.3 曲线拟合曲线拟合是一种用曲线函数来逼近已知数据点的拟合方法。
曲线函数可以是非线性的，并且可以根据数据的特点进行选择。
曲线拟合可以通过优化算法来确定拟合函数的参数。
三、应用插值和拟合在数值分析中有广泛的应用。
数值分析实验报告插值与拟合
结果分析：高次插值稳定性差，而低次插值对于较大区间逼近精度又不够，而且，随着节点的加密，采用高次插值，插值函数两端会发生激烈震荡。解决这一矛盾的有效方法就是采用分段低次代数插值。
（2）
通过采用分段线性插值得到以下结果：
结果分析：通过采用分段线性插值，发现随着插值节点增多，插值计算结果的误差越来越小，而且分段线性插值的优点是计算简单，曲线连续和一致收敛，但是不具有光滑性。
拟合是指通过观察或测量得到一组离散数据序列 ，i=1,2，…，m，构造插值函数 逼近客观存在的函数 ，使得向量 与 的误差或距离最小。
可知当基函数的选择不同时，拟合函数的误差也会不同，所以在对数据进行拟合时应选择适合的基函数。
三、练习思考
整体插值有何局限性？如何避免？
答：整体插值的过程中，若有无效数据则整体插值后插值曲线的平方误差会比较大，即在该数据附近插值曲线的震动幅度较大。在插值处理前，应对原始数据进行一定的筛选，剔除无效数据。
②相同点：通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的
四、本次实验的重点难点分析
答:加强了对插值和拟合的认识，了解了其算法思想，并使用matlab将其实现。学会了观察插值拟合后的图形，并分析其问题。
画图进行比较：
通过观察图像，经比较可知两结果是很接近的。
2．区间 作等距划分： ，以 （ ）为节点对函数 进行插值逼近。（分别取 ）
（1）用多项式插值对 进行逼近，并在同一坐标系下作出函数的图形，进行比较。写出插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系，并分析原因。
（2）试用分段插值（任意选取）对 进行逼近，在同一坐标下画出图形，观察分段插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系。
计算方法
《计算方法》实验指导书二级学院：专业：指导教师：班级学号：姓名：实验一插值与拟合1、实验目的：①通过用Matlab编程和插值与拟合中的某种具体算法解决具体问题，更深一步的体会数值分析这门课的重要性，同时加深对插值与拟合公式某种具体算法的理解。
②熟悉Matlab编程环境。
2、实验要求: 用Matlab和插值与拟合中的某种具体算法编写代码并执行，完成解决具体问题。
3、实验内容：4、题目：5、原理：6、设计思想：7、对应程序：8、实验结果：9、图形（如果可视化）10、实验体会：11、样例实验一牛顿插值实验目的：①通过用Matlab编程解决数值分析问题，更深一步的体会数值分析这门课的重要性，同时加深对牛顿插值公式的理解。
②熟悉Mat lab编程环境。
实验要求: 用Mat lab编写代码并执行，完成第一章34题（修改）。
实验内容：题目：构造适合下列数据表的牛顿插值公式：原理：牛顿三次插值公式P3=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)设计思想：由于牛顿三次插值公式是由多项式组成的，且存在极大的规律性：首先，从第二项看起，都是差商与x的表达式的乘积，所以有：P3=Y(1);a=0;b=( x-X(1) );然后：每循环一次，更新三者的值：a=CS(i,1); //CS为差商矩阵。
第一行为一阶差商，第二行为二阶差商，第三行为三阶差商。
（左三角阵）.P3=P3 + a*(b);b=(b) * ( x-X(i+1) );源代码：（图）对应程序：(建议用源文件来运行，因为直接粘贴，存在多文件和文件名的问题)disp('第一章34题：构造适合下列数据表的牛顿插值公式：')disp(' x -1 0 1 3 ')disp(' y -1 1 3 5')disp(' diff(y) 6 1')%三次牛顿插值公式为：% P3=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2) % = 1+2*x-1/12*(x+1)*x*(x-1)X= [-1 0 1 3];Y= [-1 1 3 5];CS=[100,100,100;100,100,100;100,100,100];for i=1:1:3CS(1,i)=( Y(i+1)-Y(i) )/( X(i+1)-X(i) );endfor i=1:1:2CS(2,i)=( CS(1,i+1)-CS(1,i) )/( X(i+2)-X(i) );endCS(3,1)=( CS(2,2)-CS(2,1) )/( X(4)-X(1) );CS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%syms P3syms xsyms bP3=Y(1);a=0;b=( x-X(1) );for i=1:1:3a=CS(i,1);P3=P3 + a*(b);b=(b) * ( x-X(i+1) );endfprintf('\n求得牛顿插值公式为：')P3fprintf('/****************************************/')实验结果：图形（牛顿插值公式）实验体会：本实验是第一次接触到这种新的软件。
数值分析插值与拟合实验
数值分析插值与拟合实验数值分析是一门研究利用数字计算方法解决数学问题的学科。
插值与拟合是数值分析的重要内容之一，可以用于数据分析、信号处理以及数学建模等领域。
本实验将使用MATLAB软件进行插值与拟合的实验，主要包括插值多项式与拟合曲线的构造，以及评价拟合效果的方法。
实验一：插值多项式的构造1. Lagrange插值Lagrange插值是一种构造多项式来拟合已知数据点的方法。
给定n 个数据点(xi, yi)，其中xi不相等，Lagrange插值多项式可以写成：P(x) = ∑(i=0 to n) yi * l_i(x)其中l_i(x)是Lagrange基函数，定义为：l_i(x) = ∏(j=0 to n,j!=i) (x-xj)/(xi-xj)通过计算l_i(x)，然后将其乘以相应的数据点yi，最后相加就可以得到插值多项式P(x)。
2. Newton插值Newton插值使用差商的概念来构造插值多项式。
首先定义差商F[x0,x1,...,xn]如下：F[x0]=f(x0)F[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)F[x0,x1,x2]=(F[x1,x2]-F[x0,x1])/(x2-x0)...F[x0,x1,...,xn] = (F[x1,x2,...,xn] - F[x0,x1,...,xn-1])/(xn-x0)其中f(x)是已知数据点的函数。
然后，利用差商来构造插值多项式：P(x) = ∑(i=0 to n) F[x0,x1,...,xi] * ∏(j=0 to i-1) (x-xj)通过计算差商F[x0,x1,...,xi]和对应的乘积∏(x-xj)，最后相加得到插值多项式P(x)。
实验二：拟合曲线的构造1.多项式拟合多项式拟合是通过构造一个多项式函数来拟合已知数据点的方法。
假设给定n个数据点(xi, yi)，可以使用多项式函数来表示拟合曲线：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, ..., an是待确定的系数。
《数值分析》课程实验报告范文
《数值分析》课程实验报告范文《数值分析》课程实验报告姓名：学号：学院：机电学院日期：2022年某月某日目录实验一函数插值方法1实验二函数逼近与曲线拟合5实验三数值积分与数值微分7实验四线方程组的直接解法9实验五解线性方程组的迭代法15实验六非线性方程求根19实验七矩阵特征值问题计算21实验八常微分方程初值问题数值解法24实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数的n+1个节点值。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。
t(分)051015202530354045505501.272.162.863.443.874.154.374.51 4.584.024.64二、要求1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为；3、打印出拟合函数，并打印出与的误差，；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、某绘制出曲线拟合图。
三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系四、实验步骤：第一步先写出线性最小二乘法的M文件functionc=lpoly(某,y,m)n=length(某);b=zero(1:m+1);f=zero(n,m+1); fork=1:m+1f(:,k)=某.^(k-1);enda=f＇某f;b=f＇某y＇;c=a＼b;c=flipud(c);第二步在命令窗口输入：>>lpoly([0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55],[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64],2)回车得到：an=-0.00240.20370.2305即所求的拟合曲线为y=-0.0024某2+0.2037某+0.2305在编辑窗口输入如下命令：>>某=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];>>y=-0.0024某某.^2+0.2037某某+0.2305;>>plot(某,y)命令执行得到如下图五、实验结论分析复杂实验数据时,常采用分段曲线拟合方法。
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数值分析实验一 插值与拟合组号 班级 学号 姓名 分数一：实验目的1、掌握计算多项式插值与拟合的方法。
2、掌握样条插值与拟合的方法。
3、通过实例学习插值方法与拟合方法的联系与区别。
二：实验内容及基本知识介绍插值的原理：函数()x f y = 在区间 ],[b a 上有定义，在点 b x x x a n ≤<≤ 10 上的值为n y y y ,,21 ，构造一个简单的函数()x P ，使 ()i i y x P = ),,1,0(n i =（1）成立，则()x P 就是插值函数，再利用 ()x P 计算插值，即()**x P y =拉格朗日多项式插值()0111a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- 插值基函数()⎩⎨⎧≠==j k jk x l k j ,0,1 ),,1,0,(n k j = （2） 可得到n 次插值基函数 ())())(()()())(()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- （),,1,0(n k =） 它满足条件（2），于是满足条件（1）的插值多项式 ()x L n可表示为()x L n ()∑==nk k k x l y 0 就是拉格朗日插值多项式。
拟合的原理：已知一组二维数据，即平面上的n 个点),(i i y x 3,,2,1 =i ,寻求一个函数()x f y = ，使 ()x f 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的最好。
三次样条插值的基本思路为：设在区间[a,b]上，已给n+1个互不相同的结点01n a b x x x =<<<=而函数()y f x =在这些结点的值()iif yx =，0,1,,.i n = 如果分段表示的函数S(x)满足下列条件，就称S(x)为f(x)的基点01,,,nx x x的三次样条插值函数，简称三次样条。
⑴S(x)在子区间[1,ii x x+]的表达式()i S x 都是次数不超过3的多项式；S x y=；⑵()i iS x在整个区间[a,b]有连续的二阶导数。
⑶()i三：实验问题及方法、步骤P=polyfit(x,y,k) 用k次多项式拟合向量数据（x,y），返回多项式的降幂系数。
当k>n-1时，polyfit实现多项式插值。
这里n是向量维数。
x+p(2)x+p(3)⑴二次拟合多项式p(1)2>> clear;x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]>> y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]>> p=polyfit(x,y,2)p =1.7432 -1.6959 1.0850⑵五次拟合多项式（等价于多项式插值）>> xi=-0.2:0.01:0.3>> yi=polyval(p,xi);subplot(2,2,1)>> plot(x,y,'o',xi,yi,'k')>> title('polyfit')绘制出的图像为（图1）>> p=polyfit(x,y,5)p =1.0e+003 *-1.8524 0.7560 0.0079 -0.0275 0.0010 0.0011>> yi=polyval(p,xi);subplot(2,2,2)>> plot(x,y,'o',xi,yi,'k')>> title('ployinterp')绘制出的图像为（图2）方法二样条插值和拟合>> clear;x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]pp=spline(x,y)x =0.1000 0.2000 0.1500 0 -0.2000 0.3000 y =0.9500 0.8400 0.8600 1.0600 1.5000 0.7200 pp =form: 'pp'breaks: [-0.2000 0 0.1000 0.1500 0.2000 0.3000]coefs: [5x4 double]pieces: 5order: 4dim: 1>> pp.coefsans =-36.3850 21.8592 -5.1164 1.5000-36.3850 0.0282 -0.7390 1.0600227.6995 -10.8873 -1.8249 0.9500-143.0047 23.2676 -1.2059 0.8600-143.0047 1.8169 0.0484 0.8400显示样条函数的五个分段三次多项式系数：()3232323236.38521.8592 5.1164(0.2) 1.5,0.2036.3850.02820.739 1.06,00.1227.699510.8873 1.8249(0.1)0.95,0.10.15143.004723.2676 1.2(0.2)(0.2)(0.1)(0.1)(0.15)(0.15)x x x x S x x x x x x x x x x x -+-++-≤≤-+-+≤≤=---+≤≤-+-++----32059(0.15)0.86,0.150.2143.0047 1.81690.0484(0.2)0.84,0.20.3(0.2)(0.2)x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎪-++-+≤≤⎩--Spline 使用“非扭法”端点条件，即强迫第一`第二段多项式三次项系数相同，最后一段和第二段三次项系数相同。
>> clear;x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3] y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72] >> pp=csape(x,y) pp =form: 'pp'breaks: [-0.2000 0 0.1000 0.1500 0.2000 0.3000] coefs: [5x4 double] pieces: 5 order: 4 dim: 1>> xi=-0.2:0.01:0.3 >> yi=ppval(pp,xi) >> fnplt(pp) 绘制出的图像图像若边界条件()()''''0.2 1.0,0.30.5,S S -==->> pp2=csape(x,y,'second',[1.0,0.5]);pp2.coefsans =当数据明显有误差，样条插值是不合适的，以下数据是带随机干扰的正弦曲线>> clear;close>> x=linspace(0,2*pi,21)>> y=sin(x)+(rand(1,21)-0.5)*0.1>> plot(x,y,'o');hold on;fnplt(csape(x,y))>> fnplt(csaps(x,y,0.8),'r:');hold off绘制出的图像可见，插值结果光滑性不好（图中实线曲线），拟合清除了噪声干扰（图中虚线曲线）。
四计算结果分析对于函数插值实验，由绘制出的图像可知在插值点处三次样条插值的结果最好。
插值多项式余项公式说明插值节点越多,误差越小，函数逐近越好，但事实并非如此，由实验中图1、图2比较可知,随节点个数n的增加,多项式插值误差不但没减小,反而不断的增大.这个例子最早是由runge研究,后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Ronge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时,对应的是高次插值多项式,此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Ronge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法,分段插值就是克服Rounge现象引入的一种插值方法.直观上，多项式插值误差大，多项式拟合不过数据点，分段线性插值不光滑，样条插值过数据点且光滑。
实用中,常用次数不超过5的低次分段插值多项式,而三次样条插值是在分段插值基础上的又一步改进。
五思考与提高拉格朗日插值是高次多项式插值（n+1各节点上用不超过n 次的多项式），插值曲线光滑，误差估计有表达式，但有震荡现象，收敛性不能保证。
这种插值主要用于理论分析，实际意义不大。
分段线性插值简单实用，收敛性有保证，但不光滑，三次样条插值的整体光滑性已大幅提高应用广泛，但误差估计困难。
综上所述，我们利用牛顿均差插值来克服拉格朗日的局限性（增加节点后前面的数据就失效）。
另外，当实际问题给出的不仅是节点的函数值，还有节点的导数值时，埃尔米特插值多项式可以满足节点处函数值及导数值与给定的值相等的要求。
有与给定的值增加了一倍，插值多项式的待定系数也增加了一倍，于是当节点数为n=1时，可唯一确定一个次数不产过2n+1的插值多项式。
为了克服函数拟合的以上缺点，一般采用以下措施： ①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合； ②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点i x 关于原 点对称，从而减低病态程度。