2018届四川省双流中学高三4月月考数学(文)试题(解析版)

2018届四川省双流中学高三4月月考数学（文）试题一、单选题1．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ）A. 4B.C.D.【答案】D 【解析】由，得.得，解得所以.故选D.2．已知集合，集合，若，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】集合，集合，若，则，所以，得. 此时集合.，所以故选A.3．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图象向右平移个单位后得到.此函数图象关于原点对称，所以.所以.当时，.故选D.点睛：由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．4．若，则（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由，可得.即.所以.故选D.5．已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，所以.故选D.6．函数()3ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4 【答案】B【解析】函数()3ln 8f x x x =+-在定义域内是增函数，故()()170,2ln20f f =-=根据零点存在定理得到，根所在区间为()1,2。

故答案选B 。

7．如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为 ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为故这个几何体的外接球的表面积为．故选C ．【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题．8．已知直线:l y m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（ ）A. 3+3B. 3+3-C. 9或3-D. 8或2- 【答案】A【解析】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为,所以332m d m -===±，选A 。

【点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式解决。

9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 19a =， 95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 4或5 【答案】B【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5，故选B ．10．四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA = E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ）A.B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，延长AD 到H ，使AD DH =，过P 作PG AH PG AH =，，F 为PG 的中点，连接BF ，FH ， BH ，则BFH ∠为异面直线BE 与PD 所成的角或者补角，在BFH 中，由余弦定理得cosBFH ∠== 故选C ．点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．11．已知函数()sin f x x x =+，若[]2,1x ∃∈-，使得()()20f x x f x k ++-=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A. []1,3-B. []0,3C. (],3-∞D. [)0,+∞ 【答案】A【解析】由于()1cos 0f x x ='+≥,函数为增函数,且()()f x f x -=-,函数为奇函数,故20x x x k ++-=,即22k x x =+在[]2,1-上存在.画出22y x x =+的图象如下图所示,由图可知, []1,3k ∈-,故选A .【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查利用导数研究函数的单调性,考查恒成立问题的解题思路.给定一个函数的解析式,首先要分析这个函数的定义域,单调性与奇偶性等等性质,这些对于解有关函数题目可以有个方向,根据基本初等函数的单调性要熟记.12．已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ， Q 两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A.13 B. 12 C. D. 【答案】C【解析】在PQF ∆中，设22,PF QF t == ()()1111,,,P x y Q x y --,右焦点E,由椭圆的对称性，知PFQE 是平行四边形，所以在PEF ∆中，由余弦定理得222225234EF t t t c =-==, 223,,3PF QF a t t a e +====，选C. 【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把PQF ∆，转化到焦点PEF ∆中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。

二、填空题13．已知实数，满足条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示：，得.令，平移直线至点A 时最大，此时.故答案为：.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如．求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如．14．已知是等比数列,若，,且∥,则_______.【答案】【解析】若，,且∥,则，由是等比数列,可知公比为..故答案为：.15．已知，，则__________．【答案】【解析】由，知，.因为，所以.所以..所以.故答案为：.16．已知点()1,0F c -， ()2,0(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时， a 的最小值为__________．【答案】4【解析】由于点G 是12ΔPFF 的外心，则G 在y 轴的正半轴上， 12GF GF λGP 0++=，则()1212GP GF GF GO λλ=-+=-，则P ， G ， O 三点共线，即P 位于上顶点，则12ΔPFF 的面积1282S b c bc =⨯⨯==，由222216a b c bc =+≥=，则a 4≥，当且仅当b c ==a 的最小值为4，故答案为4.点睛：本题考查向量的共线定理，基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题根据向量的共线定理，即可求得则P ， G ， O 三点共线，则P 位于上顶点，则bc 8=，根据基本不等式的性质，即可求得a 的最小值.三、解答题 17．已知数列满足，.（Ⅰ）求证：数列为等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（1）见解析.（2） . 【解析】试题分析：（1）由，可得，从而得证；（2）由，可用裂项相消法求和.试题解析： （1）∵，∴.又，∴，.∴是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，∴,∴.点睛：本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？（3）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．附：【答案】（1）；（2）；（3）有的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系【解析】试题分析：本题主要考查样本估计总体、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，有已知表格知：不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，所以；第二问，将7名学生用字母表示出来，用大小写字母将男生女生区分开来，任意抽取2名学生的所有情况全部表示出来，在其中选出符合题意的种数，计算出概率；第三问，利用已知的公式计算出，再根据表格判断是否有把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）设这7名学生为a ，b ，c ，d ，e ，A ，B （大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab ，ac ，ad ，ae ，aA ，aB ，bc ，bd ，be ，bA ，Bb ，cd ，ce ，cA ，cB ，de ，dA ，dB ，eA ，eB ，AB 共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴（Ⅲ）根据∴我们有99．9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系． 【考点】样本估计总体、概率．19．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，//,3,4,AD BC AB AD AC PA BC M =====为线段AD 上一点， 2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明： //;MN PAB 平面 （2）求四面体N BCM -的体积.【答案】（1）见解析（2）N BCM V -=【解析】试题分析：（1）取BP 的中点T ，连接,AT TN ，证得//TN BC ，得出//,TN AM TN AM =,即//MN AT ，再用线面平行的判定定理，即可作出证明；（2）根据题意，得出M 到BC 的距离为，得出BCM S ∆，再利用三棱锥的体积公式，即可求得三棱锥的体积. 试题解析：(1)证明：由已知得AM ＝AD ＝2，如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN//A M ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB. (2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA.如图，取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝＝.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为，故S △BCM ＝×4×＝2，所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝×S △BCM ×＝.点睛：本题主要考查了线面平行的判定和几何体体积的计算问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和空间几何体的体积公式的综合应用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，试题有一定的难度，属于中档试题. 20．已知函数()22ln f x x x ax =-+ ()a R ∈.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不同零点1x ， 2x ，且120x x <<，求证： 12'02x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中()'f x 是()f x 的导函数.【答案】（Ⅰ）y ＝2x －1；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（I ）利用导数的几何意义即可得出()f x 的图象在x 1=处的切线方程；（Ⅱ）由于()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()10A x ，， ()20B x ，，可得方程22ln 0x x ax -+=的两个根为1x ， 2x ，得到()()1212122ln ln x x a x x x x -=+--，可得()121212122ln ln 42x x x x f x x x x -+⎛⎫=- ⎪+'-⎝⎭，经过变形只要证明()2111222ln 0x x x x x x -+<+，通过换元再利用导数研究其单调性即可得出．试题解析：（Ⅰ）当a 2＝时， ()22ln 2f x x x x =-+， ()2'22f x x x=-+，切点坐标为()1,1，切线的斜率()'12k f ==，∴切线方程为()121y x -=-，即21y x =-． （Ⅱ）∵()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()10A x ，， ()20B x ，，∴方程22ln 0x x ax -+=的两个根为1x ， 2x ，则2111222220{? 20lnx x ax lnx x ax -+=-+=，两式相减得()()1212122ln ln x x a x x x x -=+--，又()22ln f x x x ax =-+， ()2'2f x x a x=-+，则()()1212121212122ln ln 44'2x x x x f x x a x x x x x x -+⎛⎫=-++=- ⎪++-⎝⎭，下证()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-（），即证明()2111222ln 0x x x x x x -+<+，令12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，即证明()()21ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立，∵()()()()()()()222221211114'111t t t u t t t t t t t -+---=+=-=+++，又01t <<，∴()'0u t >，∴()u t 在()0,1上是增函数，则()()10u t u <=，从而知()2111222ln0x x x x x x -+<+，故（）式0<，即12'02x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭成立.21．已知函数，. （Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）{x|−1≤x≤0}．（Ⅱ）(− ，2)． 【解析】【试题分析】(I)当时,利用零点分段法去绝对值,将不等式变为分段不等式来求得解集.(II)作出函数的图象和函数的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求得的取值范围. 【试题解析】（Ⅰ）若a=1，则不等式+≥3化为2−+|x −1|≥3．当x≥1时，2−+x −1≥3，即−x+2≤0，(x − )2+ ≤0不成立； 当x<1时，2−−x+1≥3，即+x≤0，解得−1≤x≤0． 综上，不等式+≥3的解集为{x|−1≤x≤0}．（Ⅱ）作出y=的图象如图所示，当a<0时，的图象如折线①所示，由，得+x −a −2=0，若相切，则Δ=1+4(a+2)=0，得a=− ，数形结合知，当a≤− 时，不等式无负数解，则− <a<0． 当a=0时，满足>至少有一个负数解．当a>0时，的图象如折线②所示，此时当a=2时恰好无负数解，数形结合知， 当a≥2时，不等式无负数解，则0<a<2． 综上所述，若不等式>至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是(− ，2)．。