利用数轴确定一元一次不等式组的解集

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9.3一元一次不等式组

知识要点：
1、掌握一元一次不等式组的不同形式，理解不等式组的解集的涵义。

2、会利用数轴准确的确定一元一次不等式组的解集。

体会数形结合的思想。

本节测试
（基础题）解下列不等式组：
（1）⎩⎨
⎧②＜－①＞－x x x 8270153
（2）⎩⎨
⎧≤②
－＞＋－①－－243213x x x x （3）⎩⎨
⎧≤≤②
＋＋①＋－x x x x 36275245
（4）⎩⎨
⎧②
＞－①－＞－3
43421x x x
答案解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴找它们的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．
（1）解不等式①，得x ＞5 解不等式②，得x ＞－2
在同一个数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-12所示：
∴ 这个不等式组的解集是x ＞5
（2）解不等式①，得x ≤－21，解不等式②，得x ＜23
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-13所示：
∴ 这个不等式组的解集是x ≤－21
（3）解不等式①，得x ≤3 解不等式②，得x ≥1
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-14所示：
∴这个不等式组的解集是1≤x≤3
（4）解不等式①，得x＜－3
7
解不等式②，得x＞3
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-15所示：
∴这个不等式组无解．
说明：（1）用数轴表示不等式组的解集，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．
（2）对于由两个一元一次不等式组成的不等式组，熟练以后，可直接根据它的四种基本情况确定不等式的解集．。

在数轴上表示一元一次不等式的解集

解
解得
y-1 ≤ 0 y≤1
-1 0 1 2 3 4 5
（4） y与5的差大于-2；
解
y-5 > -2
解得 y > 3
-1 0 1 2 3 4 5
求不等式
2+ x 2
≥
2x +1 3
的正整数解.
分析首先求出不等式的解集.然后求出正整数解.
解去分母，得 6+3x≥4x+2. 移项，合并同类项，得 x≤4. 正整数解为 1，2，3，4.
当
-1 0 1 x2 3 x 4 5 6
+
≤
由图可知，满足条2件的正整6数有 1，2，3，4，5，6.
≥
时
0
，
代
练习
1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） 4x -3 < 2x+7 ；
（2）
x
2
33 x 45
.
解（1）原不等式为 4x -3 < 2x+7
移项，得 4x-2x < 3+7
解不等式
2x -1
≥
10x+1 ，并把解集在数轴上表示出来.
6
解去分母，得 6(2x-1)≥10x+1.
去括号，移项，合并同类项得 2x≥7.
解得
x7
2
这个不等式的解集在数轴上表示如下图：
-2 -1 0 1 2 3 7 4
2
4.3 一元一次不等式的解法第2课时在数轴上表示一元一次不等式的解集
学习目标
1 掌握用数轴表示一元一次不等式的解集的方法。 2会求不等式的特殊解。
一个不等式的解集常常可以借助数

《一元一次不等式组》教学设计及反思.doc

《一元一次不等式组》教学设计及反思如东县岔河中学季卫东一、目标及目标解析1.目标（1）理解一•元一次不等式组、一元一次不等式组的解集等概念.（2）会解一元一次不等式组，并会用数轴或者口诀确定解集.2.目标解析达到目标（1）的标志是：学生能说出一无一次不等式组的特征.达到目标（2）的标志是：学生能解一•元一次不等式组，能在数轴上确定不等式组的解集，并获得解一元一次不等式组的步骤.三、教学重、难点：在数轴上找公共部分，确定不等式组的解集.四、教学过程设计1 .回顾交流上一节课我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，现在一起来交流-T2X-3<—的解题步骤及注意事项。

32 .提出问题形成概念【问题】用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，那么将污水抽完所用的时间的范围是什么？设问（1）：依据题意，你能得出儿个不等关系？设问（2）：设抽完污水所用的时间还是范围？学生根据所设未知数，列出所用的不等式.追问（1）:类比方程组的概念，把这两个不等式合起来，叫做什么呢？怎样表示？学生自学概念，说出表示方法。

强调：概念中“儿个”、“同一未知数”的含义。

练习：牛刀小试【思考】追问（2）:类比方程组的解怎样确定不等式组中x的值？（学生小组讨论）追问（3）：通过数轴，怎样得出不等式组的解集呢？学生练习，师点评:不等式组中各个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集. 追问（4）：什么是一元一次不等式组的解集？什么是解一元一次不等式组？当止白当碗今不等式组的解集有规律吗？」3.探究规律：求下列不等式组的解集（在同一•数轴上表示出两个不等式的解集，并写出不等式组的解集）：数轴解集归纳口诀\>3,/ >7.（2）-v<3, x<7.2x + 3> x+ \ 1 2x+5 | c 1 < 2 - A ：.3 飞>3,#<7.x< 3,x>7.要求：（1）请利用数轴确定不等式组的解集，标出公共部分；（2）请认真观察这四个不等式组的解集，小组交流，找出规律;（3）总结一元一次不等式组的解集的几种情况。

在数轴上表示一元一次不等式的解集(共4张PPT)

在数轴上表示一元一次不等式的解集
不等式的性质：
不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数(式)，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不等号的方要改变。
解不等式的步骤：
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
去移分项母：，4x去－括9x号≤9，－移24项＋，10合并同类项，系数化为1.
在移不数项等轴：式上4解解x表集－：示的9x一表≤去9元示－分一方24母次法＋不：1：0等2式(2的x解－集5)≤3(3x+2)－24
移不在项等数：式轴4的上去x性表－括质示9x一21≤号：9元－不：一2等4次4＋式不x1两－0等边1式5同的≤时9解x乘加集＋以上9或－除减2以去4一同个一正个数，(式不)，等不号等的号方的向方不向变不；变；
12
去不分等母式，的解去性括质集号2表：，不移示等项式如，两合下边并同：同时类乘项以，或系除数以化一为个1正. 数，不等号的方向不变；
34
求 x 7 1＜ 3x 2 的负整数解；
2
2
解：解不等式得 x﹥ 3 ， 2
-3
-2
-
3
-1
0
2
12
∴负整数解为x＝－1
34
不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数(式)，不等号的方向不变；-3 -2 -1 0
在不解数等：轴式去上的分系表性母数示质：一122化(：2元x不为－一等5次1)式≤不：3两(等3x边x式≥+同12的)时－解加乘2集4上以或减除去以同一一个个正数，(式不)，等不号等的号方的向方不向变不；变；
在数轴上表示一元一次不等式的解集
在移数项轴：上4移x表－项示9x一≤：9元－4一2x4－次＋不91x0等≤式9－的解24集＋10

一元一次不等式组的解法经典例题透析

经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。

思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。

解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。

所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。

总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。

有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。

解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。

即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。

所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。

思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。

解不等式组“四句诀”

方法点击解不等式组四口诀◎于化平对于一元一次不等式组解集的确定，利用数轴简单易行.为了便于记忆，根据不等式组解集的四种特点，并结合数轴归纳其口诀如下：第一诀：同大取大所谓“同大”是指不等式组化简后其形式是⎩⎨⎧>>，，b x a x 两不等式的符号都是大于号，为“同大”.如果b a <，那么这个不等式组的解集就是大于较大的数，即b x >，为“取大”.例1 （2015年苏州）解不等式组：⎩⎨⎧+>-≥+②.5)1(3① 21x x x ，解：解不等式①，得x≥1；解不等式②，得x ＞4.所以由“同大取大”得不等式组的解集为x ＞4．第二诀：同小取小所谓“同小”是指不等式组化简后其形式是⎩⎨⎧<<，，b x a x 两不等式的符号都是小于号，为“同小”.如果b a <，那么这个不等式组的解集就是小于较小的数，即a x <，为“取小”.例2 解不等式组：2(2)331 2. 2x x x +>⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，①② 解：解不等式①，得x ＜4；解不等式②，得x≤﹣1．所以由“同小取小”得不等式组的解集为x≤﹣1．第三诀：大小小大中间找形如不等式组⎩⎨⎧<>，，b x a x 已知b a <，则x 大于较小的数a 为“大小”，x 小于较大的数b 为“小大”，那么这个不等式组的解集是a<x<b ，即“大小小大中间找”.例3（2015年宁夏）解不等式组：3(2)6411. 3x x x x --≥⎧⎪⎨-+⎪⎩，①＞② 解：解不等式①，得x ≥2；解不等式②，得x ＜4.所以由“大小小大中间找”得不等式组的解集为2≤x ＜4.第四诀：大大小小找不到形如不等式组⎩⎨⎧><，，b x a x 已知b a <，则x 大于较大的数b 为“大大”，x 小于较小的数a 为“小小”，那么这个不等式组无解，即“大大小小找不到”.例4（2015年百色）解不等式组：⎩⎨⎧-<++≤+②.5312①)3(224x x x x ，解：解不等式①，得2 x ；解不等式②，得x ＞6.所以由“大大小小找不到”知不等式组无解.。

怎样求一元一次不等式组的解集

数学篇一元一次不等式组是初中阶段的基础内容.同学们在求解一元一次不等式组问题时普遍存在一个问题就是：虽然能分别求出不等式的解，但最后往往不能正确给出不等式组的公共解集.那么怎样准确求出一元一次不等式组的解集呢？下面介绍三种常用方法.一、数轴法数轴法，即利用数轴直观确定一元一次不等式组的解集.其基本解答思路是：首先，求出不等式组中每个不等式的解集；然后，在数轴上画出每个不等式的范围；接着，找出所有不等式的公共部分；最后根据公共部分，确定出该不等式组的解集.例1不等式组{8x -10>3x ，7x +6<2(3x +2)，的解集为.解：由8x -10>3x ，可得x >2;由7x +6<2(3x +2)，可得x <-2.把x >2和x <-2在数轴上表示出来，如图1所示，它们没有公共部分，所以该不等式组无解，即解集为空集.图1例2不等式组{x -3(x -2)≥4，1+2x >2(2x -1)，的解集为.A.x ≤1B.x <3C.1≤x <3D.空集解：由x -3(x -2)≥4，可得x ≤1;由1+2x >2(2x -1)，可得x <3.把x ≤1和x <3在数轴上表示出来，如图2所示，图2它们的公共部分为x ≤1，所以该不等式组的解集为x ≤1，故本题正确答案为A 项.评注：数轴法是确定不等式组解集的一种有效方法.在数轴上表示不等式的解集时，同学们要注意起点是实心点还是空心点.一般地，若不等式符号是“>”或“<”，则用空心点表示；若不等式符号是“≥”或“≤”，则用实心点表示.二、观解法观解法立足于数轴法却优于数轴法，它结合数轴箭头向右的特性，以及不等式组公共解集在数轴上呈现出两端向中间靠拢的特解题指南19数学篇征，将不等号开口方向统一向右.解题时，首先求出不等式组中每一个不等式的解集；然后，将所得解集中的不等式符号开口方向统一向右；接着，按照“左大右小”的原则，综合确定该不等式组的解集；最后，检查所求出的不等式组的解集，若不等式右边的数小于左边，则该不等式组无解.例3一元一次不等式组{6x -5≥x ，4x +3>2x -1，的解集是.解：由原不等式组可得{x ≥1,x <-2.将不等式符号的开口统一向右，可得{1≤x ,x <-2.根据“左大右小”原则，可知不等式组的解集为1≤x <-2.然而1≤x <-2并不成立，所以该不等式组无解.例4一元一次不等式组{48>7x -1≥6，8>-3x +2≥-15，的解集是.解：由原不等式组可得ìíîïï7>x ≥1，-2<x ≤173，不等式开口统一向右，可得ìíîïï1≤x <7，-2<x ≤173，根据“左大右小”原则，可知不等式组的解集为1≤x ≤173.评注：运用观解法解答不等式组问题，省去了“作图→看图→表达”这一过程，可以快速准确地确定出解集.解题时要注意把每个不等式符号开口方向统一向右，并严格依照“左大右小”的原则来确定解集，否则会影响解答结果.解集.它可以归纳为“同大取大，同小取小，小大大小中间寻，大大小小无解找”.其中，“同大取大”是指“不等式号同是大于号，不等式组的解集取较大的数”；“同小取小”是指“不等式号同是小于号，不等式组的解集取较小的数”；“小大大小中间寻”是指“小于大的数，大于小的数，不等式组的解集取这两个数之间”；“大大小小无解找”是指“大于大的数，小于小的数，不等式组无解，其解集为空集”.例5解不等式组：{5x -2>8，3x +1>10.解：由5x -2>8，可得x >2.由3x +1>10，可得x >3.联想“同大取大”口诀，该不等式组的解集为x >3.例6一元一次不等式组ìíîx -4≤3(x -2),1+3x >4()x -1,的解集是.A.x <5B.x ≥1C.1≤x <5D.空集解：由x -4≤3(x -2），可得x ≥1；由1+3x >4()x -1，可得x <5.联想“大大小小中间找”这一口诀，此一元一次不等式组的解集为1≤x <5，故本题应选C 项.评注：用口诀法确定一元一次不等式组的解集时，应当注意:如果不等式组中有一个不等式的解集是空集，那么这个不等式组的解集也是空集.综上所述，在求一元一次不等式组的解集时，数轴法一目了然，运用过程中要注意找准不等式组的公共部分；观解法快捷准确，运用时要注意统一不等式符号的方向；口诀法简单易行，运用时应在充分理解的基础上记解题指南。

解一元一次不等式口诀

求一元一次不等式组解集的口诀
解一元一次不等式组分两步：第一、“分开解”，即分别求各个不等式的解集.第二、“集中判”，将各个解集在数轴上表示出来，判定不等式组的解集. 对于一元一次不等式组的解集是利用数轴来求的,为了便于记忆，,我们不妨根据等式组解集的四种特点并结合数轴归纳其口诀,奉献给读者.
一、同大取大：即在一个不等式组的最后解集中，如果两个不等号都是大于号，则取较大数作为解集.
例：)(b a b x a x ⎩⎨⎧则不等式组的解集为：
x ＞a ，在数轴上表示为：如图1；
二、同小取小：即在一个不等式组最后的解集中，如果两个不等号
都是小于号，则取较小数作为解集.
例：)(b a b
x a x ⎩⎨⎧则不等式组的解集为：x ＜a ，在数轴上表示为：
如图2；
三、大小小大中间夹：即在一个不等式组最后的解集中，如果大
于号对的是小数而小于号对的是大数，则取两数中间的部分作为
集为.
例：)(b a a
x b x ⎩⎨⎧则不等式组的解集为：b ＜x ＜a ，在数轴上表示为：如图3；
四、大大小小无解答：即在一个不等式组最后的解集中，如果大于号对的是大数而小于号对的是小数，则这个不等式组无解. 例：)(b a b x a x ⎩
⎨⎧则不等式组无解，在数轴上表示为：如图4；因此得到求一元一次不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间夹，大大小小无解答.
图
3 图4。

如何确定不等式组的解集

如何确定不等式组的解集河北省唐山市丰南区银丰学校裴义明邮编 063300许多同学在解一元一次不等式组时,能顺利求出各不等式的解集,但最后往往不能正确给出不等式组的公共解集.那么怎样才能正确地确定不等式组的解集呢？通常可用数轴法和口诀法两种方法，以下结合实例对这这两种方法进行阐述，供同学们学习时参考。

一、数轴法运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集；找不到公共部分时，这个不等式组无解。

这种方法体现了数形结合的思想，既直观又不容易漏解。

例1、解不等式组⎩⎨⎧<->-;827,0153x x x 解：解不等式①，得5>x ；解不等式②，得2->x 。

在同一个数轴上表示出不等式①、②的解集（如图1），由图可知这两个不等式解集的公共部分为5>x ，所以确定此不等式组的解集为5>x 。

例2、解不等式组⎩⎨⎧->+--≤-;243,213x x x x 解：解不等式①，得21-≤x ；解不等式②，得23<x 。

在同一个数轴上表示出不等式①、②的解集（如图2），由图可知这两个不等式解集的公共部分为21-≤x ，所以确定此不等式组的解集为21-≤x 。

例3、解不等式组⎩⎨⎧+≤++≤-;3627,5245x x x x解：解不等式①，得3≤x ；解不等式②，得1≥x 。

在同一个数轴上表示出不等式①、②的解集（如图3），由图可知这两个不等式解集的公共部分为31≤≤x ，所以确定此不等式组的解集为31≤≤x 。

例4、解不等式组⎩⎨⎧>-->-;343,421x x x解：解不等式①，得3-<x ；解不等式②，得37>x 。

在同一个数轴上表示出不等式①、②的解集（如图4），由图可知这两个不等式解集没有公共部分，① ②①②① ②①②所以确定此不等式组无解。

微专题六一元一次不等式(组)的解法及其应用

20
B品牌运动服/件
30
累计采购款/元
10 200
(1)A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
解:(1)设 A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 x 元和 y 元.
根据题意,得
+ = ,
= ,
解得
= ,
+ = ,
∴A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 240 元和 180 元.
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
解:(2)①设购买儿童口罩 m 包,则购买成人口罩(5-m)包.
+ (-) ≥ ,
根据题意,得
解得 2≤m≤3.
+ (-) ≤ ,
∵m 为整数,∴m=2 或 m=3.∴共有两种购买方案:
-
解不等式 x-4<

,得 x<2,
则不等式组的解集为-3≤x<2,
∴不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.
一元一次不等式的应用
6.某商城的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行
销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表所示:
进货批次
第一次
A品牌运动服/件
故此商场至少需购进6件A种商品.
一元一次不等式组的应用
8.小明网购了一本课外书,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少25元”.乙说:“至多
22元,”丙说:“至多20元,”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为(
)
B
A.20<x<22
B.22<x<25

初中数学如何在数轴上表示一元一次不等式的解集

初中数学如何在数轴上表示一元一次不等式的解集在数轴上表示一元一次不等式的解集是一种常见的方法，它可以帮助我们直观地理解不等式的解集在数轴上的位置。

下面我将详细讲解如何在数轴上表示一元一次不等式的解集。

一元一次不等式的形式通常为ax + b < c 或ax + b > c，其中a、b 和c 是已知的实数，而x 是未知数。

我们将按以下步骤来在数轴上表示一元一次不等式的解集：步骤1：将一元一次不等式转化为标准形式-对于不等式ax + b < c，我们可以移项得到ax < c - b。

-对于不等式ax + b > c，我们可以移项得到ax > c - b。

这样，我们将不等式转化为了x 的标准形式。

步骤2：找到关键点-对于标准形式的不等式ax < c - b，我们需要找到关键点c - b，这是解集的分界点。

-对于标准形式的不等式ax > c - b，我们同样需要找到关键点c - b。

步骤3：在数轴上标记关键点-在数轴上标记出找到的关键点c - b。

步骤4：确定解的区域-对于不等式ax < c - b，解的区域位于关键点c - b 的左边。

如果不等式为≤，则解的区域还包括关键点上的点。

-对于不等式ax > c - b，解的区域位于关键点c - b 的右边。

如果不等式为≥，则解的区域还包括关键点上的点。

步骤5：标记解集-在数轴上根据步骤4中确定的解的区域标记解集。

可以使用箭头表示解集的方向。

需要注意的是，当a 的值为负数时，解的区域与上述步骤相反。

对于不等式ax < c - b，解的区域位于关键点c - b 的右边。

对于不等式ax > c - b，解的区域位于关键点c - b 的左边。

综上所述，用数轴表示一元一次不等式的解集的步骤如下：1. 将一元一次不等式转化为标准形式，得到x 的表达式。

2. 找到关键点c - b。

3. 在数轴上标记关键点。

4.3 第2课时在数轴上表示一元一次不等式的解集

（2）x233x45 . 解：(1)原不等式的解集为x<5，在数轴上表示为
-1 0 1 2 3 4 5 6
(2)原不等式的解集为x≤-11，在数轴上表示为：
-11
0
4. 先用不等式表示下列数量关系，然后求出它们的解集，并在数轴上表示出来：
（1）
x的
1 2
大于或等于2；
解：
1 2
x ≥ 2，
解得 x ≥ 4 .
其中正整数解有1和2.
当堂练习
1. 不等式x＞－2与x ≥－2的解集有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
2. 用不等式表示图中所示的解集．
x＜2 x≤2 x≥ -7.5
3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：（1） 4x-3 < 2x+7 ；
把表示2 的点Ａ
画成空心圆圈，表示解集不包括2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1) x＞－1
1
(2) x＜ 2
-1 0
01
用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画; >,<画空心圆.
问题2 在数轴上表示x ≤ 5的解集.
移项得：20y－8y≤21－8－16，
合并同类项得：12y≤－3，
把y的系数化为1得：y≤
1 4
在数轴上表示如下：
由图可知，满足条
件的最大整数是－1.
课堂小结
不等式解集的表示
解一元一次不等式
↓ →将解集在数
轴上表示
→找符合条件的整数解
↑
应用不等式的基本性质

第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组(教师版)

第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。

（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。

）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。

如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。

2、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。

4、解一元一次不等式组的一般步骤是:（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。

【典型例题】例1. 解不等式3(1)5182x x x +-+>-【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)，去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20，移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得．53x >∴不等式的解集为．53x >【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，；b x a=当a ＝0，b ≠0时，无解；当a ＝0，b ＝0时，x为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a>当a ＜0时，；b x a<当a ＝0，b ≥0时，无解；当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a<当a ＜０时，；b xa>当a ＝0，b ≤0时，无解；当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．5113x x -->解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4，系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x （单位：度）电费价格（单位：元/度）0＜x≤200a 200＜x≤400b x ＞4000.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a ，b 的值．（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式．【答案与解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，解得：x≤450．答：李叔家六月份最多可用电450度．【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关系是关键．例3. 解不等式组：，并求出正整数解。

2022年初中数学《一元一次不等式组的解法2》教案(推荐)

9．3 一元一次不等式组第1课时一元一次不等式组的解法1．理解一元一次不等式组及其解集的概念； 2．掌握一元一次不等式组的解法；(重点)3．会利用数轴表示一元一次不等式组的解集．(难点)一、情境导入你能列出上面的不等式并将其解集在数轴上表示出来吗？二、合作探究探究点一：在数轴上表示不等式组的解集不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜3，x ≥1的解集在数轴上表示为( )解析：把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共局部是1≤x C. 方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其公共局部在数轴上方应当是有两根横线穿过．探究点二：解一元一次不等式组解以下不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥1，x ＋2＜2x ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧3〔x ＋2〕＞x ＋8，x 4≥x －13.解析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共局部．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥1，①x ＋2＜2x .②解不等式①，得x ≥2，解不等式②，得x ＞2.所以这个不等式组的解集为x ＞2.将不等式组的解集在数轴上表示如下：(2)⎩⎪⎨⎪⎧3〔x ＋2〕＞x ＋8，①x 4≥x －13.②解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x ≤4. 所以这个不等式组的解集是1＜x ≤4. 将不等式组的解集在数轴上表示如下：方法总结：解一元一次不等式组的一般步骤：先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来，然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共局部．也可利用口诀确定不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找．探究点三：求不等式组的特殊解求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －12－2x －13＜13的整数解．解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的整数值即可．解：⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，①x －12－2x －13＜13.②解不等式①，得x ≤2，解不等式②，得x ＞－3.故此不等式组的解集为－3＜x ≤2，x 的整数解为－2，－1，0，1，2.方法总结：求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴．探究点四：根据不等式组的解集求字母的取值范围假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ≥0，1－2x ＞x －2无解，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ＜－1C ．a ≤1D ．a ≤－1解析：解第一个不等式得x ≥－a ，解第二个不等式得x ，所以－a ≥1，解得a ≤D. 方法总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：①解每一个不等式，把解集用数字或字母表示；②根据条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；③解这个不等式，求出字母的取值范围．三、板书设计一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧概念解法不等式组的解集⎩⎪⎨⎪⎧利用数轴确定解集利用口诀确定解集解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的根底之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共局部．教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证第2课时余弦和正切【知识与技能】1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义；2.能运用余弦、正切的定义解决问题. 【过程与方法】逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力. 【情感态度】在探索结论的过程中，体验探索的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快乐.【教学重点】掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题.【教学难点】灵活运用三角函数的有关定义进行计算.一、情境导入，初步认识问题我们知道，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比是否分别也是一个固定值呢？为什么？【教学说明】这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回忆，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取正确认知.二、思考探究，获取新知问题如图，在Rt △ABC和Rt △A B C''',中，∠C=∠C'=90°∠A =∠A'.求证：〔1〕ACAB=A CA B''''；〔2〕BCAC=B CA C''''【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.教师在学生探讨过程中，提出问题∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归纳.余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA ，即cosA =A bc ∠的对边＝斜边正切：在RtAABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，tanA =A aA b∠的对边＝∠的邻边.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.三、典例精析，掌握新知例1 在Rt△ABC中，∠C = 900，BC= 6，sinA = 35，求 cosA，tanB的值.分析与解由正弦函数定义及sinA = 35知，sinA =BCAB=35，又BC = 6，故AB = 10，所以AC = 22AB BC- = 8，从而 cosA = ACAB=810=4 5，tanB =8463ACBC＝＝.【教学说明】此题可先让学生独立完成，教师巡视指导，时时关注学生解题时是否能紧扣定义，即sinA = BCAB，cosA =ACAB，tanB= ACBC的运用是否得当，有没有出现混淆情形.例2在△ABC中，AB = AC = 20，BC = 30，试求 tanB，sinC 的值.【分析】由于∠B和∠C都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求出tanB，sinC的值，这样迫使我们要将∠B，∠C放到直角三角形中去，这时，过A作AD丄BC于D可到达这一目的，问题可逐步解决.解过A作AD丄BC于D. AB = AC，∴BD = CD = 12BC=12⨯30 = 15.又 AB = AC = 20，∴AD = 57，因此tanB = BCAC= 577153＝，sinC =AD577AC204＝＝.四、运用新知，深化理解1.分别求出以下直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求cosB,sinA,tanB的值.△ABC中，∠C=90°，cosB=〔1〕求cosA和tanA的值;〔2〕假设AB=5，求BC和AC的长.△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a,AB=c.〔1〕sinA与cosB的关系如何？为什么？〔2〕sin2A与cos2A的关系如何？说说你的理由〔sin2A=(sinA)2).〔3〕找出tanA与tanB的关系；〔4〕由〔1〕，〔2〕，〔3〕，你能发现什么有趣的结论？【教学说明】让学生通过对上述问题的思考，稳固所学知识，增强运用解决问题的能力.其中第2题在学生探究交流后，教师应予以评讲，让学生的分析能力和解决问题能力得到进一步开展.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】 1.〔1〕sinA =513，sinB =1213,cosA =1213,cosB =513,tanA=5 12tanB = 125.31313＝21313＝21313＝, cosB =313 13＝,tanA = 32,tanB = 23.2.解：tanA =BCAC = 34，AC = 8. ∴BC = 6，在△ABC 中，AB = 22AC BC += 10. ∴ cosB =63105＝，tanB = 8463＝. 3.解：〔1〕由于cosB = BC 1AB 3＝，设BC = x,那么AB = 3x.∴AC =22AB BC - = 22(3x)2x x -＝2.∴cosA = AC AB= 223,tanA =BC AC= 24.(2) 假设AB = 5，即3x = 5, ∴x = 53,∴BC = 53,AC = 1023.4.解：〔1〕sinA = cosB (2)sin 2A + cos 2A = 1 (3)tanA ·tanB = 1 (4)略五、师生互动，课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流. 【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回忆本节知识，理清例题思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材P 68～70习题28.1中选取.“课时作业〞局部.本节课的引入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.其次利用一个联系生活实际的问题，让学生对三角函数有关定义能够灵活运用.最后，应注重让学生用自己的语言归纳和表达经由探索得出的结论，引导学生对知识与方法进行回忆总结，形成良好的反思习惯，掌握高效的学习方法.。

一元一次不等式组解集数轴表示

一元一次不等式组解集数轴表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元一次不等式组是数学中常见的问题，通过解不等式组可以得到一个或多个解集，这些解集常常用数轴表示。

本文将介绍一元一次不等式组的概念、解的求法以及如何用数轴来表示解集。

一、一元一次不等式组的概念一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的集合，形式如下：ax + b < cdx + e <= fgx + h > i其中a、b、c、d、e、f、g、h、i为实数，且a、d、g不全为0。

不等式组的解是使得所有不等式同时成立的实数的集合。

1. 逐个不等式求解法：首先分别解每一个不等式，得到它们的解集，然后取所有解集的交集即为不等式组的解。

2. 图像法：将每个不等式表示在坐标系中，然后考虑它们的交集部分即为不等式组的解。

3. 系数比较法：通过比较不等式的系数大小关系，消去变量，从而得到更简单的一元一次不等式。

再通过解这个简单的不等式来得到原不等式组的解。

三、数轴表示解集数轴是一种用于表示数值大小和相对位置的图形工具，一维数轴上通常有一个原点和正、负两个方向。

我们可以使用数轴来表示一元一次不等式组的解集，具体步骤如下：1. 首先解出不等式组的解，得到形如[x1, x2]或(x1, x2)的解集。

2. 画出一条水平的数轴，数轴上标出各个解的值。

如果解是开区间，则在对应的点上画一个空心圆；如果解是闭区间，则在对应的点上画一个实心圆。

3. 根据解的相对位置，在相应的区间上用短线段连接起来，形成解集的表示。

4. 最后检查数轴上的解集是否符合原不等式组中每个不等式，如果符合则表示正确。

通过这种方法，我们可以直观地看到不等式组的解集在数轴上的位置关系，更容易理解和分析解的性质。

四、例题和解析解不等式组：x+1 < 32x-5 > 1我们首先通过逐个不等式求解的方法得到x的取值范围分别是(-∞, 2)和(3, +∞)，则不等式组的解集为(-∞, 2)∪(3, +∞)。

一元一次不等式组的解法及解集表示

一元一次不等式组的解法及解集表示一、学习目标1. 理解一元一次不等数组的定义及其解集的定义，2. 会解一元一次不等式组，并会在数轴上表示一元一次不等式组的解集。

一元一次不等式组的定义：把含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

解一元一次不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式。

1. 数轴法：利用数轴确定一元一次不等式组的解集：解题时在同一数轴上表示出不等式组中两个不等式的解集，再找出不等式解集的公共部分。

2. 口诀法：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”。

解一元一次不等式组的一般步骤：（1）分别解每一个不等式；（2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集；（3）写出不等式组的解集。

二、练习展示1.下列不等式组中是一元一次不等式组的是（）①{x+2<3xy>2②{x2+1>2xx<1③{2(x−1)>3xx≤−2④−4x≤x<5⑤{x−1>02x+3<0x−4>2x−1⑥{x+6≤11x>22.利用数轴求下列不等式组的解集①{x≥2x>−1②{x≤2x<−1③{x≥2x<−1④{x≤2x>−13.求下列不等式组的解集并在数轴上表示出来（1）{x−1<02x−5>1（2）{5x+9>−1 1−x≤0（3）{x −1>6(x +3)5(x −2)−1≤4(1+x) （4）{x−23<04−13x ≤−14x三、检测反馈1. 在下列各选项中，属于一元一次不等式组的是（）A. {x =13x −1<5B. {x 2−1>−3x −5<2xC. {x +y >7y −5x <−1 D. {2x 2+x ≤2(x 2−1)3x −1<52. 下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）A ．{x ≥2x >−3 B.{x ≤2x <−3 C.{x ≥2x <−3 D.{x ≤2x >−33. 不等式2(x −1)<6的正整数解是（）4. 不等式组{2x >1−x x +2<4−x 的解集为（）5. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来。

用数轴法确定不等式组的解集

课程解读
２１ｉ２０２－月ｆ
Ｊｉ用囝∞
黄永秋
确定不等式组的解集
⑩广西浦北县第六中学
不等式组是中学数学中一个非常重要的学习内容，是中也考数学中的一个常考点，时也是不少学生的失分点．教学同在条虚
㈩２＜３，ｃｒ％ｘ＋ｘ２２ｘ
一
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（） ‘ １ｌ≤ ，一
２ｘ－２≥ — ＋４；
（）ｘ３ｒ２＋‘
【ｘ２－２≤ — ＋４：
（）一４ｆ ≤２－，Ｘ
【０ｘ－ ≤ 一ｌ＜３－４
中，不少教师教会学生巧记口诀进行解答，用口诀时必须有利判定好不等式组的情形然后依据相应的口诀解答，求学生必要须熟练记忆和应用口诀，时它只适用于较为简单的不等式组同情形的解集确定，广度不高；推当然常传授的还是数轴法，用利数轴法解答时要求学生会在数轴上表达出每一不等式的解集，并准确地找出公共部分，同时准确地将它表达成不等式．而不然少学生并不能较好地利用数轴法进行有效解答，了帮助学生为熟练利用数轴法进行解答，者建议同学们依据数轴的箭头始笔终指向右边的特点，成良好的数轴观察与表达习惯；时用养同虚线在数轴上对每一个不等式的解集进行标记，而更直观地从