第五章 自动控制原理

ω L( ) dB
20 0
-20 1 T 20dB/dec 10 T
ω
渐近线
υ ( ) ω
90 45 0
ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
6．振荡环节 ω2 n ω2 n 将特殊点平滑连接起来，可得近似幅 G(s)= s2+2 ω n s+ n2 G(j )= 2- 2+j2 ω ω ω ωn ω ζ n ω ζ 相频率特性曲线。 2 ωn 1 A( )= 2 2 2 ω = 幅相频率特性曲线因ζ值的不同而异。 ζ ω2 ω ω ζ ω ( n - ) +(2 ω n )2 (1-ω 2 )2+( 2 ω )2 ωn n ζ ω -1 2 ω n Im υ ( )=-tg 2 2 (1) 奈氏图 ω ωnω 1 ω ∞ ω=0 0 Re A( )=1 υ ( )= 0o ω ω ω=0 ζ=0.8 ω n A( )= 1 υ ( )= -90o ω ω= ω 2 ζ ζ=0.6 ω=ω ζ=0.4 ω ω=∞ A( )=0 υ ( )= -180o ω
0
第二节 典型环节与系统的频率特性
(2) 伯德图
一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反 比 , 所以它们的伯德图对称于横轴。
对数幅频特性： L(ω )=20lg 1+( T)2 ω 相频特性曲线： 1 υ ( )= tg-ω T ω υ ( )= 0o ω ω=0 1 υ ( )= 45o ω ω= T ω ω→∞ υ ( )= 90o
当频率ω 从-∞变到+ ∞时，G(j ω)在由虚轴 与实轴构成的复平面上走过的轨迹即为极 坐标图
频率特性的作图之极坐标图
特点：曲线实轴对称 不便于徒手绘图
ω为隐变量 展示不清晰
频率特性的作图之对数坐标图
幅频特性曲 线
相频特性曲 线
对数幅频 特性曲线
伯德图
对数相频 特性曲线

对数幅频特性曲线 L()
n
第二节 典型环节与系统的频率特性
2 (2) 伯德图 ωn L(ω )=20lg 2 2 2 ω ω 对数幅频特性： ζ ω ( n - ) +(2 ω n )2 ω <<ω n L( )≈20lg1 =0dB L(ω ) dB ζ=0.1 ω 相频特性曲线： ζ=0.3 ω n )2 20 ζ=0.5 10 n >>( L( ) 2 ω ω ω υ ω n)=-tg-1≈ζ ω n (ω 0 ω ω 20lg2 ω ωn ζ=0.7 ω n2ω ω -20 =-40lgω n -40 υ ( )= 0o ω ω=0 -40dB/dec dA( ) ω =0 可求得o ω ω υ ( ) ω= d n υ ( )= -90 ω ω o υ ω r )= -180ζ 2 0 ω ω ( = n 1-2 ω=∞ ζ=0.1 精确曲线 ω 谐振频率 精确曲线与渐近线之间存在的误差与 ζ=0.３ ζ不同，相频特性曲线 -90 1 ζ值有关，ζ较小，幅值出现了峰值。 ζ=0.５ 谐振峰值 Mr= ζ 2 ζ 的形状有所不同：1- 2 -180
频率特性的数学表示
实频特性
虚频特性
幅频特性
相频特性
第一节 频率特性的基本概念
二 频率特性的几何表示法
频域分析法是一种图解分析法，常见的频
率特性曲线有以下两种。
1．幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线又 称奈奎斯特曲线 也称极坐标图 幅相频率特性曲线
ω
Im ω ∞ 0 Re
ω=0
频率特性的作图之极坐标图
第一节 频率特性的基本概念
定义频率特性为: G(j ) ω j G(jω) r(t) =|G(j )|e ω c(t) j ω υ( ) r(t)=Asin ωt =A( )e ω A 幅频特性： 0 A( )=|G(j )| ω ω t 相频特性： G(jω) A G(j ) ω υ ( )= G(j ) ω ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
2．积分环节 (1) 奈氏图 1 1 A( )=ω ω G(s)= s ∞ )= j 1 υ ( )= -90o ω G(j ω ω
ω=0 (2) 伯德图 ω L( ) dB 20 -20dB/dec 对数幅频特性： 0 1 L( )=20lgA(ω )=-20lgω -20 0.1 ω υ ( ) ω ω ω=1 L( )=-20lg1=0dB 0 0.1 1 ω=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB ω -90 υω 对数相频特性： ( )= -90o
R
第一节 频率特性的基本概念
RC电路的频率特性曲线
A(ω)
1A 0.8A 0.6A 0.4A 0.2A 0 1 T 2 T 0 -20 -40 -60 -80
Φ(ω)
3 T
4 T
5 T
ω
0
1 T
2 T
3 T
4 T
5 T
ω
频率特性可表示为： ω υ ( )=tg-1 Q( ) ω j ω υ( ) P( ) ω G(j )=A( )e ω ω ω A( )= P2( )+Q2( ) ω √ ω ω =P( )+jQ( ) ω
为方便只表示ω
纵坐标表示为：
-40dB/dec 0 1
lg ω ω
L( )=20lgA(ω ) ω 单位为 dB 对数相频特性
十倍频程 dec
υ ( ) ω
0.1 1
-20dB/dec
0 -90 -180
10
ω
对数频率特性曲线又称伯德图.

伯德图的优点
可以展宽频带 可以采用折线作图 可以叠加作图
频率特性的数学表示
图是以(1/2,jo) υ ( )= -45 ω ω A( )=0.707 为圆心， o 以1/2为半径的半圆。 ω=∞ ω -90 A( )=0 υ ( )=- o ω
1 ω= T
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
K G( s) Ts 1
Im
G ( j )
K Tj 1
频率特性 1 )= ω T+1 G(j ω j 电路的稳态输出: 1 -j ω T =1+( T)2 ur(t)=Asin ωt ω ω 1+( T)2 1 ω cs(t)= A 2 sin( t-tg-ω T) ω √ 1+( T)
幅频特性和相频特性 + + i 1u A( )=|G(j )| = C ω ur ω ω √ 1+( T)c2 -ω υ ( )= G(j ) =-tg 1 T ω ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
4．惯性环节 1 A( )= 1+( ω ω T)2 1 1 G(s)=Ts+1 G(j )= j T+1 ω ω 1 υ ( )= -tg-ω T ω (1) 奈氏图 取特殊点：ω=0 绘制奈氏图近似方法: 可以证明： Im ω A( )=1 υ ( )= 0o ω 根据幅频特性和相频特性求出特殊 ω=0 ω ∞ 1 0 -45 1 Re ω= T 点，然后将它们平滑连接起来。 惯性环节的奈氏
频率分析法的数学模型是频率特性。通 过对系统频率特性的分析来分析和设计控制 系统的性能。
一、频率特性的定义
二、频率特性的几何表示法
第一节 频率特性的基本概念
一 频率特性的定义
-j t j ω ωt r(t)=Asin+A e ω t c [t→∞ 系统的稳态响应为)|sin ω t+ G(j 1 e 系统结构图如图:s(t)=limc(t)=A 2 cs(t)=A|G(j ω R(s)ω)] C(s) G(S) ω A 设系统传递函数为 求待定系数: A1=G(s)s2+ 2 (s+j ω) s=-j ω 系统正弦信号作用下的稳态输出是与 U(s) ω A ω G(s)= (s-s )(s-s )·(s-s ) 特征方程的根 -j G(jω R(s)=s2)+ 2 · n 1 2 · ω 输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅 ω)| A = A|G(j e =G(-j -2j ω) ω U(s) 值之比为|G(jω)|,(s-s )(s-s -2j(s-s ) · A 2 稳态输出与输入间的相 C(s)=G(s)R(s)= )· j n ωs2+ · G(j ) ω 1 2 · 位差为∠G(jω)。 A =nA|G(j )|e AG(j A2 Bi ω ω) A 同理: = 2= 1 + 2j +∑ 2j s+j s-jω i=1 s–siG(jω) ω -j ωt ω j[ω t+ωG(jω)] j-j[ n 根据 G(-j )=|G(j-j )|e ω tω t+ G(jω)] t 拉氏反 e e +A -ee +∑ B esi cs(t)=A|G(j c(t)=A1 ω)| i 2 2j 变换得: i=1
实频特性
虚频特性
幅频特性
相频特性
频率特性的作图之极坐标图
当频率ω 从-∞变到+ ∞时，G(j ω)在由虚轴 与实轴构成的复平面上走过的轨迹即为极 坐标图
频率特性的作图之极坐标图
频率特性的作图之对数坐标图
幅频特性曲 线
相频特性曲 线
对数幅频 特性曲线
伯德图
对数相频 特性曲线

对数幅频特性曲线 L()
第二节 典型环节与系统的频率特性
5．一阶微分环节 G(s)=1+Ts A( )= 1+( T)2 ω ω
ω j G(j )= ω T+1 (1) 奈氏图 ω=0 ω A( )=1 υ ( )= 0o ω ω=∞ ω A( )=∞ υ ( )= 90o ω
tg-ω T υ ( )= 1 ω
Im
∞