中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第3章 函数及其图象 第2节 一次函数的图象及性质(精讲)课件
中考数学总复习 第一部分 基础篇 第三章 函数及其图象 考点11 一次函数课件
第三章 函数(hánshù)及其图象 11 一次函数
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目标(mùbiāo)方向
进一步理解正比例函数和一次函数的概念，能结合图象讨 论这些函数的基本性质，以及分析和解决(jiějué)简单的实际问题.
加深对一次函数与方程（组）及不等式的关系的理解，从 运动变化的角度更深层次地了解方程（组）及不等式等内 容，构建和发展相互联系的知识体系. 中考中多以选择题、填
空题、解答题以及与方程、不等式相结合的综合应用题形式考查 .
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考点聚焦
考点(kǎo diǎn)一 一次函数和正比例函数的定义
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考点(kǎo diǎn)二 一次函数的图象与性质
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考点(kǎo 三 diǎn) 一元函数解析式的确定
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考点四 一次函数与方程(fāngchéng)（组）及不等式的关系
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真题探源
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内容 总结 (nèiróng)
第一部分 基 础 篇。第三章 函数及其图象。目标方向。进一步理解正比例函数和一次函数的概念， 能结合图象讨论这些函数的基本性质，以及分析和解决简单的实际问题.加深对一次函数与方程（组）
中考数学总复习 第一部分 教材梳理 第三章 函数 第2节 一次函数
5. 一次函数的应用：一次函数的实际应用问题，一般要根据 题目所给的信息列出一次函数关系式，并从实际意义中找到对 应的变量的值，再利用待定系数法求出函数的解析式.
中考考点精讲精练
考点1 一次函数的图象和性质
考点精讲
【例1】两个一次函数y=ax+b和y=bx+a在同一直角坐标系中的
图象可能是
（）
思路点拨：对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，
是
A. y1+y2＞0 B. y1+y2＜0 C. y1-y2＞0 D. y1-y2＜0
（C ）
考点演练
5. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则
一次函数y=kx+k的图象大致是
（D）
6. 已知一次函数y=（2m+4）x+（3-n）. （1）当m,n是什么数时，y随x的增大而增大? （2）当m,n是什么数时，函数图象经过原点? （3）若图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围.
所以函数图象经过（0，2）和 （-2，0）. 此函数图象如答图1-3-2-1所示.
3. （2015梅州）如图1-3-2-2，直线l经过点A（4，0）， B（0，3）.求直线l的函数表达式. 解：∵直线l经过点 A（4，0），B（0，3）， ∴设直线l的解析式为： y=kx+b，有
限，y的值随x的值增大而增大；
（2）当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象 限，y的值随x的值增大而增大； （3）当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四 象限，y的值随x的值增大而减小； （4）当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四 象限，y的值随x的值增大而减小.
中考数学函数的知识点总结
中考数学函数的知识点总结一、函数的定义函数是一种对应关系，它把一个自变量的值对应到一个因变量的值。
数学上通常用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用图像、表格或者公式来表示。
在中考数学中，通常会涉及到函数的定义、定义域、值域、自变量、因变量等概念。
学生需要了解这些概念的含义和相互关系，并能够运用到实际问题中去。
二、一次函数一次函数是函数的一种特殊形式，它的表达式通常为f(x) = kx + b，其中k和b是常数。
一次函数的图像是一条直线，它的特点是斜率k和截距b。
在中考数学中，学生需要掌握一次函数的性质、图像和应用。
比如，如何根据函数的表达式确定它的斜率和截距，如何根据函数的图像求解实际问题等。
三、二次函数二次函数是函数的另一种特殊形式，它的表达式通常为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，它的特点是开口方向和顶点位置。
在中考数学中，学生需要掌握二次函数的性质、图像和应用。
比如，如何根据函数的表达式确定它的开口方向和顶点位置，如何根据函数的图像求解实际问题等。
四、复合函数复合函数是由多个函数组合而成的新函数。
它的表达式通常为h(x) = f(g(x))，其中g(x)和f(x)都是函数。
复合函数的运算需要遵循一定的顺序，通常是先计算内层函数再计算外层函数。
在中考数学中，学生需要掌握复合函数的概念和运算。
比如，如何根据给定的函数求解复合函数，如何根据复合函数的表达式求解函数值等。
五、函数的性质函数的性质是学生在中考数学中需要掌握的重点之一。
其中包括奇偶性、周期性、单调性、零点、极值点等性质。
学生需要能够根据函数的性质来分析函数的图像和应用问题。
六、函数的应用函数的应用是中考数学中常见的题型，通常涉及到实际问题的建模和求解。
比如，根据已知函数的表达式求解实际问题，或者根据实际问题建立函数并求解等。
在中考数学中，通常会涉及到生活中的各种实际问题，学生需要能够根据所学的函数知识来解决这些实际问题。
中考数学复习第三章函数讲义
第三章函数第一节函数及其图象【考点1】平面直角坐标系及点的坐标1. 在平面内两条且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系。
2. 建立了平面直角坐标系的平面称为坐标平面。
3.坐标平面内每一个点P都对应着一个坐标x和一个坐标y，我们称一对有序实数P(x，y)，即点P的坐标。
4. 平面直角坐标系中点的特征【考点2】函数的有关概念及其表达式1. 变量：某一变化的过程中可以取不同数值的量叫做变量。
2. 常量：某一变化的过程中保持相同数值的量叫做常量。
3. 函数：在某一变化的过程中有两个量x和y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是，y是因变量。
4. 函数的表示方法有：、、。
在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数。
5. 画函数图象的一般步骤：列表、、。
【考点3】函数自变量的取值范围与函数值【中考试题精编】 1. 在函数中3-x =y ，自变量x 的取值范围是 ( )A. x ≠3B. x ＞3C. x ＜3D. x ≥32. 王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料，如图是王芳离家的距离与时间的函数关系图象，若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）A. B. C. D.3. 函数1-x 2=y 中，自变量的取值范围是 。
4. 在函数x x y +-=31中，自变量x 的取值范围是 .5. 根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果是 。
第二节 一次函数【考点1】一次函数的概念如果y=kx+b (k,b 为常数，且 )，那么y 叫做x 的一次函数。
当b=0时，也就是y=kx(k ≠0)，这时称y 是x 的正比例函数。
【考点2】一次函数的图象和性质 的增大而减小【考点3】一次函数与一次方程和一次不等式的关系一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0) （1）当y=0时，一元一次方程kx+b=0(2) 当y ＞0或y ＜0时，一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0【提示】当一次函数中的一个变量的值确定时，可用一元一次方程确定另一个变量的值；当 已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值。
2024年中考数学总复习考点梳理第三章第二节一次函数的图象与性质
第二节 一次函数的图象与性质
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考情及趋势分析
考情分析
年份 题号 题型 分值 题干条件 考查知识点 结合知识点 溯源教材 教材改编维度
AB交直线y＝x 正比例函数
解答题(
正方形、图
2023 23
12 于点E，AC交直 图象上点的
/
/
三)
形旋转
线y＝x于点N 坐标特征
一次函数图象与
一次函数图
解答题(
1 教材改编题课前测 2 教材知识逐点过 3 广东近6年真题
第二节 一次函数的图象与性质
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广东近6年考情及趋势分析
命题点1 一次函数的图象与性质 (6年4考，常与反比例函数、二次函数结合考查) 课标要求 1.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b(k≠0) 探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况； 2.理解正比例函数．
①BO＝3，②BC＝CD
2019 23(2) 解答题(三) 2
y＝kx＋b
(－1，4)，(4，n)
2018 23(1) 解答题(三) 2
y＝x＋m
C(0，－3)
【考情总结】1.考查方法：均考查待定系数法确定解析式；
2.考查特点：除2018年考查代入一点来自标外，其余年份均考查代入两点坐标.
结合知识点 /
第二节 一次函数的图象与性质
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考情及趋势分析
考情分析
年份 题号
题型
分值 函数解析式
已知条件
2023 16(2) 解答题(一) 5
y＝kx＋b
(0，1)，(2，5)
2021 21(2) 解答题(二) 5
y＝kx＋b
①P(1，m)，②PA＝2AB
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第一节函数及其图象精试题
第三章函数及其图象第一节函数及其图象怀化七年中考命题规律)标2021选择6函数自变量的取值范围求含有二次根式且位于分母的自变量的取值范围3填空13求函数值自变量的值，求函数的值36命题规律纵观怀化七年中考，有五年考察了此考点内容，并且以选择题、填空题的形式呈现，其中求函数自变量的取值范围考察了4次，平面直角坐标系考察了2次.命题预测预计2021年怀化中考，本课时的考察重点为求函数自变量的取值范围与函数图象的判断，可能会及其他知识结合，特别是及几何图形结合的图象，题型以选择题为主.,怀化七年中考真题及模拟)平面直角坐标系(2次)1．(2021怀化中考)在平面直角坐标系中，点(－3，3)所在象限是( B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2021怀化中考)如图，假设在象棋盘上建立直角坐标系，假设“帅〞位于点(－1，－2)，“馬〞位于点(2，－2)，那么“兵〞位于点( C)A．(－1，1) B．(－2，－1)C ．(－3，1)D ．(1，－2)求自变量的取值范围与函数值(5次)3．(2021怀化中考)函数y ＝x －1x －2中，自变量x 的取值范围是( C )A ．x ≥1B ．x>1C ．x ≥1且x≠2D ．x ≠24．(2021怀化中考)在函数y ＝2x －3中，自变量x 的取值范围是( D )A ．x>32B ．x ≤32C ．x ≠32D ．x ≥325．(2021怀化中考)函数y ＝1x －2中，自变量x 的取值范围是( A )A ．x>2B ．x ≥2C ．x ≠2D ．x ≤26．(2021怀化中考)函数y ＝x －3中，自变量x 的取值范围是__x≥3__．7．(2021怀化中考)函数y ＝－6x ，当x ＝－2时，y 的值是__3__．及实际相结合的函数图象(1次)8．(2021怀化一模)小敏家距学校1 200 m ，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开场她以v 1 m /min 的速度匀速行驶了600 m ，遇到交通堵塞，耽误了3 min ，然后以v 2 m /min 的速度匀速前进一直到学校(v 1<v 2)，你认为小敏离家的距离y 及时间x 之间的函数图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )9．(2021沅陵模拟)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．轮船在静水中的速度为15 km /h ，水流速度为5 km /h .轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h )，航行的路程为s(km )，那么s 及t 的函数图象大致是( C ),A ),B ),C ),D )10．(2021怀化考试说明)如图，在矩形中截取两个一样的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长与宽分别为y 与x ，那么y 及x 的函数图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )11．(2021中考预测)如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE ＝EF ＝FB ＝5，DE ＝12，动点P 从点A 出发，沿折线AD —DC —CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停顿．设运动时间为t s ，y ＝S △EPF ，那么y 及t 的函数图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )12．(2021怀化学业考试指导)在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中(铁块完全淹没于水中)，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度．如图能反映弹簧秤的读数y(单位：N )及铁块被提起的高度x(单位：cm )之间的函数关系的大致图象是( C ),A ) ,B ) ,C ) ,D )13．(2021 麻阳模拟)小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t(单位：s )，他及教练的距离为y(单位：m )，表示y 及t 的函数关系的图象大致如图2所示，那么这个固定位置可能是图1中的( D )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q14．(2021 中方模拟)点M(1－2m ，m －1)关于x 轴对称的点在第一象限，那么m 的取值范围在数轴上表示正确的选项是( A ),A ),B ),C ) ,D )15．(2021怀化二模)根据如下图的程序计算函数值，假设输入的x 的值为－1，那么输出的函数值为( A )A ．1B ．－2C .13 D ．3,中考考点清单)平面直角坐标系及点的坐标1．有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．【方法技巧】一般地，点P(a ，b)到x 轴的距离为|b|；到y 轴的距离为|a|；到原点的距离为a 2＋b 2.2．平面直角坐标系中点的坐标特征各象限点的坐标的符号特征 第一象限(＋，＋)；第二象限①__(－，＋)__；第三象限(－，－)；第四象限②__(＋，－)__ 坐标轴上点的坐标特征x 轴上的点的纵坐标为③__0__，y 轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为(0，0)各象限角平分线上点的坐标特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标④__互为相反数__对称点的坐标特征点P(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为(a ，－b)；点P(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为⑤__(－a ，b)__；点P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为P′(－a ，－b) 平移点的坐标特征将点P(x ，y)向右或向左平移a 个单位，得到对应点的坐标P′是(x ＋a ，y)或(x －a ，y)；将点P(x ，y)向上或向下平移b 个单位，得到对应点的坐标P′是(x ，y ＋b)或(x ，y －b)；将点P(x ，y)向右或向左平移a 个单位，再向上或向下平移b 个单位，得到对应点P′的坐标是⑥__(x ＋a ，y ＋b)或(x －a ，y －b)__，简记为：左减右加，上加下减函数的相关概念3．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量． 4．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．5．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量，就能相应地确定y 的一个值，那么，我们就说y 是x 的函数．其中，x 叫做自变量．函数自变量的取值范围表达式 取值范围 整式型 取全体实数 分式型，如y ＝ax分母不为0，即x≠0 根式型，如y ＝x 被开方数大于等于0，即x≥0分式＋根式型，如y ＝ax同时满足两个条件：①被开方数大于等于0即x≥0；②分母不为0，即x≠0函数的表示方法及其图象函数图象的判断近7年共考察3次，题型都为选择题，出题背景有：(1)及实际问题结合；(2)及几何图形结合；(3)及几何图形中的动点问题结合，设问方式均为“判断函数图象大致是〞．6．表示方法：数值表、图象、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观与便于抽象应用的特点．7．图象的画法：知道函数的表达式，一般用描点法按以下步骤画出函数的图象．(1)取值．根据函数的表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表．(2)画点．根据自变量与函数的数值表，在直角坐标系中描点．(3)连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象．8．函数表达式，判断点P(x，y)是否在函数图象上的方法：假设点P(x，y)的坐标适合函数表达式，那么点P(x，y)在其图象上；假设点P(x，y)的坐标不适合函数表达式，那么点P(x，y)不在其图象上．【方法技巧】判断符合题意的函数图象的方法(1)及实际问题结合：判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性；④看是否及坐标轴相交：即此时另外一个量为0.(2)及几何图形(含动点)结合：以几何图形为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路为设时间为t，找因变量及t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．(3)分析函数图象判断结论正误：分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．,中考重难点突破)平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】假设将点A(－4，3)先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到点A1，点A1的坐标为( )A．(－1，3) B．(－1，2)C．(－7，2) D．(－7，4)【解析】∵点A(－4，3)先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，∴点A1的坐标为(－1，2)．【学生解答】B1．在平面直角坐标系中，假设点P的坐标为(－3，2)，那么点P所在的象限是( B)A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限函数自变量的取值范围【例2】(2021原创)函数y ＝xx －3－(x －2)0中，自变量x 的取值范围是________．【解析】根据题意得，x ≥0且x －3≠0且x －2≠0，解得x≥0且x≠3且x≠2.【学生解答】x ≥0且x≠3且x≠2【方法指导】对于分式、根式、零指数幂相结合型求自变量取值范围的，先求出各自变量的取值范围，然后取公共解集即可．2．(2021娄底中考)函数y ＝xx －2中自变量x 的取值范围是( A )A ．x ≥0且x≠2B ．x ≥0C ．x ≠2D ．x>2函数图象的判断【例3】(2021 营口中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，那么△APE 的面积y 及点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是( ),A ) ,B ) ,C ) ,D )【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2.①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ·2＝x(0≤x≤3)；②点P 在CD 上时，S △APE ＝S四边形AECD－S△ADP －S △CEP ＝12×(2＋3)×2－12×3×(x －3)－12×2×(3＋2－x)＝5－32x ＋92－5＋x ＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92(3<x≤5)；③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×(3＋2＋2－x)×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7(5<x≤7)，纵观各选项，只有A 选项图形符合． 【学生解答】A【方法指导】根据动点P 的运动路径A→D→C→E 可得，在计算△APE 的面积时应该分为3种情况，①当P 在AD 上时，②当P 在DC 上时，③当P 在CE 上时，分别计算出即可．要注意转折点有x ＝3时与x ＝5时．3．(2021广东中考)如图，在正方形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，那么△APC 的面积y 及点P 运动的路程x 之间形成的函数关系的图象大致是( C),A) ,B),C) ,D)。
中考复习第三章函数 第二节 一次函数及其应用
第二节一次函数及其应用命题点一次函数的实际应用1.(2020河南)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示.(1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;(2)求打折前的每次健身费用和k2的值;(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,选择哪种方案所需费用更少?说明理由.解析(1)∵直线y1=k1x+b过点(0,30),(10,180),∴{b=30,10k1+b=180,解得{k1=15,b=30.k1=15表示的实际意义:购买一张学生暑期专享卡后的每次健身费用为15元. b=30表示的实际意义:购买一张学生暑期专享卡的费用为30元.(2)由题意可得,打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元).k2=25×0.8=20.(3)选择方案一所需费用更少.理由如下:由题意可知,y1=15x+30,y2=20x.当健身8次时,选择方案一所需费用:y1=15×8+30=150(元),1 / 29选择方案二所需费用:y2=20×8=160(元),∵150<160,∴选择方案一所需费用更少.2.(2018河南)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表:销售单价x(元)85 95 105 115日销售量y(个)175 125 75 m日销售利润w(元)875 1 875 1 875 875(注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是80 元,当销售单价x= 100 元时,日销售利润w最大,最大是 2 000 元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?解析(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k≠0,由题意得{85k+b=175,95k+b=125,解得{k=-5,b=600.∴y关于x的函数解析式为y=-5x+600.当x=115时,m=-5×115+600=25.(2)80;100;2 000(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-5×90+600)×(90-a)≥3 750,解得a≤65.2 / 29答:该产品的成本单价应不超过65元.3.(2017河南)学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方.已知购买2个A种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.(1)求这两种魔方的单价;(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.解析第一种参考答案:(1)设A,B两种魔方的单价分别为x元,y元.根据题意得{2x+6y=130,3x=4y,解得{x=20,y=15.答:A,B两种魔方的单价分别为20元,15元.(2)设购买A种魔方m个,按活动一和活动二购买所需费用分别为w1元,w2元.依题意得w1=20×0.8m+15×0.4×(100-m)=10m+600,w2=20m+15(100-m-m)=-10m+1 500.①当w1>w2时,10m+600>-10m+1 500,∴m>45;②当w1=w2时,10m+600=-10m+1 500,∴m=45;③当w1<w2时,10m+600<-10m+1 500,∴m<45.3 / 29答:当45<m≤50时,活动二更实惠;当m=45时,活动一、二同样实惠;当0≤m<45(或0<m<45)时,活动一更实惠.第二种参考答案:(1)设A,B两种魔方的单价分别为x元,y元.根据题意得{2x+6y=130,3x+4y=130,解得{x=26,y=13.答:A,B两种魔方的单价分别为26元,13元.(2)设购买A种魔方m个,按活动一和活动二购买所需费用分别为w1元,w2元.根据题意得w1=26×0.8m+13×0.4(100-m)=15.6m+520,w2=26m+13(100-m-m)=1 300.∵15.6>0,∴w1随m的增大而增大,∴当m=50时,w1最大,此时w1=15.6×50+520=1 300.答:当0≤m<50(或0<m<50)时,活动一更实惠;当m=50时,活动一、二同样实惠.4.(2016河南)学校准备购进一批节能灯,已知购买1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;购买3只A型节能灯和 2只B型节能灯共需29元.(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.解析(1)设一只A型节能灯的售价是x元,一只B型节能灯的售价是y元.依题意得{x+3y=26,3x+2y=29,解得{x=5,y=7.答:一只A型节能灯的售价是5元,一只B型节能灯的售价是7元.(2)设购进A型节能灯m只,则购进B型节能灯(50-m)只,设总费用为w元. 依题意得w=5m+7(50-m)=-2m+350.∵-2<0,∴当m取最大值时,w有最小值.又∵m≤3(50-m),∴m≤37.5.而m为正整数,∴当m=37时,w最小=-2×37+350=276.此时50-m=50-37=13.4 / 295 / 29答:最省钱的购买方案是购进37只A 型节能灯,13只B 型节能灯.考点一 一次函数、正比例函数的概念一般地,如果① y=kx+b (k ≠0,k,b 是常数),那么y 叫做x 的一次函数,当b=0时,一次函数y=kx(k ≠0)叫做正比例函数.考点二 一次函数的图象与性质1.一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是一条② 直线 ,它经过(0,b)和③ (-bk ,0) 两点;正比例函数y=kx(k ≠0)的图象是一条过④ 原点 的直线.图象k>0k<0正比例函数y=kx(k ≠0)一次函数y=kx+b(k ≠0)b>0b<0b>0b<0图象经过第一、二、三象限图象经过第⑤ 一、三、四 象限图象经过第一、二、四象限图象经过第二、三、四象限性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而⑥ 减小2.一次函数y=kx+b(k ≠0,k,b 为常数)的图象与正比例函数y=kx(k ≠0)的图象的关系 一次函数y=kx+b(k ≠0,k,b 为常数)的图象可以看作是由直线y=kx(k ≠0)向上(下)平移⑦ |b| 个单位长度得到的.当b>0时,将直线y=kx(k ≠0)向上平移|b|个单位长度得到直线y=kx+b(k ≠0);当⑧ b<0 时,将直线y=kx(k ≠0)向下平移|b|个单位长度得到直线y=kx+b(k ≠0).6 / 29←向上或向下平移|b|个单位长度→3.一次函数图象的平移简记为“左加右减,上加下减”.4.一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积如图,直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴的交点A 的坐标是⑨ (-bk ,0) ,与y 轴的交点B 的坐标是⑩ (0,b) .直线y=kx+b(k ≠0)与两坐标轴所围成的三角形是以原点 为直角顶点的直角三角形,所以直线y=kx+b(k ≠0)与两坐标轴所围成的三角形的面积S=12OA ·OB=b 22|k|.考点三 一次函数解析式的确定1.常用方法:待定系数法.2.一般步骤:简记为“一设二列三解四代回”. 在同一个平面直角坐标系中:直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1= k2考点四一次函数与方程(组)、一元一次不等式1.一次函数与方程(组)的关系(1)一元一次方程ax+b=0(a≠0)的根就是一次函数y=ax+b(a,b是常数,a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.如图1,ax+b=0的根为x=xP.图1(2)两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解,以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点.如图2,方程组{y=k1x+b1,y=k2x+b2的解为{x=x P,y=y P.图22.一次函数与一元一次不等式7 / 29一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值y>0时对应的自变量x的所有取值,就是一元一次不等式kx+b>0的解集;一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值y<0时对应的自变量x的所有取值,就是一元一次不等式kx+b<0的解集.如图3,kx+b<0的解集为x<xP.图3考点五一次函数的实际应用1.利用一次函数解决实际问题的一般步骤(1)设定实际问题中的变量;(2)建立一次函数关系式;(3)确定自变量的取值范围;(4)利用一次函数性质解决问题.2.常考类型(1)根据实际问题列出一次函数解析式,再给出自变量的值,求函数值;(2)一次函数与不等式的应用结合,利用一次函数的增减性求最值,常涉及最低费用、最优方案等问题;(3)结合一次函数图象,通过分析每段函数图象,求其解析式.探究点一一次函数的图象与性质例1 (2018新乡一调)一次函数y=(k-2)x+3-k的图象经过第一、二、三象限,则k的取值范围是2<k<3 .▶思路导引根据题意画出一次函数图象观察图象的走向及与y轴交点的位置得出{k-2>03-k>0解不等式组,确定k的取值范围8 / 299 / 291-1 如图,直线l 是一次函数y=kx+b 的图象,若点A(3,m)在直线l 上,则m 的值为( C )A.-5B.32C.52D.71-2 一次函数y=ax-a(a ≠0)的大致图象可以是( A )解析 分两种情况:①当a>0时,一次函数y=ax-a 的图象经过第一、三、四象限; ②当a<0时,一次函数y=ax-a 的图象经过第一、二、四象限. 故选A.1-3 如图,一次函数y=mx+n 与y=mnx(m ≠0,n ≠0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( C )解析 ①当mn>0时,m,n 同号,直线y=mnx 经过第一、三象限,若m,n 同正,则直线y=mx+n 经过第一、二、三象限;若m,n 同负,则直线y=mx+n 经过第二、三、四象限.10 / 29②当mn<0时,m,n 异号,直线y=mnx 经过第二、四象限,若m>0,n<0,则直线y=mx+n 经过第一、三、四象限;若m<0,n>0,则直线y=mx+n 经过第一、二、四象限.故选C.1-4 已知一次函数y=(1+2m)x-3中,函数值y 随自变量x 的增大而减小,那么m 的取值范围是( C )A.m ≤-12 B.m ≥-12 C.m<-12 D.m>-12解析 因为函数值y 随自变量x 的增大而减小,所以1+2m<0,解得m<-12.故选 C.方法技巧 直线y=kx+b(k ≠0)的走向、一次函数的增减性和k 的正负三者之间具有对应关系;直线y=kx+b(k ≠0)与y 轴的交点位置与b 有对应关系.以上两点是解答一次函数图象与性质问题的重要依据.一般地,(1)一次函数图象经过的象限是由k,b 的符号决定的,一般分为四种情况:①k>0,b>0时,图象过第一、二、三象限;②k>0,b<0时,图象过第一、三、四象限;③k<0,b>0时,图象过第一、二、四象限;④k<0,b<0时,图象过第二、三、四象限.根据一次函数y=kx+b(k ≠0)中k,b 的符号可以确定图象所经过的象限,反之,根据函数图象所经过的象限,也可以确定k,b 的符号.(2)一次函数y=kx+b(k ≠0)的性质主要是指函数的增减性,即y 随x 的变化情况,它只与k 的符号有关,与b 的符号无关.探究点二 一次函数解析式的确定例2 已知y 是x 的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4.求这个一次函数的解析式.▶思路导引 设一次函数的解析式为y=kx+b(k ≠0)将x,y 的值代入解析式,列出方程组解方程组,得出k,b 的值把k,b 的值代回解析式解析 设所求一次函数的解析式为y=kx+b(k ≠0),将x=3,y=1和x=-2,y=-4分别代入y=kx+b 中,得{1=3k +b,-4=-2k +b,解得{k =1,b =-2.∴所求一次函数的解析式为y=x-2.2-1 无论m 取何值,点P(2m,m+1)都在某一条直线上,则这条直线的解析式为( D )11 / 29A.y=2x-1B.y=2x+1C.y=12x-1 D.y=12x+12-2 (2019河南期末)一次函数的图象经过点A(2,4)和B(-1,-5). (1)求出该一次函数的解析式;(2)判断点(-5,-4)是否在这个函数的图象上; (3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积. 解析 (1)设所求一次函数的解析式为y=kx+b(k ≠0), ∵一次函数的图象经过点A(2,4)和B(-1,-5), ∴{2k +b =4,-k +b =-5,解得{k =3,b =-2,∴该一次函数的解析式为y=3x-2.(2)由(1)知,该一次函数的解析式为y=3x-2,将x=-5代入此函数解析式中,得y=3×(-5)-2=-17≠-4, ∴点(-5,-4)不在这个函数的图象上. (3)由(1)知,该一次函数的解析式为y=3x-2, 令x=0,则y=-2,令y=0,则x=23,∴该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×2×23=23.2-3 如图,已知一次函数y=kx+b 的图象经过A(-2,-1),B(1,3)两点,并且交x 轴于点C,交y 轴于点D.(1)求该一次函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.解析(1)由一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,-1),B(1,3),得{-2k+b=-1,k+b=3,解得{k=43,b=53.所以该一次函数的解析式为y=43x+53.(2)把x=0代入y=43x+53得y=53,所以点D的坐标为(0,53),所以S△AOB =S△AOD+S△BOD=1 2×53×2+12×53×1=52.方法技巧利用待定系数法求函数解析式是确定一次函数解析式的常用方法.探究点三一次函数与方程(组)、不等式的关系例3 (2018洛阳洛宁三模)如图,函数y=2x和y=ax+4的图象交于点A(m,2),则不等式0≤ax+4≤2x的解集为( C )A.x≥1B.x≥2C.1≤x≤2D.x≤1▶思路导引把点A的坐标代入y=2x,求得m的值观察图象可知,函数y=ax+4的图象在x轴及其上方且在直线y=2x及其下方部分所对应的x的值,即0≤ax+4≤2x时所对应的x的值3-1 一次函数y=kx+b的图象如图,则不等式kx+b<0的解集是( D )12 / 2913 / 29A.x>-2B.x<-2C.x<-3D.x>-33-2 一次函数y=-3x+b 和y=kx+1的大致图象如图所示,其交点为P(3,4),则不等式kx+1≥-3x+b 的解集在数轴上表示正确的是( B )3-3 一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图,则下列结论:①当x<3时,y 1>0;②当x<3时,y 2>0;③当x>3时,y 1<y 2中,正确的个数是( C )A.0B.1C.2D.3解析 根据题中图象可知:①当x<3时,一次函数y 1=kx+b 的图象在x 轴上方,故y 1>0; ②当x<3时,y 2>0或y 2=0或y 2<0;③当x>3时,一次函数y 1=kx+b 的图象在一次函数y 2=x+a 的图象的下方,故y 1<y 2. 所以正确的有①和③.故选C.方法技巧通常根据图象在交点左右两侧的上下位置关系确定不等式的解集.探究点四一次函数的实际应用例4 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证100元,只限本人当年使用,凭证游泳每次再付费5元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数).(1)根据题意,填写下表:游泳次数10 15 20 (x)方式一的总费用(元) 150 175 ①200 …②5x+100方式二的总费用(元)90 135 ③180 …④9x(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元,则他选择哪种付费方式游泳次数比较多?(3)当x>20时,小明选择哪种付费方式更划算?请说明理由.解析(1)①200②5x+100③180④9x(2)方式一:5x+100=270,解得x=34.方式二:9x=270,解得x=30.∵34>30,∴小明选择方式一游泳次数比较多.(3)设方式一与方式二的总费用的差为y元.则y=(5x+100)-9x=-4x+100.当y=0,即-4x+100=0时,解得x=25,∴当x=25时,小明选择这两种方式一样划算.∵-4<0,∴y随x的增大而减小,∴当20<x<25时,y>0,小明选择方式二更划算;当x>25时,y<0,小明选择方式一更划算.14 / 294-1 (2019河南二模)小王是“新星厂”的一名工人,已知下列信息:信息一:工人工作时间为每天上午8:00-12:00,下午14:00-18:00,每月工作25天; 信息二:小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系如下表:生产甲产品数(件)生产乙产品数(件)所用时间(分钟)10 10 35030 20 850信息三:按件计酬,每生产一件甲产品得1.5元,每生产一件乙产品得2.8元;信息四:该厂工人每月的收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1 900元.请根据以上信息,解答下列问题:(1)小王生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟?(2)2020年1月工厂要求小王生产甲产品的件数不少于60,则小王该月的收入最多是多少元?此时小王生产的甲、乙两种产品的件数分别是多少?解析(1)设小王生产一件甲产品需a分钟,生产一件乙产品需b分钟.由题意得{10a+10b=350,30a+20b=850,解得{a=15,b=20.答:小王生产一件甲产品需要15分钟,生产一件乙产品需要20分钟.(2)设该月小王生产甲产品共用x分钟,则生产乙产品共用(25×8×60-x)分钟,生产甲产品x 15件,生产乙产品25×8×60-x20件.设小王该月的计酬工资为w元,则w=1.5×x15+2.8×25×8×60-x20=0.1x+12 000-x20×2.8=0.1x+1 680-0.14x=-0.04x+1 680,由x15≥60,得x≥900,15 / 2916 / 29由一次函数的增减性知,当x=900时w 取得最大值,此时w=-0.04×900+1 680=1 644, 则小王该月的收入最多是1 644+1 900=3 544(元), 此时生产甲产品90015=60(件), 生产乙产品25×8×60-90020=555(件).答:小王该月的收入最多是3 544元,此时生产的甲、乙两种产品的件数分别为60,555. 方法技巧 一次函数的实际应用有两种形式: 1.单独考查一次函数的实际应用:(1)当试题没有涉及一次函数图象时,往往通过以下步骤去解决问题:①设定实际问题中的自变量与因变量;②通过列方程(组)求一次函数关系式;③确定自变量的取值范围;④利用函数性质解决问题;⑤检验所求解是否符合实际意义;⑥答.(2)当试题涉及一次函数图象时,解决此类问题的关键:①要读懂函数图象中的横、纵坐标代表的量;②拐点:图象上的拐点,既是前一段函数图象的终点,又是后一段函数图象的起点,反映了函数图象在这一时刻开始发生变化;③水平线:函数值随自变量的变化保持不变;④交点:表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等,这个交点是函数值大小关系的“分界点”.根据以上四点再结合题设中已知的条件,运用一次函数的有关知识即可解答此类题.2.一次函数与方程(组)、不等式结合的实际应用:其解题关键是找出题中的等量关系,列出函数关系式.通常根据问题的实际意义列不等式来确定自变量的取值范围,再根据一次函数的性质解决问题.一、选择题1.下列函数:①y=-x;②y=2x+11;③y=x 2+x+1;④y=1x 中,一次函数有( C ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2.如果一次函数y=kx+b(k 、b 是常数,k ≠0)的图象经过第一、二、四象限,那么k 、b 应满足的条件是( B)17 / 29A.k>0,且b>0B.k<0,且b>0C.k>0,且b<0D.k<0,且b<03.(2020南阳一模)如图,直线y=-43x+4与x 轴,y 轴分别交于点A,B,把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△ACD,则点D 的坐标是( D )A.(3,4)B.(4,5)C.(7,4)D.(7,3)解析 如图所示,过点D 作DM ⊥x 轴于点M,则四边形ACDM 为矩形.当x=0时,y=-43x+4=4,∴OB=4; 当y=0,即-43x+4=0时,x=3,∴OA=3. 由旋转的性质可知,CD=OB=4,CA=OA=3, ∴OM=OA+AM=OA+CD=7,DM=CA=3, ∴点D 的坐标为(7,3).故选D.4.根据下表中一次函数的x 与y 的对应值,可得m 的值为( A )x 1 2 3 ym69A.3B.-3C.4D.-45.(2020郑州一模)已知一次函数y=-2x+1,当x ≤0时,y 的取值范围是( D ) A.y ≤1B.y ≥0C.y ≤0D.y ≥1解析 当x=0时,y=-2x+1=1.18 / 29∵k=-2<0,∴y 随x 的增大而减小, ∴当x ≤0时,y ≥1. 故选D.6.(2019平顶山三模)在平面直角坐标系中,若直线y=x+n 与直线y=mx+6(m,n 为常数,m<0)相交于点P(3,5),则关于x 的不等式x+n+1<mx+7的解集是( A ) A.x<3 B.x<4 C.x>4 D.x>6解析 ∵直线y=x+n(n 为常数)从左向右逐渐上升,直线y=mx+6(m 为常数,m<0)从左向右逐渐下降,且两直线相交于点P(3,5), ∴当x<3时,x+n<mx+6, 即x+n+1<mx+7.故选A. 二、填空题7.如图,已知一次函数y=-x+2的图象与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.若将直线y=-x+2沿x 轴向右平移两个单位长度,则平移后的直线的解析式为 y=-x+4 .8.如图,直线y=2x+4与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点,以OB 为边在y 轴右侧作等边三角形OBC,若将点C 向左平移,使其对应点C'恰好落在直线AB 上,则点C'的坐标为 (-1,2) .解析 令x=0,则y=2x+4=4,∴B(0,4). ∵△OBC 为等边三角形,∴C 在线段OB 的垂直平分线上,∴点C 的纵坐标为2.将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=-1.∴点C'的坐标为(-1,2).三、解答题9.(2020驻马店一模)为做好复学防疫准备,乐乐妈妈去药店为乐乐购买了口罩和免洗洗手液.已知一位顾客买了5包口罩和1瓶洗手液共花费112元,乐乐妈妈为乐乐买了8包口罩和2瓶洗手液共花费184元.(1)求1包口罩和1瓶洗手液的价格分别为多少元;(2)由于全班同学都需要防疫物品,乐乐妈妈想联合班内其他学生的家长进行团购,药店老板给出口罩的两种优惠方式:方式一:每包口罩打九折;方式二:购买40包口罩按原价,超出40包的部分打八折.设乐乐妈妈需要团购x包口罩,花费总费用为y元,请分别写出两种优惠方式中y与x的关系式;(3)如果每位家长为孩子准备8包口罩,那么乐乐妈妈根据团购家长的人数如何选择优惠方式?解析(1)设1包口罩m元,1瓶洗手液n元,根据题意得{5m+n=112,8m+2n=184,解得{m=20,n=12.答:1包口罩20元,1瓶洗手液12元.(2)由题意得y1=20×0.9x=18x,当0≤x≤40时,y2=20x,当x>40时,y2=40×20+(x-40)×20×0.8=16x+160,∴y2={20x(0≤x≤40), 16x+160(x>40).(3)当x≤40时,选择方式一.当x>40时,y1=18x,y2=16x+160,若y1<y2,即18x<16x+160,解得x<80,则选择方式一;若y1=y2,即18x=16x+160,解得x=80,则选择方式一和方式二均可;若y1>y2,即18x>16x+160,解得x>80,则选择方式二.80÷8=10(人).答:当团购家长的人数小于10时选择方式一,等于10时两种方式均可,大于10时选择方式二.19 / 29A组基础题组一、选择题1.(2020洛阳三模)若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则一次函数y=-bx+k的图象不经过(A)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则k<0,b>0,因而一次函数y=-bx+k的一次项系数-b<0,因而其图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A.2.(2020周口扶沟一模)数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题都可迎刃而解,且解法简洁.如图,直线y=3x和直线y=ax+b交于点(1,3),根据图象分析,方程3x=ax+b的解为(A)A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3解析∵直线y=3x和直线y=ax+b交于点(1,3),∴方程3x=ax+b的解为x=1.故选A.3.在一次函数y=(2m-1)x+1中,y随x的增大而减小,则它的图象不经过(C)A.第一象限B.第二象限20 / 2921 / 29C.第三象限D.第四象限解析 ∵在一次函数y=(2m-1)x+1中,y 随x 的增大而减小, ∴2m-1<0. 又1>0,∴一次函数y=(2m-1)x+1的图象经过第一、二、四象限, ∴一次函数y=(2m-1)x+1的图象不经过第三象限. 故选C.4.(2020河南模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,边长为3的正方形ABCD 的边BC 在x 轴上,AD 交y 轴于点F,一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象经过点C,且与线段AF 始终有交点(含端点),若BO=2CO,则k 的值可能为(C)A.23B.-12C.-32D.2解析 ∵BC=3,BO=2CO,∴CO=1,BO=2, ∴B(-2,0),C(1,0),∴A(-2,3),F(0,3),把C 点的坐标代入y=kx+b(k ≠0)中,得b=-k, ∴一次函数的解析式为y=kx-k, 当y=3,即kx-k=3时, 解得x=k+3k,∴一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与线段AF 的交点坐标为(k+3k,3).∵一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与线段AF 始终有交点(含端点), ∴-2≤k+3k≤0,22 / 29由函数图象知,k<0,∴-2k ≥k+3≥0, ∴-3≤k ≤-1,结合选项知选C.5.某快递公司每天上午9:00至10:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示,那么当两仓库快件数量相同时,此刻的时间为(B)A.9:15B.9:20C.9:25D.9:30解析 由题图可知,两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)都是一次函数关系,故可用待定系数法求出y 甲=6x+40,y 乙=-4x+240,令y 甲=y 乙,解得x=20,则两仓库快件数量相同时的时间为9:20.故选B.6.如图,点C 和B 分别在直线y=-3x 和y=kx 上,点A 、D 是x 轴上的两点,若四边形ABCD 是正方形,则k 的值为(D)A.3B.2C.23D.32解析 设点C 的横坐标为m,则点C 的坐标为(m,-3m),点B 的坐标为(-3m k,-3m),依题意,得-3m k-m=-3m,解得k=32,经检验,k=32是原方程的解,且符合题意.23 / 29故选D.7.一次函数y 1=k 1x+b 1的图象l 1如图所示,将直线l 1向下平移若干个单位长度后得到直线l 2,l 2的函数表达式为y 2=k 2x+b 2.下列说法中错误的是(B)A.k 1=k 2B.b 1<b 2C.b 1>b 2D.当x=5时,y 1>y 2二、填空题8.已知一次函数y=kx+b 的图象如图,则关于x 的不等式3kx-b>0的解集为 x<2 . 解析 把(-6,0)代入y=kx+b 中,得-6k+b=0,变形得b=6k,所以3kx-b>0可化为3kx-6k>0,即3kx>6k,由题图知k<0,所以x<2.9.如图,直线y=kx+b(k<0)经过点A(3,1),当kx+b<13x 时,x 的取值范围是 x>3 .解析 当x=3时,13x =13×3=1, ∴点A 在正比例函数y=13x 的图象上, 又正比例函数y=13x 的图象经过第一、三象限,∴当x>3时,正比例函数y=13x 的图象在y=kx+b 的图象上方,即kx+b<13x.10.当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,k 的取值范围是 1<k<3 . 解析 ∵直线经过第二、三、四象限,24 / 29∴{2-2k <0,k -3<0,解得1<k<3.三、解答题11.如图,已知过点B(1,0)的直线l 1与直线l 2:y=2x+4相交于点P(-1,a). (1)求直线l 1的解析式; (2)求四边形PAOC 的面积.解析 (1)∵点P(-1,a)在直线l 2:y=2x+4上,∴2×(-1)+4=a,即a=2,∴点P 的坐标为(-1,2),设直线l 1的解析式为y=kx+b(k ≠0),则{k +b =0,-k +b =2,解得{k =-1,b =1,∴直线l 1的解析式为y=-x+1. (2)∵直线l 1与y 轴相交于点C, ∴点C 的坐标为(0,1), 又∵直线l 2与x 轴相交于点A, ∴点A 的坐标为(-2,0),∴AB=3, ∵S 四边形PAOC =S △PAB -S △BOC ,∴S 四边形PAOC =12×3×2−12×1×1=52.12.如图1,某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系h=-310x+6,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图2所示.(1)求y 关于x 的函数关系式;(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.图1图2解析(1)设函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(0,6),(15,3)代入得{6=b,3=15k+b,解得{k=-15, b=6,∴y关于x的函数关系式为y=-15x+6.(2)对于甲:令h=0,解得x=20;对于乙:令y=0,解得x=30.∵20<30,∴甲先到达一楼地面.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴的正半轴上的点C处.(1)求AB的长;(2)求点C和点D的坐标;(3)y轴上是否存在一点P,使得S△PAB =12S△OCD?若存在,直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.25 / 29解析(1)令x=0,得y=4,∴B(0,4),∴OB=4,令y=0,得0=-43x+4,解得x=3,∴A(3,0),∴OA=3.在Rt△OAB中,AB=√OA2+OB2=5.(2)由折叠知AC=AB=5,CD=DB,∴OC=OA+AC=3+5=8,∴C(8,0).设OD=x,则CD=DB=x+4.在Rt△OCD中,CD2=OD2+OC2,即(x+4)2=x2+82,解得x=6,∴D(0,-6).(3)y轴上存在一点P,使得S△PAB =12S△OCD,点P的坐标为(0,12)或(0,-4).∵S△PAB =12S△OCD,∴S△PAB =12×12×6×8=12.∵点P在y轴上,∴S△PAB =12BP·OA=12,即12×3BP=12,解得BP=8,∴点P的坐标为(0,12)或(0,-4).B组提升题组1.如图,四边形ABCD的顶点分别为A(-4,0),B(-2,-1),C(3,0),D(0,3),当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时,直线l的解析式为(D)A.y=1110x+65B.y=23x+13C.y=x+1D.y=54x+3226 / 29解析由A(-4,0),B(-2,-1),C(3,0),D(0,3),可知AC=7,|yB |=1,|yD|=3,∴四边形ABCD的面积为12·AC·(|yB|+|yD|)=12×7×4=14,易得直线CD的解析式为y=-x+3.设过点B的直线l的解析式为y=kx+b(k≠0), 将B点的坐标代入得b=2k-1,∴直线l的解析式为y=kx+2k-1(k≠0),∴直线CD与直线l的交点坐标为(4-2kk+1,5k-1k+1),直线y=kx+2k-1与x轴的交点坐标为(1-2kk,0),∴7=12×(3-1-2kk)×(5k-1k+1+1),∴k=54或k=0(舍去),∴直线l的解析式为y=54x+32,故选D.2.(1)如图1,结合函数y=x-1的图象填空:y随x的增大而增大,当-1≤x≤3时,该函数的最大值为 2 ,最小值为-2 ;图1(2)根据学习函数的经验来探究函数y=|x-1|+1的最小值.x…-2-101234…27 / 29y…4321234…①若点A(a,n)和点B(b,n)是该函数图象上的两点,则a+b= 2 ;②在平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点,并根据描出的点,画出该函数的图象;图2③由图象可知,函数y=|x-1|+1的最小值为 1 ;(3)请结合a的取值范围判断方程|x-1|+1=a的解的个数.(直接写出结果)解析(1)增大;2;-2k=1>0,故y随x的增大而增大,当x=3时,y取得最大值,最大值为2,当x=-1时,y取得最小值,最小值为-2.(2)①2由函数的对称性并结合题表可知,相同的y值对应的x值的和为2,故a+b=2.②通过描点画出如下图象:③128 / 29由图象可知,函数y=|x-1|+1的最小值为1.(3)由上图知,当a<1时,原方程无解,当a=1时,原方程有1个解,当a>1时,原方程有两个不同的解(或有两个解).3.(2020北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由直线y=x平移得到,且经过点(1,2).(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值都大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.解析(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由直线y=x平移得到,∴k=1,将(1,2)代入y=x+b,得1+b=2,解得b=1,∴一次函数的解析式为y=x+1.(2)m≥2.当直线y=mx过点(1,2)时,m=2,∵当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值都大于一次函数y=x+1的值,∴m≥2.29 / 29。
数学一轮复习第三章函数及其图象第2节一次函数的图象与性质试题
——教学资料参考参考范本——数学一轮复习第三章函数及其图象第2节一次函数的图象与性质试题______年______月______日____________________部门课标呈现 指引方向1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
2．会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
3．能面出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式（）探索并理解和时，图象的变化情况。
b kx y +=0≠k 0>k 0<k 4．理解正比例函数。
5．体会一次函数与二元一次方程的关系。
考点梳理 夯实基础 1．一次函数的定义(1)一次函数的一般形式是（ 。
正比例函数的一般形式是（） 。
b kx y +=0≠k kx y =0≠k(2)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
2．一次函数的图象及性质(1)正比例函数（）的图象是经过点(0，0)和（1，） 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
kxy =0≠k k b kx y +=0≠k kb-00b (2) -次函数（）的图象与性质b kx y +=0≠k3．两直线的位置关系（设两直线，）：111b x k y +=222b x k y += (1)两直线平行： ()；21k k =21b b ≠ (2)两直线垂直：。
121-=⋅k k 4．用待定系数法求一次函数解析式：(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
b kx y +=0≠k k b (2)步骤：①设一次函数表达式；②根据已知条件将，的对应值代人表达式；x y ③解关于，的方程或方程组；k b ④确定表达式。
5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系(1) -次函数与一元一次方程：一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。
b kx y +=0≠k x 0=y y 0=x (2) -次函数与一元一次不等式：（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
中考数学总复习 基础知识梳理 第3单元 函数及其图象 3.2 一次函数课件
12/9/2021
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有关正比例函数的两个(liǎnɡ ɡè)区别
学法 指导 (xué fǎ)
1.正比例函数和一次函数的区别
正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是 说：如果一个函数是正比例函数，那么(nàme)一定是一次函数，但是，一个 函数是一次函数，不一定是正比例函数．
就行了.
0,
b
,
b k,Leabharlann 012/9/2021
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要点 梳理 (yàodiǎn)
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象所经过(jīngguò)的象限及增减性．
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3.2.4 待定系数(xìshù)法求一次函数的解析式
要点 梳理 (yàodiǎn)
No 求待定系数的值代入所设的函数解析式中．。经典考题
Image
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y y
k1x k2x
b1 b2
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要点 梳理 (yàodiǎn)
2.一次函数与不等式的关系
(1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是(jiùshì)不等式kx＋b ＞0的解集，即函数图象位于x轴的上方； (2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b ＜0的解集，即函数图象位于x轴的下方．
3.2.5 用函数(hánshù)观点看方程（组）与不等式
要点 梳理 (yàodiǎn)
1.一次函数与方程(fāngchéng)(组)的关系
(1)一次函数的解析式y＝kx＋b就是一个二元一次方程；
中考数学必备复习第三章函数第2讲一次函数课件
•课前小练
•知识梳理
•课堂精讲
•过关测试
•考点3：一次函数与一次不等式
•例4.荆州素有“中国淡水鱼之都”的美誉.某水产经销商在荆州 鱼博会上批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克,且乌鱼的 进货量大于40千克.已知草鱼的批发单价为8元/千克,乌鱼的 批发单价与进货量的函数关系如图所示. •(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额 (元)与进货量 (千 克)之间的函数关系式; •(2)若经销商将购进这批鱼当日零售,草鱼和乌鱼分别可卖出 89%、95%,要使总零售量不低于进货量的93%,问该经销商 应怎样安排进货,才能使进货费用最低？最低费用是多少？
定出
的正负情况是解题的关键,也是本题的难点.
•课前小练
•知识梳理
•课堂精讲
•过关测试
•考点1：一次函数图象与性质
•课前小练
•知识梳理
•课堂精讲
•过关测试
•考点2：一次函数与一次方程
•-2 •2 •A
•1
•2
•1
•-2
•-1
•-0.5
•B
•C
•D
•方法指导:本题考查了二元一次方程与一次函数之间的关系, 将二元一次方程变化成一次函数的形式,并根据一次函数解析 式画出其图象,根据图象得出正确的结论.
•课前小练
•知识梳理
•课堂精讲
•过关测试
•考点4：一次函数的应用 •例5.某市出租车计费方法如图所示, (km)表示行驶里程, ( 元)表示车费,请根据图象回答下面的问题: •(1)出租车的起步价是多少元？当 时,求 关于 的函数关 系式. •(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的 里程.
不等式
的解集.
中考数学总复习 第一部分 基础篇 第三章 函数及其图象 考点11 一次函数数学课件
第三章 函数及其图象
11 一次函数
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目标方向
进一步理解正比例函数和一次函数的概念，能结 合图象讨论这些函数的基本性质，以及分析和解决简 单的实际问题.加深对一次函数与方程（组）及不等式 的关系的理解，从运动变化的角度更深层次地了解、填空题、解答题以及与方 程、不等式相结合的综合应用题形式考查.
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考点聚焦
考点一 一次函数和正比例函数的定义
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考点二 一次函数的图象与性质
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考点三 一元函数解析式的确定
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考点四 一次函数与方程（组）及不等式的关系
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真题探源