九年级数学二次根式加减(2)

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二次根式的加减(2)

观察题目的特点是否能应用乘法公式
计算
(1)
1 3(1 15 ) 3 5
(2)
(1 2 )( 2 2 )
(3)
(3 5 5 2 )
2
提高题
比较根式的大小.
6 14和 7 13
解:∵ 6 14 ） 6+2 84 +14=20+2 84 √ √ （
2
（ 7 13 ） 20+2 91
初中数学九年级上册苏科版
3.3.2 二次根式的加减（2）
复习：
要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
练习2计算：
5
（1） 80 20 5
（2） 18 98 27） 10 2 3 3 （
1 3 6 2பைடு நூலகம்4
1 （3）( 24 0. ( 5) 6) 8
1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
练习
5.计算:
15
2 8 7 18
4 2 8 2
1
2
1 32 12 4 3 48, 27
1 1 5 0.5 2 75 3 8
2 x 1 4 9 x 6 2 x 3 4 x
又 ∵ 6 14
2
0

3.3二次根式的加减(2)

3.3 二次根式的加减(2) 教案备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算【重点难点】：重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

【知识回顾】填空：（1）整式混合运算的顺序是：（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式：平方差公式：完全平方公式：注：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。

【典型例题】例1、计算：（1）（125+23）×15；（2）（3+10）（2-5）；例2、计算：（1）（3+2）（3-2）；（2）2523）（【课堂练习】1、计算：（1）（3+22）×6；（2）5×（10-5）；（3）（6-3+1）×232、计算：（1）（3-22）（23-2）；（2）（22-3）（3+2）；（3）（5-6）（3+2）；（4）（a+ab +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；3、计算：（1）（5+1）（5-1）；（2）（a +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；（3）223）（-；（4）2b a ）（+（a ≥0，b ≥0）；点拨、二次根式在进行运算时要注意： 1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并2、运算律同样适用于二次根式的运算3、计算结果要最简【课外练习】1、计算：（1）（23-6）×12；（2）（18-12+2）×26；（3）（23-52）（3-22）；（4）（215+）（215-）；（5）（a2ac 4bb2-+-）+（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；（6）（a2ac 4bb2-+-）（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；。

九年级上册数学《二次根式》知识点整理

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最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。

这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。

本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。

二、知识要点1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是a为二次根式的前提条件，x+，等是二次根式，而5-，2x-等都不是二次根式。

如5，212、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。

3、二次根式a（a≥0）的非负性a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a0（a≥0）。

注意：a a≥0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正a（a 数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即2≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个a b=，则a b=，则a=0,b=0；若20a b=，则a=0,b=0。

a=0,b=020=（a≥0）4、二次根式2)a的性质：2)a a描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式2()a a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2()a a =，如：22(2)=，211()22=。

华师大版-数学九年级上册-22.3 二次根式的加减法

7 7
18.（2006年广东）化简：
= 7 1 .
7
19. 若5+ 7的小数部分是a，5－ 7的小数部分
是b，则ab＋5b＝ 2 ．
20. 计算：( 8 2 0.25) ( 1 1 50 2 72)
8
3
解：(a 8 b 2 20.275,)ab ( 41.1 50 2 72)
8
3
式训练中讨论了有关a，b具有某种对称性并求a，b相关
值的问题，一般先求出a+b，ab的值，再整体代入求值，可大大简化计算.
课前小测
1. 计算：2 63 －3 1 － 9 ＋ 1 45 . 5 75
2. 在下列各式中， ① a ＝a a
②5x x － x ＝4x x
③ 6a a ＝ 3a 2ab 2b b
第二十二章二次根式
第七课二次根式的加减法（2）
1.本课提要 2.课前小测 3.典型问题 4.技能训练 5.变式训练 6.试题链接
本课提要
本课时从课前小测开始就对含有字母以及含分母的二次根式进行讨论，并在此基础上，将括号和乘除运算同时引入，让同学们渐渐熟练二次根式的混合运算，在变
14. 计算： 1 1 2
3 2 2 1 31
解： 1 1 2 3 2 2 1 31
( 3 2) ( 2 1) ( 3 1) 0
15. 已知 a 7 3,b 7 3, 求 1 ＋ 1 的值． a2 b2
解： a b 2 7 ,ab 4.
原式
1 a2
1 b2
化简正确的有（
④ 24 +
）
1 =10 6
6
Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个 D．4个
回顾：二次根式的加减运算，强调根式的系数规范写法，强调只有同类二次根式才可以合并.

九年级数学二次根式的加减

3.细心算一算
(1)( 8 2 0.25) ( 11 50 2 72)
8
3
(2)( 80 14) ( 31 4 45)
5
55
(3)2a 3ab2 (b 27a3 2ab 3 a)
6
4
十度外加疯转十三周的苍茫招式……最后耍起异常的鼻子一抖，轻飘地从里面流出一道妖影，他抓住妖影和谐地一甩，一件蓝冰冰、金灿灿的咒符『白金杖祖台风理论
』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边颤动，一边发出“吐哇”的仙音。！悠然间Ｙ．突奇兹助理变态般地晃起破烂的紫宝石色平锅模样的手掌，只见他破旧的白
杏仁色天鹅形态的粉丝彩玉靴中，萧洒地涌出七簇火鱼状的光泡，随着Ｙ．突奇兹助理的晃动，火鱼状的光泡像鸡眼一样在双手上阴森地策划出隐约光云……紧接着Ｙ
(1)2 12 6 1 3 48 3
(2)( 12 20) ( 3 5)
(3) 2 9x 6 x 2x 1
3
4
x
练习2计算：（1） 80 20 5 5
（2）18 （ 98 27） 10 2 3 3
（3）( 24 0.5) ( 1 6) 3 6 1 2
8
4
(4) 32 3 1 10 0.08 1 48 4 2 3
2, 75, 1 , 50
2 8ab3 , 6b a ,
3
2b
1 , 3, 27 12a 12b.
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2 , 1
2
C. 4ab , ab2 D. a1, a1
3. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A.
32 B.
24 C.
3 5 7 13.7

二次根式的加减运算

二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析：本节内容共一课时。

主要内容是学习二次根式的加减运算。

2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。

在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。

同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。

班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。

结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。

三、目标分析1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。

2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。

3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。

四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。

【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。

五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。

”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节：活动3：探索交流活动4：例题分析活动5：随堂练习活动6：课堂小结，活动7：达标测试先独立完成，再探索交流，得出新的概念和法则运用法则进行计算，加深对运算法则的理解通过练习，巩固所学知识学生归纳小结，教师评价，形成系统学生测试，检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图，两个长方形的宽都是a m，它们的长分别是2 m和3 m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。

21.3 二次根式的加减(课件)华师大版数学九年级上册

感悟新知
知3－练
解：(1) 原式＝( 2＋ 3－ 6＋ 2－ 3－ 6)×( 2＋ 3－
6－ 2＋ 3＋ 6)＝(2 2－2 6)×2 3＝4 6－12 2.
(2)原式＝[1＋( 2－ 3)]×[1－( 2－ 3)]＝12－( 2－ 3)2
＝1－(5－2 6)＝2 6－4.
(3)原式＝(3＋2 2)100(3－2 2)100(3－2 2)＝[(3＋2 2)·
原式＝6－3 6＋2 6－6＝－ 6；
知3－练
感悟新知
(4)(5＋ 7)×(5－ 7) ；解：原式＝52－( 7)2＝25－7＝18；
(5)( 5＋2)2；原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5；
(6)(2 3－ 2)2 . 原式＝12－4 6＋2＝14－4 6.
知3－练
课堂小结
二次根式的加减
同类二次根式
知2－练
感悟新知
知识点 3 二次根式的混合运算
知3－讲
1. 二次根式的混合运算种类二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 .
2. 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括号里面的 .
感悟新知
知3－讲
3. 二次根式混合运算中的运算律运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的
(3)(4 8－8 18＋ 32÷2 2. 解题秘方：紧扣二次根式的混合运算顺序计算即可.
感悟新知
知3－练
解：(1)原式＝
8 27
×
6－5
3×
6＝
8 27
×6－5
3×6＝
43－15 2. (2)原式＝25 2－10 3＋5 12－2 18＝25 2－10 3＋10 3 －6 2＝19 2. (3)原式＝(8 2－2 2＋4 2)÷2 2＝10 2÷2 2＝5.

九年级上册数学《二次根式》知识点整理(最新整理)

a a 5 x 2 + 1 - 5 -x 2 a a a a a a b二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。

这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。

本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。

二、知识要点1、二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a≥0 是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a ﹤0 时，没有意义。

3、二次根式（a≥0）的非负性（a≥0）表示 a 的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，即 0（a≥0）。

注意：因为二次根式（a≥0）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即( a )2 （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若 + = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则a=0,b=0。

4、二次根式(a )2的性质： (a )2 = a （a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式( a )2 = a （a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公a a a aa 27 ≈ 2.646 a 2 a 2a 2a 2 a 2 a 2a 2a 2a 2a 2⎨-a (a < 0) ⎩式也可以反过来应用：若 a≥0，则 a = ( a )2 ，如： 2 = ( 2)2 ， 1 = ( 1)2。

二次根式的加减

_________；
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考：观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练

二次根式加减(2)--

试一试: 1：计算
1 1 24 2 3 2 2 27 12 3 3
1 2 3 1 15 3 5

计算下列各题,你有几种方法?
(2)、 a b 3ab ab ) ab (
3) 2 2 (3).(4 2 3 6 3

下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
3 2 5
（不正确）
（不正确）（不正确）（正确）（不正确） a 0
a b a b
a b a b
a a b a ( a b) a
1 3a 2 2a a
1 ⑸ 3

2 2 2
代数式a +b +c -ab-bc-ac的值。

3 3 6 3
(3).(4 2 3 6 ) 2 2
(2).

3 3
8
3 6

(3).(4 2 3 6 ) 2 2
解：原式 8 6 3 6
48 18
(3).(4 2 3 6 ) 2 2
3 3 3 2

(3) 解略
(2 2 3 3)(3 3 2 2)
（2） (2 2 3 3)(3 3 2 2)
(2 2)(3 2 2)
(3)(7 2 2 6 )(2 6 7 2 )
(4) 7 7 3 ) (
(2 2 3 3)(3 3 2 2)
2

考考你
考考你
单项式与多项式相乘是怎么相乘的?
计算(1). 27 3 6 2 (2). 8 3 6 1 2 (3) 2( 6 4) 2 5 与整式乘法类似哦.

二次根式的加减说课稿5篇

二次根式的加减说课稿5篇二次根式的加减说课稿5篇教学教案是教师教学的重要工具，它能够帮助教师有条不紊地组织和实施教学活动，提高教学效果。

下面是小编为大家整理的二次根式的加减说课稿，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。

二次根式的加减说课稿精选篇1一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．2．能判断二次根式中的同类二次根式．3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．（二）能力训练点通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．（三）德育渗透点从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．（四）美育渗透点通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．二、学法引导1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点二次根式的加减法运算．2．教学难点二次根式的化简．3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．七、教学步骤（一）明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．二次根式的加减说课稿精选篇2教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。

21.3 二次根式的加减(2)

3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
已知x 2 3，y 2 3 试求(x 1 )(y 1 )的值。
yx
不用计算器, 不求平方根的值，比较 2 与 1数部分为 b. 52
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
1.若x 1 ,则 x2 2x 1 ( D )
2 1
A. 2
B. 2 2
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy 3,
求
x y
2x, 75 , 1 , 1 , 3x, 2 8ab3 ,6b a , 3 2
50 27
3
2b
彗眼识真: 下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
(x 3)2 3 (x 3)2
x2 2 3x 3 3 x2 2 3x 3
4 3x 3 x 3 4
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解二：a2 ab b2
a2 2ab b2 ab (a b)2 ab
1、化简或计算下列各题.
①1 23
② 2 1
2 1 ③ 11
2 3 2 1
2、计算或化简:
① 8 2( 2 2)
②
( 1 )1 (2 )0
2
2
1 2 1
③ 18 2 1 4 1 2 1 8

(完整版)二次根式的加减法

二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。

初中数学二次根式的运算(含解析)

初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1）（2【难度】2星【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ；当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点：（1）整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2）多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -；（4）3+【巩固】（1）（2（3）（4）3ab （0,0a b ≥≥）【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+；（2）1；（3）（4）a -．【例6】解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值．【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三二次根式的化简求值【例7】（2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =．【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】（2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =．【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =．【难度】2星【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=．【答案】36【例10】已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值．【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值．【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果．原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是．（用“＞”表示）【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于．【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察．【答案】1【例18】如果2y =，则2x y += ．【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察．解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=．【答案】5【例19】当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-．【答案】2-【例20】已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值．【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（）．A 2B C D【难度】1星【解析】因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2）【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简【难度】1星【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -．原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。

第5课时：《二次根式》(2)——二次根式的加减

第2课时《二次根式》（2）——二次根式的加减运算【知识点拨】 1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

[例题1]1、已知二次根式42-a 与2是同类二次根式，则的α值可以是（） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8【答案】B2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A ．12与21B ．18与27C ．3与31D ．5445与【答案】C2、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

[例题2] 1 ）A ．1B ．1-CD 【答案】C2= ．【答案】332+3、计算：⎛÷ ⎝【答案】2144、先化简，再求值：244(2)24x x x x -+⋅+-，其中x =【答案】21【教材解读】1、下列计算正确的是（）A =B =C 4=D 3=-【答案】B2、下列各式：①36333=+；②1771=；③22862==+；④22324=.其中正确的有（）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】C3 ）A ．1B ．1-CD 【答案】C4、下列计算正确的是（） A ．632=⨯ B ．532=+ C ．248= D ．224=-【答案】A5、计算2)322215324(⨯+-的值是（）A ．303320- B ．332302- C ．332303- D ．3033320- 【答案】D6、下列二次根式中，能与271合并的二次根式是（） A.18 B. 12 C.32D. 92 【答案】B7、下列计算：①y x y x +=+；②a a 22=+；③343236=-；④a a a 23825=-；⑤5942188=+=+.其中正确的是（） A. ①和③ B. ②和③ C. ③和④ D. ③和⑤ 【答案】C8、如果最简二次根式83-a 和a 217-是可以合并的，那么=a . 【答案】59、计算：=-+-+312)1(0π_____________．【答案】31-10、计算：=⨯--+222)1(83_____________．【答案】12-11、化简：____________．【答案】214-12、计算：=+-3)23(2。

九年级数学二次根式的加减3

C.4 5 5 4 D. a 3 a 1 a
2
2
例3: 要焊接一个如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1米）?
B
2m
A
4m
解：根据勾股定理得：D C源自1m的生数活学中
AB AD2 BD2 42 22 20 2 5
BC BD2CD2 22 12 5 所需钢材的长度为： AB BC AC BD 2 5 5 5 2
(4)、 3 5 2 7 (3 7)( 7 5)
例2 计算：
（1） (2 2 3 3)(3 3 2 2)
（2） (2 2)(3 2 2)
解：（1）原式

2
2
2

3
3
2
8 27 19
（2）原式 6 4 2 3 2 4 2 2
练习 1：计算
1 1 24 2 3 2
2
3 27 12
3
2 计算：
(1)、( a3b 3ab ab3 ) ab
2 3 1 15 3 1 5
(2) 12 8 3 2
(3)、(3 2 2) ( 2 1)
(5)、( 1 1 )2 1 3 1 3
5计算： (1) 75 2 8 200 (2)2 20 3 45 80 (3)2 48 ( 27 243) (4)(5 75 4 12) (5 108 3 27)
例1 计算：
1 27 3 6 2

2

3 3 8
3
6
3 48 27 3
21.3二次根式的加减（2）

16.2二次根式的运算(第2课时)讲解与例题

二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个被开方数不相同的二次根式的和．
【例2】计算：
(1)－2－3＋5＋4；
(2)(－)－(－)．
分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－2与5，－3与4被开方数相同，因此可直接进行合并．
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___________________________________________________________________________
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
(5)二次根式的加减法的一般步骤：
①将每一个二次根式化成最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式；
③合并同类二次根式．
知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．
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解：(1)－2－3＋5＋4
＝(－2＋5)＋(－3＋4)＝3＋.

二次根式的加减法(2)

16.3二次根式的加减
第2课时
我们学习了哪些运算律：加法交换律：a+b+c=a+c+b
加法结合律：(a+b)+c=a+(c+b) 乘法交换律：abc=acb 乘法结合律：(ab) c=a (cb) 乘法分配律：(a+b) c=ac+bc 整数的乘法同样适用二次根式
我们学习了哪些乘法公式：平方差公式：
6 3 6

86
36
4 3 3 2
这里运用了乘法分配律
练习P14第1题的1、2小题，复习巩固P15第4题的1、 4小题，
例3
计算：
(2)(4 2 3 6) 2 2
解：原式 4 2 2 2 3 6 2 2
3 2 2 3
(3)2 2 (4 2
如何计算呢？
8)
例4
计算：
(1)( 2 3)( 2 5)
解：原式 ( 2) 3 2 5 2 15
2
2 2 2 15 13 2 2
例4
计算：
(2)( 5
3)( 5
2
3)
2
解：原式 ( 5)
( 3)
53 2
练习P14第2题，
复习巩固P15第4题3、3小题，
拓展与思维
1、已知a b 3,ab 2, 计算
b
a
1

a 的值 b
3 2 ,x
2
2、已知x 则x x 的值
2 2 1 2
3
2,
3、已知x
1
x

7 ,则x
1
x