§22.1.3.1二次函数的图象和性质 导学案
二次函数的图像和性质导学案
二次函数的图像和性质导学案【学习目标】1、经历探索二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质的过程；2、能够理解函数y= y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系，知道a 、h 对二次函数的图象的影响；3、能正确说出函数y=a(x-h)2的图象的性质.【课前导学】：叙述二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的图象和性质。
【课堂导学】自主学习：二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质：画出函数2y x = y=(x+3)2的图象 （1） 列表：2y x = y=(x+3)2的图象；【交流互动】：（1）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象有什么关系？ （2）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗?（3）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x 2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（4）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3、结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小. 4、观察右图,思考并回答下列问题:①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?【课堂小结】二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象和性质： 【巩固练习】1、二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 。
它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到。
人教版九年级数学上册第22章22.1.1二次函数《二次函数》导学案
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.知道二次函数的概念,明确二次函数的特征.2.能够表示简单的变量间的二次函数关系.3.重点:二次函数的概念.知识点二次函数的概念阅读教材本课时内容,回答下列问题.1.正方体有6个面,若其棱长为x,则一个面的面积为x2,正方体的表面积y=)x的函数,理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.6x2,y 是(填“是”或“不是”2.在“问题1”中,用参赛队数n表示比赛场次数m的关系式是m=n2-n,m 是(填)n的函数,理由:对于n的每一个值,m都有一个对应值.“是”或“不是”)x的函数,3.在“问题2”中,y与x的关系式是y=20x2+40x+20,y 是(填“是”或“不是”理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.4.以上三个函数关系式的共同点:等式右边是关于自变量的整式,自变量的最高次数为2,二次项系数不为0.【归纳总结】一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【讨论】二次函数y=ax2+bx+c中为什么规定a≠0?b,c可以是0吗?当a=0时,没有二次项了,不是二次函数,b,c可以是0.【预习自测】下列函数中,哪些是二次函数?①y=5x+1;②y=4x2-1;③y=2x3-3x2;④y=-;⑤y=-(x-1)2;⑥y=2x2-x+;⑦y=x(1-x);⑧y=2x2+x(1-2x).②④⑤⑦．互动探究1:在学完二次函数的定义后,老师要求同学们各举一个二次函数的例子.小刚:y=2x2-1是一个二次函数;小红:y=(x+2)2-x2是一个二次函数;小华:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数)是一个二次函数;小佳:y=+x-1是一个二次函数;小敏:y=ax2-2bx+5是一个二次函数.。
九年级数学《二次函数》第四课时教案
中学“自导式”育人设计方案（三）小组内互查、讨论上面2个任务的完成情况并展示在小组题板上。
(四）老师公布并讲解上面2题。
（五）小组讨论完成下面表格;（六）老师公布答案并答疑。
（七）小组内结对2人理解记忆上表格内容。
（八）探究练习：填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y ＝2xy ＝－5x 2－3y ＝15(x-3)2y ＝－12(x+2)2(九)课堂小结：1二次函数y ＝()2h x a -的性质2. 二次函数y =ax 2与y ＝()2h x a -的平移规律：()()022>+=→=h h x a y h ax y 个单位向左平移 ()()022>-=→=h h x a y h ax y 个单位向右平移口决：左加右减3.作函数y ＝()2h x a -的图像时先找出对称轴，在对称轴两边对称取点列表。
四、课后拓展练习：（见拓展练习单）y =-(x-1)2 y =-(x+2)2抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标最大（小）值 增减性 平移规律a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0y=ax 2y=a(x-h)2一、预学检测单1.在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12 (x －1)2，y ＝－12 (x ＋1)2的图象.二、探究练习单(一)画一画：在同一坐标系中画出函数y=-2x、y =-（x-1）2、y= y =-(x+2)2的图像（三）小组内互查、讨论上面2个任务的完成情况并展示在小组题板上。
（五）小组内结对2人理解记忆上表格内容。
三、拓展练习单1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12（x －2）2的图象可能是（ ）2．下列二次函数中，对称轴为x ＝－5的是（ ）A ．y ＝（x ＋5）2B ．y ＝3x 2－5C ．y ＝－3x 2－5D ．y ＝3（x －5）23．下列对二次函数y ＝2（x ＋4）2的增减性描述正确的是（ ）A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＜－4时，y 随x 的增大而减小4．若抛物线y ＝－5（x ＋h ）2的顶点在x 轴的负半轴上，则h 0（填“＞”“＝”或“＜”）．5．抛物线y ＝－4（x ＋3）2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是6．（衡阳中考）已知函数y ＝－（x －1）2图象上两点A （2，y 1），B （a ，y 2），其中a ＞2，则y 1与y 2的大小关系是y 1 y 2（填“＜”“＞”或“＝”）．－2）2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．9．如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝（x －1）2D ．y ＝（x ＋1）210．将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位长度，得到抛物线y ＝3（x ＋2）2；将抛物线y ＝3x2向 平移 个单位长度，得到抛物线y ＝3（x －2）2.11．将抛物线y ＝ax 2向左平移2个单位长度后，经过点（－4，－4），则a ＝ 易错点 二次函数增减性相关的易错12．在抛物线y ＝a （x －2）2（a>0）上有两个点A （12，y 1）和B （52，y 2），则y 1，y 2的大小关系为 ．13．已知二次函数y ＝2（x －h ）2，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足 ． 中档题14（玉林中考）对于函数y ＝－2（x －m ）2的图象，下列说法不正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是x ＝m C ．最大值为0 D ．与y 轴不相交15．已知A （－4，y 1），B （－3，y 2），C （3，y 3）三点都在二次函数y ＝－2（x ＋2）2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为16.【数形结合思想】在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a （x ＋c ）2的图象大致为（ ）A B C D。
二次函数的图像和性质导学案
课题:二次函数的图像和性质导学案一、学习目标：1、会作函数y=ax²和y=ax²+c的图象，并能比较它们的异同；理解a、c对二次函数图象的影响。
能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；了解抛物线y=ax²上下平移规律。
2、经历探索二次函数y=ax²+c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法。
二、重点：作出函数y=ax²和y=ax²+c的图象，比较它们的异同，了解性质。
难点：函数y=a x+c²的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律。
三、学法指导：侧重学生思、探、究的自主学习，运用类比的学习方法。
四、学习过程：（一）自主完成：1、作二次函数y＝2x2的图象。
并思考二次函数y＝2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?体会并归纳二次项系数a对二次函数图像的影响归纳结论：2、研究y=ax2和y＝ax2+c图象之间的关系（1）在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象。
并比较它们的性质。
（二）、小组内合作：（同学们积极探索，合作交流，其他学生纠正补充，教师规范学生的语言表达）（1）、解决自学中存在的问题并做好记录。
（2）、比较y=ax²和y=ax²+c的图象有什么异同。
（3）、讨论抛物线y=x²+1、y=x²、y=x²-1有哪些相同点和不同点？（4）、以小组为单位归纳抛物线y=ax²+c的性质和抛物线y=ax²上下平移的规律。
（5）、解析式中的a、c对图象有什么影响。
（三）、归纳总结：1、类比函数y=ax²图象的性质，总结抛物线y=ax²+c的性质，总结时从以下几点方面进行总结：（1）对称轴（2）顶点坐标（3）开口方向（4）开口大小（5）增减性（6）最高（低）点2、从平移方向和单位两方面总结抛物线y=x²+1与抛物线y=x²-1是由抛物线y=x²通过怎样平移得到的。
§22.1.3.3二次函数的图象和性质 导学案
- 1 -今天有进步，如果天天坚持这样，你一定是最棒的！1．会画二次函数的顶点式()k h x a y +-=2的图象； 2．掌握二次函数()k h x a y +-=2的性质； 一、课前准备1.将二次函数2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线2y x =-的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、新课导学在右面做出1-)1(21-2+=x y 的图象： 观察：1. 抛物线1-)1(21-2+=x y 开口向 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直线 。
2. 抛物线1-)1(21-2+=x y 和221-x y =的形状 ，位置 。
（填“相同”或“不同”）3. 抛物线1-)1(21-2+=x y 是由221-x y =如何平移得到的？答： 。
三、巩固拓展归纳：（一）抛物线2()+y a x h k =-的特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2()+y a x h k =-是由2y ax =平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）平移前后的两条抛物线a 值 。
今天有进步，如果天天坚持这样，你一定是最棒的！ - 2 - 1.二次函数2)1(22+-=x y 的图象可由22x y =的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 2.抛物线()21653y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。
3.填表：4.函数()2231y x =--的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到。
人教版数学九年级上册22 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质导学案
第二十二章二次函数知人者智，自知者明。
《老子》 原创不容易，【关注】，不迷路！22.1.3二次函数y =a (x －h )2+k 的图象和性质 第2课时二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 学习目标：1.会画二次函数y =a (x －h )2的图象. 2.掌握二次函数y =a (x －h )2的性质. 3.比较函数y =ax 2与y =a (x －h )2的联系. 重点：会画二次函数y =a (x －h )2的图象.难点：掌握二次函数y =a (x －h )2的性质并会应用其解决问题.一、知识链接1.说说二次函数y =ax 2+c (a ≠0)的图象的特征.2.二次函数y =ax 2+k (a ≠0)与y =ax 2(a ≠0)的图象有何关系？3.函数21(2)2yx 的图象，能否也可以由函数212y x 平移得到？ 二、要点探究探究点1：二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 引例在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x 与21(2)2y x 的图象． 根据所画图象，填写下表：试一试画出二次函数2112yx ，()2112y x =--的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.想一想通过上述例子，函数y =a (x －h )2的性质是什么？ 要点归纳：二次函数y =a (x －h )2(a ≠0)的性质当a ＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最小值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；x ＞h 时，y 随x 的增大而增大. 当a ＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最大值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；x ＞h 时，y 随x 的增大而减小. 典例精析例1已知二次函数y ＝(x -1)2 （1）完成下表；x … … y……（2）在如图坐标系中描点，画出该二次函数的图象．（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （4）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大． （5）若3≤x ≤5，求y 的取值范围； 想一想：若-1≤x ≤5，求y 的取值范围；（6）若抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＜x 2＜1，试比较y 1与y 2的大小．变式：若点A (m ，y 1)，B (m +1，y 2)在抛物线的图象上，且m ＞1，试比较y 1，y 2的大小，并说明理由．探究点2：二次函数y =ax 2与y =a (x －h )2的关系 想一想抛物线2112yx ，2112y x 与抛物线212y x 有什么关系？ 要点归纳：二次函数y =a (x －h )2与y =ax 2的图象的关系y =ax 2向右平移︱h ︱得到y =a (x －h )2； y =ax 2向左平移︱h ︱得到y =a (x +h )2.左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.例2抛物线y ＝a 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．练一练将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个位D ．向右平移1单位 三、课堂小结1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 22(3)x 22(2)x23(1)4x 2.如果二次函数y ＝a (x -1)2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是_____．3.把抛物线y=－x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是.4.若（-134，y1）（-54，y2）（14，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为___________.5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．能力提升已知二次函数y＝（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值.参考答案自主学习知识链接1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，c）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值c），当x0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值c），当x0时，y随x 增大而减小.2.答：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到：当k>0时，向上平移k个单位长度得到.当k<0时，向下平移-k个单位长度得到.3.能课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质引例列表如下：描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.图①图② 填表如下：试一试 填表如下：1212-292-892-21212-2描点、连线，画出这两个函数的图象如图②所示. 例1解：（1）填表如下：x…-10 1 2 3 …y… 2 120 122 …（2）解：描点，画出该二次函数图象如下：（3）对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1,0).（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.想一想∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∵当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.变式∵m＞1，∴1＜m＜m+1，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2.探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的关系想一想抛物线向左平移1个单位得到抛物线，抛物线向右平移1个单位得到抛物线.例2解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a=14，∴平移后二次函数关系式为y＝14(x－3)2.练一练C当堂检测 1.填表如下： 22(3)x 22(2)x23(1)4x2.a ＞03.y =-(x +3)2或y =-(x -3)24.y 1＞y 2＞y 35. 解：图象如图.函数y =2(x -2)2的图象由函数y =2x 2的图象向右平移2个单位得到. 能力提升解：∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①若h ＜-1≤x ≤3，x ＝-1时，y 取得最小值4，可得（-1-h ）2＝4，解得h ＝-3或h ＝1（舍）；②若-1≤x ≤3＜h ，当x ＝3时，y 取得最小值4，可得：（3-h ）2＝4，解得：h ＝5或h ＝1（舍）；③若-1＜h ＜3时，当x ＝h 时，y 取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h 的值为-3或5.【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
二次函数的图象和性质导学案
九年级数学（上）导学案姓名班级日期 编号 16 教师复备学生质疑课型 新授课 设计者审核张尚执教者学习内容 第22.1.2二次函数2ax y =（a ＞0）的图象和性质（第1课时） 学习目标 1.知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用． 学习重点 二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用 学习难点 二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用学习流程教 师 学 生 活 动自主学 习1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自主学习（一）画二次函数y ＝x 2的图象． 列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……在图中描点，并连线、归纳：① 由图象可知二次函数 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做_______ 线； ②抛物线 是轴对称图形，对称轴是_______ ； ③ 的图象开口_______；④_______与_______的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线 的顶点坐标是_______ ；它是抛物线的最_______ 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 _______ 值等于0.⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈_______趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈_______趋势；即x <0时， 随 的增大而_______ ， x>0时， 随 的增大而_______ 。
xy -1-2-3-41234-1-212345678O小组合作在同一坐标系中，画出函数221xy=，2xy=，22xy=的图象．并观察三个图像有什么共同点和不同点。
然后总结当a＞0时图像的特点。
小组讨论，达成共识。
成果展示教师指名提问（或上黑板板演），允许同学提出不同的见解，倡导对抗争辩。
二次函数的图像和性质导学案
课题：二次函数的图像和性质再研究使用说明：1.阅读探究课本 4741-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力； 2.提前完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.理解二次函数中参数a,b c,h,k 对其图像的影响。
2.领会二次函数图像平移的方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力。
3.结合二次函数图象，研究二次函数所具有的性质,从解析式到定义域、值域、单调性,对称性等不同的角度认识二次函数,熟知性质.4. 通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.【重点难点】重点：二次函数图像和性质难点：通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.以及解析式。
教材助读复习回顾：1.能否将关于x 的二次函数()02≠++=a c bx ax y 化成过程：步骤：（1） 0≠a ∴提公因式________将二次项系数化为_____。
得()0)(2≠++=a c x abx a y(2)当二次项系数为____时，括号内加上___次项系数_____的平方。
同时减去这个数。
得()0________]_______[2≠+-++=a c x abx a y 。
()0________]______)[(2≠+-+=a c x a y （3）变形得顶点式()044________)(22≠-++=a a b ac x a y 。
得顶点坐标是___________,对称轴是直线_______________________。
2.归纳： 顶点坐标公式：关于x 的二次函数()02≠++=a c bx ax y 顶____________________,对称轴是____________。
用配方法把下列二次函数化成顶点式，指出开口方向，对称轴，顶点坐标。
当x 为何值时，y 的值最小（大）？（1） 52212++=x x y （2）31232-+-=x x y探究案 预习自测1. 画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．解：y ＝12 x 2－6x ＋21配成顶点式为_______________________．顶点坐标___________________;对称轴____________. 利用图象的对称性列表（请填表）x… 3 4 5 6 7 8 9 ………当堂检测1．二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），求函数解析式。
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图
像和性质(第1课时)
一等奖优秀教学设计-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.。
《二次函数》二次函数的图像及性质导学案
二次函数()2h x a y -=的图象和性质主备人：姚惠琴 主审人：黄志刚 姚金涛 班级： 姓名：学习目标1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象和性质，并会应用；2．知道二次函数2)(h x a y -=与2ax y =的联系．学习过程一、复习引入：1. a 的正负决定抛物线的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。
2.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
3.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主探究1、画函数y ＝－12 (x ＋1)2,y －12 (x －1)2的图象,考虑它们的开口方向.对称轴.顶点以及最值.增减性.2观察图象,填表:2.①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ,y ＝－12 x 2,y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________.②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2;把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12(x-1)2.x… －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12 (x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2 ……函数开口方向顶点对称轴最值增减性y ＝－12 (x ＋1)2y ＝－12(x －1)2三、合作探究四、达标测试：1、填表.2.抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________,与x 轴的交点坐标为________. 3.把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 4.将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________5.抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2, 则m ＝__________,n ＝___________.6、写出一个顶点是(5,0),形状.开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式________________________.7、已知线抛物2)(h x a y -=的对称轴是x ＝3，其图像过（1,1）点，试确定该抛物线的解析式二次函数()k h x a y +-=2的图象和性质主备人：姚惠琴 主审人：黄志刚 姚金涛 班级： 姓名：学习目标1．会画二次函数的顶点式()k h x a y +-=2的图象；2．掌握二次函数()k h x a y +-=2的性质；3.会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题. 学习流程 一、复习引入1.将二次函数2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质(导学案)
22.1.2二次函数y=a x2的图象和性质一、新课导入1.导入课题：问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=a x2的图象.板书课题：二次函数y=a x2（a≠0）的图象.2.学习目标：（1）用描点法画二次函数y=a x2的图象,知道抛物线y=a x2是轴对称图形，知道抛物线y=a x2的开口方向与a的符号有关.（2）能根据图象说出抛物线y=a x2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.3.学习重、难点：重点：画二次函数y=a x2的图象，理解抛物线的相关概念.难点：画二次函数y=a x2的图象.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第29页到第31页的“思考”.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：数形结合.（4）自学参考提纲：①画出函数y=x2的图象.x…-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …②二次函数y=a x2+b x+c的图象是是轴对称图形，叫做抛物线的顶点.③函数y=x2的图象开口，对称轴是，顶点坐标是，顶点是图象的最④在①中的坐标系中画出函数y=12x2与y=2x2的图象，观察所画三个图象，说明它们有哪些共同点和不同点.⑤由④，说明二次函数y=a x2(a>0)的图象的形状、对称轴、开口方向、顶点.二次函数y=a x2(a>0)的图象是抛物线，对称轴是，开口，顶点是.4.强化：(1)交流学习成果：展示画图效果，总结a>0时二次函数y=a x2的图象的相关性质.(2）总结：①二次函数的图象是抛物线，一般地，二次函数y=a x2+b x+c的图象就叫做抛物线y=a x2+b x+c，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.②抛物线y=a x2关于y轴对称，抛物线y=a x2的对称轴是y轴，顶点是原点(0，0).③a>0时，抛物线y=a x2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.强化学习1.自学指导：（1）自学内容：探究y=a x2(a<0)的图象特点.（2）自学方法：画图，从开口方向、对称轴、顶点、开口大小等方面观察图象，寻找它们的共同特点.2.探究提纲：①完成探究，回答这些抛物线异同点：共同点：开口都，对称轴是，顶点是.不同点：x2的系数的绝对值越大，抛物线的开口越.②总结a<0时，抛物线y=a x2的性质.当a＜0时，抛物线a x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.③观察前面所画的六条抛物线，你能说说抛物线y=a x2与y=-a x2有何关系吗？抛物线y=a x2与y=-a x2关于x轴对称.3.强化:（1）交流：a<0时二次函数y=a x2的图象的性质.（2）强调a的符号对二次函数y=a x2的图象的开口方向的影响，|a|的大小对二次函数y=a x2的图象的开口大小的影响.三、评价学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（15分）抛物线y=2x2的开口向，对称轴是，顶点坐标是.2.（15分）已知下列二次函数①y=-x2；②y=35x2；③y=15x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.(1)其中开口向上的是(填序号)；(2)其中开口向下且开口最大的是(填序号)；(3)有最高点的是(填序号).3.（20分）分别写出抛物线y=4x2与y=-14x2的开口方向、对称轴及顶点坐标.。
22.1.3二次函数的图象和性质导学案
想一想：这条直线上点的横坐标都是多少？
答：.
我们把像这样的直线叫做直线x＝1.
你能说出直线l1、l2又叫做什么？
答：.
2、问题导读
（1）.如图是二次函数 的图象，请在此坐标系中画出函数 的图象，完成下列表格，再描点，画出图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
由此你能写出抛物线 的顶点坐标、对称轴吗？试一试.
答：.
.抛物线 的图象上，x取何值时，y随x的增大怎样变化？
答：.
.抛物线 与抛物线 和 的开口方向、开口大小有怎样的关系？为什么？
答：
.
.把抛物线 向哪个方向平移多少个单位长度得到抛物线 ？答：
想一想：1）.抛物线 怎样平移得到抛物线 ？
答：.
2）.抛物线 平移得到 时，怎样通过平移的方向和距离，由抛物线 的解析式得到抛物线 的解析式？
答：.
.把抛物线 向哪个方向平移多少个单位长度得到抛物线 ？
答：.
想一想：1）.抛物线 怎样平移得到抛物线 ？
答：.
2）.抛物线 得到抛物线 ，顶点坐标是怎样变化的，对称轴是怎样变化的？
答：.
3）.你能利用上面的结论完成下面的问题吗？试一试.
将抛物线 向右平移2个单位长度时，得到哪条抛物线？顶点坐标是多少？对称轴是哪条直线？
3
4
5
…
…
观察抛物线 ，回答下面的问题：
.说出抛物线 的开口方向、顶点坐标、对称轴.答：.
.根据抛物线 的顶点坐标、对称轴与解析式的关系，你能写出
的对称轴、顶点坐标吗？试一试.
答：
.在抛物线 的图象上，当x取何值时，y随x的增大怎样变化？
《22.1二次函数的图像和性质》导学案
（上册）《22.1二次函数的图像和性质》导学案（第一课时）【学习目标】1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
【学习课时】1课时。
【导学方法】实验、整理、分析、归纳法。
【导学过程】一、课前导学1、填表2、探究（1）正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为是什么？①（2）多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系？②n边形有________个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作________条对角线。
因此，n边形的对角线总数d =____________。
（3）某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是____件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为________。
③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？ 一般地，形如________的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 为________， b 为________，c 为________，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）2x y = （2）21x y -= （3）122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y （6） 23712y x x =+-－ 2、函数2y ax bx c =++，当a 、b 、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数? （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？（第二课时）【导学目标】会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，概括出图象的特点及函数的性质。
22.1.3二次函数的图象与性质(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数。它在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以抛物线运动为例，探讨二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在实践活动和小组讨论中，我尽量让学生们自己动手操作，互相交流，这样能更好地培养他们的团队合作能力和解决问题的能力。从成果展示来看，大部分学生都能积极参与，但我也注意到有几个学生显得比较被动，可能是因为他们对二次函数的理解还不够深入，或者是对讨论的主题不够感兴趣。
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，提出一些开放性的问题来启发他们的思考。我发现这样的方式能激发学生的思维，让他们更主动地参与到讨论中。不过，我也发现有些学生在分享成果时表达得不够清晰，这可能是因为他们的逻辑思维和语言表达能力还有待提高。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的图象与性质的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二次函数的图像与性质(1)导学案
二次函数的图像与性质（1）导学案4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质教学目标：1．能够作出函数y＝a2和y＝a2＋的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系,．理理解a，h，对二次函数图象的影响．．能够正确说出y＝a2＋图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、最值．知识回顾：抛物线y＝3x2的顶点坐标是，对称轴是，开口向，最值是；抛物线y＝3x2＋2可看成把抛物线y＝3x2沿y轴向平移个单位得到，它的顶点坐标是，对称轴是，开口向.最值是新知探究：作函数y=32的图象。
xy=32结论:函数y=3x2的图像沿x轴向平移个单位长度，得到y=32的图像。
教师用几何画板演示二次函数y=32的图象。
结论:函数y=3x2的图像沿x轴向平移个单位长度，得到y=32的图像。
教师用几何画板演示二次函数y＝32＋2的图像。
回答：函数y=3x2的图像沿x轴向平移个单位长度，得到y=32的图像,再向______平移_____个单位长度得到函数y ＝32＋2的图象.对于形式你能否直接说出它的开口方向,对称轴和顶点坐标呢？当a>0时,开口向_____,当a＜0时,开口向______,对称轴为直线________，顶点坐标是．小结：一般地,二次函数的图象可由的图象平移得到.其中,的图象可以看成的图象先沿x轴整体左平移个单位,再沿对称轴整体上平移个单位得到的.因此,二次函数的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与的值有关.抛物线y=a2＋y=a2＋顶点坐标对称轴开口方向增减性最值巩固训练指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、最值开口方向：对称轴：开口方向：对称轴：顶点坐标：最值：顶点坐标：最值：开口方向：对称轴：开口方向：对称轴：顶点坐标：最值：顶点坐标：最值：开口方向：对称轴：开口方向：对称轴：顶点坐标：最值：顶点坐标：最值：一条抛物线的形状与的形状和开口方向相同，且顶点坐标为，试写出它的关系式.课后反馈．二次函数y=52+3的图象的顶点坐标是A、B、c、D、抛物线y=2的开口方向是，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线y=向平移个单位得到的．抛物线y=-3x2向平移个单位得到二次函数y=-32的图像；再向_____平移_____个单位得到函数y=-32-6的图像，这个函数的开口，对称轴是，当x=时，y有最值，是.将抛物线的图象先沿x轴向左平移4个单位,再沿对称轴向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式是.将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数的图象，在向平移个单位得到函数y=22的图象.将二次函数y=-32的图像向左平移3个单位后得到函数的图像，其顶点坐标是，对称轴是，当x=时，y有最值，是.二次函数的图象不经过第三、四象限，写出三个符合条件的函数关系式。
《二次函数的图象和性质》导学案
《二次函数的图象和性质》导学案【学习目标】通过复习(1)理解二次函数的有关概念，能用a 、b 、c 判断图像特征 (2)掌握二次函数的对称性、增减性 (3)掌握二次函数的平移，进一步体会数形结合思想【学习重点】二次函数的开口、对称轴、顶点、最值、增减性等性质。
【学习难点】二次函数的增减性 【课时安排】1课时 【教具选用】多媒体 【学习过程】一、引发概念1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y =3x ﹣1B ． y =ax 2+bx +cC ． s =2t 2﹣2t +1D ． y =x 2+2.抛物线y =（x ﹣1）2+2的开口方向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
3..二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ）A ． x =4B ． x =﹣4C ． x =2D ． x =﹣24.二次函数y=-(x-3)2+2的最大值是（ ）． A ．3 B ．2 C ．－3 D ．235.已知二次函数y = -31（x ﹣2）2+3，当x 时，y 随x 的增大而减小．6..二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）A ． a ＜0B ． b ＞0C ． b 2﹣4ac ＞0D ． a +b +c ＜07.在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 （ ） A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 二、基础再现8.抛物线y=3(x+4)2-5的顶点坐标是（ ）. A.（4,5） B （4,-5）C.(4,5)-- D.（-4,5）9.将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是（ ） A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+ C. 2(3)4y x =--． D ．2(3)9y x =+-10.将抛物线25x y =先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是。
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九年级数学◆导学案 主备：马建兴 审阅：
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§22.1.3.1二次函数k ax y +=2的图象和性质 导学案
1．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系．
2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；
一、课前准备
直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
练习：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。
二、新课导学
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．
学年上学期◆九年级 第21章一元二次方程 班级： 姓名：
今天有进步，如果天天坚持这样，你一定是最棒的！ - 2 - 2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y .
3．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
三、巩固拓展
（一）抛物线k ax y +=2特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是 。
（二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax = 平移得到的。
（填上下或左右）
二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。
四、学习自测
1.抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
3．由抛物线352-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
5. 抛物线142+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.
⑴求该函数的表达式； ⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值。