14.3.2.2公式法分解因式完全平方公式

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14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】

14.3 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)题型2：找公因式2.代数式 15a 3b 3(a−b) ， 5a 2b(b−a) ， −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是（）A ．5a 2b(b−a)B ．5a 2b 2(b−a)C ．5ab(b−a)D ．120a 3b 3(b 2−a 2)提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。

注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a 2-3a ；（2）分解因式：3x 2y-6xy 2．m m题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：m2（1）a2-9；（2）25−14题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x2-4x+4．（2）16m2-8mn+n2．（3）4x2+20x+25；7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15（3）x2-7x+12．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块，除阴影A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A 与B 的面积差为S．（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B 的面积；（2）先化简S，再求当m=6，y=1 时S的值；（3）当x取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y应满足什么条件？题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b2=0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由.【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．一、单选题1．同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后，则另一个因式应为（）A．x−2y B．x−2y+1C．x−4y+1D．x−2y−12．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（）A．a2+a+ 1B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2D．−4−b243．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．2560B．490C．70D．495．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )A．-22020B．-2 2021C．22020D．-26．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．97．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()A．6B．3C．4D．58．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（）A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形二、填空题9．下列因式分解正确的是（填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=( 2x+1)210．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝ .13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为．14．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4＋b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4＝0，则△ABC 的形状是 .15．甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4）；乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为．三、解答题16．因式分解：（1）a 3−36a（2）14x 2+xy +y 2（3）(a 2+4)2−16a 217．把下列各式因式分解：（1）x 2（y ﹣2）﹣x （2﹣y ）（2）25（x ﹣y ）2+10（y ﹣x ）+1（3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（4）4m 2﹣n 2﹣4m+1．18．已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．19．给出三个多项式：12x 2+2x ﹣1，12x 2+4x+1，12x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．四、综合题20．已知 a 2−3a +1=0 ，求（1）a 2+1a 2的值。

14.3.3因式分解(公式法-完全平方公式)

2
2
的多项式称为完全平方式.
完全平方公式
a b
2
a 2ab b
2
2
a 2ab b ；
2 2
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1．有三部分组成． 2．其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方，另一部分是上述两数（或式）且这两部分同号．
的乘积的2倍，符号可正可负．
一天,小明在纸上写了一个算式为
4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个
代数式的值都是正值,你不信试一试?”
4x 2 8x 11 2x 2 2x 2 22 7
2
2x 2 7 4 x 1 7
2 2
分解因式：
(1) 9x2+24x+16;
2 2
分解因式:
2x y
2
62x y 9
分解因式： (a b) 10(a b) 25．
2
因式分解：
(1)-a3b3+2a2b3-ab3 (2)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
(3)16x4-8x2＋1
因式分解：
(4)(y2 + x2 )2 - 4x2y2 (5)(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2
2 2
(3) x 2 xy y ；是
2 2
(4) x 2 xy y ；不是
2 2
(5) x 2 xy y ．是
2 2
a2 2ab b2 (a b)2 ; a2 2ab b2 (a b)2
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的 a、 b 各表示什么？ (1) x 2 6 x 9；是 a表示x，b表示3.

因式分解运用公式法(完全平方公式)

说明：系数是分数时应提取，使各项系数化为整数.
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式时，在运算过程中应用括号来表示这个多项式的整体性,并且由于式子变得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52

因式分解的9种方法

因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程.总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。

2. 公式法常用的公式:完全平方公式、平方差公式。

注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2）3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意:它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三：把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1;分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）.用画十字交叉线方法表示下列四种情况:经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.解原式=（x —3)(2x —1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1)（a2x+c2）.这种方法要多实验，多做,多练。

因式分解--公式法(2)完全平方公式

注意结构特征
( 4x 3)2
(a + b )2
a2 ± 2 . a . b + b2 =（ a ± b)²
例5 分解因式：首 2 2 首尾尾 2 (首尾 )2
(2)x24x y4y2. 分析：原式= (x24xy4y2 )
注意符号
[x 2 2 x (2 y ) (2 y )2 ]
黄金中学程珊
问题：通过这个图形我们可以联想到哪个乘法公式？
(ab)2 a22ab b2
整式乘法
(a b)2 a22ab b2 (ab)2 a22ab b2
因式分解
这两个公式叫做(因式分解的)完全平方公式.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍,等于这两数的和（或差）的平方．
利用公式法因式分解的一般步骤：
1.一提：先观察要分解的多项式有无公因式，首先考虑：提公因式 2.二套：即套公式。提完公因式后或没有公因式，就看项数.
若两项，考虑能否用平方差公式若三项，考虑能否用完全平方公式３.三查：检查。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
注意：公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示
多项式 .
为更好方便交通管理，准备将原正方形区域位置扩大成更大区域，位置扩大后仍为正方形，面积达到 (a2b)2，请你画出扩大后图形并用因式分解的方法验证其面积大小．
解：验扩证大方后法的1区：域如图所示：
(ab)22(ab)bb2
a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 b 2 a24a b4b2 a+b
因式分解的方法
数学思想方法
整体思想逆向思维

14.3.2公式法——完全平方公式

解
2 2 (1)3ax +6axy+3ay
2 2 =3a(x +2xy+y )
=3a(x+y)
2.
注意：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.
(2)81m4-72m2n2+16n4 =(9m2) 2-2· 9m2· 4n2+(4n2) 2 =(9m2-4n2) 2. 问：做到这一步还能不能继续再分解? 答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式. 原式=(9m2-4n2) 2 =[(3m) 2-(2n) 2] 2 =[(3m+2n)(3m-2n)] 2 =(3m+2n) 2 (3m-2n) 2.
6.把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式. 当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；当一个多项式的两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；当多项式可以看作是二次三项式时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.
2
2 2 xy x
2
y
2
(3) a b 6 a b 9
4 a
2
4b 4ab
2

情景导入复习 & 思考 ☞
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
反过来得到：
整式乘法
a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2
小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2

a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式
即：和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式倒过来就得到因式分解的完全平方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首尾尾2 首尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解

14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案

学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。

（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。

（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

14.3.2.2 公式法——完全平方公式

（1）a2－4a+4; （3）4b2+4b-1; 是不是（2）1+4a² ; 不是（4）a2+ab+b2; 不是
分析：（2）因为它只有两项；
（ 3） 4b² 与-1的符号不统一；
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
P118 例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.
2
P118 例6 分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2－12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2－12m+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 (2)原式=(a+b)2－2· (a+b) · 6+62
=(x2－6－3)2 =(x2－9)2 =[(x＋3)(x－3)]2 =(x＋3)2(x－3)2
1. 把下列各式分解因式.
2. 因式分解：x4－8x2y2+16y4．
解：原式=(x2)2－2· x2· 4y2 +(4y2)2
=(x2－4y2)2
=[(x＋2y)(x－2y)]2
=(x＋2y)2(x－2y)2
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍
a 2 2ab b 2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.

14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册

a
b
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法因式分解.
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
2a(x y)2
先纳总结巩固提升小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解步骤方法
先提公因式→一提再用公式→二用继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式，展开合并再观察。
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3

14.3.2公式法_因式分解(完全平方公式)

a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾尾
判别下列各式是不是完全平方式
1x 2 xy y 2 2 2A 2 AB B 2 2 3甲 2 甲乙乙 2 2 4 2
a 2ab b a b
2 2
2
a 2ab b a b
2 2
2
这两个多项式有什么特征?
2 2 2 2 a +2ab+b 与a -2ab+b
这两个多项式是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，这恰是两个数和或差的平方。
我们把 2 2 和 2 2 a +2ab+b a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式。
1. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 2 2 【解析】9x －y －4y－4
= 9x2－(y2+4y+4） = 答案： 2. 分解因式：2a2–4a+2 2 【解析】 2a – 4a+2 = 2(a 2 – 2a +1) = 2(a – 1) 2
需要我们掌握： 1：如何用符号表示完全平方公式？
(1) (2) 1 6 a 4 + 2 4 a 2 b 2 + 9 b 4 2 2 解:（1）x － 12xy+36y 2 2 = x －2· x· 6y+ （ 6y ） = （ x － 6y ） 2 （ 2 ） 16a 4 +24a 2 b 2 +9b 4
2. 因式分解.
2 2 x － 12xy+36y

14.3.2 第2课时运用完全平方公式因式分解

9．(1)[2017·安顺]若代数式 x2＋kx＋25 能使用完全平方公式，则 k＝ ±10 . (2)若 x2＋8x＋k2 是一个完全平方式，则 k＝ ±4 . 10．(1)当 m＋n＝3 时，m2＋2mn＋n2＝ 9 ； (2)[2018·菏泽]若 a＋b＝2，ab＝－3，则 a3b＋2a2b2＋ab3＝－12 .
B．x－122
C.12(x－1)2
D．2x－122
3．把 8a3－8a2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
4．分解因式： (1)[2018·淄博]2x3－6x2＋4x＝ 2x(x－2)(x－；1) (2)[2018·威海]－12a2＋2a－2＝－12(a－2)2 ； (3)[2018·德阳]2xy2＋4xy＋2x＝ 2x(y＋1)2 ； (4)[2018·攀枝花]x3y－2x2y＋xy＝ xy(x－1)2 .
5．分解因式：(a－b)(a－4b)＋ab＝ (a－2b)2 .
6．把下列多项式因式分解： (1)－3x2－12＋12x； (2)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25.
解：(1)－3x2－12＋12x ＝－3x2＋12x－12 ＝－3(x2－4x＋4) ＝－3(x－2)2. (2)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25 ＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)×5＋52 ＝[2(x＋y)－5]2 ＝(2x＋2y－5)2.
D．0 个
3．[2017·杭州模拟]因式分解 4－4a＋a2，正确的是( A )
A．(2－a)2
B．(2＋a)2
C．(2－a)(2＋a)
D．4(1－a)＋a2

正式公式法分解因式完全平方公式

5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
拓展新知例2: 分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。（2）中把a+b看作一个整体，设m=a+b，则原式化为m2-12m+36
课堂练习
1、下列各式中，是完全平方式的是（D ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ B ） A、6 B、±6 C、3 D、±3
课堂练习
3、下列各式中，不能用完全平方公式分
(3x)2 2×1×3x 12
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
公式应用的特征: 左边是:两数的平方和与这两数积的两倍
和(或差). 结果是:这两数和(或差)的平方
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
(a b)2
=-（ x2+2xy+y2）
=-（x+y)2
（2）(xay)22+2ab-b2 =（a-b）²
错。此多项式不是完全平方式
用完全平方式分解因式

14.3.2公式法(完全平方公式)

1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分解。

3、体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法。

学习重点：用完全平方公式分解因式；学习难点：正确运用平方差公式进行因式分解.学习过程：一、自主学习前面我们在学习整式乘法时用到了完全平方公式，其公式内容为。

像用平方差公式逆过来用可以分解因式一样，若把完全平方公式逆过来，就得到a 2+2ab+b 2=(a+b)2,a 2-2ab+b 2=(a-b)2。

这样，我们就可以利用它们对多项式进行因式分解了我们看到，凡是可以写成a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2这样形式的多项式，都可以用完全平方公式分解因式，即可以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。

因此，我们把形如a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的式子称为。

活动1：请举一个完全平方式的例子?并观察其形式和特点。

例1：下列各式是完全平方式。

()()()()()()25.06965441243442441222222222++--+-+++++-a a x x b ab a b ab a y x x a a二、合作探究例2：1.把下列各式分解因式：⑴ t 2+22t+121； ⑵m 2+41n 2－mn.（3）216249x x ++ （4）2244x xy y -+-2.把下列各式分解因式：⑴22363ax axy ay ++ ⑵2()4()4x y x y ---+ ⑶2()12()36a b a b +-++生练1：课后练习1，2（P 119)例3:(1)如果m x x ++42是完全平方式，则m= 。

(2)如果1642++mx x 是完全平方式，则m= 。

(3)如果22369y kxy x ++是完全平方式，则k= 。

例4：已知a,b,c 是ΔABC 的三边，且满足关系式222222bbc ab c a -+=+。

人教版数学八年级上册课件：14.3.2 公式法

知
提公因式法
平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
探究
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你
拼成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
探究新知
这个大正方形的面积可以怎么求？ (a+b)2 = a2+2ab+b2
探究新知
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
★符合平方差的形式的多项式才能用
(3)–x2–y2 (4)–x2+y2 (5)x2–25y2 (6)m2–1
–(x×2+y2) y√2–x2
(x√+5y)(x–5y) (m√+1)(m–1)
平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
探究新知
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
探究新知
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
拓广探索题
(1)992–1能否被100整除吗？ (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？

14.3因式分解(3)——公式法(完全平方公式)讲练课件-2023-2024学年人教版八年级数学上册

；
；
(2b－a)2
(3x＋2)2
；
－(a＋b)2
．
2．填空：
(1)若x2＋8x＋k是完全平方式，则k＝
16
；
(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝
±4
.
3．分解因式：
(1)1＋10t＋25t2;

2
(2)y －y＋ .

(1)解：原式＝12＋2·1·5t＋(5t)2
＝(1＋5t)2.
2
(2)解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2)
＝4a(x＋y)2.
4.分解因式：
(1)2x3＋4x2＋2x； (2)－4x3＋4x2y－xy2.
(1)解：原式＝2x(x2＋2x＋1)
＝2x(x＋1)2.
(2)解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2)
＝－x[(2x)2－2·2x·y＋y2]
＝－x(2x－y)2.
(1)解：原式＝(x2)2－2·x2·4y2＋(4y2)2
＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2.
(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
(2)解：原式＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
运用因式分解进行简便运算
例5 利用因式分解计算：342＋34×32＋162.
解：原式＝342＋2×34×16＋162
方公式分解因式的有(
A．1个
C )
B．2个
C．3个
D．4个
4．分解因式：
(1)x2－2xy＋y2＝
(2)4a2＋4ab＋b2＝
(x－y)2
(2a＋b)2
；
．
5．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为

第14课因式分解(3)——公式法(完全平方公式)

A. x2－x＋1 C. x2－x＋1
4
B. x2－4x－4 D. x2－4x＋9
13. 如果x2＋mx＋16是完全平方式，则m的值是( D ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8
第3关 14. 分解因式：－2a3＋12a2－18a.
－2a(a－3)2
15. 已知a＋b＝10，ab＝6，求 a3b＋2a2b2＋ab3的值. 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2，将a＋b＝10，ab＝6代入，得原式的值为600.
总结：能用完全平方公式分解因式的条件
①三项式；
②首尾化为平方，中间是首尾底数积的2倍. 3. 分解因式：
(1)x2＋4x＋4＝___x_2_＋__2_·x_·_2_＋__2_2__＝__(x_＋__2_)_2_； (2)x2－6x＋9＝___x_2_－__2_·x_·_3_＋__3_2__＝__(x_－__3_)_2_； (3)x2－8x＋16＝____(x_－__4_)_2___； (4)x2＋12x＋36＝___(x_＋__6_)_2____.
4. (例2)分解因式： (1)m2－10mn＋25n2＝_m__2_－__2_·m__·5_n_＋__(_5_n_)_2 ＝__(_m__－__5_n_)2__； (2)4x2＋12xy＋9y2＝_(2_x_)_2_＋__2_·2_x_·_3_y_＋__(3_y_)_2＝___(_2_x_＋__3_y)_2___.
二、新课学习
完全平方公式：整式乘法：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 分解因式：a2＋2ab＋b2＝________________；
a2－2ab＋b2＝________________.