矩阵的分块

矩阵的分块
1.1 好量子数
在量子力学中,标记力学量的本征值的指标称为量子数,若该力学量是守恒量（即与哈密顿量对易）那么相应的量子数就称为好量子数.利用好量子数可以使哈密顿量的矩阵准对角化从而大大简化计算工作量。

在我们这个模型中H 为：
1
,,)
(+=∑∑++=•=i j j
i z j z i y j y i x j x i j
i j i S S S S S S J S S J H
∑=i
z
i z total S S
[]0,=H S
z total
>>=s s z total m s m S ||
||}m {|||||'s >=⇒<>>∈⇒>
>=>=s s s s s z
total
s z
total
m H m m H m sH m HS
m H S
1.2 矩阵的分块
H 可按照z
total S 的不同写成分块矩阵。

示意图如下：
例如 L=2
哈密顿量H ：
1
001
|
|
|
|1001
||||4/100004/12/1002
/14/100004
/1-====<↓↓<↓↑<↑↓<↑↑-====↓↓>↓↑>↑↓>
↑↑>⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--=z t z t z t z t z t z t z t z t S S S S S S S S
我们再以L=4为例：
希尔伯特空间的基矢为：
}|,|,|,{|}|,|,|,{|}|{|}|{|}|,{|}|,{|4
4
321↓↓>↓↑>↑↓>↑↑>⊗↓↓>↓↑>↑↓>↑↑>=↓>↑>⊗↓>↑>⊗↓>↑>⊗↓>↑>=
L H 为16×16的矩阵。

很显然，我们可以按照z t S 的不同将H 写为：
1
144664411161624
14
04
14
2
2
4⨯⊕⨯⊕⨯⊕⨯⊕⨯⇒⨯⊕⊕⊕⊕⇒-==-=========z t z t z t z t z t S L S L S L S L S L L H
H
H
H
H
H
而这些矩阵表示的基矢必须对应的变化为：
}|,|,|,{|}{|↓↑↑↑>↑↓↑↑>↑↑↓↑>↑↑↑↓>⊕↑↑↑↑>⇒ }|,|,|,|,{|↓↓↑↑>↓↑↓↑>↑↓↓↑>↑↓↑↓>↑↑↓↓>⊕ }{|}|,|,|,{|↓↓↓↓>⊕↓↓↑↓>↓↓↑↓>↓↑↓↓>↑↓↓↓>⊕
为了得到基态，运用好量子数是很重要的，它可以把一个较大的矩阵问题转化为一个较小的矩阵问题，如L=4是16×16的矩阵对角问题转化为6×6的矩阵对角化问题；
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----===4/12/12/14/302/102/10000
02/14/102/10
02/104/12/10002/12
/14/32/100002
/14/104
z
t s L H 1.3 MATLAB 运行结果
虽然通过好量子数z total S 将矩阵的维数降低，但是随着L 的增大依然增大的很快，因此
我们不得不借助有MATLAB ，将z
t
s L H 用计算机进行模拟,利用eig （）求出基态
L
2 3 4
5
6
7
8
0E
-0.75 -1 -1.6160 -1.9279 -1.4936 -1.8362 -3.3749 L
9
10
11
12
13
14
0E
-3.7363
-4.2580
-4.6321
-5.1421
-5.5253
-6.0267
随着 L 的不段增大，还是会遇见“指数墙”的问题，为此，我们将不得不采用lanczos 算法或者重整化的方法。