江苏专用2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7课二次函数与幂函数课时分层训练

第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第7课 二次函数与幂函数课

时分层训练

A 组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、填空题

1．(2017·南通第一次学情检测)设幂函数f (x )＝kx α的图象经过点(4,2)，则k ＋α＝________.

32 [由题意可知k ＝1,4a ＝2，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32

.] 2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为________. 【导学号：62172038】

13 [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]

3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是________． 1或2 [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]

4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．

14 [令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14

，结合图象(略)知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14

.] 5．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________. 【导学号：62172039】

1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，

所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以{ f 2 ＝1， f 3 ＝4，

即⎩⎪⎨⎪⎧ a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]

6．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． P ＞R ＞Q [P ＝2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，

得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭

⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 7．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是

________．

(－4,4) [由题意可得{ 5－a >0， Δ＝36－4 5－a a ＋5 <0，

解得－4

8．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________. 【导学号：62172040】

1 [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，

∴函数的最大值在区间的端点取得．

∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤4－3a ，4－3a ＝1，

解得a ＝1.] 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋

1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．

[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2

，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，

从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2

－2a ＋1，

由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，

又a ≥2，所以2≤a ≤3.]

10．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 【导学号：62172041】

－2x 2＋4 [∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2，且f (x )为偶函数，

可知ab ＋2a ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.

又f (x )的值域为(－∞，4]，所以b <0,2a 2＝4.

∴f (x )＝－2x 2＋4.]

二、解答题

11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .

(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．

[解] (1)由题意知

⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a

＝－1，f －1 ＝a －b ＋1＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.

所以f (x )＝x 2＋2x ＋1， 由f (x )＝(x ＋1)2

知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．

(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，

令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34

知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，

即k 的取值范围是(－∞，1)．

12．已知函数f (x )＝x 2

＋(2a －1)x －3，

(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；

(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．

[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，

对称轴x ＝－32

∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，

∴值域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12

. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12

时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，

∴6a ＋3＝1，即a ＝－13

满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12

时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，

∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．

综上可知a ＝－13

或－1.