第一章 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

合集下载

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1

课题 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球（1）课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标圆柱、圆锥、圆台和球定义圆柱、圆锥、圆台和球的性质母线顶点教学重点了解圆柱、圆锥、圆台和球教学难点圆柱、圆锥、圆台和球中的一些计算教师准备教学过程时间分配集备修正1．圆柱及相关概念1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

2．相关概念：（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；（3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。

3．圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。

圆柱是如何得到的？它有什么性质？1．圆柱是由矩形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，除此之外，还可以是矩形绕其两对边的中线旋转而形成的曲面所围成的几何体；2．在空间，到一条线段的距离等于定长的点的集合是圆柱面；也就是矩形中与旋转轴平行的那一条边绕旋转轴旋转一周形成的曲面；3．圆柱具有以下性质：（1）圆柱的底面是两个半径相等的圆，圆的半径等于矩形的边的长，1’5x5’两圆所在的平面互相平行；（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；（3）母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高.研习点2．圆锥及相关概念1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

2．相关概念：（1）圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴；（2）圆锥的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高；（3）圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（4）圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（5）圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线；3．圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥S O1。

1.1.3 圆柱圆锥圆台和球

张喜林制§1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球教材知识检索考点知识清单基本概念1．以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做____，旋转轴叫做____，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆柱的____，平行于轴的边旋转形成的曲面叫做圆柱的____，无论旋转到什么位置都不垂直于轴的这条边叫做____．2.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做____，斜边旋转形成的曲面叫做____，无论旋转到什么位置，这条边都叫做，另一条直角边旋转形成的面叫做____．3.以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆台的，另一条斜腰旋转形成的曲面叫做圆台的，这条边无论旋转到什么位置都叫做____．4．一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做；球面围成的几何体，叫做；形成球的半圆的圆心叫做；连接球面上的点和球心的线段，叫做；连接球面上两点且通过球心的线段叫做____，球面也可以看作的点的集合．要点核心解读1．圆柱、圆锥、圆台的性质(1)对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是轴线垂直于圆柱的底面；二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形，平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．(2)对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面——平行于底面的截面是与底面相似的圆，过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l 、高h 和底面圆的半径R 组成一个直角三角形，有关圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，往往会用到关系式.222R h l +=(3)对于圆台的性质，要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以由任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圆台的母线l 、高h 和上底面圆的半径r 、下底面的半径R 组成一个直角梯形，且有222)(r R h l -+=成立，有关圆台的计算问题，常归结为解这个直角梯形：2．球的截面性质(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)如图1-1-3 -1所示，球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r ，有如下关系：.22d R r -=球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．由于球的大圆含有球的全部元素，所以在解答有关球的计算问题时，常作出球的一个大圆，化“球”为“圆”，利用平面几何的有关定理来解决．3．圆柱、圆锥和圆台的轴截面及侧面展开图(1)圆柱的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -2所示）．(2)圆锥的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -3所示）．(3)圆台的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -4所示）4．球面距离(1)球面距离的概念．在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的-段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离．(2)地球的经度和纬度．当把地球看作—个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆.00经线（本初子午线）、东经180。

圆柱、圆锥、圆台和球

似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长，因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO’ .
4．有关性质：（1）用平行于底面的平面去截，截面都是圆。（2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。（2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球.

第一章1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球教案教师版

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球【学习要求】1．认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体．2．认识和掌握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．3．理解球和球面距离的概念、平面与球的各种位置关系．【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．2．旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．3．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球．4．用一个平面去截一个球，截面是一个圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆 . 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：r[问题情境]举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．探究点一圆柱、圆锥、圆台的结构特征导引观察下面的几何体，你可能会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台．为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台呢？问题1 圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质？哪些性质可以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合的特征性质？答：通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如图)．问题2 类比棱柱、棱锥、棱台中的底面、侧面、侧棱、高这些概念，在圆柱、圆锥、圆台中相应的有关概念是如何定义的？答：旋转轴叫做所围成的几何体的轴：在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．问题3 对圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？答：分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．问题4 圆柱、圆锥、圆台如何用字母表示？答：圆柱、圆锥、圆台用表示它的轴的字母表示，如问题1中的图中圆柱OO′、圆锥SO 、圆台OO′.问题5 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？答：它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆，圆锥只有一个底面；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥例1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长(如图所示)．解：设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x,4x ，根据相似三角形的性质得33＋y ＝x 4x ，解此方程得y ＝9. 因此，圆台的母线长为9 cm.小结：处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系．跟踪训练1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，原来圆锥的母线长是16 cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.根据相似三角形的性质得，16－l 16＝r 4r，解得l ＝12.所以，圆台的母线长为12 cm.探究点二球的结构特征问题1 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆运动的轨迹是怎样的空间图形？答：半圆运动的轨迹是一个球面．问题2 球面的定义是怎样的？球心、球半径、球的直径是如何定义的？答：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球．形成球的半圆的圆心叫球心；连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径．如图中点O 为球心，OA 为球的半径，AB 为球O 的直径．问题3 如何用字母表示一个球？答：一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O.问题4 用集合的观点如何定义球面？答：球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．问题5 用一个平面去截一个球，如何说明截面是圆面？答：如图所示，设OO′＝d ，对于平面α与球面的交线上任意一点P ，O′P ＝R 2－d 2，是一个定值．因此，平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以r ＝R 2－d 2为半径的一个圆，即截面是一个圆面．问题6 阅读教材14－15页，你能说出什么是球的大圆？什么是球的小圆？什么是球面距离吗？什么是旋转体？什么是组合体？答：(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．(2)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体．(3)现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.例2 设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于24πR.求A 、B 两地间的球面距离．解：如图所示，A 、B 是北纬45°圈上的两点，AO′为它的半径，∴OO ′⊥AO′，OO′⊥BO′.∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°，∴AO′＝BO′＝OA·cos 45°＝22R. 设∠AO′B 的度数为α，则απ180·AO′＝απ180·22R ＝24πR ，∴α＝90°. ∴AB ＝AO′2＋BO′2＝⎝⎛⎭⎫22R 2＋⎝⎛⎭⎫22R 2＝R. 在△AOB 中，AO ＝BO ＝AB ＝R ，则△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴A 、B 两点间的球面距离为60πR 180＝π3R. 小结：计算球面距离的关键是确定球大圆劣弧所对的圆心角的度数α，然后通过计算απR 180来确定球面距离(R 是球半径)．跟踪训练2 我国首都靠近北纬40°纬线．求北纬40°纬线的长度约等于多少km(地球半径约为6 370 km ，π≈3.141 6，cos 40°＝0.766 0)．解：如图所示，设A 是北纬40°圈上的一点，AK 是它的半径，所以OK ⊥AK.设c 是北纬40°的纬线长，因为∠AOB ＝∠OAK ＝40°，所以c ＝2π·AK ＝2π·OA·cos ∠OAK ＝2π·OA·cos 40°≈2×3.141 6×6 370×0.766 0≈3.066×104(km)．即北纬40°的纬线长约为3.066×104 km.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．解析：设正三角形的边长为a ，则34a 2＝3，∴a ＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高所以所求的高为32a ＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.2．圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为2 cm,10 cm，高为3 cm，则圆台母线的长为________ cm.解析：圆台母线的长为l＝32＋－2＝5(cm)．3．在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离．解：因截面圆的面积是49π cm2，所以截面圆的半径为7 cm，设球心到这个截面的距离为d，由r＝R2－d2，得d＝R2－r2＝252－72＝24.即球心到这个截面的距离为24 cm.课堂小结：1．圆柱的平行于轴线的截面是一个以上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．2．圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R的关系为l2＝h2＋R2.3．圆台的母线l、高h和上下两底面圆的半径r、R组成一个直角梯形，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形．“还台为锥”也是解决圆台问题的主要方法．4．球面与球体是有区别的．球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，也包括球面所包围的空间．。

人教B版数学必修二目录

必修二
第一章立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1.1.2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.4 投影与直观图
1.1.5 三视图
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论
1.2.2 空间中的平行关系
1.2.3 空间中的垂直关系
本章小结
阅读与欣赏
散发着数学芳香的碑文
第二章平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.4 点到直线的距离
2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程
2.3.2 圆的一般方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式
本章小结
阅读与欣赏
笛卡尔。

高中数学必修2 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；2.能在几何体中进行相关的简单运算；3. 能描述一些简单组合体的结构.学法指导自学教材P11~ P12，弄清楚圆柱、圆锥、圆台的结构特征探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做旋转轴叫做圆柱的；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO .探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台.圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.※典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体______________________________.※动手试试'',剩下的几何体是什么?截去的几何体是什练.如图，长方体被截去一部分，其中EH‖A D么?三、总结提升※学习小结1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；2. 简单组合体的结构特征.※知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. Rt ABC∆三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.A.是底面半径3的圆锥B.是底面半径为4的圆锥C.是底面半径5的圆锥D.是母线长为5的圆锥2. 下列命题中正确的是（）.A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（）.A. B.4. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.5. 圆锥母线长为R__________.课后作业1.如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图形，若将180后形成一个组合体，下面它绕轴旋转0说法不正确的是___________A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点,则球心到截面的距离为多少？2. 用一个平面截半径为25cm的球,截面面积是249cm。

高中数学必修二113_球

O1
A
O
O2 B
练习：
1、球面上有3个点，其中任意两点的球面距
离都等于大圆周长的 1 ,
6
经过3点的小圆的周
长为4 , 那么这个球的半径为（）
A．4 3 B．2 3 C． 2 D ． 3
O C
B A
练习：
已知球O的半径为13，表面上有P、B、C三点，且 PB=8,PC=6,BC=10, 求过P,B,C的截面到球心的距离？
(2) 求经过A、B两地的球面距离？
m
O1
A
B
O
例3．在半径为 13cm 的球面上有 A, B,C 三点，
AB BC AC 12cm ，求球心到经过这三点的截面的距离
O
B
C
新疆王新敞
奎屯
O'
A
练习：
球的半径是25，球内有两个平行截面的面积分别是49、400,求两截面距离
O
O1
A
O2 B
1.1空间几何体
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 (2)
1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。
2.半圆面以它的直径所在的直线球的直径为轴旋转所成的几何体叫做球体。 (球是旋转体 )
球的半径
3.注意：球面和球体的区别：球面仅仅是指球的表面，而球体不仅包括球的表面，而且还包括球面所围成的几何空间。
A．一个 B．无穷多个
C．零个 D．一个或无穷多个
2．判断：(1)过球面上相异两点A、B(不
是直径的端点)总可作无数个小圆（√）
地球仪中的经纬线
经线：球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线。
纬线：赤道是一个大圆，其余都是小圆。

数学：1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》课件(新人教B版必修2)

你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O
球心
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
知识小结
简单几何体的结构特征
柱体
棱柱圆柱
锥体棱锥圆锥
台体棱台圆台
球
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱圆台
S
顶点
（1）底面是圆（2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形母（3）母线相交于顶点
轴侧面
（4）平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆
（5）轴截面是等腰三角形．
A
线
O B
底面
前面提到的四种几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，可以怎样分类？
几何体的分类
柱体
锥体
棱台与圆台的结构特征下图中的物体具有什么样的共同的结构特征？有什么不同的结构特征？
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体叫棱锥．
S
顶点
（1）底面是多边形（2）侧面都是三角形．（3）侧棱相交于一点．
侧棱
侧面
D
C 底面
B
A
圆柱的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
A′ O′
A
O
圆柱的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
圆柱
底面以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
简单组合体

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

组合体
简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特征是什么？
简单组合体
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特征呢？
90° 60° 66.5°北极圈
40°
20° 30° 0° 20° 40° 60° 90° 60° 90° 120° 150° 赤道 23.5° 南回归线 23.5° 北回归线
南极圈 66.5°
P地的纬度就是经过 P点的球半径和赤道平面所成的线面角 ∠POA的度数
北极
G
r R
P
O
A
南极
球面离
简单组合体
蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的主要几何结构特征是什么？
简单组合体
居民的住宅又有什么主要几何结构特征？
简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的主要几何结构特征吗？
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O S
O
2、表示：如圆锥SO。
圆台
O1 O
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.
思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大上底缩小
思考：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形？
例1. 用一个平行圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长。

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球2012-12-04

圆柱、圆锥、圆台定义
可以看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体。
演示
轴母线 S 高高 O A 底面
轴底面
轴
O’
A’
底面
A’
O’
高
母线
O
底面 A 侧面的母线
O A
底面
展示题目
展示地点
展示
预习导学1
预习导学3及思考例1 例2
展示题目预习导学1 预习导学3及思考
展示地点
展示
要求
前黑板前黑板后黑板后黑板后黑板
1 2 3 4 5
1．展示人书写认真快速；总结规律方法（用彩笔） 2．其他同学讨论完毕总结整理完善，并迅速浏览展示同学的答案，准备点评。 3．提高效率，不浪费一分钟。
例1
例2 例2拓展
展示题目
2
2
R r
o
d
O′
r R d
2
2
展示题目
展示地点
展示
预习导学1
预习导学3及思考例1 例2
前黑板
前黑板后黑板后黑板
1
2 3 4
例2拓展
后黑板
5
（1）点评方面：对错、规范(布局、书写)、思路分析（步骤、易错点），总结规律方法（用彩笔）。（2）其它同学认真倾听、积极思考,重点内容记好笔记。有不明白或有补充的要大胆提出。（3 ）力争全部达成目标，A层（120%）多拓展、质疑,B层（ 100%）注重总结，C 层（95%）。
例1 、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上下底面半径的比是1：4。截去的圆锥的母线长是4cm，求圆台的母线长。

2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.3圆柱圆锥圆台和球学业分层测评新人教B版

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列命题中，真命题的个数是( )①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行.A.0B.1C.2D.3【解析】①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误.【答案】 B2.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥【解析】如图，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.【答案】 D3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )A.圆锥B.圆柱C.球D.棱柱【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面.【答案】 D4.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体(如图1140所示)，其结构特征是( )图1140A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.【答案】 B5.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图1141所示，则截面可能的图形是( )图1141A.①③B.②④C.①②③D.②③④【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】 C二、填空题6.如图1142是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.图1142【解析】一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱.【答案】圆柱7.直角梯形绕其较长底边所在直线旋转一周，所得旋转体的结构特征是________________.【解析】由旋转体的定义知，该几何体为一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.【答案】一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体8.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.【解析】如图是圆锥的轴截面，则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，∴AO＝10 cm，SO＝10 3 cm.【答案】 10 3 三、解答题9.指出如图1143①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的.图1143【解】图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体. 图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.10.一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求： (1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示).由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm)，下底半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－－2＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [能力提升]1.下列判断中正确的个数是( )①圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的； ②球面和球是同一个概念；③经过球面上不同的两点只能作一个球大圆. A.1 B.2 C.3D.0【解析】 ①正确；球面和球是两个不同的概念，②错误；若球面上不同的两点恰好为球的直径的端点，则过此两点的球大圆有无数个，故③错误.【答案】 A2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.0.5【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22， ∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3. 【答案】 B3.在如图1144所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm 、最长80 cm ，则斜截圆柱侧面面积S ＝________cm 2.图1144【解析】将侧面展开可得S ＝12(50＋80)×40π＝2 600π(cm 2).【答案】 2 600π4.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱. (1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ； (2)当x 为何值时，S 最大？【解】 (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6).(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。

【优化方案】2012高中数学第1章1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件新人教B版必修2

2．球． (1)球的结构特征球的结构特征定义：定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球．形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球．球心：形成球的半圆的________叫做球的球心．叫做球的球心．球心：形成球的半圆的圆心叫做球的球心球的半径：球的半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径．球的直径：球的直径：连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．的直径．
思考感悟 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面，在它们的．圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面，侧面内有直线段吗？侧面内有直线段吗？提示：有．由圆柱、圆锥、圆台的定义以及母线提示：由圆柱、圆锥、的定义可知，圆柱、圆锥、的定义可知，圆柱、圆锥、圆台的侧面上的母线是直线段，事实上在它们的侧面上，是直线段，事实上在它们的侧面上，也只有母线是直线段．是直线段．
(2)球的截面的性质球的截面的性质为截面圆半径，为球的半径为球的半径，为球心为球心O到截 ①r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心到截为截面圆半径面圆的距离，即 O 到截面圆心 O′ 的距离 ( 如 ′ 图 ) ．则 r 、 R 、 d 2＝d2间r2的关系为 R 之＋ _________________. 球的大圆、 ②球的大圆、小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
【答案】 A 答案】点评】本题是考查圆柱、圆锥、【点评】本题是考查圆柱、圆锥、圆台概念的理解问题．对几何体的概念理解要到位，理解问题．对几何体的概念理解要到位，稍有疏忽都会造成错误的判断，忽都会造成错误的判断，做题时要注意以哪条边所在直线为旋转轴，必须清楚地认识到：所在直线为旋转轴，必须清楚地认识到：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转得圆以斜边为旋转轴旋转就是两个圆锥的组合体；锥，以斜边为旋转轴旋转就是两个圆锥的组合体；以直角梯形垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得圆台，得圆台，以斜腰所在直线为旋转轴把直角梯形旋转一周得两个圆锥和一个圆台的组合体．转一周得两个圆锥和一个圆台的组合体．

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球解读

o′
o
圆台的性质: 1、圆台的母线长都相等. 2、平行于底面的截面都是圆. 3、圆台的轴通过两底面圆的圆心,并且与底面垂直. 4、轴截面(经过圆台轴的平面截圆台所得的截面)是全等的等腰梯形,腰长就是母线长.
例1 .用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是 1 ：4，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
圆锥的性质:
①圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且与底面垂直. ②圆锥的母线长都相等.
③平行于底面的截面都是圆. ④轴截面(经过圆锥轴的平面截圆锥所得的截面)是全等的等腰三角形. ⑤圆锥的侧面展开图是扇形,底面圆周长与母线长分别对应扇形的弧长和半径.
知识探究（三）：圆台的结构特征
思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成？
顶点
轴母线
底面
侧面
母线
旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边在旋转中的任何位置叫做圆锥侧面的母线.
思考3：经过圆锥任意两条母线的截面是什么图形？
思考4：经过圆锥的轴的截面称为轴截面，你能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征吗？
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
思考2：在圆柱的形成中，旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，平行于轴的边在旋转中的任何位置叫做圆柱侧面的母线. 你能结合图形正确理解这些概念吗？轴侧面
h
h
l
l
(l 3 (5 1) 5)
问题：

2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.3.1圆柱、圆锥、圆台练习(含解析)新人教B版必修2

第1课时圆柱、圆锥、圆台A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的答案 D解析两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆以直径所在直线为轴旋转才形成球体，故B错误；C不符合棱台的定义．所以应选D．2．下列命题正确的是( )A．梯形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆台B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台答案 D解析绕梯形的一边所在直线旋转得到的旋转体也可能是组合体．当夹在圆柱的两个平行截面不与圆柱的底面平行时，不是圆柱．用与棱锥的底面不平行的平面截去一个小棱锥后，剩余部分不是棱台．圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而成的，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．A．10 B．20C．30 D．40答案 B解析如图轴截面为矩形，所以面积为(2＋2)×5＝20．4．下列说法中，不正确的是 ( ) A ．圆桂的侧面展开图是一个矩形 B ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C ．等腰直角三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台中平行于底面的截面是圆面答案 C解析等腰直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周才能形成圆锥，此处必须说明是绕它的一条直角边所在的直线．若换成直角三角形的斜边，则旋转后产生的几何体不是圆锥，而是两个圆锥的组合体，且这两个圆锥同底．5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，即A′O′＝x cm ，AO ＝3x cm(O′，O 分别为上、下底面圆心)，过A′作AB 的垂线，垂足为点D ．在Rt△AA′D 中，∠AA′D＝45°，AD ＝AO －A′O′＝2x cm ，所以A′D＝AD ＝2x cm ，又S 轴截面＝12(A′B′＋AB)·A′D＝12×(2x＋6x)×2x＝392 (cm 2)，所以x ＝7．综上，圆台的高OO′＝14 cm ，母线长AA′＝2OO′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm 和21 cm ．一、选择题1．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③矩形的任意一条边所在直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱；④矩形绕任何一条直线旋转，都可以围成圆柱．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析根据圆柱的定义可知命题①③正确，命题②④错误．2．一个圆锥的母线长为2，圆锥的轴截面的面积为3，则母线与轴的夹角为( ) A ．30° B．60°C ．30°或60° D．60°或75° 答案 C解析设圆锥的高为h ，则底面圆的半径为4－h 2，由题意，得S ＝12h×24－h 2＝3，平方整理得h 4－4h 2＋3＝0，解得h 2＝1或h 2＝3，∴h＝1或h ＝3．母线与轴的夹角为30°或60°．3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6 答案 D解析设圆台的母线为l ，高为h ，上、下两底面圆的半径分别为r ，R ，则满足关系式l 2＝h 2＋(R －r)2，根据题意可得h ＝26，即两底面之间的距离为26．4．“两底面直径之差等于母线长”的圆台( ) A ．是不存在的B ．其母线与高线必成60°角C ．其母线与高线必成30°角D ．其母线与高线所成的角不是定值答案 C解析设圆台上、下底面半径分别为r 1，r 2，母线长为l ，则由题意可得2r 2－2r 1＝l ，∴r 2－r 1l ＝12，再设母线与高线所成的角为θ，∴sinθ＝12，θ＝30°．5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比为1∶3，则截面把圆锥的母线分为上下两段的比是( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶ 3D ．(1＋3)∶2 答案 D解析圆锥的上底面半径与下底面半径之比为1∶3，故截去小圆锥的母线与大圆锥的母线之比为1∶3，截面把圆锥的母线分为上下两段的比是1∶(3－1)＝(1＋3)∶2．二、填空题6．圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角形的最大面积为2，则圆锥的母线长为________．答案 2解析对于该圆锥，过顶点的截面三角形中面积最大的三角形为等腰直角三角形，其腰为母线，所以母线长为2．7．用一张(6×10) cm 2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积等于________，轴截面的周长等于________．答案60π cm 212＋20π cm 或20＋12πcm 解析若圆柱的母线长为6，则底面直径为10π，轴截面的面积为60π cm 2，周长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋20πcm ；若圆柱的母线长为10，则底面直径为6π，轴截面的面积为60π cm 2，周长为⎝⎛⎭⎪⎫20＋12π cm ．8．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是________．答案②④解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．三、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．解如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r．由题意可得轴截面的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16，解得r＝2．所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4(cm)．10．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值．解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L 就是圆O的周长，∴L＝2πr＝2π．∴∠ASM＝L2πl×360°＝2π2π×4×360°＝90°．(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16(0≤x≤4)．∴f(x)＝AM 2＝x 2＋16(0≤x≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA·SM＝12AM·SR，∴SR＝SA·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx 2＋16(0≤x≤4)． (3)∵f(x)＝x 2＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32．。

《圆柱、圆锥、圆台、球》教学设计

1．1 空间几何体的结构1．1．3 圆柱、圆锥、圆台、球(张伟)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解圆柱、圆锥、球的定义，培养空间想象能力，体会立体几何的特点．（二）学习目标1．通过实例，了解圆柱、圆锥、球的定义和性质．2．会识别圆柱、圆锥的展开图．3．会处理和圆柱、圆锥、球的截面有关的简单问题．（三）学习重点1．圆柱、圆锥、球的概念．2．圆柱、圆锥、球的性质．（四）学习难点1．利用圆柱、圆锥的展开图处理最短路径问题．2．球的截面．3．棱柱、棱锥的外接球和内切球问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第4页至第6页，填空：圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线．圆台的定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分．旋转轴叫做圆台的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面的母线．球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称球．半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径．大家观察课本第2页的图，结合定义，找出其中的圆柱、圆锥、圆台、球．大家举例说明，生活中那些物体含有圆柱、圆锥、圆台、球？2．预习自测（1）圆柱的轴截面一定为（）A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形【答案】A．【知识点】圆柱的定义【解题过程】圆柱的轴截面不一定为正方形，B错；但一定为矩形【思路点拨】以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．（2）以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球【答案】C．【知识点】圆台的定义【解题过程】圆台的有轴、底面、侧面、母线，本题中垂直于底边的腰所在的直线是圆台的轴线，另一条腰是母线，故选C．【思路点拨】空间想象出由一平面图形得到的旋转体．（3）球的截面一定是（）A．圆B．圆或三角形C．圆或矩形D．圆或椭圆【答案】A．【知识点】球的定义【解题过程】球的任一截面一定是圆，故选A．【思路点拨】空间想象出球的截面．(二)课堂设计1．知识回顾：上节课我们主要学习了棱锥和棱台．我们一起回忆一下：（1）有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥．（2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．（3）底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫正棱锥．（4）由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．2．问题探究探究一认识圆柱、圆锥、圆台，球★我们可以这样认识圆柱、圆锥、圆台：静态的观点：底面为圆，侧面是曲面（圆锥的顶点可以看作退化的点圆）．动态的观点：平面图形绕某条边旋转形成的面围成的旋转体．OO圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱'圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO．OO圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台'球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O●活动①性质分析通过定义，我们分析一下圆柱、圆锥、圆台，球的性质．类比上节课我们对棱锥和棱台的分析，大家可以用表格的形式来比较．大家讨论完毕之后，老师总结如下：结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球底面两底面是平行且半径相等的圆圆两底面是平行但半径不相等的圆无侧面展开图矩形扇形扇环不可展开母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无【设计意图】类比棱柱、棱锥、棱台，培养对知识的归纳整理能力．●活动②辨析概念请大家判断正误：（1）以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．（2）圆柱、圆锥、圆台都有两个底面．（3）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．（4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径．分析与解答：根据圆锥的定义，（1）正确；圆锥仅有一个底面，所以（2）不正确以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以（3）不正确圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以（4）不正确大家做对了吗？【设计意图】通过概念辨析，加深对概念内涵与外延的理解，突破重点．●活动③简单的组合体问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？现实生活中的物体大多是简单组合体．简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．将下列几何体按结构特征分类填空：（1）集装箱；（2）运油车的油罐；（3）排球；（4）羽毛球；（5）魔方；（6）金字塔；（12）三棱镜；（8）滤纸卷成的漏斗；（9）量筒；（10）量杯；（11）地球；一桶方便面；（13）一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体有_____________________________答案：棱柱结构：（1）、（5）、（7）棱锥结构：（6）圆柱结构：（2）、（9）圆锥结构：（8）棱台结构：（13）圆台结构：（10）、（12）球结构：（3）、（11）简单组合体：（4）请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．观察上图，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体．它们之间具有怎样的关系？让学生仔细观察上图，教师适当时候再提示．图中的三个组合体分别代表了不同形式．学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示．讨论结果总结：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成．图（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体．图（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体．【设计意图】通过生活中的数学模型，对抽象的数学概念有直观的理解．探究二多面体和旋转体的整体比较★●活动① 理清我们学过的多面体和旋转体的关系⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧球圆台圆锥圆柱旋转体棱台棱锥棱柱多面体简单几何体【设计意图】通过复习，加深对多面体和旋转体的认识．●活动② 截面问题请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？请同学积极思考，发言对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验．对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状．探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的教师总结如下：（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形．（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形．（3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行．（4）截面不能是直角梯形．（5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形．（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等．（7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形．截面图形如图12中各图所示：【设计意图】培养立体几何的空间想象能力，培养学生联想、尝试、归纳，构造的能力．活动③巩固基础，检查反馈例1 圆台的上底面和下底面是（）A．全等的圆B．不全等的圆C．全等的多边形D．相似的多边形【知识点】棱台和圆台的区别．【数学思想】【解题过程】由圆台的定义可知B正确．【思路点拨】对比定义逐一分析即可．【答案】B．同类训练圆锥的轴截面一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．圆D．直角三角形【知识点】圆锥的定义．【数学思想】【解题过程】圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线为其两腰．【思路点拨】准确理解圆锥定义．【答案】A．例2 下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确的有（）个．A．1B．2 C．3 D．4【知识点】多面体和旋转体的综合问题．【数学思想】【解题过程】①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，①错误．②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，②错误．③中底面不一定是正方形，所以③不正确根据定义④是正确的．【思路点拨】使用定义逐一分析．【答案】A．●活动④强化提升、灵活应用例3 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如下图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________．【知识点】多面体的展开图．【数学思想】构造．【解题过程】如下图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC=90°【思路点拨】发挥空间想象能力，将正方体还原．【答案】90°同类训练有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如下图所示．从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________．【知识点】柱体性质．【数学思想】【解题过程】正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H、E、O、p、d，因此只能是标有“p”与“d”的面是同一个面，p与d是一个字母；翻转图②，使S面调整到正前面，使p转成d，则O为正下面，所以H的反面是O．【思路点拨】空间想象，还原正方体六个面上的字母．【答案】O．3．课堂总结知识梳理（1）以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱．（2）以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（3）以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．（4）以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体．重难点归纳（1）圆柱和圆锥的轴截面性质．（2）圆柱和圆锥的展开图．（三）课后作业基础型自主突破1．圆台的轴截面一定是（）A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形【知识点】圆台的定义．【数学思想】【解题过程】由定义可知圆台的轴截面为等腰梯形．【思路点拨】准确理解圆台的定义．【答案】D．2．圆锥的底面半径为1，母线长度为2，则圆锥的高为（）A ．1B ．2C ．3D ．5【知识点】圆锥的高与母线的区别．【数学思想】【解题过程】由勾股定理，高等于31222=-．【思路点拨】分离局部图形，立体几何问题平面几何化．【答案】C ．3．球O 与棱长为1的正方体的所有面均相切，则球O 的半径为（）A ．1B ．2C ．21D ．22【知识点】简单的内切球问题．【数学思想】【解题过程】正方体的内切球直径等于正方体的棱长，故半径为21．【思路点拨】想象出球与正方体相切的状态．【答案】C ． 4．下列叙述中正确的个数是（）①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】柱体和锥体的定义．【数学思想】【解题过程】①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．【思路点拨】紧扣定义，逐一判断．【答案】A ． 5．请描述下图所示的组合体的结构特征．【知识点】识别简单的组合体．【数学思想】【解题过程】图（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体．【思路点拨】准确理解简单多面体的定义，对简单的多面体有直观的判断．【答案】见解题过程． 6．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．【知识点】圆台轴截面的性质．【数学思想】【解题过程】设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r ．根据相似三角形的性质得：l 33=rr 4，解得l =9．所以圆台的母线长为9cm ．【思路点拨】分离出圆台的轴截面，利用相似三角形求解．【答案】9cm ．能力型师生共研 7．连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体．【知识点】构造多面体．【数学思想】构造【解题过程】如上图(1)，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6分别是各表面的中心．由点O 1、O 2、O 3、O 4、O 5、O 6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱．该多面体的图形如图（2）所示．【思路点拨】先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可．【答案】见解题过程．8．下图为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？【知识点】简单的组合体．【数学思想】【解题过程】奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．【思路点拨】熟悉各种简单多面体的直观图．【答案】见解题过程．探究型多维突破9．设圆锥母线长为2，高为1，过圆锥的两条母线作一个截面，求截面面积的最大值．【知识点】圆锥轴截面的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】由已知圆锥轴截面等腰三角形的顶角为 120，截面面积θsin 21⋅⋅⋅=l l S ，其中l 为圆锥的母线，θ为截面等腰三角形的顶角，且 1200<<θ故当 90=θ时面积最大，最大值为221max =⋅⋅=l l S ．【思路点拨】写出截面的函数解析式，再求它的最大值．【答案】2．10．将一个半径为R 的木球削成尽可能大的正方体，求正方体的棱长．【知识点】正方体的外接球．【数学思想】构造【解题过程】正方体的体对角线为球的直径，设正方体的棱长为x ，则R x R x x x 3322222=⇒=++．【思路点拨】想象出内接正方体的状态，再列方程求解．【答案】R 332．自助餐1．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（）A ．圆锥B ．圆柱C ．圆台D ．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体【知识点】旋转体．【数学思想】【解题过程】可以想象出几何体是两个“背靠背”的圆锥．【思路点拨】画出图形分析即可．【答案】D ． 2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台【知识点】旋转体．【数学思想】【解题过程】由球的定义可知，它的轴截面一定是圆面．【思路点拨】按照定义，逐一分析．【答案】C ． 3．下列几个命题中，正确的有（填序号）．①圆锥的截面一定是三角形；②棱台的侧面一定是等腰梯形；③棱柱的上下底面一定是全等的多边形；④圆台截面可能是圆面．【知识点】多面体和旋转体的定义与性质．【数学思想】【解题过程】与圆锥底面平行的截面为圆，故①错误；棱台的侧面一定是梯形，未必等腰，故②错误；由棱柱定义可知③正确；与圆台底面平行的截面为圆，故④正确．【思路点拨】按照定义，逐一验证．【答案】③④．4．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，圆台的上底面半径为1 cm，则圆台的高为．【知识点】圆台轴截面．【数学思想】数形结合【解题过程】∵圆台的上底半径为1，故下底半径为4，根据相似三角形可知圆台的母线长度等于9，如下图所示，在Rt△A′HA中A′H＝AA′2－AH2＝92－32＝62．故圆台的高为62cm．【思路点拨】分离出轴截面，用平几知识求解．【答案】6 2 cm．5．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如下图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【知识点】旋转体．【数学思想】【解题过程】（1）以AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．（2）以BC 边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示（3）以CD 边为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示（4）以AD 边为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．① ② ③ ④【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的．【答案】见解题过程．6．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，求该圆锥的高．【知识点】圆锥的轴截面．【数学思想】方程思想．【解题过程】设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2．所以由题意可知12·(2r )·h ＝r 42－r 2＝8，∴r 2＝8，∴h ＝22．【思路点拨】设字母表示未知量，列方程求解．【答案】22．。

1.3圆柱、圆锥、圆台和球

球的形成过程
点击这里进行演示
三、概念形成
相关概念形成球的半圆的圆心叫做球心。球心O 连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径。OA 连接球面上两点且过球心的线段叫做球的直径。AB 球：记作球O 问题3.球的轴截面是什么平面图形？
球心O
A
O
B
球的半径
三、概念形成
相关概念问题5.类比圆的定义，想一想能否用集合的语言来定义球？在空间，到一定点的距离等于定长的点的集合叫做球。
普通高中课程标准数学2(必修)
第一章立体几何初步
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球（约2课时）
良乡中学数学组制作：任宝泉
2014年1月5日
一、复习引入
前面我们学习了几个常见的多面体，棱柱、棱锥和棱台。明确了它们的定义及相关概念。
棱柱、棱锥和棱台的特征，三者之间有什么联系？棱柱、棱锥和棱台的特征，三者有什么特征？
良乡中学数学组任宝泉
怀天天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！什才在于勤奋，努力书山有下学问为求人真海无，学苦成做 !!! 人勤劳的孩子展望未来, 什徒才能但懒惰的孩子享受现在!!! 天小不不，的径，学知伤悲不到功！成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话少么也路勤习，老来么也崖学作舟
三、概念形成
类比棱柱、棱锥、棱台的生成规律，想一想圆柱、圆锥、圆台之间的关系？圆柱的一个底面收缩为一个点时，可得到圆锥。圆锥被一个平行于底面的平面截后，截面和底面之间的部分就是圆台。圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
点击这里进行演示
三、概念形成
概念3.球的概念半圆绕它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球，半圆弧旋转而成的曲面叫做球面。

广西省柳州高级中学人教版高中数学必修二课件113圆柱、圆锥、圆台和球

侧面 A
S 顶点
母线轴
O 底面
A’ O’ 底面母线
轴
A
O
底面
问题4.类比棱柱、棱锥、棱台的生成规律，想一想圆柱、圆锥、圆台之间的关系？
S
O
圆柱、圆锥、圆台的性质
性质1：平行于底面的截面都是圆
定义：过旋转轴的截面称为旋转体的轴截面
性质2：圆柱的轴截面是全等的矩形圆锥的轴截面是全等的等腰三角形圆锥的轴截面是全等的等腰梯形
球的表示方法：用表示球心的字母O表示。
旋转体一般地，一条平面曲线绕它所在的平面
内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体。
母线
母线
母线
旋转轴旋转面
圆柱面
圆锥面
更多旋转体
在生产和生活中,还有哪些几何体具有类似的生成规律?
一是平行于底面的截面，二是经过旋转轴的截面即：（即：轴截面），三是经过两条母线的截面，试说出这些截面的形状。
答：平行于底面的截面都是圆，圆柱、圆锥、圆台的轴截面依次是：矩形、等腰三角形、等腰梯形，经过两条母线截面依次是：矩形、等腰三角形、等腰梯形，
思考：选择一些平面曲线，绕其所在平面的一条直线旋转，想像其生成的曲面，你能画出它的示意图吗？
圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程
上面的几何体分别是什么平面图形通过旋转而成?
矩形、直角三角形、直角梯形、半圆
O1
AS
O1
A
O
BO
AO
B
矩形
直角三角形直角梯形
圆柱、圆锥、圆台的定义分别以矩形、直角三角形的直角边、

课时作业16：1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．下面几何体的截面一定是圆面的是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台2．点O 1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点，过O 1与底面平行的截面面积是底面面积的( )A.13B.23C.14D.193．圆台轴截面的两条对角线互相垂直，上、下底面半径之比为3∶4，高为142，则母线长为( )A ．10 3B ．25C ．10 2D ．204．下图中△SOA 沿边SO 所在直线旋转得一圆锥，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是 3 cm ，则圆台的母线长为________．5．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．下列说法中正确的是( )A ．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台一个中心的截面是等腰梯形2．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为( )A ．一个圆锥B ．一个圆锥和一个圆柱C ．两个圆锥D ．一个圆锥和一个圆台3．一个圆台的上、下底面的面积分别为1 cm 2、49 cm 2，一个平行于底面的截面的面积为25 cm 2，则这个截面与上下底面的距离之比是( )A ．2∶1B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶14．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( )A ．10 cmB ．5 2 cmC ．5π2＋1 cm D.52π2＋4 cm 5．把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是1∶4，圆台的母线长是10，则原来的圆锥的母线长是( )A.103B.703C.403 D ．136．将一个边长为a 的正方形卷成圆柱面，则圆柱的轴截面面积为__________．7．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，则过该顶点的圆锥截面中最大截面面积为__________．8．用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得的圆台的上下底面半径的比是1∶4，若截去的圆锥的母线长是3 cm ，则圆台的母线长是多少？9．如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，P点为母线B′B的中点，∠AOB＝2π3，试问一蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到P点的最小路程．【参考答案】课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．【解析】与圆柱底面平行的截面是圆面，与轴平行的截面是矩形；与圆锥底面平行的截面是圆面，过圆锥顶点的截面是等腰三角形，两腰都是母线；与圆台底面平行的截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形；球的截面总是圆面，故四种几何体中只有球的截面一定是圆面．【答案】C2．【解析】如图，由题知SO 1∶SO ＝1∶3，∴O 1B ∶OA ＝1∶3.∴S ⊙O 1∶S ⊙O ＝1∶9.【答案】D3．【解析】如下图，设上、下底面半径分别为r ，R ，母线长为l ，则r R ＝34＝O 1O OO 2.又O 1O 2＝142，∴O 1O ＝62，OO 2＝8 2.∵OB ⊥OC ，∴OB ＝12，OC ＝16，∴l ＝OB 2＋OC 2＝20.【答案】D4．【解析】设圆台的母线长为l cm ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r cm,4r cm ，根据相似三角形的性质得33＋l ＝r 4r，解得l ＝9. 所以圆台的母线长为9 cm.【答案】9 cm5．解：(1) 如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，由已知可得上底面半径O 1A ＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，又腰长AB ＝12 cm ，所以圆台的高为AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，∴l ＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．【解析】由截面的性质知，平行于圆锥、圆台母线的截面的边界都有可能是抛物线的一部分．C 正确．【答案】C2．【解析】所形成的两个圆锥对底，其底面半径是这个直角三角形斜边上的高，这两个对底圆锥的高的和等于这个直角三角形斜边的长．【答案】C3．【解析】把圆台O 1O 还原成圆锥SO ，其轴截面如图所示，其中O 2为截面圆的圆心，由SO 1SO ＝149，SO 1SO 2＝125，得SO ＝7SO 1，SO 2＝5SO 1， ∴O 1O 2＝SO 2－SO 1＝4SO 1，OO 2＝SO －SO 2＝2SO 1，∴O 1O 2OO 2＝2∶1. 【答案】A4．【解析】作出侧面展开图，如图所示．注意G 、F 在侧面展开图上应是长的中点，连接EG ，则HE ＝5 cm ，HG ＝π·52＝52π(cm)，所以EG ＝ 52＋⎝⎛⎭⎫52π2＝52π2＋4(cm)，故选D.【答案】D5．【解析】利用轴截面l －10l ＝14，所以l ＝403. 【答案】C 6．【解析】由题意得2πr ＝a ，所以r ＝a 2π，所以圆柱的轴截面面积为S ＝2r ·a ＝2a ·a 2π＝a 2π. 【答案】a 2π7．【解析】因为圆锥的轴截面的顶角为120°，大于90°，所以过顶点的所有截面中，面积最大的是等腰直角三角形的截面，且其面积为母线长的平方的一半．【答案】128．解：如图所示，设圆台的母线长为y cm ，截去的圆锥的底面与原圆锥的底面的半径分别是x cm,4x cm ，根据相似三角形性质可得33＋y ＝x 4x，解此方程可得y ＝9，即得圆台的母线长为9 cm.9．解：将圆柱侧面沿母线A ′A 剪开展平得到如图所示的平面图．则知最短路径为平面图中线段AP .在Rt △ABP 中，AB ＝2π3×2＝4π3，PB ＝2. ∴AP ＝ 16π29＋4＝2 4π29＋1＝234π2＋9 cm. 故蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最小路程为234π2＋9 cm.。

人教B版高中数学必修二第一章1.1.3.docx

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课时目标1．在复习圆柱、圆锥概念的基础上了解圆台和球的概念，并认识由这些几何体组成的简单组合体．2．会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台和球．会用集合的观点定义球．3．理解这几种几何体的轴截面的概念和它在计算中重要作用．1．圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台可以看作分别以________________、__________________________、____________________________所在的直线为旋转轴，将________、________________、______________分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．2．球(1)球面可以看作一个半圆绕着____________所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做______．(2)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于________的点的集合．(3)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的______；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的________．(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的______________．一、选择题1．下列命题中的假命题是( )A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥D ．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥2．图①②③中的图形折叠后的图形分别是( )A ．圆柱、圆锥、棱柱B ．圆柱、圆锥、棱锥C ．圆台、球、棱锥D ．圆台、圆锥、棱柱 3．下列命题中不正确的是( )A ．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台B ．过球面上两个不同的点，只能作一个大圆C ．以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台D ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面4．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5 cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为( )A ．10 cmB ．52π2＋4 cmC ．5 2 cmD ．5π2＋1 cm5．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 6．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )二、填空题7．用一平面截半径为25 cm的球，截面圆的面积为225πcm2，则球心到截面的距离为________．8．用两个平行平面去截半径为R的球面，所得两截面圆半径分别为r1＝24 cm，r2＝15 cm，两截面间距离d＝27 cm，则该球的半径R＝________．9．一圆台的母线长为13，上、下底面直径的差为10，则圆台的高为________．三、解答题10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．11．一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？能力提升12．如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，球心O 到平面ABC 的距离是322，则B 、C 两点的球面距离是( )A ．π3B ．πC ．43π D ．2π13．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )14．如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．1．轴截面在讨论旋转体的性质时具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键，许多问题只需画出轴截面，而不必画出几何体，这样往往能简化解题过程．因此对于几何体的轴截面的性质应当给予重视．2．球是平面图形圆在空间的延伸，因此在研究球的性质时，应注意与圆的性质类比，球又是旋转体，由于旋转体是轴对称几何体，故解题时，常利用它的轴截面图形，从而化空间问题为平面问题．熟练掌握大圆的半径、截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球问题的关键．1．1．3 圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．矩形的一边直角三角形的一直角边直角梯形中垂直于底边的腰矩形直角三角形直角梯形2．(1)它的直径球 (2)定长 (3)大圆小圆 (4)球面距离作业设计1．B [应以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴旋转．] 2．B 3．B 4．B 5．A[设截面圆半径为r ，由相似三角形的知识可知r 2＝12，所以r ＝1，所以S ＝πr 2＝π．]6．A 7．20 cm解析连接球心O 与截面圆圆心O ′，则OO ′与球半径r ，截面圆半径r ′可构成一直角三角形，OO ′＝r 2－r ′2，∵πr ′2＝225π，∴r ′2＝225，又r 2＝252＝625，∴OO ′＝625－225＝20． 8．25 cm解析 ①当球心在两截面之间时，如图(1)，设OO 1＝d 1，OO 2＝d 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋d 2＝27d 21＋r 21＝R2d 22＋r 22＝R 2解得d 1＝7，d 2＝20．∴R ＝25．②球心在两截面一侧时，如图(2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧d 2－d 1＝27d 21＋r 21＝R 2，d 22＋r 22＝R2经验证无解．综上，R ＝25 cm ．9．12 解析如图，连接O 1O 2，作AB ⊥O 2C 于B ，则有BC ＝102＝5，AC ＝13，∴高h ＝AC 2－BC 2＝132－52＝12． 10．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ．∴12(6x ＋2x)·2x ＝392，解得x ＝7，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．11．解画出圆柱和圆锥的轴截面．如图，设圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似可得 x 6＝2－r 2，解得r ＝2－x 3． (1)圆柱的轴截面面积S ＝2r ×x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 3×x ＝－23x 2＋4x ，x ∈(0,6)；(2)∵S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x 2－6x)＝－23(x －3)2＋6．∴当x ＝3时，S 有最大值6．12．B [∵AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O ′是AC 的中点． O ′C ＝32－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝322，AC ＝32． ∴BC ＝3，即BC ＝OB ＝OC ．∴∠BOC ＝60°，则B 、C 两点的球面距离＝16×2π×3＝π．故选B ．]13．B [由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B ．]14．解作出圆台的侧面展开图，如图所示，由在轴截面中Rt △OPA 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可求得OA ＝20 cm ．设∠BOB ′＝α，由扇形弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等，得2×10×π＝2×OB ×π×α360°，α＝90°，所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M ＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm ．。