华师大版：24[1].3.3相似三角形的性质ppt

4.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和 △A2B2C2 ，这两个三角形相似吗? 如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比 . 解：相似． 因为相似比是 2 : 1 所以面积比是 4 : 1
(第 3 题 )
5.如图，在 ABCD中，若E是AB的中点， 1:2 则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
B
D
C A′
1
__________ _
2
B′
D
C′
当 ABC ∽ A B C , 且相似比为
1 2
时
可得： 对应高的比
对应中线的比
AD A D
AD


AD A D
1
__________ _
2 2
1
__________ _
A D
对应角平分线的比

1
__________ _
证明： ∵△ABC∽△ A B C ∴ ∴
AB A B BC B C CA C A k
AB BC CA A B B C C A
k
即△ABC、△ B C 的周长比等于相似比 A
提高拓展 3、如图，FG//BC，AE⊥FG， AD⊥BC，E、D是垂足，FG=6， BC=15，则(1)AE：AD是多少？
k
A E
A′ E′ C′
B
C B′
结论：相似三角形对应角的 角平分线的比等于相似比.
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 三 对应中线的比 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么
2∶ 3 相似比为_________,对应角的角平分线 的比为______. 2∶3 2．两个相似三角形的相似比为1:4, 1:4 则对应高的比为_________,对应角的 1:4 角平分线的比为_________.
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
用心观察
（1）
2 1
当相似比＝k时，面积比＝k2．
（2）
3
（3）
1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的面积比=______ 1∶ 4 2∶ 3 (2)与(3)的相似比=______, (2)与(3)的面积比=______9 4∶ 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积 25 扩大为原来的______倍。 （2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边 10 长扩大为原来的______倍。 (3)两个相似三角形的一对对应边分别是35厘 米和14 厘米，（1）它们的周长差60厘米， 100cm、40cm 这两个三角形的周长分别是______ ____。 （2）它们的面积之和是58平方厘米，这两 个三角形的面积分别是______________。 50cm2、8cm2
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4 1∶4 (2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______. A 1 S ADE (3) _______ . 16 D E S
ABC
(4)
S ADE S 四边形
BCED

1 15
B
C
例：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´分 别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10，A´B´ ＝2，BD＝6。求B´D´的长。
B
D
C A′
1
__________ _
2
B′
D
C′
A
ABC
（2）
∽ A B C
1 2
相似比为
B
D
C A′
对应中线的比 AD A D
1
__________ _
2
B′
D
C′
A
ABC
（3）
∽ A B C
1
相似比为
2 对应角平分线的比
AD A D
G
∴ BC∶EF＝BG∶EH
B 6∶4＝4.8∶EH EH＝3.2(cm) 答：EH的长为3.2cm。 E D H F C
2：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是 60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘 米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
解：因为△ABC~△A'B'C' △ABC~△A'B'C A AB BC 所以 60 A'B' B'C' 72 B 又 AB=15厘米 B'C'=24厘米 所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米 A'
24.3.3 相似三角形
的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例 的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？
A C B/ C/ A/
B
①相似三角形的对应角_____________
其中 AD 、 A D 分别为 BC 、 B C 边上的中线 则 AD A D ,
k ____ .
A A'
B
D
C
B'
D'
C'
结论：相似三角形对应中线 的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题 3 : 如图 , ABC ∽ A B C , 相似比为
则 BE B E ______ . k, , 其中 BE 、 B E 分别为 ABC 、 A B C 的角平分线
相似比的平方 相似三角形面积的比等于______________.
相似多边形 也有同样的 结论
拓展训练
1、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则 较小的等边三角形的面积为多少？
A 已知△ABC∽△ B C ，且相似比为k。
求证：△ABC、 A B C 周长的比等于k
3．两个相似三角形对应中线的比为
1
1 4
，
1
4 4 则相似比为______,对应高的比为______ .
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
用心观察
图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三 角形，它们都相似吗？ （都相似）
(1)
1
(2)
2
(3)
3
1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, 1∶ 2 (1)与(2)的周长比=______ (2)与(3)的相似比=______, 2∶ 3 (2)与(3)的周长比=______ 2∶ 3 相似比 结论：相似三角形的周长比等于______．
2
观察这些数据，你会有怎样的猜 想呢？
探索新知
相似三角形的性质
问题 1 : 如图 , ABC ∽ A B C , 相似比为 k , 其中 AD 、 A D 分别为 BC 、 B C 边上的高 , ABD 与 A B D 相似吗 ？
解 : 因为 ABC ∽ A B C , ( 已知 )
C
B'
C'
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
课堂小结
相似三角形的性质
比例 相等 1、相似三角形对应边成____,对应角______. 2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、 相似比 对应角平分线的比都等于________. 相似比 3、相似三角形周长的比等于________，
解：∵ △ABC∽△A´B´C´ AB BD ∴ A´B´ ＝ B´D´ 10 ＝ 6 B´D´ 2 B´D´＝1.2
答：B´D´的长为1.2。
B
A
D
C B´
A´ D´ C´
例、已知两个等边三角形的边长之比 为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2， 则较小的等边三角形的面积为多少？
课堂训练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 3∶5 对应角的角平分线的比等于______. 2.相似三角形对应边的比为2:5, 2:5 那么相似比为_______, 2:5 对应角的角平分线的比为______, 2:5 周长的比为_________, 4:25 面积的比为_________.
例5:已知△ABC∽△ A B ，且相似比为k， C AD、 分别是△ABC、△ 对应边BC、 A D A B C S ABC 2 上的高，求证： B C k 证明： ∵△ABC∽△A B C
∴ ∴
AD A D
S ABC S A B C
S A B C
A
k,
1 2 1 2
BC B C
k
B D C
AD BC k
2
A'
A D B C
B' D' C'
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比 面积的比等于相似比的平方
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
变式训练
4、如图，FG//BC，AE⊥FG， AD⊥BC，E、D是垂足，FG=6， BC=15，则(1)AE：AD是多少？
(2)若AD=10，求ED的长
(3)若FGHI是正 方形，它的边长 是多少？你会把 这个正方形剪出 来吗？
因为 ABD
AD A D
等于什么 ？
∽ A B D ,

所以
AD A D
图 1 8 .3Baidu Nhomakorabea
AB A B
(相似三角形的对应边成比例)
k
结论：相似三角形对应8 .3 .9 图 1 高的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题 2 : 如图 , ABC ∽ A B C , 相似比为 k ,
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相等 ）
又 ADB A D B 90 .
所以 ABD
图 1 8 .3 .9
∽ A B D .
图 1 8 .3 .9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
探索新知
相似三角形的性质
问题 1 : 如图 , ABC ∽ A B C , 相似比为 k , 其中 AD 、 A D 分别为 BC 、 B C 边上的高 , 由 ABD ∽ A B D 能否得到
(2)若∆AEF的面积为5 cm2，
k
AE CD

1 2
则∆CDF的面积为______. 2 D 20 cm ∵∆AEF与 ∆CDF
5 S CDF 1 4
S AEF S CDF ( ) ， 2 A
2
C
1
F E
B
，
S CDF 20 .
课堂训练
1：已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是 △ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝ 4cm,BG＝4.8cm.求EH的长。 A 解：∵ △ABC∽△DEF
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
一个三角形有三条重要线段： 高、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
观察
ABC
∽ A B C
1 2
A
（1）
相似比为
对应高的比 AD A D