2019-2020学年高中数学模块综合测试卷人教版A 必修二.doc

合集下载

2019高中数学必修二(人教A版)模块综合测试含解析

人教版高中数学必修精品教学资料模块综合试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．下列命题正确的是( )A ．四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形B ．一条直线和两条平行直线都相交,则三条直线共面C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用,两条平行线确定一个平面,第三条直线与其相交,由公理1可知,这三条直线共面,故B 正确．答案：B2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行,则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：由题意可知两直线的斜率存在,且－a －2a ＝－23,解得a ＝6. 答案：B3．圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( )A ．3πa 2B ．4πa 2C ．5πa 2D ．6πa 2解析：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图所示,∠ASO ＝30°,在Rt △SA ′O ′中,r SA ′＝sin30°,∴SA ′＝2r.在Rt △SAO 中,2rSA ＝sin30°, ∴SA ＝4r.∴SA －SA ′＝AA ′, 即4r －2r ＝2a,r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2. 答案：C4．若直线l 过点A(3,4),且点B(－3,2)到直线l 的距离最远,则直线l 的方程为( )A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：当l⊥AB时,符合要求．∵k AB＝4－23＋3＝13,∴l的斜率为－3,∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3),即3x＋y－13＝0.答案：D5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：直线方程为y＝3x,圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4,圆心(0,2)到直线y＝3x的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1.故所求弦长l＝222－12＝2 3.答案：D6．如图,在三棱锥S－ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能题图答图解析：连接SG1，SG2并延长分别交AB于点M，交AC于点N.∵SG1G1M＝SG2G2N，∴G1G2∥MN.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.故G1G2∥BC.答案：B7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则() A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知SS1＝⎝⎛⎭⎪⎫2121＝14S；SS2＝212＝12S；⎝⎛⎭⎪⎫SS33＝213＝134S，故S1<S2<S3.答案：A8．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2>4F，则圆的位置满足()A．截两坐标轴所得弦的长度相等B．与两坐标轴都相切C．与两坐标轴相离D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.答案：A9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.答案：D10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B11．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2 解析：圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1. ∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k>0，∴k ＝2. 答案：D12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3 解析：取AC 的中点O.由O 到各顶点距离相等，知O 是球心．设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝52.故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．解析：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝014．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.答案：4815．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a，2该球的表面积为3πa2.答案：3πa216．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，＝4. 则有m2＝(5)2＋(25)2＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×5×205答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．解：设l：3x＋4y＋m＝0.当y＝0时，x＝－m；3当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24. ∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π3＋40π＋16π＝176π3.19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C(－D 2，－E2)．∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·(－13)＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.20．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝2，PC ＝4.(1)若点E 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDE ；(2)若点F 在线段PA 上，且FA ＝λPA ，当三棱锥B －AFD 的体积为43时，求实数λ的值．解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ.因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．又点E 是PC 的中点，则在△PAC 中，中位线EQ ∥PA ，又平面BDE ，平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.(2)依据题意可得：PA ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO.所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3.又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD(如图(2))；作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD.因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB.同理，可证BC ⊥平面PAB ，平面PAB ，则△PBC 是直角三角形．所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.则直角三角形ABD 的面积为S △ABD ＝12AB·AD ＝2 3.所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM`FM ＝233.由FM ∥PO ，得FM PO ＝FA PA ＝2333＝＝23.21．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB<CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，SD ＝2a.(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD.(2)设SB 的中点为M ，当CD AB 为何值时，能使DM ⊥MC ？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD.又∵SD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴SD ⊥AB.又∵SD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD.又∵平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD.(2)当CD AB ＝2时，能使DM ⊥MC.证明：连接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，∴BD＝2a，∠BDA＝45°，∴SD＝BD.又∵M为SB的中点，∴DM⊥SB.①设CD的中点为P，连接BP，∴DP∥AB，且DP＝AB.故四边形ABPD是平行四边形．∴BP∥AD.故BP⊥CD.因而BD＝BC.又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD.又∵平面SBD，∴DM⊥BC.②由①②知DM⊥平面SBC，又∵平面SBC，∴DM⊥MC.22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：(1)∵点M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上，∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N到该直线的距离d＝3，2则弦长为2r2－d2＝33.。

2019-2020学年高中数学本册综合素质检测新人教A版必修2.doc

2019-2020学年高中数学本册综合素质检测新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2012·湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .8π3 B ．3π C .10π3D ．6π[命题意图] 本题考察空间几何体的三视图． [答案] B[解析] 显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B .2．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2B .223 C .423D .433[答案] D[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则43πR 3＝323π，∴R＝2.又∵3a ＝2R ＝4，∴a＝433.3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0[答案] D[解析] 在所求直线上任取一点P(x ，y)，则点P 关于直线x ＝1的对称点为P′(2－x ，y)，且P′在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，整理得x ＋2y －3＝0，故选D .4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A(12，12，12)，B(12，12，0)，C(13，13，13)，则( )A ．OA⊥AB B ．AB⊥AC C ．AC⊥BCD ．OB⊥OC[答案] C[解析] |AB|＝12，|AC|＝36，|BC|＝66，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.5．若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0[答案] A[解析] 设圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C(1,0)，则AB⊥CP， ∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴y＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选A .6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m∥α，m∥β，则α∥βD ．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[答案] D[解析] A 中还可能m ，n 相交或异面，所以A 不正确；B 、C 中还可能α，β相交，所以B 、C 不正确．很明显D 正确．7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 因为MN⊥DC，MN⊥MC，所以MN⊥平面DCM.所以MN⊥DM. 因为MN∥AD 1，所以AD 1⊥DM.8．(2012－2013·山东济宁模拟)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24) D ．(－18，18)[答案] C[解析] 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，由于l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点，则需满足圆心到直线的距离d ＝|3k|k 2＋1＜1，解得－24＜k ＜24. 9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] 过A 作AE⊥BC 于点E ，则易知AE⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE＝AEDE＝3，故∠ADE＝60°.故选C .10．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A .85B .25C .285D .125[答案] D[解析] 因为点M(－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋－2＝125.故选D . 11．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －4)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝1[答案] A[解析] 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42y ＝y 1－22，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.12．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则－2＋－2的最小值为( )A .26＋2B .26－2C ．5D ．6[答案] B[解析] 如图，设A(1,1)，－2＋－2＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r ＝26－2.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．顺次连结A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是________．[答案]184π3[解析] 所得旋转体的上底、下底分别为3,5，高为4的圆台，去掉一个半径为1，高为4的圆柱．V 台＝13(9π＋9π×25π＋25π)×4＝196π3，V 柱＝4π，则V ＝V 台－V 柱＝184π3.14．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为________．[答案] 4x －y －2＝0或x ＝1[解析] x ＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行，∵k AB ＝4，∴y－2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.15．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝________，E ＝________.[答案] 6 －2[解析] 由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.16．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[答案] x ＋y －3＝0[解析] 设圆心(a,0)(a ＞0)， ∴(|a －1|2)2＋(2)2＝|a －1|2.∴a＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x ＋y －3＝0.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2011·课标全国高考，文18)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB＝60°，AB ＝2AD ，PD⊥底面ABCD.(1)证明PA⊥BD；(2)设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高． [解析] (1)证明：因为∠DAB＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD. 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD ，可得BD⊥PD. 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知PD＝1，则BD＝3，PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝32，即棱锥D－PBC的高为32.18．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．[解析] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM|＝－2＋＋2＝2 2.所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.19．(本小题满分12分)已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，求圆的方程．[解析] 方法一：设圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝10.因为圆心在直线y ＝2x 上，所以b ＝2a. ①解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－2＋－2＝10，得2x 2－2(a ＋b)x ＋a 2＋b 2－10＝0，所以x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1·x 2＝a 2＋b 2－102.由弦长公式得2·＋2－2＋b 2－＝42，化简得(a －b)2＝4. ②解①②组成的方程组，得a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.方法二：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝10，则圆心为(a ，b)，半径r ＝10，圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b|2.由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d 2＋(422)2＝r 2，即－22＋8＝10，所以(a －b)2＝4.又因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.20．(本小题满分12分)(2012·山东卷)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.[解析](1)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE.所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE＝DE.(2)取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC ，故DM∥平面BEC.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.(1)若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程；(2)直线l 2的方程是x ＝52，证明：直线l 1上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 3和l 4，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等．[解析] (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意；当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，由条件得|4k －5－2k|k 2＋1＝2，解得k ＝2120，所以直线l 1的方程为x ＝2或y ＝2120(x －2)，即x ＝2或21x －20y －42＝0.(2)由题意知，直线l 3，l 4的斜率存在，设直线l 3的斜率为k ，则直线l 4的斜率为－1k ，设点P 坐标为(52，n)，互相垂直的直线l 3，l 4的方程分别为：y －n ＝k(x －52)，y －n ＝－1k (x －52)，即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0，根据直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得：圆心C 1到直线l 3与圆心C 2到直线l 4的距离相等．故有⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k2＋1，化简得(52－n)k ＝212－n 或(12＋n)k ＝－n －12＝－(12＋n)．关于k 的方程有无穷多解，有12＋n ＝0，即n ＝－12，即直线l 2上满足条件的点P 是存在的，坐标是(52，－12)． 22．(本小题满分12分)(2013·全国高考卷Ⅱ文科18题)如图已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥面A 1CD 1；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．[解析] (1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD，由已知AC ＝CB ，D 为AB 中点，所以，CD⊥AB，又AA 1∩AB＝A ，于是CD⊥平面ABB 1A 1，由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得，∠ACB＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE⊥A 1D ，所以VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.。

2019-2020高中数学必修二综合测试卷及答案解析

1 2019-2020数学必修二综合检测试卷（总分：150分时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为 ( ) A ．3 B ．－2 C ．2 D ．不存在 2、下列命题正确的是( ) A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线 3、已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45 D.45 4、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)： ①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、已知圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线l 的方程为3x －4y －12＝0，在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个 ( )A ．4B ．3C ．2D ．16、已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为 ( ) A ．(0,1，－1) B ．(0，－1,6) C ．(0,1，－6) D ．(0,1,6)7、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．238、圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( ) A ．3πa 2 B ．4πa 2 C ．5πa 2 D ．6πa 29、点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( )班级姓名考号密封线内不要答题。

2019_2020学年高中数学模块质量检测(含解析)新人教A版必修2

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C2．已知直线x －3y －2＝0，则该直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：直线x －3y －2＝0的斜率k ＝33，故倾斜角为30°，故选A . 答案：A3．点P(2，m)到直线l ：5x －12y ＋6＝0的距离为4，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：利用点到直线的距离公式．答案：D4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3两圆的圆心距离为－2－22＋0－12＝17，则R －r<17<R ＋r ，所以两圆相交，选B .答案：B5．在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)： ①m⊥α，n∥α⇒m⊥n ②m∥n，n∥α⇒m∥α ③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β ④m∩n＝A ，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β.其中正确的命题个数有( )A ．1个B ．2个C．3个D．4个解析：②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C.答案：C6．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C.答案：C7．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( )A．1或－1 B．2或－2C．1 D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a＋0＋1|1＋a2＋1＝1，即|a＋2|＝a＋12＋1，平方整理得a＝－1，故选D.答案：D8．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形解析：∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，构不成三角形．答案：D9．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D .答案：D10．在四面体A －BCD 中，棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A ，因为AB⊥平面ACD ，所以AB⊥CD. 因为AH⊥平面BCD ，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A ，所以CD⊥平面ABH ，所以CD⊥BH. 同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H 是△BCD 的垂心．故选A . 答案：A11．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析：设直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，因为直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，所以圆心到直线的距离d 小于或等于半径， ∴d＝|2k －4k|k 2＋1≤1，解得－33≤k≤33. 答案：C12．设A ，B ，C ，D 是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：由于△ABC 为等边三角形且面积为93，故当三棱锥D －ABC 体积最大时，点D 到平面ABC 的距离最大．设等边△ABC 的边长为a ，则34a 2＝93，得a 2＝36，解得a ＝6.设△ABC 的中心为点E ，连接AE ，BE ，CE ，由正三角形的性质得AE ＝BE ＝CE ＝23，设球心为点O ，连接OA ，OB ，OC ，OE ，OD ，则OA ＝OB ＝OC ＝4，则OE ＝42－232＝2，故D 到平面ABC 的距离的最大值为OE ＋OD ＝2＋4＝6，则(V D －ABC )max ＝93×6×13＝18 3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，Rt △A′B′C′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC·AO＝12×2×22＝2 2.答案：2 214．已知点P(0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0① 又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0＋1x 0，所以由直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1②由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)15．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a)2＋(y ＋b)2＝1的圆心位于第________象限．解析：(－a ，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，故圆心位于第四象限．答案：四16．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．解析：半圆旋转一周形成一个球体，其体积V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V锥＝13πCD 2·AB＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·2R＝π2R 3，所以所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3. 答案：65πR 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)[2019·广州高一检测]三棱锥S －ABC 中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC 且AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.(1)证明：SC⊥BC. (2)求三棱锥的体积V S －ABC .解析：(1)证明：因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩A C ＝A ，所以SA⊥平面ABC ，所以AC 为SC 在平面ABC 内的射影，又因为BC⊥AC，所以SC⊥BC.(2)在△ABC 中，AC⊥BC，AC ＝2，BC ＝13，所以AB ＝4＋13＝17，因为SA⊥AB，所以△SAB 为直角三角形，SB ＝29，所以SA ＝29－17＝23，因为SA⊥平面ABC ，所以SA 为棱锥的高，所以V SABC ＝13×12×AC×BC×SA ＝16×2×13×23＝2393.18．(12分)求经过直线x ＋y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0，得x ＝1，y ＝－1或x ＝－4，y ＝4，即直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4,4)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别将A ，B ，P 的坐标代入，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，16＋16－4D ＋4E ＋F ＝0，1＋4－D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝3，E ＝－3，F ＝－8，所求圆的方程为x 2＋y 2＋3x －3y －8＝0.19．(12分)已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．解析：有两种方法． (1)方法一 (几何法)如图所示，过点O 作OC⊥AB.由已知条件得直线AB 的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.因为圆心为(0,0)，所以|OC|＝|－1|2＝22.因为r ＝22，所以|BC|＝8－⎝⎛⎭⎪⎫222＝302，所以|AB|＝2|BC|＝30. 方法二 (代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0. 所以x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72，所以|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝30.(2)如图，当弦AB 被点P 平分时， OP⊥AB，因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线AB 的方程为y －2＝ 12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. 20．(12分)如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于低面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥PABCD 的体积．解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC∥平面PAD.(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，由AB ＝BC ＝12AD 及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM 为正方形，则CM⊥AD，因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，所以PM⊥AD，PM⊥平面ABCD ，因为CM ⊂平面ABCD ，所以PM⊥CM，设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x ，取CD 中点N ，连接PN ，则PN⊥CD，所以PN ＝142x ，因为△PCD 的面积为27，所以12×2x×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)，x ＝2，于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23，所以四棱锥PABCD 的体积V ＝13×2×2＋42×23＝4 3.21．(12分)[2019·上饶县校级月考]已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线的方程； (3)求公共弦的长度．解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，化为(x －3)2＋y 2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径为15；圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0化为x 2＋(y －2)2＝10，圆心坐标(0,2)，半径为 10.圆心距为：32＋22＝13，因为15 －10 ＜13 ＜15 ＋10 ，所以两圆相交．(2)将两圆的方程相减，得－6x ＋4y ＝0，化简得：3x －2y ＝0， ∴公共弦所在直线的方程是3x －2y ＝0；(3)由(2)知圆C 1的圆心(3,0)到直线3x －2y ＝0的距离d ＝99＋4＝913，由此可得，公共弦的长l ＝215－8113＝2 1 48213.22．(12分)[2019·大连高一检测]如图已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求二面角A 1ECC 1的正弦值．解析：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)连接A 1E ，C 1E ，过C 1作C 1G⊥EC，垂足为G ，连接A 1G ，由题意知，AB 2＝AC 2＋BC 2，所以AC⊥BC，又由直三棱柱得AC⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以∠A 1GC 1为二面角A 1ECC 1的平面角，在△CEC 1中，CE ＝C 1E ＝5，CC 1＝2，利用等面积法可知12CE·C 1G ＝12×2×2，所以C 1G ＝45，在Rt △A 1GC 1中，A 1C 1＝2，C 1G ＝45，所以A 1G ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫452＝65，所以sin ∠A 1GC 1＝A 1C 1A 1G ＝265＝53，所以二面角A 1EC－C 1的正弦值为53.。

人教A版高中数学必修二模块综合测试卷

人教A 版高中数学必修二模块综合测试卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（共10小题，每小题5分）1．某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 四面体D. 三棱柱 2．直线1l 与2l 垂直，则（）A ．1l 与2l 的斜率之积等于1-B ．1l 与2l 的斜率互为相反数C ．1l 与2l 的斜率互为倒数D ．以上答案都正确 3．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4．已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A. 若m∥α,n∥α,则m∥n B. 若m⊥α,n ⊂α,则m⊥n C. 若m⊥α,m⊥n,则n∥αD. 若m∥α,m⊥n,则n⊥α5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 6．下列四个命题中错误的．．．是（） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7．设m∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|²|PB|的最大值是（）A ．3B ．10C ．10D ．58．在平面直角坐标系中,A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.π54 B.π43 C. π)526(- D.π45 9. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN所成角的余弦值为( ) A.101 B.52 C.1030 D.22 10．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) A ．62B ．6C ．42D ．4 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11．已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= .12．三棱锥P-ABC 中,D,E 分别为PB,PC 的中点,记三棱锥D-ABE 的体积为1V , P-ABC 的体积为2V , 则21V V = . 13．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是_______. 14．如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段CC 1上,直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α,则sin α的取值范围是___ ____.三、解答题：（共6小题）15．（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。

2019-2020学年高中数学第四章圆与方程章末综合测评2(含解析)新人教A版必修2

2019-2020学年高中数学第四章圆与方程章末综合测评2（含解析）新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－2＋＋2＋－2＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝－2＋－2＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0 【解析】圆心C (1,0)，k PC ＝0－－1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【解析】原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0，由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】法一：∵圆心在y 轴上，设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－b2＝r 2，32＋－b 2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为＋2＋－2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝－2＋－2＋z －2＝z －2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长．【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心，半径r ＝12|AC |＝1242＋－2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)直线BC 的斜率k ＝1－－2－－＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)，又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )，则有a －2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32，故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6，即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2：模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z1z2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D z1z2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n(n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确． 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2 C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C. 10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( ) A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f(x)ex ，则g ′(x )＝f′(x)ex －f(x)(ex)′(ex)2＝f′(x)－f(x)ex ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f(x1)ex1＜f(x2)ex2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______．解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.答案：5 14．(天津高考)已知函数f (x )＝ax lnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案： 315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2 020＝2 017×1 010. 答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b＋a －cb －c＝a －b ＋b －ca －b＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝an 2＋1an －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)a 1＝S 1＝a12＋1a1－1，所以a 1＝－1±3. 又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a22＋1a2－1，所以a 2＝5－3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a32＋1a3－1，所以a 3＝7－5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋12＋1ak ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ak 2＋1ak －1 ＝ak ＋12＋1ak ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2. (1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．解：(1)由奇函数的定义，应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(－1,1)上是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数，且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤ex －12x2－1x .令g (x )＝ex －12x2－1x ，则g ′(x )＝ex(x －1)－12x2＋1x2.令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e >0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.。

2019_2020学年高中数学模块综合检测新人教A版选修2_2

模块综合检测(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z 等于 A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析 ∵z ＋iz＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)． ∴z ＝i i －1＝i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝1－i 2＝12－i2.答案 B2．曲线y ＝3x －x 3上切点为P (2，－2)的切线方程是 A ．y ＝－9x ＋16 B ．y ＝9x －20C ．y ＝－2D ．y ＝－9x ＋16或y ＝－2解析导数y ′＝3－3x 2，则切线斜率k ＝3－3×22＝－9，所以切线方程为y －(－2)＝－9(x －2)，即切线为y ＝－9x ＋16，选A.答案 A3．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案 C4．已知复数z 满足|z |＝ 10，且(1＋2i)z (i 是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y ＝x 上，则z ＝A ．3－iB ．3＋iC ．3－i 或－3＋iD ．3＋i 或－3－i解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，∵|z |＝10，∴x 2＋y 2＝10，又(1＋2i)z ＝(1＋2i)(x ＋y i)＝(x －2y )＋(2x ＋y )i ，且(1＋2i)z 在复平面上对应的点在直线y ＝x 上，∴x －2y ＝2x ＋y ，即x ＝－3y ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x ＝－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1，即z ＝±(3－i)．答案 C5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12.故P ＜Q .答案 C6．求证：7－1＞11－ 5. 证明：要证7－1＞11－5，只要证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11， ∵35＞11恒成立，∴原式成立．以上证明过程应用了 A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析由分析法的特点知应用了分析法．答案 B7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.17解析阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案 C8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③解析这些“三角形数”依次是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36，28＋36＝64，只有③⑤是对的．答案 C9．已知a >0，若函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是 A ．0B ．1C ．2D ．3解析函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2－a ，要使函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，则有f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤(3x 2)min .又3x 2≥3，所以a ≤3，即a 的最大值是3.答案 D10．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．答案 C11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a 的取值范围是A ．(0，2]B ．(0，2)C ．[3，2)D ．(3，2)解析由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a ）2－4×3×1>0－1<－2a 6<1f ′（－1）＝3－2a ＋1>0f ′（1）＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2，故选D.答案 D12．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1解析令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1.∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数．又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为________．解析等式的左边的通项为12n－1－12n，前n项和为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；右边的每个式子的第一项为1n＋1，共有n项，故为1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.答案1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n14．已知复数(1－2i)i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点M在直线y＝mx＋n上，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为________．解析由题意得(1－2i)i＝2＋i，所以M(2，1)，代入直线方程得2m＋n＝1，则1m＋1n＝(1m＋1n)·(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋22，当且仅当nm＝2mn时等号成立．答案3＋2 215．如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析由题意知，阴影部分的面积S＝⎠⎛12(4－x2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫4x－13x3⎪⎪⎪21＝53，∴所求概率P＝SS矩形ABCD＝531×4＝512.答案51216．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0<f(x)<1，当x∈(0，π)且x≠π2时，(x－π2)f′(x)<0，则方程f(x)＝cos x在[－2π，2π]上的根的个数为________．解析由(x －π2)f ′(x )<0知，当π2<x <π时，导函数f ′(x )<0，函数f (x )在(π2，π)上单调递减；当0<x <π2时，导函数f ′(x )>0，函数f (x )在(0，π2)上单调递增．由题意可知函数f (x )的草图如图所示，由图象可知方程f (x )＝cos x 在[－2π，2π]上的根的个数为4.答案 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.证明假设x 2＋2x －1＝0，则x ＝－1± 2. 容易看出－1－2<12，下面证明－1＋2<12.要证：－1＋2<12，只需证：2<32，只需证：2<94.上式显然成立，故有－1＋2<12.综上，x ＝－1±2<12.而这与已知条件x >12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立． 18．(12分)已知：m >0，n >0，n m <1，证明：n ＋1m ＋1>nm.证明证法一 (分析法)：因为m >0，所以m ＋1>0，要证n ＋1m ＋1>nm，只需证：m (n ＋1)>n (m ＋1)，即只需证：m >n . 因为m >0，n m<1，所以n <m 成立，即m >n 成立．所以原不等式成立．证法二 (比较法)：因为n ＋1m ＋1－n m ＝m （n ＋1）－n （m ＋1）m （m ＋1）＝m －nm （m ＋1），因为m >0，nm<1，所以n <m ，所以m －n >0，m ＋1>0，所以m －nm （m ＋1）>0，所以n ＋1m ＋1－nm>0，原不等式成立． 19．(12分)某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率为多少时，银行可获得最大收益？解析设存款利率为x ，则应有x ∈(0，0.048)，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0，得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0＜x ＜0.032时，y ′＞0；当0.032＜x ＜0.048时，y ′＜0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益．20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，S n ＋1S n ＝a n －2(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解析 (1)S 1＝a 1＝－23，因为S n ＋1S n＝a n －2(n ≥2，n ∈N ＋)，令n ＝2可得S 2＋1S 2＝a 2－2＝S 2－a 1－2，所以1S 2＝23－2，所以S 2＝－34.同理可求得S 3＝－45，S 4＝－56.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23，猜想成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，因为S n ＋1S n ＝a n －2，所以S k ＋1＋1S k ＋1＝a k ＋1－2，所以S k ＋1＋1S k ＋1＝S k ＋1－S k －2，所以1S k ＋1＝k ＋1k ＋2－2＝－k －3k ＋2，所以S k ＋1＝－k ＋2k ＋3＝－（k ＋1）＋1（k ＋1）＋2，所以当n ＝k ＋1时，猜想仍然成立．综合①②可得，猜想对任意正整数n 都成立，即S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋成立． 21．(12分)(2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x. (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (Ⅱ)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解析 (Ⅰ)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x.f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x. 若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞22．(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．解析 (1)f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．因为f ′(x )＝1x ＋2（x －1）2＞0，所以f (x )在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1＜0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e ＜x 1＜e 2)，即f (x 1)＝0.又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0，1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点． (2)证明因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x在曲线y ＝e x上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0·ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．。

(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：各章测验及模块综合测验(共6套)

第六章平面向量及其引用章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC →＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选 C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得csin C ＝4c 3cos C ⇒tan C ＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sinA ，则△ABC 的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)．因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12，所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)．答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0，所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值．解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝433，所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得 17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6，所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C＝156.第七章复数章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：选C.i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，对应的点(4，－2)在第四象限．3．已知复数z ＝(m 2－m －6)＋(m 2＋2m －8)i(i 为虚数单位)，若z <6，则实数m ＝( ) A ．2 B ．2或－4 C ．4D ．－2或4解析：选A.因为z <6，所以z ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6<6，m 2＋2m －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－3<m <4，m ＝－4或m ＝2.所以m ＝2，故选A.4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 上的点，且AC →＝3 CB →，则点C 对应的复数是( )A ．4iB ．2＋4i C.72i D ．1＋72i解析：选C.两个复数对应的点分别为A (6，5)，B (－2，3)，设点C 的坐标为(x ，y )(x ，y ∈R )，则由AC →＝3CB →，得AB →＝4CB →，即(－8，－2)＝4(－2－x ，3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝72，故点C 对应的复数为72i ，故选C.5．设i 为虚数单位，若复数z 满足z －1＋i ＝i ，其中z －为复数z 的共轭复数，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C.22D ．2解析：选B.由题意得z －＝i(1＋i)＝－1＋i ，所以z ＝－1－i ，所以|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，故选B.6．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ·z －i ＋2＝2z ，所以(a 2＋b 2)i ＋2＝2a＋2b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.7．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋1＋2i 的模为( )A. 2B. 3C. 6D.11解析：选C.2－i a ＋i ＝（2－i ）（a －i ）（a －i ）（a ＋i ）＝2a －1－（2＋a ）ia 2＋1.若2－ia ＋i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0－（2＋a ）≠0，解得a ＝12，则z ＝2a ＋1＋2i ＝2＋2i ，则复数z 的模为22＋（2）2＝ 6.8．i 是虚数单位，复数z ＝a ＋i(a ∈R )满足z 2＋z ＝1－3i ，则|z |＝( ) A.2或 5 B ．2或5 C. 5D ．5解析：选 C.依题意，得z 2＋z ＝(a ＋i)2＋a ＋i ＝a 2－1＋a ＋(2a ＋1)i ＝1－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＋a ＝1，2a ＋1＝－3，解得a ＝－2，所以|z |＝|－2＋i|＝（－2）2＋12＝ 5.9．复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( )A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )解析：选C.由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3由复数相等的定义，得⎩⎨⎧cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3，(k ∈Z )，所以n ＝6k －1(k ∈Z )．故选C.10．已知复数z 1的实部为2，复数z 2的虚部为－1，且z 1z 2为纯虚数，z 1·z 2为实数，若z 1＋z 2对应的点不在第一象限，则z 1－z 2对应的点在( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D.设z 1＝2＋b i ，z 2＝a －i ，a ，b ∈R ，则z 1z 2＝2＋b i a －i ＝2a －b ＋（2＋ab ）ia 2＋1为纯虚数，所以2a －b ＝0且2＋ab ≠0.因为z 1·z 2＝(2＋b i)(a －i)＝(2a ＋b )＋(ab －2)i 为实数，所以ab ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.又z 1＋z 2＝(2＋a )＋(b －1)i 对应的点不在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2不符合，于是z 1－z 2＝(2－a )＋(b ＋1)i ＝3－i 对应的点在第四象限．11．已知z 1与z 2是共轭复数，有4个命题：①z 21<|z 2|2；②z 1z 2＝|z 1z 2|；③z 1＋z 2∈R ；④z 1z 2∈R .其中一定正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③解析：选B.z 1与z 2是共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R ，b ≠0)．①z 21＝a 2－b2＋2ab i ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确；②z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； ③z 1＋z 2＝2a ∈R ，正确；④z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝（a ＋b i ）2（a －b i ）（a ＋b i ）＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此不一定正确，故选B.12．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z ＝( ) A ．－2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2iD ．2－2i解析：选D.因为x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，所以b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，即b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0.根据复数相等的充要条件，得b 2＋4b ＋4＝0且a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－2.故复数z ＝2－2i ，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．复数2＋i1＋i的共轭复数是________．解析：2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ，其共轭复数为32＋12i.答案：32＋12i14．已知z 1＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6，z 2＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3，则z 1z 2的代数形式为________．解析：z 1z 2＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6×2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝32×2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝3i.答案：3i15．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝（x ＋1）2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝（y －1）2＋x 2，则（x ＋1）2＋y 2＝（y －1）2＋x 2.所以复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线．答案：到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.如图所示，⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.答案： 3三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)是实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或2，即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2，即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解：因为z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i25＝1－3i. (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝11＋3i 10＝1110＋310i. 19．(本小题满分12分)已知复数z 1＝－2＋i ，z 1z 2＝－5＋5i(其中i 为虚数单位)． (1)求复数z 2；(2)若复数z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．解：(1)因为z 1z 2＝－5＋5i ，所以z 2＝－5＋5i z 1＝－5＋5i －2＋i ＝3－i.(2)z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝i[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝－(m －1)＋(m 2－2m －3)i ，因为z 3在复平面内所对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（m －1）>0，m 2－2m －3<0，解得－1<m <1，故实数m 的取值范围是(－1，1)．20．(本小题满分12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3. (1)若z 为纯虚数，求z ； (2)若z －z －2为实数，求|z |.解：(1)设z ＝b i(b ∈R )，则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i. 因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0，因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋（±3）2＝132. 21．(本小题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的辐角的主值是3π4的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，说明理由．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋5aa 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i ，因为z ＋5z ∈R ，所以b －5ba 2＋b 2＝0，因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5，又z ＋3＝a ＋3＋b i 的辐角的主值为3π4，所以a ＋3＝－b .把a ＋3＝－b 与a 2＋b 2＝5联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ，此时z ＋3＝2－2i 或z ＋3＝1－i 的辐角的主值均为7π4.所以满足条件的虚数z 不存在．22．(本小题满分12分)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的一个根．(1)求m 和n 的值；(2)若(m ＋n i)u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . 解：(1)因为z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2＝－12－32i ，所以z －＝－12＋32i ，由题意，知z ，z －是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的两个根，所以⎩⎨⎧－n m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，1m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.(2)设u ＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则(1＋i)(c －d i)＋(c ＋d i)＝－12－32i ，即2c ＋d ＋c i ＝－12－32i ，所以⎩⎨⎧2c ＋d ＝－12，c ＝－32，解得⎩⎨⎧c ＝－32，d ＝－12＋3，所以u ＝－32＋⎝⎛⎭⎫3－12i.第八章立体几何初步章末检测（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间中有三条线段AB ，BC ，CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能解析：选D.如图可知AB ，CD 有相交，平行，异面三种情况，故选D.2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为（）A.14＋24 B.2＋22C.14＋22D.12＋ 2 解析：选 B.将直观图 ABCD 还原后为直角梯形 A ′BCD ′，其中 A ′B ＝2AB ＝2，BC ＝1＋22， A ′D ′＝AD ＝1.所以平面图形的面积 S ＝12×（1＋1＋22）×2＝2＋22.3.对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（） A.a ⊂α，b ⊂α B.a ⊂α，b ∥α C.a ⊥α，b ⊥αD.a ⊂α，b ⊥α解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a 和b ，所以可以在直线a 上任取一点A ，则A ∉b ，过A 作直线c ∥b ，则过直线a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α.4.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为（） A.3∶π B.2∶π C.1∶2πD.1∶3π解析：选B.设正方体的棱长为a ，则球的直径为2R ＝3a ，所以R ＝32a .正方体的表面积为6a 2.球的表面积为4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2，所以它们的表面积之比为6a 2∶3πa 2＝2∶π.5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1ABCD 的体积与长方体的体积的比值为（）A.12B.16C.13D.15解析：选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a ，b ，c ，则长方体的体积为V 1＝abc ，四棱锥A 1ABCD 的体积为V 2＝13abc ，所以棱锥A 1ABCD 的体积与长方体的体积的比值为13.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点Q 是棱DD 1上的动点，则过A ，Q ，B 1三点的截面图形是（）A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能解析：选D.当点Q 与点D 1重合时，截面图形为等边三角形AB 1D 1，如图（1）；当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形AB 1C 1D ，如图（2）；当点Q 不与点D ，D 1重合时，令Q ，R 分别为DD 1，C 1D 1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB 1，如图（3）.故选D.7.给出下列命题：①过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；②如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直； ③若直角三角形ABC 在平面α内的射影仍是直角三角形，则平面ABC ∥平面α. 其中正确命题的个数为（） A.0 B.1 C.2D.3解析：选A.对于①，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然①不正确；对于②，容易判断②是错误的；对于③，平面ABC 与平面α也有可能相交，因此③不正确.故选A.8.如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是（）A.平面ABC ⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C.因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理，DE ⊥AC ，又DE ∩BE＝E ，于是AC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ADC ，所以平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE .故选C.9.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（）A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.10.在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为（）A.30°B.60°C.90°D.120°解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝2.因为M 为A ′C 的中点，所以MC ＝AM ＝22.且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ，所以∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角.因为AC ＝1，MC ＝AM ＝22，所以∠CMA ＝90°.11.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是（）A.PB ⊥ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.直线BC ∥平面P AED.直线PD 与平面ABC 所成的角为45°解析：选D.选项A ，B ，C 显然错误.因为P A ⊥平面ABC ，所以∠PDA 是直线PD 与平面ABC 所成的角.因为ABCDEF 是正六边形，所以AD ＝2AB .因为tan ∠PDA ＝P A AD ＝2AB2AB ＝1，所以直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.故选D.12.已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋43，则球O 的体积等于（）A.423πB.823πC.1623πD.3223π解析：选B.由题意可知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r ，且四棱锥的高h ＝r ，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2r 的正三角形，底面为边长为2r 的正方形，所以该四棱锥的表面积为S ＝4×34（2r ）2＋（2r ）2＝23r 2＋2r 2＝（23＋2）r 2＝4＋43，因此r 2＝2，r ＝2，所以球O 的体积V ＝43πr 3＝43π×22＝82π3，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.如果用半径R ＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是Ｗ.解析：设圆锥筒的底面半径为r ，则2πr ＝πR ＝23π，则r ＝3，所以圆锥筒的高h ＝R 2－r 2＝（23）2－（3）2＝3. 答案：314.已知a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面. ①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b ； ④若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β. 上述命题中，正确命题的序号是Ｗ.解析：对①可举反例，如图，需b ⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a ，b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.答案：②④15.已知直二面角α-l -β，A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离为Ｗ.解析：如图，作DE ⊥BC 于点E ，由α-l -β为直二面角，AC ⊥l ，得AC ⊥β，进而AC ⊥DE ，又BC ⊥DE ，BC ∩AC ＝C ，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离.在Rt △BCD 中，利用等面积法得DE ＝BD ·DC BC ＝1×23＝63. 答案：6316.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥P A；④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是Ｗ.解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确.同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝P A2＋PC2＝AC2，所以PC⊥P A，又PC∥OM，所以OM⊥P A，结论③正确.由于M，N分别为侧棱P A，PB 的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN 所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误.答案：①②③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面P AD的交线为l，求证：BC∥l.证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面P AC，因为PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD.所以BC∥平面P AD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面P AD的交线为l.所以BC∥l.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面P AC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB＝4PN.（1）求证：平面PCE⊥平面P AB；（2）求证：MN∥平面P AC.证明：（1）因为AB⊥平面P AC，所以AB⊥PC.又∠APC＝90°，所以AP⊥PC，又AB∩AP＝A，所以PC⊥平面P AB.又PC⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面P AB.（2）取AE的中点Q，连接QN，QM，在△AEC中，因为M是CE的中点，所以QM∥AC.又PB＝4PN，AB＝4AQ，所以QN∥AP，又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，所以平面QMN∥平面P AC.又MN⊂平面QMN，所以MN∥平面P AC.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积.解：（1）证明：连接AC交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点.又D是AB中点，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以V 三棱锥C -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，E 为AD 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于点M .求证：（1）EN ∥平面PDC ；（2）BC ⊥平面PEB ；（3）平面PBC ⊥平面ADMN .证明：（1）因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC .又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ，所以AD ∥MN . 又因为AD ∥BC ，所以MN ∥BC .又因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以MN ＝12BC .因为E 为AD 的中点， DE ＝12AD ＝12BC ＝MN ，所以DE ═∥MN ，所以四边形DENM 为平行四边形，所以EN ∥DM .又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，所以EN ∥平面PDC .（2）因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，E 为AD 的中点，所以BE ⊥AD .又因为PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PEB . 因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB . （3）由（2）知AD ⊥PB .又因为P A ＝AB ，且N 为PB 的中点，所以AN ⊥PB . 因为AD ∩AN ＝A ，所以PB ⊥平面ADMN . 又因为PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ADMN .21.（本小题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到图（2）中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .（1）求证：CD ⊥平面A 1OC ；（2）当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值. 解：（1）证明：在题图（1）中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝90°，所以BE ⊥AC ，BC ＝ED ，即在题图（2）中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又BC ═∥ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .（2）由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高.由题图（1），可知A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.（1）求证：B1C∥平面A1BM；（2）求证：AC1⊥平面A1BM；（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C.又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.（2）证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1.又AA1＝2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，所以∠AC1C＝∠A1MA，所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M＝M，所以AC 1⊥平面A 1BM .（3）存在点N ，且当点N 为BB 1的中点，即BN BB 1＝12时，平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .如图所示. 因为D ，M 分别为AC 1，AC 的中点，所以DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又N 为BB 1的中点，所以DM ∥BN ，且DM ＝BN ，所以四边形DMBN 是平行四边形，所以BM ∥DN .因为BM ⊥平面ACC 1A 1，所以DN ⊥平面ACC 1A 1. 又DN ⊂平面AC 1N ，所以平面AC 1N ⊥平面ACC 1A 1.第九章统计章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝( )A ．96B ．72C ．48D ．36解析：选B.由题意得39n －29n ＝8，所以n ＝72.故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15)，6；[15，20)，8；[20，25)，13；[25，30)，35；[30，35)，46；[35，40)，34；[40，45)，28；[45，50)，15；[50，55)，10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是( )A ．0.69B ．0.46C ．1D ．不存在解析：选B.由题可知，样本在[35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0.46.3．2019年高考某题的得分情况如下：其中众数是(A．37.0% B．20.2%C．0分D．4分解析：选C.因为众数出现的频率最大．4．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．网易与搜狗的访问量所占比例之和B．腾讯和百度的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和解析：选A.本题考查扇形统计图中部分占总体的百分比的大小．由访问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%；腾讯和百度的访问量所占比例之和为23%，超过21%；淘宝与论坛的访问量所占比例之和为22%，超过21%；新浪与小说的访问量所占比例之和为22%，超过21%.故选A.5．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为()A．15.5 B．15.6C．15.7 D．16解析：选B.由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05，频数分别为3，6，7.5，7.5，4.5，1.5，所以平均值为11×3＋13×6＋15×7.5＋17×7.5＋19×4.5＋21×1.530＝15.6.故选B.6．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数和标准差分别为( )A.x －，s B ．3x －＋5，sC ．3x －＋5，3sD ．3x －＋5，9s 2＋30s ＋25解析：选C.因为x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，所以3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数为3x －＋5， s ′2＝1n [(3x 1＋5－3x －－5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －－5)2]＝1n ×32[(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝9s 2. 所以s ′＝3s .7．某地区某村前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为x ，平均数为y ，经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2y解析：选C.依题意，前三年经济收入的中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200，第四年收入为600万元，故这四年经济收入的中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y .故选C.8．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是( )①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值； ②甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值； ③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平； ④甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④解析：选B.对于①，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，故①正确；对于②，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故②错误；对于③，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，236<4，故③正确；对于④，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故④错误．所以正确为①③，故选B.9．在一次20千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将其比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A ．39B ．35C ．15D ．11解析：选D.由频率分布直方图知，成绩在[13，15)内的频率为1－0.38－0.32－0.08＝0.22，所以成绩在[13，15)内的人数为50×0.22＝11，所以获奖的人数为11.故选D.10．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C.由图1所示，食品开支占总开支的30%.由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的3030＋40＋100＋80＋50＝110，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×110＝3%.故选C.11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确的结论是()A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：选A.计算可得甲批次样本的平均数为0.617，乙批次样本的平均数为0.613，由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617，0.613，则甲批次的总体平均数与标准值更接近．故选A.12．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人，调查数据如下：则该县( ) A ．是小康县B ．达到标准①，未达到标准②，不是小康县C ．达到标准②，未达到标准①，不是小康县D ．两个标准都未达到，不是小康县解析：选B.由图表可知：年人均收入为7 050＞7 000，达到了标准①；年人均食品支出为2 695，而年人均食品支出占收入的2 6957 050×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以不是小康县．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a ，解得a ＝30.答案：3014．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的第25百分位数为________，第75百分位数为________．解析：因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以第25百分位数为第4个数据154，第75百分位数为第11个数据161.答案：154 16115．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中x ≠5，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为________．解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以2＋x 2＝32×2＝3，解得x ＝4，故该组数据的平均数为1＋2＋2＋4＋5＋106＝4.所以该组数据的方差为16×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3.答案：316．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x ＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：其中文科考生抽取了2名．(1)求z 的值；(2)若不低于550分的6名文科考生的语文成绩分别为111，120，125，128，132，134.计。

2019-2020学年高中数学新同步人教A版必修2模块测评.docx

模块综合测评（教师独具）（满分：150分时间：120分钟）一'选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）[满足条件的情形如下:5.圆（X +1）2+/=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A. 1B. 2 C I — 1 —0+3|［圆心（一1, 0）,直线x-y+3-O,所以圆心到直线的距离为/ 2 , z 丄 \1 + （―1）=72.]6. 直线2ax+y-2=0与直线x-（a+l ）y+2=0互相垂直，则这两条直线的C. ^21.若＜/〃0, aUa, buf}, 平行或异面则a 与b 的位置关系是（）A. B. 相交 C. 异面 D. 平行2. A. 直线y=kx 与直线y=2x+l 垂直, —2 B. 2 C. -*[由题意,得 2k= — 1 > k = —2']3.两圆 Ci ： x * 2+y 2=r 2与 C 2： (%-3)2+(y+l)2 = r 2(r>0)外切，则 r 的值为( )B-f A.VTo-i C. D. 或帧+1[因为两圆外切且半径相等，所以|GC2| = 2r.所以r=^.]4. 在空间直角坐标系中，0为坐标原点，设A （j,B. AB LAC ]则k 等于（）交点坐标为()A・"I) B. (|, -1) C. (|, |) D. (-1, ||C [由题意知：2a—(a+l) = 0,得a=l,所以2x+y-2 = 0, x~2y+2 = Q, 解得x=|, y=|-l7.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BD上任意一点，则一定有（）A.PCi与AAi异面B.PG与4心垂直C.PG与平面ABiDi相交D.PCi与平面AB X D X平行D ［当A, P, C共线时，PCi与AAi相交不垂直，所以4, B错误；连接BC”DCi（图略），可以证ADi//BCi，ABj/DCx，所以平面AB X D X〃平面BDC X.又PG U平面BDCi，所以PCi与平面ABrDy平行.］8.在长方体ABCD-AiBiCrD i 中，AB=y［2, BC=4,AA】=甫,则4G 和底面ABCD 所成的角为（）A. 30°B. 45°D. 75°C. 60°A ［如图所示，连接4C,在长方体ABCD-A x B x CxD x中，CG丄底面ABCD,所以ZQAC就是4G与底面4BCD 所成的角.因为AB=y/2, BC=4, AA X=\[6,所以CCi=4Ai=&, ACi9.己知点4(—1, 1), B(3, 1),直线/过点C(l, 3)且与线段AB相交，则直线/与圆(X-6)2+/=2的位置关系是()A.相交D [因为k AC=l, *BC=—1，直线/的斜率的范围是(一8, —1] U [1, +°°), 直线BC方程为x+y—4 = 0,圆(X-6)2+/=2的圆心(6,0)到直线BC的距离为迈，因此圆(尢一6)2+y2 = 2与直线BC相切，结合图象可知，直线/与圆(兀一6)2+y2 = 2 的位置关系是相切或相离・]10.设Z, m, n表示三条直线，a, B，丫表示三个平面，则下面命题中不成立的是()A.若/丄a,加丄a,则I//mB・若加U0,加丄〃是/在0内的射影，则加丄〃C.若加Ua, nQa, m//n,贝J n//aD・若a丄y, 0丄丫，贝\ allBD [若/丄a, m丄a,则I//m, A正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若mUB，m丄I,〃是/在0内的射影，则加丄〃，B正确；由直线与平面平行的判定定理，若mUa, nQa, m//n,则n//a, C正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，即若a丄y, 0丄/,则a///3或aQ0=a, D不正确・]11.如果圆” + ©—1)2= 实数C的取值范围是()二1上任意一点P(x, y)都能使x+y+c》0成立，那么A. c$—"\[2—1C. c$迈一1B・D・cW寸5—1C [对任意点P(x, y)能使x+y+c^0成立，等价于c^[ —(x+y)]max.设〃=得一迄一lWbW述一1.所以c$迄一1.]= 2&.所以在RtZiACCi 中，sinZCiAC=CCi_ ^6AG 2y[6=空.所以Z Cp4C=30°•]B.相离C.相交或相切D.相切或相离12.如图，在ZX4BC 中，AB=BC=^6, ZABC=90° , 点D 为AC 的中点，将△4BD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD,连接PC,得到三棱锥P-BCD,若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.兀B. 3兀C. 5兀D. 7兀D [由题意得该三棱锥的面PCD是边长为书的正三角形，且BD丄平面PCD, 设三棱锥P-BDC外接球的球心为O,△PCD外接圆的圆心为0”则001丄平面PCD,所以四边形OOiDB为直角梯形，由BD=晶 04=1,及OB=OD,得7OB=29所以外接球半径为R= 2 ?所以该球的表面积S=47iR2=471X-=771.]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线13.若直线（m+ 1）%—y —（m + 5） = 0 与直线2x — my — 6 = Q平行，贝!！m =2—2 [由题意知：m+1 =—,解得m= 1或一2.当m= 1时，两直线方程均为m2x—y—6 = 0,两直线重合，不合题意，舍去；当加=—2时，直线分别为x+y+3=0, x+y—3 = 0,两直线平行・]14.（2018江苏高考）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________ ・| [平面ABCD将多面体分成了两个以迈为底面，边长、高为1的正四棱锥, 所以其体积为72X^/2X1X|X2=|.]15. (2018-天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0, 0), (1, 1), (2, 0)的圆的方程为.|(2-V2)m [由 PD 丄底面 ABCD 得 PD 丄AD 又 PD=m, FA=y[2m,则 AD =九设内切球的球心为O,半径为R,连接Q4, OB, OC, OD, OP (图略)，易知1 2 1 2 1 Vp-ABCD =Vo-ABCD~^ Vo-PAD^ Vo-PAB^ Vo-PBC^ Vo-PCD> 即 * m = ^'m ^R +亍 X* • m • R+^X^-^m 2 • R+gx*迈 m 2 • R+j'-^-m 2 • R,解得R=|(2-V2)m,所以此球的最大半径是*2—迄)九］三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知直线/的方程为3x+4y —12 = 0,分别求下列直线 r 的方程，r 满足：(1) 过点(一1, 3),且与/平行；(2) 与直线I 关于y 轴对称.x+y 2-2x=0 ［设圆的一般方程为x+y 2+Dx+Ey+F=0,又因为圆经过三点(0, 0), (1, 1), (2, 0),所以 F=0,1 + 1+D+E+F=O,解得 D=—2, E=0, F=0,22 + 2D+F=0,所以圆的方程为x 2 + y 2—2x=0.］16.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为加的正方形，PD 丄底面 ABCD,且 PD=m,PA=PC=^2m,若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是.3［解］⑴因为/〃儿所以「的斜率为一才,3所以直线&的方程为：丁一3 = —了仕+1),即3x+4y—9 = 0.⑵/与丁轴交于点(0, 3),该点也在直线「上，在直线/上取一点4(4, 0),则点4关于y 轴的对称点4'(一4, 0)在直线「上，所以直线「经过(0, 3)和(一4, 0) 两点，故直线/'的方程为3x-4y+12 = 0.18.(本小题满分12分)已知圆C： ?+/-8j+12 = 0,直线/经过点D(—2, 0),且斜率为上(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线/与圆C相离，求k的取值范围.［解］⑴将圆C的方程?+y2-8^+12=0配方得标准方程为#+(丁一4尸=4, 则此圆的圆心为C(0, 4),半径为2.所以CD的中点E(—l, 2),|CD|=V?+7 = 2V5,所以r=\[5,故所求圆E的方程为(x+l)2 + (j—2)2 = 5. ⑵直线I的方程为y~0 = k(x+2),即kx-y+2k=0.10—4+20 Q 若直线/与圆C相离，则有圆心C到直线I的距离-寸卩+「＞2,解得£＜才.所以k的取值范围为-8,1)19.(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2y)2, PA=PB=PC=AC=4, O 为AC 的中点.⑴证明：PO丄平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.［解］(1)因为AP=CP=AC=4, 0为AC 的中点, 所以OP 丄AC,且OP=2羽. OB=^AC=2.由 OP 2 + OB 2 = PB 2 知，OP-LOB.由 OP LOB, OP 丄 AC, OBU 平面 ABC, 4CU 平面 ABC, OBQAC=O,知PO 丄平面ABC.⑵作CH 丄OM,垂足为H.又由⑴可得OP 丄CH, OPU 平面POM, OMU 平面POM, OPQOM=O,所以CH 丄平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.1 2 4A /?由题设可知 O C=^AC=2, CM=qBC=号,ZACB=45° ・2y ［5 OC-MC- sin Z ACS 4A /5所以。

2019年人教版A数学必修二模块综合测评

模块综合测评(建议用时：120分钟)(教师独具)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于空间直角坐标系O -xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确说法的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．1A [①显然正确；点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确．]2．直线的方程为x －3y ＋2 016＝0，则直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°A [设直线的倾斜角为α，则tan α＝33，又α∈[0°，180°)，∴α＝30°.选A.]3．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )【导学号：07742343】A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定C [将直线ax －y ＋2a ＝0化为点斜式得y ＝a (x ＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所以直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9必相交．故选C.]4．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2B ．223C ．423D ．433D [设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则43πR 3＝323π，∴R ＝2.又∵3a ＝2R ＝4，∴a ＝433.]图15．如图1所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连BC 1和DC 1(图略)， ∵BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1， ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，而PC 1⊂平面C 1BD ， ∴PC 1∥平面AB 1D 1.选D.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65C [依题意得，2a ×1＋1×[－(a ＋1)]＝0，∴a ＝1，代入方程可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65.选C.]7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56D [如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×12×12＝148，剩余几何体的体积是1－8×148＝56.]8．一个动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12D ．(2x －3)2＋4y 2＝1D [设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1. 故选D.]9．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215B [将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1，1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.]10．球O 的一个截面圆的圆心为M ，圆M 的半径为3，OM 的长度为球O 的半径的一半，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．323π C ．12πD ．16πD [设截面圆的直径为AB ，∵截面圆的半径为3，∴BM ＝3，∵OM 的长度为球O 的半径的一半，∴OB ＝2OM ，设球的半径为R ，在直角三角形OMB 中，R 2＝(3)2＋14R 2. 解得R 2＝4，∴该球的表面积为16π，故选D.]11．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、B 1C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为( )图2A ．2B ． 2C ．12 D ．22D [取BC 中点O ，连接OE ， ∵F 是B 1C 的中点，∴OF ∥B 1B ，∴FO ⊥平面ABCD ， ∴∠FEO 是EF 与平面ABCD 所成的角，设正方体的棱长为2，则FO ＝1，EO ＝2， ∴EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为22. 故选D.]12．过直线y ＝2x 上一点P 作圆M: (x －3)2＋(y －2)2＝45的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，则∠APB 等于( )【导学号：07742345】A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C [连接PM 、AM ，可得当切线l 1，l 2关于直线l 对称时，直线l ⊥PM ，且射线PM 恰好是∠APB 的平分线，∵圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝45，∴点M 坐标为(3, 2), 半径r ＝255，点M 到直线l ：2x －y ＝0的距离为PM ＝|2×3－2|22＋(－1)2＝455，由P A 切圆M 于A ，得Rt △P AM 中，sin ∠APM ＝AM PM ＝12，得∠APM ＝30°， ∴∠APB ＝2∠APM ＝60°. 故选C.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．△ABC 中，已知A (2, 1)，B (－2,3)，C (0,1)，则BC 边上的中线所在的直线的一般式方程为________. 【导学号：07742346】x ＋3y －5＝0 [线段BC 的中点D (－1,2)．可得BC 边上的中线所在的直线的方程： y －1＝2－1－1－2(x －2)，一般式方程为x ＋3y －5＝0. 故答案为：x ＋3y －5＝0.]14．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．3π [如图，把四面体ABCD 补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R ＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝3π.]15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________.【导学号：07742347】(π－2)∶4π [设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π.]16．若曲线C 1：y ＝1＋－x 2＋2x 与曲线C 2：(y －1)·(y －kx －2k )＝0有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．图3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 [由y ＝1＋－x 2＋2x 得(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，曲线C 1表示以(1,1)为圆心以1为半径的上半圆，显然直线y ＝1与曲线C 1有两个交点，交点为半圆的两个端点． ∴直线y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)与半圆有2个除端点外的交点，当直线y ＝k (x ＋2)经过点(0,1)时，k ＝12，当直线y ＝k (x ＋2)与半圆相切时，|3k －1|k 2＋1＝1，解得k ＝34或k ＝0(舍)， ∴当12＜k ＜34时，直线y ＝k (x ＋2)与半圆有2个除端点外的交点，故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知三角形ABC 的顶点坐标为A (－1，5)、B (－2，－1)、C (4,3)，M 是BC 边上的中点．(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求中线AM的长. 【导学号：07742348】[解](1)由两点式得方程为y－5－1－5＝x＋1－2＋1，即6x－y＋11＝0.或直线AB的斜率为k＝－1－5－2－(－1)＝－6－1＝6，直线AB的方程为y－5＝6(x＋1)，即6x－y＋11＝0.(2)设M的坐标为(x0，y0), 则由中点坐标公式得x0＝－2＋42＝1，y0＝－1＋32＝1，故M(1,1)，AM＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.18．(本小题满分12分)如图6，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．图4(1)当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；(2)求证：平面BED⊥平面SAC. 【导学号：07742349】[证明](1)连接OE，当E为侧棱SC的中点时，OE为△SAC的中位线，所以SA∥OE，因为SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA ∥平面BDE .(2)因为SB ＝SD ，O 是BD 中点，所以BD ⊥SO ，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，因为AC ∩SO ＝O ，所以BD ⊥平面SAC . 又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面SAC .19．(本小题满分12分)在△ABC 中，点B (4,4)，角A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋2＝0.(1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由题意知BC 的斜率为－2，又点B (4,4)，∴直线BC 的方程为y －4＝－2(x －4)，即2x ＋y －12＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，∴点A 的坐标为(－2,0)．又∠A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，∴点B (4,4)关于直线y ＝0的对称点B ′(4，－4)在直线AC 上，∴直线AC 的方程为y ＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋4＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －12＝0，2x ＋3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－8，∴点C的坐标为(10，－8)．(2)∵|BC|＝(10－4)2＋(－8－4)2＝65，又直线BC的方程是2x＋y－12＝0，∴点A到直线BC的距离是d＝|2×(－2)＋0－12|22＋12＝165，∴△ABC的面积是S＝12×|BC|×d＝12×65×165＝48.20．(本小题满分12分)如图7所示，在Rt△ABC中，已知A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，点C在x轴上．图5(1)求Rt△ABC外接圆的方程；(2)求过点(0,3)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程. 【导学号：07742350】[解](1)由题意可知点C在x轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)(a＞0)，又AB⊥BC，则k AB·k BC＝－1，即－222·22a＝－1，解得a＝4.则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0.当圆与直线相切时，有d＝|k＋3|k2＋1＝3，解得k＝0或k＝34，故所求直线方程为y＝3或y＝34x＋3，即y－3＝0或3x－4y＋12＝0. 21．(本小题满分12分)如图8，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．图6(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．[解] (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，OE ＝12PD ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1, －1)，B (－1，1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值. 【导学号：07742351】[解] (1)设圆心M (a ，b )，则a ＋b －2＝0，①又A (1，－1)，B (－1,1)，∴k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，∴AB 的垂直平分线l 的斜率k ＝1, 又AB 的中点为O (0,0)，∴l 的方程为y ＝x ，而直线l 与直线x ＋y －2＝0的交点就是圆心M (a ，b )，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，又r ＝|MA |＝2， ∴圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)如图：S PCMD ＝|MC |·|PC |＝2|PM |2－|MC |2＝2|PM |2－4，又点M (1,1)到3x ＋4y ＋8＝0的距离d ＝|MN |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以|PM|min＝d＝3，所以(S PCMD)min＝232－4＝2 5.。

2019_2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版必修2

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线l 的斜率为－2，则m 的值为( ) A ．6 B ．1 C ．2D ．4解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6. 2．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 5解析：选D 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为 5. 3．在空间直角坐标系O xyz 中，点A 在z 轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则点A 的坐标是( )A ．(0,0，－1)B ．(0,1,1)C ．(0,0,1)D ．(0,0,13)解析：选C 由点A 在z 轴上，可设A (0,0，z )，∵点A 到点(22，5，1)的距离是13，∴(22－0)2＋(5－0)2＋(z －1)2＝13，解得z ＝1，故A 的坐标为(0,0,1)，故选C.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．6．若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：选A 设圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，则k 的取值是( ) A.12或3 B.12C ．3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 解析：选A 曲线y －2x －1＝12表示直线x －2y ＋3＝0(去掉点(1,2))，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，即直线l 与x －2y ＋3＝0平行或直线l 过点(1,2)，所以k 的取值为12或3.9．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A.34 B.32C.334D. 3解析：选B 因为ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，AB ＝2，所以底面三角形ABC 的面积为3，所以VA 1ABC ＝13×3×1＝33.如图，在△A 1BC 中，A 1B ＝A 1C＝12＋22＝5，所以BC 边上的高为(5)2－1＝2，所以S △A 1BC ＝12×2×2＝2.设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，所以13·S △A 1BC ·h ＝VA 1ABC ，解得h ＝32.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )所作的圆的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 将圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.∵圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，∴直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心，将x ＝－1，y ＝2代入直线方程得－2a ＋2b ＋6＝0，即a ＝b ＋3.∵点(a ，b )与圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2，∴由点(a ，b )向圆C 所作切线长l ＝d 2－r 2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2(b ＋1)2＋16≥4，当且仅当b ＝－1时切线长最小，最小值为4. 12．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r ＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 215．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2. 答案：216．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角．说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A BD C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC A1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1，又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．(本小题满分12分)已知直线x －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋m ＝0交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的垂直平分线的方程； (2)若|AB |＝22，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求过点P (4,4)的圆C 的切线方程．解：(1)由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心(2,1)，斜率为－1， ∴该直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.(2)圆x 2＋y 2－4x －2y ＋m ＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝－m ＋5. ∵|AB |＝22，∴圆心到直线的距离为－m ＋5－2＝3－m . ∵圆心(2,1)到直线的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2，∴3－m ＝2， ∴m ＝1.(3)由题意，知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝4.则点P (4,4)在圆外，过点P 的圆C 的切线有两条．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋4＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得|2k －1－4k ＋4|k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以所求切线的方程为5x －12y ＋28＝0.②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝4. 综上，所求切线的方程为x ＝4或5x －12y ＋28＝0.21．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .22．(本小题满分12分)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，3t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆过原点O .(1)设直线3x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，设B (0,2)，且P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PQ |－|PB |的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)∵|OM |＝|ON |，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线． ∵直线MN 的方程是3x ＋y －4＝0，∴直线OC 的斜率k ＝3t t ＝3t 2＝13，解得t ＝3或t ＝－3，∴圆心为C (3,1)或C (－3，－1)．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10.由于当圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10时，圆心到直线3x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.(2)由题意可知|PQ |－|PB |≤|BQ |，当B ，P ，Q 三点共线时，等号成立．又B ，C ，Q 三点共线且|BQ |＝|BC |＋|CQ |时|BQ |最大，此时|BQ |＝|BC |＋10＝210.∵B (0,2)，C (3,1)，∴直线BC 的方程为y ＝－13x ＋2，∴直线BC 与直线x ＋y ＋2＝0的交点的坐标为(－6,4)．故|PQ |－|PB |的最大值为210，此时点P 的坐标为(－6,4)．。

2019-2020人教A版数学必修2模块综合测评

模块综合测评(教师独具)(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β，则a 与b 的位置关系是( )A ．平行或异面B ．相交C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( )A ．－2B ．2C ．－12D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( )A ．10－1B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.]4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥ABB ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2C ． 2D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.] 6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直C ．PC 1与平面AB 1D 1相交D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6，则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( )A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.] 12．如图，在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°，点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使PC ＝PD ，连接PC , 得到三棱锥P -BCD , 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P -BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB＝OD ，得OB ＝72，所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________．－2 [由题意知：m ＋1＝2m ，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43 [平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎨⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，P A ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，P A ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ABCD ＝V O ABCD ＋V O P AD ＋V O P AB ＋V O PBC ＋V O PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12·2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行；(2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′，所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2) l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程；(2)若直线l 与圆C 相离，求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)，|CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34. 19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故C H 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455. 所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝b a ＝－1，故b ＝－a .又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故B C ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD .证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程，得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b )．设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b 1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b 2b . 所以l 1的方程是y －b ＝1－b 2b (x ＋1－b 2)．化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1.同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b . 因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b . (2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ，则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数，即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2 ＝0，即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0.化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.① 联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程，得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0.所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b .故在y 轴上存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。

2019_2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修2_2

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i2＋i(i 为虚数单位)的虚部是( )A ．15B ．15iC ．25iD ．25解析：选D 因为i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝15＋25i ，所以复数i 2＋i 的虚部为25，故选D.2．已知复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(4，＋∞)C ．(－1,4)D ．(－4，－1)解析：选C 复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)＝(2＋i)(a －2i)＝2a ＋2＋(a －4)i ，其在复平面内对应的点(2a ＋2，a －4)在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是(－1,4)．故选C.3．用反证法证明“若a ＋b ＋c <3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1D ．假设a ，b ，c 都不小于1解析：选D 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D. 4．设a ＝⎠⎛01x-13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x-13d x ＝x1-+13－13＋1⎪⎪⎪1＝32x 32⎪⎪⎪1＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 3232⎪⎪⎪1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14.综上，a >b >c . 5．由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①解析：选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．已知点列：P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3(2,1)，P 4(1,3)，P 5(2,2)，P 6(3,1)，P 7(1,4)，P 8(2,3)，P 9(3,2)，P 10(4,1)，P 11(1,5)，P 12(2,4)，…，则P 60的坐标为( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)解析：选D 横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横纵坐标之和为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个．因此横纵坐标之和为2,3，…，11的点共有1＋2＋3＋…＋10＝55个，横纵坐标之和为12的有11个．因此P 60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D .7.函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R)，则14是m 2，n 2的等差中项．现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m 2，n 2的等差中项为( )A.14B.12C.22D ．1解析：选A 图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.9．已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，1]D ．(－∞，3]解析：选B ∵f (x )＝x 3－ax ，∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减，∴3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3，故选B.10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围为( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选 B 构造函数g (x )＝x 2f (x )－x 2，x ∈R ，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f(x)＋xf′(x)－2]．由题意得2f (x )＋xf ′(x )－2<0恒成立，故当x <0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x >0时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．因为x 2f (x )－f (1)<x 2－1，所以x 2f (x )－x 2<f (1)－1，即g (x )<g (1)，当x >0时，解得x >1; 当x <0时，因为f (x )是偶函数，所以g (x )是偶函数，同理解得x <－1.故实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i ＋2i 2＝3i －1， ∴|z |＝32＋(－1)2＝10. 答案：10 14．已知f (x )＝xx 2＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：f (x )＝xx 2＋1的导数为f ′(x )＝1－x2(1＋x 2)2，在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12.答案：y ＝1215．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按下图①②③所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________，f (n )＝________(用含n 的式子表示)．解析：设第n 堆第一层乒乓球数为g (n )，则g (1)＝1，g (2)＝1＋2，g (3)＝1＋2＋3，…，则g (n )＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2.所以f (3)＝g (1)＋g (2)＋g (3) ＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10.f (n )＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋…＋g (n )＝12(12＋1)＋12(22＋2)＋…＋12(n 2＋n ) ＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)(2n ＋1)6＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.答案：10n (n ＋1)(n ＋2)6三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)(1)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＋5i 3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ＋2i z ＝3＋i ，求复数z . 解：(1)原式＝2i 2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋5i (3－4i )32＋42＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i. (2)(x ＋y i)＋2i(x －y i)＝3＋i ，即(x ＋2y )＋(2x ＋y )i ＝3＋i ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝53.∴z ＝－13＋53i.18．(本小题12分)设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc .证明：法一：∵ab ＝10，∴lg a ＋lg b ＝lg ab ＝1，则log a c ＋log b c ＝lg c lg a ＋lg c lg b ＝lg c (lg a ＋lg b )lg a ·lg b ＝lg clg a ·lg b .∵a >1，b >1， ∴lg a >0，lg b >0，则lg a ·lg b ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝14，1lg a lg b≥4，又c ＞1，lg c ＞0. ∴lg clg a ·lg b≥4lg c即log a c ＋log b c ≥4lg c .法二：要证log a c ＋log b c ≥4lg c ，只需证lg c lg a ＋lg c lg b ≥4lg c .又因为c >1，所以lg c >0，故只需证1lg a ＋1lg b ≥4，即证lg a ＋lg b lg a ·lg b ≥4.又因为ab ＝10，所以lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝1，故只需证1lg a ·lg b ≥4.又因为lg a >0，lg b >0，所以0<lg a ·lg b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，则1lg a ·lg b≥4成立．所以原不等式成立，即log a c ＋log b c ≥4lg c .19．(本小题12分)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，且曲线上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，y 0处的切线斜率为13.(1)求曲线在P 点处的切线方程； (2)求函数f (x )的极大值和极小值．解：(1)因为函数f (x )＝13x 3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，所以b ＝1.又y ′＝x 2－a ，所以⎝⎛⎭⎪⎫222－a ＝13，所以a ＝16，所以f (x )＝13x 3－16x ＋1，所以y 0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝1，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，所以切线方程为y －1＝13⎝⎛⎭⎪⎫x －22，即2x －6y ＋6－2＝0.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－16，令f ′(x )＝0，得x ＝±66. 当x 变化时，f (x )，f ′(x )变化情况如下表：有极小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫66＝1－654. 20．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．21．(本小题12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明： (1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x.因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1,2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )存在唯一的极值点． (2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0，所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f (α)α＝0，故1α是f(x)＝0在(0，x0)内的唯一根．所以f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．(本小题12分)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．解：(1)根据题意∠ACB＝90°，|AC|＝x km，|BC|＝400－x2 km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为4x2，对城B的影响度为k400－x2，因此，总影响度y＝4x2＋k400－x2(0<x<20)．又垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有4 (102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065，解得k＝9，故y＝f(x)＝4x2＋9400－x2(0<x<20)．(2)f′(x)＝－8x3＋18x(400－x2)2＝18x4－8×(400－x2)2x3(400－x2)2＝(x3＋800)(10x2－1 600)x3(400－x2)2.令f′(x)＝0，解得x＝410或x＝－410(舍去)．所以当x∈(0,410)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(410，20)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．故在x＝410处，函数f(x)取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A的距离为410 m 时，对城A和城B的总影响最小．。

2019_2020版高中数学模块综合测评(A)(含解析)新人教A版选修2_1

模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题p为()A.∀x∈R,x≤1B.∃x0∈R,x0<1C.∀x∈R,x≤-1D.∃x0∈R,x0<-1解析全称命题的否定是特称命题.答案B2.设向量a=(2,2,0),b=cos α,-1,1(0°<α<180°),若a⊥b,则角α=()A.30°B.60°C.1 0°D.150°解析a·b=2cosα+2×-1+0×1=0得cosα=1,因为0°<α<180°,所以α=60°,故选B. 答案B3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A.18B.-18C.8D.-8解析由y=ax2得x2=1y,∴1=-8,∴a=-18.答案B4.“α是第一象限角”是“关于x,y的方程x2sin α+y2cos α=1所表示的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆,则满足sinα>0,cosα>0,且sinα≠cosα,即2kπ<α<2kπ+,且α≠2kπ+,k∈Z,所以“α是第一象限角”是“关于x,y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件,故选B.答案B5.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=a x-b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=log a x(a>0且a≠1)在(0,+∞)内为增函数解析由于a>b ,c>d ⇒a+c>b+d ,而a+c>b+d 却不一定推出a>b ,且c>d ,故A 中p 是q 的必要不充分条件;B 中,当a>1,b>1时,函数f (x )=a x -b 不过第二象限,当f (x )=a x-b 不过第二象限时,有a>1,b ≥1,故B 中p 是q 的充分不必要条件;C 中,因为当x=1时有x 2=x ,但当x 2=x 时不一定有x=1,故C 中p 是q 的充分不必要条件;D 中,p 是q 的充要条件.答案A6.已知椭圆=1(a>b>0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是( ) A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.线段解析∵P 为MF 1中点,O 为F 1F 2的中点,其中F 2为椭圆的右焦点,∴OP=1MF 2.又MF 1+MF 2=2a ,∴PF 1+PO=1 MF 1+1MF 2=a.∴P 的轨迹是以F 1,O 为焦点的椭圆.答案A7.在空间四面体O-ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,P 是MN 的三等分点(靠近N ),若 =a , =b , =c ,则 =( ) A.13a +16b +16cB.16a +13b +13c C.1 a +16b +13cD.16a +1 b +13c 解析由题意可得:1 )=1 [( )+( )]=1(b +c )-a , 1 a +1 (b +c )-a =1(b +c -a ), 3 1 a +13(b +c -a )=16a +13b +13c . 故选B. 答案B8.经过点(3,- )的双曲线=1(a>0,b>0),其一条渐近线方程为y= 33x ,该双曲线的焦距为( )A. B.2C.2D.4解析点(3,- )在双曲线=1上,可得=1.又渐近线方程为y=± x ,一条渐近线方程为y= 33x ,可得 33,解得a= 3,b=1.所以c= =2,焦距为2c=4.故选D . 答案D9.已知向量a =(2,1,0),b =(-1,1,1),且a +b 与k a -b 互相垂直,则k 的值是( ) A.1B.1C.-1D.13解析因为向量a =(2,1,0),b =(-1,1,1),所以a +b =(1,2,1),k a -b =(2k+1,k-1,-1),又a +b 与k a -b 互相垂直,所以(a +b )·(k a -b )=0,即1×(2k+1)+2×(k-1)+1×(-1)=0,解得k=1.故选B. 答案B10.设双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切,则该双曲线的离心率等于( ) A. 3B.2C. 6D. 5解析双曲线的一条渐近线为y=x , 由,1,消y 得x 2-x+1=0.由题意,知Δ= --4=0,∴b 2=4a 2. 又c 2=a 2+b 2,∴c 2=a 2+4a 2=5a 2.∴5.答案D11.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC= 0°,AB=AC=2,AA 1= 6,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A.6 B.C. 3D.解析∵在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC= 0°,AB=AC=2,AA 1= 6,∴建立以A 为坐标原点,直线AC ,AB ,AA 1分别为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系如图.则A1(0,0,6),A(0,0,0),B1(0,2,6),C1(2,0,6),则1=(0,2,6),1=(2,0,6),设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z),1=(0,0,6),则m·1=2y+6z=0,m·1=2x+6z=0,令z=1,则x=-6,y=-6,即m=-6,-6,1,则AA1与平面AB1C1所成的角θ满足sinθ=|cos<1,m>|=66-6-611,则θ=6,故选A.答案A12.已知点P1,3是椭圆3=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足=3,则直线AB的斜率为()A.-1B.-C.1D.解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵ =3,点P1,3,∴1-1,1-3-1,-3=3-1,-3.∴x1+x2=-1,y1+y2=-3.把A,B代入椭圆方程,得311 1 , 3 1 ,两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,∴1-1-=-3(1)(1).∵x1+x2=-1,y1+y2=-3,∴k AB=1-1-=-3(1)(1)=-1.故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线1 -=1的焦距是.解析依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c2=a2+b2=16,c=4,2c=8.答案814.设p:-<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是.解析不等式-<0可得:0<x<2,因为p是q成立的充分不必要条件,所以集合{x|0<x<2}是集合{x|0<x<m}的真子集,∴m>2.故答案为(2,+∞).答案(2,+∞)15.已知点P是椭圆5=1上的一点,F1,F2是焦点,且∠F1PF2= 0°,则△F1PF2的面积为.解析由椭圆5=1知,|PF1|+|PF2|=2a=6.又∠F1PF2= 0°,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16,而|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=16,解得|PF1|·|PF2|=10,所以△F1PF2的面积为S=1|PF1|·|PF2|=5.故答案为5.答案516.在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则= .解析∵E是BC的中点,∴ 1).∴ =()·=1)·=11=||·||·cos1 0°+1|·||·cos60°+2=-2+1+2=1.故答案为1.答案1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x2-6x+5≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).(1)若m=2,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.解(1)由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.当m=2时,q:-1≤x≤3.若p∧q为真,p,q同时为真命题,则15,-13,即1≤x≤3.∴实数x的取值范围为[1,3].(2)由x2-2x+1-m2≤0,得q:1-m≤x≤1+m.∵p是q的充分条件,∴0,1-1,15,解得m≥ .∴实数m的取值范围为[4,+∞).18.(本小题满分12分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)求证:EG∥AC;(2)求证:平面EFG∥平面AB1C.证明把{1}作为空间的一个基底.(1)因为1111,所以=2.所以EG∥AC.(2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C.因为1111111,所以1=2.所以FG∥AB1.又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C,所以FG∥平面AB1C.又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C.19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lg-16的定义域为R;命题q:不等式3x-9x<a对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;(2)如果“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则:①当a=0时,定义域为{x|x<0},不符合题意;②由0,1-·160,得0,或- ,∴a>2.因此,实数a的取值范围为(2,+∞).(2)若命题q是真命题,则不等式3x-9x<a对一切正实数x均成立.令t=3x,t>1,y=t-t2.当t=1时,y max=0,∴a≥0.若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p,q一真一假.①若p真q假,则,0,此时a无解.②若p假q真,则 ,0,得0≤a≤ .综上,实数a的取值范围为[0,2].20.(本小题满分12分)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:为定值.(3)在(2)的条件下,试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ,MQ 的交点?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (1)解a=2,b=c ,a 2=b 2+c 2,∴b 2=2.∴椭圆方程为=1.(2)证明C (-2,0),D (2,0),设M (2,y 0),P (x 1,y 1),则 =(x 1,y 1), =(2,y 0).直线CM :y= 0(x+2),即y= 0x+1y 0,代入椭圆方程x 2+2y 2=4,得 1 08 x 2+1 0 x+1-4=0. ∵x 1=-1( 0 -8)8,∴x 1=-( 0 -8)0 8,∴y 1=80 0 8.∴ - ( 0 -8)0 8,80 0 8 .∴ =-( 0 -8)0 88 080 38=4(定值).(3)解设存在Q (m ,0)满足条件,则MQ ⊥DP.=(m-2,-y 0), - 08,80 08, 则由 =0得- 0 0 8(m-2)-8 00 8=0,从而得m=0.∴存在Q (0,0)满足条件.21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AD=2,AB= ,M 是棱PD 上一点,且 =λ ,0≤λ≤1.(1)当λ=13时,求直线AM 与PC 所成角的余弦值; (2)当CM ⊥BD 时,求二面角M-AC-B 的大小.解(1)以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B ( ,0,0),C ( ,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),设M (x ,y ,z ),则 =λ =(0,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),=(0,2-2λ,2λ),当λ=13时, 0,3,3 =( ,2,-2),∴cos < >= ··5, ∴直线AM 与PC 所成角的余弦值为5.(2) =(- ,2,0), =(- ,-2λ,2λ), 当CM ⊥BD 时, =2-4λ=0,解得λ=1,此时, =(0,1,1), =( ,2,0),设平面MAC 的一个法向量n =(x ,y ,z ), 则· 0, · 0,取z=1,得n =( ,-1,1), 又平面BAC 的一个法向量 =(0,0,2),∴cos <n , >= · · 1,由图象得,二面角M-AC-B 是钝二面角,∴二面角M-AC-B 的大小为1 0°.22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,焦点在x 轴上的椭圆=1(b>0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,M 为线段AB 的中点,且 =-3b 2.(1)求椭圆的离心率;(2)四边形ABCD 内接于椭圆,AB ∥CD.记直线AD ,BC 的斜率分别为k 1、k 2,求证:k 1·k 2为定值. 解(1)A (2,0),B (0,b ),线段AB 的中点M 1,.=(-2,b ), =1,.∵ =-3b 2,∴-2+=-3b 2,解得a=2,b=1.∴c=-3,∴椭圆的离心率e=3.(2)证明:由(1)得椭圆的标准方程为+y2=1,A(2,0),B(0,1),直线BC的方程为y=k2x+1,联立1,1,得(1+4)x2+8k2x=0,解得x C=-81,y C=1-1,即C-811-1,直线AD的方程为y=k1(x-2).联立1(- ),1,化为(1+41)x2-161x+161-4=0, ∴2x D=161-11,解得x D=81-11,y D=-111,∴D81-11-111,∴k CD=--=-1,化为1-161+2k1-2k2+8k1-8k21=0, ∴k1k2-1(4k1k2-2k2+2k1+1)=0, ∴k1·k2=1为定值.。

2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评(二) Word版含解析

姓名，年级：时间：必修2 学期综合测评(二）对应学生用书P107 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M,N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为（ )A ．9B ．3C ．2错误!D ．2 答案 B解析由题意知圆的圆心坐标为错误!，又点M,N 关于直线2x ＋y ＝0对称,所以该直线过圆心，即2－m2＝0，解得m ＝4．此时该圆方程为(x －1）2＋(y ＋2）2＝9，所以该圆的半径为3．2．用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，其截面图形不可能是（ ) A ．钝角三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正五边形答案 C解析 ①若截面过棱PB ，PE ，则截面△PBE 与△ABE 是全等三角形，且∠BAE＝108°，所以截面△PBE 是钝角三角形，如图1．②在平面PAB 内作MN∥AB,分别交PA,PB 于点M ，N ，连接CE,则CE∥AB,所以MN∥CE，且MN≠CE．又由题意及作图知ME ＝NC ，所以四边形CEMN 是等腰梯形，如图2．③用平行于底面的平面截该棱锥，其截面图形是正五边形，如图3．综上所述,不可能的截面图形是平行四边形．3．△OAB的斜二测直观图如图所示,则△OAB的面积为( ）A．错误! B．1 C．2 D．4答案 C解析三角形OAB为直角三角形，OB＝2，OA＝2，∴S＝错误!OA·OB＝2．4．过不重合的A（m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为（）A．－1 B．－2C．－1或2 D．1或－2答案B解析过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m）两点的直线l的斜率k＝错误!＝错误!．且m2＋2≠3－m－m2,即m≠－1．∵直线l的倾斜角为45°,∴k＝错误!＝1,化为整式方程为m2＋3m＋2＝0,解得m＝－1（舍)或m＝－2，∴m＝－2．5．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线y－2tx＋2t＋1＝0(t∈R)的位置关系为( ) A．相离 B．相切C．相交 D．以上都有可能答案C解析圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2）,半径为错误!．因为y－2tx＋2t ＋1＝0(t∈R）,所以直线恒过点（1，－1)．因为错误!＝1＜错误!，所以点(1，－1)在圆内，故直线与圆相交．6．在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点,AC＝BD＝2，且直线BD与AC 所成的角为60°，则线段EF的长度为( ）A．1 B．错误! C．1或错误! D．1或错误!答案D解析如图，取BC的中点G，连接EG，FG,则∠EGF或其补角为BD与AC所成的角．∵BD与AC所成的角为60°，∴∠EGF＝60°或∠EGF＝120°．∵BD＝AC＝2，∴EG＝FG＝1．∴当∠EGF＝60°时，EF＝1;当∠EGF＝120°时，EF＝1×错误!×2＝错误!．故EF＝1或EF＝错误!．7．方程x2＝y2表示的图形是（)A．两条相交而不垂直的直线B．一个点C．两条垂直的直线D．两条平行直线答案 C解析x2＝y2即（x＋y）(x－y）＝0，∴y＝±x．8．将一张边长为6 cm的正方形纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,余下的部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心)模型,如图2放置．若正四棱锥的主视图是正三角形(如图3），则正四棱锥的体积是( ）A．错误! cm3 B．错误! cm3C．错误! cm3 D．错误! cm3答案A解析∵正四棱锥的主视图是正三角形,设该正三角形的边长为a，则正四棱锥的高为错误!a，斜高为a．∵将一张边长为6 cm的正方形纸片按题图1的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，∴错误!×6错误!＝a＋错误!，a＝2错误!(cm）,∴正四棱锥的体积为错误!×a2×错误!a＝错误!(cm3)．9．到定点(1，0，0）的距离小于或等于1的点的集合为（)A．{（x,y,z)|（x－1)2＋y2＋z2≤1｝B．｛(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2＝1}C．{（x,y，z)|（x－1）2＋y2＋z2〈1｝D．｛(x，y,z）|（x－1)2≤1}答案 A解析设动点坐标为（x,y,z)，则错误!≤1,即（x－1)2＋y2＋z2≤1，故选A．10．直线l：8x－6y－3＝0被圆O：x2＋y2－2x＋a＝0所截得弦的长度为错误!，则劣弧所对的圆心角为( )A．90° B．120° C．135° D．150°答案B解析圆O：x2＋y2－2x＋a＝0，即（x－1)2＋y2＝1－a，故a〈1，圆心(1,0)、半径为错误!．又弦心距d＝错误!＝错误!，则错误!＋错误!2＝r2＝1－a，求得a＝0，所以圆O的半径r＝1，设劣弧所对的圆心角为θ，cosθ＝错误!＝－错误!,所以θ＝120°．11．在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面四边形ABCD是矩形，且AD＝3AB，E是底面的边BC上的动点，设错误!＝λ（0<λ〈1),则满足PE⊥DE的λ的值有（) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案C解析如图，连接AE．∵PA⊥底面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE．又∵PE⊥DE，PA∩PE＝P，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE，∴点E在以AD为直径的圆上．∵AD＝3AB，∴以AD为直径的圆与BC有两个交点,∴满足PE⊥DE的λ的值有2个．故选C．12．在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2),(1，2，0),(1，2，1)，（0，2,2)，若正视图以yOz平面为投射面,则该四面体左（侧)视图面积为( )A．错误! B．1 C．2 D．4答案B解析若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左(侧）视图为三角形，底高分别为1，2，面积为1．第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．答案3∶1∶2解析设球的直径为2R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝错误!πR2·2R＝错误!R3,V πR3．V柱∶V锥∶V球＝3∶1∶2．球＝错误!14．设圆C：(x－3）2＋（y－5）2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y 轴于点P,若A恰好为线段BP的中点,则直线l的方程为________．答案2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0解析因为点A为PB的中点，而点C为AB的中点，因此，点C为PB的一个四等分点．而C（3，5），P点的横坐标为0，因此A，B的横坐标分别为2，4，将A的横坐标代入圆的方程，可得A(2，3)或A（2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0．15．在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2＋y2＝4上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值为________．答案±13解析由圆x2＋y2＝4,可知圆心为坐标原点，半径长为2．由于圆上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，故圆心到直线的距离为1，即d＝错误!＝1，解得c＝±13．16．如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF ＝错误!．给出下列命题：①AC⊥BE;②EF∥平面ABCD；③三棱锥A－BEF的体积为定值；④异面直线AE与BF所成的角为定值．其中正确的命题的序号为________．答案①②③解析①连接DB，由题意知AC⊥平面DD1B1B,故AC⊥BE，正确；②由正方体ABCD －A1B1C1D1的两个底面平行，且EF⊂平面A1B1C1D1，得EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，正确；③由几何体的性质及题图知,△BEF的面积是定值，点A到面DD1B1B距离是定值，故三棱锥A－BEF的体积为定值，正确；④由题图知,当F与B1重合时，令上底面的中心为点O，点E与O重合，则此时两异面直线AE与BF所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合,则此时两异面直线AE与BF所成的角是∠OBC1，∠A1AO≠∠OBC1,故异面直线AE与BF所成的角不是定值．综上可知,①②③正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分)已知一个组合体的三视图如下图所示，请根据具体数据来求此几何体的体积（单位：cm）．解由三视图知，此几何体是下面是一个圆柱，中间是一个圆柱，上面是一个与中间圆柱同底的圆锥的组合体．由条件中尺寸可知V圆锥＝错误!Sh＝错误!π×22×2＝错误!π（cm3）．V圆柱中＝Sh＝π×22×10＝40π(cm3），V圆柱下＝Sh＝π×62×2＝72π(cm3）．∴此组合体的体积V＝V圆锥＋V圆柱中＋V圆柱下＝错误!π＋40π＋72π＝错误!π(cm3)．18．（本小题满分12分)如图，C，D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝2错误!，AC＝BC,F是AB上一点，且AF＝错误!AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E在BD上，已知CE＝错误!．(1)求证：AD⊥BC；(2）求三棱锥A－CFD的体积．解（1）证明：依题意，得AD⊥BD，CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD．∵BD∩CE＝E，∴AD⊥平面BCD,∴AD⊥BC．（2）由题意可知∠ADB＝90°，AB＝2AD＝2错误!，∴AD＝错误!，∴DB＝错误!＝错误!＝3．∴S△ABD＝12×错误!×3＝错误!．又∵AF＝错误!AB，∴S△FAD＝错误!S△ABD＝错误!．∵CE⊥平面ABD，∴V A－CFD＝V C－AFD＝错误!·S△FAD·CE＝错误!×错误!×错误!＝错误!．19．(本小题满分12分）如图，已知圆O:x2＋y2＝1和定点A（2，1)，由圆O外一点P（a,b）向圆O引切线PQ，切点为Q,且满足｜PQ|＝｜PA|．(1）求实数a，b间满足的等量关系；(2)求线段PQ长的最小值；（3)若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径长最小时圆P的方程．解(1）如图，连接OP．∵Q为切点,∴PQ⊥OQ．由勾股定理，有|PQ|2＝|OP｜2－|OQ|2．又由题意知｜PQ｜＝｜PA｜,故｜PQ｜2＝｜PA｜2，即(a2＋b2）－12＝（a－2）2＋(b－1)2，化简得实数a，b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0．(2)解法一：由2a＋b－3＝0,得b＝－2a＋3．｜PQ｜＝a2＋b2－1＝错误!＝错误!＝错误!．当a＝错误!时，|PQ|min＝错误!，即线段PQ长的最小值为错误!．解法二:由（1)知，点P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以｜PQ|min＝｜PA|min,即求点A到直线l的距离．所以｜PQ|min ＝错误!＝错误!．（3）解法一：设圆P的半径长为R．∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径长为1，∴|R－1|≤｜OP|≤R＋1，即R≥||OP｜－1|且R≤|OP｜＋1．而|OP｜＝错误!＝错误!＝错误!．当a＝错误!时，|OP|min＝错误!．此时，b＝－2a＋3＝错误!，R min＝错误!－1．故半径长取最小值时圆P的方程为错误!2＋错误!2＝错误!2．解法二：∵圆P与圆O有公共点,∴圆P半径长r最小时，与圆O外切（取小者），而这些半径长的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0．∴r min＝错误!－1＝错误!－1．又直线l′的方程为x－2y＝0，结合直线l：2x＋y－3＝0，得方程组错误!解得错误!即P0错误!．故所求圆的方程为错误!2＋错误!2＝错误!2．20．（本小题满分12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B（3,4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4错误!．（1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程；(3）设点Q在圆P上,问：使△QAB的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论．解（1）∵A（－1，0）和B（3，4）∴k AB＝1，由题意知直线AB与CD垂直,故k CD·k AB＝－1，∴k CD＝－1．又由题意知，线段CD经过线段AB的中点（1，2)，所以CD的直线方程为x＋y－3＝0．(2）设圆心P（a，b)，则由P在CD上,得a＋b－3＝0．①∵直径｜CD｜＝4错误!，∴|PA|＝210．∴(a＋1)2＋b2＝40．②由①②解得错误!或错误!∴圆心P(－3,6）或P(5,－2)．∴圆P的方程为(x＋3）2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2）2＝40．(3)圆P上共有两个点Q使△QAB的面积为8．证明：∵｜AB｜＝42＋42＝4错误!，∴当△QAB的面积为8时，点Q到直线AB的距离为2错误!．又圆心P到直线AB的距离为4错误!，圆P的半径长r＝2错误!，且4错误!＋2错误!＞2错误!,∴圆P上共有两个点Q使△QAB的面积为8．21．(本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形,∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD,PO＝2，M为PD的中点．（1)求证：PB∥平面ACM；（2)求证:AD⊥平面PAC；(3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解（1)证明：如图,连接BD,MO，在▱ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO．因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM．(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1,所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC．又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD．又AC∩PO＝O,所以AD⊥平面PAC．（3）取DO的中点N,连接MN,AN．因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝错误!PO＝1．由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN即为直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝错误!，所以DO＝错误!，从而AN＝错误!DO＝错误!．在Rt△ANM中，tan∠MAN＝错误!＝错误!＝错误!，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为错误!．22．(本小题满分12分）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解假设直线l存在,设l的方程为y＝x＋m，由错误!得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0．（＊)设A（x1，y1），B(x2，y2），则x1＋x2＝－(m＋1）,x1x2＝m2＋4m－42．∵以AB为直径的圆为(x－x1)(x－x2）＋(y－y1)(y－y2)＝0，若它经过原点,则x1x2＋y1y2＝0．又y1y2＝（x1＋m)(x2＋m）＝x1x2＋m（x1＋x2）＋m2，∴2x1x2＋m（x1＋x2)＋m2＝0，∴m2＋3m－4＝0，解得m＝－4或m＝1．当m＝－4或m＝1时，(＊）式的Δ>0,∴所求直线l的方程是x－y－4＝0或x－y＋1＝0．。

2019_2020学年高中数学学期综合测评(二)(含解析)新人教A版选修2_2

学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是( ) A ．2＞2i B ．2＞(3i)2C ．2＋3i ＜3＋3iD ．2＋2i ＞2＋i 答案 B解析本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9＜2，故选B.2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线．则正确的顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→② D ．②→③→① 答案 B解析本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B .3．用反证法证明“若a ＋b ＋c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1 答案 D解析假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D . 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案 B解析由题中图象知ef ′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．6．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2答案 B解析由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x3≥4，…，可推广为x ＋n n xn ≥n ＋1，故a ＝n n.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3 D ．2 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x＋1)d x －⎠⎛021d x ＝(－13x 3＋x 2＋x )||20－x 20＝43.故选B .8．设f(x)＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c )答案 A解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b ＝0.故选A.9．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1＜0，则不等式f (x 2)＜x 2＋1的解集为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2) 答案 C解析令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＜0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)＜x 2＋1，得f (x 2)－x 2＜1，即g (x 2)＜1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)＜g (2)，∴x 2＞2，解得x ＞2或x ＜－ 2.故选C.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 答案 C解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C.11．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z *z的最小值为( )A.92B.322C.32D.94答案 B解析z*z＝|z |＋|z|2＝2a2＋b22＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝9 4，∴－ab≥－94，z*z≥ 9－2×94＝92＝322.12．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )A．2x>3sin x B．2x<3sin xC．2x＝3sin x D．与x的取值有关答案 D解析令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.当cos x<23时，f′(x)>0，当cos x＝23时，f′(x)＝0，当cos x>23时，f′(x)<0.即当0<x<π2时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．i是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是________．答案2＋i解析∵1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i，∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i.14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________．答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎪⎫S632解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝⎛⎭⎪⎫S 6 12，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 632.15．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调递减区间是________．答案 (0,2)解析由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，即函数f (x )的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f (1＋x )的图象是由f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f (1＋x )的单调递减区间为(0,2)．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．(1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，求实数m 的值．解 (1)设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a ＜0，所以a ＝－1，b ＝1，所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ，所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＞0得x ＜－13或x ＞1，令f ′(x )＜0得－13＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 19．(本小题满分12分)求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积．解作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，如图：所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)．20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解 f′(x )＝3ax 2－b . (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.21．(本小题满分12分)水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．解设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h ，则V ＝20t ，又V ＝13πr 2h ，由图知r h ＝630，所以r ＝15h ，所以V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫152·h 3＝π75h 3，所以20t ＝π75h 3，所以h ＝31500πt ，于是h ′＝31500π·13·t － 23.当h ＝10时，t ＝23π，此时h ′＝5π，所以当h ＝10米时，水面上升速度为5π米/分．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2k ＋1＋1－2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．。

2019_2020学年新教材高中数学模块综合检测新人教A版必修第二册

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则z ＝i1－2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.z ＝i1－2i ＝i （1＋2i ）1－（2i ）2＝－2＋i 5＝－25＋15i ，其对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15位于第二象限． 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：选B.对于A ，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A 不正确；对于B ，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确；对于C ，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C 不正确；对于D ，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D 不正确．综上可知选B .3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为( )A ．3B ．6C ．3 2D.322解析：选B.由直观图可得，该平面图形是直角边边长分别为4，3的直角三角形，其面积为S ＝12×4×3＝6.4．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样法从中抽取容量为20的样本，则在一级品中抽取的比例为( )A.124B.136C.15D.16解析：选D.由题意知抽取的比例为20120＝16，故选D.5．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体验中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为( )A．10 B．20C．8 D．16解析：选B.由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，人数为0.4×50＝20.故选B.6．一组数据的平均数、众数和方差都是2，则这组数可以是( )A．2，2，3，1 B．2，3，－1，2，4C．2，2，2，2，2，2 D．2，4，0，2解析：选D.易得这四组数据的平均数和众数都是2，所以只需计算它们的方差就可以．第一组数据的方差是0.5；第二组数据的方差是2.8；第三组数据的方差是0；第四组数据的方差是2.7．已知a＝(1，0)，b＝(1，1)，且(a＋λb)⊥a，则λ＝( )A．2 B．0C．1 D．－1解析：选D.因为a＋λb＝(1，0)＋(λ，λ)＝(1＋λ，λ)，所以(a＋λb)·a＝(1＋λ，λ)·(1，0)＝1＋λ.由(a＋λb)⊥a得1＋λ＝0，得λ＝－1，故选D.8．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19解析：选D.个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个，符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25个，符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.9．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34解析：选D.设A i (i ＝1，2)表示继续比赛时，甲在第i 局获胜，B 事件表示甲队获得冠军．法一：B ＝A 1＋A －1A 2，故P (B )＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2)＝12＋12×12＝34.法二：P (B )＝1－P (A －1A －2)＝1－P (A －1)P (A －2)＝1－12×12＝34.10．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－2解析：选B.因为AD →＝23AC →，所以BP →＝13BD →＝13(AD →－AB →)＝29AC →－13AB →.所以AP →＝AB →＋BP →＝23AB →＋29AC →，又AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，从而λμ＝3，故选B.11．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角大小为π3，a ＝AB →，b ＝CD →，则a ·b ＝( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．－6解析：选B.设菱形中过A 点的两邻边对应的向量分别表示为i ，j ，且i 的方向水平向右，则|i |＝|j |＝1，〈i ，j 〉＝60°，从而i ·j ＝12.因此a ＝i ＋2j ，b ＝－3i ＋2j ，所以a ·b ＝(i ＋2j )·(－3i ＋2j )＝－3i 2－4i ·j ＋4j 2＝－3×12－4×1×1×12＋4×12＝－1，故选B.12．如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，BC ＝2，AF ＝FG ＝BG ＝1.现分别沿EF ，GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π C.163π D.83π 解析：选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为23×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝33.因为三棱柱的高BC ＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋12＝233，所以三棱柱外接球的表面积S ＝4πR 2＝163π.故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的30%分位数为________，75%分位数为________．解析：因为10×30%＝3，10×75%＝7.5，所以30%分位数为x 3＋x 42＝6＋72＝6.5，75%分位数为x 8＝9. 答案：6.5 914．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．解析：设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A－1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A －1A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A －2)·P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.答案：0.4615．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为________．解析：连接A 1B .因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B ＝30°.又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝22，BC ＝ 2.又AB ⊥BC ，则AB ＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋4 2.答案：4＋4 216．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足|DP →|＝|BQ →|，则PA →·PQ →的最小值为________．解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0.因为|DP →|＝|BQ →|，所以|x |＝|y |，所以x ＝－y .因为PA →＝(－x ，－1)，PQ →＝(2－x ，y －1)，所以PA →·PQ →＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，所以当x ＝12时，PA →·PQ →取得最小值为34.答案：34三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面的三个向量，其中a ＝(1，3)． (1)若|c |＝4，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)因为c ∥a ，所以存在实数λ(λ∈R )，使得c ＝λa ＝(λ，3λ)，又|c |＝4，即λ2＋3λ2＝4，解得λ＝±2. 所以c ＝(2，23)或c ＝(－2，－23)．(2)因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0，即a 2－32a ·b －52b 2＝0，所以4－32×2×1×cos θ－52＝0，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.18．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝π6，a ＝2，△ABC 的面积为3，F 为边AC 上一点．(1)求c ；(2)若CF ＝2BF ，求sin ∠BFC .解：(1)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2b ×sin π6＝3，所以b ＝2 3.由余弦定理可得c2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋12－2×2×23×cos π6＝4，所以c ＝2.(2)由(1)得a ＝c ＝2，所以A ＝C ＝π6，∠ABC ＝π－A －C ＝2π3.在△BCF 中由正弦定理得CF sin ∠CBF ＝BFsin ∠BCF，所以sin ∠CBF ＝sin π6·CFBF.又因为CF＝2BF ，所以sin ∠CBF ＝22，又因为∠CBF ≤2π3，所以∠CBF ＝π4，所以sin ∠BFC ＝sin (∠CBF ＋∠BCF )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝2＋64. 19．(本小题满分12分)如图所示，凸多面体ABCED 中，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2，CE ＝2，F 为BC 的中点．(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BCE .证明：(1)取BE 的中点G ，连接GF ，GD ，因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，所以AD ∥EC ，且平面ABC ⊥平面ACED .因为GF 为三角形BCE 的中位线，所以GF ∥EC ∥DA ，GF ＝12CE ＝DA ＝1.所以四边形GFAD 为平行四边形，所以AF ∥GD ，又GD ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为AC ＝AB ＝1，BC ＝2，所以AC 2＋AB 2＝BC 2，所以AB ⊥AC .所以F 为BC 的中点，所以AF ⊥BC .又GF ⊥AF ，BC ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面BCE .因为AF ∥GD ，所以GD ⊥平面BCE .又GD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面BCE .20．(本小题满分12分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)法一：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．法二：从统计表可以看出，同时购买了甲和乙的顾客，也都购买了丙；同时购买了甲和丁的顾客，也都购买了丙；有些顾客同时购买了甲和丙，却没有购买乙或丁．所以，如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买丙的可能性最大．21．(本小题满分12分)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人．(1)分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．解：(1)由题意，因为第1组有5人，则0.01×5n ＝5，n ＝100，所以第3组有0.06×5×100＝30(人)，第4组有0.04×5×100＝20(人)，第5组有0.02×5×100＝10(人)．所以利用分层随机抽样在第3，第4，第5组中分别抽取3人，2人，1人．(2)记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共15种．其中第3组的3名志愿者A 1，A 2，A 3至少有一名志愿者被抽中的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，共12种．则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为1215＝45.22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且SA ＝SC ，SA ⊥BD .(1)求证：SO ⊥平面ABCD ；(2)设∠BAD ＝60°，AB ＝SD ＝2，P 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD 的体积．解：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .又因为BD ⊥SA ，SA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面SAC ，又因为SO ⊂平面SAC .所以BD ⊥SO .因为SA ＝SC ，AO ＝OC ，所以SO ⊥AC .又因为AC ∩BD ＝O ，所以SO ⊥平面ABCD .(2)连接OP .因为SB ∥平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ∩平面APC ＝OP ，所以SB ∥OP .又因为O 是BD 的中点，所以P 是SD 的中点．由题意知△ABD 为正三角形，所以OD ＝1.由(1)知SO ⊥平面ABCD ，所以SO ⊥OD .又因为SD ＝2，所以在Rt △SOD 中，SO ＝ 3.所以P 到平面ABCD 的距离为32，所以V A PCD ＝V P ACD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2sin 120°×32＝1 2.。

2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：学期综合测评(一) Word版含解析

姓名，年级：时间：必修2 学期综合测评（一)对应学生用书P103 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知两直线y＝ax－2和y＝(a＋2）x＋1互相垂直，则a等于（)A．2 B．1 C．0 D．－1答案 D解析由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝（a＋1）2＝0,∴a＝－1，也可以代入检验．2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( ）A．（1，－2)，5 B．(1，－2），错误!C．（－1，2），5 D．(－1，2)，错误!答案D解析圆的方程化为标准方程为（x＋1)2＋（y－2)2＝5，其圆心是(－1，2）,半径为错误!．3．已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|＝（)A．3 B．7 C．10 D．5答案A解析因为直线l的方程为2x－5y＋10＝0，所以令y＝0，得x＝－5，即a＝－5，令x＝0，得y＝2，即b＝2，所以|a＋b|＝｜－5＋2|＝3．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )A．12B．错误! C．错误! D．错误!答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示．平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A－BCDE 的高为1．四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝错误!×1×1＝错误!,S△ABC＝S△ABE ＝错误!×1×错误!＝错误!，S△ACD＝错误!×1×错误!＝错误!，故选C．5．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m,四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( ）A．4 cm，1 cm，2 cm，1．6 cmB．4 cm,0．5 cm，2 cm,0．8 cmC．4 cm,0．5 cm，2 cm，1．6 cmD．2 cm，0．5 cm，1 cm，0．8 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm,1．6 cm，再结合斜二测画法,则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0．5 cm,2 cm，1．6 cm．6．直线l：y＝kx－1与曲线错误!＝错误!不相交，则k的取值是( )A．错误!或3 B．错误! C．3 D．错误!答案A解析曲线错误!＝错误!表示直线x－2y＋3＝0（去掉点(1,2）)，则直线l:y＝kx －1与曲线错误!＝错误!不相交，即直线l与x－2y＋3＝0平行或直线l过点（1，2）,所以k的取值为错误!或3．7．如图，三棱台ABC－A′B′C′中，AB∶A′B′＝1∶2，则三棱锥A′－ABC，B －A′B′C，C－A′B′C′的体积之比为（)A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4答案 C解析设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A′B′C′＝4S．所以V A′－ABC＝错误!S△ABC·h＝错误!Sh，V C－A′B′C′＝错误!S△A′B′C′h＝错误!Sh，又V台＝错误!h(S＋4S＋2S)＝错误!Sh，而V B－A′B′C＝V台－V C－A′B′C′－V A′－ABC＝错误!Sh,所以V A′－ABC∶V B－A′B′C∶V C－A′B′C′＝1∶2∶4．8．直线2x－y－错误!＝0与y轴的交点为P，点P把圆（x＋1）2＋y2＝25的直径分为两段,这两段长度之比为( ）A．错误!或错误! B．错误!或错误!C．错误!或错误! D．错误!或错误!答案A解析数形结合法:点P的坐标是（0,－3），圆心坐标为C（－1，0),半径长为5．因为｜PC|＝－1－02＋0＋32＝2〈5，所以点P在圆内．设点P在直径AB上,则｜PA｜＝5－2＝3，｜PB|＝5＋2＝7．所以分成的两线段之比为错误!或错误!．故选A．9．如图，三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是（）A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO答案B解析因为VA＝VB,AD＝BD，所以VD⊥AB．因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB．又VO∩VD＝V,所以AB⊥平面VCD．又CD⊂平面VCD ,VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC ，AB⊥CD．又AD＝BD，所以AC＝BC（线段垂直平分线的性质)．因为VO⊥平面ABC，所以V V－ABC＝错误!S△ABC·VO．因为AB⊥平面VCD,所以V V－ABC＝V B－VCD＋V A－VCD＝错误!S△VCD·BD＋错误!S△VCD·AD＝错误!S△VCD·（BD＋AD）＝错误!S△VCD·AB,所以错误!S△ABC·VO＝错误!S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO．综上知，A，C，D正确．10．如右图,定圆半径为a，圆心为(b，c），则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案 B解析解方程组错误!得错误!观察题设中圆的位置，可知a〉0，b<0，c〉0,且a＋b<0，b＋c<0,a－c〉0，所以x＝－错误!〈0，y＝错误!〈0．11．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1,则点A到平面A1BC的距离为( ) A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案B解析因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形ABC的面积为错误!，所以VA1－ABC＝错误!×错误!×1＝错误!．如图，在△A1BC中，A1B＝A1C＝错误!＝错误!，所以BC的中点M到A1的距离为错误!＝2，所以S△A1BC＝错误!×2×2＝2．设点A到平面A1BC的距离为h，所以错误!·S△A1BC·h＝VA1－ABC,解得h＝错误!．12．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b)所作的圆的切线长的最小值是（)A．2 B．3 C．4 D．6答案C解析将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为标准方程为(x＋1）2＋(y－2)2＝2,∴圆心C（－1,2），半径r＝2．∵圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，∴直线2ax＋by ＋6＝0过圆心，将x＝－1，y＝2代入直线方程得－2a＋2b＋6＝0，即a＝b＋3．∵点（a，b)与圆心的距离d＝a＋12＋b－22,∴由点(a，b)向圆C所作切线长l＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!≥4，当且仅当b＝－1时切线长最小，最小值为4．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．答案13解析连接BC（图略），因为AC⊥l，AC＝3，AB＝4，所以BC＝5．因为BD⊥l，l＝α∩β，α⊥β，BD⊂β，所以BD⊥α．又BC⊂α，所以BD⊥BC．在Rt△BDC中，CD＝BD2＋BC2＝13．14．四边形ABCD中，A（0,0),B(1,0)，C（2，1），D（0，3），若四边形ABCD绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案5π解析如右图所示，V圆锥＝错误!πr2h1＝错误!π×22×2＝错误!，V圆台＝错误!πh2(r2＋R2＋Rr）＝错误!π×1×（22＋12＋2×1）＝错误!π，∴V＝V圆锥＋V圆台＝5π．15．在△ABC中，高AD与高BE所在直线的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A________；B________;C________．答案（－2，1) （1,0) （2，5）解析高AD与边AB所在直线的交点即为顶点A，联立错误!得A（－2，1)．高BE 与边AB所在直线的交点即为顶点B，联立错误!得B（1，0）．因为直线AC过点A，且与直线BE垂直，所以直线AC的方程为y－1＝x＋2，即y＝x＋3，同理，直线BC的方程为y＝5(x－1），联立两直线方程得C（2，5）．16．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题:①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′－FED的体积有最大值;④直线A′E与BD不可能垂直．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析对于命题①，由题意,知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G,故DE⊥平面A′FG．又DE⊂平面ABC,所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时,三棱锥A′－FED的体积有最大值,故命题③正确;对于命题④,当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时,易证A′E 与BD垂直，故该命题不正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点;(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,且|OA｜＝｜OB|，求k的值．解(1)证法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2）,故无论k取何值，直线l总过定点(2，1)．证法二：设直线过定点(x0，y0），则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，即（x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，所以错误!解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2，1)．（2)因直线l的方程为y＝kx－2k＋1,则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－错误!，依题意1－2k＝2－错误!〉0,解得k＝－1或k＝错误!（经检验，不符合题意），所以所求k＝－1．18．（本小题满分12分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图(单位:cm)．（1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解(1）该几何体的俯视图如图所示．（2）该几何体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－错误!×错误!×2×2×2＝错误!（cm3）．19．（本小题满分12分）已知动点M到点A（2，0)的距离是它到点B(8，0）的距离的一半，求：（1)动点M的轨迹方程;(2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．解（1)设动点M(x，y）为轨迹上任意一点,则点M的轨迹就是集合P＝错误!．由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为错误!＝错误!错误!．平方后再整理，得x2＋y2＝16．可以验证，这就是动点M的轨迹方程．(2）设动点N的坐标为(x，y），M的坐标是（x1，y1)．由于A（2，0）,且N为线段AM的中点,所以x＝错误!，y＝错误!．所以有x1＝2x－2,y1＝2y．①由(1)知,M是圆x2＋y2＝16上的点,所以M的坐标（x1,y1)满足x错误!＋y错误!＝16．②将①代入②整理，得（x－1)2＋y2＝4．所以N的轨迹是以(1，0）为圆心，2为半径的圆．20．（本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AC⊥CD，E，F分别是PC，AC的中点．证明:（1）BF∥平面PCD;（2）AE⊥平面PCD．证明（1)因为∠ABC＝60°,AB＝BC，所以△ABC为等边三角形．又F是AC的中点，所以BF⊥AC．又CD⊥AC，且BF，CD，AC都在平面ABCD内，所以BF∥CD．因为CD⊂平面PCD，BF⊄平面PCD,所以BF∥平面PCD．(2）由（1）知，△ABC为等边三角形，且PA＝AB，所以PA＝AC．又E为PC的中点，所以AE⊥PC．因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE．又PC∩CD＝C,所以AE⊥平面PCD．21．（本小题满分12分)如图，圆锥SO中,AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O，且AB⊥CD,SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1）求证：SA∥平面PCD；(2)求圆锥SO的表面积;(3)求异面直线SA与PD所成角的正切值．解(1)证明：连接PO，∵P，O分别为SB,AB的中点，∴PO∥SA，∵PO ⊂平面PCD, SA ⊄平面PCD ， ∴SA∥平面PCD ．(2）∵圆锥的底面半径r ＝2，母线长l ＝SB ＝2错误!， S 底面＝πr 2＝4π，S 侧面＝πlr＝4错误!π， S 圆锥表面＝S 底面＋S 侧面＝4(错误!＋1）π． (3)∵PO∥SA，∴∠DPO 为异面直线SA 与PD 所成的角或其补角， ∵AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O ， ∴CD⊥平面SOB ．∵PO ⊂平面SOB ， ∴OD⊥PO，在Rt△DOP 中，OD ＝2， OP ＝12SA ＝错误!SB ＝错误!，∴tan∠DPO＝错误!＝错误!＝错误!．∴异面直线SA 与PD 所成角的正切值为2．22．(本小题满分12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 是直线l ：x ＝4上的动点．（1）若从点P 到圆O 的切线长为23,求点P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；（2)若点A （－2，0)，B （2,0)，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N,求证：直线MN 经过定点Q （1，0)．解（1)依题意,设P(4，t)．设两切点分别为C ，D ，则OC⊥PC，OD⊥PD．由题意可知｜PO|2＝｜OC ｜2＋|PC ｜2，即42＋t 2＝22＋(2错误!)2，解得t ＝0，所以点P 的坐标为（4,0)．在Rt△POC 中，可求得∠POC＝60°，所以∠DOC＝120°，所以所求两条切线所夹的劣弧长为2π×2×错误!＝错误!．(2）证明：设M （x 1，y 1)，N （x 2，y 2）．依题意，可得直线PA 的方程为y ＝错误!(x ＋2)，由错误!得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4t 2－144＝0．因为直线PA 经过点A （－2，0)，M(x 1，y 1)，所以－2，x 1是上述方程的两个根，则－2x 1＝错误!,即x 1＝错误!，代入直线方程y ＝错误!(x ＋2)，得y 1＝错误!错误!＋2＝错误!．同理,可得直线PB 的方程为y ＝错误!(x －2）．由错误!得（t 2＋4)x 2－4t 2x ＋4t 2－16＝0．因为直线PB 经过点B （2，0)，N （x 2,y 2)，所以2,x 2是上述方程的两个根，则2x 2＝错误!,即x 2＝错误!，代入直线方程y ＝错误!（x －2），得y 2＝t2错误!－2＝错误!．若x 1＝1，则t 2＝12，此时x 2＝错误!＝1，显然M ，N 在直线x ＝1上，所以直线MN 经过定点Q （1，0）．若x 1≠1,则t 2≠12，x 2≠1, 由k MQ ＝错误!＝错误!＝错误!，k NQ ＝错误!＝错误!＝错误!，可知k MQ ＝k NQ ，所以M ，Q ，N 三点共线,即直线MN 经过定点Q(1,0)．综上所述,直线MN 经过定点Q(1，0）．必修2 学期综合测评(二）。