高数重要定理(高数上下)

b−a
注：ξ =a+θ(b−a), 0<θ <1； 有限增量公式： f (x+∆x)− f (x)= f ′(ξ)∆x
三、柯西中值定理
设 f ( x), g( x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导，且
g′( x) ≠ 0,那么至少存在一个ξ ∈ (a,b)，使
f (b) −
f (a) =
f ′(ξ ).
和最小值.
(2)有界性:若 f (x)在[a,b]上连续，则 f (x)在[a,b]上有界. (3)介值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上可取到介于 它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值. (4) 零 点 定 理 ( 或 根 的 存 在 定 理 ): 若 f (x) 在 [a,b] 连 续 , 且 f (a)⋅ f (b)<0,则必∃ξ∈(a,b)，使 f (ξ )=0.
1.找 n；
2.确定 x0，将函数 f (x)在点 x0处展开成泰勒公式.一般题设中会
提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 x ，通常取 x 为函数值
0
0
为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中
给出的其他特殊的点.
3.将区间端点a和b分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相
加或相减.
+
f
(n)( x0 ) ( x n!
−
x0 )n
+
Rn( x),
其中 Rn( x) =
f (n+1) (ξ ) (x
(n + 1)!
−
x0 )n+1，ξ
在
x0与
x之间.
证明存在两个点ξ,η∈(a,b)，使得G[ f ′(ξ), f ′(η),⋯]=0. 方法提示：利用一次或两次中值定理. 1.证明在(a,b)内存在ξ,η 满足某种关系式的命题 的程序： (1)在欲证的等式中，将ξ 和η分离开来，即把包 含ξ 的函数和包含η 的函数分别放在等式的两 端. (2)选择等式的一端应用一次中值定理或介值 定理得到ξ ，再对等式的另一端应用一次中值定 理或介值定理得到η .
f ( x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + ⋯ + f (n)(0) xn + o( xn ).
2!
n!
在使用泰勒公式的时候，常用到如下无穷小的 运算：
o(x2)+o(x3)=o(x2), x⋅o(x2)=o(x3), o(x2)±o(x2)=o(x2), o(±3x2)=o(x2).
4.如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，
则继续取绝对值放大、缩小即可证明.
1．水平渐近线
若 xli→m∞ f (x)= A ( 或 xl→im+∞ f (x)= A或 xl→im−∞ f (x)= A),则 y = A是曲线
y= f (x)的一条水平渐近线．
2．垂直（竖直、铅直）渐近线
x2 ± a2 | +C
常见的凑微分形式
(1)
∫
f
(ax n
+
)b x n−1dx
=
1 na
∫
f
(ax n
+
b)d (axn
+
b)
(a ≠ 0, n ≠ 0).
(2) ∫ f (sin x) cos xdx = ∫ f (sin x) d (sin x).
(3)
∫
f
(ln
x)
dx x
=
∫
f
(ln
x )d
α⎛
⎜⎜⎝
<β
⎞ ⎟⎟⎠
所围成的曲边扇形的面积
∫ A =
1 2
βr 2 (θ )dθ
α
.
2）由θ =α, θ =β, r =r1(θ), r =r2(θ), α <β, r1(θ)≤r2(θ) 所围成的
图形的面积为：
b
−∫a
f
(x)dx
.
(2)
a
∫a
f
(
x) dx
=
0.
∫ ∫ ∫ (3)
b a
⎡⎣
k1
f1
(
x
)
+
k2
f
2
(
x
)
⎤⎦
dx
=
k1
b a
f1 ( x) dx + k2
b a
f2 ( x) dx.
c [ ] (4)
b
∫a
f
(x)dx
=
c
∫a
f
(x)dx
+
b
∫c
f
(x)dx
(
也可以在 a, b 之外).
(5) 设 a < b ,若 m ≤ f (x) ≤ M (a ≤ x ≤ b),则
(ln
x).
(4) ∫ f (
x)
dx x
=
2∫
f
(
x)d(
x ).
(5) ∫ f (cos x)sin xdx = −∫ f (cos x) d (cos x).
(6)
∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞ ⎟⎠
dx x2
=
−∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠d
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠.
定积分的性质：
(1)
a
∫b
f
(x)dx
=
求导法则： 1．四则运算法则； 2．复合函数求导法； 3．隐函数求导法； 4．反函数求导数； 5．参数方程求导法； 6．对数求导法； 7．高阶导数.
高阶导数
1．归纳法
求一阶 y′、二阶 y′′，归纳n阶导数 y(n)． 2．公式法（莱布尼兹公式）：(uv)(n) = ∑n Cnk u(k) v(n−k).
m
(b
−
a)
≤
b
∫a
f
(
x)
dx
≤
M
(b
−
a).
(6)不等式：1)若当 a ≤ x ≤ b 时, f (x) ≤ g(x), 则
b
b
∫ a f (x) d x ≤ ∫ a g(x) d x;
b
b
2) ∫a f (x)d x ≤ ∫a | f (x) |d x,a ≤ b.
（7)积分中值定理： 若 f (x) 在[a,b] 上连续,则
g(b) − g(a) g′(ξ )
四、泰勒定理（带拉格朗日余项的泰勒公式）
设 f ( x)在区间I 上(n + 1)阶可导, x0 ∈ I ，那么
∀x ∈ I ,至少存在一个ξ ，使
f (x) =
f ( x0 ) +
f ′( x0 )( x − x0 ) +
f ′′( x0 )( x − 2!
x0 )2 + ⋯
x→a F ′( x)
( x→∞)
则
lim
f (x) =
lim
f ′( x).
x→a F ( x) x→a F ′( x)
( x→∞)
( x→∞)
等价无穷小量替换（代换）定理： 在同一个极限过程,若α ∼α′, β ∼β′，则
limαβ
=limα β
′′=limαβ′=limβα′.
注：等价无穷小量代换一般只能用在整体乘、 除关系，而不能用在局部乘、除关系和整体加、 减关系.
−
y1(x)
dx.
2）由
y
=
c,
y
=
d
,
x
=
x1⎜⎝⎛
y
,⎟⎞
⎠
x
=
x2⎜⎝⎛
y
⎟⎞ ⎠
,所围成的平面图形的面积
A=
d ∫c
x2( y)− x1( y)
dy.
(2) 极坐标
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x = r cosθ y = rsinθ
,其中θ
为极角,
r
为极径.
1）由θ
=α,
θ
=β,
r
= r(θ ),
若 xl→ima+ f (x)=∞ 或 xl→ima− f (x)=∞ ,则 x=a 为曲线 y= f (x)的一条垂
直渐近线．
3．斜渐近线
若 xl→im+∞
f
(x) x
=ห้องสมุดไป่ตู้
a
=/ 0,
xl→im+∞[
f
(x) − ax]=b 或 xl→im−∞
f
(xx)=a=/ 0，
xl→im−∞[ f (x)−ax]=b,则 y=ax+b是曲线 y= f (x)的一条斜渐近线．
b
∫a
f (x)d x =
f (ξ )(b − a), a ≤ ξ
≤b .
b
∫ a f (x)d x
(b − a)
称为
f
(x)
在[a,b] 上的平均值.
1.平面图形的面积
(1) 直角坐标
1)
由
x
=
a,
x
=
b,
y
=
y1⎜⎝⎛
x
,⎟⎞
⎠
y
=
y2
⎜⎛ ⎝
x
⎟⎞ ⎠
,所围成的平面图形的面积
A=
b ∫a
y2(x)
2
2、 x → 1 , ln x ∼ x − 1
带皮亚诺余项的泰勒公式:
若 f ( x)在 x0及其附近有直到n阶的导数,则
f (x) =
f ( x0 ) +
f ′( x0 )( x −
x0 ) + ⋯ +
f (n)( x0 ) ( x − n!
x0 )n.
+o(( x − x0 )n )
特别当 x0 = 0时，称为麦克劳林公式
（1）高阶：若lim α ( x) = 0，记为α ( x) = ο[β ( x)]; β ( x)
（2）低阶：若lim α ( x) = ∞，记为β ( x) = ο[α ( x)]; β ( x)
（3）同阶： 若lim α ( x) = C ≠ 0,记为α ( x) = O[β ( x)]; β ( x)
洛必达法则
(1)当 x → a (或 x → ∞ )时, f ( x) 及 F ( x) 都趋
于零（或无穷大）；
(2) 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 ( 或 |x |> M > 0 )
内, f ′( x)及F′( x)都存在且F′( x) ≠ 0；
(3) lim f ′( x)存在(或为无穷大).
常用的麦克劳林展开式：
e x = 1 + x + x2 + o( x2 ); 2
sin x = x − x3 + o( x3 ); 3!
cos x = 1 − x2 + o( x2 ); 2!
ln(1 + x) = x − x2 + o( x2 ); 2
在自变量同一变化过程下α ( x) → 0, β ( x) → 0
2.证明在(a,b) 内存在ξ,η 且ξ ≠η 满足某种关系式 的命题： (1)关键是通过零点定理、介值定理或其他条 件，找出符合题意的分界点c∈(a,b)，将区间(a,b)分 成两个不相交的部分区间. (2)在(a,c)和c,b) 上分别应用中值定理进行证明 即可.
应用泰勒公式，证明等式或者不等式，分四步：
基本积分公式
1. ∫
dx a2 −
x2
=
arcsin
x a
+ C，∫
dx = arcsin x+C 1− x2
2.
∫
dx a2 + x2
=
1 a
arctan
x a
+
C，∫1+dxx2
=
arctan
x
+C
3.
∫
dx a2 − x2
=
1 2a
ln
a a
+ −
x x
+
C,∫
dx x2 −a2
=
1 2a
ln
若C = 1，称α ( x), β ( x)是等价无穷小，记为α ( x) ∼ β ( x);
（4）无穷小量的阶:
若lim
α(x) [β ( x)]k
=C
≠ 0，称α ( x)是β ( x)
的k 阶无穷小量.
宝典公式： (1) limg(x)=0, lim gf ((xx))= A，则lim f (x)=0； (2) lim f (x)=0, lim f (x)= A≠0，则limg(x)=0；
常用等价无穷小量：1、当 x → 0时, (1)sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ∼ x (2)ln(1 + x) ~ e x − 1 ∼ x; a x − 1 ~ x lna, (3)(1 + x)α − 1 ~ α x, 1 − cos x ~ 1 x2.
a a
− +
x x
+C
4.∫ tan xdx = −ln cos x +C,∫cot xdx = ln sin x +C
5. ∫sec xd x = ln |sec x + tan x| +C
6. ∫csc xd x = ln |csc x −cot x| +C
7. ∫
dx = ln | x + x2 ± a2
特别地，(xn)(n) =n!；(xn)(n+1) =0.
1 ⎛
⎜
1+ ⎜
⎜⎝
x
(n)
⎞ ⎟
⎟ ⎟⎠
=[(1+
x)−1](n)
=
(−1)nn! (1+ x)1+n
；
1 ⎛
⎜
1− ⎜
⎜⎝
x
(n)
⎞ ⎟
⎟ ⎟⎠
=
[(1−
x)−1](n)
=
n! (1−x)1+n
；
(4)[ln(1+
x)](n)
=
1 ⎛
⎜
1+ ⎜
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
⎜⎝
x
(n−1)
⎞ ⎟
⎟ ⎟⎠
=
(−1)n−1 (1+
(xn)n−1)!.
一、罗尔定理 设 f ( x)在[a,b]连续,在(a,b)内可导，且
f (a) = f (b),那么至少∃ξ ∈ (a,b)，使 f ′(ξ ) = 0.
二、拉格朗日中值定理 设 f ( x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,那么至少存在 一个ξ ∈ (a,b),使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ).
k=0
注：(1)
⎡⎢sin(ax
⎢⎣
(n) +b)⎤⎥
⎥⎦
=
an
sin(ax
+
b
+
n⋅π 2
);
⎡⎢cos(ax
⎢⎣
(n) +b)⎤⎥
⎥⎦
=
an
cos(ax
+b
+
n⋅π2
);
(2)
⎛ ⎜⎜ ⎝
a
x
(n)
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜⎝
ln
a
n
⎞ ⎟ ⎟⎠
⋅a
x;
(3) [(1+x)µ](n)=µ(µ −1)⋯(µ −n+1)(1+ x)µ−n;