九年级中考数学二次函数压轴题强化练习
中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知：二次函数y=x2−(m+2)x+m−1．(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点是A、B（A在原点左边，B在原点右边），且AB=3，求此时抛物线的解析式；(3)在（2）的前提下，若抛物线与y轴交于点C，问在y轴的正半轴上是否存在点D，使△DOB 和△AOC相似？2．如图，抛物线：y=x2+bx+c的图像与x轴交于A和B(−3，0)两点，与y轴交于C(0，−3)，直线y=x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．(1)求抛物线的解析式和E点坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，试说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)绕点A旋转的直线l：y=kx+b1与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足AD=2AE时，求直线l的解析式；(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于A(−2，0)，B(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC．(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；(3)点P也是抛物线第一象限内的一点，过点P作PN⊥BC于N，连接PC，当以P、C、N为顶点的三角形与△BOC相似时，直接写出点P的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+3ax+c与x轴交于点A，B（点A 在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=4，直线y=−x+b经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接CD，AD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点D在直线AC下方时，连接DB交AC于点E，求S△ADC−S△BDC的最大值及此时点D 的坐标；(3)是否存在点D，使∠CBA=45°+∠DCA？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C．连接AC、BC，已知B(3,0)．(1)求直线BC的函数表达式；(2)Q为抛物线上一点，若以B、C、Q为顶点的三角形和△OAC相似，求点Q的坐标；(3)P为抛物线上一点（异于A点），若S△PBC=S△ABC，请直接写出P点的坐标．7．如图，抛物线y1=ax2−6ax+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC，设AC关系式为y2=kx+b．若OB=2，tan∠OBC=2，D是y轴右侧抛物线上一点，设其横坐标为m，DE⊥AC于点E．(1)求抛物线的函数关系式；(2)当点D位于直线AC下方时，求DE长度的最大值；(3)当△CDE与△AOC相似时，求m的值．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−6,0),B(2,0),C(0,6)三点．(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为15，求点P的坐标；2(3)如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别相交于A(−2,0)，B(8,0)两点(1)求a，b的值；(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．x2＋bx＋c与y轴交于点C(0,−4)，与x轴交于点A，B，且B 10．如图，抛物线y=12点的坐标为(2,0)．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)，且与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x 轴上．(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m①用含有m的代数式表示点E的横坐标为______(直接填空)；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．12．如图，直线y=x−3与x轴，y轴分别交于点B(3，0)，C(0，−3)过B，C两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E坐标(3)连接AC，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．13．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线BC，点D为第二象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求△DBC面积最大值及此时点D坐标；(3)如图2，点M也是第二象限抛物线上一个动点，直线OM交BC于点N，是否存在这样的点M，使以B、O、N为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出点M坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴14．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=−12相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P，Q在抛物线上，并与对称轴对称，（P点在对称轴左边），且PQ=2AO，求P，Q的坐标；(3)动点M在直线y=x+4上且△ABC与△COM相似求点M的坐标．15．如图抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A B两点点A(2,0)且OA=2OB与y轴交于点C连接BC D为第一象限内抛物线上一动点过点D作DE⊥OA于点E 与AC交于点F设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)求△ACD面积的最大值及此时D点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D使得以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在求出m的值；若不存在请说明理由．16．已知抛物线y=x2+2x−3的图像经过点A(−3，0)点B(n，0)且与y轴交于点C．(1)求出点B的坐标；(2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点．①如图1 若点Q为线段BC上一点连接PQ PQ交x轴于点M连接CM当∠MCQ=45°时求点M的坐标；②如图2 连接BC、BP若满足∠ABP=2∠BCO求此时点P的坐标．17．已知直线l:y=kx+b(k>0)与抛物线C:y=ax2(a>0)有唯一公共点P直线l分别交x轴y轴于A，B两点．(1)如图1 当a=1k=1时求b的值；时过点A作直线l的垂线交y轴于点T求T坐标；(2)如图2 当a=12(3)如图3 当k=1时平移直线l使之与抛物线C交于M，N两点点P关于y轴的对称点为Q求证：∠MQP=∠NQP．18．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2−3ax+c与x轴分别交于A(−1,0) B两点与y轴交于点C(0,−2)．(1)求抛物线的函数表达式；的最大值；(2)如图1 点D为第四象限抛物线上一点连接AD，BC交于点E求DEAE(3)如图2 连接AC，BC过点O作直线l∥BC点P Q分别为直线l和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点P Q使△PQB∽△CAB．若存在请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在请说明理由．19．如图1 已知二次函数y=x2+bx+c经过A(−2,0)C(0,−6)并交x轴于另一点B 点E是线段BC上的动点过A E两点的直线与抛物线在第四象限相交于点D．(1)求二次函数的解析式；取最大值时求点D的坐标；(2)当EDEA(3)如图2 连接AC在抛物线上存在点F使△OEF∽△COA求出所有点F的坐标；(4)如图3 过点E作EH⊥x轴于点H以EH为对角线作正方形EGHI当顶点G恰好落在抛物线上时请直接写出点G的坐标．20．已知在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−2,0)点B(4,0)交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式：(2)如图1 点P在抛物线第一象限上过点P作PD⊥x轴于点D交BC于点E设点P的横坐标为t PE的长为d求d与t的函数关系式：（不要求写出t的取值范围）(3)如图2 在（2）的条件下点Q在抛物线第四象限上连接AQ AP AP与BC交于点F∠CFA−∠BAQ=2∠PAB若FE=√2GO求点Q的坐标．参考答案1．（1）证明：∵Δ=(m+2)2−4(m−1)=m2+8>0故抛物线与x轴一定有两个交点；（2）解：令y=x2−(m+2)x+m−1=0解得：x=m+2±√m2+82则AB=|x1−x2|=√m2+8=3解得：m=1（舍去）或−1故抛物线的解析式为：y=x2−x−2；（3）解：存在理由：由抛物线的解析式知点C(0,−2)令y=0即x2−x−2=0解得x1=−1∵抛物线与x轴的两个交点是A B（A在原点左边B在原点右边）∵A(−1,0)∵OA=1∵C(0,−2)∵CO=2当△DOB∽△AOC时∵OD AO =OBOC即OD1=22解得OD=1∵D(0,1)；当△DOB∽△COA时∵OD CO =OBOA即OD2=21解得：OD=4∵D(0，4)．综上所述点D的坐标为：(0,1)或(0，4)．2．解：（1）∵B(−3，0)C(0，−3)两点均在抛物线上∴{c=−39−3b+c=0解得{b =2c =−3∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3 ∵直线y =x +m 经过点B∴0=−3+m ∴m=3∴直线BE 的解析式为y =x +3 联立方程组{y =x +3y =x 2+2x −3解得{x 1=−3y 1=0∴点E 的坐标为(2，5)；（2）存在点P 坐标为(0，5)或(0，7)．理由：若存在这样的点P 使得以D E P 为顶点的三角形与△BOD 相似 如图所示 由于△BOD 是等腰直角三角形 则存在两种情况 即∠DP 1E =90° 或∠DEP 2=90°当∠DP 1E =90°时∵OD =3 ∴OP 1=5∴点P 1的坐标为(0，5)； 当∠DEP 2=90°时∵EP 1⊥DP 2 ∴P 1P 2=DP 1=EP 1=2∴OP 2=7∴点P 2的坐标为(0，7)；所以满足题意的点P 的坐标为(0，5)或(0，7)．3．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx −3经过点A (1,0)和点B (3,0)∵{a +b −3=09a +3b −3=0解得{a =−1b =4∵抛物线的解析式为：y =−x 2+4x −3；（2）①当点D E 在点A 的异侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AF AO =AE AD =12∵AF =12AO =12×1=12∵OF =32∵点F 与点E 的横坐标为32∵点E 的纵坐标为y =−x 2+4x −3=−(32)2+4×32−3=34∵点E 的坐标为(32，34)∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(32，34)∵{k +b1=032k +b 1=34解得：{k=32b 1=−32 ∵直线l 的解析式为y =32x −32；②当点D E 在点A 的同侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F 如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AFAO =AEAD=12 ∵AF =12AO =12×1=12∵OF =12 ∵点F 与点E 的横坐标为12 ∵点E 的纵坐标为y =−(12)2+4×12−3=−54∵点E 的坐标为(12，−54) ∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(12，−54) ∵{k +b 1=012k +b 1=−54 解得{k =52b =−52∵直线l 的解析式为y =52x −52综上所述：直线l 的解析式为y =32x −32或y =52x −52；（3）存在以点B C P Q 为顶点的平行四边形 理由如下：抛物线y =−x 2+4x −3对称轴为直线x =2设Q (2,t ),P (m,−m 2+4m −3)又B (3,0)①以PQ 、BC 为对角线 则PQ 、BC 的中点重合∵{2+m =3+0t −m 2+4m −3=−3 解得m =1∵P(1，0)②以BQ 、PC 为对角线∵{2+3=m +0t +0=−m 2+4m −3−3解得m =5∵P (5,−8)；③以CQ 、BP 为对角线∵{2=m +3t −3=−m 2+4m −3解得m =﹣1∵P (−1,−8)综上所述 P 的坐标为(1,0)或(5,−8)或(−1,−8)．4．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A(−2，0)，B(8，0)两点代入 得{4a −2b +4=064a +8b +4=0 解得：{a =−14b =32∵抛物线的表达式为：y =−14x 2+32x +4当x =0时∵C(0，4)；（2）过M 作ME ∥y 轴交BC 于点E设BC 的解析式为y =kx +b将B(8,0)和C(0,4)代入得解得{k=−12 b=4∵y=−12x+4设M(m,−14m2+32m+4)则E(m,−12m+4)∵ME=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m∵S△MCB=12×8ME=−m2+8m=−(m−4)2+16当m=4时S取最大值16即△MBC面积的最大值为16；（3）①∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OCB时作BD⊥CP交CP的延长线于点D作DF⊥y于点F作BE⊥FD交FD的延长线于点E则四边形OBEF是矩形∵OB=EF,BE=OF．∵∠PCN=∠OCB∵BD=BO∵△BOD≌△BDC(AAS)∵BD=CD．∵∠CDF+∠BDE=90°,∠DBE+∠BDE=90°∵∠CDF=∠DBE∵∠CFD=∠E=90°∵△CDF≌△BDE(AAS)∵CF=DE,DF=BE∵DF+DE=OB=8∵4+2CF=8∵CF=2∵DF=OF=4+2=6∵D(6,6)．设直线CD的解析式为y=kx+4∵6=6k+4∵k=13∵y=13x+4解{y=13x+4y=−14x2+32x+4得{x1=143y1=509{x2=0y2=4（舍去）∵P(143,509)；②∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OBC时∵CP∥OB∵点P与点C的纵坐标相同当y=4时解得x1=6x2=0（舍去）∵P(6,4)．综上可知点P的坐标为(143,509)或(6,4)．5．（1）解：∵CO=4则点C(0,−4)将点C的坐标代入一次函数表达式得：−4=b 则一次函数表达式为：y=−x−4令y=−x−4=0得x=−4∵点A(−4,0)把A C两点坐标代入二次函数解析式中得：{c=−416a−12a+c=0解得：{a=1c=−4则抛物线的表达式为：y=x2+3x−4；（2）解：由y=x2+3x−4=0得x1=1，x2=−4∵点B(1,0)设直线BD交y轴于点N设点D(m,m2+3m−4)设直线BD的表达式为：y=kx+d则{k+d=0mk+d=m2+3m−4解得：{k=m+4d=−m−4直线BD的表达式为：y=(m+4)x−m−4令x=0,得y=−m−4∵点N(0,−m−4)过点D作DH∥y轴交AC于点H则点H(m,−m−4)则S△ADC−S△BDC=12×DH×OA−12×CN×(x B−x D)=12×(−m−4−m2−3m+4)×4−12×(−m)×(1−m)=−52m2−152m=−52(m+32)2+458∵−52＜0则S△ADC−S△BDC有最大值当m=−32时S△ADC−S△BDC的最大值为458此时点D(−32,−254)；（3）解：存在理由：当点D在AC下方时由点A C的坐标知∵∠CBA=45°+∠DCA∵∠CBA=∠DCO∵∠CBA+∠OCB=∠DCO+∠OCB即∠DCB=90°∵DC⊥CB；设点D(m,m2+3m−4)则DE=−m，CE=m2+3m−4−(−4)=m2+3m；过点D作DE⊥y轴于E如图∵∠DCB=∠BOC=∠DEC=90°∵∠BCO+∠DCE=∠DCE+∠CDE∵∠BCO=∠CDE∵△BCO∽△CDE∵CE DE =OBOC=14即4CE=DE∵4(m2+3m)=−m 解得：m=0（舍去）则点D(−134,−5116)；当点D在AC的上方时如图设CD交x轴于点F ∵∠BFC=∠OAC+∠DCA=45°+∠DCA∵∠BFC=∠DCA∵CF=CB；∵CO⊥BF∵OF=OB=1∵F(−1,0)；设直线CD 解析式为y =k 1x −4 把点F 坐标代入得：k 1=−4∵直线CD 的表达式为：y =−4x −4联立直线CD 的表达式与抛物线表达式得：x 2+3x −4=−4x −4 解得：x =−7 x =0（舍去）即点D (−7,24)；综上 点D 的坐标为：(−134,−5116)或(−7,24)． 6．（1）解：将B (3,0)代入y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9) 化简得m 2+m =0 则m =0（舍）或m =−1 ∵m =−1∵y=−x 2+4x −3当x =0时 y=−3 当y =0时 −x 2+4x −3=0 解得：x 1=3,x 2=1 ∵C (0,−3) A (1,0)．设直线BC 对应的函数表达式为y =kx +b将B (3,0) C (0,−3)代入可得{0=3k +b −3=b 解得{k =1b =−3则直线BC 对应的函数表达式为y =x −3．（2）∵△OAC 为直角三角形∵OA =1,OC =3,tan∠OCA =OA OC =13当以B C Q 为顶点的三角形和△OAC 相似时 则：△BCQ 是直角三角形；设Q (t,−t 2+4t −3)①当∠CBQ=90°时如图：∵B(3,0)∵OB=OC=3∵∠OBC=∠OCB=45°∵∠OBQ=∠OBC=45°过点Q作QE⊥OB则：BE=QE∵3−t=−t2+4t−3解得：t=2或t=3（舍去）；∵Q(2,1)当Q(2,1)时∵BC=3√2∵tan∠BCQ=13=tan∠OCA满足题意；②当∠CQB=90°时：如图：过点Q作EF∥OB过点B作BF⊥EF 则：∠CEQ=∠BFQ=90°∵∠CQE=∠QBF=90°−∠FQB∵△CEQ∽△QFB∵CE QF =EQBF即：−t2+4t3−t=t−t2+4t−3解得：t =3（舍去）或t =0（舍去）或t =5+√52或t =5−√52∵Q (5+√52,−1+√52)或Q (5−√52,√5−12)此时BQCQ =BF EQ =√5+15+√5=√55≠13不满足题意 舍去；③当∠QCB =90°时 如图：过点Q 作QF ⊥y 轴 则：∠BOC =∠QFC =90° ∵∠BCO =∠FQC =90°−∠FCQ∵∠FQC =45°∵CF =QF =t∵OF =3+t =−(−t 2+4t −3)解得：t =5或t =0（舍去）；∵Q (5,−8)∵tan∠CQB =BC CQ =3√25√2=35≠13 不符合题意；∵Q (5,−8)不满足题意；综上：Q (2,1)．（3）∵S △PBC =S △ABC∵点P 与点A 到BC 的距离相等如图 过点A 作AP 1∥BC 设直线AP 1与y 轴的交点为G将直线BC 向下平移GC 个单位 得到直线P 3P 2设直线AG 的解析式为：y =x +n 则：0=1+n 解得：n =−1 ∵直线AG 的表达式为y =x −1 联立{y =x −1y =−x 2+4x −3 解得：{x =1y =0 （舍） 或{x =2y =1∵P 1(2,1)∵直线AG 的表达式为y =x −1 ∵当x =0时 ∵G (−1,0) ∵GC =2∵直线P 3P 2的表达式为y =x −5 联立{y =x −5y =−x 2+4x −3解得：{x 1=3+√172y 1=−7+√17∵P 3(3+√172,−7+√172) ∵P (2,1)或P (3+√172,−7+√172)或P (3−√172,−7−√172)．7．（1）解：∵tan∠OBC =2∴OCOB=2 ∵OB =2∴OC=4∴B(−2,0)把B(−2,0)C(0,−4)代入y1=ax2−6ax+c得{4a+12a+c=0c=−4解得{a=14 c=−4∴y1=14x2−32x−4；（2）解：作DF⊥x轴于点F交AC于点G∴∠BAC+∠AGF=90°∵DE⊥AC于点E∴∠EDF+∠EGD=90°∵∠AGF=∠EGD∴∠EDF=∠BAC∴tan∠EDF=tan∠BAC=OC OA=12∴cos∠EDF=cos∠BAC=2√5 5∴DE=2√55DG令14x2−32x−4=0解得x1=−2∴点A的坐标为(8,0)把A(8,0)和C(0,−4)代入y2=kx+b得{8k+b=0b=−4解得∴y 2=12x −4由题意 点D 坐标为(m,14m 2−32m −4) 点G 坐标为(m,12m −4)∴DG =(12m −4)−(14m 2−32m −4)=−14m 2+2m =−14(m −4)2+4∴DE =−√510(m −4)2+8√55 ∵−√510<0 ∴DE 有最大值为8√55； （3）解：由题意 ∠DCE =∠OCA 或∠DCE =∠OAC 时 △CDE 与△AOC 相似 ①当∠DCE =∠OCA 时∴∠OCA =∠DGC ∴∠DCE =∠DGC ∴DC =DG∵DE ⊥AC 于E∴EG =EC =12CG∵tan∠EDG =tan∠OAC =12∴sin∠EDG =√55∴EG =√55DG =√55(−14m 2+2m) ∵cos∠BAC =2√55AG =√52(8−m ) 在Rt △AOC 中 由勾股定理得∴CG =4√5−√52(8−m )=√52m ∴√55(−14m 2+2m)=12×√52m 解得m =3②当∠DCE =∠OAC 且D 位于x 轴下方时CD//OA ∴y D=−4令14x2−32x−4=−4解得x=0（舍去）或x=6即m=6；③当∠DCE=∠OAC且D位于x轴上方时如图设CE交x轴于M则MC=MA设OM=n则CM=AM=8−n在Rt△OCM中由勾股定理得n2+42=(8−n)2解得n=3∴M(3,0)同理直线CM函数关系式为y=43x−4令14x2−32x−4=43x−4解得x=0（舍去）或x=343即m=343综上m=3或6或343．8．（1）解：把A(−6,0),B(2,0),C(0,6)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得{36a −6b +c =04a +2b +c =0c =6解得{a =−12b =−2c =3∵抛物线的函数表达式为y =−12x 2−2x +6．（2）解：如解（2）图1 过P 点作PQ 平行y 轴 交AC 于Q 点设直线AC 的解析式为y =kx +6 把A (−6,0)代入得：0=−6k +6 解得：k =1∵直线AC 解析式为y =x +6设P 点坐标为(x,−12x 2−2x +6) 则Q 点坐标为(x,x +6)∵PQ =−12x 2−2x +6−(x +6)=−12x 2−3x∵S △PAC =12PQ ⋅OA∵12(−12x 2−3x)⋅6=152解得：x 1=−1 x 2=−5． 当x =−1时 P 点坐标为(−1,152) 当x =−5时 P 点坐标为(−5,72)综上所述：若△PAC 面积为152 点P 的坐标为(−1,152)或(−5,72)；（3）解：如解（3）图1 过D 点作DF 垂直x 轴于F 点 过A 点作AE ⊥BC 于E 点∵D 为抛物线y =−12x 2−2x +6的顶点 ∵D 点坐标为(−2,8)设直线AD 的解析式为：y =mx +n把A (−6,0) D (−2,8)代入得：{−6m +n =0−2m +n =8解得：{m =2n =12∵直线AD 为y =2x +12 ∵B(2，0)∵同理可得：直线BC 的解析式为y =−3x +6 ∵AF =−2−(−6)=4 ∵tan∠DAB =DFAF =2 ∵B(2，0) C (0,6)∵tan∠ABC =OCOB =3 BC =√22+62=2√10 sin∠ABC =62√10=3√1010∵AB =2−(−6)=8 ∵AE =AB ⋅sin∠ABC =8×3√1010=12√105∵BE =√AB 2−AE 2=4√105∵CE =BC −BE =2√10−4√105=6√105∵tan∠ACB =AE CE=2∵tan∠ACB =tan∠DAB =2 ∵∠ACB =∠DAB ∵OA =OC=6∵∠ACO =∠CAO =45°；∵使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似 则有两种情况 如解（3）图2当∠AOM =∠CAB =45°时 即M 点在直线y =−x 上 联立{y =−xy =2x +12 解得{x =−4y =4即M 点为(−4,4)．当∠AOM =∠CBA 即OM∥BC 时 ∵直线BC 解析式为y =−3x +6 ∵直线OM 为y =−3x 联立{y =−3x y =2x +12解得{x =−125y =365即M 点为(−125,365)综上所述：存在使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M 其坐标为(−4,4)或(−125,365)．9．解：（1）将A(−2,0) B(8,0)代入解析式得：{4a −2b +4=064a +8b +4=0解得：{a =−14b =32 ∴ a =−14 b =32；（2）①∵的值为−14b 的值为32抛物线的解析式为：y =−14x 2+32x +4；∴C(0,4)设直线BC 解析式为y =kx +c 将B(8,0) C(0,4)代入可得：{8k +c =0c =4解得{k =−12c =4∴直线BC 解析式为y =−12x +4设第一象限D(m,−14m 2+32m +4) 则E(m,−12m +4)∴DE =(−14m 2+32m +4)−(−12m +4)=−14m 2+2m∴DE +BF =(−14m 2+2m)+(8−m)=−14(m −2)2+9∴当m =2时 DE +BF 的最大值是9； ②∴A(−2,0)∴OA =2∴AC 2=OA 2+OC 2=20 ∴AC 2+BC 2=100而AB 2=102=100∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90° ∴∠CAB +∠CBA =90°∵DF ⊥x 轴于F∴∠FEB +∠CBA =90° ∴∠CAB =∠FEB =∠DEC以点C D E 为顶点的三角形与△AOG 相似 只需OADE =AGCE 或OACE =AGDE 而G 为AC 中点∴G(−1,2)由①知：DE=−14m2+2m∴CE=√m2+[4−(−12m+4)]2=√52m当OADE =AGCE时解得m=4或m=0（此时D与C重合舍去）∴D(4,6)当OACE =AGDE时解得m=3或m=0（舍去）∴D(3,25 4 )综上所述以点C D E为顶点的三角形与△AOG相似则D的坐标为(4,6)或(3,254)．10．（1）解：把点C(0,−4)B(2,0)分别代入y=12x2＋bx＋c中得{c=−412×22+2b+c=0解得{b=1c=−4∵该抛物线的解析式为y=12x2+x−4．（2）解：令y=0即12x2+x−4=0解得x1=−4，x2=2∵A(−4，0)∵C(0,−4)∵AB=2−(−4)=6，OC=4∵S△ABC=12AB⋅OC=12．设P点坐标为(x,0)则PB=2−x∵PE∥AC∵∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA ∵△PBE∽△ABC∵S△PBE S△ABC =(PBAB)2即S△PBE12=(2−x6)2化简得：S△PBE=13(2−x)2∵S△PCE=S△PCB−S△PBE=12PB⋅OC−S△PBE=12×(2−x)×4−13(2−x)2 =−13x2−23x+83=−13(x+1)2+3∵当x=−1时S△PCE的最大值为3．（3）解：△OMD为等腰三角形可能有三种情形：①当DM=DO时如图①所示．则DO=DM=DA=2∵AO=CO=4，∠AOC=90°∵∠OAC=∠AMD=45°∵∠ADM=90°∵M点的坐标为(−2，−2)；②当MD=MO时如图②所示．过点M作MN⊥OD于点N则点N为OD的中点∵DN=ON=1，AN=AD+DN=3又△AMN为等腰直角三角形∵MN=AN=3∵M点的坐标为(−1，−3)；③当OD=OM时∵△OAC为等腰直角三角形×4=2√2即AC上的点与点O之间的最小距离为2√2．∵点O到AC的距离为√22∵2√2>2∵OD=OM的情况不存在．综上所述点M的坐标为(−2，−2)或(−1，−3)．11．（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)∴y=−(x−1)2+4=−x2+2x−1+4=−x2+2x+3∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；（2）解：①当y=0时−x2+2x+3=0解得x1=−1则A(−1,0)∴1<m<3设E点的横坐标为t∵m−1=1−t∴t=2−m∴点E的横坐标为2−m；故答案为：2−m；②设F(m,−m2+2m+3)(1<m<3)则E(2−m,−m2+2m+3)∵矩形EFGH为正方形∴FG=FE即−m2+2m+3=m−(2−m)整理得：m2=5解得m1=−√5(舍去)∴G点坐标为(√5,0)；③过点D作DM⊥x轴于M∵EG⊥AD而DM⊥x轴∴∠1=∠4∴Rt△GEH∽Rt△DAM∴EHAM =GHDM即EH2=GH4∴GH=2EH即2m−2=2(−m2+2m+3)整理得m2−m−4=0解得m1=1−√172(舍去)∴G点坐标为(1+√172,0)；（3）解：设AD交EF于Q如图∵FP⊥AD∴∠DPF =90°∵△DFP 与△DAM 相似∴∠1=∠3∵∠1=∠2∴∠2=∠3而FP ⊥DQ∴△FDQ 为等腰三角形∴FD =FQ设直线AD 的解析式为y =px +q把A (−1,0) D (1,4)代入得{−p +q =0p +q =4解得{p =2q =2∴直线AD 的解析式为y =2x +2当y =−m 2+2m +3时 2x +2=−m 2+2m +3 解得x =−12m 2+m +12 则Q (−12m 2+m +12,−m 2+2m +3)∴FQ =m −(−12m 2+m +12)=12m 2−12=12(m +1)(m −1) 而DF 2=(m −1)2+(−m 2+2m +3−4)2=(m −1)2+(m −1)4∴(m −1)2+(m −1)4=(12(m +1)(m −1))2 而m ≠1∴1+(m −1)2=14(m +1)2 整理得3m 2−10m +7=0 解得m 1=1(舍去)∴F 点坐标为(73,209)．12．（1）解：将点B(3，0)，C(0，−3)代入y =−x 2+bx +c 得：{c =−3−9+3b +c =0 解得：{c =−3b =4∵y =−x 2+4x −3∵y =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1．（2）解：如图1：在抛物线上取点E 连接CE 过E 作x 轴的垂线交直线BC 于点F设点F(x，x−3)则点E的坐标为(x,−x2+4x−3)∵EF=−x2+3x∵S△CBE=S△CEF+S△BEF=12EF·OB=−32x2+92x=−32(x−32)2+278∵当x=32时△CBE的面积有最大值此时点E的坐标为(32,34 )．（3）解：存在以B P N为顶点的三角形与△ABC相似如图2：连接BP设N(n，0)当y=0时−x2+4x−3=0解得x2=1，x2=3∵A(1，0)∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1∵P(2，1)∵B(3，0)，C(0，−3)，P(2，1)∵∠CBA=∠ABP=45°①当BNBP =BCBA时∵3−n √2=3√22解得n=0所以点N的坐标为N1(0，0)；②当BN BP =BA BC 时 ∵3−n√2=23√2 解得n =73 所以点N 的坐标为N 2(73,0)．综上所述 点N 的坐标为N 1(0，0)或N 2(73,0)．13．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (1,0),C(0,3）两点 且对称轴为直线x =−1 ∵B(−3，0)设y =a (x +3)（x −1） 把C(0，3）代入得解得：a =−1∵抛物线解析式为y =−x 2−2x +3；（2）如图1 作DE ∥y 轴 交直线BC 于点E设直线BC 的函数解析式为y =px +q 可得：{−3p +q =0q =3 解得：{p =1q =3可得直线BC 的解析式为y =x +3设P （m,−m 2−2m +3）∵E （m,m +3）∵DE =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m∵△DBC 的面积=12DE ×3=−32m 2−92m ∵a =−32<0 ∵m =−32时△DBC 的面积最大=278 此时点D 坐标为(−32，154)； （3）存在 理由如下：∵A (1,0)∴AB =3−(−1)=4∵OB =OC =3∴BC =3√2设直线AC 解析式为y =mx +n∵A (1,0)∴{m +n =0n =3解得：{m =−3n =3∴直线AC 解析式为y =−3x +3①当OM ∥AC 时∴直线OM 的解析式为y =−3x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−3x =−x 2−2x +3 解得：x 1=1+√132（舍去） ∴M 坐标(1−√32,−3+3√132)； ②当△BON ∽△BCA 时∴BN BA =BO BC∴BN =BA ⋅BO BC =4×33√2=2√2 如图 过点N 作NG ⊥x 轴于点G∵∠OBC =45°∴BG =NG =2∴OG =1∴N (−1,2)设直线OM 解析式为y =m 1x 将N (−1,2)代入得：m 1=−2∴直线OM 解析式为y =−2x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−2x =−x 2−2x +3 解得：x 1=√3舍去，x 2=−√3∴M 坐标 (−√3，2√3)综上 点M 的坐标为(1−√132，−3+3√132)或(−√3，2√3) 14．（1）解：当y =0=x +4时∵A (−4,0)当x =0时∵C (0,4)将点A C 的坐标代入y =−12x 2+bx +c 得{0=−12×16−4b +c 4=c 解得b =−1,c =4∵抛物线的表达式为y =−12x 2−x +4； （2）∵A (−4,0)∵OA =4∵PQ =2OA =8∵点P Q 关于对称轴直线x =−1对称∵PQ∥OA∵点P 的横坐标为−1−82=−5 点C 的横坐标为3 当x =−5时∵P (−5,−72),Q (3,−72)； （3）∵A (−4,0)∵OA =4=OC∵对称轴直线x =−1对称∵B (2,0)∵AB =6∵∠AOC =90°∵∠OAC =∠OCA =45°①当△MCO ∽△CAB 时∵46=CM4√2∵CM =8√23 如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =83当x =−83时∵M (−83,43)；当△OCM ∽△CAB 时∵44√2=CM6∵CM =3√2如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =3当x =−3时∵M (−3,1)；综上 M 点的坐标为(−83,43)或(−3,1)．15．（1）解：因为y =ax 2+bx +2过点A (2,0)且OA =2OB 则B (−1,0)则{4a +2b +2=0a −b +2=0解得：{a =−1b =1故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；（2）对于y=−x2+x+2令x=0则y=2故点C(0,2)设直线AC的解析式为y=kx+b由直线过点A C的坐标得{2k+b=0b=2解得{k=−1 b=2直线AC的表达式为：y=−x+2设点D的横坐标为m则点D(m,−m2+m+2)则点F(m,−m+2)则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m=−(m−1)2+1∵−1<0故DF有最大值则△ACD面积最大值为12×AO×DF=12×2×1=1此时m=1点D(1,2)；（3）存在理由：点D(m,−m2+m+2)(m>0) 则OE=m 以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似①当DEOE =OBOC时两三角形相似即DEOE=OBOC=12则−m 2+m+2m=12解得：m=1+√334或m=1−√334（舍去）经检验m=1+√334是原分式方程的解②当DEOE =OCOB时两三角形相似即DEOE=OCOB=2则−m 2+m+2m=2解得：m=1或m=−2（舍去）经检验m=1是分式方程的解故m=1+√334或m=1．16．（1）解：由y=x2+2x−3当y=0时即x2+2x−3=0解得：x1=−3，x2=1∵B(1，0)．（2）解：①∵A(−3，0)，C(0，−3)，B(1，0)∵OA=OC=3,OB=1,则AB=OA+OB=4,BC=√OC2+OB2=√10∵∠OCA=∠OAC=45°∵∠MCQ=45°，∵∠MCQ=∠MAB=45°∵∠CBM =∠ABC∵△CBM∽△ABC∵CB ：AB =BM ：BC 即：BM =BC 2AB =104=52 ∵OM =BM −OB =32 ∵M 在x 轴负半轴∵M (−32,0)；②如图：过点P 作PH ⊥x 轴 设P(m ，m 2+2m −3) (m <0)在线段OC 上取点D 使得DC =DB 则∠ODB =2∠BOC∵∠ABP =2∠BCO =∠ODB 且∠PHO =∠BOD =90°∵△PHB∽△BOD∵PH:BO =HB:OD设OD =a 则DC =CB =3−a在Rt △OBD 中 由勾股定理得 a 2+12＝（3﹣a ）2 解得a =43 即OD =43 ∵m 2+2m−31=1−m43 解得m =−154或m =1（舍去） 当m =−154时 ∵P (−154,5716)． 17．（1）解：当a =1 k =1时 直线l:y =x +b 抛物线C:y =x 2联立{y =x +b y =x2 得：x 2−x −b =0 ∵直线l:y =x +b 与抛物线C:y =x 2有唯一公共点P∴(−1)2−4×1×(−b )=0解得：b =−14；（2）解：当a =12时 抛物线C:y =12x 2联立{y =12x 2y =kx +b得：12x 2−kx −b =0 ∵直线l:y =kx +b (k >0)与抛物线C:y =12x 2有唯一公共点P∴(−k )2−4×12×(−b )=0∴b =−12k 2∴y =kx −12k 2当x =0时 y =−12k 2 当y =0时 kx −12k 2=0 解得：x =k2∴A (k2，0)∴OA =k2∵过点A 作直线l 的垂线交y 轴于点T∴∠BAT =90° ∴∠ATB +∠ABT =90° ∵∠OBA +∠OAB =90° ∴∠OTA =∠OAB ∵∠AOB =∠TOA =90° ∴△AOB ∽△TOA∴OTOA =OABO 即OTk 2=k 2k 22∴OT =12∵ T 在y 轴的正半轴 ∴T (0，12)；（3）证明：如图 令OM QP QN 与y 轴交点分别为D设M(m ，am 2) N(n ，an 2) MN 的解析式为：y =x +c 联立{y =x +b y =ax 2 得：ax 2−x −b =0 解得：x P =12a∴P (12a ，14a)∵点P 关于y 轴的对称点为Q∴Q (−12a ，14a) 联立{y =x +c y =ax 2 得：ax 2−x −c =0 ∵平移直线l 使之与抛物线C 交于M ，N 两点∴m +n =1a令QM 为y =k 1x +b 1 代入M(m ，am 2) Q (−12a ，14a )得：{14a =−k12a +b 1am 2=k 1m +b 1解得：{k 1=am −12b 1=m2∴QM ：y =(am −12)x +m2 令x =0 则y =m 2∴D (0，m 2) 同理可得：QN ：y =(an −12)x +n2∴DE =m 2−14a∴DE −EF =m +n 2−12a =12a −12a =0 ∴DE =EF∵QP ⊥DF∴∠MQP =∠NQP ．18．（1）解：∵抛物线y =ax 2−3ax +c 与x 轴分别交于A(−1,0) B 两点 与y 轴交于点C(0,−2)． ∴ a +3a +c =0 ∴ a =12∴设抛物线的解析式为y =12x 2−32x −2（2）解：过点D 作DG ⊥x 轴于点G 交BC 于点F 过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K∴ AK∥DG△AKE ∽△DFE ∴DF AK =DEAE设直线BC 的解析式为y =kx +b 1∴{4k +b 1=0b 1=−2解得{k =12b 1=−2∴直线BC 的解析式为y =12x −2 ∵ A(−1,0)∴y =−12−2=−52∴AK =52设D (m,12m 2−32m −2) 则F (m,12m −2)∴DF=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m∴DEAE =−12m2+2m52=−15m2+45m=−15(m−2)2+45∴当m=2时DEAE 有最大值最大值为45（3）解：符合条件的点P的坐标为(689,349)(6+2√415,3+√415)理由如下：∵l∥BC∴直线l的解析式为y=12x设P(a1,a12)当点P在直线BQ右侧时如图过点P作PN⊥x轴于点N过点Q作QM⊥PN 于点M∵A(−1,0)∴AC=√5∵AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵△PQB∽△CAB∴PQPB=ACBC=12∵∠QMP=∠BNP=90°∴∠MQP+∠MPQ=90°∴∠MQP=∠BPN∴△QPM∽△PBN∴QMPN=PMBN=PQPB=12∴QM =a 14∴MN =a 1−2BN −QM =a −BN −QM =a 1−4−a 4=34a 1−4 ∴Q (34a 1,a 1−2)将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a 1)2−32×34a 1−2=a 1−2 解得a 1=0（舍去）∴P (689,349) 当点P 在直线BQ 左侧时 由①的方法同理可得点Q 的坐标为(54a 1,2) 此时点P 的坐标为(6+2√415,3+√415) ∴综合所述 存在这样的点P 且坐标为为(689,349)或 (6+2√415,3+√415) 19．解：（1）∵抛物线经过A(−2,0) ∴ {4−2b +c =0c =−6 解得：{b =−1c =−6∴抛物线的表达式为：y =x 2−x −6； （2）y =x 2−x −6=(x +2)(x −3)∴A(−2,0)设直线BC 的解析式为y =px +q 由题意得{3p +q =0q =−6 解得：{p =2q =−6所以直线BC 的解析式为y =2x −6如图 分别过点A 和点D 作y 轴的平行线 交直线BC 于点M 和点N∴△NED ∽△MEA则EDEA =DNAM∵A(−2,0)∴点M 横坐标为−2将x =−2代入BC 的解析式y =2x −6 得y =−10∴M(−2,−10)∴AM =10为定值． ∴当DN 取最大值时ED EA取得最大值设D(t,t 2−t −6) 则N(t,2t −6)则DN =(2t −6)−(t 2−t −6)=−t 2+3t =−(t −32)2+94 ∴当t =32时 DN 取最大值 即EDEA取得最大值 此时D(32,−214)；（3）∵△OEF ∽△COA∠OEF =∠COA =90°①如右图 当点F 在OE 左侧时 过点E 作EP ⊥x 轴于点P 过点F 作FQ ⊥PE 于点Q 则∠OPE =∠EQF =90°∵∠OEF =90°∴∠OEP +∠FEQ =90° ∵∠OEP +∠EOP =90° ∴∠FEQ =∠EOP ∴△OEP ∽△EFQ .OP EQ =PE QF =OE EF =31设E(m,2m −6) 则P(m,0)∵点E在第四象限∴OP=m∵EQ=13m,QF=2−23m∵F(53m−2,53m−6)将F(53m−2,53m−6)代入抛物线得：53m−6=(53m−2)2−(53m−2)−6解得：m1=9+3√35∴点F的坐标(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)；②如右图当点F在OE右侧时过点E作EH⊥x轴于点H过点F作FG⊥EH于点G则∠OHE=∠EGF=90°则△OHE∽△EGFOH EG =HEGF=OEEF=31设OH=n则H(n,0)∵点E在线段BC上且在第四象限∴E(n,2n−6)GF=2−2 3 nA G(n,73n−6)F(13n+2,73n−6)将F(13n+2,73n−6)代入抛物线得：73n−6=(13n+2)2−(13n+2)−6解得：n1=6−3√2n1=6+3√2（舍去）∴点F的坐标(4−√2,8−7√2)综上所述：点F的坐标为(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)或(4−√2,8−7√2)；（4）设点E(m,2m−6)则EH=6−2m则12EH=3−m则x G=m−(3−m)=2m−3即点G(2m−3,m−3)将点G的坐标代入抛物线表达式得：m−3=(2m−3)2−(2m−3)−6解得：m=3（舍去）或34则点G(−32−94)．20．（1）解：将点A(−2,0)点B(4,0)代入y=ax2+bx+4{0=a(−2)2+b⋅(−2)+40=a⋅42+b⋅4+4解得：{a=−12b=1故答案为：抛物线的解析式：y=−12x2+x+4（2）解：由（1）结论可知点C坐标为(0,4)设直线BC解析式为：y=kx+4将点B(4,0)代入解得：k=−1∴直线BC解析式为：y=−x+4∵点P的横坐标为t则点P的纵坐标为−12t2+t+4∴点E的横坐标为t点E的纵坐标为−t+4∵点P在抛物线第一象限上∴PE=PD−ED即：d=−12t2+t+4−(−t+4)=−12t2+2t故答案为：d与t的函数关系式：d=−12t2+2t（3）解：∵GO⊥AB∴△GAO∽△PAD∴GOAO =PDAD即：GO2=−12t2+t+4t+2整理得：GO=4−t∴CG=CO−GO=4−(4−t)=t∵CO∥PD∴CEOD =CBOB=√2即：CEt=√2整理得：CE=√2t∵∠GCF=∠FEP∴△GCF∽△PEF∴CGPE =CFEF即：CGPE=EC−EFEF即：t−12t2+2t=√2t−(4√2−√2t)4√2−√2t解得：t=3或t=4（舍）∴GO=4−t=4−3=1∵∠CFA−∠BAQ=2∠PAB∴∠PAB+45°−∠BAQ=2∠PAB即：∠PAB+∠BAQ=45°作点H(1,−1)作HI⊥x轴垂足为I连接GH则：GI=OA=2∴△AGO≌△GHI(SAS)∴∠GAO=∠HGI∴∠AGH=90°∴∠GAH=45°∴∠PAB+∠BAH=45°=∠PAB+∠BAQ∴∠ABH=∠BAQ∴直线AH与抛物线交点即为点Q设直线AH解析式为：y=kx+b点A(−2,0)点Q(1,−1)在直线上∴{0=k⋅(−2)+b−1=k⋅1+b解得：{k=−13b=−23直线AH解析式为：y=−13x−23∴{y=−13x−23y=−12x2+x+4解得：{x1=−2y1=0∴(−2,0)为点A(143,−209)为点Q故答案为：Q(143,−209)．。
中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，如图，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=6，OB=43点P为x轴下方的抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；(3)若点P到AB和AC两边的距离相等，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点D(−52,34)，且顶点P的坐标为(−1,3)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方．连接MC，MD求△MCD面积的最大值；(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，连接PF交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知点A(3,3)、B(6,0),AC⊥x轴，垂足为点C，直线y=12x与抛物线y=−14x2+2x相交于点O、D过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线PE交射线OA于点E．(1)求点D的坐标；(2)设点P的横坐标为a a≠3求以点A、B、C、E为顶点的四边形的面积S与a的函数关系式；(3)设直线PE交射线OD于点F交抛物线于点Q以FQ为一边在FQ的右边作矩形FQMN若FN=32且矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形求出a的取值范围．4．在平面直角坐标系中设直线l的解析式为：y=kx+m(k、m为常数且．k≠0) 当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时我们称直线l与这条曲线“相切” 这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l：y=−x+6与双曲线y=9x的切点坐标；(2)已知一次函数y1=2x二次函数y2=x2+1是否存在二次函数y3=ax2+bx+c其图象经过点(−3，2)使得直线y1=2x与y2=x2+1，y3=ax2+bx+c都相切于同一点? 若存在求出y3的解析式；若不存在请说明理由；(3)已知直线l1:y=k1x+m1(k1≠0)直线l2:y2=k2x+m2(k2≠0)是抛物线y=−x2+2x+2的两条切线当l1与l2的交点P的纵坐标为4时试判断k1⋅k2是否为定值并说明理由．5．如图在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=512x2−136x−2与x轴的交点分别为点A B与y轴的交点为点C．(1)求直线BC解析式；(2)点P为第四象限的抛物线上一点连接PB、PC当PB=PC时求点P的坐标；(3)在（2）的条件下连接OP点M在y轴的负半轴上连接MP∠OMP=∠CBP N为OM的中点点Q 在OP上连接MQ、NQ，MQ交抛物线于点R当MQ=2NQ时求R点的横坐标．6．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)若抛物线与x轴交于B(4，0)C(−2，0)两点与y轴交于点A(0，−2)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1 若点E是直线CA下方的抛物线上一点过点E作EF∥AB交x轴于点F且EF=√5求点E的横坐标；(3)如图2 点M在点B的正下方连接CM交抛物线于点N直线BN交对称轴于点P作PQ∥CM交射线BM于点Q求BQ的大小．7．如图在平面直角坐标系xOy中已知直线y=−x−3与x轴交于点A与y轴交于点C过A C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0)抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点当△MAC的面积最大时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的点过点P作l的垂线垂足为D E是l上的点．要使得以P D E为顶点的三角形与△BOC全等请求出点P点E的坐标；8．如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A B两点与y轴交于点C抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A(−1,0),C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P使得|PB−PC|的值最大求此点P的坐标；(3)点M为该抛物线的顶点直线MD⊥x轴于点D在直线MD上是否存在点N使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在求出点N的坐标；若不存在请说明理由；9．在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=ax2+x+6交x轴负半轴于A交正半轴于B交y 轴于C OB=OC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1 点P是第三象限抛物线上一点连接BP交y轴于点D设点P横坐标为t线段CD长为d求d与t的函数关系；(3)如图2 在（2）的条件下过点C作BP的垂线交x轴于点F垂足为点G E为CF上一点连接BE 若BE=BD∠BEG=2∠PBA求点P坐标．10．如图1 在平面直角坐标系中O为坐标原点AD为等腰直角△ABC底边BC上的高抛物线y=a(x−2)2+4的顶点为点A且经过B C两点B C两点在x轴上．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2 点E为抛物线上位于直线AC上方的一点过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标；(3)如图2 点M(5，b)是抛物线上的一点点P为对称轴上一动点在(2)的条件下当线段EN的长度最大时求PE+PM的最小值．11．抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C．(1)求抛物线的对称轴；(2)求证：不论a取何值函数图象必过两个定点；(3)如图若OB=OC点P是直线BC（不与B C重合）上一动点过点P作x轴的垂线交抛物线于M点连接CM将△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上求此时点P的坐标．12．已知抛物线y=a(x+6)(x−2)经过点(0，2)交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧）抛物线的顶点为D对称轴DE交x轴于点E连接EC．(1)直接写出a的值点A的坐标；(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点当△MCE是等腰三角形时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的动点连接PC、PE将△PCE沿CE所在的直线对折点P落在坐标平面内的点P′处．直接写出点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．13．综合与探究如图1 抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−4,0)B(3,0)两点与y轴交于点C连接AC BC现将△ABC沿x轴向右平移至△A′B′C′线段A′C′与线段BC交于点E与抛物线交于点F．(1)求出抛物线和直线BC的函数表达式；(2)当线段FE的长度最大时求此时点F的坐标；(3)如图2 连接OC′将△OA′C′沿着A′C′翻折得到△O′A′C′是否存在某一时刻使得点O′恰好在抛物线上若存在请直接写出此时平移的距离；若不存在请说明理由．14．如图1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a≠0）的图像与x轴交于A B两点（A 点在B点左侧）与y轴交于点C(0,3)且其函数表达式可以变形为y=a(x+1)(x−3)的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点设其横坐标为m．(1)求出点A点B的坐标和该二次函数的表达式；(2)连接BC过点P作PQ⊥x轴于点Q交BC于点N直线AP交y轴于点M连接MN．①求出直线AP的函数表达式（用含有m的代数式表示）；②设四边形MNQO的面积为S求S关于m的函数关系式并求S的最大值；(3)如图2 若直线l为该二次函数图像的对称轴交x轴于点H直线AP BP分别交直线l于点E F．在点P运动的过程中HF+HE是否为定值？若是请求出该定值；若不是请说明理由．15．在平面直角坐标系中关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a<0）与x轴交于两个不同的点A(x1,0)B(x2,0)(x1<x2)与y轴交于点C抛物线的顶点为M．(1)如图1 已知a=−1b=2c=3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②点E是x轴正半轴上的一个动点过点E作直线PE⊥x轴交抛物线于点P交直线BC于点F．当点E在线EF求此时点P的坐标．段OB上运动时（不与点O B重合）恰有线段PF=12(2)如图2 当c=0时点P是抛物线对称轴左侧图像上任意一点过点P作PE⊥x轴于点E连接MP交y轴于点Q连接EQ MB．则EQ MB有怎样的位置关系?说明理由．16．如图抛物线的顶点坐标为(2,−3)与y轴交于点C(0,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A B的坐标及线段AB的长；(3)求△ABC的外接圆⊙D的半径；(4)若（3）中的⊙D交抛物线的对称轴于M N两点（点M在点N的上方）在对称轴右边的抛物线上有一动点P连接PM PN PC线段PC交弦MN于点G．若PC把图形PMCN（指圆弧MCN和线段PM PN组成的图形）分成两部分当这两部分面积之差等于4时求出点P的坐标．17．如图在平面直角坐标系中抛物线y=12x2−32x−2与x轴分别交于点A点B与y轴交于点C．(1)如图1 连接AC直接写出sin∠ACO的值；(2)如图2 连接BC．点G(1,a)在抛物线上连接CG、BG若异于点G的点H也在抛物线上且S△BCH= S△BCG求点H的坐标；(3)如图3 若直线y=mx+n与抛物线交于点P Q连接AP交y轴正半轴于点M连接AQ交y轴负半轴于点N若OM⋅ON=32求4m+n的值．18．如图1 已知二次函数图象与y轴交点为C(0,3)其顶点为D(1,2)．(1)求二次函数的表达式；(2)直线CD与x轴交于M现将线段CM上下移动若线段CM与二次函数的图象有交点求CM向上和向下平移的最大距离；(3)若将（1）中二次函数图象平移使其顶点与原点重合然后将其图象绕O点顺时针旋转90°得到抛物线G如图2所示直线y=−x+2与G交于A B两点P为G上位于直线AB左侧一点求ΔABP面积最大值及此时点P的坐标．19．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6)与x轴交于点A(−4,0)B 两点与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC上方抛物线上一动点过点P作PD∥y轴交AC于点D求PD的最大值及此时点P的坐标；个单位长度得到新抛物线y′新抛物线y′的对称轴交x轴于点M点N是直(3)将该抛物线沿x轴向右平移52线AC上一点在平面内确定一点K使得以C，M，N，K为顶点的四边形是以CN为边的菱形写出所有符合条件的点K的坐标并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．20．如图抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)B两点与y轴交于点C(0,3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（1）点P是线段BC上的一动点过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q连接CQ若CQ平分∠OCB求点P的坐标；(3)如图（2）过A B C三点作⊙I直线y=t(t>3)交⊙I于点M N交抛物线于点E F．若EM+FN=MN求t的值参考答案：1．(1)y =x 2+143x −8 (2)51(3)P (56,−4112)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 先求出直线AC 的解析式 设P (t,t 2+143t −8) 则D (t,−43t −8) 则PD =−t 2−6t 求出S △APC 的最大值 再由S 四边形AOCP =S △ACP +S △AOC 可知当S △APC最大时 S 四边形AOCP 最大 由此即可得到答案；（3）如图所示 取点E 使其坐标为(4，0) 连接AC 、CE 取CE 中点F 连接AF 先证明AE =AC 进而得到AF 平分∠CAE 则直线AF 上的点到AC AB 的距离相等 由此即可知点P 即为直线AF 与抛物线的交点 据此求解即可．【详解】（1）解：∵OA =6∵A (−6,0)∵可设抛物线解析式为y =a (x +6)(x −43)又∵当x =0时 y =−8 即C (0,−8)∵6×(−43)a =−8 ∵a =1∵抛物线解析式为y =(x +6)(x −43)=x 2+143x −8；（2）解：如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 设直线AC 的解析式为y =kx +b 1∵{−6k +b 1=0b 1=−8∵{k =−43b 1=−8∵直线AC 的解析式为y =−43x −8设P(t,t2+143t−8)则D(t,−43t−8)∵PD=−43t−8−(t2+143t−8)=−t2−6t∵S△APC=S△APD+S△CPD=12PD⋅(x P−x A)+12PD⋅(x C−x P)=12PD⋅(x C−x A)=3PD=−3(t+3)2+27∵−3<0∵当t=−3时S△APC最大最大为27∵S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC∵S四边形AOCP=S△ACP+24∵当S△APC最大时S四边形AOCP最大最大为27+24=51；（3）解：如图所示取点E使其坐标为(4，0)连接AC、CE取CE中点F连接AF∵A(−6,0)C(0,−8)∠AOC=90°∵AE=10，AC=√OA2+OC2=10∵AC=AE∵F是CE的中点∵AF平分∠CAE∵直线AF上的点到AC AB的距离相等设直线AF的解析式为y=k1x+b2∵{−6k1+b2=0 2k1+b2=−4∵{k1=−12 b2=−3∵直线AF的解析式为y=−12x−3联立{y=−12x−3y=x2+14x3−8得6x2+31x−30=0解得{x=56y=−4112或{x=−6y=0（舍去）∵点P的坐标为(56,−4112)．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合一次函数与几何综合角平分线的性质等腰三角形的性质与判定勾股定理等等正确作出辅助线是解题的关键．2．(1)y=−x2−2x+2(2)12564(3)(−2,2)或(−1,3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△MCD面积=S△MHD+S△MHC即可求解；（3）①当点Q在点C的下方时证明△QNF≌△CQH(AAS)得到CG=2−t=QN QH=1=FN则点F(t−3,t+1)求出直线PF的表达式进而求解；②当点Q在点C的上方时同理可得：点F′的坐标为(t−3,t−1)进而求解．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−ℎ)2+k则y=a(x+1)2+3将点C的坐标代入上式并得：34=a(−52+1)2+3解得：a=−1故抛物线的表达式为：y =−(x +1)2+3=−x 2−2x +2 即y =−x 2−2x +2；（2）解：由抛物线的表达式知 点C (0,2)如图1 过点M 作MH∥y 轴交CD 于点H设直线CD 的表达式为：y =sx +t则{34=−52s +t t =2解得{s =12t =2 故直线CD 的表达式为：y =12x +2 设点M(m,−m 2−2m +2) 点H(m,12m +2) 则△MCD 面积=S △MHD +S △MHC =12MH ×(x C −x D )=12×[(−m 2−2m +2)−(12m +2)]×52 =−54(m 2+52m) ∵ −54<0 故函数由最大值当m =−54时 △MCD 面积的最大值为12564；（3）设点Q(−1,t) 如图2①当点Q 在点C 的下方时过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点H 交过点F 与y 轴的平行线于点N∵∠FQN +∠QFN =90°∴∠QFF =∠CQH∵∠N =∠CHQ =90°∴△QNF ≌△CQH (AAS )∴CH =2−t =QN∴点F(t −3,t +1)设直线FP 的表达式为：y =px +q则{3=−p +q t +1=p(t −3)+q解得{p =1q =4 故直线PF 的表达式为：y =x +4②联立直线PE 与抛物线的：{y =x +4y =−x 2−2x +2解得：{x =−2y =2（不合题意的值已舍去） 即点E(−2,2)；②当点Q 在点C 的上方时同理可得：点F′的坐标为(t −3,t +1)由点P F ′的坐标得：直线PF ′的表达式为y =x +4 同情况①故点E(−2,2)；当点F 与点E 重合时 也符合题意综上 点E 的坐标为(−2,2)或(−1,3)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．3．(1)D(6,3)(2)S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)(3)a =3−√3或a =94或3≤a <4【分析】（1）联立两个函数解析式解方程组即可；（2）先求解直线OA 的解析式为y =x 可得点E(a,a) 再分两种情况讨论即可；（3）分情况讨论：①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ②如图 当AC 为矩形FQMN 的对称轴时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ③如图 当PQ 与AC 重合时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 ④如图 当点F 为直线OD 与AB 的交点时 可得当3≤a <4时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 从而可得答案．【详解】（1）解：联立y =12x 和y =−14x 2+2x 得{x =0,y =0 或{x =6y =3∵点D(6,3)．（2）设直线OA 的解析式为y =kx∵点A(3,3)∴3k =3 解得k =1∴直线OA 的解析式为y =x ．∵点P 的横坐标为a,PE ∥y 轴 且交射线OA 于点E∴点E(a,a)．当0<a <3时 如图S =S △OAB −S △OCE =12×6×3−12×3a =9−32a ． 当a >3时 如图S =S △OBE −S △OAC =12×6a −12×3×3=3a −92． 综上 S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)； （3）①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形∵FQ=FN∴−14a2+2a−12a=32解得a=3±√3其中a=3+√3不满足a<3∴a=3−√3．②如图当AC为矩形FQMN的对称轴时矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形此时∴32=2(3−a)解得a=94．③如图当PQ与AC重合时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形此时a=3．④如图当点F为直线OD与AB的交点时∵点A(3,3),B(6,0)∵AB所在的直线方程为y=−x+6联立y=−x+6和y=12x解得x=4．∴当3≤a<4时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形综上 a 的取值范围是a =3−√3或a =94或3≤a <4． 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象与性质 列二次函数关系式 矩形的性质 轴对称图形的性质 一元二次方程的解法 清晰的分类讨论 熟练的运用数形结合的方法解题是关键．4．(1)切点坐标为(3，3)(2)y 3=12x 2+x +12(3)k 1⋅k 2是定值【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于x 的一元二次方程 由相切的定义得出x 的值 解之可得；（2）联立{y =2x y =x 2+1可得切点为(1，2) 从而得出y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2) (1，2) 利用待定系数法得出y 3=ax 2+2ax +2−3a 联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x 得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 利用Δ=0得出a =12 b =1 c =12 即可得解；（3）由l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4 可令P(t ，4) 则直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4 联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 由直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线 可得Δ=k 12+(4t −4)k 1−4=0 同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0 从而得出k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根 最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．【详解】（1）解：联立{y =−x +6y =9x得：x 2−6x +9=0 解得：x =3∴切点坐标为(3，3)；（2）解：∵直线y 1=2x 与二次函数y 2=x 2+1相切∴联立{y =2x y =x 2+1得：x 2−2x +1=0 解得：x =1∴切点为(1，2)∵ y 1=2x 与y 2=x 2+1，y 3=ax 2+bx +c 都相切于同一点∴ y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2)∴{a +b +c =29a −3b +c =2解得：{b =2a c =2−3a∴y 3=ax 2+2ax +2−3a联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 ∴Δ=(2a −2)2−4×a ×(2−3a )=4a 2−8a +4−8a +12a 2=16a 2−16a +4=(4a −2)2=0 解得：a =12 ∴b =2a =1∴ y 3的解析式为：y 3=12x 2+x +12； （3）解：k 1⋅k 2是定值理由如下：∵ l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4∴令P(t ，4)∴直线l 1:y =k 1x +m 1=k 1t +m 1=4 直线 l 2:y 2=k 2x +m 2=k 2t +m 2=4∴m 1=4−k 1t∴直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 ∵直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线∴Δ=(k 1−2)2−4×1×(2−k 1t )=k 12−4k 1+4−8+4k 1t =k 12+(4t −4)k 1−4=0同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0∴ k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根∴k 1⋅k 2=−4．【点睛】本题是二次函数综合题 考查了新定义 二次函数的性质 一元二次方程的根与系数的关系等知识 解题的关键是理解题意 学会构建方程组解决问题 属于中考压轴题．5．(1)y =13x −2(2)P (4,−4)(3)0或5−√2655【分析】（1）令抛物线y =0 x =0 求出点B C 的坐标 设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 即可求解；（2）由题意得△PBC 是等腰三角形 即点P 在过点B C 的BC 中点且垂直于直线BC 的直线上 求出点B C的中点坐标 设点P (a,512a 2−136a −2) 利用勾股定理即可求出a 的值 求出符合点点P 特征的点即可；（3）过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F 根据（2）的结论结合已知分别证明△PFO,△PBC,△OPM 是等腰直角三角形 利用等腰直角三角形的性质求出点M 的坐标 进而得到N 点的坐标 求出直线OP 的解析式 设点Q (b,−b ) 利用两点间距离公式结合MQ =2NQ 求出点Q 的坐标 再求出直线MQ 的解析式 联立抛物线即可求解．【详解】（1）解：在抛物线y =512x 2−136x −2中 令x =0 则y=−2∴C (0,−2)令y =0 则512x 2−136x −2=0 即5x 2−26x −24=0解得：x 1=6,x 2=−45 ∵点B 在x 轴的正半轴∴B (6,0)设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 得{−2=b 0=6k +b解得：{b =−2k =13∴直线BC 的解析式为y =13x −2；（2）解：设点P (a,512a 2−136a −2) ∵ PB =PC ∴PB 2=PC 2 即(a −6)2+(512a 2−136a −2)2=a 2+(512a 2−136a −2+2)2整理得：a 2+2a −24=0解得：a =4或a =−6（舍去 不符合题意）当a =4时∴P (4,−4)；（3）解：如图 过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F由（2）知点P(4,−4)∴PF=OF=4∴△PFO是等腰直角三角形∴∠POF=∠POM=45°∵PC=√(4−0)2+[(−4)−(−2)]2=2√5,BC=√(0−6)2+(−2−0)2=2√10又PC2+PB2=BC2∴△PBC是等腰直角三角形∴∠BPC=90°,∠CBP=∠PCB=45°∵∠OMP=∠CBP∴∠OMP=45°∴△OPM是等腰直角三角形∴OP=MP∴OP=√42+(−4)2=4√2=MP∴OM=√OP2+MP2=8∵点M在y轴的负半轴上∴点M(0,−8)∵N为OM的中点∴N(0,−4)设直线OP的解析式为y=k′x(k′≠0)将P(4,−4)代入得−4=4k′解得k′=−1∴直线OP的解析式为y=−x设Q(b,−b)∵MQ=2NQ∴√b2+(−b+8)2=2√b2+(−b+4)2∴b=0或b=83当b=0时此时点Q与点O重合∴MQ与抛物线交点在y轴上∴点R的横坐标为0当b=83时设直线MQ的解析式为y=sx+t将点Q(83,−83)M(0,−8)代入得{−8=t−83=83s+t解得{s=2t=−8∵直线MQ的解析式为y=2x−8联立直线MQ与抛物线y=512x2−136x−2得{y=2x−8y=512x2−136x−2解得{x=5+√2655y=2√2655+2（舍去不符合题意）或{x=5−√2655y=2−2√2655∵此时MQ交抛物线于点R的横坐标为5−√2655综上点R的横坐标为0或5−√2655．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质一次函数解析式熟练掌握二次函数的图象及性质等腰直角三角形的判定及性质直角三角形的性质用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．6．(1)y=14x2−12x−2(2)点E的横坐标为1−√5(3)BQ=92【分析】（1）将B(4，0)C(−2，0)A(0，−2)代入抛物线解析式得到{16a+4b+c=04a−2b+c=0c=−2求出a、b、c的值即可得出答案；（2）先利用待定系数法求出直线AB 的解析式为：y =12x −2 设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0) 从而求出直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2 进而得出F (2e +4−12e 2，0) 表示出EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2=√5 解方程即可得出答案；（3）设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 待定系数法求出直线CM 的解析式为：y =m6x +m3 联立{y =m6x +m 3y =14x 2−12x −2得出N (12+2m 3，m2+9m9) 再利用待定系数法求出直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183 从而得出P (1，−m−92) 利用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y =m 6x −4m+276从而得出Q (4，−92) 即可得解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于B(4，0) C(−2，0)两点 与y 轴交于点A(0，−2)∴{16a +4b +c =04a −2b +c =0c =−2解得：{a =14b =−12c =−2∴抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2； （2）解：设直线AB 的解析式为：y =k 1x +b 1 将A(0，−2) B(4，0)代入直线得：{0=4k 1+b 1b 1=−2解得：{k 1=12b 1=−2∴直线AB 的解析式为：y =12x −2 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0)∵EF ∥AB∴设直线EF 的解析式为：y =12x +b 2∴14e 2−12e −2=12e +b 2∴b 2=14e 2−e −2∴直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2令y =0 则12x +14e 2−e −2=0 解得：x =2e +4−12e 2∴F (2e +4−12e 2，0)∴EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√(e −2e −4+12e 2)2+(14e 2−12e −2)2=√(12e 2−e −4)2+(14e 2−12e −2)2=√[2(14e 2−12e −2)]2+(14e 2−12e −2)2=√4(14e 2−12e −2)2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2∵EF =√5∴√5(14e 2−12e −2)2=√5∴(14e 2−12e −2)2=1 ∴14e 2−12e −2=1或14e 2−12e −2=−1 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴14e 2−12e −2<0 ∴14e 2−12e −2=−1 ∴e 2−2e −4=0解得：e =1+√5或e =1−√5∵−2<e <0 ∴e =1−√5∴点E 的横坐标为1−√5； （3）解：∵点M 在点B 的正下方 ∴设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 设直线CM 的解析式为y =k 2x +b 2将C(−2，0) M(4，m)代入解析式得：{0=−2k 2+b 2m =4k 2+b 2解得：{k 2=m6b 2=m 3∴直线CM 的解析式为：y =m 6x +m3联立{y =m 6x +m 3y =14x 2−12x −2整理得：3x 2−(6+2m )x −(24+4m )=0∴(x +2)(3x −12−2m )=0解得：x 1=−2 ∴点N 的横坐标为12+2m 3纵坐标为y =12+2m36⋅m +m 3=12+2m 18⋅m +m 3=18m+2m 218=m 2+9m9∴N (12+2m 3，m 2+9m 9)设直线BN 的解析式为：y =k 3x +b 3 将B(4，0) N (12+2m 3，m 2+9m9)代入解析式得：{0=4k 3+b 3m 2+9m9=12+2m 3k 3+b 3解得：{k 3=m+96b 3=−2m+183∴直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183∵抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2 ∴对称轴为直线x =−−122×14=1∴点P 的横坐标为1 纵坐标为y =m+96×1−2m+183=−3m−276=−m−92∴P (1，−m −92) ∵PQ ∥CM∴设直线PQ 的解析式为y =m 6x +b 4∴−m −92=m6×1+b 4 解得：b 4=−4m−276∴直线PQ 的解析式为y =m6x −4m+276∵作PQ ∥CM 交射线BM 于点Q ∴点Q 的横坐标为4 纵坐标为y =m 6×4−4m+276=−92∴Q (4，−92)∴BQ =0−(−92)=92．【点睛】本题考查了二次函数综合题 待定系数法求二次函数解析式 一次函数解析式 二次函数综合—线段问题 勾股定理求两点之间的距离等知识点 熟练掌握以上知识点并灵活运用 采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．(1)y =x 2+2x −3 (2)M (−32,−154)(3)P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)【分析】（1）先求出A,C 的坐标 进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x 由S △AMC =12MF ×|x C −x A |即可求解；（3）抛物线对称轴为直线x=−1．∠PDE =∠BOC OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 分两种情况当PD =OC DE =OB 时 △PDE ≌△COB 此时|−1−x |=3 当PD =OB DE =OC 时 △EDP ≌△COB 此时|−1−x |=1 求解即可． 【详解】（1）解：把x =0代入y =−x −3得y=−3； 把y =0代入y =−x −3得x =−3． ∴A(−3,0) C(0,−3)．∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A,C,B 三点∴{9a −3b +c =0a +b +c =0c =−3解得{a =1b =2c =−3．∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) 则F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3xS △AMC =12MF ×|x C −x A |= 12(−x 2−3x )×3=−32(x +32)2+278∴当x =−32时 S △AMC 最大 此时y =x 2+2x −3=−154． ∴当M 坐标为(−32,−154)时 S △AMC 取得最大值．（3）∵y =x 2+2x −3=(x +1)2−4 ∵抛物线对称轴为直线x=−1． ∵过点P 作l 的垂线 垂足为D ∵∠PDE =∠BOC =90° ∵C(0,−3)，A (−3,0) ∵B (1,0)∵OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 当PD =OC DE =OB 时 此时|−1−x |=3 解得x =−4或x =2． ∵P 点坐标为(−4,5)或(2,5)∵DE =OB =1∴E(−1,6)或(−1,4)． 当PD =OB DE =OC 时 此时|−1−x |=1 解得x =−2或x =0． ∵P 点坐标为(−2,−3)或(0,−3)∵DE =3∴E(−1,−6)或(−1,0)．综上：P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)．【点睛】本题考查了二次函数求解析式 二次函数的性质 三角形全等的性质 最值问题等 熟练掌握各知识点 能准确作出辅助线 并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 8．(1)y =−x 2+2x +3 (2)P (1,6)(3)存在点N 满足要求 点N 坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式 二次函数的图像与性质及二次函数与一次函数综合 （1）用待定系数法求二次函数表达式；（2）根据抛物线特征得出当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大 求出直线AC 的解析式为y =3x +3 即可求出结论；（3）设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q 先求出直线MC 的解析式为y =x +3 证出MQ =NQ =√22MN 设点N (1,n ) 根据NQ 2=AN 2列方程并解方程即可解决．【详解】（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (−1,0),C (0,3)两点∴{−1−b +c =0c =3解得：{b =2c =3∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；（2）解：由抛物线的对称性得 点B 关于抛物线对称轴的对称点是点A∴PA =PB∴|PB −PC |=|PA −PC |∴当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大如图 连接AC 并延长AC 交抛物线的对称轴于点P设直线AC 的解析式为y =kx +d 把A (−1,0),C (0,3)代入得：{−k +d =0d =3解得：{k =3d =3∴直线AC 的解析式为y =3x +3 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2−2=1当x =1时 ∴点P (1,6)；（3）存在N 满足条件 理由如下：∵抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点 ∴点A (−1,0)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4∴顶点M 为(1,4) ∵点M 为(1,4) 点C (0,3) ∴直线MC 的解析式为：y =x +3如图 设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q∴点E (−3,0)∴DE =4=MD ∴∠NMQ =45°∵NQ⊥MC∴∠NMQ=∠MNQ=45°∴MQ=NQ∴MQ=NQ=√22MN设点N(1,n)∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离∴NQ=AN∴NQ2=AN2∴(√22MN)2=AN2即(√22|4−n|)2=4+n2∴n2+8n−8=0∴n=−4±2√6∴存在点N满足要求点N坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)．9．(1)y=−13x2+x+6(2)d=−2t(3)P(−4,−103)【分析】（1）先令x=0求出点C坐标再根据已知可得点B的坐标运用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）由（1）可得点B的坐标设P(t,−13t2+t+6)运用待定系数法求得直线PB的解析式为y=−13(t+3)x+2(t+3)进而求出D(0,2t+6)即可求得答案；（3）找点F关于原点的对称点F′连接CF′过点F′作F′K⊥GE于K根据已知先证△COF≌△BOD得OF= OD再证∠F′CK=2∠PBA进而证得△CF′K≌△EBG得F′K=BG再证△F′FK≌△BFG可得F′F=BF OB=3OF进而求出点D的坐标运用待定系数法求出直线BD的解析式再求出直线BD与抛物线的交点P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+x+6交y轴于点C∴C(0,6)∴OC=6∵OB=OC∴B(6,0)∵ B (6,0)在抛物线y =ax 2+x +6上∴ 0=36a +6+6∴ a =−13∴ y =−13x 2+x +6．（2）∵点P 是第三象限抛物线上一点∴ P (t,−13t 2+t +6)设直线PB 的解析式为y =kx +b (k ≠0)∴ {6k +b =0kt +b =−13t 2+t +6∴ {k =−13(t +3)b =2(t +3)∴直线PB 的解析式为y =−13(t +3)x +2(t +3)．令x =0 得y =2(t +3)=2t +6∴ D (0,2t +6)∴ CD =6−(2t +6)=−2t∵线段 CD 长为 d∴ d =−2t ；（3）解：找点F 关于原点的对称点F ′ 连接CF ′ 过点F ′作F ′K ⊥GE 于K∵ CG ⊥BP OB ⊥OC∴ ∠COF =∠BOD =90°∵ OC =OB∴ △COF ≌△BOD∴ CF =BD∵点F 关于原点的对称点F ′∴∠FCO=∠F′CO OF=OF′∴∠F′CK=2∠PBA∵∠BEG=2∠PBA∴∠F′CK=∠BEG∵F′K⊥CG∴△CF′K≌△EBG∴F′K=BG∵F′K⊥CG∴∠FKF′=∠FGB=90°∵∠F′FK=∠BFG∴△F′FK≌△BFG∴F′F=BF∴OB=3OF∴OD=OF=13OB=2∴D(0,−2)设直线BD的解析式是y=mx+n∴{−2=0×m+n0=8m+n∴{m=1 3n=−2∴直线BD的解析式是y=13x−2∵点P在直线BD上也在抛物线y=−13x2+x+6上∴{y=13x−2y=−13x2+x+6∴{x=−4y=−103∴P(−4,−103)；【点睛】本题考查了二次函数的综合题熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征二次函数的性质中心对称的性质全等三角形的判定和性质等知识添加正确的辅助线是解题的关键．10．(1)y=−14x2+x+3(2)1(3)5√174【分析】（1）先确定点A的坐标为(2，4)再结合等腰直角三角形的性质可得C(6，0)然后运用待定系数法即可解答；（2）先用待定系数法可得AC的函数解析式为y=−x+6设E(t,−14t2+t+3)N（t，−t+6）则EN=−14t2+2t−3然后化成顶点式求最值即可；（3）先确定点M(5,74)过点E作AD的对称点E′(0,3)连接E′M交AD于点P此时PE+PM最短时M(5,74)最后运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高y=a(x−2)2+4的顶点为点A ∵A的坐标为(2，4)∵AD=4∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高∵CD=AD=4∵C(6，0)．把C(6，0)代入y=a(x−2)2+4解得：a=−14∵抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+4即y=−14x2+x+3．（2）解：设直线AC的函数解析式为y=kx+b ∵A(2，4)，C(6，0)∵AC的函数解析式为y=−x+6．设E(t,−14t2+t+3)EN=−14t2+t+3−(−t+6)=−14t2+2t−3=−14(t−4)2+1∵当t=4时EN最大为1∵E(4，3)．（3）解：∵M(5，b)在抛物线y =−14(x −2)2+4上∵M (5,74)．∵AD 是此抛物线的对称轴∵过点E 作AD 的对称点E ′(0,3) 连接E ′M 交AD 于点P 此时PE +PM 最短 M (5,74);∵PE +PM 最短=E ′M =√(0−5)2+(3−74)2=5√174． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合 求函数解析 求函数最值等知识点 灵活运用相关知识成为解题的关键．11．(1)x =1； (2)(3,0) (−1,0)；(3)点P 的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【分析】（1）本题根据抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的对称轴公式为x =−b2a 即可解题．（2）本题根据抛物线公式可整理为y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1) 即可解题．（3）本题由（2）得到点B 的坐标 利用OB =OC 求得点C 的坐标 推出a 值 得到抛物线解析式 设直线BC 的解析式为y =kx −3 利用待定系数法求出直线BC 的解析式 设点P (m,m −3) 则M (m,m 2−2m −3) 根据过点P 作x 轴的垂线交抛物线于M 点 分以下两种情况讨论 当P 在M 的上方时 当P 在M 的下方时 根据这两种情况分析得到PM = CP 并对应的建立等式求解 即可解题．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)∴抛物线的对称轴为x =−−2a2a =1；（2）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)整理可得y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1)∴不论a 取何值 函数图象必过(3,0) (−1,0)；（3）解：由（2）可知 点B 的坐标为(3,0)∴OB =3∵ OB =OC∴OC =3∴点C 的坐标为(0,−3) 且−3a =−3 即a =1∴抛物线解析式为y=x2−2x−3设直线BC的解析式为y=kx−3将(3,0)代入解析式有3k−3=0解得k=1∴直线BC的解析式为y=x−3设点P(m,m−3)则M(m,m2−2m−3)当P在M的上方时则PM=−m2+3m∵△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上∴∠PCM=∠NCM∵PM∥y轴∴∠NCM=∠PMC∴∠PCM=∠PMC∴PC=PM∴√2m=−m2+3m整理得：m2+(√2−3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3−√2,−√2)；当P在M的下方时则PM=m2−3m同理可得：√2m=m2−3m整理得：m2−(√2+3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3+√2,√2)；综上所述点P的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合折叠的性质二次函数的图象和性质待定系数法求函数解析式 勾股定理表示两点间的距离 等腰三角形性质 熟练掌握折叠的性质 结合分类讨论的数学思想 即可解题．12．(1)a =−16(2)(−2，−2)或(−2，4)或(−2，2√2)或(−2，−2√2)(3)−13−√2412或−13+√2412．【分析】本题主要考查了二次函数的应用 等腰三角形 全等三角形等几何图形等知识点 熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键．（1）将点C 坐标代入抛物线解析式即可解答；（2）分三种情况：当ME =MC 、CE =CM 、EM =CE 时 然后利用等腰三角形的性质即可解答；（3）先判断出△PQE≌△P ′Q ′E (AAS )得出PQ =P ′Q ′、EQ =EQ ′ 进而得出P ′Q ′=n ，EQ ′=QE =m +2 确定出点P ′(n −2，2+m) 将点P ′的坐标代入直线AD 的解析式中和点P 代入抛物线解析式中 联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y =a (x +6)(x −2)过点(0，2)∵2=a (0+6)(0−2) a =−16．（2）解：∵a =−16 ∵抛物线的解析式为y =−16(x +6)(x −2)=−16(x +2)2+83 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2；∵E(−2，0)∵C(0，2)∵OC =OE =2∵CE =√2OC =2√2∵△CME 是等腰三角形∵①当ME =MC 时∵∠ECM =∠CED =45°∵∠CME =90°∵M(−2，2)；②当CE =CM 时。
九年级二次函数压轴题专题训练(含答案和方式指导)
九年级二次函数压轴题专题训练(含答案)方式:面积法 ,化斜为直,韦达定理,几何变换等.1,如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：22abxaxy-+=关于y轴对称且有最小值1-。
〔1〕求抛物线C1的解析式；〔2〕在图1中抛物线C1极点为A，将抛物线C1绕点B旋转180°后取得抛物线C2，直线y=kx﹣2k+4总通过必然点M，假设过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，求直线l的解析式．〔3〕如图2，先将抛物线C1向上平移使其极点在原点O，再将其极点沿直线y=x平移取得抛物线C3，设抛物线C3与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长；〔1〕∴y=x2﹣1．‥‥‥‥‥‥‥2分〔2〕依题意可求出抛物线C2的解析式为：y=﹣〔x﹣2〕2+1，∵直线y=kx﹣2k+4总通过必然点M，∴定点M为〔2，4〕，‥‥‥‥‥‥‥4分①通过定点M〔2，4〕，与y轴平行的直线l：x=2与抛物线C3总有一个公共点〔2，1〕．②通过定点M〔2，4〕的直线l为一次函数y=kx﹣2k+4时，与y=﹣〔x﹣2〕2+1联立方程组，消去y得x2﹣4x+3+kx ﹣2k+4=0，即x2﹣〔4﹣k〕x+7﹣2k=0，△=k2﹣12=0，得k1=2，k2=﹣2，∴y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，综上所述，过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，它们别离与抛物线C2只有一个公共点．〔3〕设抛物线C3的极点为〔m，m〕，依题意抛物线C3的解析式为：y=〔x﹣m〕2+m，与直线y=x联立，解方程组得：，，∴C〔m，m〕，D〔m+1，m+1〕过点C作CM∥x轴，过点D作DM∥y轴，∴CM=1，DM=1，∴CD=．2,如图，抛物线y＝ax2－4ax＋b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC ＝3(1) 求抛物线的解析式(2) 如图1，D位抛物线的极点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD．是不是存在点P，使2=GOGD？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由(3) 如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N．假设∠MON＝45°，求m的值〔1〕243 y x x=-+3〔此题12分〕如图1，抛物线y ＝ax 2＋(1－3a )x －3〔a ＞0〕与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线y ＝－x ＋5与抛物线交于D 、E ，与直线BC 交于P (1) 求点P 的坐标 (2) 求PD ·PE 的值(3) 如图2，直线y ＝t 〔t ＞－3〕交抛物线于F 、G ，且△FCG 的外心在FG 上，求证：t a -1为常数．解：(1) 令y ＝0，那么ax 2＋(1－3a )x －3＝0，解得x 1＝a 1-，x 2＝3∴B (3，0)令x ＝0，那么y ＝－3∴直线BC 的解析式为y ＝x －3 联立⎩⎨⎧+-=-=53x y x y ，解得⎩⎨⎧==14y x∴P (4，1)(2) 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2)那么PD ＝2(4－x 1)，PE ＝2(4－x 2)联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=53)31(2x y x a ax y ，整理得ax 2＋(2－3a )x －8＝0∴x 1＋x 2＝a a 23-，x 1x 2＝a 8-∴PD ·PE ＝2(4－x 1)(4－x 2)＝2[16－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2]＝8]881216[2=-+-a a(3) ∵△FCG 的外心在FG 上 ∴∠FCG ＝90°设FG 与y 轴交于点H ，那么CH 2＝FH ·GH ∴(t ＋3)2＝－x F ·x G联立⎪⎩⎪⎨⎧--+==3)31(2x a ax y t y ，整理得ax 2＋(1－3a )x －3－t ＝0∴x F ·x G ＝a t--3∴(t ＋3)2＝a t+3 ∴31=-t a4.〔梅苑中学九月月考〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数m x y +=45的图象与x轴交于A (－1，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝2为对称轴的抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕通过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B (1) 求m 的值及抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕〔a ≠0〕的函数表达式(2) 设点D (0，1225)，假设F 是抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探讨FM F M 2111+是不是为定值？请说明理由(3) 将抛物线C 1作适当平移，取得抛物线C 2：y 2＝－41(x －h )2，h ＞1．假设当1＜x ≤m 时，y 2≥－x 恒成立，求m 的最大值如图1，抛物线C1：y=x2﹣2x+c和直线l：y=﹣2x+8，直线y=kx〔k＞0〕与抛物线C1交于两不同点A、B，与直线l交于点P．且当k=2时，直线y=kx〔k＞0〕与抛物线C1只有一个交点．〔1〕求c的值；〔2〕求证：，并说明k知足的条件；〔3〕将抛物线C1沿第一象限夹角平分线的方向平移t〔t＞0〕个单位，再沿y轴负方向平移〔t2﹣t〕个单位取得抛物线C2，设抛物线C1和抛物线C2交于点R；如图2．①求证不管t为何值，抛物线C2必过定点，并判定该定点与抛物线C1的位置关系；②设点R关于直线y=1的对称点Q，抛物线C1和抛物线C2的极点别离为点M、N，假设∠MQN=90°，求现在t的值．8、如图1，二次函数y=〔x+m〕〔x﹣3m〕〔其中m＞0〕的图象与x轴别离交于点A，B 〔点A位于点B的左侧〕，与y轴交于点C，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DAE．〔1〕当线段AB的长为8时，求m的值．〔2〕当点B的坐标为〔12，0〕时，求四边形ADBE的面积．〔3〕请判定的值是不是为定值？假设是，请求出那个定值；假设不是，请说明理由．〔4〕别离延长AC和EB交于点P，如图2．点A从点〔﹣2，0〕动身沿x轴的负方向运动到点〔﹣4，0〕为止，求点P所通过的途径的长〔直接写出答案〕．解：〔1〕∵二次函数y=〔x+m〕〔x﹣3m〕〔其中m＞0〕的图象与x轴别离交于点A，B〔点A位于点B的左侧〕，令y=0，得0=〔x+m〕〔x﹣3m〕，∴x=﹣m或x=3m，∴点A的坐标为〔﹣m，0〕，点B的坐标为〔3m，0〕，由题意，得AB=3m﹣〔﹣m〕=4m．∴4m=8，即m=2．〔2〕∵点B的坐标为〔12，0〕，∴m=4，∴A〔﹣4，0〕，C〔0，﹣3〕，如图，过点D，E别离作x轴的垂线，垂足为M，N．∵CD∥AB，∴点D 的坐标为〔8，﹣3〕，点M的坐标为〔8，0〕．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴=．设E点的坐标为〔〕，∴解得x1=16，x2=﹣4〔舍去〕，∴E点的坐标为〔16，5〕．因此S ADBE=S△ADB+S△ABE=，〔3〕为定值．∵A〔﹣m，0〕，B〔3m，0〕，C〔0，﹣3〕，过点D，E别离作x轴的垂线，垂足为M，N．由〔2〕有，=．∵CD∥AB，∴点D 的坐标为〔2m，﹣3〕，点M的坐标为〔2m，0〕．设E点的坐标为〔〕，可得解得x1=4m，x2=﹣m〔舍去〕．∴E点的坐标为〔4m，5〕，∴EN=5，DM=3∵△ADM∽△AEN．∴==；〔4〕由〔1〕有，A〔﹣m，0〕，B〔3m，0〕，C〔0，﹣3〕，E〔4m，5〕，∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3①，直线BE解析式为y=x﹣15②，联立①②得，∴P〔，﹣〕，∴点A在运动时，点P的纵坐标不变，即：点A从运动到停顿，点P的途径是一条线段，∵点A从点〔﹣2，0〕动身沿x轴的负方向运动到点〔﹣4，0〕为止，∴当m=2时，P〔3，﹣〕，当m=4时，P〔6，﹣〕∴点P所通过的途径的长为6﹣3=3．9、如图，二次函数y=ax2﹣2amx﹣3am2〔a，m是常数，且m＜0〕的图象与x轴交于A、B 〔点A位于点B的左侧〕，与y轴交于点C〔0，3〕，作CD∥AB交抛物线于点D，连接BD，过点B作射线BE交抛物线于点E，使得AB平分∠DBE．〔1〕求点A，B的坐标；〔用m表示〕〔2〕是不是为定值？假设是，求出那个定值；假设不是，请说明理由．〔3〕抛物线y=ax2﹣2amx﹣3am2的极点为F，直线DF上是不是存在唯一一点M，使得∠OMA=90°？假设存在，求出现在m的值；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕由ax2﹣2amx﹣3am2=0得，x1=﹣m，x2=3m，那么B〔﹣m，0〕，A〔3m，0〕，〔2〕是定值，为；理由：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，将点C〔0，3〕代入y=ax2﹣2amx﹣3am2得，a=﹣；∴y=ax2﹣2amx﹣3am2=﹣x2+x+3，∵CD∥AB，∴点D的坐标为〔2m，3〕，∴OH=﹣2m，DH=3，∴BH=﹣3m∵AB平分∠DBE，∴∠DBH=∠EBG，又∠DHB=∠EGB=90°，∴△BDH∽△BEG，∴，设E〔n，﹣×n2+×n+3〕，∴OG=﹣n，EG=×n2﹣×n﹣3，∴BG=﹣m﹣n，∴，∴n=4m，∴E〔4m，5〕，∵BH=BO+OH=﹣m﹣2m=﹣3m，BG=BO+OG=﹣m﹣4m=﹣5m，∴，〔3〕存在，理由：如图2，∵B〔﹣m，0〕，A〔3m，0〕，∴F〔m，4〕，∵D〔2m，3〕，∴直线DF的解析式为y=﹣x+5，∴N〔5m，0〕，P〔0，5〕，∴OP=5，PN==5取OA的中点M，∵A〔3m，0〕，N〔5m，0〕，∴M〔〕，∴OM=﹣m．MN=﹣m，假设直线DF上是存在唯一一点M，使得∠OMA=90°，∴以OA为直径的⊙M与PN，PO相切，∴PM是∠OPN的角平分线，∴，∴，∴m=〔舍〕或m=﹣．。
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九年级中考数学二次函数压轴题强化练习1、如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）。
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式。
（2）在第一象限的抛物线线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标。
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当PQB为等腰三角形时，求m的值。
2、如图，已知抛物线y= 38x2－34x－3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C。
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．4、如图，已知抛物线()2y ax bx c a 0=++≠ 的对称轴为x 1=-，且抛物线经过()(),,,A 10C 03两点，与x 轴交于点B .⑴.若直线y mx n =+经过B C 、两点，求直线BC 所在直线的解析式；⑵. 抛物线的对称轴x 1=-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐标；⑶.设点P 为抛物线的对称轴x 1=-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.5、如图，抛物线y=x²+bx+c 与直线y=x －1交于A 、B 两点.点A 的横坐标为－3，点B 在y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC⊥x 轴于C ，交直线AB 于D.(1)求抛物线的解析式；（2）当m 为何值时，2BPDOBDC S S 四边形； (3)是否存在点P,使△PAD 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.6、如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．1与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A 7、如图，抛物线c=2bx+y+x4作直线AC⊥x轴，交直线x=于点C；y2（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线x=的对称点A'的坐标，判定点A'是否在抛物线上，并y2说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段AC'于点M，是否存在这样的点P，使四边形P ACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.8、我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0, 4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．(1)求圆C的标准方程；(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．9、如图，抛物线L 1：1()2y x x t =-+（常数t>0）与x 轴的负半轴交于点G ，顶点为Q ，过Q 作QM ⊥x 轴交x 轴于点M ，交双曲线L 2：k y x=(0,0)k x <<于点P ，且OG·MP=4．（1）求k 值；（2）当t=2时，求PQ 的长；（3）当P 是QM 的中点时，求t 的值；（4）抛物线L 1与抛物线L 2所围成的区域（不含标界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数有且只有1个，直接写出t 的取值范围．10、如图，已知抛物线223=-++与x轴交于A、B两点（点A在点B的左y x x边），与y轴交于点C，连接BC。
（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。
11、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A 、B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．12、如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线221x y上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE ⊥y 轴于点E ，点B 坐标为（0，2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，△BED的面积为S ．（1）当2=m 时，求S 的值．(2)求S 关于)2(≠m m 的函数解析式．（3）①若3=S 时，求BF AF 的值； ②当2>m 时，设k BFAF =，猜想k 与m 的数量关系并证明．13、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=ax 2+2xa+c 经过A （﹣4，0），B （0，4）两点，与x 轴交于另一点C ，直线y=x+5与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．14、如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B 坐标和坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标；（3）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，问PD 为何值时，将△BPF 沿边PF 翻折，使△BPF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的？15、如图，直角梯形ABCO 的两边OA ，OC 在坐标轴的正半轴上，BC ∥x 轴，OA=OC=4，以直线1=x 为对称轴的抛物线过A ，B ，C 三点。
（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l 的解析式为m x y +=，它与x 轴交于点G ，在梯形ABCD 的一边上取点P 。
①当0=m 时，如图1，点P 是抛物线对称轴与BC 的交点，过点P 作PH ⊥直线l 于点H ，连结OP ，试求△OPH 的面积；②当3-=m 时，过点P 分别作x 轴，直线l 的垂线，垂足为E ，F 。
是否存在这样的点P ，使以P ，E ，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
16、已知：直线l ：y=﹣2，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO=PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y=ax 2+bx+c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ．（ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD+FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．17、如图，已知图①中抛物线c bx ax y ++=2经过点D （－1，0），D （0，－1），E （1，0）．（1）求图①中抛物线的函数表达式．（2）将图①中的抛物线向上平移一个单位，得到图②中的抛物线，点D与点D1是平移前后的对应点，求该抛物线的函数表达式．（3）将图②中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后得到图③中的抛物线，所得到抛物线表达式为pxy22=，点D1与D2是旋转前后的对应点，求图③中抛物线的函数表达式．（4）将图③中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后与直线1-y相交于A、=x-B两点，D2与D3是旋转前后如图④，求线段AB的长．。