第九章 电磁场对电荷的作用力.

第九章 电磁场对电荷的作用力

上一章我们由电力引入电场。本章通过讨论运动电荷之间的作用力进一步引进磁场，并给出计算稳恒电流所激发的磁场的公式。电场和磁场分别描写了电磁相互作用的两个方面。电场和磁场都不是洛伦兹矢量，洛伦兹力同样也不是洛伦兹矢量。在惯性系变换下，他们都没有简单的变换关系。我们将引入四维矢势，它不仅是洛伦兹四维矢量，而且能够完整地描写电磁场的物理性质。我们还提到规范对称性。规范对称性在现代理论物理中占据核心地位。

9.1相对论的力

让我们先回忆狭义相对论关于力的公式。在第一册第二章，我们引进了四维动量P ，它的分量定义为

τ

μ

μ

d dx m p 0= (9.1)

其中0m 为质点的静止质量，τ为固有时。固有时τ和测量P 所在惯性系的时间t 有关系式 τγd v dt )(= （9.2） 质点瞬时速度v 的函数)(v γ定义为 ()

2

/11)(c v v -=

γ （9.3）

四维力K 的分量定义为

τ

κμ

μ

d dp = (9.4)

静止质量0m 和固有时τ都是洛伦兹标量，在惯性系的洛伦兹变换下不变。四维动量P 和四维力K 都是洛伦兹矢量，在洛伦兹变换下和四维位移矢量一样变换。记K 的前三个分量为

τ

κd p

d

= (9.5)

其中τ

d x d m p

0=，为相对论四维动量的前三个分量。

在相对论力学中，我们仍保留力作为动量变化率的意义，但动量要理解为相对论四维动量的前三个分量，即（三维）力定义为

κγ )

(1v dt p d f ==

(9.6) 注意，它不是四维矢量的前三个分量。因此它在惯性系变换的方式要通过四维力的变换式和（9.6）式得到。

四维力矢量是（9.4）定义的K ，它的第四个分量为

f v v c

i d dw c i ⋅==)(4

γτκ （9.7）

其中w 为能量。

9.2静止电荷对运动电荷的作用力

设静电场E 是由一些在惯性系∑中静止的电荷i q 产生的。试验电荷Q 沿Z 轴以v

匀速

运动。按照上一章（8.39）式，在电荷Q 静止的惯性系∑'中，该电场为

x x E v E )(γ=' ，y y E v E )(γ='， z z

E E =' （9.8） 按电场的定义，在∑'中静止的电荷Q 受到的作用力为（注意，电荷在不同惯性系中是一样

的）

E Q f '='

（9.9）

利用上一节的知识把这个力变换回到∑惯性系。因为电荷Q 在∑'中静止，（9.6）式给

出κ'='

f ，（9.7）式给出04

='κ。四维力矢量的变换和位矢一样，故在惯性系∑的四维力

等于

11κκ'=， 22κκ'=， 33)(κγκ'=v （9.10）

再利用（9.6）式，得到电荷在∑中受到的力 i i i i i i i QE E Q E Q v f v v f =='='='==

γγ

γκγκγ1

)(1)(1)(1 , y x i ,= （9.11） z z

z z QE E Q f v f ='='='==

33

)

(1κκγ （9.12） 可见，静止电荷i q 对运动电荷Q 的作用力等于电荷Q 乘i q 产生的电场，与电荷Q 的速度无关，

E Q f

= （9.13）

这是静止电荷产生的电场的一个重要特点。

9.3 运动电荷对运动电荷的作用力

考虑两个电荷1q 和2q ，他们的速度分别为1v 和2v 。不失一般性，设1v

沿Z 轴方向（图9-1（a ））。在两个电荷都运动的惯性系∑中我们暂时只知道电荷产生的电场而不知道电荷所受到的力。

为了求出电荷2q 所受的力，我们变换到1q 静止的惯性系∑'。由上一节得知，2q 受到静止电荷1q 的作用力与2q 的速度无关，

)(2r E q f ''='

（9.14）

四维力的各个分量为

)()()(222

r E v q f v '''=''='

γγκ （9.15） )()(22

24

r E v v c

iq

'⋅''='γκ （9.16）

X

利用洛伦兹变换得到原来惯性系∑中电荷2q 受到的作用力 i i i i E v v v q E v v q v f )()()()()()(1212

22222γγγγγκγ'=''==

),(y x i = (9.17) ⎪⎭

⎫

⎝⎛'⋅'+''==

E v c v E v v v q v f z z 2

21221232)()()()(1γγγκγ (9.18) 在∑'中的电场和∑中的电场的关系为

z

z E E '=, i i E v E '=)(1γ ),(y x i = (9.19) 狭义相对论的速度合成公式给出（9.17）和（9.18）式中的2

v '

和1v 、2v 的关系， 2

21122

/)(1c v v v v v z

z

⋅--='， 22

12122/)(1)/(1c v v c v v v i i ⋅--=' （9.20） 把（9.19）和（9.20）代入（9.17）和（9.18）式，经过较烦琐的化简，可以得到

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯+=)(11222E v v c E q f

（9.21）

我们看到一个有趣的现象，运动电荷2q 感受到的力与它的运动速度有关。与速度有关的力就是我们熟悉的磁场力。至此，我们通过分析一个特例发现必须存在磁场。值得注意的是，

1q 和2q 的磁相互作用力不在同一直线上。