第九章 电磁场对电荷的作用力.

第九章 电磁场对电荷的作用力上一章我们由电力引入电场。

本章通过讨论运动电荷之间的作用力进一步引进磁场，并给出计算稳恒电流所激发的磁场的公式。

电场和磁场分别描写了电磁相互作用的两个方面。

电场和磁场都不是洛伦兹矢量，洛伦兹力同样也不是洛伦兹矢量。

在惯性系变换下，他们都没有简单的变换关系。

我们将引入四维矢势，它不仅是洛伦兹四维矢量，而且能够完整地描写电磁场的物理性质。

我们还提到规范对称性。

规范对称性在现代理论物理中占据核心地位。

9.1相对论的力让我们先回忆狭义相对论关于力的公式。

在第一册第二章，我们引进了四维动量P ，它的分量定义为τμμd dx m p 0= (9.1)其中0m 为质点的静止质量，τ为固有时。

固有时τ和测量P 所在惯性系的时间t 有关系式 τγd v dt )(= （9.2） 质点瞬时速度v 的函数)(v γ定义为 ()2/11)(c v v -=γ （9.3）四维力K 的分量定义为τκμμd dp = (9.4)静止质量0m 和固有时τ都是洛伦兹标量，在惯性系的洛伦兹变换下不变。

四维动量P 和四维力K 都是洛伦兹矢量，在洛伦兹变换下和四维位移矢量一样变换。

记K 的前三个分量为τκd pd= (9.5)其中τd x d m p0=，为相对论四维动量的前三个分量。

在相对论力学中，我们仍保留力作为动量变化率的意义，但动量要理解为相对论四维动量的前三个分量，即（三维）力定义为κγ )(1v dt p d f ==(9.6) 注意，它不是四维矢量的前三个分量。

因此它在惯性系变换的方式要通过四维力的变换式和（9.6）式得到。

四维力矢量是（9.4）定义的K ，它的第四个分量为f v v ci d dw c i ⋅==)(4γτκ （9.7）其中w 为能量。

9.2静止电荷对运动电荷的作用力设静电场E 是由一些在惯性系∑中静止的电荷i q 产生的。

试验电荷Q 沿Z 轴以v匀速运动。

按照上一章（8.39）式，在电荷Q 静止的惯性系∑'中，该电场为x x E v E )(γ=' ，y y E v E )(γ='， z zE E =' （9.8） 按电场的定义，在∑'中静止的电荷Q 受到的作用力为（注意，电荷在不同惯性系中是一样的）E Q f '='（9.9）利用上一节的知识把这个力变换回到∑惯性系。

因为电荷Q 在∑'中静止，（9.6）式给出κ'='f ，（9.7）式给出04='κ。

四维力矢量的变换和位矢一样，故在惯性系∑的四维力等于11κκ'=， 22κκ'=， 33)(κγκ'=v （9.10）再利用（9.6）式，得到电荷在∑中受到的力 i i i i i i i QE E Q E Q v f v v f =='='='==γγγκγκγ1)(1)(1)(1 , y x i ,= （9.11） z zz z QE E Q f v f ='='='==33)(1κκγ （9.12） 可见，静止电荷i q 对运动电荷Q 的作用力等于电荷Q 乘i q 产生的电场，与电荷Q 的速度无关，E Q f= （9.13）这是静止电荷产生的电场的一个重要特点。

9.3 运动电荷对运动电荷的作用力考虑两个电荷1q 和2q ，他们的速度分别为1v 和2v 。

不失一般性，设1v沿Z 轴方向（图9-1（a ））。

在两个电荷都运动的惯性系∑中我们暂时只知道电荷产生的电场而不知道电荷所受到的力。

为了求出电荷2q 所受的力，我们变换到1q 静止的惯性系∑'。

由上一节得知，2q 受到静止电荷1q 的作用力与2q 的速度无关，)(2r E q f ''='（9.14）四维力的各个分量为)()()(222r E v q f v '''=''='γγκ （9.15） )()(2224r E v v ciq'⋅''='γκ （9.16）X利用洛伦兹变换得到原来惯性系∑中电荷2q 受到的作用力 i i i i E v v v q E v v q v f )()()()()()(121222222γγγγγκγ'=''==),(y x i = (9.17) ⎪⎭⎫⎝⎛'⋅'+''==E v c v E v v v q v f z z 221221232)()()()(1γγγκγ (9.18) 在∑'中的电场和∑中的电场的关系为zz E E '=, i i E v E '=)(1γ ),(y x i = (9.19) 狭义相对论的速度合成公式给出（9.17）和（9.18）式中的2v '和1v 、2v 的关系， 221122/)(1c v v v v v zz⋅--='， 2212122/)(1)/(1c v v c v v v i i ⋅--=' （9.20） 把（9.19）和（9.20）代入（9.17）和（9.18）式，经过较烦琐的化简，可以得到⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+=)(11222E v v c E q f（9.21）我们看到一个有趣的现象，运动电荷2q 感受到的力与它的运动速度有关。

与速度有关的力就是我们熟悉的磁场力。

至此，我们通过分析一个特例发现必须存在磁场。

值得注意的是，1q 和2q 的磁相互作用力不在同一直线上。

普遍地，磁场B（通常称为磁感应强度）通过运动电荷受到的与其速度有关的力来定义，()B v E q f⨯+= （9.22）此为电磁力的洛伦兹公式。

其中v是电荷q 的运动速度，f 是电荷q 受到的电磁力。

电场强度E 和磁感应强度B分别反映电荷q 所在位置的电场和磁场。

如电场一样，磁场应理解为一种实在的客体。

运动电荷定域地和它所在处的磁场相互作用，所以磁场力公式（9.22）式不依赖于产生磁场的方式。

产生磁场的方法可能有不同的方法，例如除了运动电荷之外，粒子的自旋也可以产生磁矩。

如果我们有办法知道某处的磁场，通过（9.22）式就可以计算电荷受到的磁力，而不必烦琐地在惯性系中变来变去。

当试验电荷运动方向和磁场方向相同时，叉乘等于零，电荷不受力。

因为力和速度都是三维矢量，磁场只能是一个三维“轴矢量”——赝矢量。

我们似乎根据库仑定律和狭义相对论推导出了洛伦兹公式，严格地说是不对的。

因为在我们的分析中至少隐含了一个重要的假定：不同惯性系的电场变换只与电荷的瞬时速度有关，而与电荷的加速度无关。

我们知道加速电荷会发射电磁波。

电荷在发射过程原则上会受到电磁场反冲力，而这部分的力没有反映在洛伦兹力公式中。

另外，我们讨论的运动电荷产生的磁力是一种具有普遍意义的磁场力的特例，而公式（9.22）对普遍的磁场力仍然成立。

在我们所学的概念：电荷、电场、磁场、电磁力等之间，其实没有基本概念和从属概念的区别。

他们的合法地位最终必须由实验来确定。

这些概念及其关系描写各种电磁现象，统一起来成为电磁学。

我们企图从比较容易想象和接受的概念（如库仑力）出发，通过讨论特例，引出较抽象的概念（如电场和磁场），目的是揭示这些概念和规律之间的逻辑联系，说明定义这些概念的合理性和必要性，从中加深对概念和相关定律的理解。

以速度1v运动的点电荷1q 产生的磁场由（9.21）给出)(1)(12r E v cr B⨯= （9.23）其中)(r E 是运动电荷1q 产生的电场。

对于低速运动的电荷，（9.23）中的电场可以用库仑电场代入。

当速度为v 的电荷q 运动到x ' 处时，它在x产生的磁场在低速近似下可写成3204)(r rv c qx B ⨯=πε （9.24）其中x x r '-=。

10.4 矢势对(9.23)式求散度，可证（习题【9.1】）0=⋅∇B（9.25）在任意空间区域对上式作体积分，利用高斯公式化磁场沿空间区域边界（封闭曲面S ）的面积分，得到和（9.25）等价的积分表述0=⋅⎰⎰Ss d B（9.26）这是一个重要的结论，它说明运动电荷产生的磁场是无源场，这种磁场通过任何封闭曲面的通量都等于零。

除了运动电荷会产生磁场之外，现有理论原则上不排除存在磁场的源——磁荷（磁单极）。

但至今没有磁荷存在的实验根据。

我们暂时认为磁场都是由电荷运动的相对论效应产生的，如此（9.25）和（9.26）式普遍地成立。

磁场散度为零这个特点使我们可以通过下式引进矢势)()(x A x B⨯∇= （9.27）数学上有恒等式（旋度的散度等于零）0)(=⨯∇⋅∇A（9.28）因此用矢势表示磁场时，（9.25）式自动得到满足。

根据斯托克斯公式，⎰⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇SSl d A s d A )(其中S 是任意有向曲面，S ∂是曲面的边界，即闭合回路。

磁场通过回路所围曲面的磁通量⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇=⋅SSSl d A s d A s d B)( （9.29）可见磁通仅与曲面的边界有关，而与曲面的形状无关。

根据旋度的定义（参看（8.54）式），当曲面面积趋向于零、曲面方向趋于固定方向时，（9.29）式回到（9.27）式。

从(9.29)知，矢势的回路积分等于磁场穿过回路所围曲面的磁通，这是矢势与物理测量联系的已知的唯一途径。

设)(xφ是一可微的任意函数。

因为0)(=⋅∇⨯∇φ，所以 A A⨯∇=⋅∇+⨯∇)(φ （9.30） 因此，矢势增加一个任意标量场的散度不改变磁感应强度B。

更重要的是，矢势的这种变化也不影响它的回路积分，因为0=⋅∇⎰∂Sl dφ （9.31）变换)()()(x x A x Aφ∇+=' （9.32）称为规范变换。

规范对称性：在规范变换下，所有电磁现象不改变。

这是电磁现象的一种极其重要的不变性（对称性），以后我们还会详细讨论它的意义和后果。

至此关于矢势的讨论是普遍的，对稳定的磁场和变化的磁场均适用。

9.5稳恒电流产生的磁场电流可看成运动的电荷。

设导线中的正电荷以速度+v 运动，负电荷以速度-v运动，正负电荷的密度为±ρ。

导线中的电流密度为--++-=ρρv v j（9.33）当-+=ρρ时，导体呈电中性，电场等于零，但实验却看到电流对运动的电荷有作用力。

为什么有这种力？3.3节已经提到相对论效应导致另一种力场——磁场，它对运动电荷有作用力。

把（9.24）式中的电荷q 换成x d x ''±3)(ρ并对空间积分，得到稳恒电流产生的磁场x d rc r x j xd r c r v x x d r c r v x x B '⨯'='⨯'-'⨯'=⎰⎰⎰--++3320332033204)(4)(4)()(πεπερπερ （9.34） 其中x x r '-=是测量磁场值的位置相对运动电荷微元的位移。