第21章一元一次方程
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.1 一元二次方程
21.1一元二次方程一、教学目标【知识与技能】1.通过设置具体问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念得到一元二次方程的定义；2．一元二次方程的一般形式及其有关概念.【过程与方法】了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.【情感态度与价值观】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．二、课型新授课三、课时第1课时，共1课时。
四、教学重难点【教学重点】通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．【教学难点】一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．五、课前准备多媒体课件六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）教师问1：观察图片。
要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？学生回答：设雕像下部高x m，依题意得方程x2=2(2-x),整理，得x2+2x-4=0.教师问2：上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？（二）探索新知探究一一元二次方程的概念见教材第2页问题1.(出示课件4)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】(出示课件5)设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.见教材2~3页问题2.(出示课件6)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.【讨论结果】（课件6展示）设应邀请x 个队参赛，通过分析可得到12·x ·（x-1）=28,化简，得x 2-x=56，即x 2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：(出示课件7)（1）方程各项都是整式； （2）方程中只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2. 【归纳结论】(出示课件8)一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.想一想21109000x x --=是一元二次方程吗？（出示课件9）共同总结：不是.等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次.例1 下列选项中，关于x 的一元二次方程的是（ ）(出示课件10) A.2210x x+= B.3x 2-5xy+y 2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D.ax 2+bx+c=0 师生共同讨论，总结如下：方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可．生1：A 不满足整式方程；生2：B含有两个未知数；生3：C整理结果为x2-3x+2=0，满足三个条件，为正确答案生4：D若a=0，则不满足未知数最高次数为2条件。
第21章一元一次方程(共12课时)
授课时间 日 年 月
教学目标
知识技能：1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2 2 2.根据平方根的意义解形如 x =p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n） =p （p≥0）型的一元二次方程． 过程方法：1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法 情感态度：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 1.运用开平方法解形如（mx+n） =p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2 用配方法解二次项是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程 降次思想，配方法 合作探究 多媒体课件 教师活动 学生活动 再次备课
(2) x 8 x _____ ( x ___)
2
(3) y 5 y _____ ( y ___) (4) y
2
2
2 1 y ____ ( y ___) 2
问题 1 一桶油漆可刷的面积为 1500dm2；李林用这桶 油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全 部外表面。你能算出盒子的棱长吗？
a
这种解一元二次方程的方法叫
合作探究
做开平方法.
X2－4x＋1＝0 变形为： （x－2）2=3=a 的形式（a 为非负常数）
例题讲解
例 2，解下列方程
(1)x2＋6x+9=1 (2)x2＋2
5
+5=0
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初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点(含答案解析)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D 解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-3或0C 解析：C【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-3a ）x+a=0的两个实数根互为倒数，∴x 1•x 2=a=1．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0，b 2-4ac≥0）的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 5．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x = 解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．6．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B 解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．7．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A 解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．8．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x 2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，故答案为：1+x+x 2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．14．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．16．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 19．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．三、解答题21．用配方法解方程：22510x x -+=解析：154x =+，254x = 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：22510x x -+=，系数化为1得：251022x x -+=，配方得：2255251()024162x x -+--+=， 即：2517()416x -=，两边同时开平方得：54x -=，即154x =254x =-． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．22．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23．解方程：2410y y --=．解析：12y =22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 24．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），当x=8时，36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．26．解下列方程：（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．参考答案解析：（1）1417x =，2417x =；（2）16x =，24x =．【分析】（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．【详解】解：（1）2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=417x -=±1417x =，2417x =（2）2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±，16x =，24x =．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键． 27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x 1=45，x 2=30．当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为99x x x x+≥⋅ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 解：（1）∵0x >，∴99x x x x+≥⋅又∵296=，∴96x x+≥ ∴9x x +的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥， ∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
数学八下第21章：代数方程-知识点
1数学八下第21章：代数方程-知识点1、解含字母系数的一元一次方程的一般步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1。
2、解含字母系数的方程“ax=b ”时，需要分类讨论 ，分三种情况：①若a ≠0 ，则x=b/a ；②若a=0 ，b=0 ，则x 可以取一切实数 ；③若a=0 ，b ≠0 ，则x 无解 。
3、一元二次方程的一般解法有：① 开平方 法，② 因式分解 法（主要指提取公因式、平方差公式、完全平方公式和十字相乘），③ 配方 法，④ 公式 法。
（当△ ＞0 时，有 两个不相等 的实数根，x=a acb b 242-±- ；当△ ＝0 时，有两个相等 的实数根，x= a b2- ；△ ＜0 时， 无 实数根）。
4、解含字母系数的方程“ax 2+bx+c=0”时，如果已指明 是一元二次 方程或明确有两个 实数根，则必有a ≠0 。
如果没有说明 是几次方程，则应对 a 进行讨论：①若a =0 ，则转化为解方程bx+c=0；②若a ≠0，则继续讨论判别式△ 的符号。
★特别地，对于方程（b 2+2）x 2=1，因二次项系数b 2+2具有非负性 时，所以不需要对系数进行讨论。
5、二项方程：形如ax n +b=0 （a ≠0，b ≠0，n 是正整数）只含两项的一元n 次方程，其中一项含未知数，另一项是非零的常数项 。
解法：①变形为x n =a b -，②当n 是奇数时，x=n 1b ）（a - ；当n 是偶数时，如果ab ＜0，则x=±n 1b ）（a -，如果ab ＞0，则方程没有实数根 。
6、双二次方程：形如ax 4+bx 2+c=0（a ≠0），只含有偶数次项的一元四次方程。
解方程的思想是降次 ，通常采用换元 法或因式分解 法。
比如：x 4-3x 2-10=0。
①换元法：设 x ²=y ，则 y 2-3y-10=0 ，解出y 之后 回代 到x ²=y 即可解出x 。
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点(答案解析)(1)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D 解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-C解析：C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．5．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠D 解析：D【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.【详解】是一元二次方程， 0k ∴≠．有两个不相等的实数根，则Δ0>，2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，解得1k >-．1k ∴>-且0k ≠．故选D【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.6．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-B ．1C ．17-D ．17B 解析：B【分析】根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441m n -+=-=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，34=-+，1=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．7．关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m≤14 B ．m≥14-且m≠2 C ．m≤14-且m≠﹣2 D ．m≥14-B 解析：B 【分析】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可．【详解】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m-2≠0,m≠2,△=9-4×(-1)×(m-2)≥0, m 1-4≥,关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，m的取值范围是m1-4≥且m≠2．故选：B．【点睛】本题考查关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根的问题，关键掌握方程的定义，二次项系数不为0，含x的最高次项的次数为2，而且是整式的方程，注意判别式使用条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．8．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；C．由x2﹣5＝0得x1=x2=，符合题意；D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（）A．2，8 B．3，4 C．4，3 D．4，8D解析：D【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到t+2＝6，2t＝c，然后先求出t，再计算c 的值．【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得t+2＝6，2t＝c，解得t＝4，c＝8．故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．10．已知方程2202030x x+-=的根分别为a和b，则代数式2a a2020ab++的值为（）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020A解析：A【分析】 将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．二、填空题11．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析：-1【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根，∴a 2-3a-5=0，∴a 2-3a=5，∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．方程2(3)30x x -+=的二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．该方程判别式的值为_________，由此可以判断它的根的情况为___________．2-6312有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式再计算出判别式的值根据结果判断根的情况【详解】解：化简可得：二次项系数为2一次项系数为-6常数项为3该方程判别式的值为由此可以判断它的根的解析：2 -6 3 12 有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式，再计算出判别式的值，根据结果判断根的情况．【详解】解：化简可得：22630x x -+=，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为3， 该方程判别式的值为()2642312--⨯⨯=，由此可以判断它的根的情况为：有两个不相等的实数根，故答案为：2；-6；3；12；有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握定义和根的判别式．13．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．14．写出有一个根为1的一元二次方程是______．（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考解析：20x x -=（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x -1的一元二次方程都有一个根是1．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，x x-=，如()10化为一般形式为：20-=x x故答案为：20-=．x x【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．15．一元二次方程x2-10x+25＝2（x﹣5）的解为____________．x1＝5x2＝7【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可；【详解】解：∵（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0∴（x﹣5）（x﹣7）＝0则x﹣5＝0或x﹣7＝0解得x1＝5x2＝7故答解析：x1＝5，x2＝7【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；【详解】解：∵（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，则x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得x1＝5，x2＝7，故答案为：x1＝5，x2＝7．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．16．对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两根记为m、n，则（m+2）（n+2）＝_____．-1【分析】根据新定义可得出mn为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m＋n＝−2mn＝−1变形（m＋2）（n ＋2）得到mn＋2（m＋n）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】解析：-1【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m＋n ＝−2、mn＝−1，变形（m＋2）（n＋2）得到mn＋2（m＋n）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5，∴m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 17．已知函数2y mx m m =++为正比例函数，则常数m 的值为______．-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解【详解】解：∵函数为正比例函数∴且解得：；故答案为-1【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程解析：-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解．【详解】解：∵函数2y mx m m =++为正比例函数，∴20m m +=，且0m ≠，解得：1m =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法，熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程的解法是解题的关键．18．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．10【分析】设这个百分率为x 然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解：设这个百分率为x 由题意得：300（1-x ）2=243解得x=10或x=190（舍）故答案为10【点睛】本题主要考查了一 解析：10%【分析】设这个百分率为x%，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可．【详解】解：设这个百分率为x%，由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．故答案为10%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键．19．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根．m ＜且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0解不等式组确定m 的取值范围【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相解析：m ＜920且m≠0． 【分析】 根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0，解不等式组，确定m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx 2-3x+5=0有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0，解得m ＜920且m≠0， 故当m ＜920且m≠0时，关于x 的一元二次方程mx 2-3x+5=0有两个不相等的实数根． 故答案是：m ＜920且m≠0． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____．【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题即【详解】解：∵x2+2x ﹣m2﹣m ＝0m ＝123…2020∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2α2β2＝﹣2×3；…α解析：40402021【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题，即+=-b c a aαβαβ=，． 【详解】解：∵x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0，m ＝1，2，3， (2020)∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2020+β2020＝﹣2，α2020β2021＝﹣2020×2021； ∴原式＝3320202020112211223320202020++++++++αβαβαβαβαβαβαβαβ 2222=++++12233420202021⨯⨯⨯⨯ 1111111=2(1)2233420202021⨯-+-+-++-1=2(1)2021⨯-4040=2021 故答案为：40402021． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题21．某校园有一块正方形的空地，若从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分为花带），横向花带宽为2m ，纵向花带宽为1m ，栽种鲜花后剩余空地面积为42m 2，求原正方形空地的边长．解析：原正方形空地的边长为8m ．【分析】观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，列方程解决问题．【详解】解：设正方形空地的边长为xm ，由题意得()()2142x x --=， 化简得23400x x --=，解得1285x x ==-，，因为0x ＞，故8x =，答：原正方形空地的边长为8m ．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积类问题，观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，由此列方程解决问题的思路是解题的关键．22．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23．解方程：（1）x 2+10x +9＝0；（2）x 2＝14．解析：（1）121,9x x =-=-；（2）12x x ==【分析】（1）运用因式分解法求解即可（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵x 2+10x +9＝0，∴（x +1）（x +9）＝0，则x +1＝0或x +9＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣9；（2）x 2＝14整理，得：x 2﹣14＝0， ∵a ＝1，b c ＝﹣14，∴△2﹣4×1×（﹣14）＝4＞0， 则x＝2b a-±， 即x 1，x 2【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 24．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（21+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（13=+3=； （2|11)=-1=12=+； （3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x +-=，移项得：2(1)9x +=，∴13x +=或13x +=-， 12x =，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．25．解方程：（1）23620x x -+=（2）222(3)9x x -=-解析：（1）13x =，233x =；（2）x=3或x=9． 【分析】 （1）根据公式法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【详解】解：（1）∵3x 2-6x+2=0，∴a=3，b=-6，c=2，∴△=36-24=12，∴x ==∴1x =2x = （2）∵2（x-3）2=x 2-9，∴2（x-3）2=（x-3）（x+3），∴（x-3）[（2（x-3）-（x+3）]=0，∴（x-3）（x-9）=0∴x-3=0，x-9=0∴x=3或x=9．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．26．手工课上，小明打算用一张周长为40cm 的长方形白纸做一张贺卡，白纸内的四周涂上宽为2cm 的彩色花边，小明想让中间白色部分的面积大于彩色花边的面积，但又不能确定能否办到．请同学们帮助小明判断他是否能办到，并说明理由．解析：不能办到，见解析【分析】设中间部分的面积为：S 求出S 与x 的关系式，即关于中间部分的面积公式，并求出该二次函数的最大值，即中间部分的最大值，与花边部分的面积相比较，若大于则能做到，小于则做不到．【详解】答：不能办到．理由：设纸的一边长为cm x则另一边为(20)cm x -．依题意得：彩色花边面积为：2222(204)64x x ⨯⨯+⨯⨯--=中间白色部分面积为：22(4)(16)2064(10)36S x x x x x =--=-+-=--+ 416x <<,当10x =时，白色部分面积最大为36．3664<，∴小明不能办到．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，即：花边部分的面积=总面积-中间部分的面积；已知花边部分的面积，而中间部分的面积又不定，只需求出中间部分面积的最值与其比较即可．27．解方程：22350x x --= （请用两种方法解方程） 解析：152x =，21x =- 【分析】采用公式法和因式分解法求解即可．【详解】解：方法1：∵a =2，b =-3，c =-5，∴2449b ac ∆=-=，∴34x ±=， ∴152x =，21x =-； 方法2：()()2510x x -+=∴ 152x =，21x =-． 【点睛】 本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键．28．（12． （2）解一元二次方程：x 2﹣4x ﹣5＝0．解析：（1）2；（2）125, 1.x x ==-【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）根据因式分解的方法解方程即可．【详解】解：（1|2|3+23＝2 （2）x 2﹣4x ﹣5＝0，（x ﹣5）（x +1）＝0，∴x ﹣5＝0或x +1＝0，∴x 1＝5，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的方法，属于基础题 。
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法探求点1 用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。
(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：①移项,使方程的左边为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。
如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。
典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x2=11x；(2)(x-2)2=2x-4.解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。
答案 (1)移项,得4x2-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,(x-2)2-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程全部重要知识点(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程全部重要知识点单选题1、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．2、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．3、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．4、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3(x −1)x =6210B ．3(x −1)=6210C ．(3x −1)x =6210D ．3x =6210 答案：A分析：设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210， 故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5、已知两个关于x 的一元二次方程M:ax 2+bx +c =0，N:cx 2+bx +a =0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误．．的是（ ） A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根 B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根 C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x =1 答案：D分析：利用根的判别式判断A ；利用根与系数的关系判断B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ． 解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根，那么△=b 2-4ac =0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 、若方程M 有一个正根和一个负根，那么△=b 2-4ac >0，c a<0，所以a 与c 符号相反，ac<0，所以方程N 也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；C 、如果5是方程M 的一个根，那么25a +5b +c =0，两边同时除以25，得125c +15b +a =0，所以15是方程N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，（a -c ）x 2=a -c ，由a ≠c ，得x 2=1，x =±1，结论错误，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．6、若x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，则2+8a−2b的值为（）A．0B．2C．4D．6答案：D分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程ax2−x−b=0得4a-b=2，再把2+8a−2b变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a−2b=2+2(4a−b)=2+2×2=2+4=6，故选：D．小提示：本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．7、直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（）.A．0个B．1个C．2个D．1个或2个答案：D分析：根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.∵直线y=x+a不经过第二象限，∴a≤0，∵方程ax2+2x+1=0，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=b2−4ac=4−4a，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D.小提示：此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.8、若直角三角形的两边长分别是方程x 2−7x +12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A ．6B ．12C ．12或3√72D ．6或3√72答案：D分析：根据题意，先将方程x 2−7x +12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 解方程x 2−7x +12=0得x 1=3，x 2=4当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为12×3×4=6；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为√42−32=√7，面积为12×√7×3=3√72； 则该直角三角形的面积是6或3√72， 故选：D ．小提示：本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．9、已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．2或4 答案：A分析：解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．解：x 2－6x+8=0 （x －4）（x －2）=0 解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．小提示：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．10、把一元二次方程(x+1)(x−1)=3x化成一般形式，正确的是（）A．x2−3x−1=0B．x2−3x+1=0C．x2+3x−1=0D．x2+3x+1=0答案：A分析：先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为x2−3x−1=0,从而可得答案．解：∵(x+1)(x−1)=3x，∴x2−1=3x,∴x2−3x−1=0,∴方程的一般形式为：x2−3x−1=0,故选A小提示：本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)”是解本题的关键．填空题11、若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．答案：21分析：先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．所以答案是：21．小提示：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b，ax1x2=c．a12、“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．答案：4分析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，由题意得1+x+x(1+x)=25解得x=4或−6（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人所以答案是：4．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13、观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．答案：不存在分析：首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是n(n+1)；最后根据图形中的2“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1×(1+1)2；n=2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，n=3时，“○”的个数是6=3×(3+1)2，n=4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2，……∴第n个“○”的个数是n(n+1)2，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022∴3n−n(n+1)2=2022①，n(n+1)2−3n=2022②解①得：无解解②得：n1=5+√162012,n2=5−√162012所以答案是：不存在小提示：本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．14、如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a与b数量关系是______．答案：b=√5+12a分析：根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ， 则a 2-b 2+ab =0， 方程两边同时除以b 2， 则(a b )2−1+ab =0， 解得：ab =−1±√52， ∵a b不能为负， ∴ab=−1+√52，∴b =√5+12a ， 所以答案是：b =√5+12a ． 小提示：此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题15、如果一元二次方程x 2+3x −2=0的两个根为x 1，x 2，则x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=______．答案：-4分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-3，x 1x 2=-2，根据一元二次方程根的意义得到x 12+3x 1−2，然后利用整体代入的方法计算，即可求得结果． 解：由题意得：x 1+x 2=−3 ， x 1x 2=−2，∴x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=x 1(x 12+3x 1−2)+2(x 1+x 2)−x 1x 2=0+2×(−3)+2 =-4．所以答案是：-4．小提示：本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系的公式和理解一元二次方程根的意义． 解答题16、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)(2√2−x)(2√2+x)=(3+x)2．答案：(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1分析：根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．小提示：本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17、已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=6，求m的值．答案：(1)见解析(2)3分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=2m即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）根据题意可知：Δ=(2m)2−4(m2−9)=36>0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）有题意得：x 1+x 2=2m∴x 1+x 2=2m =6，解得m =3小提示：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．18、综合与探究：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x 2+x =0的两个根是x 1=0，x 2=−1，则方程：x 2+x =0是“邻根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x 2+x −6=0； ②2x 2−2√5x +2=0．(2)已知关于x 的一元二次方程x 2−(m −2)x −2m =0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值．答案：(1)x2＋x −6＝0不是“邻根方程”；2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”(2)m ＝−1或−3分析：（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m 的方程，注意有两种情况．（1）解：①解方程得：(x +3)(x −2)=0，∴x 1=−3，x 2=2，∵2≠−3+1，∴x 2+x −6=0不是“邻根方程”；②x =2√5±√20−164=2√5±24=√5±12， ∴x 1=√5+12，x 2=√5−12， ∵ √5+12−√5−12=1，∴2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”；（2）解：x2−(m−2)x−2m=0(x−m)(x+2)=0，∴x1=m，x2=−2，∵方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数）是“邻根方程”，∴m=−2+1或m=−2−1，∴m=−1或−3.小提示：本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题
人教,版,九年级,上册,数学,第,21章,一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
【初中数学九年级上册人教版 第21章 一元二次方程说课稿】 直接开平方法解一元二次方程说课稿
《直接开平方法解一元二次方程》说课稿今天我说课的课题是《直接开平方法方法解一元二次方程》。
内容选自人教版教科书，数学九年级上册第22章一元一次方程第2节。
下面我从教材分析、教学目标的确定，教学重、难点的分析，教法、学法，教学过程几个方面对本节课的教学进行一个说明。
一、教材分析：一元二次方程的解法是本章的重点内容，直接开平方法一元二次方程解法的起始课，直接接开平方法是解一元二次方程的基础方法。
它的推导建立在平方根意义和开方运算的基础上，首先它配方法的基础，其次再求二次函数与X轴交点等问题中都必须用一元二次方程的解法。
同时，这一届教材的编写中突出体现了化归、类比等重要的数学思想方法。
因此这一届不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
为此，根据课标要求和学生实际情况，制定了如下的教学目标：二、教学目标：1．知识与技能（1）会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．（2）能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．2．过程与方法通过实例，使学生体会一元二次方程应用价值并意识到解一元二次方程的重要性，理解直接开平方法的数学依据，并能应用直接开平方法．让学生经历由简到繁过程，体验类比、化归、降次的数学思想方法，培养学生观察、分析、计算等思维能力及应用意识．3．情感态度与价值观通过学生对具体问题的思考、讨论、交流，最终得出结论的过程，培养学生的进取精神，让学生养成科学严谨的治学态度和应用所学知识解决问题的习惯．三、教学重点与教学难点的分析本节课是一元二次方程解法的起始课，教学重点是用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程。
难点是不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化归”的转化方法与技巧．四、教法学法分析：1、教法：本节课采用启发式和自主探究式与交流讨论相结合的教学方式。
在教学中以启发学生进行探究的形式展开，利用已有的知识，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位。
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总1. 一元二次方程的定义及一般形式：(1) 等号两边都是整式， 只含有一个未知数(一元) ， 并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如 (x+a )²=b(b≥0) 的方程可以用直接开平方法解， 两边直接开平方得 x +a =√b 或者 x +a =−√b,∴x =−a ±√b 。
注意：若b<0， 方程无解(2) 因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边， 使方程右边为0：②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零， 得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程， 他们的解就是原方程的解。
(3) 配方法:用配方法解一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意： 当n<0时， 方程无解(4) 公式法:一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 根的判别式： △=b²-4ac△>0⇔方程有两个不相等的实根： x =−b±√b 2−4ac 2a (b 2−4ac ≥0)f (x )的图像与x 轴有两个交点 (2) 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x+m)²=n(n≥0)的形式；。
人教版九年级上册数学第21章 一元二次方程 认识一元二次方程
知4ห้องสมุดไป่ตู้练
x 在油画四周外围镶上宽度 90 为x cm的边框，则整个挂 图的长与宽各增加了4多0 少？
本题涉及两个基本量： 油画的面积与整个挂 图的面积．
40+2x
利用长方形的面积公
9式0+和2x油画面积与整个 挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54列%方＝程90×40.
感悟新知
总结
知1－讲
的底面积为3600cm2，得
(100－2x)(50－2x)＝3600. 整理，得4x2－300x＋1400=0 化简，得x2－75x＋350=0 解上面方程即可得出所切正方形
化简后的方程中 未知数的个数和
最高次数各是 多少？
的具体尺寸.
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问题（二）
知1－讲
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要 比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个 队参赛?
知识点 4 一元二次方程的解(根)
一元二次方程的模型：
知4－讲
一元二次方程是刻画现 实世界的一个有效数学 模型，它是把实际问题 中语言叙述的数量关系 通过设未知数用一元二 次方程来表达．
常用于一元二次方程 来建模的问题有：
• 圆形的面积 • 增长(利润)率 • 行程问题 • 工程问题等
感悟新知
建立一元二次方程模型的一般步骤：
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
问题（一） 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个
角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就
能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是
3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?
人教版数学九年级上册第二十一章一元一次方程 测试题含答案
人教版数学九年级上册第二十一章测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题3分，共21分）1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.ax 2+bx +c =0B.211x x=2 C.x 2+2x =y 2－1 D.3(x +1)2=2(x +1)2.若一元二次方程ax 2+bx +c =0有一根为0，则下列结论正确的是（ ）A.a =0B.b =0C.c =0D.c ≠03.一元二次方程x 2－2x －1=0的根的情况为（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.方程x 2+6x =5的左边配成完全平方式后所得方程为（ ）A.(x +3)2=14B.(x －3)2=14C.(x +6)2=12D.以上答案都不对5.已知x =2是关于x 的方程32x 2－2a =0的一个根，则2a －1的值是（ ） A.3 B.4 C.5 D.66.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3亿元，预计2014年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．3（1+x )2=5B ．3x 2=5 C. 3(1+x ％)2=5 D. 3(1+x ) +3(1+x )2=57.使代数式x 2－6x －3的值最小的x 的取值是（ ）A.0B.－3C.3D.－9二、填空题（每题3分，共18分）8.已知x =1是一元二次方程x 2+mx +n =0的一个根，则m 2+2mn +n 2的值为________．9.如果方程ax 2+2x +1=0有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是____________.10.已知α、β是一元二次方程x 2－4x －3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）=________．11.在一幅长50 cm ，宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图1所示，如果要使整个挂图的面积是1 800 cm 2,设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为________________.图112．已知x 是一元二次方程x 2+3x －1=0的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为________． 13.三角形的每条边的长都是方程x 2－6x +8=0的根，则三角形的周长是_______________.三、解答题（14、19题每题12分，15题8分，16题9分，其余每题10分，共61分）14.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0; ②(x －1)2=3； ③x 2－3x =0;④x 2－2x =4．15.已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程11xx+-=3的解相同.（1）求k的值；（2）求方程x2＋kx－2＝0的另一个解.16.关于x的一元二次方程x2－3x－k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．17.〈绍兴〉某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？18.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：设当单价从38元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克.（1）根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法，猜测并求出y与x的函数解析式；（2）如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元/千克？（利润=销售总金额－成本）19.如图2，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动.（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？图2 （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？参考答案及点拨一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A 7.C二、8.1 9.a ＜1且a ≠0 10.－6 11.x 2+40x －75=0 12.13 13.6或10或12三、14. 解：①x 1,2x 1,2=1x 1=0，x 2=3；④x 1,2=1点拨:①可选择公式法,②选择直接开平方法,③选择因式分解法,④选择配方法;任选一题即可.15. 解：（1）k =－1. (2)方程的另一个解为x =－1.16. 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k )＞0．即4k >－9，解得，k >－94． （2）若k 是负整数，则k 只能为－1或－2．如果k ＝－1，原方程为x 2－3x +1=0．解得x 1=32+，x 2=32-． 点拨:(2)题答案不唯一.17. 解：（1）∵30 000÷5 000＝6,∴能租出24间.（2）设每间商铺的年租金增加x 万元,则(30－0.5x )×（10＋x ）－(30－0.5x )×1－0.5x ×0.5＝275， 整理得2 x 2－11x ＋5＝0，∴ x ＝5或x ＝0.5，∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.18. 解：在直角坐标系中描点、连线略.易知y 与x 满足一次函数关系.（1）设y 与x 之间的函数解析式是y =kx +b （k ≠0）．根据题意，得20k +b =86,35k +b =56.解得k =－2,b =126.所以，所求的函数解析式是y =－2x +126．（2）设这一天的销售价为x 元／千克．根据题意，得(x －20)(－2x +126)=780．整理后，得x 2－83x +1 650=0． 解得x 1=33，x 2=50．答：这一天的销售价应为33元/千克或50元/千克．19. 解：（1）如答图1，设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2,得AP=3x cm,CQ=2x cm,所以PB=16－3x(cm).因为(PB+CQ)×BC×12=33，所以（16－3x+2x）×6×12=33，解得x=5，所以P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2.答图1（2）设P、Q两点从出发开始到y秒时，点P和点Q间的距离是10 cm.如答图1,过点Q作QE⊥AB于E，得EB=QC=2y cm，EQ=BC=6 cm，所以PE=PB－BE=PB －QC=16－3y－2y=16－5y(cm),在直角三角形PEQ中，PE2+EQ2=PQ2,得(16－5y)2+62=102，即25y2－160y+192=0，解得y1=85,y2=245,经检验均符合题意.所以P、Q两点从出发开始到85秒或245秒时，点P和点Q间的距离是10 cm.。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C．5000（1﹣x）2＝6050 D．5000（1+x）2＝6050D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝6050．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7B解析：B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．5．若关于x的一元二次方程260-+=有两个相等的实数根，则常数c的值为（）x x cA．3B．6C．8D．9D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．6．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==A 解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．方程23x x =的解为（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x 2-3x=0，分解因式得：x （x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x 1=3，x 2=0．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．【详解】解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．∵k 2≥0，∴k 2+8＞0，即△＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．9．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两不等实数根C ．有两相等实数根D ．无法确定B解析：B【分析】 根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【详解】在方程()21210--+=k x kx 中， ∵1a k =-，2b k =-，1c =，∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0C 解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题11．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解：将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项解析：-4【分析】根据方程根的定义，把0x =代入原方程，求出m 的值．【详解】解：将0x =代入原方程，得2340m m +-=，解得14m =-，21m =，∵该方程是一元二次方程，∴10m -≠，即1m ≠，∴4m =-．故答案是：4-．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程，需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．14．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的解析：-1【分析】根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根，∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根α，β，∴α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m 2-m ）=12，即m 2-3m-4=0，解得：m=-1或m=4（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m 的一元二次方程．15．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114x =，22x =- 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．【详解】解：()422x x x +=+ ()()4220x x x +-+=()()4120x x -+=114x =，22x =-． 故答案是：114x =，22x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．16．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次解析：0【分析】先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的方程2x m=有两个相等的实数根，∴关于x的方程20x m-=有两个相等的实数根，∴△=02-4m=0，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．10【分析】设共有x个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x个队参加比赛根据题意得：2×x（x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×12x（x-1）=90，整理得：x2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______54（1-x）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x）2=42故答案为：54（1-x）2=42【点睛】本题考查解析：5.4（1-x）2=4.2【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x）2倍，列出方程即可．【详解】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2故答案为：5.4（1-x）2=4.2【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．19．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=，∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题21．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？解析：（1）2或4；（2）2；（3）1082-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =， 由题意得：()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC Scm =． （2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得：()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？解析：（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价10%3a，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a的值．解析：（1）至少卖出仙女山红茶800盒；（2）a的值为5．【分析】（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；（2）根据（1）的结果得出桃片糕最多卖出的盒数，根据题意得出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得：50x+12（2000-x）≥54400，解得：x≥800，∴x的最小值是800，∴至少卖出仙女山红茶800盒；（2）∵（1）中最少卖出仙女山红茶800盒，∴桃片糕最多卖出的盒数为：2000-800=1200（盒）．由题意得：12×（110%3a）×1200×（1+6a%）+50（1-4a%）×800×（1+4a%）=54400-80a，解得：a1=0（舍去），a2=5．∴a的值为5．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，∴m2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S1与S2的大小关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）S1＞S2，见解析【分析】（1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a﹣3）2﹣1，可判断其值为负数；（2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．25．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 解析：每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．26．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（21+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（133=+3=； （2|11)=-1=12=+； （3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x +-=，移项得：2(1)9x +=，∴13x +=或13x +=-，12x =，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．27．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x解析：（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1）2210x x ++=，2(1)0x +=，解得121x x ==-；（2）233x x ，2330x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，30x -=或40x -=，3x =或4x =，即123,4x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．28．某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包，每个进价50元．调查发现，当销售价为80元时，每季度可售出500个；如果售价每降低1元，那么平均每季度可多售出40个．（1）当降价2元时，平均每季度销售书包_____个．（2）某文具商要想平均每季度赢利18000元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？ 解析：（1）580；（2）70元．【分析】（1）根据降价后销量＝降价前销量＋增加的销量可求得结果；（2）设定价x 元，根据每季度的总利润＝每个玩具利润×降价后每天的销售数量列出方程，解方程可求得定价．【详解】（1）500240580+⨯=（个）．故答案为：580．（2）设定价x 元，根据题意得：(50)[50040(80)]18000x x -+-=，解得：1272.5,70x x ==，∵尽可能让利与顾客，70x ∴=．答：应该定价70元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目隐含的等量关系是解决问题的关键．。
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.4因式分解法解方程(同步课本图文结合详解)
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
九年级数学上册第21章一元二次方程
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0 ∴x1= -5,x2=5.
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程; (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”， 鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
九年级数学上册第21章一元二次方程
跟踪训练
1.你能用分解因式法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
(2)(x+1)2-25=0.
【解析】(x+2)(x-2)=0, 【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
4. (4x 2)2 x(2x 1)
5. 3x(x 2) 5(x 2)
3.x1 3; x2 2.
4.x11 2;x2
4. 7
5
5.x1
2; x2
. 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
3.观察下列各式,也许你能发现些什么?
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
那么a 0或b 0
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)公式法教案
21.2解一元二次方程21.2.2公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274xx -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=±，112x =+212x =-2.用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3）学生口答：化：把原方程化成x 2＋px＋q =0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.x 2＋px＋(2p )2=－q＋(2p )2开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.(x+2p )2=－q＋(2p )2求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知探究一公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5）学生答：ax 2＋bx＋c=0(a≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c.二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a .配方，得x 2+b a x+2(2b a =-c a +2()2ba ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a 当240,-b a c≥.22b x a a +=±x 1=-b+b 2-4ac 2a ，x 2=-b-b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac≥0时，将a，b，c 代入式子x=42b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0;（出示课件9）学生思考后，共同解答如下：解：∵a=1，b=-4，c=-7,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.4.2=x∴12=+x 22=x (2)2x 2x+1=0;（出示课件10）教师问：这里的a、b、c 的值分别是什么？解：2,21.==-=a bc 224(24210.△=-=--⨯⨯=ba c则方程有两个相等的实数根：12.2222-==-=-=⨯b x x a （3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --=1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根(4)46.22510-±--±±===⨯b x a 12464611,.10105+-====-x x （4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=acb△方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根;⑶当∆=b 2-4ac＜0时，一元二次方程没有的实数根.教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？学生思考后，共同总结如下：（出示课件14）用公式法解一元二次方程的一般步骤：1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.2.求出∆的值.3.(1)当∆>0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答.解：a=3,b=-6,c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.6.23±=⨯x 13,3+=x 2.3=x 探究二一元二次方程的根的情况出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x－1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x 2＋2x－8=0；⑵x 2=4x－4；⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解.师生共同总结如下：（出示课件18）一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac＞0时，有两个不等的实数根：12,;22b b x x a a-+--==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a-==（3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x²-2mx+4（m-1）=0.师生共同讨论解答如下：解：⑴a＝﹣1，b＝，c＝﹣6,∵△=b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0.∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3，c＝1,∵△=b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）,∵△=b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D⑵D出示课件23：例2m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程：解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0，∴m＞9 8-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=9 8-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0,∴m＜9 8-.∴当m＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b2−4ac=[−(m−1)]2−4[−3(m+3)]=m2+10m+37=m2+10m+52−52+37=(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0,∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12.解方程x 2﹣2x﹣1=0．3.方程x 2－4x＋4＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k 的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠05.已知x 2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案：1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b 2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，4222x 122b a -±±===±1211x x =+=-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x 2＋mx＝1-2m ，即2210x mx m ++-=.，∵，∴△>0.∴x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。
九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点复习(1)
一、选择题1．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ）A ．()215x -=B ．()217x -=C ．()214x -=D ．()215x +=A 解析：A【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：∵x 2﹣2x ﹣4＝0，∴x 2﹣2x ＝4，∴x 2﹣2x +1＝4+1，∴（x ﹣1）2＝5．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 2．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）A ．512B ．512C 53+D 21B 解析：B【分析】根据上图可知正方形的边长为a+b ，下图长方形的长为a+b+b ，宽为b ，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b ）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．【详解】解：根据题意得：正方形的边长为a+b ，长方形的长为a+b+b ，宽为b ，则（a+b ）2=b(a+b+b)，即a 2﹣b 2+ab=0， ∴2)10a a b b +-=（， 解得：15a b -±=，∵a b ＞0，∴12a b -+=，∴当a=1时，b ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．3．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．3D解析：D【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．【详解】解：由题意得21112210,2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．4．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．210x +=B ．220x -=C ．21x y +=D ．211x x+=B 解析：B【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【详解】解：A.210x +=，是一元一次方程，故本选项不符合题意．B.220x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意．C.21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意．D.211x x+=，该方程分式方程，故本选项不符合题意． 故选B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．5．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ）A ．21(3)3x -=B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=x D ．2(31)1x -=C 解析：C【分析】先移项得到2362x x -=-，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到()2113x -=． 【详解】移项得：2362x x -=-，二次系数化为1得：2223x x -=-， 方程两边加上1得：222113x x -+=-+， 所以()2113x -=． 故选：C ．【点睛】 本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-D 解析：D【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=，前式减后式，可得0b =，前式加后式，可得4c a =-，将a 、c 代入原方程计算求出方程的根．【详解】∵根据题意可得：420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②， ①－②＝40b =，得0b =，①＋②＝820a c +=，∴解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得，∵240ax bx a +-=，240ax a -=24ax a =∴2x =±故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．7．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．14mC ．14m <D ．14m >B 解析：B【分析】 由方程有实数根即△＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得．【详解】解：根据题意得，△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0，解得：14m， 故选：B ．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 8．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x +=D 解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．9．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ）A ．2，8B ．3，4C ．4，3D ．4，8D解析：D【分析】 设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到t +2＝6，2t ＝c ，然后先求出t ，再计算c 的值．【详解】解：设方程的另一个根为t ，根据题意得t +2＝6，2t ＝c ，解得t ＝4，c ＝8．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 10．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根B 解析：B【分析】求出根的判别式，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵△＝b 2﹣4ac ＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题11．已知12,x x 是一元二次方程21402x mx m -+-=的两个实数根且12111x x +=，则m 的值为______．-8【分析】先利用根与系数的关系得到再把变形为从而代入得到方程解之即可【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根∴∵∴即解得：m=-8故答案为：-8【点睛】本题考查了根与系数的关系根据根与系数的关系找 解析：-8【分析】先利用根与系数的关系得到12x x m +=，12142x x m ⋅=-，再把12111x x +=变形为1212x x x x +=，从而代入得到方程，解之即可．【详解】解：∵12,x x 是一元二次方程21402x mx m -+-=的两个实数根， ∴12x x m +=，12142x x m ⋅=-， ∵12111x x +=， ∴1212x x x x +=，即142m m =-， 解得：m=-8，故答案为：-8．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出12x x m +=，12142x x m ⋅=-是解题的关键．12．对于实数m ，n ，定义一种运算“*”为：*m n mn n =+．如果关于x 的方程()**1x a x 4=-有两个相等的实数根，则a =_______．0【分析】由于定义一种运算*为：m*n=mn+n 所以关于x 的方程x*（a*x ）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关解析：0【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n ，所以关于x 的方程x*（a*x ）=14-变为（a+1）x 2+（a+1）x+14=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a 的关系式，即可解决问题．【详解】解：由x*（a*x ）=14-得（a+1）x 2+（a+1）x+14=0， 依题意有a+1≠0，△=（a+1）2-（a+1）=0，解得，a=0，或a=-1（舍去）．故答案为：0．【点睛】此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x 的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．13．已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1，则方程的另一个根为________．3【分析】先将x=1代入求得m 的值然后解一元二次方程即可求出另一根【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1∴1+m+3=0即m=-4∴（x-1）（x-3）=0x-1=0x-3=0∴x=1或x=3即该方解析：3【分析】先将x=1代入求得m 的值，然后解一元二次方程即可求出另一根．【详解】解：∵一元二次方程230x mx +=+的一个根为1∴1+m+3=0，即m=-4∴2430x x -+=（x-1）（x-3）=0x-1=0，x-3=0∴x=1或x=3，即该方程的另一根为3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1求得m 的值成为解答本题的关键．14．一元二次方程（x +2）（x ﹣3）＝0的解是：_____．x1＝﹣2x2＝3【分析】利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x ﹣3＝0然后解两个一次方程即可【详解】（x+2）（x ﹣3）＝0x+2＝0或x ﹣3＝0所以x1＝﹣2x2＝3故答案为x1＝﹣2x2＝3解析：x 1＝﹣2，x 2＝3【分析】利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x ﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．【详解】（x +2）（x ﹣3）＝0，x +2＝0或x ﹣3＝0，所以x 1＝﹣2，x 2＝3．故答案为x 1＝﹣2，x 2＝3．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．15．某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．3【分析】设共有个班级参加比赛根据共有45场比赛列出方程求出方程的解即可得到结果【详解】解：设共有个班级参加比赛根据题意得：整理得：即解得：或（舍去）则共有3个班级球队参加比赛故答案为：3【点睛】此解析：3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛， 根据题意得：(1)62x x -=， 整理得：260x x --=，即(3)(2)0x x -+=， 解得：3x =或2x =-（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”． 16．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根，∴a+b=1，ab=-1， ∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.17．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____．﹣2【分析】直接根据根与系数的关系求解即【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2+2x ﹣7＝0的两个根∴m+n ＝﹣2故答案为﹣2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系是重要考点难度较易掌握相关知识是解析：﹣2．【分析】 直接根据根与系数的关系求解，即b m n a +=-． 【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，∴m+n ＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．或【分析】等腰三角形ABC 中边可能是腰也可能是底应分两种情况进行讨论分别利用根与系数的关系三角形三边关系定理求得方程的两个根进而求得答案【详解】解：∵关于x 的方程∴∴∵是等腰三角形的长是关于x 的方程解析：25或16【分析】等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．【详解】解：∵关于x 的方程2100x x m -+=∴1a =，10b =-，c m = ∴1210b x x a +=-=，12c x x m a == ∵ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根 ∴①当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC =即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；②当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．∴综上所述，m 的值为25或16．故答案是：25或16【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析：2021【分析】把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得a 2+a+1=0，解得a 2+a=-1，所以2020-a 2-a=2020+1=2021．故答案是：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．20．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab ++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根，32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-． 故答案为：3．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 三、解答题21．在国家的调控下．某市商品房成交价由今年8月份的50000元2/m 下降到10月份的40500元2/m ．（1）同8～9两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/2m ？请说明理由．解析：（1）8、9两月平均每月降价的百分率是10%；（2）12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m ，见解析【分析】（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x ，那么9月份的房价为50000（1-x ），10月份的房价为50000（1-x ）2，然后根据10月份的40500元/m 2即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/m 2进行比较即可作出判断．【详解】解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x ，根据题意得：()250000140500x -=解得：1210% 1.9x x ==，（不合题意，舍去）答：8、9两月平均每月降价的百分率是10%（2）不会跌破30000元2/m ． ()22405001405000.93280530000x -=⨯=>∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．22．解方程：2420x x ++=．解析：12x =-22x =-【分析】方程利用配方法求出解即可．【详解】∵2420x x ++=，∴242x x +=-，∴24424x x ++=-+，∴()222x +=， ∴2x =-±∴12x =-22x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 23．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0．（1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根，求m 的值．解析：（1）k≤1；（2）2【分析】（1）结合题意，根据判别式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，可得k 的值，从而计算得方程x 2-2x+k=0的根，并代入到()21370m x mx ---=，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案．【详解】（1）由题意知：44k ∆=-且0∆≥即：4-4k≥0∴k≤1（2）k≤1时，k 取最大整数1当k=1时，221x x -+的解为：121x x ==根据题意，1x =是方程()21370m x mx ---=的一个根 ∴()()()2113170m m -⨯--⨯--= ∴m=2．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元一次方程的性质，从而完成求解．24．解答下列各题．（1）解方程：2(1)90x --=．（2）已知1x =，求225x x -+的值．解析：（1）14x =，22x =-；（2）6．【分析】（1）方程整理后，直接开平方即可求解；（2）代数式225x x -+配方整理成()214x -+后，把x 的值代入计算即可．【详解】（1）由原方程得2(1)9x -=， ∴13x -=±，解得：14x =，22x =-；（2）∵2225(1)4x x x -+=-+，将1x =代入得：原式)2114=-+ 24=+6=．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法以及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．解下列方程：（1）2320x x +-=（2）()220x x x -+-=解析：（1）1x =，2x =2）11x =-，22x =【分析】（1）直接应用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【详解】解：（1）2320x x +-=1,2x ==∴1x =，2x （2）()220x x x -+-=因式分解可得：()()120x x +-=，即10x +=或20x -=，解得11x =-，22x =．【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．26．用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2800cm 时，该盒子的高． 解析：（1）18000cm 3；（2）15cm【分析】（1）根据图中给出的信息，设四个相同的小正方形边长为x ，先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据底面积=900即可得到方程，求解即可；（2）该盒子的高为y ，根据底面积为800列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设四个相同的小正方形边长为x ，由题意可得：（70-2x ）2=900，解得：x 1=20，x 2=50（舍），∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3；（2）设该盒子的高为y ， 根据题意得：()7027028002y y -⨯-=， 解得：y 1=15，y 2=55（舍）， 因此当底面积是800平方厘米时，盒子的高是15厘米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答．27．阅读下列材料，解答问题．222(25)(37)(52)x x x -++=+．解：设25,37m x n x =-=+，则52m n x +=+， 原方程可化为222()m n m n +=+，0mn ，即(25)(37)0x x -+=．250x ∴-=或370x +=，解得1257,23x x ==-． 请利用上述方法解方程：222(45)(32)(3)x x x -+-=-．解析：x 1=54，x 2=23【分析】 设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，代入后求出mn ＝0，即可得出（4x -5）（3x -2）＝0，求出即可．【详解】解：（4x -5）2+（3x -2）2＝（x -3）2，设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，原方程化为：m 2+n 2＝（m -n ）2，整理得：mn ＝0，即（4x -5）（3x -2）＝0，∴4x -5＝0，3x -2＝0，∴x 1=54，x 2=23． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x -5）（3x -2）＝0是解此题的关键．28．解下列方程（1）2280x x +-=；（2）（2y ＋1）2－25＝0；（3）24430t t --=；（4）2（m ＋3）＝m 2－9 ．解析：（1）x 1＝－4，x 2＝2；（2）y 1＝2，y 2＝－3；（3）t 1＝32，t 2＝12-；（4）m 1＝－3，m 2＝5【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）可以变形为：（2y ＋1）2＝25，直接开方求解（3）常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解；（4）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答．【详解】（1）x 2+2x -8＝0，（x +4）（x -2）＝0，则x +4＝0或x -2＝0，解得x ＝-4或x ＝2(2) （2y ＋1）2－25＝0；(2y+1)2=25，∴2y+1=±5，∴y1=2,y2=-3；(3)24430t t--=；4t2−4t=3，4t2−4t+1=3+1，(2t−1)2=4，∴2t−1=±2，∴t1=32 ,t2=12-（4）2（m＋3）＝m2－92（m＋3）-（m＋3）（m-3）＝0（m＋3）(2-m+3)=0∴m+3=0或5−m=0，∴m1=-3,m2=5．【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则．。
第1节 一元整式方程
第21章 第一节《整式方程》学习目标知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式；经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法；通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.知识概要1.一元整式方程的概念在方程①：12ax =(a 是正整数)和②：)0(22>=b s bx 中，x 是未知数：字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数。
方程①是含字母系数的一元一次方程，方程②是含字母系数的一元二次方程。
一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程． 一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数)，这个方程叫做一元n 次方程． 一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程．评析：解含字母系数的一元整式方程时，需要对字母系数的取值情况进行分类讨论。
2.特殊的高次方程的解法(1)二项方程定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．一般形式为：0=+b ax n(0,0≠≠b a ,n 是正整数) 解法：将0=+b ax n 变形为 a b x n -=，再求a b -的n 次方根，如果ab -存在n 次方根，可以利用计算器算出这个方程的根或近似根。
根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根.(2)双二次方程定义：一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。