【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修一《实际问题的函数建模》强化训练及解析

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北师大版高中数学必修一课后训练4.2实际问题的函数建模.docx

课后训练基础巩固1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图像大致为( )．2．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )．x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )＝20＋2x ＋212x (万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )．A ．18件B ．36件C ．22件D ．9件4．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )．A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副5．在国内投寄信，每封信不超过20克重付邮资80分，每封信超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示成为信重x (0＜x ≤40)克的函数，其表达式为f (x )＝________.6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R a A = (a 为常数)，广告效应为D a A A =-.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．能力提升8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝21400,0400,280000,400,x x xx⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩其中x是仪器的月产量．(1)将利润y(元)表示为月产量x(台)的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)9．某城市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲俱乐部每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)．(2)问：小张选择哪家俱乐部比较合算？为什么？参考答案1．D 点拨：设原来的荒漠化土地面积为a ，则ay ＝a (1＋10.4%)x ，即y ＝1.104x (x ≥0)．2．A 点拨：作散点图可知，由题中数据确定的点近似分布在一条直线上，故选A.3．A 点拨：y ＝20x －c (x )＝20x －20－2x －12x 2＝－12x 2＋18x －20. ∴x ＝18时，y 有最大值．4．D 点拨：要使该厂不亏本，需日出厂总价不小于日生产总成本．设日产手套x 副，则10x －y ≥0，即10x －(5x ＋4 000)≥0，解得x ≥800，所以，日产手套至少为800副．5．(](]800,2016020,40x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩，，，点拨：根据题意知当每封信重x (克)时满足：(1)0＜x ≤20时，应付邮资f (x )＝80(分)；(2)20＜x ≤40时，应付邮资f (x )＝160(分)．∴所求函数应分段定义，即f (x )＝(](]800,2016020,40.x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩，，， 6．214a 点拨：令t A =(t ＞0)，则A ＝t 2. ∴D ＝at －t 2＝221124t a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. ∴当12t a =，即214A a =时，D 取最大值． 7．(1)110110,0,1011,1610t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)0.6点拨：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，则设函数为y ＝kt (k ＞0)，将点(0.1,1)代入y ＝kx ，可得k ＝10，所以y ＝10t ；又因为药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将点(0.1,1)代入116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得a＝0.1，故所求的函数关系式为11010,00.1,1,0.116t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩) (2)由11102110.251616t -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得t ＝0.6，即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．8．解：(1)由题设，总成本为20 000＋100x ，则2130020000,0400,260000100,400.x x x y x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩(2)当0≤x ≤400时，y ＝12-(x －300)2＋25 000，当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，则y ＜60 000－100×400＝20 000＜25 000.所以，当x ＝300时，有最大利润25 000元．9．解：(1)由题意得f (x )＝5x (15≤x ≤40)，若在乙俱乐部租一张球台开展活动，当15≤x ≤30时，g (x )＝90；当30＜x ≤40时，g (x )＝90＋2(x －30)＝2x ＋30，∴g (x )＝90,1530230,3040.x x x ≤≤⎧⎨+<≤⎩， (2)由f (x )＝g (x )，得1530590x x ≤≤⎧⎨=⎩，或30405230x x x <≤⎧⎨=+⎩，，即x ＝18或x ＝10(舍去)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0，∴f (x )＜g (x )，则此时选甲俱乐部；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，则此时可以选甲俱乐部也可以选乙俱乐部；当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0，∴f (x )＞g (x )，则此时选乙俱乐部；当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0，∴f (x )＞g (x )，则此时选乙俱乐部．综上所述：当15≤x ＜18时，选甲俱乐部；当x ＝18时，可以选甲俱乐部也可以选乙俱乐部；当18＜x ≤40时，选乙俱乐部．。

北师大版高中数学必修1第四章《实际问题的函数建模》参考课件

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
• （1）认真审题：弄清题意，分清条件与结论，抓住关键词语和量，理顺数量关系；
• （2）建立函数模型：在理解题意的基础上，通过列表、画图、引入变量等手段把实际问题转化为数学问题，把文字语言转化为数学符号语言，建立符合题意的函数模型；
• （3）求解函数模型得出结论；
1．可用一、二次函数模型解决的实际问题
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公司要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地面PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF 地区内有文物，不得使用三角形AEF内的部分，这可给公司经理犯难了，设计不好会给公司带来损失的，其实，在经理为难之际，小王早已经想好了对策！你知道小王是怎样设计才能使建造住宅小区的面积达到最大的吗？已测量出AB长为200米，BC长为160米，AE长为60米， AF长为40米。
• 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
• 设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为y元，写出 y关于X的函数解析式；
• 当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？
例3.《中华人民国和国个所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过起征点的部分不必纳税，超过起征点的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：

【配套K12】2018北师大版高中数学必修一学案：第四章 2 实际问题的函数建模

学习目标 1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．知识点一实际问题的函数刻画思考世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题思考函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？梳理用函数模型解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：知识点三数据拟合思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？梳理数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．(2)数据拟合的步骤：①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验．类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1非分段函数模型例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝15x，Q2＝35x.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？命题角度2分段函数模型例3某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？反思与感悟自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．202．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．y ＝0.957 6x100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝(0.957 6100)xD ．y ＝1－0.042 4x1004．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋25．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋b解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．答案精析问题导学知识点一思考先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．知识点二思考先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决．知识点三思考函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合．题型探究例1 解因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)．跟踪训练1 2 6解析以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽26米．例2 解设可获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．跟踪训练2 解设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元．所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．例3 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元．当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113，所以当x ＝11时，y max ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．跟踪训练3 解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图像过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12，所以f (x )＝－12(x －10)2＋80. 当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90.故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62，解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．当堂训练1．C 2.A 3.A 4.D 5.B。

高中数学-2018年北师大版高中数学必修一4.2《实际问题的函数建模》word同步试卷最新

4-2 实际问题的函数建模基础巩固一、选择题1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋12x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为() A．18件B．36件C．22件D．9件[答案] A[解析]y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－12x2＝－12x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．2．下图A表示某年12个月中每月的平均气温，一般地，家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系．图B表示某家庭在此年12个月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是()A．气温最高时，用电量最多B．气温最低时，用电量最少C．当气温大于某一值时，用电量随气温增加而增加D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加[答案] C[解析]逐月分析图像的升降趋势和变化率，排除干扰选项便能确定答案．比较两图可以发现，2月份用电量最多，而2月份气温不是最高，因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降，但用电量有增有减，排除D.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C正确．故选C.3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为()[答案] D[解析]设原来的荒漠化土地面积为a，则ay＝a(1＋10.4%)x，即y＝1.104x(x≥0)．4．2002年3月5日，第九届全国人民代表大会第五次会议《政府工作报告》指出：2001年，国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.如果“十五”期间(2001年～2005年)每年我国生产总值按此年增长，那么到“十五”末我国国内生产总值约为() A．115000亿元B．120000亿元C．127000亿元D．135000亿元[答案] C[解析]由于2001年生产总值已达95933亿元，则从2001年底到2005年底中时间只有4年，故x＝4.则y＝95933×(1＋7.3%)4≈127000亿元．5．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为()A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4B．y＝8×1.1x＋2.4xC．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4[答案] A[解析]第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，第二年应付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)×1.1x＋2.4.6．(2012·西宁高一检测)据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2012年有湖水量为m，从2012年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为()A．y＝0.9x50B．y＝(1－0.1x50)mC．y＝0.9x50·m D．y＝(1－0.150x)m [答案] C[解析]湖水剩余量y与年数x构成指数函数关系，y＝0.9x50m.二、填空题7．为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下表及图提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒________万个．[答案]85[解析]结合题中两个图表可得：2005年消耗纸质饭盒总数＝1×30＝30(万个)；2006年消耗纸质饭盒总数＝2×45＝90(万个)；2007年消耗纸质饭盒总数＝1.5×90＝135(万个)；故每年平均消耗纸质饭盒总数＝(30＋90＋135)÷3＝85(万个)．8．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：亿元，则应选的项目是______．(只需写出项目的代号)[答案]A、B、E或B、D、E、F[解析]当投资为13亿元时，有以下两种投资选择方案：f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(投资13亿元)；f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(投资13亿元)．三、解答题9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解析] 解法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . 依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝1282187>120，⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝2566561<120， ∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．解法二：接解法一：(23)n ≤120，则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n ≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋， ∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.能力提升一、选择题 1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t ，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2；③浮萍从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m 2、4m 2、8m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中正确的是( )A ．①②B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②⑤[答案] D[解析] 设此指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：a ＝2，∴y ＝2x ，故①正确．当x ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确．当y ＝4时，x ＝2，当y ＝12时，x ＝log 212>log 2272，从而可知浮萍从4m 2蔓延到12m 2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．把y ＝2,4,8代入y ＝2t 分别得t 1＝1，t 2＝2，t 3＝3，故⑤正确．因此选D.2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.321，因此需4次．二、填空题3．伦敦市为成功举办2012年奥运会，决定从2008年底到2011年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2009年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．[答案] 30.2%[解析] 设现有车辆总数为a,2009年底更新了现有总车辆数的百分比为x ，则a ·x ＋a ·x (1＋10%)＋ax (1＋10%)2＝a .∴x (1＋1.1＋1.12)＝1.∴x ≈30.2%.4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．[答案] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t <110⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥110；(2)0.6.[解析] 由图像可知，当0≤t <0.1时，y ＝10t ；当t ＜0.1时，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，得a ＝0.1， ∴当t ＞0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10t (0≤t <110)(116)t －110(t ≥110)，由题意可知(116)t －110＜0.25，得t ＞0.6(小时)．三、解答题5．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p %作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围；(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．[解析] 由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p %时，销售量为(80－10p )万件，此时销售金额为80×(80－10p )万元，新产品开发金额f (p )＝80×(80－10p )×p %(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×(80－10p )×p %≥96，0<p <8，解得2≤p ≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p ≤6.(2)当0<p <8时，f (p )＝80×(80－10p )×p %＝－8(p －4)2＋128.∴当p ＝4时，f (p )max ＝128.即当p ＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解析] 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则窗框总长l ＝πx 2＋x ＋2y ，y ＝2l －(2＋π)x 4，由y >0，得x ∈(0，2l π＋2)． S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋2l －(2＋π)x 4·x ＝－4＋π8(x －2l 4＋π)2＋l 22(4＋π)，x ∈(0，2l π＋2)．当x ＝2l 4＋π时，S max ＝l 22(4＋π)，此时，y ＝l 4＋π＝x 2. 答：窗户中的矩形高为l 4＋π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y ＝a ·b x ＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[解析] 设两个函数y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)；y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝1.3(万件)，依题意，也有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴y 2＝g (x )＝－0.8×(0.5)x ＋1.4，g (4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．经比较可知，g (4)＝1.35(万件)，比f (4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．∴选用y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．。

北师大版高中数学必修一4.2 实际问题的函数建模(必修1).doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共10分）1.在一定范围内，某种产品的购买量y （t ）与单价x （元）之间满足一次函数关系，如果购买1 000t ,每吨为800元；如果购买2 000t ，每吨为700元，一客户购买400t ,单价应该是（）A.560元B.660元C.760元D.860元 2.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是（）A.50台B.100台C.150台D.200台二、填空题（每小题8分，共40分）3.已知f (x )=,g (x )=,h (x )=，当x ∈(4,+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是 .4.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OA =1m ,水从喷头A 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点再落下，若最高点距水面2 m ，A 离抛物线对称轴 1 m ，则水池半径最合适是 .5.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出.这样为了减少投入多获利，每床每天收费应提高元.6.某商人购货，进价已按原价30元/件扣去25%,他希望对货物定一新价，以便按新价让利20％销售后，仍可获得售价25％的纯利，那么此商人经营这种货物时，按新价让利总额y 与货物数x 之间的函数关系式是 .7.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比例；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y =（a 为常数），如图.根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，则从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室. 三、解答题（共50分）8.（15分）某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸可以以每份0.10元的价格退回报社．在一个月（按30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元．9．（20分）某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？10．（15分）某商品进货单价为40元，若销售价为50元，则可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？.4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）答题纸一、选择题题号 1 2答案二、填空题3．4．5． 6． 7.三、解答题8.9.10.4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）参考答案1.D解析：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由x=800, y=1 000,及x=700,y=2 000,可得k=-10, b=9 000,即y＝－10x＋9 000.再将y=400代入,得x=860.2. C解析：当产量为x台时，总售价为25x万元.欲使生产者不亏本，必需满足总售价≥总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1，0.1＋5x－3 000≥0，＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.3. g(x)> f(x) >h(x)解析：画出三个函数的草图可知，当x∈(4, +∞)时，指数函数图像位于二次函数图像上方，二次函数图像位于对数函数图像上方，故g(x)> f(x) >h(x).4. 2.5 m解析：建立如图所示的坐标系，设y轴右侧的抛物线方程为y=a+2.∵抛物线过点A(0,1),∴a=-1，∴y=－+2.令y=0,得x=1+,或x=1－(舍去），故落在水面上最远点B与点O的距离为(1+)m，因此最合适的水池半径为2.5 m.5.6 解析：设每床每天收费提高2x元（x∈）,则收入为y=(10+2x)(100－10x)=20(5+x)(10－x)，∴当x=2或3时，y取最大值，当x=2时, y=1 120，当x=3时，y=1 120.为了满足减少投入要求应在相同条件下多空出床位，故x=3.6.y=x解析：设每件货物的新价为a元，则销售价为a(1－20%)=a×80%(元/件)，而进价为30(1－25%)=30×75% (元/件)，因此，销售每件货物的利润为a×80%－30×75%（元/件）.由题意知a×80%－30×75%=a×80%×25%,解得a=.故y=a×20%×x=x，即y与x之间的函数关系式是y=x.7.（1）y=（2）0.6解析：（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点(0.1,1)在直线上，∴k=10；同理，当t0.1时，可得1=0.1－a=0a=.（2）由题意得t≥0.6.故至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.8.解：若设每天从报社买进x（250≤x≤400，x∈N）份，则每月共可销售（20x+10×250）份，每份可获利润0.20元，退回报社10（x-250）份，每份亏损0.20元，依题意，得f（x）=0.20（20x+10×250）-0.20×10（x-250）=2x+1 000，x∈[250，400]．∵函数f（x）在[250，400]上单调递增，∴x=400（份）时，f（x）max=1 800（元），即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为1 800元．9.解：作出图像如图.（1）（一次函数模拟）设模拟函数为y=ax+b,将B ,C 两点的坐标代入函数解析式，得解得所以y =0.1x +1.此法的结论是：在不再增加工人和设备的条件下，产量会每月增加1000双，这是不太可能的.（2）（二次函数模拟）设y =a +bx +c ，将A ,B ,C 三点的坐标代入，得解得所以y =－0.05+0.35x +0.7.由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图像开口向下，对称轴是x =3.5），这显然不符合实际情况. （3）（指数函数模拟）设y =a +c ，将A ,B ,C 三点的坐标代入，得解得所以y =－0.8×+1.4.把x =4代入，得y =－0.8×+1.4=1.35.比较上述三个模拟函数的优势，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差最小；二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而用指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此选用y =－0.8×+1.4模拟比较接近客观实际.10．解：设最佳售价为(50)x +元，最大利润为y 元，(50)(50)(50)40y x x x =+---⨯240500x x =-++.当20x =时，y 取得最大值，所以应定价为70元.。

【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修一《函数》单元目标检测题及答案

2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修一第二章函数单元检测参考完成时间：120分钟实际完成时间：______分钟总分：150分得分：______一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝13x x --的定义域为( )． A ．[1,3)∪(3，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1，＋∞)2．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下，(3,1)的原像为( )．A ．(1,3)B ．(1,1)C ．(3,1)D ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知f (x )＝1131x x x x +≤⎧⎨-+>⎩，，，，则52f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为( )．A ．－0.5B ．4.5C ．－1.5D ．1.54．函数y ＝x |x |的图像大致是( )．5．函数f (x )＝211x x +-，x ∈[2,4]的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．幂函数f(x)过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则f(x)的单调递减区间是( )．A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)，(0，＋∞)7．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间上一定是减函数的是( )．A．[3,4] B．[1,2]C．[2,3] D．[－1,0]8．函数f(x)＝x2－2ax，x∈[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是( )．A．R B．[1，＋∞)C．(－∞，1] D．[2，＋∞)9．f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(3)＞f(1)，则下列各式一定成立的是( )．A．f(0)＜f(6) B．f(3)＞f(2)C．f(－1)＜f(3) D．f(2)＞f(0)10．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．函数f(x)在R上为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝+1x，则它的解析式为f(x)＝________.12．二次函数y ＝x 2－ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________．13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．14．若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (3x －4)的解集为________．15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则(2)(4)(6)(2014)(1)(3)(5)(2013)f f f f f f f f ++++的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x |x －2|.(1)求作函数y ＝f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)(3)已知f (x )＝14，求x 的值． 17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求f (0)的值；(2)求此函数在R 上的解析式；(3)若对任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (k －2t 2)＜0恒成立，求实数k 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x x+，且f (1)＝2. (1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)探求f(x)在区间(0，＋∞)的单调性．20．(本小题满分13分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数．(1)证明函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数；(2)若f(a－1)＞f(1)，试求实数a的取值范围．21．(本小题满分14分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大参考答案1．A 点拨：要使函数f(x)＝13xx--有意义，需满足1030,xx-≥⎧⎨-≠⎩，，∴x≥1，且x≠3.2．B 点拨：∵23,21,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴1,1.xy=⎧⎨=⎩3．D 点拨：∵5>1 2，∴5513222 f⎛⎫=-+=⎪⎝⎭.∵112≤，∴1131222f⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即513222f f f⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.4．C 点拨：y＝x|x|为奇函数，排除A，B，又y＝x|x|＝22,0,,0,x xx x⎧≥⎨-<⎩排除D，选C.5．A 点拨：213()211xf xx x+==+--在区间[2,4]上是减少的，故f(x)min＝f(4)＝3.6．D 点拨：设幂函数f(x)＝xα，则f(2)＝12，即2α＝12，∴α＝－1，故f(x)＝x－1＝1 x .∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．7．A 点拨：偶函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f(x)向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．8．C 点拨：函数f(x)＝x2－2ax的图像开口向上，对称轴为直线x＝a.若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则a≤1.9．C 点拨：∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．由f (3)＞f (1)可知，f (3)＞f (－1)．10．C 点拨：由甲、乙两图可以看出，1个进水口1小时的进水量为1,1个出水口1小时的出水量为2.在丙图中，0点到3点的蓄水量为6，应只打开2个进水口；3点到4点的蓄水量减少了1，应打开一个进水口和一个出水口；4点到6点的蓄水量不变，可能不进水不出水，也可能同时打开2个进水口和1个出水口．综上可知，正确的论断只有①.11．1,0,0,0,1,0x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---<⎩ 点拨：∵奇函数f (x )的定义域为R ，∴f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝+1x -.又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝+1x -，f (x )＝1x ---.∴f (x )＝1,0,0,0,1,0x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---<⎩.12．2 点拨：22124a a y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.∵x ∈[0,3]，∴当0≤2a≤3，即0≤a ≤6时，y min ＝2a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝214a --＝－2，解得a ＝2. 当2a＜0，即a ＜0时，y min ＝f (0)＝－1不合题意；当2a＞3，即a ＞6时，y min ＝f (3)＝8－3a ＝－2， ∴103a =(舍去)．故a ＝2.13．y ＝x 2＋4x ＋2 点拨：y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2＝x 2＋4x ＋2.14．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 点拨：由034>034,x x x x >⎧⎪-⎨⎪>-⎩，，得43＜x ＜2. 15．2 014 点拨：∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即(1)(1)()f n f f n +=．由n 的任意性得 (2)(4)(6)(1)(3)(5)f f f f f f ===… (2014)(1)(2013)f f f ==．故(2)(4)(6)(2014)(1)(3)(5)(2013)f f f f f f f f ++++ ＝()()()()1 0071111(1)f f f f f +++⋯+个相加＝1 007f (1)＝1 007×2＝2 014.16．解：(1)f (x )＝222222,x x x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩，，，，即f (x )＝22(1)12(1)12x x x x ⎧--≥⎪⎨--+<⎪⎩，，，. 作出函数y ＝f (x )的图像(图中实线部分)．(2)函数f (x )的单调区间有(－∞，1]，[1,2]，[2，＋∞)，其中，在区间(－∞，1]，[2，＋∞)上是增加的，在区间[1,2]上是减少的．(3)当x≥2时，f(x)＝x2－2x.若f(x)＝14，则x2－2x＝14，即4x2－8x－1＝0，解得252x+=或252x-=(舍去)；当x＜2时，f(x)＝－x2＋2x.若f(x)＝14，则－x2＋2x＝14，即4x2－8x＋1＝0，解得232x+=或232x-=.综上可知，当f(x)＝14时，x∈252323,,222⎧⎫++-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭.17．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c.从而，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴22,aa b=⎧⎨+=⎩⇒1,1.ab=⎧⎨=-⎩又f(0)＝c＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由(1)及f(x)＞2x＋m⇒m＜x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，则当x∈[－1,1]时，g(x)＝x2－3x＋1为减函数，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，从而要使不等式m＜x2－3x＋1恒成立，则m＜－1.18．解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.(2)设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝－f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，∴f(x)＝222,0,2,0. x x xx x x⎧+≥⎨-+<⎩(3)∵f(x)＝x2＋2x在(0，＋∞)上为增函数，且f(0)＝0，f(x)为R上的奇函数，∴f (x )在R 上为增函数，∴原不等式可变形为t 2－2t ＜2t 2－k ，对任意t ∈R 恒成立，∴k ＜(t 2－2t )min ＝－1.19．解：(1)∵f (x )＝a x x+，且f (1)＝2，∴1＋a ＝2，即a ＝1. (2)由(1)可知，f (x )＝1x x +. ∵函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，f (－x )＝11()x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭＝－f (x )． ∴函数f (x )是奇函数．(3)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1212121212121()(1)()x x x x x x x x x x x x --⋅--⋅=. 当0＜x 1＜x 2＜1时，x 1x 2＜1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在(0,1)上是减少的．当x 2＞x 1≥1时，x 1x 2＞1，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的．20．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则0＞－x 1＞－x 2，∵f (x )在(－∞，0]上为减函数，∴f (－x 1)＜f (－x 2)．∵f (x )为偶函数，∴f (x 1)＜f (x 2)．∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数．(2)当a －1＞0，即a ＞1时，∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴若f (a －1)＞f (1)，则a －1＞1，∴a ＞2；当a－1＜0，即a＜1时，∵f(x)为R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，∴若f(a －1)＞f(1)，即f(a－1)＞f(－1)，则a－1＜－1，∴a＜0.综上所述，a的取值范围是{a|a＞2，或a＜0}．21．解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，∵3 600－3 000＝600(元),100－60050＝88(辆)，∴此时能租出88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x(3 000≤x＜5 000)元时，租赁公司的月收益为y元，则y＝30003000300010015010050505050x x xx---⎛⎫⎛⎫----⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2150x-＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050，∴x＝4 050元时，函数有最大值307 050元．∴当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．。

2018学年高中数学北师大版必修1课件：4.2 实际问题的函数建模3课时精品

(2)设纯收益为 y 元，当 0≤t≤200 时， y＝f(t)－g(t) ＝(－t＋300)－2100t－1502＋100 ＝－2100t2＋12t＋1725 ＝－2100(t－50)2＋100. 当 t＝50 时，y 取到最大值，且最大值为 100.
当 200＜t≤300 时， y＝f(t)－g(t)＝(2t－300)－[2010(t－150)2＋100]＝－2100t2＋72t－1 0225＝－2100 (t－350)2＋100. 当 t＝300 时取到最大，最大值为 87.5. 故从 2 月 1 日起第 50 天上市的西红柿纯收益最大．
【答案】 A
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：
解惑：
[小组合作型] 一次、二次、分段函数模型
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图 4-2-3(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 4-2-3(2)的抛物线表示．
“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用 S1，S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合的是( )
【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间，后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选 B.
阶段
§2 实际问题的函数建模
阶段
一

【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修一《函数应用》课后基础巩固练习及解析

2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修一第四章§1一、选择题1．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[答案] C[解析] ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．2．二次函数y＝mx2＋x＋n中，m·n<0，则函数的零点有( )A．0个B．1个C．2个D．不确定[答案] C[解析] 由题知m≠0，m·n<0，∴Δ＝1－4mn>0.∴有2个零点．3．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( )A．0 B．2C．4 D．无法判断[答案] C[解析] 由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.4．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析] 本次考查一元二次方程根的个数问题．“方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m 2－4>0，解得m >2或m <－2. 5．(2013·天津高考)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 函数f (x )的零点个数，即方程f (x )＝0的实数根个数，令f (x )＝0得，2x |log 0.5x |＝1， ∴|log 12x |＝(12)x ，令g (x )＝(12)x ，h (x )＝|log 12x |，在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f (x )有两个零点． 6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 [答案] D[解析] 对于A ：f (1)＝4，f (2)＝9，f (1)·f (2)>0，无法判断f (x )在[1,2]上是否有零点；对于B ：f (1)＝－9，f (2)＝－7，f (1)·f (2)>0，同选项A 一样，无法判断；对于C ：f (1)＝3，f (2)＝ln2，f (1)·f (2)>0，同选项A 、B 一样，无法判断；对于D ：f (1)＝e －3，f (2)＝e 2，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在[1,2]上有零点．二、填空题7．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是________ .[答案] －2[解析] f (x )＝(x －2)(x ＋2)x －2＝x ＋2(x ≠2)，令f (x )＝0，得x ＝－2.8．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内的实根情况是________．[答案] 有唯一实根[解析] f (x )＝－x －x 3图像在[a ，b ]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f (a )·f (b )<0，可得f (x )＝0在[a ，b ]内有唯一一个实根．9．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值． [解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点，综上可知，当m ≤－59时，此函数的图像与x 轴总有交点．(2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m 的值是－3.一、选择题1．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0，在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定[答案] A[解析] ∵f (1.5)>0，f (1.25)<0， ∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.2．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(2，＋∞) D ．(0,1)∪(1,2) [答案] A[解析] 令y 1＝a x ，y 2＝x ＋a ，则f (x )＝a x －x －a 有两个零点，即函数y 1＝a x 与y 2＝x ＋a 有两个交点．(1)当a >1时，y 1＝a x 过(0,1)点，而y 2＝x ＋a 过(0，a )点，而(0，a )点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当0<a <1时，(0，a )点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．∴a 的取值范围为a >1. 二、填空题3．关于x 的方程mx 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根，则m 的范围为________． [答案] m ≤1[解析] ①m ＝0时，x ＝－12适合题意．②m ≠0时，应有m <0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0－22m <0，Δ≥0解得m <0或0<m ≤1.综合①②可得，m ≤1.4．方程lg x ＋x ＝0的实数解的存在区间为________． [答案] (110，1)[解析] 令f (x )＝lg x ＋x ，则f (110)＝lg 110＋110＝－910<0，f (1)＝lg1＋1＝1>0.∴f (110)f (1)<0.而f (x )＝lg x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )仅有一个零点，且在(110，1)内．三、解答题5．设函数f (x )＝ax ＋2a ＋1(a ≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围．[解析] 因为函数f (x )在[－1,1]上存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0f (1)≥0.即f (－1)·f (1)≤0.所以(－a ＋2a ＋1)·(a ＋2a ＋1)≤0，即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.解得－1≤a ≤－13.6．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两个根都大于2，求m 的取值范围． [解析] 令y ＝f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，由题意画图如下要使f (x )＝0两根都大于2则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，2－m 2>2，解得－5<m ≤－4.7．(1)指出方程x 3－2x －1＝0的正根所在的大致区间；(2)求证：方程x 3－3x ＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)．[分析] 解答本题的关键是寻找合适的a 、b 使得f (a )·f (b )<0.[解析] (1)方程x 3－2x －1＝0，即x 3＝2x ＋1，令F (x )＝x 3－2x －1，f (x )＝x 3，g (x )＝2x ＋1在同一平面直角坐标系中，作出函数f (x )和g (x )的图像如图，显然它们在第一象限只有1个交点，两函数图像交点的横坐标就是方程的解．又∵F (1)＝－2<0，F (2)＝3>0，∴方程的正根在区间(1,2)内．(2)证明：令G(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，又G(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，G(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证G(0)·G(1)＝1×(－1)＝－1<0，G(1)·G(2)＝(－1)×3＝－3<0，∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．。

2017-2018学年高中数学必修一北师大版练习：第4章 2实际问题的函数建模含解析精品

第四章 §2A 级基础巩固1．一段导线，在0℃时的电阻为2Ω，温度每增加1℃，电阻增加0.008Ω，那么电阻R (Ω)表示为温度t (℃)的函数关系式为导学号 00814989( B )A ．R ＝0.008tB ．R ＝2＋0.008tC ．R ＝2.008tD ．R ＝2t ＋0.008[解析] 由题意知电阻R 与温度t 构成一次函数关系，故选B ．2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为导学号 00814990( A )A ．3B ．4C ．6D ．12[解析] 设隔墙的长为x ，则矩形的长为24－4x 2.由24－4x2＝12－2x >0，得0<x <6.设矩形面积为y ，则y ＝x ·24－4x2＝2x (6－x )，0<x <6.由y ＝2x (6－x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，知当x ＝3时，y 最大且y max ＝18. 3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m ，则从2000年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是导学号 00814991( A )A ．y ＝0.95x50·m B ．y ＝(1－0.05x50)·m C ．y ＝0.9550－x ·mD ．y ＝(1－0.0550－x )·m[解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q %，则(q %)50＝0.95，∴q %＝0.95150，即x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y ＝0.95x 50·m .4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林导学号 00814992( C )A ．14 400亩B ．172 800亩C ．17 280亩D ．20 736亩[解析] 因为年增长率为20%，所以第四年造林为10 000×(1＋20%)3＝17 280(亩)，故选C ．5．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：下面的函数关系式中，能表达这种关系的是导学号 00814993( D ) A ．y ＝log 2(x ＋1) B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x －1D ．y ＝(x －1)2＋1[解析] 代入数值检验，把x ＝2代入可排除A 、B 、C ，把x ＝1,2,3 代入D 选项，符合题意．6．(2016·四川理，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是导学号 00814994( B )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年[解析] 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x ＝200，解得x ＝log 1.12＝200130＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年，选B ．7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密函数为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_4__.导学号 00814995[解析] 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2，所以加密函数为y ＝2x －2，因此当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.8．已知气压p (hPa)与海拔高度h (m)的关系式为p ＝1000(7100)h3000 ，则海拔6000m 处的气压为_4.9__hPa.导学号 00814996[解析] 把h ＝6000代入p ＝1000(7100)h3000 ，得p ＝4.9.9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.导学号 00814997(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)[解析] (1)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x ≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60(0<x ≤100)62－x50(100<x ≤500)(x ∈N ＋)． (2)设销售商一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x (0<x ≤100)22x －x 250(100<x ≤500)(x ∈N ＋)．当x ＝450时，L ＝5 850，因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)导学号 00814998[解析] 解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝⎛⎭⎫23n.依题意，得2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， ∵⎝⎛⎭⎫237＝1282187>120，⎝⎛⎭⎫238＝2566561<120，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．解法2：接解法1：(23)n ≤120，则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n ≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．B 级素养提升1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t ，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2； ③浮萍从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m 2、4m 2、8m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是导学号 00814999( D ) A ．①② B ．①②③④ C ．②③④⑤D ．①②⑤[解析] 设此指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得： a ＝2，∴y ＝2x ，故①正确．当x ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确．当y ＝4时，x ＝2，当y ＝12时，x ＝log 212>log 2272，从而可知浮萍从4m 2蔓延到12m 2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．把y ＝2,4,8代入y ＝2t 分别得t 1＝1，t 2＝2，t 3＝3，故⑤正确．因此选D ．2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是导学号 00815000( C )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．21小时[解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，12＝e 11k ，于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝(12)3×192＝24(小时)．3．日本东京为成功举办2020年奥运会，决定从2016年底到2019年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2017年底已更新现有总车辆数的百分比约为_30.2%__(保留3位有效数字).导学号 00815001[解析] 设现有车辆总数为a,2017年底更新了现有总车辆数的百分比为x ，则a ·x ＋a ·x (1＋10%)＋ax (1＋10%)2＝a .∴x (1＋1.1＋1.12)＝1.∴x ≈30.2%.4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：导学号 00815002(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为 y ＝⎩⎨⎧10t ⎝⎛⎭⎫0≤t <110⎝⎛⎭⎫116t －110⎝⎛⎭⎫t ≥110 ；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_0.6__小时后，学生才能回到教室．[解析] 由图像可知，当0≤t <0.1时，y ＝10t ；当t ＜0.1时，由1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a，得a ＝0.1， ∴当t ＞0.1时，y ＝⎝⎛⎭⎫116t －110 .∴y ＝⎩⎨⎧10t (0≤t <110)(116)t －110 (t ≥110)，由题意可知(116)t －110＜0.25，得t ＞0.6(小时)．5．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p %作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件.导学号 00815003(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．[解析] 由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p %时，销售量为(80－10p )万件，此时销售金额为80×(80－10p )万元，新产品开发金额f (p )＝80×(80－10p )×p %(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×(80－10p )×p %≥96，0<p <8，解得2≤p ≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p ≤6. (2)当0<p <8时，f (p )＝80×(80－10p )×p % ＝－8(p －4)2＋128. ∴当p ＝4时，f (p )max ＝128.即当p ＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？导学号 00815004[解析] 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则窗框总长l ＝πx2＋x＋2y ，y ＝2l －(2＋π)x 4，由y >0，得x ∈(0，2l π＋2)．S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋2l －(2＋π)x 4·x ＝－4＋π8(x －2l 4＋π)2＋l 22(4＋π)，x ∈(0，2l π＋2)．当x ＝2l 4＋π时，S max ＝l 22(4＋π)，此时，y ＝l 4＋π＝x 2.答：窗户中的矩形高为l 4＋π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．C 级能力拔高某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y ＝a ·b x ＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为 1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.导学号 00815005[解析] 设两个函数 y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)； y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝1.3(万件)，依题意，也有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.∴y 2＝g (x )＝－0.8×(0.5)x ＋1.4， g (4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．经比较可知，g (4)＝1.35(万件)，比f (4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选用y 2＝g (x )＝－0.8×(0.5)x ＋1.4作为模拟函数较好．。

高中数学实际问题的函数建模练习与解析北师大版必修1

高中数学实际问题的函数建模练习与解析北师大版必修1一、选择题1．某种商品1995年提价25%，1998年要恢复成原价，则应降价（） A ．30% B ．25% C ．20% D ．15%解析：设1995年提价前的价格为a ，1998年要恢复成原价应降价x ．于是有a （1＋25%）（1－x ）＝a ，解得51＝x ，即应降价20%，故选C ．答案：C2．某种商品进货单价40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个________元．（） A ．50 B ．60 C ．70 D ．80解析：设此商品最佳售价为每个（50＋x ）元，则此时可销出（50－x ）个，于是获利为（50＋x ）（50－x ）－40（50－x ）＝－x 2＋40x ＋500＝－（x －20）2＋900．因此，当x ＝20时，获利最大．故商品最佳售价为每个50＋20＝70（元）．故选C ．答案：C3．某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2（0＜x ＜240，x N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：由25x ≥3000＋20x －0.1x 2，得x 2＋50x －30000≥0．代入验证知150适合；故选C ．答案：C4．如图（1）所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3min 漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （min ）的函数关系表示的图象只可能是（）解析：H 的变化由慢到快，故选B ．答案：B 二、填空题5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是_________．解析：设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25%）．根据题意，得b （1—20%）－a （1－25%）＝b （1－20%）·25%．化简，得a b 45＝． ∴y ＝b ·20%·x ＝a 45·20%·x ，即x ay 4＝（x ∈N*）．答案：x ay 4＝（x ∈N*）6．某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数K （Q ）＝40Q －2201Q ，则总利润L （Q ）的最大值是_________．答案：2500万元提示：总利润L ＝总收入K －总支出（生产成本＋固定成本）．所以2500)300(20120001020140)(22＋－＝－－－－＝Q Q Q Q Q L ．故当Q ＝300时，总利润最大值为2500万元．三、解答题7．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量．（1）求本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，求投入成本增加的比例x 的取值范围．解：（1）出厂价为：1.2（1＋0.75x ），投入成本：1＋x ，年销售量：1000（1＋0.6x ）． ∴y ＝［1.2（1＋0.75x ）－（1＋x ）］1000·（1＋0.6x ）＝（0.2－0.1x ）1000·（1＋0.6x ）＝－60x 2＋20x ＋200（O ＜x ＜1）．（2）由于上年度利润为200万元，所以－60x 2＋20x ＋200＞200． ∴－60x 2＋20x ＞0．∴0＜x ＜31． ∴x 的取值范围为（0，31）． 8．我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性C 14，动植物死亡后，停止了新陈代谢，C 14不再产生，且原有的C 14会自动衰变，经过5570年（叫做C 14的半衰期），它的残余量只有原始含量的一半，经过科学测定知道，若C 14的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a ′与a 之间满足a ′＝a ·e －kx．现测得出土的古莲子中C14残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．解：a ′＝a ·e－kx，即kt e a a －＝'，两边取对数，得e lg lg kt aa ＝－'． ① 又知C 14的半衰期是5570年，即t ＝5570时，21＝a a '，所以e lg 557021lg k ＝－，即55702lg e lg ＝k ，代人①式，并整理得2lg lg5570a a t '＝，这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的a a '是0.879，代入公式，得10402lg 879.0lg 5570≈⨯－＝t ．即古莲子约是1040年前的遗物．9．下面给出的是1875～1985年男子1英里（1英里＝1.6093千米）赛跑的历次世界纪录，试为其寻找一个最佳的一次线性模型和二次抛物线模型．成绩年份成绩年份 4′24″5 1875 4′01″6 1944 4′23″2 1880 4′01″4 1945 4′21″4 1882 3′59″4 1954 4′18″4 1884 3′58″0 1954 4′18″2 1894 3′57″2 1957 4′17″0 1895 3′54″5 1958 4′15″6 1895 3′54″4 1962 4′15″4 1911 3′54″1 1964 4′14″4 1913 3′53″6 1965 4′12″6 1915 3′51″3 1966 4′10″4 1923 3′51″1 1967 4′09″2 1931 3′51″0 1975 4′07″6 1933 3′49″4 1975 4′06″8 1934 3′49″0 1979 4′06″4 1937 3′48″8 1980 4′06″2 1942 3′48″53 1981 4′06″2 1942 3′48″40 1981 4′04″6 1942 3′47″33 1981 4′02″619433′46″821985答案：y ＝914.156－0.346x ，y ＝11170.0396－10.745375x ＋0.00263596x 2．。

2018版高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模学案北师大版必修1

§2实际问题的函数建模学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．预习教材P120－129完成下列问题：知识点一常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝⎩⎪⎨⎪⎧ax＋b x<m，cx＋d x≥m1．(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？(2)在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性？提示(1)k>0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．(2)当x>0，α>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，α<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．2．(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？(2)数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示(1)主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢．(2)因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．知识点二解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：【预习评价】1．某种放射性元素的原子数y 随时间x 的变化规律是y ＝1 024e －5x，则( )A ．该函数是增函数B ．该函数是减函数C ．x ＝－15lg y1 024D ．当x ＝0时，y ＝1解析显然该函数是减函数，B 正确，C ，D 变形或求值错误．答案 B2．某物体一天内的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是h ，温度单位为℃，t ＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃．解析由于t ＝0时表示中午12：00，则上午8：00时t ＝－4，代入函数T (t )＝t 3－3t ＋60中，可得T (－4)＝8．答案 8题型一一次函数、二次函数模型【例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好解析设每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432，∴当x ＝42时，获得利润最大，应定价为42元．答案 B规律方法一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．【训练1】某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元解析由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b (a ≠0)，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300．答案 B题型二指数型函数、对数型函数模型【例2】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10．解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s ．规律方法指数型函数模型：y ＝ma x＋b (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．【训练2】某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x 年后，该城市人口总数y (万人)与x (年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005)．解 (1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……所以经过x 年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，所以y ＝100×(1＋1.2%)x． (2)10年后该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)由题意得100×(1＋1.2%)x>120，两边取常用对数得lg[100×(1＋1.2%)x]>lg 120，整理得2＋x lg 1.012>2＋lg 1.2，得x ≥16，所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人．题型三分段函数模型【例3】如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2，BC ＝1，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．解如图，过B ，C 分别作AD 的垂线，垂足分别为H 和G ，则AH ＝12，AG ＝32，当M 位于H 左侧时，AM ＝x ，MN ＝x ， ∴y ＝S △AMN ＝12x 2,0≤x <12．当M 位于H ，G 之间时，y ＝12AH ·HB ＋HM ·MN ＝12×12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12×12＝12x －18，12≤x <32．当M 位于G ，D 之间时，y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12×12×(2＋1)－12(2－x )(2－x )＝－12x 2＋2x－54，32≤x ≤2． ∴所求函数的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，0≤x <12，12x －18，12≤x <32，－12x 2＋2x －54，32≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34．规律方法 1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型．对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．2．解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域．(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值．(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围．【训练3】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解 (1)当0<x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9．故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16<x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )<－3×16＋107＝59．因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min ． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55，则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49．所以x ＝20或x ＝6.但0<x ≤10，故x ＝6．当16<x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55．所以x ＝1713．因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.互动探究题型四拟合函数模型的应用【探究1】图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润．其中情境A ，B ，C ，D 分别对应的图像是________．解析对于A ，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B ，这时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；对于C ，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图像有多重折线，因此显然为④；对于D ，乘客人数越多，利润越大，显然是②．答案 ①③④②【探究2】环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度下表：污染度为0后，后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由．解用h (x )模拟比较．理由：因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30，f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5．由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．【探究3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm 与当年灌溉面积y hm 2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图像； (3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉的土地数量．解 (1)描点作图如图甲．(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝ax ＋b (a ≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24,0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4．这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4．作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2．规律方法对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．课堂达标1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间 1 2 3 4 利润(千元)23.988.0115.99A ．y ＝log 2xB ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝2x解析逐个检验可得答案为B ．答案 B2．一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是( )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)答案 D3．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案 6 10 0004．用一根长为12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m 2．解析设矩形的一边长为x m ，则与这条边垂直的边长为12－2x 2m ，所以矩形面积S ＝x ·12－2x 2＝－x 2＋6x (0<x ≤6)，当x ＝3 m 时，S 最大＝9 m 2．答案 95．我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(1) (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．解 (1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y＝kx＋b(k≠0)，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7．因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7．(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．课堂小结1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．。