第三节 1向量组的秩

例2 求 1 (1, 1, 0, 0), 2 ( 1, 2,1, -1), 3 (0,1,1, -1),
. 4 (1, 3, 2,1), 5 ( 2, 6, 4,1) 的极大无关组及秩
解
A ( 1T 2T 3T 4T 5T )
1 1 0 1 2 1 1 1 2 1 3 6 0 1 0 1 1 2 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0
组分别为 j1 , j2 , , jr1 ; j1 , j2 , , jr2
则由 j1 , j2 , , jr1 可由1 , 2 , , s 线性表出


1 , 2 , , s 可由 1 , 2 , , t 线性表示 1 , 2 , , t 可由 j , j , , jr 线性表示
a11 a1r
不妨设
0 ar 1 arr
a11 a1r 无关， 接长后的 1 , 2 , , r 仍线性无关 , , a a r1 rr
对任意r＋1个向量 j1 , j2 , , jr 1，
显然 1 , 2 是它的一个极大无关组．
注：1. 极大无关组两要素： 无关， 不敢往上添
2. 极大无关组不一定惟一 例：1 (0,1), 2 (1, 0), ３ (0, 2),
1 , 2 是一个极大无关组, 2 , ３ 也是一个极大无关组.
3. 1 , 2 , , s 无关时，极大无关组就是本身
若线性无关,则 A1 ( j1 , j2 , , jr 1 )的秩为r+1 故A1有一个r＋1阶子式≠0, 此子式也是A的r＋1阶 子式， r ( A) r矛盾, j1 , j2 , , jr1 相关， 与
1 , 2 , , r 是 1 ,, r ,, n的极大无关组
1 2 r
都可由它线性表出. 则 j , j , , j , j 一定线性相关．
1 2 r
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即无关组 j , j , , j 中再任意添加一个 向量就线性相关,
1 2 r
由极大无关组的定义可知， j , j , , j
1 2
r
是向量组的一个极大无关组.
定理 向量组的一个线性无关部分组是其极大无关组 等价的无关向量组所含向量个数相同
的充分必要条件是：向量组的每一个向量都可 由这个部分组线性表出. （187页定理3.8的推论 ）
由定理可知：
价 1. 极大无关组与向量组等
关组都等价 2. 向量组的任意两极大无
3. 向量组的所有极大无关组所含向量个数相同
3.向量组的秩
向量组的极大无关组所含向量个数 r 称为向量组的秩． 记作 r (1 , 2 , , s ) r 例如 设 1 (1, 0, 0) , 2 (0,1, 0) ,
r ( A) r
证毕！
求向量组的秩和极大无关组的方法一: ⑴．以 1 , 2 , , s 为行构造矩阵 A ⑵． A
初等列变换
阶梯形 r ( A) r
⑶．阶梯形矩阵的所有非零行对应的原向 量就是极大无关组．
例1 求向量组 1 (1,0， 1) , 2 ( 2, 3,1) ,
1 2 2
得到 j1 , j2 , , jr1

且 j1 , j2 , , jr1 线性无关，所以 r1 r2 , 即 (1 , 2 , , s ) ( 1 , 2 , , t )
可由
j1
, j2 , , jr2
1 2 r
j
1
j , j , , j ， j 必线性相关.
1 2 r 1 2 r
j1
2
j2
r
j
jr
由定理3.7可知 j 可由 j , j , , j 线性表出.

设 j , j , , j 是向量组的一个线性无 关部分组， 且向量组中的任何一个向量 j
3 (2,1,-1) , 4 (3, 2， 4) 的秩.
解
A
1 1 2 2 3 2 4 3
0 1 1 3 1 0 0 1 1 2 4 0
0 1 1 1 0 1 0 0

表示，
例4
证明：r ( AB ) min r ( A), r ( B )
证：设 A (aij )mn (1 , 2 , , n ), B (bij )n s ,
Amn Bn s ( 1 , , s ), 下证 r ( AB ) r ( A)
向量组的秩
1.极大无关组 定义
若向量组 1 , 2 , , n中，有一个含
r 个向量的部分组 j1 , j2 , , jr 线性无关，
而任意 r 1 个向量构成的部分组均线性相关， 则称 j1 , j2 , , jr 为向量组的一个极大线性 无关部分组．简称极大无关组． 例如 向量组 1 (0,1), 2 (1, 0), ３ (0, 2),
r ( A) 3
r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3
且 1 , 2 , 3 是一个极大无关组.
求向量组的秩和极大无关组的方法二:
⑴．以1 , 2 , , s 为列构造矩阵 A ⑵．A
初等行变换
阶梯形 r ( A) r
⑶．在阶梯形矩阵中找出每行左数第一个 非零元所在的列向量，这些列向量对应的 原向量就是极大无关组．
定理
向量组的一个线性无关部分组是其极大无关组 的充分必要条件是：向量组的每一个向量都可 由这个部分组线性表出.
证明
一个极大无关组 对于向量组 1 , 2 , , s 中的任何一个向量 j
设
1 2
j1
, j2 , , jr 是向量组 1 , 2 , , s 的
性知， j1 , j2 , , jr 与 j1 , j2 , , jr 等价， 而它们 1 2
又是线性无关的向量组，故 r1 r2 证毕！
等价的向量组秩相等
课堂练习：
若向量组1 , 2 , , s 可由 1 , 2 , , t 线性表示， 则 (1 , 2 , , s ) ( 1 , 2 , , t ) 证明 设 1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , t 的极大无关
0 1 2 1 2 4 0 3 5 0 0 0
r (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 3
且 1 , 2 , 4 是一个极大无关组.
求向量组的秩和极大无关组的方法二: ⑴．以 1 , 2 , , s 为列构造矩阵 A
A ⑵．
初等行变换
阶梯形 r ( A) r
⑶．在阶梯形矩阵中找出每行左数第一个非零 元所在的列向量，这些列向量对应的原向量就 是极大无关组．
若要将其余向量用极大无关组线性表出，则接 第⑶步往下进行:
⑷．化阶梯为简化阶梯，将所有的非单位 列向量用单位列向量线性表出即可．
例2 求 1 (1, 1, 0, 0), 2 ( 1, 2,1, -1), 3 (0,1,1, -1),
此子式也是 的r阶子式. A
若A有一r 1阶子式 0,
a11
不妨设

a1r 1 0
与r (1 , , n ) r矛盾 A的所有r 1阶子式全 0,
ar 11 ar 1r 1 a11 a1r 1 , , 无关， 接长后的 1 , 2 ,, r 1 仍线性无关 a a r 11 r 1r 1
r (1 , , r , , n ) r
即A的列秩 r
设
r (1 , , r , , n ) r，
下证A有一个r阶子式≠0, A所有一个r＋1阶子式=0,
不妨设1 , 2 , , r 是 1 ,, r ,, n的极大无关组
令A2 (1 , , r ), r ( A2 ) r , A 2有一r阶子式 0,
3 3 3
例3 证明:若向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , t
等价,则 r (1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , t )
证：设向量组 1 , 2 , , s 与向量组 1 , 2 , , t 的极大无关组分别为 j1 , j2 , , jr1 与 j1 , j2 , , jr2 , 由极大无关组与向量组本身等价，及等价关系的传递
b11 又 ( 1 , , s ) (1 , , n ) b21 bn1 1 b111 b21 2 bn1 n 2 b121 b22 2 bn 2 n s b1 s1 b2 s 2 bns n b12 b1 s b22 b2 s bn 2 bns
0 1 2 1 2 4 0 3 5 0 0 0
r (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 3
且 1 , 2 , 4 是一个极大无关组.
1 2 3 4 5
1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 2 3 0
当 j 在 j , j , , j 中时，
r
若无关组添加一个向量后相关，则所添向 定理3.7j 当然能由 j , j , , j 线性表出. 若 j 不在 量一定能由原向量组惟一线性表出. 0 j , j 0 , j 1 0 , 中，由极大无关组的定义可知
1 2 3 4 5
0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 3 2 3 5 3 0
1 2 4 0 5 0 0 0
5 1 1 2 2 5 4 3 1 2 ，
. 4 (1, 3, 2,1), 5 ( 2, 6, 4,1) 的极大无关组及秩
解
A ( 1T 2T 3T 4T 5T )
1 1 0 1 2 1 1 1 2 1 3 6 0 1 0 1 1 2 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0
3 (0, 0,1) , 4 (1, 2, 3) ,
显然， r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3
3.向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩； 矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩. 定理 矩阵的秩＝矩阵的行秩=矩阵的列秩 证明： 设 r ( A) r , A (1 , , r , , n ) A有一个r阶子式≠0, A所有一个r＋1阶子式=0,