向量组的秩的求法
向量组的秩1
知R(A)3，
0 0 0 0 0
故列向量组的最组大含 3无 个关 向.量 而三个非零行的元非在 1零 、 2、 首 4三列，
故a1,a2,a4,为列向量组的无 一关 个 . 组 最大
事实上
2 1 1
（ a1,a2,a4) 1 1 1
4 6 2
3 6 7
1 1 1
~ 初等行变换 0 1 1
设两个向量r组 ，的 并 A组 秩 设B 和 都 组为 的最大无关 A0组 :a1, 依 ,ar和 次 B0为 :b1, br,
因 B组能 A组 由 线性B 表 0组示 能 A 0组 ， 由 线 故性 表示， r阶即 方 Kr使 有 阵
( b 1 , , b r ) ( a 1 , , a r ) K r
有非零即 解 (b, ， ,br)x0有非这 零 B 与 0组 解， 线性无关矛 rs盾 不， 能因 成此 立 r， s. 所
推论1 等价的向量组的秩相等. 证 设向 A 与 量 向 B 的 组 量 秩 组 s和 依 r. 次 因两个向量组两 等个 价向 ，量 即组能表 相互 示故 ，sr与 rs同时,成 所立 s以 r.
表示 A 组， 能 A 0组 由 线.性表示 故B0组能A0由 组线性. 表示 即存在系 Ks数 r(k矩 ij)使 ,阵得
(b1, ,br)(a1, ,as)k11 k1r ks1 ksr
如r果 s，则方K程 srx1组 0(简记 K为 x0) xr
有非零解 R(K（ )s因 r）从 ，而方程组 (a1,,as)Kx0
的秩 .只含零向量的 有向 最量 大组 无没 关组
它的秩 0. 为
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１矩阵的秩等于 量它 组的 的列 秩向 ，
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1 逐个选录法给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T Tααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。
所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：α1=(1,2,3)T, α2=(-1,2,0)T, α3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T, α2=(3,-1,2,0)T, α3=(1,3,4,-2)T, α4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
第三节 向量组的秩
A B.
5
向量组的等价是向量组之间的一种关系， 易知，这种关系具有如下三条性质： ⑴ 反身性
AA
⑵ 对称性 若 A B, 则 B A ⑶ 传递性 若A B, B C , 则 A C .
(因为线性表出具有传递性) 为了讨论向量组的任意两个极大线性无关 组之间的关系，我们先讨论向量组与它的极大 线性无关组之间的关系。
中线性无关的向量的个数至多是r，任意r+1个 向量都线性相关。
15
, s 线性无关 ⑵ 向量组 1， 2， 秩 1， 2， , s s . , s 线性相关 ⑶ 向量组 1， 2， 秩 1， 2， , s s .
定理3： 设有两个 n 维向量组 A : 1， 2， , s; B : 1， 2， , t ; 若 A 可由B 线性表出, 则 秩 1， 2， , s 秩 1， 2， , t .
, ir 向量组都线性相关, 则称部分组 i1， i2，
, s 的一个极大线性无关组． 是向量组 1， 2，
2
说明： ⑴ 全由零向量组成的向量组没有极大线性 无关组．
⑵ 任意含有非零向量的向量组，必有极大
线性无关组． ⑶ 线性无关的向量组的极大线性无关组是 其本身． ⑷ 向量组的极大线性无关组不一定唯一。
16
i 1 , i 2 , ..., ir 为向量组A的极大线性无关组， i 1 , i 2 , ..., ip 为向量组B的极大线性无关组，
则 i 1 , i 2 , ..., ir 可由 i 1 , i 2 , ..., ip 线性表出，
, s 秩 1， 2， , t . 且r p,即秩 1， 2，
5 1 1 3 5 1 1 3 A 0 4 4 4 0 1 1 1 1 2 4 1 法 ⑴将向量组的向量作为列构成一个矩阵A，
向量组的秩
三、向量空间的基、维数与向量的坐标 向量空间的基、
在n维向量空间Rn中，n维单位坐标向量组： E：e1，e2，……，en 线性无关，并且Rn的任意向量能由向量组E线性表示。由 此，引出如下定义： 定义8：设V为向量空间.如果V的向量组a1,a2,……,ar满足 定义8 为向量空间.如果V的向量组a 线性无关； （1） a1,a2,……,ar线性无关； 中任意向量都能由a 线性表示； （2） V中任意向量都能由a1,a2,……,ar线性表示； 称为向量空间V的一个基， 那么向量组 a1,a2,……,ar称为向量空间V的一个基，r称为向 量空间V的维数，记作r=dimV,并称V 维向量空间. r=dimV,并称 量空间V的维数，记作r=dimV,并称V为r维向量空间.
（５）矩阵Ａ的列向量组的秩称为Ａ的列秩，它的 行向量组的秩称为Ａ的行秩．
定理７ 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组 的秩. 证明 设A=( a1, a2, ⋅⋅⋅, am), R(A)=r, 并设r阶子式Dr≠0. 由Dr≠0知Dr所在的 列线性无关 又由A中所有r+1阶子式 所在的r列线性无关 列线性无关; 均为零, 知A中任意 +1个列向量都线性相关 因此Dr所在的r 任意r+ 个列向量都线性相关. 任意 个列向量都线性相关 列是A的列向量组的一个最大无关组, 所以A的列向量组的秩 等于r. 类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A). 注: 由上述证明可知, 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式, 则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组, Dr所在 的r行即是A的行向量组的一个最大无关组.
二、向量组极大无关组的性质
• 向量组A与它的极大线性无关组A0等 价。 • 一个向量组的两个极大线性无关组是等 价的。
高等代数第二节 向量组的秩
根据最大线性无关组的定义来证，它往往还 与向量组的秩相联系．
证明 不失一般性,设 i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, s中的任意r个线性无关的向量,于是对于任意 的 k (k 1,2,, s),向量组 i1 , i2 ,, ir , k 线性
解法二 对行向量组，可以先都转置为列向量，
排成矩阵后，用行变换化为行最简型
设
T :
2
0
2
1
α1T
2 4
,
α2T
2 1
,
α3T
0 3
,
α4T
1
0
4
5
1
4
显然 T 秩＝T 秩，且极大无关组互为转置向量
2 0 2 1
A α1T
α2T
α3T
α4T
2
4
2 1
0 3
因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而
成的向量组( A, B)能由A组线性表示. 而A组是( A, B)组的部分组,故A组总能由
( A, B)组线性表示. 所以( A, B)组与A组等价,因此
( A, B)组的秩也为r.
又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组B0含r 个向量,因此B0组也是( A, B)组的最大无关组, 从 而( A, B)组与B0组等价.
rankT s
又 1线性无关，1秩＝r, 但1秩 秩，r s.
证毕
定理3 说明
(1) r个线性无关向量,若可用另一组向量线性表示， 则后一组向量的个数不少于r ;
(2) 一组线性无关的向量,不可能用另一组个数 更少的向量线性表示。 特别在三维向量空间中: (1)两个线性无关的向量，不能用同一个向量线性表 示； (2)三个线性无关的向量，不能用两个或一个向量 线性表示。 推论1 设向量组1秩为r,向量组2秩为s.若1可由2
4.3向量组的秩
向量组的秩向量组秩的定义向量组秩的求法及相关结论向量组秩的定义满足12,,,αααr 定义：设有向量组，A 记作.A R =r 在中选取个向量A r (1) 向量组无关;012:,,,αααr A (2) 向量组中任意个向量(若存在)都线性相关，A 1r +则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量0A A 组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数称r 为向量组的秩，A1230ααα，+-=例：向量组123123:303112,,ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 注：全部由零向量组成的向量组没有最大无关组，规定这样的向量组的秩为零.2A R =该向量组的秩为.为最大无关组，12,αα13,αα，23,αα注：1. 一个向量组的最大无关组是向量组中所含向量个数最多的线性无关的子组之一.2.一个向量组的最大无关组不一定是惟一的．3.一个向量组与它的最大无关组是等价的．证：线性相关，12,,,,r αααα向量组是向量组的部分组，0A A 故组可由0A 组线性表示.A 对中任一向量，αA 从而组可由组线性表示.0A A 从而可由线性表示，α12,,,r ααα部分组，且满足推论：（最大无关组的等价定义）线性表示，设向量组是向量组的一个012:,,,r A αααA (1) 向量组线性无关；012:,,,r A ααα(2) 向量组的任一向量都能由向量组A 0A 则向量组是向量组的一个最大无关组.A 0A证：于是有设是中任意个向量，121,,,,r r ββββ+1r +A 它们都能由组线性表示，0A ()()12112,,,,,,,,r r r R R r ββββααα+≤=所以中任意个向量线性相关.A 1r +的一个最大无关组及秩. 例：求维向量的全体构成的向量组n 1212,,,n n n a a a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭α解121000100,0,,0001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 线性无关，.n R n =维单位坐标向量n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αn ∀∈，α1122,n n a a a =+++e e e1234124123422023 0570x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩例：设齐次线性方程组12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的通解是，试求全体解向量构成的向量组的秩．S解2R .S =1122c c ξξx =+{}112212c c c c ξξ,S x ==+∈，线性无关,12ξξ,12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭通解是向量组秩的求法及相关结论11121314342122232431323334a a a a a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1234,,,αααα=T1T 2T 3βββ⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭回顾，的列向量组，A 1234,,,αααα的行向量组.T T T 123,,βββA定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于证它的行向量组的秩.设，，()R r A =12(,,)m ααα=A 阶子式.r 0r D ≠所在的列构成的矩阵的秩为,r D r r n r ⨯r 此列线性无关；又因为中所有阶子式均为零，A +1r A 所以中先证明：矩阵的秩等于它的列向量组的秩.任意个列向量构成的矩阵的秩小于，+1r (1)n r ⨯+r+1r 故此列线性相关.所在的列构成的列向r D r A 量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为.r 也等于它的行向量组的秩.的秩等于的列向量组的秩，TA TA 的列向量组就是的行向量组，TA A 而，()()TR R =AA 所以矩阵的秩例：求向量组的一个最大无关组, 并用最大123451241611314,,,,0002210203ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解无关组表示其它向量.设，12345(,,,,)ααααα=A 并将矩阵化为行最简形.A1020301102~000110000r ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭12416113140002210203⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭A ()12345βββββ,,,,,B =()3R .A ==B故由所以线性无关，124,,ααα()()124124,,,,rαααβββ可知，()124,,3R ααα=从而是列向量组的一个最大无关组.也就是方程0Ax =因为与同解，0Bx =1122334455x x x x x ααααα++++=01122334455x x x x x βββββ++++=0与同解，因此向量之间的线性关系12345,,,,ααααα与向量之间的线性关系是相同的.12345βββββ,,,,由于，,512432ββββ=+-3122βββ=+因此，.3122ααα=+512432αααα=+-关于向量组秩的结论，可以推广到所含向量个数无限的向量组.线性表示的充分必要条件是定理向量组能由向量组12,,mααα12,,l βββ()()121212,,,,,,,.m m l R R ααααααβββ=向量组的秩矩阵的秩例若向量组可由向量组线性表示，则.B A R R ≤B A 其中等号成立当且仅当向量组与向量组等价.A B 设，,A B R s R t ==证明并设向量组和的最大A B 无关组分别为和.012:,,,αααs A 012:,,,βββt B 由于向量组能由向量组线性表示，0B B 能由向量组线性表示，A B 向量组0A 向量组能由向量组AB A R R ≤.A B R R ≤并且向量组与向量组等价B A 向量组可由向量组线性表示.BA .A B R R=向量组可由向量组线性表示，并且B A 0A 因此向量组能由向量组线性表示.0B 线性表示，即.t s ≤于是，()()1212,,,,,,βββααα≤t s R R证明从而这两个向量组等价.的秩相等，证明：向量组与向量组等价.B A 例向量组可由向量组线性表示，且它们B AC 设向量组是由向量组与合并而成的，AB .AC R R =由向量组可由向量组线性表示知B A 又已知，A B R R =所以有，A B C R R R ==。
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法1. 向量秩的定义向量组的秩是指向量组中线性无关的向量的个数，用r(V)表示。
向量秩可以理解为向量组的维数，是一个表示向量组重要性和有效性的指标。
2. 第一种方法：高斯消元法高斯消元法是一种通过初等变换求解线性方程组的方法，也可以用来计算向量组的秩。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
假设向量组V有m个向量，每个向量有n个分量，则矩阵A的大小为n×m。
步骤2：进行初等行变换利用高斯消元法的思想，对矩阵A进行一系列初等行变换，使得矩阵A化为行阶梯形。
步骤3：计算行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数。
统计非零行的个数，即可得到向量组V的秩r(V)。
3. 第二种方法：矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与矩阵的行列式之间存在一定的关系。
根据这个关系，我们可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式和上述方法一样，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
步骤2：计算矩阵的行列式计算矩阵A的行列式|A|。
步骤3：求解向量组的秩向量组的秩r(V)等于矩阵的秩r(A)等于矩阵的行列式|A|不等于零的最大阶数。
4. 第三种方法：向量组的线性相关性向量组的线性相关性也可以用来求解向量组的秩，即判断向量组中是否存在线性相关的向量。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式同样地，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
步骤2：计算矩阵的秩计算矩阵A的秩r(A)。
步骤3：判断向量组的线性相关性如果矩阵A的秩r(A)等于向量组的维数，则向量组中的向量线性无关，秩r(V)等于向量组的维数。
否则，向量组中的向量线性相关，秩r(V)等于矩阵的秩r(A)。
5. 总结通过以上三种方法，我们可以求解向量组的秩。
高斯消元法通过初等变换得到行阶梯形矩阵，通过统计非零行的个数得到向量组的秩；矩阵的秩与行列式的关系可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩；向量组的线性相关性可以通过判断矩阵的秩和向量组的维数之间的关系来求解向量组的秩。
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。
秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。
本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。
在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。
三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。
矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。
对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。
由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。
《向量组的秩》课件
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
第讲向量组的秩
R(A) =R(A,B)
R(B) R( A)
向量组 B 与向量组A 等价（P83定义）
R(A) =R(A,B)=R(B)
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关（P87定义） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关（P87定义）
R(A) < m R(A) = m
1
1
5
例 设:
R (α1, α2, α3) = R (b1, b2 )
=R (α1, α2, α3 b1, b2 )
向量组1,2 ,3线性相关
R(A) < 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 < 向量个数
向量组1,
2
,
线性无关
3
R(A) = 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 = 向量个数
r 1, ..., m , ......
A
(2) A中的任一个向量都能由部分组A0线性表示 则称部分组A0为向量组A的一个最大无关组。
2 向量组A的秩： RA 最大无关组所含向量的个数
=r
向量组 A 与其最大无关组 A0 关系？
P83定义3
向量组B：b1, b2, …, bl
相互线性表示
向量组A： α1, α2, … αm 等价（P83定义3）
线性表示 其中向量组为：
2
1
1 4
3
或
1
2
1 6
6
1
3
2
2
9
1
4
1
2
7
2
5
4
4
9
1 2 1 4 3 2 1 1 6 6 3 1 2 2 9 4 1 1 2 7 5 2 4 4 9
大学线性代数：向量组的秩
10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
3.3 向量组的秩
推论6 一个向量组中任意两个极大无关组所含的向量的个数相同.
3.3 向量组的秩
11
例3.3.2 判断向量组α1 = (0,1, 2, 3)T ,α 2 = (3,0,1, 2)T , α 3 = (2, 3,0,1)T 与向量组β 1 = (2,1,1, 2)T , β 2 = (0, −2,1,1)T , β 3 = (4,4,1, 3)T 是否等价.
1.
初等变换 A = (α1 , α 2 ,L , α m , β ) B = (γ 1 , γ 2 ,L , γ m ,η ) →
3.3 向量组的秩
1
则 β = k1α1 + k2α 2 + L kmα m ⇔ η = k1γ 1 + k2γ 2 + L km γ m .
2. 定理3.2.1 向量β 可由向量组A线性表示 ⇔ R( A) = R( B ) 其中A = (a1 , a2 ,L , am ), B = ( A β )
9
证 明 必 要 性 . 因 为 β i 可 由 α 1 , α 2 ,L , α m 线 性 表 示 , 所 以 , β s
也可由α 1 , α 2 ,L , α m , β1 , β 2 ,L , β s-1线性表示.于是,由定理 3.2.1, 有 R(α 1 , α 2 ,L , α m , β1 ,L , β s ) = R(α 1 , α 2 ,L , α m , β1 ,L , β s-1 ) = L = R(α1 , α 2 ,L , α m , β1 ) = R(α1 , α 2 ,L , α m ).
向量组的秩
因此，可以选取1, 2 , 4 也可选 1, 2 , 5 或 1, 3 , 4 作为极大无关组，现不妨按
1, 2 , 4
从变换后的矩阵可见： x11 x2 2 3
方程的增广矩阵为 (1, 2 , 3 ) 经初等变换得到U的前三列，其等价方程为
T
b (0, b2 ,bm )T V
a b (0, a2 b2 ,am bm ) V 则：
T
a (0, a2 ,am )T V
例2、集合V {x (1, x2 ,xm )T x2 ,xm R} 就不是一个向量空间。 因为，若 a (1, a2 ,am ) V
2 2 1 例5、设 A ( a1 , a2 , a3 ) 2 1 2 1 2 2 1 4 a1 , a2 , a3 是R3 验证 B (b1 , b2 ) 0 3 4 2 的一个基，
并把 b1 , b2 用这个基线性表示。
例2、求向量组 1 , 2 ,, 5 的极大无关组，
并将其余向量用极大无关组来表示。其中
1 (1,1,0,0)、2 (1,2,1,1)、3 (0,1,1,1)
4 (1,3,2,1)、5 (2,6,4,1)
T T A (1T , 2 ,, 5 ) 的秩。
并求矩阵
1 1 0 1 2 1 2 1 3 6 解： A 0 1 1 2 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 经初等变换得：A ~ 0 0 0 0 0 1 2 1 2 4 U 0 1 1 0 0 0
例1、设矩阵
3 2 1 3 A 2 1 3 1 4 5 5 6
第三节 向量组的秩
k 2 (a211 a22 2 a2 s s ) k r (ar11 ar 2 2 ars s )
k11 k2 2 kr r ( k1a11 k 2 a21 k r ar1 ) 1
(k1a1s k 2 a2 s k r ars ) s
秩 1 , 2 ,, m m。
B1 : i1 , i 2 ,, is .
向量组A与B等价， 向量组A可以由向量组 线性表示， B A的部分组A1可由B线性表示，
而B可由最大无关组 1线性表示， B A1可由B1线性表示，
又 A1线性无关， 由定理五，得 s. r
同理可证 r, s
r s.
注意 :m个n维向量组成的向量组 1 , 2 ,, m 线性无关的充分必要条件为:
例2 : 设向量组 1 (1,0,0), 2 (0,1,0),3 (1,1,0)
求向量组的一个最大线 性无关组 .
解 : 1 , 2对应分量不成比例故无关. , 而 3 1 2 , 故1 , 2 , 3相关. 1 , 2是向量组1 , 2 , 3的一个最大无关组 .
1 , 2 ,, r和 1, 2 ,, s , 则rs.
证明: 设A, B都是向量组T的最大线性无关组 , A与T等价, B与T等价,因此A与B等价. 由推论 , A与B所含向量的个数相等 1 .
向量组的秩
定义10 向量组 1 , 2 ,, m 的最大无关 组所含向量的个数r称为这个向量组的秩， 1 , 2 ,r. , m 记为：秩 推论3 等价的向量组有相同的秩. 证明：设两个等价的向量组 A : 1 , 2 ,, l ; B : 1 , 2 ,, m . 组A的秩为r，组B的秩为s，并各取它们的一个 最大无关组 A1 : i1 , i 2 ,, ir ;
第2节 向量组的秩(全)
§2 向量组的秩回顾：矩阵的秩定义：在m×n 矩阵A中，任取k 行k 列(k≤m，k≤n),位于这些行列交叉处的k2 个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A的k 阶子式。
规定：零矩阵的秩等于零。
定义：设矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
结论：矩阵的秩= 矩阵中最高阶非零子式的阶数= 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念定义1设向量组A中的一个部分组a, a2, …, a r ，满足1, a2, …, a r 线性无关；⑴a1⑵向量组A中任意r + 1个向量(如果有)都线性无关。
则称a, a2, …, a r 是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称1最大无关组)；最大无关组所含向量个数r 称为向量组A的秩，记作R(A)。
例：求矩阵的秩，并求A 的一个最高阶非零子式．21112112144622436979A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪--⎪-⎝⎭第二步求A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A 的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3 个非零行，故R (A ) = 3．21112112141121401110~46224000133697900000r A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0124211111(,,)~462367r A a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭0111011001000B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭01240111011(,,)~462001367000r A a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R (A 0) = 3，计算A 0的前3 行构成的子式21111180462-=-≠--因此这就是A 的一个最高阶非零子式。
线代第四章(2)向量组的秩
求该方程组的全体解向量构成的向量组S的秩。 求该方程组的全体解向量构成的向量组 的秩。 的秩 解
1 2 1 −2 A = 2 3 0 −1 1 −1 −5 7 x1 3 −4 x −2 3 2= c +c x3 1 1 2 0 x4 0 1
2
最大无关组的等价定义: 最大无关组的等价定义
设向量组 A0 : α 1 ,α 2 ,L ,α r
的一个部分组， 是向量组 A 的一个部分组，且满足 线性无关。 （i）向量组 A0 线性无关。 ） 线性表示。 （ii）向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0 线性表示。 ） 的一个最大无关组。 那么向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组。 定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 定理6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它行向量 组的秩。 组的秩。
1 2 3 2 1 3 5→ 0 0 1 2 0 3 2 0 1 1 → 0 1 1 0 0 0 0 1 2
向量用该最大无关组线性表示。 向量用该最大无关组线性表示。
2 解：设 A = 4 2 2 1 2 → 0 1 1 0 0 0
15
前面我们建立定理1、 、 时 前面我们建立定理 、2、3时，限制向量组只 含有限个向量，现在我们要去掉这一限制， 含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，把定 推广到一般的情形. 理1、2、3推广到一般的情形 推广的方法是利用 、 、 推广到一般的情形 向量组的最大无关组作过渡. 如定理 3 可推广为 向量组的最大无关组作过渡
16
定理 3
设向量组 B：b1 , b2 , ··· , bl 能由向
向量组秩的求解步骤
向量组秩的求解步骤在线性代数中，向量组的秩是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们判断向量组的线性相关性和线性无关性，进而对矩阵的解法和性质进行分析。
那么，如何求向量组的秩呢？首先，我们需要了解什么是向量组的秩。
向量组的秩是指向量组中线性无关向量的个数，也就是说，秩是向量组中最大线性无关向量的个数。
例如，如果一个向量组中有3个向量，其中2个向量线性无关，那么这个向量组的秩就是2。
接下来，我们来介绍一些求向量组秩的方法。
方法一：高斯消元法高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，同时也可以用来求解向量组的秩。
具体步骤如下：1. 将向量组按照列向量的形式排成一个矩阵A。
2. 对矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。
3. 统计行阶梯形矩阵中非零行的个数，即为向量组的秩。
方法二：矩阵的秩矩阵的秩也可以用来求解向量组的秩。
具体步骤如下：1. 将向量组按照列向量的形式排成一个矩阵A。
2. 求解矩阵A的秩，即为向量组的秩。
方法三：线性相关性判断法线性相关性判断法是一种简单直观的方法，可以用来判断向量组的线性相关性和线性无关性。
具体步骤如下：1. 将向量组按照列向量的形式排成一个矩阵A。
2. 对矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。
3. 如果行阶梯形矩阵中存在全零行，则向量组线性相关，秩为非零行的个数。
4. 如果行阶梯形矩阵中不存在全零行，则向量组线性无关，秩为矩阵A的列数。
综上所述，求解向量组的秩可以采用高斯消元法、矩阵的秩和线性相关性判断法等方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解向量组的秩，以便更好地分析矩阵的性质和解法。
6--向量组的极大无关组与秩的求法
a11 a21 K as1
a12 a1s a22 a2 s . as 2 ass
则1 , 2 ,, s线性无关 r ( K ) s. 则1 , 2 ,, s线性相关 r ( K ) s.
1 0 0 0 1 1 1 2
1 (1,0,0,3), 2 (1,1, 1, 2), 3 (1, 2, a 3, a), 4 (0,1, a, 2).
0 a 1 0 a 1
1 1 0 0
1 a 2, 0 A a 2 0 0
6向量组的极大无关组与秩的求法求法秩秩的向量组秩的向量组的极大无关组向量组的秩无关组向量的秩
向量组的秩的求法
行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。 定理4 ：矩阵的行秩与列秩相等，为矩阵的秩。 推论：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩 阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。 例1：求向量组的秩。
0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 2 1 , , a 1 0 0 a 1 1 a 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 a 2 3 0 0 0 0 1 0 r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 2 1 1 , 2 , 4为极大无关组。 , 3 1 r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 0 0 1 , 2 , 3为极大无关组。
2 1 1 0 0
1 2 0 . 4 0
1 , 2 , 3 , 4线性相关。
r (1 , 2 , 3 ) 3, 1 , 2 , 3是一个极大无关组。
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