向量组的秩向量空间简介
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则由基1, 2 , , m到基1,2 , ,m 过渡矩阵为A-1.
的秩和一个极大线性无关组，并用极大无关组表示其 余向量.
例2.设向量组 1, 2 , , m 可由 1,2 , ,m 线性表示，
j a1 j1 a2 j2 amjm ( j 1, 2, , m), A=(aij ).证明 1）若矩阵A不可逆，则向量组1, 2 , , m 线性相关. 2）若1,2 , ,m 线性无关，则 1, 2 , , m线性无关
注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间．
例5. 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m 线性 表示，则 L(1, 2 , , s )是 L(1,2 , ,m )的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 *二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1,2, ,m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1,2, ,m }.
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是 不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m
2 a121 a222
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV.
规定：零向量空间没有基，维数定义为0.
判别.设 1,2 , ,m是V中m个向量,则 1,2 , ,m
是V的一个基的充要条件是
i) 1,2 , ,m 线性无关； ii) V中任意向量都可由 1,2 , ,m 线性表示.
的充要条件是矩阵A可逆.
§3 向量组的秩、向量空间简介
二、向量空间简介
1.基本概念
设V是由n维向量组成的非空集合，若
, V ,k , 有 ，k V ,
则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 定义2. 设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量 的加法和数乘两种运算封闭，则称V是一个向量空间.
规定：零向量组的秩为0.
定理1 若一向量组ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间： V1 {( x1, x2 , , xn1,0)T xi R, i 1, 2, , n 1} V2 {( x1, x2 , , xn1,1)T xi R, i 1, 2, , n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量 空间 , V ,k,l, k l V .
am1 am2
a1m
a2m
amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
例4.设 1,2 , ,m 是n维向量组，则集合 V { k11 k22 kmm，k1, k2 , , km R} 是一个向量空间，称为由 1,2, ,m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间.
am2m
①
m
a1m1
a2 m 2
ammm
即，
§3 向量组的秩、向量空间简介
a11 a12
a1m
(1,2,
, m ) (1,2,
,
m
)
a21
a22
am1 am2
a2m
amm
②
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1,2 , ,m ) R{1,2, ,m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1,2 , ,m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为 k11 k22 kmm (1,2 ,
k1
,m
)
k2
km
称数组 k1, k2 , , km 为向量 在基 1,2 , ,m 下坐标.
的秩和一个极大线性无关组，并用极大无关组表示其 余向量.
例2.设向量组 1, 2 , , m 可由 1,2 , ,m 线性表示，
j a1 j1 a2 j2 amjm ( j 1, 2, , m), A=(aij ).证明 1）若矩阵A不可逆，则向量组1, 2 , , m 线性相关. 2）若1,2 , ,m 线性无关，则 1, 2 , , m线性无关
注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间．
例5. 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m 线性 表示，则 L(1, 2 , , s )是 L(1,2 , ,m )的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 *二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1,2, ,m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1,2, ,m }.
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是 不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m
2 a121 a222
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV.
规定：零向量空间没有基，维数定义为0.
判别.设 1,2 , ,m是V中m个向量,则 1,2 , ,m
是V的一个基的充要条件是
i) 1,2 , ,m 线性无关； ii) V中任意向量都可由 1,2 , ,m 线性表示.
的充要条件是矩阵A可逆.
§3 向量组的秩、向量空间简介
二、向量空间简介
1.基本概念
设V是由n维向量组成的非空集合，若
, V ,k , 有 ，k V ,
则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 定义2. 设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量 的加法和数乘两种运算封闭，则称V是一个向量空间.
规定：零向量组的秩为0.
定理1 若一向量组ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间： V1 {( x1, x2 , , xn1,0)T xi R, i 1, 2, , n 1} V2 {( x1, x2 , , xn1,1)T xi R, i 1, 2, , n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量 空间 , V ,k,l, k l V .
am1 am2
a1m
a2m
amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
例4.设 1,2 , ,m 是n维向量组，则集合 V { k11 k22 kmm，k1, k2 , , km R} 是一个向量空间，称为由 1,2, ,m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间.
am2m
①
m
a1m1
a2 m 2
ammm
即，
§3 向量组的秩、向量空间简介
a11 a12
a1m
(1,2,
, m ) (1,2,
,
m
)
a21
a22
am1 am2
a2m
amm
②
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1,2 , ,m ) R{1,2, ,m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1,2 , ,m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为 k11 k22 kmm (1,2 ,
k1
,m
)
k2
km
称数组 k1, k2 , , km 为向量 在基 1,2 , ,m 下坐标.