向量组的秩向量空间简介
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4向量组的秩
若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. 定理 设向量组 A：1,2 ,L ,n , B：1, 2 ,L , n . 其中
i a1i a2i L ami T (i 1,2,L , n)
T
i a1i a2i L ami am1,i (i 1, 2,L , n) 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.
7
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义
a11
矩阵
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
,
M
am1
am1
L
amn
Ａ的列向量组的秩称为列秩.
Ａ的行向量组的秩称为行秩.
8
定理3.11 A为m n矩阵,r(A) r的充分必要条件是：A
的行秩、列秩都为 r.
9
证 必要性.设A = (a1,a2 ,L ,am )，r( A) = r,并设r阶子式 Dr ¹ 0. 由Dr 0知所在的r列线性无关；
r 1 , 2 , s r1，2， n 由定理3.11知 rAB rA
类似，有 rAB rB
故，rAB minrA,rB.
17
五、向量空间的基与维数
定义 设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量 1,2 ,L ,r 若满足：
① 1,2 ,L ,r 线性无关； ② j V , j ,1,2,L ,r 线性相关. 则称1,2 ,L ,r 为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数. 记作：dimＶ.
Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，
且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.
18
注意： 零空间的维数是0.
i a1i a2i L ami T (i 1,2,L , n)
T
i a1i a2i L ami am1,i (i 1, 2,L , n) 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.
7
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义
a11
矩阵
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
,
M
am1
am1
L
amn
Ａ的列向量组的秩称为列秩.
Ａ的行向量组的秩称为行秩.
8
定理3.11 A为m n矩阵,r(A) r的充分必要条件是：A
的行秩、列秩都为 r.
9
证 必要性.设A = (a1,a2 ,L ,am )，r( A) = r,并设r阶子式 Dr ¹ 0. 由Dr 0知所在的r列线性无关；
r 1 , 2 , s r1，2， n 由定理3.11知 rAB rA
类似，有 rAB rB
故，rAB minrA,rB.
17
五、向量空间的基与维数
定义 设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量 1,2 ,L ,r 若满足：
① 1,2 ,L ,r 线性无关； ② j V , j ,1,2,L ,r 线性相关. 则称1,2 ,L ,r 为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数. 记作：dimＶ.
Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，
且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.
18
注意： 零空间的维数是0.
向量组的秩的定义
向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。
2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
第11讲向量组的秩与向量空间
4 例 .在R 中取定一组基a1,a2 , a3，再取一个新基 b1, b2 , b3，记A = (a1,a2 ,a3 )，B = (b1, b2 ,b3 )，求用 a1,a2 ,a3表示b1,b2 , b3的表示式(基变换公式)，并 求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标 变换公式). Q 解： (a1, a2 , a3 ) = (e1, e2 ,e3 )A ， ∴(e1,e2 , e3 ) = (a1, a2 , a3 )A−1， 又(b1, b2 ,b3 ) = (e1,e2 , e3 )B ∴(b1, b2 , b3 ) = (a1, a2 , a3 )A−1B ( 即基变换公式为： b1, b2 , b3 ) = (a1, a2 , a3 )P 其中P = A−1B.
1.定义：在向量空间V 1.定义：在向量空间 中，如果存在 n 个元素 定义 a1,a2,…,an满足： 满足： 1)a1,a2,…,an线性无关； 线性无关； 2)V 中任一元素 a 总可由 1,a2,…,an线性表示， 总可由a 线性表示， 那么， 就称为向量空间V 的一个基， 那么， a1,a2,…,an就称为向量空间 的一个基， 称为向量空间V 的维数. 基中元素的个数 n 称为向量空间 的维数 维向量空间， 维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间，记 作Vn。
3
设向量x在旧基和新基中的坐标分别是： (y1, y2 , y3 )T，(x1, x2 , x3 )T，即有 y1 x1 x = (a1, a2 ,a3 ) y2 ，x = (b1, b2 ,b3 ) x2 y x 3 3 y1 x1 y1 x1 故:A y2 = B x2 ⇒ y2 = A−1B x2 y x y x 3 3 3 3 y1 x1 y2 = P x2 即 y x 3 3
线性代数课件--09向量组的秩与向量空间-精选文档
8
三、最大无关组的等价定义
1. 结论的引入 问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？ : , , , : , 设向量组 A 1 2 m 0 i, i, i是向量组 A 的最大无关组， 显然，向量组 A 0 能由向量组 A 线性表示： 0 0 1 0 0 i 1 i 1 i i 1 m s s s s
1 2 r
1 2 r
1 2
另一方面，因为向量组 A 0是向量组 A 的最大无关 组，所以向量组 A 中任意 r 1 个向量都线性相关， 特别地，对于A 中任一向量 j ，向量组 , 能 由 , , j, i, i, i 线性相关，因此 j i i, i 线性表示，即向量组 A 能由向量组 A 0 线性表示. 所以向量组与其最大无关组等价. 9
1 2 r
(A ,所以 A 中存在 根据最大无关的定义，知 R 0)r 0 r 阶非零子式，即矩阵 A 中含有r 阶非零子式. 另一方面，如果 A 中有r 1阶子式 Dr 1不为零，则 , 矩阵 A 中Dr 1 所在的 r 1 列 j, j, j 线性无 , , , ) r 1 关（因为矩阵 ( ）. j j j 1 2 r 1 的秩为 , 这与 的列向量组的最大无关组矛 i, i , i是 A 盾. 因此 R (A )r. 即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.
第 主要内容 向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 九 等价定义； 讲 向 量 组 的 秩 与 向 量 空 间
向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法； 向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.
理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组. 知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在 基中的坐标.
三、最大无关组的等价定义
1. 结论的引入 问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？ : , , , : , 设向量组 A 1 2 m 0 i, i, i是向量组 A 的最大无关组， 显然，向量组 A 0 能由向量组 A 线性表示： 0 0 1 0 0 i 1 i 1 i i 1 m s s s s
1 2 r
1 2 r
1 2
另一方面，因为向量组 A 0是向量组 A 的最大无关 组，所以向量组 A 中任意 r 1 个向量都线性相关， 特别地，对于A 中任一向量 j ，向量组 , 能 由 , , j, i, i, i 线性相关，因此 j i i, i 线性表示，即向量组 A 能由向量组 A 0 线性表示. 所以向量组与其最大无关组等价. 9
1 2 r
(A ,所以 A 中存在 根据最大无关的定义，知 R 0)r 0 r 阶非零子式，即矩阵 A 中含有r 阶非零子式. 另一方面，如果 A 中有r 1阶子式 Dr 1不为零，则 , 矩阵 A 中Dr 1 所在的 r 1 列 j, j, j 线性无 , , , ) r 1 关（因为矩阵 ( ）. j j j 1 2 r 1 的秩为 , 这与 的列向量组的最大无关组矛 i, i , i是 A 盾. 因此 R (A )r. 即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.
第 主要内容 向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 九 等价定义； 讲 向 量 组 的 秩 与 向 量 空 间
向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法； 向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.
理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组. 知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在 基中的坐标.
线性代数4-2 向量组的秩
第二节向量组的秩最大线性无关向量组第四章向量空间向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系12r r ∴≤推论等价向量组秩相等.反之不一定.定理1 给定向量组和，若设12V V {}{}1122,.r V r r V r ==且可由线性表出，则12V V .12r r ≤证明：设分别为的最大无关组，,12U U ,12V V 则所含向量个数分别为,12U U ,12r r 可由线性表出12V V 12U U ⇒可由线性表出又线性无关，1U,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα ,1),,,,(21+=k r n γααα =),,,,,(21γβαααn r 【例1】已知且则（）(A) k (B) k + 1 (C) 2k + 1 (D) 1【解】由,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα 知可由线性表出，βn ααα,,,21 所以向量组与等价，βααα,,,,21n n ααα,,,21 从而与等价, γβααα,,,,,21n γααα,,,,21n 1),,,,(),,,,,(2121+==k r r n n γαααγβααα 故【例2 】求向量组的最大无关组及秩．123456121021121020120111001111120111αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪======----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,,,,,123456αααααα方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。
定理3T()()()()()()()r A r A r A r A r A B r A r B λ==+≤+，，()r AB ()min ()()r A r B ≤，()()r A r B s +-≤(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵，数，则0λ≠(2) 若A 是m ×s 矩阵, B 是s ×n 矩阵，则证明(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵, 则r (A +B )≤r (A )+r (B ).1212,,,;,,,sti i i j j jαααβββ {}{}12121122,,,,,,,s t n n i i i j j j r r αβαβαβαααβββ∴+++≤ ，，，s t≤+()()()r A B r A r B ⇒+≤+()()1212n n A B αααβββ== ，，，，，，，将A , B 列分块，()1122n n A B αβαβαβ+=+++ ，，，则若r (A ) = s , r (B ) = t ，则可分别设向量组1212n n αααβββ ，，，，，，与的最大无关组为：从而向量组可由向量组1122n n αβαβαβ+++ ，，，1212,,,,,,,sti i i j j j αααβββ 线性表出．11()()s n A AB ααγγ== ，，，，，111111(,,)(,,)n n s s sn b b b b γγαα⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ()()r AB r A ∴≤利用此结论可得：()()()TTTT()r AB r BAr B =≤()()r AB r B ≤()()min ()()r AB r A r B ∴≤，(2) 对A m ×s , B s ×n 有()r AB ()min ()()r A r B ≤，将A 和AB 列分块：设B = ( b ij )，则由知矩阵AB 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表出即【例3】设A 为n 阶方阵，且A 2=I ，证明：()()r A I r A I n++-=()()()()r A I r A I r A I r I A ++-=++-()(2)r A I I A r I ≥++-=()()r A I r A I n++--()()()r A I A I ≤+-2()()0r A I r O =-==()()n r A I r A I n∴≤++-≤()()r A I r A I n⇒++-=()()r A r B n+≤【证明】n=又一般地，对n 阶方阵A ，B ，若A B ＝O ，则有。
向量空间的结构
T T T T T
杨建新
第三节 向量空间的结构
二、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
第 三 章 维 向 量 空 间 n
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
杨建新
第三节 向量空间的结构
， 结论 若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr 所在的r列即是列向量组的一个 极大无关组，
第 三 章 维 向 量 空 间 n
Dr 所在的r行即是行向量组的一个 极大无关组 .
如阶梯形矩阵 说明
1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
1, 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a1 1 a2 2 an n , a1 , a2 , , an R n 则数组 a1 , a2 , , an ，就称为 在基 1 , 2 , , n
设 下的坐标，记为 (a1 , a2 ,
选出r个向量 i1 , i2 ,, ir ，满足 （1）向量组 A0 : i1 , i2 ,, ir 线性无关； （2）向量组 A中任意 r 1个向量线性相关
（如果 A中有r 1个向量的话） ;
那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关向量组 (简称极大无关组)；极大无关组所含向量个 数r称为 向量组的秩; 向量组A : 1 , 2 ,, s的秩也记作
(a1 ,, a s ) Kx 0 有非零解， 即(b,, br ) x 0有非零解， 这与B0组
线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.
杨建新
第三节 向量空间的结构
二、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
第 三 章 维 向 量 空 间 n
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
杨建新
第三节 向量空间的结构
， 结论 若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr 所在的r列即是列向量组的一个 极大无关组，
第 三 章 维 向 量 空 间 n
Dr 所在的r行即是行向量组的一个 极大无关组 .
如阶梯形矩阵 说明
1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
1, 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a1 1 a2 2 an n , a1 , a2 , , an R n 则数组 a1 , a2 , , an ，就称为 在基 1 , 2 , , n
设 下的坐标，记为 (a1 , a2 ,
选出r个向量 i1 , i2 ,, ir ，满足 （1）向量组 A0 : i1 , i2 ,, ir 线性无关； （2）向量组 A中任意 r 1个向量线性相关
（如果 A中有r 1个向量的话） ;
那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关向量组 (简称极大无关组)；极大无关组所含向量个 数r称为 向量组的秩; 向量组A : 1 , 2 ,, s的秩也记作
(a1 ,, a s ) Kx 0 有非零解， 即(b,, br ) x 0有非零解， 这与B0组
线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.
2-2 向量组的秩
上的向量空间， 定义 设 V 是数域 F 上的向量空间，S 是 V 中的向量组成 的向量组， 的向量组， 对于 S 的一个线性无关的子集 M ，如果将 S 中 其余任何向量添加在 M 中新得到的向量组都是线性相关 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 的，称 M 是 S 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
β1 =α1 −α3, β2 =α1 −α2, β3 = −α1 +α2 +α3
所 这 个 量 等 . 以 两 向 组 价
定理 向量组都与其极大线 性无关组等价。 性无关组等价。它的任何 两个极大线性无关组等价。 两个极大线性无关组等价。
证明 此时无声 胜有声
定理 两个等价的线性无关向量组 所含向量个数相等。 所含向量个数相等。 证明 尽在不言中
不具有唯一性。
例1
解
例2
求 α 1 = (1,2,3,4,−3) ， α 2 = (1,2,0,−5,1) ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 3 = ( 2,4,−3,−19,6) ， α 4 = (3,6,−3,−24,7 )
的一个极大线性无关组。 的一个极大线性无关组。
解
α 1 ， α 2 是一个极大线性无关组。 是一个极大线性无关组。
二、向量组 的等价、 的等价、秩
同一向量组的 两个极大线性无关 组所含向量个数有 什么关系？ 什么关系？ 回忆： 回忆：方程组中利用线 性组合定义的等价。 性组合定义的等价。
定义 (Ⅰ): α1, α2, …, α r , (Ⅱ): β1, β 2, …, Ⅰ Ⅱ βs ,若组 Ⅰ) 中每一个向量都可由 Ⅱ)中的 若组(Ⅰ 中每一个向量都可由(Ⅱ 中的 若组 向量线性表出，则称组(Ⅰ 可由 可由(Ⅱ 线性表 向量线性表出，则称组 Ⅰ)可由 Ⅱ)线性表 若组(Ⅰ 与组 与组(Ⅱ 可以互相线性表出 可以互相线性表出， 出.若组 Ⅰ)与组 Ⅱ)可以互相线性表出， 若组 称组(Ⅰ 与组 与组(Ⅱ 等价 等价. 称组 Ⅰ)与组 Ⅱ)等价
β1 =α1 −α3, β2 =α1 −α2, β3 = −α1 +α2 +α3
所 这 个 量 等 . 以 两 向 组 价
定理 向量组都与其极大线 性无关组等价。 性无关组等价。它的任何 两个极大线性无关组等价。 两个极大线性无关组等价。
证明 此时无声 胜有声
定理 两个等价的线性无关向量组 所含向量个数相等。 所含向量个数相等。 证明 尽在不言中
不具有唯一性。
例1
解
例2
求 α 1 = (1,2,3,4,−3) ， α 2 = (1,2,0,−5,1) ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 3 = ( 2,4,−3,−19,6) ， α 4 = (3,6,−3,−24,7 )
的一个极大线性无关组。 的一个极大线性无关组。
解
α 1 ， α 2 是一个极大线性无关组。 是一个极大线性无关组。
二、向量组 的等价、 的等价、秩
同一向量组的 两个极大线性无关 组所含向量个数有 什么关系？ 什么关系？ 回忆： 回忆：方程组中利用线 性组合定义的等价。 性组合定义的等价。
定义 (Ⅰ): α1, α2, …, α r , (Ⅱ): β1, β 2, …, Ⅰ Ⅱ βs ,若组 Ⅰ) 中每一个向量都可由 Ⅱ)中的 若组(Ⅰ 中每一个向量都可由(Ⅱ 中的 若组 向量线性表出，则称组(Ⅰ 可由 可由(Ⅱ 线性表 向量线性表出，则称组 Ⅰ)可由 Ⅱ)线性表 若组(Ⅰ 与组 与组(Ⅱ 可以互相线性表出 可以互相线性表出， 出.若组 Ⅰ)与组 Ⅱ)可以互相线性表出， 若组 称组(Ⅰ 与组 与组(Ⅱ 等价 等价. 称组 Ⅰ)与组 Ⅱ)等价
《向量组的秩》课件
向量组的秩反映了向量组的线性相关性和向量的独立性，它对于解决线性方程组和矩阵相关 问题非常重要。
在数学、物理中的应用
向量组的秩在数学和物理领域有着广泛的应用，例如解决线性方程组、矩阵分析、以及空间 几何等问题。
向量组的秩的发展趋势
随着数学和科学的不断发展，向量组的秩的研究也在不断深化，新的应用和问题不断产生。
向量组的秩
向量组的秩是线性代数中一个重要的概念，它涉及了向量组的定义、线性相 关和线性无关、以及秩的计算方法。本课件将带你领略向量组的奥秘和应用。
向量组的定义和基本性质
向量组的概念
向量组是由一组向量构成的集合，它可以用于描 述多个有关联的量。
向量组的线性相关和线性无关
向量组中的向量可能具有相关性，也可能是线性 无关的，这取决于线性方程组的解的个数。
2
等价向量组的秩相等
对于等价向量组，它们的秩是相等的。而等价向量组是通过初等行变换相互转化而得到的。
3
初等行变换与秩的关系
通过初等行变换可以改变矩阵的行，而秩受到这些变换的影响。
4
矩阵的秩和向量组的秩
矩阵的秩和矩阵所表示的向量组的秩是相等的，它们之间有着密切的联系。
线性方程组和矩阵的应用
齐次线性方程组的解 的性质
向量组的线性表示
向量组可以通过线性组合表示其他向量，例如向 量a和向量b的线性组合为ka+lb。
向量组的极大线性无关组和秩的定义
一个向量组的极大线性无关组是该向量组的最大 线性无关集合。向量组的秩是极大线性无关组的 向量个数。
秩的性质和计算方法
1
秩的基本性质
秩满足一系列性质，例如当线性方程组有唯一解时，其秩等于方程组中的未知数个数。
在数学、物理中的应用
向量组的秩在数学和物理领域有着广泛的应用，例如解决线性方程组、矩阵分析、以及空间 几何等问题。
向量组的秩的发展趋势
随着数学和科学的不断发展，向量组的秩的研究也在不断深化，新的应用和问题不断产生。
向量组的秩
向量组的秩是线性代数中一个重要的概念，它涉及了向量组的定义、线性相 关和线性无关、以及秩的计算方法。本课件将带你领略向量组的奥秘和应用。
向量组的定义和基本性质
向量组的概念
向量组是由一组向量构成的集合，它可以用于描 述多个有关联的量。
向量组的线性相关和线性无关
向量组中的向量可能具有相关性，也可能是线性 无关的，这取决于线性方程组的解的个数。
2
等价向量组的秩相等
对于等价向量组，它们的秩是相等的。而等价向量组是通过初等行变换相互转化而得到的。
3
初等行变换与秩的关系
通过初等行变换可以改变矩阵的行，而秩受到这些变换的影响。
4
矩阵的秩和向量组的秩
矩阵的秩和矩阵所表示的向量组的秩是相等的，它们之间有着密切的联系。
线性方程组和矩阵的应用
齐次线性方程组的解 的性质
向量组的线性表示
向量组可以通过线性组合表示其他向量，例如向 量a和向量b的线性组合为ka+lb。
向量组的极大线性无关组和秩的定义
一个向量组的极大线性无关组是该向量组的最大 线性无关集合。向量组的秩是极大线性无关组的 向量个数。
秩的性质和计算方法
1
秩的基本性质
秩满足一系列性质，例如当线性方程组有唯一解时，其秩等于方程组中的未知数个数。
向量组的秩定义
向量组的秩定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠向量组的秩这个玩意儿。
你说向量组的秩像不像一个班级里的班干部呀！班干部就是从众多同学中选出来的能代表班级的核心人物呢。
向量组里的那些向量就如同一个个同学，而秩呢，就是那个能挑出关键向量的指标。
咱想想，一个向量组里有好多向量，就像一群人聚在一起。
但并不是每个向量都那么重要，对吧？有的可能就是凑个数的。
这时候秩就发挥作用啦，它能告诉我们到底有几个“骨干”向量。
比如说，在一个空间里，有好多向量在那晃悠。
但其实真正能撑起这个空间的，可能就那么几个关键的向量。
这几个向量就是秩所确定的。
这不就跟盖房子一样嘛，真正起支撑作用的梁柱就那么几根，其他的可能只是装饰或者辅助。
那秩到底是怎么确定的呢？这就好比我们要在一群人中选出最有代表性的几个。
我们得看看哪些向量是可以由其他向量表示出来的，这些能被表示的就没那么重要啦，就像在班级里有些同学的作用可以被班干部代替一样。
而那些不能被表示的，就是真正的“核心人物”，它们的个数就是秩啦！再打个比方，就像一个团队做任务，总有那么几个关键人物，他们的决策和行动决定了整个任务的走向。
向量组的秩就是找出这些关键的向量呀！你说要是没有秩这个概念，那我们面对一堆向量得多迷茫呀！就像在茫茫人海中不知道该跟谁合作，该依靠谁。
有了秩，我们就能一下子抓住重点，知道哪些向量是最关键的，是我们应该重点关注的。
而且哦，向量组的秩还有很多奇妙的性质呢！它就像一把神奇的钥匙，能打开很多数学问题的大门。
它能帮助我们判断向量组是不是线性相关呀，是不是线性无关呀。
这可重要了，就像我们要判断一个团队是不是团结协作，是不是有战斗力一样。
总之呢，向量组的秩可真是个好东西呀！它让我们在复杂的向量世界里找到了方向，找到了重点。
让我们能更清楚地认识和理解向量组的本质。
难道不是很神奇吗？大家好好去体会体会吧！这就是向量组的秩，一个看似简单却蕴含着无穷奥秘的概念呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
第5讲 向量组的秩,向量空间(江西理工大学)
注意：
（ 1 ）最大无关组不一定唯一 ; （ 2 ）向量组与它的最大无 关组是等价的;
（3）一个向量组的任意两个最大无关组等价; （4）一个线性无关向量组的最大无关组就是 它本身;
(5) 只含零向量的向量组没有最大无关组.
R 一个的最大无关组为 E : 1 , 2 ,, n .
定义2
给定向量组A : 1 , 2 ,, m , 如果存在不
全为零的数 k1 , k2 ,, km 使
k11 k2 2 km m 0,
则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关．
第五讲
第二章 n 维向量
第三节 向量组的秩
第四节 向量空间
第三节 向量组的秩
一、向量组的相互线性表示、等价关系 二、最大线性无关向量组 三、向量组的秩及秩的重要结论
2 2 1 1 2 3， 3 3 4 2 2 1 2 3 . 3 3
解:（筛选法） 1 , 2 线性无关， 3 1 2 . 所以， 定义，最大无关组为1 , 2 .
同样，1 , 3 ; 2 , 3 也是最大无关组。 （注：最大无关组不唯一。）
类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空 间.
例2
判别下列集合是否为向量空间
V1 x 0, x2 , , xn x2 , , xn R 。
T
解
V1是向量空间.
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 ,, an , 0, b2 ,, bn T V1 ,
n
全体n维向量构成的向量组记作R n ,
因为 R n 中任意n+1个向量线性相关。
《向量组的秩》课件
定理3
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
第3节 向量组的秩
15
1 2 3 4 5
1 0 B 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 2 1 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 2 , C 1 0
而不妨设 1 ,, r ( r s ) (Ⅱ) 是它的一个极大无关组,
首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.
其次,(Ⅰ)中 1 ,, r 可由(Ⅱ)线性表出,
而1 ,, r , k 线性相关,
定理
其余的向量 k (r 1 k n), 由于 1 ,,r 线性无关,
即1 , 2 , 3 线性无关,
而1 , 2 , 3 , 4 必线性相关,
故 1 , 2 , 3 是一个极大无关组.
2 , 3 , 4 也是一个极大无关组.
6
一些结论: 1.仅含零向量的向量组不存在极大无关组; 2.任意含非零向量的向量组一定存在极大无关组, 且极大无关组不一定唯一;
1 , 2 线性无关, 且 3 1 2 , 1 , 2为一极大无关组 .
1 , 3 线性无关, 且 2 3 1 , 1 , 3 为一最大无关组 .
类似
2 , 3 线性无关, 且 1 3 2 , 2 , 3为一极大无关组 .
2
定义 若一个向量组的部分组 1 , 2 ,..., r 满足:
(1) 线性无关;
..., r 线性表示, 则称 1 , 2 , ..., r 为向量组的一个极(最) 大线性无关组.
简称极大无关组.
(2) 向量组中任何一个其他的向量都可以由 1 , 2 ,
注:“极大”是指线性无关的部分组包含向量的个数最多.
1 2 3 4 5
1 0 B 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 2 1 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 2 , C 1 0
而不妨设 1 ,, r ( r s ) (Ⅱ) 是它的一个极大无关组,
首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.
其次,(Ⅰ)中 1 ,, r 可由(Ⅱ)线性表出,
而1 ,, r , k 线性相关,
定理
其余的向量 k (r 1 k n), 由于 1 ,,r 线性无关,
即1 , 2 , 3 线性无关,
而1 , 2 , 3 , 4 必线性相关,
故 1 , 2 , 3 是一个极大无关组.
2 , 3 , 4 也是一个极大无关组.
6
一些结论: 1.仅含零向量的向量组不存在极大无关组; 2.任意含非零向量的向量组一定存在极大无关组, 且极大无关组不一定唯一;
1 , 2 线性无关, 且 3 1 2 , 1 , 2为一极大无关组 .
1 , 3 线性无关, 且 2 3 1 , 1 , 3 为一最大无关组 .
类似
2 , 3 线性无关, 且 1 3 2 , 2 , 3为一极大无关组 .
2
定义 若一个向量组的部分组 1 , 2 ,..., r 满足:
(1) 线性无关;
..., r 线性表示, 则称 1 , 2 , ..., r 为向量组的一个极(最) 大线性无关组.
简称极大无关组.
(2) 向量组中任何一个其他的向量都可以由 1 , 2 ,
注:“极大”是指线性无关的部分组包含向量的个数最多.
4-2向量组的秩与向量空间
21:50 共19页 4
推论2.4若向量组 的秩为m, 则A中任意m 1个向 A 量(若存在 )构成的向量组必线性相 关. 准则2 若向量组 的秩为 , 则A中任意含 个向量 A r r 线性无关部分组均为 的极大无关组. (证明略) A 例2.2 设组B能由组A线性表示 且r ( A) r ( B ), , 证明向量组 与向量组 等价. A B 证明 设向量组 和B的秩都为s. 因B组能由A组 A 线性表示 故A组和B组合并而成的向量组( A, B ) , 能由A组线性表示. 因此 r ( A) r ( A, B) r ( A) 从而 r ( B) r ( A) r ( A, B). 现在设B0为B的极大 ( . 无关组,因而也是 A, B)组的线性无关部分组注 意到 B0中恰有 s r ( A, B )个向量 .由准则 2, B0为组 ( A, B )的极大无关组 . 因此 A能被 B0线性表示 , 进 而能被B线性表示 所以A, B等价. .
0 0 0 0
1 2
此时, r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 1 , 2 , 3为一组极大无关组. 4 1 2 3 .
21:50 共19页 8
0 0 0 0
下例表明可用向量组的秩研究矩阵秩的性质. 例2.4 若C mn Am s Bsn , 则r(C ) min{ r( A), r( B)}. 证 设矩阵C和A用其列向量表示为 C ( c1 ,, cn ), A ( a1 ,, as ). 而B (bij )， b11 b1n 由 ( c1 ,, cn ) ( a1 ,, as ) bs1 bsn 知矩阵C的列向量组能由 的列向量组线性表示， A 因此r (C ) r ( A). 因C T BT AT ,由上段证明知 r (C T ) r ( BT ), 即r(C ) r( B). 所以 r(C ) min{ r( A), r( B)}.
推论2.4若向量组 的秩为m, 则A中任意m 1个向 A 量(若存在 )构成的向量组必线性相 关. 准则2 若向量组 的秩为 , 则A中任意含 个向量 A r r 线性无关部分组均为 的极大无关组. (证明略) A 例2.2 设组B能由组A线性表示 且r ( A) r ( B ), , 证明向量组 与向量组 等价. A B 证明 设向量组 和B的秩都为s. 因B组能由A组 A 线性表示 故A组和B组合并而成的向量组( A, B ) , 能由A组线性表示. 因此 r ( A) r ( A, B) r ( A) 从而 r ( B) r ( A) r ( A, B). 现在设B0为B的极大 ( . 无关组,因而也是 A, B)组的线性无关部分组注 意到 B0中恰有 s r ( A, B )个向量 .由准则 2, B0为组 ( A, B )的极大无关组 . 因此 A能被 B0线性表示 , 进 而能被B线性表示 所以A, B等价. .
0 0 0 0
1 2
此时, r ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 1 , 2 , 3为一组极大无关组. 4 1 2 3 .
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下例表明可用向量组的秩研究矩阵秩的性质. 例2.4 若C mn Am s Bsn , 则r(C ) min{ r( A), r( B)}. 证 设矩阵C和A用其列向量表示为 C ( c1 ,, cn ), A ( a1 ,, as ). 而B (bij )， b11 b1n 由 ( c1 ,, cn ) ( a1 ,, as ) bs1 bsn 知矩阵C的列向量组能由 的列向量组线性表示， A 因此r (C ) r ( A). 因C T BT AT ,由上段证明知 r (C T ) r ( BT ), 即r(C ) r( B). 所以 r(C ) min{ r( A), r( B)}.
向量组的秩
， 10
,
0 0
和向量组
1 0
， 10
，11
0 0 1
0 0 1
都是向量组
1 0
， 10 ,
0 0
，11
最大无关组。
0 0 1 1
由定义不难得出以下结论：
1.如果一个向量组的秩是 r ,那么此向量组的任意 r 个线性无关
的向量都可以是它的一个最大无关组。由此即知，一个向量组 的最大无关组不唯一。 2.向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该向量组 所含向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的 秩小于该向量组所含向量的个数。
1
2 0
从而可知 R( A) 3 即向量组 1,2 ,3,4 的秩等于3 。
又因为向量组 1,2 ,4 构成的矩阵经初等行变换可以变成
1 1 1
1 1 1
r2 2r1
1 1 1
(1
,
2
,
4
)
2 2 3
1 3 6
1 61
rr4332rr11
0 0 0
3 5 3
1 3 3
实用线性代数
向量组的秩
1.1 向量组的最大无关组与秩 1.2 向量组的秩与矩阵的秩 1.3 向量空间的基与维数
1.1 向量组的最大无关组与秩
定定义义3.31.010 如果在向量组 A :1,2, 1, 2 ,, r 满足条件：
⑴ 向量组 1,2 ,,r 线性无关，
,n 中有 r 个向量
⑵ 向量组A中任意 r 1个向量（如果存在的话）都线性相关。
例如 向量组
1
A
:
a1
0
,
0
0
a2
大学线性代数：向量组的秩
10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
§3 向量组的秩、向量空间简介
空间 , V , k , l , k l V . 例4.设 1 , 2 ,, m 是n维向量组，则集合
V { k11 k2 2 km m，k1 , k2 ,, km R}
是一个向量空间，称为由 1 , 2 ,, m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间. 注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间． 例5. 若向量组 1 , 2 ,, s 可由 1 , 2 ,, m 线性 表示，则 L(1 , 2 ,, s )是 L(1 , 2 ,, m ) 的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间：
V1 {( x1 , x2 ,, xn1 ,0)T V2 {( x1 , x2 ,, xn1 ,1)T xi R, i 1,2,, n 1} xi R, i 1,2,, n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量
④
称③或④为向量α 在基变换下的坐标变换公式．
作业
作业1：习题13，1） 作业2：习题16
§3 向量组的秩、向量空间简介
向量组的秩向量空间简介向量组的秩向量空间简介线性相关性的结论极大线性无关组线性相关性的结论极大线性无关组n维向量的线性相关性维向量的线性相关性向量的内积向量的内积向量组的秩向量空间简介向量组的秩向量空间简介定义1向量组的极大无关组所含向量规定
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
V { k11 k2 2 km m，k1 , k2 ,, km R}
是一个向量空间，称为由 1 , 2 ,, m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间. 注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间． 例5. 若向量组 1 , 2 ,, s 可由 1 , 2 ,, m 线性 表示，则 L(1 , 2 ,, s )是 L(1 , 2 ,, m ) 的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间：
V1 {( x1 , x2 ,, xn1 ,0)T V2 {( x1 , x2 ,, xn1 ,1)T xi R, i 1,2,, n 1} xi R, i 1,2,, n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量
④
称③或④为向量α 在基变换下的坐标变换公式．
作业
作业1：习题13，1） 作业2：习题16
§3 向量组的秩、向量空间简介
向量组的秩向量空间简介向量组的秩向量空间简介线性相关性的结论极大线性无关组线性相关性的结论极大线性无关组n维向量的线性相关性维向量的线性相关性向量的内积向量的内积向量组的秩向量空间简介向量组的秩向量空间简介定义1向量组的极大无关组所含向量规定
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
第三章 向量与向量空间·向量组的秩
所以 α 3 = −α1 − α 2 , α 5 = 4α1 + 3α 2 − 3α4 . 由于 R(α1 , α 2 , α4 ) = 3= R(α1 , α 2 , α 3 , α4 , α5 ), 故α1 , α2 , α4 线性无关， 且为向量组α1 , α2 , α3 , α4 , α5的一个极大无关组. 说明
1 1 1 1 1 0 1 −1 2 1 α1 = , α 2 = , α 3 = , α4 = , β= . 2 3 a+2 4 b+3 3 5 1 a + 8 5
线
性
代
数
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结束
第二章
矩 阵
第四节 矩阵的分块
[例1]设α1 = ( 2 , 1 , 4 , 3 )T ,α2 = ( −1 , 1 , − 6 , − 6 )T , α3 = ( −1 , − 2 , 2 , − 9 )T , α4 = ( 1 , 1 , − 2 , 7 )T ,α5 = ( 2 , 4 , 4 , 9 )T , 求向量组α1 , α2 , α3 , α4 , α5的 极大无关组. 并把其余的向量用这个组线性表示出来.
1 − 2 4 r 0 3 − 3 又 （β1, β2, β3 ) → , 0 0 0 0 0 0 1 −2 4 −1 5 − 7 . 5 −15 25 0 0 0
知 R(β1, β2, β3 ) = 2 < 3,
故向量组 β 1 , β 2 , β 3可由向量组 α1 , α 2 , α 3线性表示，但不等价.
线性代数11-向量组的秩
1
1 1 1 8 0 4 6 2
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩
是唯一的．
2 1 1 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
1 0 2 1 0 2 r 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0
可见 r(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关，
同时， r(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，
无关组及 Rn 的秩．
1 0 解： n 阶单位矩阵 I e1 , e2 , , en 0 0 0 1 0 的列向 0 1
量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ．
1 0 思考：上三角形矩阵 A 0 1 1 1 1 的列向量组是 Rn 的 0 1
从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．
最大无关组的等价定义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的 话）都线性相关； ② 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．
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规定：零向量组的秩为0.
定理1 若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是 不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m
2 a121 a222
am1 am2
a1m
a2m
amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间： V1 {( x1, x2 , , xn1,0)T xi R, i 1, 2, , n 1} V2 {( x1, x2 , , xn1,1)T xi R, i 1, 2, , n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量 空间 , V ,k,l, k l V .
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV.
规定：零向量空间没有基，维数定义为0.
判别.设 1,2 , ,m是V中m个向量,则 1,2 , ,m
是V的一个基的充要条件是
i) 1,2 , ,m 线性无关； ii) V中任意向量都可由 1,2 , ,m 线性表示.
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1,2 , ,m ) R{1,2, ,m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
则由基1, 2 , , m到基1,2 , ,m 过渡矩阵为A-1.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1,2 , ,m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为 k11 k22 kmm (1,2 ,
k1
,m
)
k2
km
称数组 k1, k2 , , km 为向量 在基 1,2 , ,m 下坐标.
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 *二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1,2, ,m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1,2, ,m }.
am2m
①
m
a1m1
a2 m 2
ammm
即，
§3 向量组的秩、向量空间简介
a11 a12
a1m
(1,2,
, m ) (1,2,
,
m
)
a21
a22
am1 am2
a2m
amm
②
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间．
例5. 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m 线性 表示，则 L(1, 2 , , s )是 L(1,2 , ,m )的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
的秩和一个极大线性无关组，并用极大无关组表示其 余向量.
例2.设向量组 1, 2 , , m 可由 1,2 , ,m 线性表示，
j a1 , m), A=(aij ).证明 1）若矩阵A不可逆，则向量组1, 2 , , m 线性相关. 2）若1,2 , ,m 线性无关，则 1, 2 , , m线性无关
的充要条件是矩阵A可逆.
§3 向量组的秩、向量空间简介
二、向量空间简介
1.基本概念
设V是由n维向量组成的非空集合，若
, V ,k , 有 ，k V ,
则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 定义2. 设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量 的加法和数乘两种运算封闭，则称V是一个向量空间.
例4.设 1,2 , ,m 是n维向量组，则集合 V { k11 k22 kmm，k1, k2 , , km R} 是一个向量空间，称为由 1,2, ,m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间.
定理1 若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是 不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m
2 a121 a222
am1 am2
a1m
a2m
amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间： V1 {( x1, x2 , , xn1,0)T xi R, i 1, 2, , n 1} V2 {( x1, x2 , , xn1,1)T xi R, i 1, 2, , n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量 空间 , V ,k,l, k l V .
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV.
规定：零向量空间没有基，维数定义为0.
判别.设 1,2 , ,m是V中m个向量,则 1,2 , ,m
是V的一个基的充要条件是
i) 1,2 , ,m 线性无关； ii) V中任意向量都可由 1,2 , ,m 线性表示.
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1,2 , ,m ) R{1,2, ,m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
则由基1, 2 , , m到基1,2 , ,m 过渡矩阵为A-1.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1,2 , ,m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为 k11 k22 kmm (1,2 ,
k1
,m
)
k2
km
称数组 k1, k2 , , km 为向量 在基 1,2 , ,m 下坐标.
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 *二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1,2, ,m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1,2, ,m }.
am2m
①
m
a1m1
a2 m 2
ammm
即，
§3 向量组的秩、向量空间简介
a11 a12
a1m
(1,2,
, m ) (1,2,
,
m
)
a21
a22
am1 am2
a2m
amm
②
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间．
例5. 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m 线性 表示，则 L(1, 2 , , s )是 L(1,2 , ,m )的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
的秩和一个极大线性无关组，并用极大无关组表示其 余向量.
例2.设向量组 1, 2 , , m 可由 1,2 , ,m 线性表示，
j a1 , m), A=(aij ).证明 1）若矩阵A不可逆，则向量组1, 2 , , m 线性相关. 2）若1,2 , ,m 线性无关，则 1, 2 , , m线性无关
的充要条件是矩阵A可逆.
§3 向量组的秩、向量空间简介
二、向量空间简介
1.基本概念
设V是由n维向量组成的非空集合，若
, V ,k , 有 ，k V ,
则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 定义2. 设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量 的加法和数乘两种运算封闭，则称V是一个向量空间.
例4.设 1,2 , ,m 是n维向量组，则集合 V { k11 k22 kmm，k1, k2 , , km R} 是一个向量空间，称为由 1,2, ,m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间.