向量组的秩与矩阵秩的关系
矩阵的秩与向量组的秩一致
矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。
“矩阵的秩与向量组的秩一致。
矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。
”怎样证明？就当做习题练一练。
设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。
分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。
（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？逻辑2——（“线性无关，延长无关。
”定理）——已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。
分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0，如何证明“这组常数只能全为0”？每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。
前n 个等式即c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。
逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。
（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。
）逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。
（画外音：画个示意图最好。
）任取A的一行，其左起前 r个分量形成的r 维向量，必定可以被r 阶子式的r 个行线性表示。
第四节向量组的秩和矩阵的秩
由最后的阶梯形矩阵，得r (A)=3。 因此向量组 α1,α2 ,α3,α4 的秩也是3。
由阶梯形矩阵的最后一行，得 α4 −α3 +α2 +α1 = 0 由此可知
α4 = −α1 −α2 +α3
r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
证 设矩阵 A, B的列向量组分别为 α1,α2 ,⋯,αn和 1, β2 ,⋯, βn， β 则 要证
A+ B = (α1 + β1,α2 + β2 ,⋯,αn + βn ) r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
例2 设向量组 a = (1,0,0), a = (0,1,0), a = (0,0,1). 1 2 3 不难看出，部分组a1, a 2是线性无关的，且 a1, a 2 , a3中的任一 向量都可以由此部分组线性表示：
a1 = a1 + 0ia 2 , a 2 = 0ia1 + a 2 , a3 = a1 + a 2
向量用此极大无关组线性表示。
解 把向量 α1,α2 ,α3,α4看作一个矩阵的行向量组，得矩阵
1 −1 2 −2 A= 3 0 0 3
2 1 0 α1 4 −2 0α2 6 −1 1α3 0 0 1α4
对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换， 把A化为阶梯形矩阵：
所以部分组a1, a 2是向量组a1, a 2 , a3的一个极大无关组。 例3 设向量组 a1, a 2 ,⋯, a s线性无关，其极大无关组就是自身。 如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。
第3.3节 向量组的秩
例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证 方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于 原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且
向量组与矩阵
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1,
2
,,
m
x2
0
xm
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
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定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则
行向量组 1,2 , ,线m 性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是 r( A) m.
推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
中对应
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定 其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
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例 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关 组的向量用该极大无关组线性表示：
T1 (1, 4,1, 0, 2) T2 (2,5, 1, 3,2)
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
设矩阵 A
ai1
ai2
ain
am1 am 2 amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行 向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列 秩。
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定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表 示（即坐标表示）。
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定理 4 如果向量组
能由向量组
线Байду номын сангаас
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
向量组的秩与矩阵的秩的关系_线性代数_[共4页]
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86线性代数规定只含零向量的向量组的秩为0. 由定义3.3.2可知，例1中()123 ,,2r =ααα.一般来说，要求向量组的秩，首先需要求出极大无关组，若按照定义3.3.1去求极大无关组比较麻烦，尤其是定义3.3.1中的第二个条件的判断很困难，在3.3.2节我们还将介绍另外的方法求向量组的极大无关组以及秩.由向量组秩的定义可得：（1）向量组12,,,s "ααα线性相关()12,,,s r s ⇔<ααα"；向量组12,,,s "ααα线性无关(1,r ⇔α)2,,s s =αα"（线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身）. （2）任何一个部分组的秩≤向量组的秩≤向量组中向量的个数. （3）若向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证 设12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的极大无关组，12,,,m j j j βββ"是向量组12,,,t βββ"的极大无关组. 因为向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，而向量组与极大无关组是等价的，所以12,,,r i i i ααα"可由12,,,m j j j βββ"线性表示. 又因为12,,,r i i i ααα"线性无关，根据推论3.2.7，得r m ≤，即()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证毕.（4）等价的向量组具有相同的秩.证 设向量组12,,,s "ααα与向量组12,,,t βββ"等价，它们的秩分别为r 和m . 一方面，向量组12,,,s "ααα能由向量组12,,,t βββ"线性表示，则有r m ≤；另一方面，向量组12,,,t βββ"能由向量组12,,,s "ααα线性表示，则m r ≤. 综合这两方面的结论，可得r m =，即等价的向量组的秩相等.证毕.需要注意的是，若两个向量组的秩相等，它们不一定等价.如向量组()()121,2,1,2,4,2=−=−αα，1α是向量组12,αα的极大无关组，秩为1；而向量组()()120,2,1,0,4,2==ββ，1β是向量组12,ββ的极大无关组，秩为1. 两个向量组的秩相等，但是这两个向量组不等价.例2 试证：若一个向量组的秩为r ，则在向量组内，任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.证 设12,,,r i i i ααα"为向量组12,,,s "ααα中r 个线性无关的向量. 任取{}12,,,j s ∈αααα"，如果 {}12,,,rj i i i ∈αααα"，则12,,,,r ji i i αααα"线性相关；如果{}12,,,rj i i i ∉αααα"，因为向量组12,,,,r j i i i αααα"的秩不超过向量组12,,,s "ααα的秩，所以()12,,,,1r j i i i r r r <+αααα"≤，于是向量组12,,,,r j i i i αααα"线性相关. 从而12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的一个极大无关组.3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系由于矩阵和向量组之间存在着一定的关系，所以向量组的秩与矩阵的秩之间也有一定的关系.。
矩阵的秩与向量组的秩一致
矩阵的秩与向量组的秩一致矩阵和向量组是线性代数中非常重要的概念，秩也是矩阵和向量组中的一个重要性质。
矩阵的秩和向量组的秩之间有一个非常重要的关系，本文将对这个关系进行详细的探讨，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。
一、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它可以反映出矩阵所包含的线性空间的维数。
在矩阵中，如果某些行或列之间有一定的线性关系，那么这些行或列就会被称为线性相关的行或列，相反，如果行或列之间没有任何线性关系，那么它们就被称为线性无关的行或列。
在进行矩阵的行变换或列变换时，矩阵的秩不会发生改变。
因此，我们可以通过这些变换来简化矩阵的计算，并最终得出矩阵的秩。
其中最常用的方法是高斯消元法和初等矩阵法。
从几何意义上讲，矩阵的秩可以表示为矩阵所包含的向量空间的维数。
在二维平面内的向量空间中，我们可以用一个二维矩阵来表示，这个矩阵的秩就等于所包含向量的个数；同样，在三维空间内，我们可以用一个三维矩阵来表示向量空间，其秩就代表该空间所包含的向量数。
二、向量组秩向量组秩是指一组向量的线性无关的个数，即向量组中最大的线性无关向量个数。
如果向量组中某些向量之间存在线性依赖关系，那么称这些向量是线性相关的。
因此，向量组的秩和矩阵的秩是有密切联系的。
从几何角度来看，向量组的秩可以理解为所构成的向量空间的维数。
当向量组的秩等于向量空间的维数时，这个向量组就可以作为向量空间的一组基，而向量空间中的任何向量都可以表示为这个向量组的线性组合。
矩阵的秩和向量组秩之间有一种非常重要的一致性，即矩阵的秩等于它所包含向量组的秩。
这个定理有以下两种不同的表述方式：1. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A所包含的向量组的秩也为r。
这两种表述方式的本质是一样的，它们都说明了矩阵的秩与其所包含的向量组秩是完全一致的。
这个定理在线性代数的理论和实际应用中都发挥着非常重要的作用，因为它可以方便地将矩阵和向量组之间的关系进行转换和应用。
四、应用举例在实际应用中，矩阵的秩与向量组秩的一致性有很多不同的应用。
向量组与矩阵的秩
k
i 1 i
s
i
k1 1 k 2 2 k s s 0
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就 称 1 , 2 , s线性无关。 当 1 , 2 , s是行向量组时，它们线性相关就是指有 非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
所以 k1 1 k 2 2 k n n 0 当且仅当k1=k2=…=kn=0 因此 1 单位向量。
湖南科技大学 吴晓勤
12
例2
讨论向量组
1
2 3 2 1
1 2 1
3
3 2 -1
k1 1 k2 2 k3 3 (k1 k3 ) 1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 )
设有k1,k2,k3,使 k1 1 k 2 2 k 3 3 0 由 1 , 2 , 3线性无关，故有
k1 k 3 0 k1 k 2 0 k k 0 3 2
由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0 所以 1 , 2 , 3 线性无关。
湖南科技大学 吴晓勤
14
一般地 , 判断一个向量组 1,2,…,m线性相关的基本 方法和步骤是: 1)假定存在一组数k1,k2,…,km ，使 k11+k22+…+kmm=0; 2) 应用向量的线性运算和向量相等的定义 ,找出含未 知量k1,k2,…,km的齐次线性方程组; 3)判断方程组有无非零解; 4)如有非零解,则1,2,…,m线性相关;如仅有零解,则 1,2,…,m线性无关.
湖南科技大学 吴晓勤
11
1 例1 判断向量组
(1,0, ,0),
2 (0,1, ,0), n (0,0, ,1)
向量组与矩阵的秩
第三章 向量与向量空间§１ n 维向量在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序数对(,)x y .一个n 元方程1122n n a x a x a x b +++=可以用一个1n -元有序数组12(,,,,)n a a a b来表示.1n ⨯矩阵和1n ⨯矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组1212(,,,)a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们进行深入的讨论.定义 1 n 个数组成的有序数组12(,,,)n a a a （３.１） 或12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（３.２）称为一个n 维向量,简称向量.一般,我们用小写的粗黑体字母,如, α,β,γ等来表示向量,(3.1)式称为一个行向量,(3.2)式称为一个列向量.数12,,,n a a a 称为这个向量的分量.i a 称为这个向量的第i 个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量.实际上,n 维行向量可以看成1n ⨯矩阵,n 维列向量也常看成1n ⨯矩阵.下面我们只讨论实向量.设k 和l 为两个任意的常数.α,β和γ为三个任意的n 维向量,其中12(,,,)n a a a = α, 12(,,,)n b b b = β.定义 2 如果α和β对应的分量都相等,即,1,2,,i i a b i n ==就称这两个向量相等,记为α＝β.定义 3 向量(a 1+b 1,a 2+b 2,…,a n +b n )称为α与β的和,记为α＋β.称向量(ka 1,ka 2,…,ka n )为α与k 的数量乘积,简称数乘,记为k α.定义 4 分量全为零的向量(0, 0, …, 0)称为零向量,记为0.α与-1的数乘(-1)α＝(-a 1,-a 2,…,-a n )称为α的负向量,记为-α.向量的减法定义为α－β＝α＋（－β）.向量的加法与数乘具有下列性质： （１） α＋β＝β＋α；（交换律) （２） （α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律） （３） α＋0＝α；（４） α＋（－α）＝0； （５） k (α+β)=k α+k β； （６） （k +l )α=k α+l α； （７） k (l α)=(kl )α； （８） １α＝α； （９） 0α＝0； （１０） k 0＝0.在数学中,满足(１) ～(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明：（１１） 如果k ≠0且α≠0, 那么k α≠0.显然,n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质(１)～(１１).例1 设()11,1,0=α,()20,1,1=α,()33,4,0α=,求12332ααα+-. 解 ()()()1233231,1,020,1,13,4,0ααα+-=+- ()()()()3,3,00,2,23,4,00,1,2=+-=例 2 设()11,1,1,1α=,()21,1,1,1α'=--,()31,1,1,1α'=--,()41,1,1,1α'=--且()()()123422αβαβααβ+-+=++,求β.解 由()()()123422αβαβααβ+-+=++,得()12342223,5,3,3βαααα'=---=-通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行量组α１,α２,…,αs 可以排列 成一个s ×n 分块矩阵12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a a A a ,其中αi 为由A 的第i 行形成的子块,α１,α２,…,αs 称为Ａ的行向量组.n 维列向量组β１,β２,…,βs 可以排成一个n ×s 矩阵Ｂ＝（β１,β２,…,βs ）,其中βj 为Ｂ的第j 列形成的子块,β１,β２,…,βs 称为B 的列向量组.这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究.§2线性相关与线性无关定义 5 向量组α１,α２,…,αs 称为线性相关的,如果有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使1si ii k =∑a=k １α１+k ２α２+…+k s αs ＝0. （3.3）反之,如果只有在k １= k ２ = … =k s =0时(3.3)才成立,就称α１,α２,…,αs 线性无关. 换言之,当α１,α２,…,αs 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×s 矩阵 (k １,k ２,…,k s )使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .当α１,α２,…,αs 为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s ×1矩阵(k １,k ２,…,k s )′使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的. 例3 判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)n =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ εεε 的线性相关性.解 对任意的常数k １,k ２,…,k n 都有k １ε1+k ２ε2+…+k n εn ＝(k １,k ２,…,k n ).所以k １ε1+k ２ε2+…+k n εn =0当且仅当k 1=k 2=…=k n =0.因此ε1,ε2,…,εn 线性无关.ε1,ε2,…,εn 称为基本单位向量. 例4 判断向量组α１＝（１,１,１）,α２＝（０,２,５）,α3＝（１,３,６） 的线性相关性.解 对任意的常数k １,k ２, k 3都有k １α１+k ２α２+ k 3α3=(k １+k 3,k １+2k ２+3k 3,k １+5k ２+6k 3).所以k １α１+k ２α２+ k 3α3=0当且仅当131231230,230,560.k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于k 1=1,k 2=1,k 3=-1满足上述的方程组,因此１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0.所以α１,α２,α3线性相关.例5 设向量组α１,α２,α3线性无关,β１＝α１+α２,β２＝α２+α3,β3＝α3+α１, 试证向量组β１,β２,β3也线性无关.证 对任意的常数都有k １β１+k ２β２+k 3β3=(k １+k 3)α１＋（k １+k ２)α２+(k ２+k 3)α3 .设有k １,k ２,k 3使k １β１+k ２β２+k 3β3=0.由α１,α２,α3线性无关, 故有1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于满足此方程组的k １,k ２,k 3的取值只有k １=k ２=k 3=0,所以β１,β２,β3线性无关.定义 6 向量α称为向量组β１,β２,…,βt 的一个线性组合,或者说α可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出(示),如果有常数k １,k ２,…,k t 使α＝k １β１＋k ２β２+…＋k t βt . 此时,也记1ti ii k ==∑a β.例6 设α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？若能,写出具体表达式.解 令β=k １α１+k ２α２+k 3α3+k 4α4于是得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩ 因为1111111116011111111D ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==-≠⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 由克莱姆法则求出1234511,,444k k k k ====-所以12345111,4444=+--βαααα即β能由α１,α２,α3,α4线性表出.例7 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出? 解 设 γ=k １α+k ２β 于是得方程组1122203724k k k k =⎧⎪--=-⎨⎪=-⎩由第一个方程得k １=0,代入第二个方程得k ２=7,但k ２不满足第三个方程,故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.定理 1 向量组α１,α２,…,αs (s ≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出.证 设α１,α２,…,αs 中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设α１=k ２α２+k 3α3+…+k s αs ,那么-α１+k ２α２+…+k s αs =0,所以α１,α２,…,αs 线性相关.反过来,如果α１,α２,…,αs 线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使k １α１＋k ２α２＋…＋k s αs =0.不妨设k １≠０, 那么32123111.s s k k k k k k =---- αααα即α１能由α２,α3,…,αs 线性表出.例如,向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α3＝（２,－１,４,－１） 是线性相关的,因为α3＝３α１-α２.显然,向量组α１,α２线性相关的充分必要条件是存在常数k,使得两向量的对应分量成比例.在三维的情形,这就表示向量α１与α２共线.三个向量α１,α２,α3线性相关的几何意义就是它们共面.定理 2 设向量组β１,β２,…,βt 线性无关,而向量组β１,β２,…,βt ,α线性相关,则α能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且表示式是惟一的.证 由于β１,β２,…,βt ,α线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k t ,k 使k １β１+k ２β２+…+k t βt +k α=0.由β１,β２,…,βt 线性无关可以知道k ≠0. 因此1212t t k k kk k k=---- αβββ, 即α可由β１,β２,…,βt 线性表出.设α＝l １β１+l ２β２+…＋l t βt ＝h １β１+h ２β２＋…＋h t βt为两个表示式.由α－α＝（l １β１+β２+…＋l t βt )-(h １β１+h ２β２＋…＋h t βt )=（l １-h １）β１＋（l ２-h ２）β２＋…＋（l t -h t ）βt ＝0和β１,β２,…,βt 线性无关可以得到l １=h １, l ２=h ２, …, l t =h t .因此表示式是惟一的.定义 7 如果向量组α１,α２,…,αs 中每个向量都可由β１,β２,…,βt 线性表出,就称向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组β１,β２,…,βs 线性表出,向量组β１,β２,…,βs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出,那么向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.事实上,如果1,1,2,,,si ij j j k i t ===∑ αβ1,1,2,,,pj jm mm lj s ===∑ βγ那么111111pppsss i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l ======⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑αγγγ.这就是说,向量组α１,α２,…,αt 中每一个向量都可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.因而,向量组α１,α２,…,αs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质： (1) 反身性：向量组α１,α２,…,αs 与它自己等价.(2) 对称性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,那么β１,β２,…,βt 也与α１,α２,…,αs 等价.(3) 传递性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,而向量组β１,β２,…,βt 又与12,,,p γγγ等价,那么α１,α２,…,αs 与12,,,p γγγ等价.§ 3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理 3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关.证 设向量组α１,α２,…,αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α１,α２,…,αr()r s ≤.则有不全为零的数k１,k ２,…,k r 使1110,s r si ii iji i j r k k ===+=+=∑∑∑0ααα因此α１,α２,…,αs 也线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关.定理 4 设p 1,p 2,…,p n 为1, 2, …,n 的一个排列,α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 为两向量组,其中1212n ip i ip i i i in ip ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααααα=,βαα, 即β１,β２,…,βs 是对α１,α２,…,αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性.证 对任意的常数k １,k ２,…,k s 注意到列向量111221*********1122s s ss s i i i n ns sn k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦∑ αααααααααα 和1112221122112211122n n n p p s sp s p p s sp i i i p p s sp k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑ ααααααβααα 只是各分量的排列顺序不同,因此k １β１+k ２β２+…+k s βs =0当且仅当k １α１+k ２α２+…+k s αs =0.所以α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 有相同的线性相关性.定理 4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.定理 5 在r 维向量组α１,α２,…,αs 的各向量添上n -r 个分量变成n 维向量组β１,β２,…,βt .（1）如果β１,β２,…,βs t 线性相关,那么α１,α２,…,αs 也线性相关. (2) 如果α１,α２,…,αs 线性无关,那么β１,β２,…,βs 也线性无关. 证 我们对列向量来证明定理,设（α１,α２,…,αs ）＝Ａ１,(β１,β２,…,βs ）＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A ,如果β１,β２,…,βs 线性相关,就有一个非零的s ×1矩阵Ｘ使（β１,β２,…,βs ）Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦X X A A ＝０. 从而（α１,α２,…,αs ）X ＝Ａ１Ｘ＝０.因此α１,α２,…,αs 也线性相关,即(1)成立.利用(1),用反证法容易证明(2)也成立.定理6 设A 是一个n 阶方阵,则A 的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是0A =. 证 设()ijnxnA a =,112111n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 122222n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ,12n n n nn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的列到向量组.令11220n n x x x ααα+++= . ()34- 则12,,,n ααα 线性相关的充分必要条件是,存在一组不全为零的实数12,,...,,n x x x 使得()34-式成立,即齐次线性方程组120n x x A x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦()35-有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知,()35-式存在非零解的充分必要条件是0A =.从而定理得证.推论 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行（列）向量组线性无关.例8 试证明n 维列向量组α１,α２,…,αn 线性无关的充分必要条件是行列式1112121222120n n n n n n '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦ D αααααααααααααααααα证 令矩阵A ={α１,α２,…,αn }则向量组α１,α２,…,αn 线性无关⇔行列式|A |≠0.由于[]111121*********2n n n n n n n n ''''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎣⎦⎣⎦ A ααααααααααααααA αααααααααα 在上式两端取行列式,得|A |2=|A ′||A |=D故|A |≠0⇔D ≠0,所以α１,α２,…,αn 线性无关⇔D ≠0.定理 7 n +1个n 维向量α１,α２,…,αn +1必线性相关.证 对每个αs 添加等于零的第n +1个分量,得到n +1维向量β１,β２,…,βn +1.易见,由β１,β２,…,βn +1构成的方阵的行列式等于零,因而β１,β２,…,βn +1线性相关,由定理5,易知α１,α２,…,αn +1也线性相关.推论 当m n >时,m 个n 维向量线性相关. 例9 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：123132221;021.343201-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B C解 由于｜Ｂ｜＝２≠０,因此Ｂ的行(列)向量组线性无关； 由于｜Ｃ｜＝０,所以C的行(列)向量组线性相关.定理 8 如果向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出且s ＞t ,那么α１,α２,…,αs线性相关.证 我们不妨假定讨论的是列向量,如果α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线 性表出,那么()()121212i i i n n i it p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦αββββββγ.其中12i i i it p p r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,()1,2,,i s = .令Ａ＝（γ１,γ２,…,γs ),则(α１,α２,…,αs )＝（β１,β２,…,βt ）Ａ.由于γ１,γ２,…,γs 为由s 个向量组成的t 维向量组.且s t >,根据推论知,它们必线性相关.因此有非零s ×1矩阵（k 1,k 2,…,k s ）′使112212(,,,)s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 A γγγ. 从而()11221212(,,,)s s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 αααβββA .即有α１,α２,…,αs 线性相关.推论 1 如果向量组α１,α２,…,αs 可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且α１,α２,…,αs 线性无关,那么s t ≤.推论 2 两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量.§4 向量组的秩定义 8 设存在向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足（1）部分组12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1i i s α≤≤,都有12,,,ri i i ααα线性相关.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.例10 在向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α３＝（２,－１,４,－１）中,α1,α2为它的一个极大线性无关组.首先,由α１与α２的分量不成比例,所以α1,α2线性无关,再添入α3以后,由α3＝3α1-α 2可知所得部分组线性相关,不难验证α2,α3也为一个极大线性无关组.我们容易证明定义8与下列定义8′等价.定义 8′ 若向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足：（1）12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1,2,,i i s α= ,i α可由12,,,ri i i ααα线性表出.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大无关组.由此,向量组的极大线性无关组具有以下性质：性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价.从例10 我们发现：向量组的极大线性无关组可能不是唯一的,但是我们有下面的结论. 性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.性质 3 一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量.性质3表明向量组的极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关,它反映了向量组本身的特征.定义 9 向量组12,,,s ααα的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记为()12,,,s R ααα.例如,例10中向量组α1,α2,α3的秩为2.线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组,所以我们有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价,由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价,根据定理8的推论1就有等价的向量组必有相同的秩.如果向量组α1,α2,…,αs 能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,那么α1,α2,…,αs 的极大线性无关组可由β１,β２,…,βt 的极大线性无关组线性表出.因此α1,α2,…,αs 的秩不超过β１,β２,…,βt 的秩.定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组.证 设,i i i 12κ αα,,α是向量组α1,α2,…,αs 中的一个线性无关的部分组,如果α1,α2,…,αs 中每个向量都可由这个部分组线性表出,那么这个部分组就是一个极大线性无关组,如果还有某向量αik +1不能被这个部分组线性表出,那么由121121i i k i l l l κ+++++ ααα＝０就有l k +1=0.再由原部分组线性无关就可得l １＝l ２＝…＝l k =l k +1=0.这样,我们就得到了一个含k +1个向量的线性无关的部分组121,i i i κ+ αα,,α.重复这个过程,最后必可得到α1,α2,…,αs 的一个线性无关的部分组使向量组中每个向量都可由这个部分组线性表出,这个部分组就是一个极大线性无关组.推论 秩为r 的向量组中任意含r 个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组. 例11 求向量组α1＝(1,-1,0,3),α2＝(0,1,-1,2),α3＝(1,0,-1,5),α4＝(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.解 α1是α1,α2,α3,α4的一个线性无关的部分组,显然α2不能由α1线性表示,所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,容易证明α3＝α1+α2,但α4不能由α1,α2线性表出,所以α1,α2又可扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,α4,从而α1,α2,α3,α4的秩为3,α1,α2,α4是它的一个极大线性无关组.在第二章中,我们给出了矩阵的秩的定义和计算方法,那么向量组的秩与矩阵的秩有什么关系呢？首先,我们建立一个引理.引理 设1,2,r ααα ,是r 个n 维列向量()r n ≤,则1,2,r ααα ,线性无关的充分必要条件是矩阵A =()1,2,r ααα ,至少存在一个r 阶子式不为零.证 充分性由本章的定理5与定理6的推论可立即得到. 下面证必要性.对向量的个数r 用数学归纳法证明.当1r =时,由1α线性无关知10α≠,从而A 至少有一个1阶子式不为零. 假设 r k =时,结论成立. 当1r k n =+≤时,设12i ii ni a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1,2,,1,i k =+且1,2,1k ααα+ ,线性无关,则1,2,k ααα ,亦线性无关.由归纳假设,矩阵()1,2,k B ααα= ,至少存在一个k 阶子式不为零.不妨设1112121222120k k k k k kka a a a a a D a a a =≠. ()36-令12,1,2,,1i ii ki a a i k a γ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由()36-式知,12,,,k γγγ 线性无关.而1k +个k 维向量121,,,,k k γγγγ+ 线性相关,由本章的定理2,则1k γ+可由12,,,k γγγ 线性表出,即存在一组确定的数12,,,k C C C ,使得11122k k k C C C γγγγ+=+++ .从而有,110,1,2,,ki k j ijj a C ai k +=-==∑ . ()37-令1211kk j j j n b b C b βαα+=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ ,这里 ,110,1,2,,ki i k j ijj b a C ai n +==-==∑ .则由()37-知：120k b b b ==== .但因121,,,k ααα+ 线性无关,则0β≠,因此必存在某个0s b ≠()k s n <≤.于是1k +阶子式1111,12122,11,11,1k k k k k kk k k s sks k a a a a a a a a a a a a ++++()()()11,2,,i c k i c i k ++-= 111212110000kk s k k kk s sksa a a ab D a a a a b =≠. 下面,我们建立向量组的秩与矩阵的秩的关系.定理10 设A 为m n ⨯矩阵,则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.证 只讨论列向量组的情况,类似可讨论行向量组的情况.设 12,,n ααα ,是A 的列向量组,()R A r =,()12,,n R S ααα= ,.首先,由()R A r =,则矩阵A 中至少存在一个阶子式0r D ≠,由本章定理5和定理6的推论知,r D 所在的A 中的r 个列向量一定线性无关,从而s r ≥；另一方面,由()12,,n R S ααα= ,,则必有s 个列向量构成A 的列向量组12,,n ααα ,的极大线性无关组.由引理知这s 个列向量构成的矩阵中至少存在一个s 阶子式不为零,从而r s ≥.于是有r s =.矩阵A 的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩,矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩.推论 矩阵A 的行秩与列秩相等.由定理10的证明知,若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式,则r D 所在的r 个行和r 个列就分别是矩阵A 的行向量组和列向量组的一个极大线性无关组.求向量组的秩,只需要将向量组中各向量作为列向量组成矩阵后,只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可直接写出所求向量组的秩和极大无关组.同理,也可以将向量组中的各向量作为行向量组成矩阵,通过作初等列变换来求向量组的秩和极大无关组.例12 求向量组()11,4,1,0,2α=()2,2,5,1,3,2,α=--()30,2,2,1,0α=-,()41,2,5,6,2α=-的秩和一个极大无关组,并把不属于极大无关组的其余向量用该极大无关组线性表出.解 把向量组作为列向量组成矩阵A ,利用初等行变换将A 化为最简行矩阵B ：1201120145220326112503260316031622020204A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12010102001000000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10030102001000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 易见 ()()3R A R B ==,B 的第1,2,3列线性无关,由于A 的列向量与B 的对应的列向量组有相同的线性组合关系,故与其对应的A 的第1,2,3列线性无关,即123,,ααα是该向量组的一个极大无关组.又由矩阵B ,易得41232ααα=-. 例13已知向量组()11,2,1,1α=-()2,2,0,,0t α=()30,4,5,α=--,()43,2,4,1t α=-+-的秩为2,确定t 的值.解 考察矩阵120320421541021A t t ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-+⎢⎥--⎣⎦. 由条件知()2R A =,从而A 的所有3阶子式均为0. 故 由12204124015t t -=-+=-,得 3t =.§5 向量空间定义10 设V 为n 维向量组成的集合.如果V 非空,且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的α,β∈V 和常数k 都有α＋β∈Ｖ,ｋα∈Ｖ,就称集合V 为一个向量空间.例14 n 维向量的全体R ｎ构成一个向量空间.特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R ３也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.例15 n 维零向量所形成的集合｛０｝构成一个向量空间. 例16 集合V ＝｛（０,ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ）｝｜ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ∈R ｝构成一个向量空间. 例17 集合V ＝｛(ｘ1,ｘ2,…,ｘｎ）｜ｘ1+ｘ２＋…＋ｘｎ＝１｝不构成向量空间. 例18 设α１,α２,…,αｍ为一个n 维向量组,它们的线性组合 Ｖ＝｛ｋ１α１＋ｋ2α2+…＋k m αm ｜k １,k ２,…,k m ∈R ｝构成一个向量空间.这个向量空间称为由α１,α２,…,αｍ所生成的向量空间,记为L (α１,α２,…,αｍ).例19 证明由等价的向量组生成的向量空间必相等.证 设α１,α２,…,αｍ和β１,β２,…,βs 是两个等价的向量组.对任意的α∈L(α１,α２,…,αｍ)都可由α１,α２,…,αｍ线性表出.而向量组α１,α２,…,αｍ又可由β１,β２,…,βs 线性表出可以知道α也能由β１,β２,…,βs 线性表出,即有α∈L(β１,β２,…,βs ).由α的任意性,得L (α１,α２,…,αｍ)⊆L (β１,β２,…,βs ). 同理,L (β１,β２,…,βs )⊆L ().于是L (α１,α２,…,αｍ)＝L (β１,β２,…,βs ).定义11 如果V １和Ｖ２都是向量空间且V １⊆Ｖ２,就称Ｖ1是Ｖ２的子空间.任何由n 维向量所组成的向量空间都是R ｎ的子空间.R ｎ和｛０｝称为R ｎ的平凡子空间,其他子空间称为R ｎ的非平凡子空间.定义12 设V 为一个向量空间.如果V 中的向量组α１,α２,…,αr 满足 (1)α１,α２,…,αr 线性无关；(2) V 中任意向量都可由α１,α２,…,αr 线性表出.那么,向量组α１,α２,…,αr 就称为V 的一个基,r 称为V 的维数,记作dim V ,并称V 为一个r维向量空间.如果向量空间V 没有基,就说V 的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.如果把向量空间V 看作向量组,那么V 的基就是它的极大线性无关组,V 的维数就是它的秩.当V 由n 维向量组成时,它的维数不会超过n .定义 13 设12,,r ααα ,是r 维向量空间V 的一个基,则对于任一向量V α∈,有且仅有一组数12,,r x x x ,使1122r r x x x αααα=+++ ,有序数组12,,,r x x x 称为α在基12,,r ααα ,下的坐标,记为()12,,n x x x . 例20 设()123221212122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A a ,a ,a ,()12140342⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ,ββ,验证α１,α２,α3是R ３的一个基并将β１,β２用这个基线性表出.解 由｜Ａ｜≠0可以知道α１,α２,α3线性无关.由于3dim 3R =,因此α１,α２,α3是R ３的一个基.设β１＝ｘ11α１＋ｘ21α2＋ｘ3１α3, β2＝ｘ12α１＋ｘ22α2＋ｘ32α3,即(β１,β２）＝（α１,α２,α３)111221223132x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 那么()1112112122123132x x x x x x --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,=AB ββ. 下面,我们给出求1A B -的一个简单方法：如果P １,Ｐ２,…,Ｐｌ为初等矩阵,使Ｐ１Ｐ２…ＰｌＡ＝Ｅ,则 Ａ－１＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｌ故有l １２ＰＰＰB ＝1-A B . 因此只需对矩阵（Ａ┊Ｂ）作初等行变换,当把A 变为E 时,B 就变成了Ａ－１Ｂ.（Ａ┊Ｂ）＝221142*********-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1,3)122422*********r --⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (21(2))(31(2))122420368706378r r ++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1(1))(32(2))122420368700996r r -+----⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())9(23(6))(13(2))21202303023200113r r r -+-+⎡⎤--⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1(2())3(12(2))2410033201013200113r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因此 12433213213-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A B . 所以112321232242,3333--++=a a a =a a a ββ.即1β和2β在基123,,ααα下的坐标分别是22,,133--和42,1,33.本章小结与补充向量是线性代数中最简单的数组,是矩阵的特殊情形.所谓向量的线性运算与矩阵的线性运算实质上是一致的.在本章中,我们要理解向量组的线性相关、线性无关的概念,了解其有关的重要结论,会判定向量组的线性相关(无关)性；理解向量组的极大无关组与向量组的秩的定义;了解向量组等价的概念及有关性质;了解向量空间、子空间、基与维数的概念;熟练掌握极大无关组、向量组的秩的计算方法.为此,我们进一步强调如下几点：1.如何正确理解向量组的线性相关(无关)的定义过去在学习二、三维直角坐标空间的过程中接触过向量共线、共面的概念,而向量组的线性相关实际上可以看成是对向量共线、共面的概念在向量空间的推广.线性相关与线性无关是两个相互对立的概念,它们之间的不同之处主要在于：(1)线性相关的向量组存在系数不全为零的线性组合是零向量,而线性无关的向量组只有系数全为零的线性组合是零向量;(2)线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示,而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示；(3)以线性相关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组存在非零解,而以线性无关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解.2.怎样判断向量组的线性相关性方法1：利用定义判断.这是判定向量组的线性相关的基本方法,既适用于分量已知的向量组,也适用于分量未知的向量组.方法2：利用行列式判断.这种方法仅适用于向量组中向量的个数与向量的维数相等的情形.设12,,n ααα ,是n 个n 维向量,以12,,n ααα ,为列（行）向量组成矩阵A ,则12,,n ααα ,线性相关的充分必要条件是0A =.方法3：利用向量组的秩(或矩阵的秩)判断. 一个向量组线性无关当且仅当它的秩等于向量组所含向量的个数(即向量组构成的矩阵是满秩的).特别地,如果向量组所含向量的个数多于向量的维数,则该向量组是线性相关的.3.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量组的秩定义为它的极大线性无关组所含向量的个数,然而,直接利用定义来求向量组的秩往往是比较麻烦的,我们通常是将向量组的秩转化为矩阵的秩来求.如果我们将向量组的每个向量作为行(或列)向量构成矩阵A ,则该向量组的秩与矩阵是相等的.4．极大线性无关组的求法方法1：逐个删去法.即对于所给向量组的向量,按自左至右的顺序逐个删去可由其前面的向量线性表出的向量,则所剩向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.方法2：初等变换法.将向量组作为列向量组成矩阵A ,用初等行变换将矩阵A 化为行阶梯形矩阵,则其首非零元所在的列所对应的矩阵A 的列向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.习题三1. 设α１＝（１,１,０）,α2＝（0,１,1）,α3＝（3,4,０）.求α１－α２及3α１＋２α２－α３.2. 设3(α１－α）＋２（α２＋α）＝５（α３＋α）,其中α１＝（２,５,１,３）,α２＝（１０,１,５,１０）,α３＝（４,１,－１,１）.求α.3. 判断下列命题是否正确：(1) 若向量组α１,α２,…,αｍ线性相关,那么其中每个向量可经其他向量线性表示.(2) 如果向量β１,β２,…,βs可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且α１,α２,…,αm线性相关,那么β１,β２,…,βs也线性相关.(3) 如果向量β可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且表示式是惟一的,那么α１,α２,…,αｍ线性无关.(4) 如果当且仅当λ１＝λ２＝…＝λｍ＝０时才有λ１α１＋λ2α2+…+λmαm+λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ＝０,那么α１,α２,…,αｍ线性无关且β１,β２,…,βm也线性无关.(5) α１,α２,…,αｍ线性相关,β１,β２,…,βm也线性相关,就有不全为0的数λ１,λ２,…,λｍ使λ１α１＋λ2α2+…+λmαm＝λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ.4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).5. β１＝α１＋α２,β2＝α2＋α3,β3＝α3＋α4,β4＝α4＋α1,证明向量组β１,β２,β３,β４线性相关.6. 设向量组α１,α２,…,αr线性无关,证明向量组β１,β２,…,βr也线性无关,这里βｉ＝α１＋α２＋…＋αｉ.7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.8. αｉ＝（αｉ１,αｉ２,…,αｉｎ）,i＝１,２,…,ｎ.证明：如果｜ａｉｊ｜≠0,那么α１,α２,…,αn线性无关.9. 设ｔ１,ｔ２,…,ｔｒ是互不相同的数,ｒ≤ｎ.证明：ａｉ＝（１,ｔｉ,…,ｔｎ－１ｉ）,ｉ＝１,２,…,ｒ,是线性无关的.10. 设α１,α２,…,αs的秩为r且其中每个向量都可经α１,α２,…,αr线性表出.证明：α１,α２,…,αr为α１,α２,…,αs的一个极大线性无关组.11. 求向量组α1=(1,1,1,k),α2=(1,1,k,1),α3=（1,2,1,1）的秩和一个极大无关组.12. 确定向量β3=(2,a,b),使向量组β1=（1,1,0）,β2=（1,1,1）,β3与向量组α1=(0,1,1),α2=(1,2,1),α3=(1,0,-1)的秩相同,且β3可由α1,α2,α3线性表出.13. 设α１,α２,…,αn为一组n维向量.证明：α１,α２,…,αn线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.14. 若向量组（1,0,0）,（1,1,0）,（1,1,1）可由向量组α１,α２,α３线性表出,也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出,则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2) α１＝（６,４,１,－１,２）,α２＝(1,0,2,3,-4),α3＝(1,4,-9,-6,22),α4＝(7,1,0,1,3)；(3) α１＝(1,-1,2,4),α２＝(0,3,1,2),α3＝(3,0,7,14),α4＝(1,-1,2,0),α5＝(2,1,5,6).16. 设向量组α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ秩相同且α１,α２,…,αm能经β１,β２,…,βＳ线性表出.证明α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ等价.17. 设A为ｍ×ｎ矩阵,B为ｓ×n矩阵.证明：ｍaｘ｛R（Ａ）,R（Ｂ）｝≤R ⎡⎤⎢⎥⎣⎦AB≤R（Ａ）＋R（Ｂ）.18. 设A为ｓ×ｎ矩阵且A的行向量组线性无关,K为r×s矩阵.证明：B＝ＫＡ行向量组线性无关的充分必要条件是R(K)=r.19. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组:(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（２）11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.20. 集合V１＝｛（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ)｜ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ∈R且ｘ１+ｘ２+…+ｘｎ＝０｝是否构成向量空间?为什么?21. 试证：由α１＝（1,1,0),α2＝（1,0,1),α3＝（0,1,1)生成的向量空间恰为R３.22. 求由向量α1=(1,2,1,0),α2=(1,1,1,2),α3=(3,4,3,4),α4=(1,1,2,1),α5=(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.23. 设α１＝（1,1,0,0),α2＝（1,0,1,1)；β１＝（2,-1,3,3),β2＝（0,1,-1,-1),证明：L(α１,α２）＝Ｌ（β１,β２）.24. 在R3中求一个向量γ,使它在下面两个基（1）α1=(1,0,1),α2=(-1,0,0),α3=(0,1,1);(2) β1=(0,-1,1),β2=(1,-1,0),β3=(1,0,1)下有相同的坐标.25. 验证α1＝（1,-1,0),α2＝（2,1,3),α3＝（3,1,2)为R３的一个基,并把β１＝（5,0,7),β2＝（-9,-8,-13)用这个基线性表示.。
3.3向量组的秩与矩阵的秩
定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为 A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。
定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
a1,1
证明：设AFra biblioteka2,1
M
a1,2 L a2,2 L ML
am
,1
am,2
L
a1,n
a2,n
M
am
,n
(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的 列秩。
(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩
设A：1, 2, …, r, r+1, …, n是矩阵A的列向 量组，无妨说：1, 2, …, r是A的极大线性无关
组. P是一个m阶的初等方阵
B：P1, P2, …, Pr, Pr+1, …, Pn
依据定理3得知：
定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, …, r是A的
一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩, 记为R(A).
推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B)
证明：设1, 2, …, r是向量组A的一个极大线性 无关组；1, 2, …, s是向量组B的一个极大线性
无关组.
由于1, 2, …, r与A等价； A与B等价，同 时B与1, 2, …, s等价，所以1, 2, …, r与1, 2, …, s等价
组，简称极大无关组。
定理1.设有n维向量组A：a1, a2, …, as和B：b1, b2, …,bt .若A组向量线性无关，并且A组向 量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.
证明: (反证法)设不然，即s > t
a1 c1,1b1 c2,1b2 L ct,1bt 无妨说：a2 c1,2b1 c2,2b2 L ct,2bt
02-向量组秩的性质
向量组秩的性质定理：向量组的秩等于其所构成的矩阵的秩1212,,,A B ,,,,mm βααααααβ性质1：向量能由向量组A:线性表示当且仅当向量组与向量组：的秩相等.12121212B ,,,,,,A C ,,,,,,,l m m lβββααααααβββ 性质2：向量组：能由向量组A:线性表示当且仅当向量组与向量组：的秩相等.12121212,,,B ,,,C ,,,,,,,ml m l αααβββαααβββ 性质3：向量组A:与向量组：等价当且仅当它们的秩相等且都等于向量组：的秩.1212B ,,,,,,B A lmβββααα≤ 性质4：若向量组：能由向量组A:线性表示，则向量组的秩向量组的秩.B AA B 例1：设向量组能由向量组线性表示，且它们的秩相等，证明向量组与向量组等价.A B C B A AC A BA B 证明：设向量组和合并成向量组，因为向量组能由向量组线性表示，所以由性质2知向量组的秩等于向量组的秩；又因为向量组和的秩相同，所以由性质3知向量组与向量组等价.012000A A A AA A A .r ααα 例2：（最大无关组的等价定义）设向量组:,,,是向量组的一个部分组，则是的最大无关组当且仅当满足（1）向量组线性无关；（2）向量组的任一向量都能由向量组线性表示00012012A A A A 1,A :r r r αααααααααααα⇒+ 证明：()只需证明(2). 令是中任一向量，若是中向量，则当然可由线性表示；若不是中向量，则个向量,,,线性相关，因此可由向量组,,,线性表示.12101210121A1A 11A A r r r r r r r βββββββββ+++⇐+++≤= ()只需证明向量组中任意个向量线性相关.令,,,是中意个向量，由条件(2)知这个向量能由向量组线性表示，从而由性质4知向量组,,,的秩向量组的秩，因此向量组,,,线性相关.。
线性代数10
A (1 , 2 ,..., n ) B ( 1 , 2 ,..., n )
则有 PA ( P1, P 2 ,..., P n ) (1, 2 ,..., n )
k1 s k2s k ms
矩阵K m s ( k ij )称为这一线性表示的系 数矩阵 .
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) 1 , 2 ,, s ) （ b s1
注 由定义立即可得：
⑴ R(T)=T的最大无关组中所含向量的个数； ⑵ 若R(T)= r , 则T中任意 r 个线性无关的向量 都是T的最大无关组。 (3)向量组的最大无关组的个数可能不止一个， 但是最大无关组中所含向量的个数是确定的。
Can You Answer Them?
1.如果向量组本身是线性无关 的，其最大无关组如何？ (是其自身) 2.一个向量组的最大无关组是 否唯一？
即
i Pi
(i 1,2,..., n)
设A的某些i1 ,i2 ,..., ik的线性组合为 x1 i1 x2 i 2 ... xkik 0 那末有 x1i1 x2 i 2 ... xk ik x1Pi1 x2 Pi 2 ... xk Pik
向量组A的一个最大无关组为 A0 : a1 , , a s , 要证 r s. 因B0组能由B组线性表示，B组能由A组线性
表示，A组能由A0组线性表示. 故B0组能由A0组线性表示. 即存在系数矩阵 K sr ( k ij ), 使得
3向量组与矩阵的秩
矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是
同类的初等行变换。
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定理12
如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A
的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量
与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。 例 求下列向量组
的一个极大线性无关组与秩。 解 作
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所以 为一个极 大无关组，且秩等于3。
量变成n维向量组 (1)如果 那么 (2)如果 那么 证
也线性相关。 线性无关， 也线性无关。
对列向量来证明定理。
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如果
线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使
因此,
也线性相关,即(1)式成立。
利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。
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引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列) 向量组线性相关。 定理6 n维向量组 是矩阵
和
为两向量组，其中
即 是对 各分量的顺序进行重 排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线 性相关性。
证 对任意的常数k1,k2,…,ks，
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上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
当且仅当
所以
和
有相同的线性相关性。
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定理5
在r维向量组 。 线性相关，
的各向量添上n-r个分
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数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个
向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量
称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。
n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常 看成n×1矩阵。 设k和l为两个任意的常数， 量，其中 为任意的n维向
线性代数11-向量组的秩
1
1 1 1 8 0 4 6 2
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩
是唯一的．
2 1 1 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
1 0 2 1 0 2 r 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0
可见 r(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关，
同时， r(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，
无关组及 Rn 的秩．
1 0 解： n 阶单位矩阵 I e1 , e2 , , en 0 0 0 1 0 的列向 0 1
量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ．
1 0 思考：上三角形矩阵 A 0 1 1 1 1 的列向量组是 Rn 的 0 1
从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．
最大无关组的等价定义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的 话）都线性相关； ② 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．
线性代数同济大学第五版课件4-3‘
四、定理的不同表现形式
设向量组 A : a1 , a2 , · , am 构成矩阵 · ·
例 9 设齐次线性方程组
x1 2 x2 x3 2 x4 0 , x4 0 , 2 x1 3 x2 x x 5x 7 x 0 2 3 4 1
的全体解向量构成的向量组为 S，求 S 的秩.
解
把系数矩阵A化为行最简形
1 A 2 1
矩阵 B = (a1 , a2 , · , am , b) 的秩. · ·
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的
充要条件是
R (a1 , a2 , · , am) = R (a1 , a2 , · , am , b). · · · ·
注：记号R(a1 , a2 , · , am )既可理解为矩阵的秩，也 · · 可理解成向量组的秩．
B 的最大无关组依次为 A0：a1 , a2 , · , as 和 B0：b1 , b2 , · , bt . · · · · 由于 B0 组能由 B 组表示， B 组能由 A 组表示，
A 组能由 A0 组表示，因此 B0 组能由 A0 组表示,
根据定理3，
有 R(b1,b2, · ,bt) ≤ R(a1,a2, · ,as), · · · ·
1 0 2 (a 1 ,a 2 ,a 3 ) 1 2 4 , 由 R(a1,a2 , a3) =2 1 5 7
由R(a1 , a2) =2, R(a1 , a3) = 2,R(a2 , a3) = 2 可知 a1, a2 与a1, a3 及 a2 , a3 都是a1 , a2 , a3 的最大无关组.
3-3向量组的秩
首先 a1 , a2 线性无关， 又 a1 , a2 , a3 线性相关， 所以 a1 , a2 组成的部分组是极大无关组 . 故此向量组的秩为 2 . 还可以验证 a2 , a3 也是一个极大无关组 . 注： 可看出 ： r 唯一，但极大无关组一般情况下不唯一 . r 是 A 中线性无关的向量个数的最大者 .
任何向量组与自己的最大无关组等价. 证明 T ：1 ,, r ,, m T ' ： 1 ,, r ① T ' 可由 T 线性表示; 用 1 ,, r ,, m 线性表示， i 前面系数取1， 其余向量前面系数取0
② T 可由 T ' 线性表示; 当 j 1,2,, r 时， j可由 1 ,, r 表示 当 j r 1,, m 时，1 , , r , j 线性相关， 故 j 可由 1 ,, r 线性表示。
1 2
2 1 , 2 1 , 2 3
故等价。
1 2
2 1 , 2 Leabharlann 1 , 2 34
二、最大线性无关组，向量组的秩 第一节中讨论向量组的线性相关性的时候，矩阵 的秩起到十分重要的作用，为使讨论进一步深入，下
5
注： (1) 只含零向量的向量组没有极大无关组， 因此，零向量组的秩是零 . (2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身. (3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组
线性表出 .
6
例如：向量组
2 4 2 1 2 1 ,a ,a a1 2 3 3 5 4 1 4 1
故T T ' 。
9
3、最大线性无关组的求法 定理2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的 线性相关性。
矩阵和向量组的关系
矩阵和向量组的关系概述
矩阵和向量组之间存在密切的关系，主要表现在以下几个方面：
1. 向量可以视为矩阵的特例：单个向量可以视为一个一阶矩阵，而多个向量组合在一起就组成了矩阵。
矩阵的每一行可以视为一个行向量，每一列可以视为一个列向量。
2. 矩阵的秩等于其所在向量组的秩：矩阵的秩是其行向量组和列向量组的秩的最小值。
这意味着矩阵的秩反映了其所在向量组的线性相关性。
3. 矩阵的乘法对应于向量的线性变换：如果矩阵A左乘一个向量x，得到的结果是A的列向量对x进行线性组合后的结果。
这表明矩阵的乘法对应于向量的线性变换。
4. 矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换：对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的特征向量。
这表明矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换。
5. 矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间：矩阵的行空间是由其行向量张成的线性子空间，列空间是由其列向量张成的线性子空间。
这表明矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间。
综上所述，矩阵和向量组之间存在密切的关系，它们在许多方面是相
互关联的。
了解矩阵和向量组之间的关系有助于更好地理解它们的性质和应用。
向量组的秩
定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
? 1 ,? 2 ,? ,? r，满足 （1）向量组A0 : ? 1,? 2 ,? ,? r线性无关；
（2）向量组A中任意r ? 1个向量（如果 A中有
r ? 1个向量的话）都线性相 关，那末称向量组 A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个 数r称为向量组
?4 ? 6 ? 2? ???3 6 7 ???
初等行变换
~
??1 1 1?? ?0 1 1? ?0 0 1? ???0 0 0???
知R(a1 ,a2 ,a4 ) ? 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关
要把 a3 , a5用a1, a2 , a4线性表示，必须将 A 再变 成行最简形矩阵 .
??1 0 ? 1 0 4 ??
例2 设矩阵
?2 ? 1 ? 1 1 2?
?
?
A
?
?1 ?4
1 ?6
?2 2
1 ?2
4? 4?
???3 6 ? 9 7 9???
求矩阵 A的列向量组的一个最大 无关组，并把不
属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
A
初等行变换
~
知R( A) ? 3，
的秩.只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定
它的秩为 0.
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 .
证 设A ? (a1 , a2 ,? ,am )，R( A) ? r,并设r阶子式 Dr ? 0.根据4.2定理2由Dr ? 0知所在的 r列线性无
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向量组1
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
A的列向量组为1,2 ,,n ； A的行向量组为 1T , 2T ,, mT.
➢ 称A的列向量组的秩为A的列秩;
➢ 称A的行向量组的秩为A的行秩.
向量组的秩与矩阵秩的关系
设矩阵A
1 0
1 1
1 2
，试确定矩阵的秩，行秩，列秩.
0 0 0
➢ 矩阵A的秩为 2；
➢ A的行向量组为：1T 1 1 1, 2T 0 1 2, 3T 0 0 0.
➢
1T
,
T 2
是
A 的行向量组的一个极大无关组，A 的行秩是2.
向量组的秩与矩阵秩的关系
1
1
1
A的列向量组为 1 0,2 1,3 2.
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向量组的秩与矩阵秩的关系
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01
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组的秩与矩阵秩的关系
含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
Amn 1 2 n
向量组的秩与对应的矩阵的秩具有什么联系？
0
0
0
由于 1，2线性无关，3 22 1 ，故 1，2是A的列向量
组的一个极大无关组，因而A的列秩为2.
在本例中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩！ 这一结论是否具有普遍意义呢？
向量组的秩与矩阵秩的关系
回顾
1 0
0 1
0 0
c11 c21
c1,nr c2,nr
A B 0 0 1 cr1 cr,nr
推论2：等价的向量组秩相等.
向量组的秩与矩阵秩的关系
推论3：设 m n 矩阵A，若 RA r ，则
（1）矩阵A由r个线性无关的列向量；当r=n时，A的列向 量组线性无关；当r<n时，A的列向量组线性相关. （2）矩阵A由r个线性无关的行向量；当r=m时，A的行向 量组线性无关；当r<m时，A的行向量组线性相关. （3）矩阵A由n阶方阵时，A可逆，则A的列向量组线性无 关；A的行向量组线性无关.A的秩为n.
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定理：矩阵初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性 相关性和线性组合关系.
向量组的秩与矩阵秩的关系
定理1： 矩阵A的秩等于矩阵A的列（行）秩.
推论1：若向量组1,2,,r 可由向量组 1, 2 ,, s线性表示, 则向量组1,2,,r 的秩不大于向量组 1, 2 ,, s 的 秩.