向量组的等价及向量组的秩
线性代数第三章3-3
事实上，α1 ,α2 线性无关是毫无疑问的，此外
α1 = 1⋅ α1 + 0 ⋅ α 2 α 2 = 0 ⋅ α1 + 1⋅ α 2 α3 = 2 ⋅ α1 + 1⋅ α 2
即 α1 ,α2 , α3 中的任一个都可由α1 ,α2 线性表示， 所以 α1 ,α2 就是 α1 ,α2 , α3 的一个极大线性无 关组。
也线性相关； 2）如果 β 1 , β 2 , L , β m 线性无关，那么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 1 , α 2 ,L , α m
也线性无关。
证 1）设 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关，则存在一组 不全为零的数k1,k2,…,km，使得
k1α1 + k2α 2 + L + kmα m = 0
即
a11k1 + a12 k2 + L + a1m km = 0 LLLLLLLLLLLL ar1k1 + ar 2 k2 + L + arm km = 0 LLLLLLLLLLLL an1k1 + an 2 k2 + L + anm km = 0
β 1 , β 2 , L , β t 线性表示， 所以可设
α
j
=
∑1 k ij β i ( j = 1,2,L, s ) i=
t
即
α1 = k11β1 + k21β 2 + L + kt1β t α 2 = k12 β1 + k22 β 2 + L + kt 2 β t α s = k1s β1 + k2 s β 2 + L + kts β t
线性代数 向量组的秩
设 i (a1i
a11 a1r 由矩阵秩定义，不妨设 r阶子式Dr 0 T a r1 a rr 1 i r, , a , , a ) ，
2i ri
x1 5 ( 1 r k ) 0 有非零解， 1 r k 线性相关 ， A列秩 r xr 1 1 r 为A列向量组的极大无关组
这r 1个向量均可由 1 r 线性表示， 从而根据定理1，有 R (b1 , b2 ,, br 1 ) R (1 , 2 ,, r ) r r 1 . r 1 个向量 b1 ，b2 ， ，br 1线性相关, ， r , 是 A 中任意 r 1 个向量， 设 1 ， 2 ， ， r , 线性相关， 1 ， 2 ， ， r 线性无关， 1 ， 2 ， A中任意向量 均可由1 r 线性表示，
故 a1 , a2 , a4 为列向量组的一个极大 无关组. B (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) 向量组 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有相同的线性关系 .
1 解 设A a1 ,, a5 , 0 对 A 施行初等行变换 A 0 0 R ( A ) 3 , 变为行最简形
令A (1 m ), (列向量组） 把A行变换B（行阶梯形矩阵）
方法3：欲求向量组1 m的极大无关组并将余下向量 用极大无关组线性表示？
令A (1 m ), (列向量组） 把A行变换B（行最简形矩阵）
由B即可找出A的列向量组的极大无关 组，并可以把 余下向量用极大无关组 线性表示。
推论： 等价的向量组秩相同
注1： 向量组的任意两个极大无关组等价，秩相同。
第四章3 向量组的秩1
a 证明向量组 1 , a2
b1 , 与 b2 , b3
等价.
证明 记 a , a , B b , b , b ，根 A 1 2 1 2 3 据定理 1的推论，只要证 R A R B R A, B , 为此 A, B 把矩阵 化成阶梯形式：
1 1 A, B 1 1 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2 2 2 1 0 1 1 r 0 4 0 2 1 1 1 1 1 0 2 3 3 3 3 1 2 0 0 6
1 2 即 b3 b1 b2 , 3 3 8 7 1 b5 b1 b2 b4 , 9 18 6 而对矩阵的初等行变换并不改变矩阵的列向 量组之间的线性关系，因此，对应地有 1 2 a3 a1 a2 , 3 3 8 7 1 a5 a1 a2 a4 . 9 18 6
容易看出矩阵B中有不等于0 的2 阶子式， 故
R B 2 R B R A, B 2, 又 R R 于是知 B 2 . 因此A R B R A, B , a b1 , 从而向量组 1 , a2 与 b2 , b3 等价.
1 r 0 0 0
一个最大无关组，称数 r 为向量组 A 的秩．
（2）向量组 A 中的任意 r 1 个向量均线性相关，
定义3 向量组的最大无关组所含向量的个数称
为该向量组的秩． 例1 只含零向量的向量组没有最大无关组，
规定它的秩为零．
例2
n 维向量的全体组成的集合记作 R 则 n 维单位坐标向量 e1 , e2 ,, en
无关向量组（简称最大无关组）．
定理2
设有向量组 A :
a1 , a2 ,, as ;
线性代数4-2 向量组的秩
第二节向量组的秩最大线性无关向量组第四章向量空间向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系12r r ∴≤推论等价向量组秩相等.反之不一定.定理1 给定向量组和，若设12V V {}{}1122,.r V r r V r ==且可由线性表出，则12V V .12r r ≤证明：设分别为的最大无关组，,12U U ,12V V 则所含向量个数分别为,12U U ,12r r 可由线性表出12V V 12U U ⇒可由线性表出又线性无关，1U,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα ,1),,,,(21+=k r n γααα =),,,,,(21γβαααn r 【例1】已知且则（）(A) k (B) k + 1 (C) 2k + 1 (D) 1【解】由,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα 知可由线性表出，βn ααα,,,21 所以向量组与等价，βααα,,,,21n n ααα,,,21 从而与等价, γβααα,,,,,21n γααα,,,,21n 1),,,,(),,,,,(2121+==k r r n n γαααγβααα 故【例2 】求向量组的最大无关组及秩．123456121021121020120111001111120111αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪======----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,,,,,123456αααααα方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。
定理3T()()()()()()()r A r A r A r A r A B r A r B λ==+≤+，，()r AB ()min ()()r A r B ≤，()()r A r B s +-≤(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵，数，则0λ≠(2) 若A 是m ×s 矩阵, B 是s ×n 矩阵，则证明(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵, 则r (A +B )≤r (A )+r (B ).1212,,,;,,,sti i i j j jαααβββ {}{}12121122,,,,,,,s t n n i i i j j j r r αβαβαβαααβββ∴+++≤ ，，，s t≤+()()()r A B r A r B ⇒+≤+()()1212n n A B αααβββ== ，，，，，，，将A , B 列分块，()1122n n A B αβαβαβ+=+++ ，，，则若r (A ) = s , r (B ) = t ，则可分别设向量组1212n n αααβββ ，，，，，，与的最大无关组为：从而向量组可由向量组1122n n αβαβαβ+++ ，，，1212,,,,,,,sti i i j j j αααβββ 线性表出．11()()s n A AB ααγγ== ，，，，，111111(,,)(,,)n n s s sn b b b b γγαα⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ()()r AB r A ∴≤利用此结论可得：()()()TTTT()r AB r BAr B =≤()()r AB r B ≤()()min ()()r AB r A r B ∴≤，(2) 对A m ×s , B s ×n 有()r AB ()min ()()r A r B ≤，将A 和AB 列分块：设B = ( b ij )，则由知矩阵AB 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表出即【例3】设A 为n 阶方阵，且A 2=I ，证明：()()r A I r A I n++-=()()()()r A I r A I r A I r I A ++-=++-()(2)r A I I A r I ≥++-=()()r A I r A I n++--()()()r A I A I ≤+-2()()0r A I r O =-==()()n r A I r A I n∴≤++-≤()()r A I r A I n⇒++-=()()r A r B n+≤【证明】n=又一般地，对n 阶方阵A ，B ，若A B ＝O ，则有。
向量组的等价及向量组的秩
向量组的等价及向量组的秩一 基本概念1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈L ，若有（1）12,,,r αααL 线性无关；（2）T 中任一向量都可由12,,,r αααL 线性表示。
那么，则称12,,,r αααL 是T 的一个极大无关组。
称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。
T 的秩数记为()R T 。
2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s αααL 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββL 。
如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。
3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。
A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。
二 主要结论1 简化行阶梯形矩阵的性质（1）主列构成的向量组线性无关；（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。
（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。
2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。
3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。
4 设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。
那么，如果s t >，则向量组12,,,s αααL 必线性相关。
等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。
那么，如果向量组12,,,s αααL 线性无关，则必有s t ≤。
推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。
即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。
推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。
向量组的秩
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。
第三章 第二讲 向量组的秩
反之，若 k1 1 + k2 2 + + kn n 0 ，即 k1 k1 k k2 2 2， ， n B 0 1， 1 kn kn 又由 A P B 知
1 1 ..... 0 1 0 0 0 0
A的列秩 r ( A) 3,
1, 2, 4 为向量组的一个极大线性无关组。
12
例3 求列向量组 α1, α2 , α3 , α4 , α5 的一个极大无关组, 并把其余
向量用该极大无关组线性表示出来。
解：先将矩阵A化作行阶梯型
1 0 A 2 1 1 2 0 1
0 1 0 0 3 1 1 1 1 0 0 0
4 1 1 3 2 1 3
5 0 1 1 2 1 3
即
4 1 3 2 3 , 5 0 1 2 3
15
练习：求下列向量组的一个极大无关组和秩，并用该极大线性无 关组表示其他向量 T T T 1 (1, 1, 0, 0), 2 (1, 2, 1, 1), 3 (0, 1, 1, 1),
(2) α3 α1 α2 , α 4 α1 α 2 , α1 , α2 , α3及α1 , α2 , α4都线性相关
α1, α2 分量不对应成比例，故 α1, α2线性无关，
α1 , α2为极大无关组
α1 , α 4与 其实，
α2 , α4 也都是极大无关组
（1）非零向量组一定有极大无关组； 由上例可知， （2）一个向量组的极大无关组一般是不唯一的； （3）极大无关组包含的向量的个数一样.
7
综上知，行初等变换不改变矩阵列向量组的线性相关性. 类似可得，列初等变换不改变矩阵行向量组的线性相关性.
4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
![4[1].3向量组的秩和极大线性无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/6e3036264b35eefdc8d333e1.png)
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
3-2 向量组的秩和最大无关组
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
线性代数习题
§2.3 向量组的秩前面我们讨论了一个向量组中向量之间的关系，有的线性相关有的线性无关，那么多个向量组之间存在什么关系呢？一、 向量组的等价定义1：设有两个向量组A ：12,,,r ααα ，B ：12,,,s βββ 。
如果A 中的每一个向量都能由B 向量组中的向量线性表示，则称A 能B 由线性表示。
如果向量组A 能由B 线性表示，B 也能由A 线性表示，则称向量组A 与向量组B 等价。
例如：11221231,2,βααβααβα=+=-=，则：向量组Ⅰ12{,}αα与Ⅱ123{,,}βββ等价。
事实上，向量组Ⅱ能由向量组Ⅰ线性表示，又容易得到1123212321110,0,3333αβββαβββ=++=-+这表明向量组Ⅰ也能由向量组Ⅱ线性表示。
即由定义知这两个向量组等价。
向量组之间的等价关系具有下述性质： (1) 反身性：A 组与A 组自身等价；(2) 对称性：若A 组与B 组等价，则B 组与A 组等价；(3) 传递性：若A 组与B 组等价，B 组与C 组等价，则A 组与C 组等价。
定义2：向量组的初等变换 如果对向量组A 作以下变换（1） 交换中两向量的次序 （2） 用非零数k 乘中的某个向量（3） 把中某个向量的k 倍加到另一个向量上去，我们称这三种变换为向量组的初等变换。
显然，经过初等变换后所得的向量组B 与原向量A 组等价。
即A 与B 能互相线性表示。
（读者自己说明）。
因为矩阵的初等行变换，也就是对矩阵的行向量实施的以上三种初等变换，行等价的矩阵，它们的行向量组等价。
同理，列等价的矩阵，它们的列向量组也等价。
引理：为A 为m ×n 矩阵，如果m<n ，则齐次线性方程组AX=0必有非零解。
该引理是说，当方程个数小于其未知量的个数时，该齐次线性方程必有非零解。
这是因为：用消元法把系数矩阵化为阶梯形，则阶梯形矩阵中所含非零行的个数r 当然不会大于的行数，又由已知m<n ，有r<n ，或n-r>0，故对应阶梯形方程组中与首非零元对应的个未知量，并给其它的n-r 个未知量任意一组不全为零的数，就可以得到方程组的一个非零解。
第三节 向量组的秩
例 3 设矩阵
A
2 1 4
1 1 6
1 2 2
1 1 2
42 4
3 6 9 7 9
求 矩 阵A的 列 向 量 组 的 一 个 最 大无 关 组 ， 并 把 不 属 最 大 无 关 组 的 列 向 量用 最 大 无 关 组 线 性 表 示.
记 A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 )
1 0
,
a2
3 5
,
a3
0 1
,
a4
0 0
,
a5
2 1
,
a6
12 71
1
4
1
1
2
29
证 明 ：a1 , a3 , a4是 向 量 组A的 一 个 最 大 无 关 组.
证明
�1 0 0�
Q A (a1,a3,a4) ����10
1 1
0 1
����ﾣ
1 0
0 1
0 0
2. 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
3. 关于向量组秩的一些结论： 定理 8 、推论 3 、推论 4 ．
4. 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
第三节 向量组的秩
一、向量组的等价
设有两个向量组A :1,2 ,,m;B : b1,b2 ,,bs .
B能由A线性表示，即对每个向量bj ( j 1,2,, s)存
在数k1 j , k2 j ,kmj ,使
b1 b2 bs
k111 k121
k1s1
(b1 ,
k212 k222 k2s2
b2,,bs )
第讲向量组的秩
R(A) =R(A,B)
R(B) R( A)
向量组 B 与向量组A 等价（P83定义）
R(A) =R(A,B)=R(B)
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关（P87定义） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关（P87定义）
R(A) < m R(A) = m
1
1
5
例 设:
R (α1, α2, α3) = R (b1, b2 )
=R (α1, α2, α3 b1, b2 )
向量组1,2 ,3线性相关
R(A) < 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 < 向量个数
向量组1,
2
,
线性无关
3
R(A) = 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 = 向量个数
r 1, ..., m , ......
A
(2) A中的任一个向量都能由部分组A0线性表示 则称部分组A0为向量组A的一个最大无关组。
2 向量组A的秩： RA 最大无关组所含向量的个数
=r
向量组 A 与其最大无关组 A0 关系？
P83定义3
向量组B：b1, b2, …, bl
相互线性表示
向量组A： α1, α2, … αm 等价（P83定义3）
线性表示 其中向量组为：
2
1
1 4
3
或
1
2
1 6
6
1
3
2
2
9
1
4
1
2
7
2
5
4
4
9
1 2 1 4 3 2 1 1 6 6 3 1 2 2 9 4 1 1 2 7 5 2 4 4 9
4-4向量组的秩
B : b1 , b2 ,, bt
若 B能由 A线性表示,即对每个向量 b j ( j 1, 2,, t )
存在数 k1 j , k2 j , ksj ,
使
b j k1 j a1 k2 j a2 ksj as k1 j k 2 j , ( j 1, 2,, t ) a1 , a2 ,, as ) （ k sj
T
关向量组表示.
分析 根据矩阵的初等变换不改变矩阵的秩而且行变 换不改变列向量之间的线性关系,利用初等行变换将 以 a1 , a2 , a3 , a4 , a5为列向量的矩阵化为行阶梯形,然 后在每一个阶梯中选取一个“元素”即构成此向量 组的一个最大无关组,同时求得向量组的秩.当阶梯形 化为 “最简形”时，还可直接得到其余向量用最大 无关组的线性表达式. 解 (1)以 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 为列向量作矩阵A ,用初等行 变换将矩阵 A 化为行阶梯形
R( A, b j ) R( A)，
( j 1, 2,, t )
所以b j可由向量组A线性表示，
所以向量组B可由向量组A线性表示.
推论
向量组 A : a1 , a2 ,, am ; B : b1 , b2 ,, bs
等价的充分必要条件是 R( A) R( B) R( A, B) 其中A和 B 是向量组 A和向量组 B 所构成的矩 阵.
二. 向量组的最大无关组
已知向量组 T T T T 1＝ 1，0 ， 2＝ 0，1 , 3＝ 1，1 ， 4＝ 3，-4
1， 2 是线性无关的; 向量组中的任一个向量都可以由 1， 2 线性表示.
第三节 向量组的秩
A的秩=2 B的秩=2
1可由1,2线性表示 但2不能由1,2线性表示
A与B不等价
∵A与B等价, 且都线性无关 A与B所含向量个数相同
可见,一个向量组的最大无关组虽然不 是唯一的,但最大无关组所含的向量的个数 总是确定的.
二、向量组的秩
定义10 向量组的最大无关组所含向量的 个数称为该向量组的秩. 注: (1)n维向量组Rn的秩是n.
(2)设向量组A: 1,2,,m
A线性无关A的最大无关组是A本身
3 : 1 1 5
1,2,3线性相关 3可由1,2线性表示
1 : 1 1 1
2 : 0 2 4 =0
4 : 2 0 6
1,2,4线性相关 4可由1,2线性表示 同理,5可由1,2线性表示 1,2是T的一个最大无关组
同法: 2,3也是T的一个最大无关组
注: (1)一般来说,一个向量组的最大无关组不是 唯一的. (2)一个向量组与它的最大无关组等价.
A中的向量线性表示,则称B可由A线性表示. 若A与B可互相线性表示,则称A与B等价.
等价性质: (1)反身性: A与A等价. (2)对称性: 若A与B等价,则B与A等价. (3)传递性: 若A与B等价,B与C等价,则A与C 等价.
定义9 一个向量组T中的部分向量1,2,, m若具有性质: (1)1,2,,m线性无关; (2)向量组T中任一向量都可由1,2,,m线
k11+k22++krr
(4) (5)
把(1)式代入(5)式,整理得:
k11+k22++krr
=k1(a111+a122++a1ss) +k2(a211+a222++a2ss) ++ kr(ar11+ar22++arss)
第二节 向量组的秩
3,
2,
1),
的秩.
解 作矩阵A 1 2 3 4 5, 对A作初等
行变换, 化A为阶梯形
A 1 2 3 4 5
1 1 0 1 2
1 0
2 1
1 1
3 2
6 4
0 1 1 1 1
1 1 0 1 2
~r
2
r
1
0
0
1 1
1 1
2 2
4 4
0 1 1 1 1
证毕
例1求向量组 α1＝2，2，4，4， α2＝0，2，1，5，
α3＝ 2，0，3， 1，α4＝1，1，0，4
的秩和极大无关组.
解记
2 2 4 4
2 0 0 0
A
0
2
2 0
1 3
5
初等列变换
1
0
2
1 1
0 0
0
0
B
1
1
0
4
1
0
1
0
所以此向量组的秩为3.
所以向量α1, α2 , α4 是向量组T的一个极大无关组.
1
0
4
5
1
4
2 0 2 1
初等行变换
0
0
1 0
1 0
0
B
1
0
0
0
0
所以
T 秩＝T 秩=3
所以向量α1, α2 , α4 是向量组T的一个极大无关组.
例2 求向量组
T 1
(1,
1,
0,
0),
T 3
(0,
1,
1,
1),
T 5
(2,
6,
4,
3-3向量组的秩
首先 a1 , a2 线性无关， 又 a1 , a2 , a3 线性相关， 所以 a1 , a2 组成的部分组是极大无关组 . 故此向量组的秩为 2 . 还可以验证 a2 , a3 也是一个极大无关组 . 注： 可看出 ： r 唯一，但极大无关组一般情况下不唯一 . r 是 A 中线性无关的向量个数的最大者 .
任何向量组与自己的最大无关组等价. 证明 T ：1 ,, r ,, m T ' ： 1 ,, r ① T ' 可由 T 线性表示; 用 1 ,, r ,, m 线性表示， i 前面系数取1， 其余向量前面系数取0
② T 可由 T ' 线性表示; 当 j 1,2,, r 时， j可由 1 ,, r 表示 当 j r 1,, m 时，1 , , r , j 线性相关， 故 j 可由 1 ,, r 线性表示。
1 2
2 1 , 2 1 , 2 3
故等价。
1 2
2 1 , 2 Leabharlann 1 , 2 34
二、最大线性无关组，向量组的秩 第一节中讨论向量组的线性相关性的时候，矩阵 的秩起到十分重要的作用，为使讨论进一步深入，下
5
注： (1) 只含零向量的向量组没有极大无关组， 因此，零向量组的秩是零 . (2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身. (3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组
线性表出 .
6
例如：向量组
2 4 2 1 2 1 ,a ,a a1 2 3 3 5 4 1 4 1
故T T ' 。
9
3、最大线性无关组的求法 定理2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的 线性相关性。
3-2 向量组的秩和最大无关组
例3 设 ξ1,…, ξn−r [r = R(A)]为 n 元齐次线性方程组 … − 为 Ax = 0 的一个基础解系 S 为方程组 Ax = 0 的解集 的一个基础解系 基础解系, 解集, 则有
S = {x = k1ξ1 +⋯+ kn−rξn−r | k1,⋯ kn−r ∈R} ,
等价. 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价 证明 记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3),
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 r ( A, B ) = −1 1 0 1 −1 0 2 1 1 1 → 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0
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1 3 2 1 3 例2 设 a1 = −1 , a2 = 1 , b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 1 1 1 0 2
定理4 定理 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 线性关系. 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 定理5 定理 矩阵的秩等于它的(行 列向量组的秩 列向量组的秩. 矩阵的秩等于它的 行)列向量组的秩 证明 由定理 知, 矩阵的列向量组的秩等于它的行最 由定理4 简形的列向量组的秩, 从而等于它的行最简形的秩. 简形的列向量组的秩 从而等于它的行最简形的秩 而 矩阵的秩等于它的行最简形的秩. 因此, 矩阵的秩等于它的行最简形的秩 因此 矩阵的秩等于 它的列向量组的秩. 它的列向量组的秩 考虑转置即知, 矩阵的秩等于它的行向量组的秩. 考虑转置即知 矩阵的秩等于它的行向量组的秩
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向量组的等价及向量组的秩
一 基本概念
1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈ ，若有
（1）12,,,r ααα 线性无关；
（2）T 中任一向量都可由12,,,r ααα 线性表示。
那么，则称12,,,r ααα 是T 的一个极大无关组。
称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。
T 的秩数记为()R T 。
2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s ααα 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββ 。
如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。
3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。
A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。
二 主要结论
1 简化行阶梯形矩阵的性质
（1）主列构成的向量组线性无关；
（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。
（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。
2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。
3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。
4 设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。
那么，如果s t >，则向量组12,,,s ααα 必线性相关。
等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。
那么，如果向量组12,,,s ααα 线性无关，则必有s t ≤。
推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。
即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。
推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。
推论3：等价的向量组的秩数相等。
5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。
6 设A 为n 阶方阵，则下述条件等价：
（1）A 为可逆矩阵：
（2） 0A ≠；
（3）()R A n =：
（5）行秩A =列秩A =n
（6）A 的列向量组线性无关；
（7）A 的行向量组线性无关；
例 题
一 计算题
1 求向量组1102112112,,,,2311101133-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。
2 已知向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭与12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
有
相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值。
二 单项选择题
1设n 维向量组（Ⅰ）：123,,ααα与向量组（Ⅱ）：1234,,,αααα的秩均为3，向量组（Ⅲ）：1235,,,αααα的秩为4，则向量组12354,,,ααααα-的秩为
（A ） 2， （B ） 3， （C ） 4， （D ） 5。
2设12,,,s ααα 与12,,,t βββ 是两个n 维向量组，且秩12(,,,)s ααα =秩12(,,,)t r βββ= ，则
（A ） 两个向量组等价；
（B ） 秩1212(,,,,,,,)s t r αααβββ= ；
（C ） 当12,,,s ααα 可由12,,,t βββ 线性表示时，12,,,t βββ 也可由12,,,s ααα 线性表示；
（D ） 当s t =时，两个向量组等价。
三 证明题
1设T 是一个向量组，12,,,r T ααα∈ ，且12,,,r ααα 线性无关，证明下述两条件等价：
（1）T 中任一向量都可由12,,,r ααα 线性表示；
（2）T 中任何1r +向量都线性相关。
2 设向量组T 的秩为r ，12,,,r T ααα∈ ，证明若12,,,r ααα 线性无关，则12,,,r ααα 为T 的一个极大无关组。
3 设向量组T 的秩为r ，12,,,r T ααα∈ ，
证明若T 中任何向量都可由12,,,r ααα 线性表示，则12,,,r ααα 为T 的一个极大无关组。
4设向量12(1)s s αααα=+++> ，而11βαα=-，22,,
βαα=- s s βαα=-，
证明：秩12(,,,)s ααα =秩12(,,,)s βββ ；
5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。
但若秩相等且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。
6 设111121230012A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
，B 为33⨯矩阵，且0AB =，证明B 的列向量组线性相关。
作 业
1设向量组12,,,s ααα 的秩为r ，其中 1,0s r >>，则
（A ） 必有r s <；
（B ） 向量组12,,,s ααα 中任意个数小于r 的部分向量组必线性相关；
（C ） 向量组12,,,s ααα 中任意r 个向量必线性无关；
（D ） 向量组12,,,s ααα 中任意r +1个向量必线性相关。
2 设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。
则下列结论正确的是
（A ） 当s t >时向量组12,,,s ααα 线性相关；
（B ） 当s t <时向量组12,,,s ααα 线性相关；
（C ） 当s t >时向量组12,,,t βββ 线性相关；
（D ） 当s t <时向量组12,,,t βββ 线性相关。
3设A 为m n ⨯矩阵，且()R A m =，则
（A ） A 的行向量组与列向量组都线性无关；
（B ） A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；
（C ） 当m n ≠时，A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；
（D ） 当m n ≠时，A 的行向量组与列向量组都线性无关。
4 求向量组1122220112,,,,1302421123⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。
5 设有向量组123411321326,,,15110312p p αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（1）p 为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量41610α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
用1234,,,αααα线性表示；
（2）p 为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。
6 设T 是一个向量组，12,,,m T ααα∈ ，若T 中任何向量都可由12,,,r ααα 唯一线性表示，证明12,,,r ααα 为T 的一个极大无关组。
7 设n 维向量组（Ⅰ）：12,,,s ααα ，的秩为1r ，向量组（Ⅱ）：12,,,t βββ 的秩为2r ，向量组（Ⅲ）：12,,,s ααα ，12,,,t βββ 的秩为3r ，证明下列结论：
（1）若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则2r =3r ；
（2）若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则1r =3r ；
（3）若2r =3r ，则12r r ≤；
（4）若1r =3r ，则21r r ≤。
8 设向量组12,,,m ααα 的秩为r ，证明向量组12,,,,m αααβ 的秩仍为r 的充分必要条件是β可由12,,,m ααα 线性表示。