向量组的秩例题选讲 ppt课件
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极大无关组与向量组的秩-PPT
向量组 a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
3
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
A
~ 初等行变换 0
0
1 0
1 0
1 1
0 3
，
0 0 0 0 0
知R( A) 3，
故列向量组的极大无关 组含3个向量.
而三个非零行的非零首 元在1、2、4三列，
故 a1 , a2 , a4为列向量组的一个极大 无关组.
19
事实上
2 1 1 （a1 ,a2 ,a4 ) 1 1 1
X A1B.
(
AB)
2 2
2 1 1 2
1 0
4 3
1 2 2 4 2
1
3 (r1
r2
~
r3
)
1 2 1
11 1 2 22
1 0 4
3 3 2
30
1
3 (r1
r2
~
r3
)
1 2 1
11 1 2 22
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
若
1,2
,
,
线性无关
n
, 则只有当
k1 kn 0时,才有
k11 k22 knn 0 成立 .
8
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
线性代数课件：3-3向量组的秩
（3） 传递性 若向量组(Ⅰ)与向量组 （Ⅱ）等价，向量组（Ⅱ）也与向量组 (Ⅲ)等价，则向量组（Ⅰ）也与向量组 (Ⅲ)等价。
（4）向量组都与它的任一极大线性 无关组等价；
定理3.3.3 若向量组（Ⅰ）：
1, 2 ,, s
可由向量组（Ⅱ）：
1, 2 ,, t
线性表出,且向量组（Ⅰ）的秩为p ，向量 组（Ⅱ）的秩为q，则 p≤q。
!!!例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩 阵，则
R(AB) minR(A),R(B)
证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak， 矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则
C j b1 j A1 b2 j A2 bkj Ak ( j 1,2,, s)
例3.3.2 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
全由零向量组成的向量组的秩规定为零。
由向量组秩的定义，一个向量组线性 无关的充要条件是该向量组的秩等于向量 组中所含向量的个数；
Question: 任意一个非零向量组α1,α2, …,αm是否必定 存在一个极大线性无关组？
回答是肯定的。
对于向量组α1,α2, …,αm ，我们可用如 下方法求它的极大线性无关组：
要证s=r。
j1 , j2 ,, jr
由于 i1 , i2 ,, is为极大线性无关组，
所以 j1 , j2 ,, jr可由其线性表出，又 j1 , j2 ,, jr 线性无关，由定理 3.3.2
（4）向量组都与它的任一极大线性 无关组等价；
定理3.3.3 若向量组（Ⅰ）：
1, 2 ,, s
可由向量组（Ⅱ）：
1, 2 ,, t
线性表出,且向量组（Ⅰ）的秩为p ，向量 组（Ⅱ）的秩为q，则 p≤q。
!!!例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩 阵，则
R(AB) minR(A),R(B)
证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak， 矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则
C j b1 j A1 b2 j A2 bkj Ak ( j 1,2,, s)
例3.3.2 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
全由零向量组成的向量组的秩规定为零。
由向量组秩的定义，一个向量组线性 无关的充要条件是该向量组的秩等于向量 组中所含向量的个数；
Question: 任意一个非零向量组α1,α2, …,αm是否必定 存在一个极大线性无关组？
回答是肯定的。
对于向量组α1,α2, …,αm ，我们可用如 下方法求它的极大线性无关组：
要证s=r。
j1 , j2 ,, jr
由于 i1 , i2 ,, is为极大线性无关组，
所以 j1 , j2 ,, jr可由其线性表出，又 j1 , j2 ,, jr 线性无关，由定理 3.3.2
线性代数课件chap33向量组的秩(2020)
命题
1. 向量组 1 , 2 ,..., m 线性无关
r 1 , 2 ,..., m m
2. 向量组 1 , 2 ,..., m
线性相关
r 1 , 2 ,..., m m
3. 等价向量组必有相同的秩
4. 若 r 1 , 2 ,..., m r则向量组中
的任意k行与B 的相应的k行具有相同的相关
性
即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系
例、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，
并将其它向量用所求的极大线性无关组
线性表示。
1
1
0
1
2
1
2
1
3
6
1 , 2 , 3 4 5
1 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
1 2 3 4 5
所以， , , , , =
, , 为一个极大无关组
= + , = − − +
命题 设向量组 1 , 2 ,..., m
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
证明 其中任意m个向量构成的向量组的ห้องสมุดไป่ตู้ ≥r+m-s
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
《线性代数教学PPT》向量组的秩
代
1,2, ,r为(A)的一个极大(最大)无关组 数
( A)的极大无关组必与(A)等价 : 最本质的性质.
注: (1)向量组的极大无关组不是唯一的.
=
(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的;
=
问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意
两个极大无关组所含向量个数是否唯一?
线
定理5 设有两个向量组: 性
数
1 2 3 0 1 2 3 0
=
0 1 1 1 0 1 1 1 所求秩为3. 0 0 12 0 0 0 1 0
=
0 0 12 0 0 0 0 0
例3.11: 求下列向量组的一个极大无关组及向量组的秩
1 (1,1, 2, 2,1)T ,2 (0, 2,1,5, 1)T ,3 (2, 0,3, 1,3)T ,
1 0
性
0 0 0
代
且有 3 21 2
1 0 0 2 0 1 0 1
数
这是因为1
2
4
3
0 0
0 0
1 0
0
0
=
0 0 0 0
=
例12 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T,
2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出.
2
5
1
4
0
5
5
2
0
5
5
2
数
1 1 3 1 0 1 1 2 0 1 1 2
1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 0
0 1 1
0
0 1
1
《向量组的秩》课件
定理3
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
向量组的秩例题选讲-PPT
1 2 1 0
A1 1
4 3
1 0
4 2
1 2 3 4
解 通过初等行变换把A化为行最简形
1 2 1 0 1 2 1 0 A 1 4 1 4 0 2 2 4
1 3 0 2 0 1 1 2
向量组的秩例题选讲
24
1 2 1 0 1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
向量组的秩
4.3
本节 主要内容
1. 极大线性无关组与秩; 2. 向量组的等价; 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.
向量组的秩例题选讲
4
4.3.1 向量组的极大无关组与秩
定义1设S是n维向量构成的向量组,在S中
选取r个向量 1, 2,如,果,满r 足
(1) 1,2 , ,r线性无关 (2)任取 S,总有 ,1,线2,性相,关r . 则称向量组 1,2,为向,量r 组S的一个
是r 维线性无关向量的接长,仍线性无关.
j A, 下证 j ,i1 ,i2 ,,ir
是线性相关的,
向量组的秩例题选讲
20
因为
①
j
在 j ,
i1 , i1 ,
ii22,线, …性,,ii相rr 中关; .
② j 不在 i1 , i2 , …,ir 中,
而 所以
r+1列对应的子矩阵记为A1 ,r(A1)≤ r(A)= r ＜r +1 j ,i1 ,i线2 ,性,相ir 关,
线性相关,所以 j ( j=r+1,…,m)可以由
1, 2 ,, r 线性表示 (I)可由(II)线性表示.
故 (I)与(II) 等价.
向量组的秩例题选讲
13
线性代数课件-3.3向量组的秩
i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个极大线性无关组 i , i ,, i 满足：
1 2 r 1 2 r
（1） i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, m 的部分组
（2）i1 , i2 ,, ir 线性无关
（3）任意r+1个向量构成的部分组线性相关，
1 , 2 ,, m 的两个极大无关组，则有
因为
i1 ,i 2 ,,ir ≌ j1 , j 2 ,, js i1 ,i 2 ,,ir ≌ 1 , 2 ,, m 1 , 2 ,, m ≌ j1 , j 2 ,, js
• 等价的性质：
（1）反身性：任一向量组与自身等价。
即
1 , 2 ,,பைடு நூலகம் m
≌ 1 , 2 ,, m
（2）对称性：若1 , 2 ,, m ≌ 1 , 2 ,, s
则
1 , 2 ,, s ≌ 1 , 2 ,, m
由于 3可由1， 2线性表示
1 , 2 , 3 线性相关。
定理3· 若向量组1 , 2 ,, m 可由向量组 8 1 , 2 ,, s 线性表示，且m>s, 则向量组 1 , 2 ,, m 线性相关。
证明： 因为1 , 2 ,, m可由 1 , 2 ,, s线性表示
故
1 , 2 ,, m ≌ i1 ,i 2 ,,ir
定理3· 向量组 1 , 2 ,, m 和它的极大无关组 7
i1 , i 2 ,, ir 等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。 即 若 i1 , i 2 ,, ir 和 j1 , j 2 ,, js 是向量组
二、等价 定义3· 9 设有两个向量组
向量组的秩课件
1 2 r
(2) i1 , i2 , , ir 是1 , 2 , , n的一个极大无关组
i , i , , i 是1 , 2 ,, n 一个极大无关组；
1 2 r
(3)若1 , 2 , , n中向量 j 可由其极大无关组
i , i , , i 线性表出为 j ki i ki i ki i ,
命题 矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系，即若
A (1,2 ,,n ) 初等行变换 (1, 2 ,, n ) B,
则
(1)1 , 2 , , n的部分组 i1 , i2 , , ir 线性无关
1 , 2 , , n的部分组 i , i , , i 线性无关；
注: (1)极大无关组可能不唯一，但含向量的个数相同. (2)一向量组有极大无关组 其中含非零向量， 无极大无关组 其中全为零向量. (3)线性无关的向量组的极大无关组为其本身.
定义2.12 给定向量组I : 1 , 2 ,, s , II : 1 , 2 ,, t . 若I的任一向量可由 II线性表出 , 则称I可由II线性表出 .
1.求下列向量组的秩，并 判断其线性相关性： 1 1 0 0 2 2 (1)1 , 2 , 3 ; 1 1 2 0 1 1 (2)1 (1,0,1,0), 2 (1,2,1,1), 3 (0,2,0,1).
2.4 向量组的秩
定义2.11 若向量组1 , 2 ,, s的一个部分组 i , i ,, i 满足：
1 2 r
(1) i1 , i2 ,, ir 线性无关; (2)1 , 2 ,, s中的任一向量可由 i1 , i2 ,, ir 线性表出 ( j {1 , 2 ,, s }, 有 i1 , i2 ,, ir , j 线性相关), 则称 i1 , i2 ,, ir 为1 , 2 ,, s的一个极大线性 无关部分向量组，简称 为极大无关组 .
(2) i1 , i2 , , ir 是1 , 2 , , n的一个极大无关组
i , i , , i 是1 , 2 ,, n 一个极大无关组；
1 2 r
(3)若1 , 2 , , n中向量 j 可由其极大无关组
i , i , , i 线性表出为 j ki i ki i ki i ,
命题 矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系，即若
A (1,2 ,,n ) 初等行变换 (1, 2 ,, n ) B,
则
(1)1 , 2 , , n的部分组 i1 , i2 , , ir 线性无关
1 , 2 , , n的部分组 i , i , , i 线性无关；
注: (1)极大无关组可能不唯一，但含向量的个数相同. (2)一向量组有极大无关组 其中含非零向量， 无极大无关组 其中全为零向量. (3)线性无关的向量组的极大无关组为其本身.
定义2.12 给定向量组I : 1 , 2 ,, s , II : 1 , 2 ,, t . 若I的任一向量可由 II线性表出 , 则称I可由II线性表出 .
1.求下列向量组的秩，并 判断其线性相关性： 1 1 0 0 2 2 (1)1 , 2 , 3 ; 1 1 2 0 1 1 (2)1 (1,0,1,0), 2 (1,2,1,1), 3 (0,2,0,1).
2.4 向量组的秩
定义2.11 若向量组1 , 2 ,, s的一个部分组 i , i ,, i 满足：
1 2 r
(1) i1 , i2 ,, ir 线性无关; (2)1 , 2 ,, s中的任一向量可由 i1 , i2 ,, ir 线性表出 ( j {1 , 2 ,, s }, 有 i1 , i2 ,, ir , j 线性相关), 则称 i1 , i2 ,, ir 为1 , 2 ,, s的一个极大线性 无关部分向量组，简称 为极大无关组 .
线性代数4.3 向量组秩-PPT课件
e5
1
1
e2
2
2
3
e3
4
3
2
3
e2
2
4
e4
A的极大无关组（3）
3
4
2
1
e5
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
例3：求A的一个极大无关组。
{ 1,2}为A的一个极大无关组
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
课题练习：
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
课题练习：
《线性代数》精品课程
三、两个向量组等价的判断方法
《线性代数》精品课程
三、两个向量组等价的判断方法
《线性代数》精品课程
4.3 向量组的秩
一 向量组的秩及其求法
二 矩阵秩的另一定义 三 两个向量组等价的判断方法
一、向量组的秩及其求法
1 0 0 0 e1
《线性代数》精品课程
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 e2 ei en
a1 组 不 1, 2 线性无关 { 为 A 的一个极大无关组 1, 2} 唯 3 3 1 2 一
{ 2,3} 为 A 的一个极大无关组
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
A的极大无关组（1）
3
1
e1
4
3
1
A的极大无关组（2）
1
1
e2
2
2
3
e3
4
3
2
3
e2
2
4
e4
A的极大无关组（3）
3
4
2
1
e5
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
例3：求A的一个极大无关组。
{ 1,2}为A的一个极大无关组
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
课题练习：
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
《线性代数》精品课程
二、矩阵秩的另一定义
课题练习：
《线性代数》精品课程
三、两个向量组等价的判断方法
《线性代数》精品课程
三、两个向量组等价的判断方法
《线性代数》精品课程
4.3 向量组的秩
一 向量组的秩及其求法
二 矩阵秩的另一定义 三 两个向量组等价的判断方法
一、向量组的秩及其求法
1 0 0 0 e1
《线性代数》精品课程
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 e2 ei en
a1 组 不 1, 2 线性无关 { 为 A 的一个极大无关组 1, 2} 唯 3 3 1 2 一
{ 2,3} 为 A 的一个极大无关组
《线性代数》精品课程
一、向量组的秩及其求法
A的极大无关组（1）
3
1
e1
4
3
1
A的极大无关组（2）
3.4.2--向量组的最大无关组与秩PPT优秀课件
组 1 ,2 , ,n 中任意 r 个线性无关的向量构
成的部分组必为该向量组的最大无关组. 定理3.4.4 初等行变换不改变行向量组的线性 相关性.
14
最大无关组的求法:
1.将所给的行向量组 1,2 , ,s 按行排列成
行的矩阵
1
A
2
s
把原始向量的序号标注 在矩阵的右侧.
2.对矩阵 作初等行变换将其化为阶梯型，特 别注意在对A 矩阵进行初等变换的同时，对矩阵 后的标注也进行相应的变换.
(1) t 为何值时，1 ,2 ,3 线性相关.
(2)当 1 ,2 ,3 线性相关，求出此向量组的
最大无关组，并把其余向量用最大无关组线 性表示.
17
定理3.4.5 设 A 为 m n 矩阵，则矩阵 A的秩
等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组
的秩.
推论3.4.1 矩阵 A 的行向量组的秩与列向量组
A 线性无关，则向量组 A：1,2 , ,r
中向量的个数不大于B : 1, , s 中向量 的个数，即 r s.
9
二、最大线性无关向量组
定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
1
,
2
,,
，满足
r
（1）向量组A0 :1,2 ,,r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
r 1个向量的话）都线性相 关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大Βιβλιοθήκη k1 j （1
,
2
,,
m
)
k2
j
,
kmj
4
从而
k11
（
b1
, b2
,, bs
成的部分组必为该向量组的最大无关组. 定理3.4.4 初等行变换不改变行向量组的线性 相关性.
14
最大无关组的求法:
1.将所给的行向量组 1,2 , ,s 按行排列成
行的矩阵
1
A
2
s
把原始向量的序号标注 在矩阵的右侧.
2.对矩阵 作初等行变换将其化为阶梯型，特 别注意在对A 矩阵进行初等变换的同时，对矩阵 后的标注也进行相应的变换.
(1) t 为何值时，1 ,2 ,3 线性相关.
(2)当 1 ,2 ,3 线性相关，求出此向量组的
最大无关组，并把其余向量用最大无关组线 性表示.
17
定理3.4.5 设 A 为 m n 矩阵，则矩阵 A的秩
等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组
的秩.
推论3.4.1 矩阵 A 的行向量组的秩与列向量组
A 线性无关，则向量组 A：1,2 , ,r
中向量的个数不大于B : 1, , s 中向量 的个数，即 r s.
9
二、最大线性无关向量组
定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
1
,
2
,,
，满足
r
（1）向量组A0 :1,2 ,,r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
r 1个向量的话）都线性相 关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大Βιβλιοθήκη k1 j （1
,
2
,,
m
)
k2
j
,
kmj
4
从而
k11
（
b1
, b2
,, bs
经济数学课件 12.3 向量组的秩
的线性相关性。
解 分别以向量 1, 2 , 3为行构造矩阵
A
1 2 3
1
3
பைடு நூலகம்
2
4 1 3
5 7 0
0
11 5
1 4 5 0 行0 1 2 1
0 0 0 0
所以，秩(A) = 2，即向量组 1, 2 , 3的秩为2。由此
得 1, 2 , 3线性相关。
▌
定理 设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条 件是：A的行（列）向量组线性无关。
的秩为___。
例 向量组 , （ , ）的秩为___。
定理 向量组 1, 2, …, m 线性相关的充分必要 条件是：秩{1, 2, …, m } < m。
定义 设向量组 1, 2, …, m 的秩为 r，则 1, 2, …, m 中任意 r 个线性无关的向量都称为向量组 1, 2, …, m 的极大线性无关部分组，简称为极大无关
例 已知向量组
1 (1,1,1), 2(1,2,4), 3 (1,3,9)
证明：1,2 ,3 线性无关。
证明 令
1 1 1
A [1,2,3] 1 2 3
1 4 9
经验证 A满秩，所以 1, 2 , 3线性无关。
▌
例 已知向量组 1, 2 ,, n ，求它的秩及一个
极大无关组。
解 令 A [1, 2,, n ] ，设
即
k1 0, k2 0, , km 0
由此得 1, 2,, m 线性无关。
▌
作业:
习题12-3 1. 2
但任意两个行向量
i (aib1,aib2,,aibn), j (a jb1,a jb2,,a jbn)
均线性相关，这是因为 a j i ai j ，而 ai , a j
解 分别以向量 1, 2 , 3为行构造矩阵
A
1 2 3
1
3
பைடு நூலகம்
2
4 1 3
5 7 0
0
11 5
1 4 5 0 行0 1 2 1
0 0 0 0
所以，秩(A) = 2，即向量组 1, 2 , 3的秩为2。由此
得 1, 2 , 3线性相关。
▌
定理 设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条 件是：A的行（列）向量组线性无关。
的秩为___。
例 向量组 , （ , ）的秩为___。
定理 向量组 1, 2, …, m 线性相关的充分必要 条件是：秩{1, 2, …, m } < m。
定义 设向量组 1, 2, …, m 的秩为 r，则 1, 2, …, m 中任意 r 个线性无关的向量都称为向量组 1, 2, …, m 的极大线性无关部分组，简称为极大无关
例 已知向量组
1 (1,1,1), 2(1,2,4), 3 (1,3,9)
证明：1,2 ,3 线性无关。
证明 令
1 1 1
A [1,2,3] 1 2 3
1 4 9
经验证 A满秩，所以 1, 2 , 3线性无关。
▌
例 已知向量组 1, 2 ,, n ，求它的秩及一个
极大无关组。
解 令 A [1, 2,, n ] ，设
即
k1 0, k2 0, , km 0
由此得 1, 2,, m 线性无关。
▌
作业:
习题12-3 1. 2
但任意两个行向量
i (aib1,aib2,,aibn), j (a jb1,a jb2,,a jbn)
均线性相关，这是因为 a j i ai j ，而 ai , a j
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齐次线性方程组AX=0有非零解
其中A=(1 2 … m), X=(x1,x2,…,xm)T (8)设有n个n维向量1,2,…,n: 1,2,…,n线性相关|1 2 … n|=0; 1,2,…,n线性无关|1 2 … n|0.
(9) Rn中n+1个向量一定线性相关. (10)矩阵判别法.
3
4.3 向量组的秩
线性表示,则 r ≤ s .
14
证 因为向量组(I)可由(II) 线性表示, 故有
1k111kL21L 2Lks1s r k1r1k2r2Lksrs
k11 k12 L k1r
(1 ,(2 I,L ) ,r ) (1 ,2 (, IL I) ,s ) kkM2s11
k 22 M
ks2
L L
k2r M
故 (I)与(II) 等价. 13
性质2 向量组的任意两个极大无关组等价.
证 设 (I), (II)是向量组S 的两个极大
无关组,由性质1知,(I)与S等价, (II)与S等价 ,由传递性(I)与(II)等价.
定理4.3 设有n 维向量组:
(I)1,2,L,r; (II)1,2,L,s
若(I)线性无关,且(I)可由(II)
本节 主要内容
1. 极大线性无关组与秩; 2. 向量组的等价; 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.
4
4.3.1 向量组的极大无关组与秩
定义1 设S是n维向量构成的向量组,在S中
选取r个向量 1,2, ,如, 果r满足
(1) 1,2,L,r线性无关
(2)任取 S,总有 ,1,线2,L 性,相r关.
则称向量组 1,2, 为,向r量组S的一个
(2)包含成比例的向量线性相关.
(3)线性相关存在一个向量可由其余的
向量线性表示.
(4)线性无关任何向量都不能由其余的
向量线性表示.
(5) 增加(减少)个数不改变相(无)关性.
(6) 增加(减少)维数不改变无(相)关性.
2
(7) 向量组1,2,…,m线性相关性 x11+x22+…+xmm=0有非零解
(1
krsr
2 L r
k11 )kkM2r11
k12 L k22 L M
kr2 L
k1s kkM2rss
存在r×s矩阵K,使得 Bn×s =An×r K r s
向量组极大无关组的几个问题: ➢极大无关组与原向量组的关系? ➢极大无关组之间的关系? 这都要用到两个向量组之间的关系.
性质1 向量组与它的极大无关组等价.
证 设(I) 1 ,2 ,L ,r,r 1 ,L ,m 的秩为r,
不妨设(II) 1,2,L,r 是(I)的一个
极大无关组.
12
(1) i ( i = 1,2,…,r) (II), 由 i 0 1 L 1 i L 0 r 0 r 1 L 0 m 即(II) 可由(I) 线性表示.
94.3.2 向量组的等价 Nhomakorabea定义2 设有两个 n 维向量组
(I)1,2,L,r; (II)1,2,L,s
若(I)中每个向量都可由(II)线性表示, 则称 向量组(I)可由向量组(II)线性表示.
若向量组(I)和(II)可以互相线性表示, 则称向量组(I)与(II)等价.
等价的性质 自反性、对称性、传递性
(2)由定义1知, 1, 2 ,, m中任意r+1个
向量都线性相关. j (I如) 果j=1,…,r, j 显然可由1, 2 ,, r 线性表示;如果 j=r+1,…,m, 向量组1, 2 ,, r , j 一定
线性相关,所以 j ( j=r+1,…,m)可以由
1, 2 ,, r 线性表示 (I)可由(II)线性表示.
下面证明只有l0, 反证法.
7
如果 l =0, 则有k1, k2,…,km不全为零,使 k 11 k 22 L k m m 0
于是1, 2, … , m 线性相关,与已知矛盾.
从而 l 0. 故有
kl11kl22Lklmm
即 可由1, 2, … , m线性表示.
下面来证明表示的唯一性.
k sr
r r(1,2,L,r)r(BK) r (K ) s
Q1,2,L,r线性无关, 由矩阵判别法知
故
r s.
15
推论1 如果向量组(I)可由(II)线性表示,
且r >s, 则(I) 线性相关.
复习线性相关性的判定理论
单个向量组成的向量组 : (1)若 = 0, 则线性相关; (2)若 0, 则线性无关. 两个向量组成的向量组, :
(1)若对应分量成比例,则线性相关; (2)若对应分量不成比例,则线性无关.
1
设有n维向量组成的向量组:1,2,…,m
(1)包含0向量线性相关.
(m2)
10
n维向量组 ( I1,)2, ,r;(I1 I,)2,,s.
定义 向量组(II)可由向量组(I)线性表示
存在数k ij( i 1 ,2 ,L ,r ;j 1 ,2 ,L ,s ) ,使得
1 k111 k212 kr1r
2 k121 k222 kr2r
s
即
k1s1 k2s2
(12Ls)
8
假若 有两种表示法,设
k 11 k 22 L k m m l11 l22 L lmm
两式相减,得
( k 1 l 1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 L ( k m l m ) m 0
由1,2,…,m 线性无关,得
kili(i 1 ,2 ,L,m ) 故 可由1,2,…,m 唯一线性表示.
所以1 , 2为极大无关组,
故
秩( 1, 2 , 3 ) =2.
可知1 , 3和2 , 3也都是极大无关组.
6
线性表示唯一性定理
定理4.2 设n维向量1,2,…,m线性无关, 而1,2,…,m , 线性相关, 则 可由 1,2,…,m 线性表示, 且表法唯一.
证 由1,2,…,m, 线性相关
存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得 k 11 k 22 L k m m l 0
极大线性无关组(简称极大无关组). 数 r 称为该向量组的秩,记为
r(1, 2, … , s)= r 或秩(1, 2, … , s)= r
5
例1 设有向量组 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T,
求向量组的秩和极大无关组.
解 因 1 , 2 线性无关 ,且 3 = 1+ 2
其中A=(1 2 … m), X=(x1,x2,…,xm)T (8)设有n个n维向量1,2,…,n: 1,2,…,n线性相关|1 2 … n|=0; 1,2,…,n线性无关|1 2 … n|0.
(9) Rn中n+1个向量一定线性相关. (10)矩阵判别法.
3
4.3 向量组的秩
线性表示,则 r ≤ s .
14
证 因为向量组(I)可由(II) 线性表示, 故有
1k111kL21L 2Lks1s r k1r1k2r2Lksrs
k11 k12 L k1r
(1 ,(2 I,L ) ,r ) (1 ,2 (, IL I) ,s ) kkM2s11
k 22 M
ks2
L L
k2r M
故 (I)与(II) 等价. 13
性质2 向量组的任意两个极大无关组等价.
证 设 (I), (II)是向量组S 的两个极大
无关组,由性质1知,(I)与S等价, (II)与S等价 ,由传递性(I)与(II)等价.
定理4.3 设有n 维向量组:
(I)1,2,L,r; (II)1,2,L,s
若(I)线性无关,且(I)可由(II)
本节 主要内容
1. 极大线性无关组与秩; 2. 向量组的等价; 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.
4
4.3.1 向量组的极大无关组与秩
定义1 设S是n维向量构成的向量组,在S中
选取r个向量 1,2, ,如, 果r满足
(1) 1,2,L,r线性无关
(2)任取 S,总有 ,1,线2,L 性,相r关.
则称向量组 1,2, 为,向r量组S的一个
(2)包含成比例的向量线性相关.
(3)线性相关存在一个向量可由其余的
向量线性表示.
(4)线性无关任何向量都不能由其余的
向量线性表示.
(5) 增加(减少)个数不改变相(无)关性.
(6) 增加(减少)维数不改变无(相)关性.
2
(7) 向量组1,2,…,m线性相关性 x11+x22+…+xmm=0有非零解
(1
krsr
2 L r
k11 )kkM2r11
k12 L k22 L M
kr2 L
k1s kkM2rss
存在r×s矩阵K,使得 Bn×s =An×r K r s
向量组极大无关组的几个问题: ➢极大无关组与原向量组的关系? ➢极大无关组之间的关系? 这都要用到两个向量组之间的关系.
性质1 向量组与它的极大无关组等价.
证 设(I) 1 ,2 ,L ,r,r 1 ,L ,m 的秩为r,
不妨设(II) 1,2,L,r 是(I)的一个
极大无关组.
12
(1) i ( i = 1,2,…,r) (II), 由 i 0 1 L 1 i L 0 r 0 r 1 L 0 m 即(II) 可由(I) 线性表示.
94.3.2 向量组的等价 Nhomakorabea定义2 设有两个 n 维向量组
(I)1,2,L,r; (II)1,2,L,s
若(I)中每个向量都可由(II)线性表示, 则称 向量组(I)可由向量组(II)线性表示.
若向量组(I)和(II)可以互相线性表示, 则称向量组(I)与(II)等价.
等价的性质 自反性、对称性、传递性
(2)由定义1知, 1, 2 ,, m中任意r+1个
向量都线性相关. j (I如) 果j=1,…,r, j 显然可由1, 2 ,, r 线性表示;如果 j=r+1,…,m, 向量组1, 2 ,, r , j 一定
线性相关,所以 j ( j=r+1,…,m)可以由
1, 2 ,, r 线性表示 (I)可由(II)线性表示.
下面证明只有l0, 反证法.
7
如果 l =0, 则有k1, k2,…,km不全为零,使 k 11 k 22 L k m m 0
于是1, 2, … , m 线性相关,与已知矛盾.
从而 l 0. 故有
kl11kl22Lklmm
即 可由1, 2, … , m线性表示.
下面来证明表示的唯一性.
k sr
r r(1,2,L,r)r(BK) r (K ) s
Q1,2,L,r线性无关, 由矩阵判别法知
故
r s.
15
推论1 如果向量组(I)可由(II)线性表示,
且r >s, 则(I) 线性相关.
复习线性相关性的判定理论
单个向量组成的向量组 : (1)若 = 0, 则线性相关; (2)若 0, 则线性无关. 两个向量组成的向量组, :
(1)若对应分量成比例,则线性相关; (2)若对应分量不成比例,则线性无关.
1
设有n维向量组成的向量组:1,2,…,m
(1)包含0向量线性相关.
(m2)
10
n维向量组 ( I1,)2, ,r;(I1 I,)2,,s.
定义 向量组(II)可由向量组(I)线性表示
存在数k ij( i 1 ,2 ,L ,r ;j 1 ,2 ,L ,s ) ,使得
1 k111 k212 kr1r
2 k121 k222 kr2r
s
即
k1s1 k2s2
(12Ls)
8
假若 有两种表示法,设
k 11 k 22 L k m m l11 l22 L lmm
两式相减,得
( k 1 l 1 ) 1 ( k 2 l 2 ) 2 L ( k m l m ) m 0
由1,2,…,m 线性无关,得
kili(i 1 ,2 ,L,m ) 故 可由1,2,…,m 唯一线性表示.
所以1 , 2为极大无关组,
故
秩( 1, 2 , 3 ) =2.
可知1 , 3和2 , 3也都是极大无关组.
6
线性表示唯一性定理
定理4.2 设n维向量1,2,…,m线性无关, 而1,2,…,m , 线性相关, 则 可由 1,2,…,m 线性表示, 且表法唯一.
证 由1,2,…,m, 线性相关
存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得 k 11 k 22 L k m m l 0
极大线性无关组(简称极大无关组). 数 r 称为该向量组的秩,记为
r(1, 2, … , s)= r 或秩(1, 2, … , s)= r
5
例1 设有向量组 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T,
求向量组的秩和极大无关组.
解 因 1 , 2 线性无关 ,且 3 = 1+ 2