2.2.1直接证明与间接证明(综合法分析法)

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_高中数学第二章推理与证明2

跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相加得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版选修2-2
第二章推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

数学：2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》PPT课件(新人教选修2-2)

Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s 试证s<2a
1 = (a + b + c), 2
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立所以. AF⊥SC成立
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
Q P1
P1 P2
2 2 2
P2 P3
…
得到一个明显成立的结论
也可以是经过证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.

2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件

2
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般地，分析法的基本含义是什么？从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与，与，与均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2，＋ 2 ，＋ 2 ，由重要不等式得：＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)

第二章2.2.1(一)综合法和分析法(一

§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)课时目标 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法.2.理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题．综合法分析法定义利用__________和某些数学______、______、______等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的______，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、______、______、______等)，这种证明方法叫做分析法框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (P 表示________、已有的______、______、 ______等，Q 表示 ________________) Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→ P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法一、选择题1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法3．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )A ．32B ．23－2C ．1＋ 3D ．2－ 34．要证明a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法5．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定二、填空题6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．7．已知a 、b 、u ∈R *，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是__________．8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为__________．三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .10．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).能力提升11．a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．12．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋ba≥a ＋b .1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)答案综合法分析法定利用已知条件和某些数学定义、定理、从要证明的结论，逐步寻求使它成立的充分条1．D [f (x )＝x －22＋12(x －2)∵x －2≥12，∴f (x )≥2·x －22×12(x －2)＝1.当x ＝3时，f (x )min ＝1.]2．B [从证明的过程来看是从已知条件入手经过推导得到结论，符合综合法．] 3．B [由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3.∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.] 4．C [要证a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4，只要证a ＋a ＋7＋2a (a ＋7) <a ＋3＋a ＋4＋2(a ＋3)(a ＋4)，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12.由此可知，最合理的是分析法．]5．B [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.]6．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .7．(－∞，16]解析 ∵a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2b a ×9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab即3a ＝b 时取等号，若a ＋b ≥u 恒成立，则u ≤16. 8．a >c >b解析 b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c . 而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48 <8－36＝2＝a 2， ∴a >c .9．证明 ∵b 2a ＋a 2b ＝a 3＋b3ab＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)ab，又∵a >0，b >0，∴a 2－ab ＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2－ab ＋b 2≥ab ，∴a 2－ab ＋b 2ab≥1，∴(a ＋b )·a 2－ab ＋b 2ab≥a ＋b .∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 10．证明 ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立． ②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2. 即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①、②知，命题得证． 11．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立，即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c ＝4.∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号． ∴n 的最大值为4.12．证明方法一 (综合法)：因为a >0，b >0，所以a b ＋ba －a －b＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫ba －a ＝a －b b ＋b －aa＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .方法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a>0，b>0，a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0成立，所以ab＋ba≥a＋b成立．。

《综合法和分析法》(上课用)

[解析] 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．当 a＋b＞0 时，用分析法证明如下：要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2.
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
[点评] (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证) 的不等式；
(3) 用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “ 要证”、“只需证”、“即证”等词语．
2．综合法的基本思路用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q 其逻辑依据是三段论式演绎推理．
思路方法技巧命题方向综合法的应用
[例 1] 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.
[分析] 注意到条件 a＋b＝1，可在待证式中进行 1 的代换(或利用字母之间的倒数关系，将待证式左边乘以 1，即乘以 (a＋b)变形后用基本不等式证明．也可以先将 a＋b＝1 利用基本不等式转化为 ab的不等式，再看待证式能否向 ab(或 ab) 转化．
[证明] 解法一：∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴ab≤14，a1b≥4. ∴1a＋1b＝a＋ abb＝a1b≥4.

直接证明与间接证明_分析法

直接证明与间接证明_分析法直接证明和间接证明是逻辑学中的两种证明方法。

直接证明是通过事实和逻辑推理直接得出结论的方法，而间接证明则是通过反证法来达到证明的目的。

下面将从分析法的角度来探讨直接证明和间接证明的特点和应用。

首先，直接证明是一种简洁明确的证明方法。

它通过逐步展示事实和推理过程，直接地得出结论。

直接证明要求每一步的推理都是严谨和合乎逻辑的，不允许出现漏洞和错误。

直接证明的优点在于它的证明过程清晰明了，逻辑性强，容易理解和接受。

对于一些简单的问题，直接证明是最常见和最有效的证明方法。

其次，直接证明适用于一些直观的、已知的情况。

例如，要证明一个三角形的三个内角之和等于180度，可以通过直接证明来达到目的。

我们可以利用平行线和同位角的性质，逐步推导出对应角相等，从而得出结论。

这种情况下，我们有直观的几何图形和一些已知的性质，通过推理和演绎可以直接得出结论。

然而，直接证明也有一定的局限性。

对于一些复杂的问题，直接证明可能会变得更加困难和繁琐。

有时候，问题本身的复杂性以及需要证明的结论的复杂性会导致直接证明的推理过程变得更加难以理解和掌握。

在这种情况下，间接证明就可以派上用场。

间接证明是一种通过反证法推导出结论的方法。

它假设待证命题的否定是成立的，然后通过推理和推导得出矛盾的结论，从而证明了原命题的正确性。

间接证明的优点在于它能够化复杂的问题为简单的矛盾，通过推理和演绎来证明原命题的正确性。

它可以避免直接证明中的复杂推理和繁琐的计算。

间接证明适用于一些复杂、难以直接证明的问题。

例如，欧几里得几何中的数学定理费马大定理就是一个典型的间接证明的例子。

费马大定理认为不存在任何正整数n大于2的整数解(x,y,z)，使得x^n+y^n=z^n成立。

然而，这个定理的直接证明非常困难。

数学家费马通过间接证明的方法证明了该定理的正确性，从而为数学界做出了重大贡献。

总结起来，直接证明和间接证明是逻辑学中两种常见的证明方法。

2.2.2综合法与分析法

两边同乘以正数
4 ，得 2 L 因此，只需证明 4
L L2 2 4 16

L 2 L 2 因为上式是成立的，所以（）（） 2 4 即，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积
比正方形的面积大
思维升华:
1、从寻找解题思路看：综合法是由因导果，探路艰难；分析法是执果索因，便于寻找解题思路 2、从表达过程看：综合法形式简洁，条理清晰; 分析法叙述繁琐。因此，在实际解题时，常把二者结合使用。先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理的表述过程。
三、典例分析:
例3：求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。
L 2 证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为（）， 2
L 2 正方形的面积为（） 4
因此本题只需证明
L 2 L 2 （）（） 2 4 2
1 1 4
为了证明上式成立，只需证明
P3 P4（结论）
一、综合法:
定义:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。【问题一】：综合法的主要特点是什么？主要特点：由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即“由因导果 ” 。【问题二】：如果用P表示已知条件，Q表示要证明的结论，那么综合法证明的符号表示是什么？
所以PAD PBD PCD.
于是PDA PDB PDC , 而PDA PDC＝90 , 所以PDB＝90
P2P3 P0(已知) P1 A
P
D
C
B
而PD是PAD, PBD, PCD的公共边，
P1 P2

2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法

的公理证明.
证明：因为AB∩ α = P，BC∩ α = Q，AC∩ α =R （ 1）所以P，Q，R ∈α P ∈ AB，Q ∈ BC，R ∈ AC.
（ 2）
由（ 2 ）得 P ， Q ， R ∈ 平面 ABC
因此 P， Q， R是平面 ABC与平面 α 的公共点 .
因为两平面相交有且只有一条交线，所以 P ， Q ， R 三点在平面 ABC 与平面 α 的交线上，即 P ， Q ， R 三点共线 .
b 2 ac
④
由余弦定理及③，可得
b 2 a 2 c 2 2 a c co s B a 2 c 2 a c
再由④，得
2 a 2 c 2 ac ac 即（ a c ） 0
即因此从而有
(a c) 2 0
a=c A=C
⑤ 由②③⑤，得 ABC 3 所以ABC为等边三角形.
例2
在Δ ABC中,设CB = a,CA = b, 1 2 2 = |a||b| -(a · b)2 2
求证 :SΔ ABC
分析：由条件CB a, CA b, 可得ABC中 CB a , CA b , 角C为向量a与b的夹角于是可以 . 想到a· b a b cos C和S ABC 1 a b sin C.利用 2
1 r2r2 r r 2 于是SABC a b (a b) 2
例3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边
分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，
c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是 b2 =ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边

2.2.1综合法和分析法

分析法又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3

得到一个明显成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一来步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形系状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理为工具进行证明 .
2
证明由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,

1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2

由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定理、公理等 , 用Q 表示要证明的结论则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β

2.2.1综合法和分析法试题

即2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα，所以tan(α+β)=2tanα
练习1: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交 AB于E(如图).求证：DE=AE
分析：已知 AD平分∠BAC 已知1
∠1=∠2 ∠1=∠3 DE=AE DE∥CA ∠2=∠3 A B F
E
3 1 2
2.2
直接证明与间接证明
2.2.1综合法和分析法
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 练习: 例:.已知a、b、c为不全相等的正数，
4 两边同乘以正数 2 L
1
这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。
练习A 1．已知n是大于1的自然数，求证：
logn (n 1) logn1(n 2)
证明：因为 log n (n 1)
1
log( n1) n
0
所以要证原式成立，只需证明
P A D B
C
而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边, 所以△PDA≌△PBD≌△PCD，
于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可见PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面.
A D B

高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》758PPT课件

＋λe2(λ∈R)与向量2e1－e2共线的充要条件是________.
总结：
若P为已知的条件、定义、公理、定理等，Q表示结论，则综合法即为 P＝＞Q1＝＞Q2＝＞……＝＞Q
练练手：
例1 已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)>=
4abc
练练手：
例2 在三角形ABC中，三个内角A、B、 C的对边分别为a,b.c，且A，B，C成等差数列，a,b.c成等比数列，求证：三角形 ABC是等边三角形。
C 中，求证：tan Atan B>1. (2) .设e1，e 2是两个不共线向量，则向量e1
综合法
定义：一般地，利用已知条件和数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
经验传授：
为了很好地利用综合法解题，应做到以下几点：
1、解题时必须做到有理有据，不可想当然，凭感觉；
2、每拿到一道题时，快速地判断这是哪一章、哪一节的内容，把相关的内容、方法在脑海中过一遍电影； 3、积极、主动地将题目的语言叙述、图形叙述改为符号表示； 4、积极、主动地将题目中式子进行处理、变形、化简，将式子与“电影”中的内容进行对照。
证明方法
同心中学马立军
复习旧知
1、推理方法有几种？ 2、合情推理有几种？
归纳推理具体怎样操作？类比推理有哪些经验之谈？ 3、什么是演绎推理？以何种形式呈献？
开动脑筋 1、合情推理得出的结论是否必然正确？ 2、你能举一些例子吗？
证明方法的种类
证明方法主要有两类：直接证明和间接证明
直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法

222直接证明与间接证明讲解

例4 已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
否定词原词语
不等于任意的
不是至少有一个
不都是至多有一个
不大于至少有n个
不小于至多有n个
存在某个x，对任何x，
不成立
不成立
否定词
某个
一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x, 成立
二、典例剖析---类型二：
例3.证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列
证明: 假设 2, 3, 5 能成等差数列，则
2 3 2 5
两边平方得: (2 3)2 ( 2 5)2 化简得: 5 2 10
两边平方得: 25 40
此式显然不成立，所以假设错误
注：否定所型以命题2(,命题3,的5结不论可是能“成不等可差数能列……”，
所以∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60° ∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设不能成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。
反证法的思维方法：正难则反
三、典例剖析---类型一：例1. 证明：如果a b 0,则 a b

1了解直接证明的两种基本方法分析法和综

答案：①③④
5.方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝
有唯一不动点，且x1＝1000，xn＋1＝
则x2010 ＝
.
(n∈N*)，
解析：由
＝x得ax2＋(2a－1)x＝0.因为f(x)有唯一
不动点，
所以2a－1＝0，即a＝ .
所以f(x)＝
，所以xn＋1＝
＝xn＋ .
所以x2010＝x1＋ ×2009＝1000＋答案：
答案：D
4.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在
平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”
为真命题的是
(填所有正确条件的代号).
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为
直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z
为直线.
解析：由空间位置关系的判定及性质可知①③④正确.
⇔λ<
－18.
令f(n)＝1－(－ )n，则
当n为正奇数时，1<f(n)≤ ；当n为正偶数时， ≤f(n)<1. ∴f(n)的最大值为f(1)＝ .
于是可得λ<20× －18＝－6. 综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有 Sn>－12，λ的取值范围为(－∞，－6).
1.a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关
为公比的等比数列.
(3)当λ≠－18时，由(2)得bn＝－(λ＋18)·(－ )n－1，于是 Sn＝－ (λ＋18)·[1－(－ )n]. 当λ＝－18时，bn＝0，从而Sn＝0，Sn>－12恒成立. 当λ≠－18时，要使对任意正整数n，都有Sn>－12，即－ (λ＋18)·[1－(－ )n]>－12