高三数学分布列和期望
高考数学 考前查缺补漏系列 热点06 概率与统计问题,你能渡过“事理关”和“数理关”吗?
概率与统计问题,你能渡过“事理关”和“数理关”吗?【常见题型】在概率中,事件之间有两种最基本的关系,一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立),一种是事件之间的相互独立的,互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和,相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积,在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在.概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆,这中间有三个概念,事件的互斥,事件的对立和事件的相互独立,在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念,根据实际情况对事件进行合理的分拆,就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算,达到解决问题的目的.一.概率与茎叶图相联系例1【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】(理)某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下:(I )比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小;(II )以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率,假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X 的分布列和均值.(Ⅰ)x-甲= 1 8(7+9+11+13+13+16+23+28)=15, x -乙= 1 8(7+8+10+15+17+19+21+23)=15, s 2甲= 1 8[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75,s 2乙= 1 8[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小). …4分(Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1= 38,p 2= 1 2,两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2=316,依题意,X ~B (2,316),P (X =k )=C k 2(316)k(1316)2-k ,k =0,1,2, …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X )=2×316=8. …12分(文)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下:(I )比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小:(II )从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析,求抽到恰好有1场得分不足10分的概率. 解:(Ⅰ)x-甲= 1 8(7+9+11+13+13+16+23+28)=15, x -乙= 1 8(7+8+10+15+17+19+21+23)=15, s 2甲= 1 8[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75,s 2乙= 1 8[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小). …4分 (Ⅱ)题设所述的6个场次乙得分为:7,8,10,15,17,19. …7分二.频率分布表、频率分布直方图与概率相结合 例2【2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M 名学生作为样本,得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下:【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 50.25M =,12n M =,m p M =,10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =,0.6n =,2m =,0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12. (4分)⑵由⑴知,参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元,则 22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===, 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===, 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===, 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)(文)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M 名学生作为样本,得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:⑴求出表中M 、p 及图中a 的值;三、排列组合和概率相结合例3【2012东城区普通高中示范校高三综合练习(二)】(理)某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20(1的概率; (2)从40人中任选两名学生,用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列及数学期望EX . 解:(1)这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……………………5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+====== 则随机变量X 的分布列:分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计M1X0 12P15661 15675395012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望 ……………………13分样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2,2,1. ------------------5分(II )设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员,12,B B 为从B 组抽得的工作人员,1C 为从C 组抽得的工作人员,若从这5名工作人员中随机抽取2名,其所以可能的结果是:),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种, ------9分其中没有A 组工作人员的结果是:121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种,--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理,此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。
高三数学随机变量的分布列试题
高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<)的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得,+++=1,解得a=.于是P(<X<)=P(X=1)+P(X=2)=+=a=,故选D.2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中,事件A在每次试验中出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p,则事件A在4次独立重复试验中,恰好发生k 次的概率为pk=p k(1-p)4-k(k=0,1,2,3,4),∴p0=p0(1-p)4=(1-p)4,由条件知1-p=,∴(1-p)4=,∴1-p=,∴p=.∴p1=p·(1-p)3=4××()3=,故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后,一个班的3个同学都达到一本线,都填了一本志愿,设Y为被录取一本的人数,则关于随机变量Y的描述,错误的是()A.Y的取值为0,1,2,3B.P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=1C.若每录取1人学校奖励300元给班主任,没有录取不奖励,则班主任得奖金数为300Y D.若每不录取1人学校就扣班主任300元,录取不奖励,则班主任得奖金数为-300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确.易知C正确.对于D,若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金,录取不奖励,则班主任得奖金数为-300(3-Y)=300Y-900.4.设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和,求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=,V(η)=,求a∶b∶c.【答案】(1)ξ的分布列为(2)3∶2∶1【解析】(1)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时ξ=2,此时P(ξ=2)==;当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ=4时,P(ξ=4)==;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时ξ=3时,P(ξ=3)==;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时ξ=5时,P(ξ=5)==;当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ=6时,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到:η有三种取值即1,,所以η的分布列为所以,所以b=2c,a=3c,所以a∶b∶c=3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列.【答案】(1)0.5(2)0.8(3)ξ0123【解析】解:记A表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品;记B表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品;记C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种;记D 表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种.(1)C=A·B+A·B,P(C)=P(A·B+A·B)=P(A·B)+P(A·B)=P(A)·P(B)+P()·P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.(2)D=A·B,P(D)=P(A·B)=P(A)·P(B)=0.5×0.4=0.2,P(D)=1-P(D)=0.8.(3)ξ~B(3,0.8),故ξ的分布列P(ξ=0)=0.23=0.008;P(ξ=1)=×0.8×0.22=0.096;P(ξ=2)=×0.82×0.2=0.384;P(ξ=3)=0.83=0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列.【答案】(1)、、(2)X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=××=,P(A3)=××=.所以,甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、;(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=××=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=,P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A)=,4P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球,其中红球4个,编号分别为1,2,3,4,黄球3个,编号分别为2,4,6,从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等).(1)求取出的小球中有相同编号的概率;(2)记取出的小球的最大编号为,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)随机变量的分布列为:346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式,关键是利用组合知识,确定事件数;(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为:数学期望 .试题解析:(1):设取出的小球中有相同编号的事件为,编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为:3,4,6 6分, 7分, 8分9分所以随机变量的分布列为:346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型,互斥事件,离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动,促销规则如下:到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次,进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘),满200元转两次,以此类推;在转动过程中,假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的;若转盘的指针落在A区域,则顾客中一等奖,获得10元奖金;若转盘落在B区域或C区域,则顾客中二等奖,获得5元奖金;若转盘指针落在其他区域,则不中奖(若指针停到两区间的实线处,则重新转动).若顾客在一次消费中多次中奖,则对其奖励进行累加.已知顾客甲到该商场购物消费了268元,并按照规则参与了促销活动.(1)求顾客甲中一等奖的概率;(2)记X为顾客甲所得的奖金数,求X的分布列及其数学期望.【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖,P(A)=×+2××=,所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0,P(X=20)=×=,P(X=15)=2××=,P(X=10)=×+2××=,P(X=5)=2××=,P(X=0)=×=.所以X的分布列为数学期望E(X)=20×+15×+10×+5×=.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分,假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列.(3)求X的数学期望.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)=1-P( )=1-P()P()P( )=1-××=.(2)由题意,得X的可能取值是,2,,3.因为P(X=)=P()=,P(X=2)=P(A )+P(B)+P(C )=,P(X=)=P(AB)+P(A C)+P( B C)==,P(X=3)=P(ABC)=,所以X的分布列为:(3)由(2)知E(X)=×+2×+×+3×==.10.随机变量的分布列如右:其中成等差数列,若,则的值是.【答案】.【解析】由题意,则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球,现从中有放回地随机抽取2个小球,抽取的球的编号分别记为、,记.(Ⅰ)求取最大值的概率;(Ⅱ)求的分布列及数学期望.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)所以的分布列:数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏,这是极易出错的地方试题解析:(Ⅰ)当时,最大。
高三第一轮复习 两点分布,二项分布及超几何分布
两点分布,二项分布及超几何分布【提纲挈领】(请阅读下面文字,并在关键词下面记着重号)主干知识归纳1.两点分布:若随机变量X 的分布列是其中0<p <1,q =1-p ,则离散型随机变量X 服从两点分布,且称p =P (X =1)为成功概率.2.超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有ξ件次品,则事件{ξ=k}发生的概率为P(ξ=k)=C k M C n -kN -M C n N,k =0,1,2,…,m ,其中m =min {M ,n},且m ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.称分布列为超几何分布.如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布. 3.二项分布(1)进行n 次试验,如果满足下列条件:①每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”; ② 每次试 验“成功”的 概 率 均为p ,“失败”的概率为1-p ; ③各次试验是相互独立的.用X 表示这n 次试验中成功的次数,则P (X =k )= .若一个随机变量X 的分布列如上所述,则称X 服从参数为n ,p 的二项分布,简记为 . (2)二项分布的期望与方差.若随机变量X ~B (n ,p ),则EX = ,DX = . 方法规律总结1.求超几何分布的分布列、期望的步骤:第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N ,M ,n 的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; 第三步,用表格的形式列出分布列; 第四步,根据定义求出期望2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤: 第一步,先判断随机变量是否服从二项分布;第二步,若服从二项分布,一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少;第三步,根据二项分布的分布列P(X =k)=C k n p k(1-p)n -k(k =0,1,2,…,n)列出相应的分布列.【指点迷津】【类型一】两点分布【例1】:某市A ,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.【解析】:(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36=1100. 因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100. (2)根据题意得,X 的可能取值为1,2,3.P (X =1)=C 13C 33C 46=15,P (X =2)=C 23C 23C 46=35,P (X =3)=C 33C 13C 46=15.所以X 的分布列为因此,X 的数学期望E (X )=1×P (X =1)+2×P (X =2)+3×P (X =3)= 1×15+2×35+3×15=2.答案:(1)99100. (2) 2. 【例2】:据IEC(国际电工委员会)调查显示,小型风力发电项目投资较少,且开发前景广阔,但受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险.根据测算,风能风区分类标准如下:假设投资A 位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4;位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.1,不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A ,B 项目的利润分别为ξ和η,试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ),E (η); (2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A ,B 项目,且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目,根据(1)的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和z =E (ξ)+E (η)的最大值. 【解析】: (1)投资A 项目的利润ξ则E (ξ)=0.18x -0.08x =0.1x . 投资B 项目的利润η则E (η)=0.21y -0.01y =0.2y (2)由题意可知x ,y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤100,x ≥y ,x ,y ≥0,其表示的可行域如图中阴影部分所示.由(1)可知,z =E (ξ)+E (η)=0.1x +0.2y ,当直线y =-0.5x +5z 过点(50,50)时,z 取得最大值,即当x =50,y =50时,z 取得最大值15. 故对A ,B 项目各投资50万元,可使公司获得最大利润,最大利润是15万元 答案:(1) ξ的分布列为E (ξ)=0.18x -0.08x =0.1x . η的分布列为E (η)=0.21y -0.01y =0.2y .(2) 对A ,B 项目各投资50万元,可使公司获得最大利润,最大利润是15万元【类型二】超几何分布【例1】:(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.【解析】: (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P (A )=C 12C 13C 15C 310=14.(2)X 的所有可能值为0,1,2,且 P (X =0)=C 38C 310=715,P (X =1)=C 12C 28C 310=715,P (X =2)=C 22C 18C 310=115.综上知,X 的分布列为故EX =0×715+1×715+2×115=35(个).答案:(1) 14. (2) 35.【例2】:某市A ,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.【解析】: (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36=1100.因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100. (2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3.P (X =1)=C 13C 33C 46=15,P (X =2)=C 23C 23C 46=35, P (X =3)=C 33C 13C 46=15,所以X 的分布列为因此,X 的数学期望为EX =1×15+2×35+3×15=2.答案:(1) 99100. (2) 2.【类型三】两项分布【例1】:某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ,B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产A ,B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列分别为 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 【解析】:(1)设每天A ,B 两种产品的生产数量分别为x ,y ,相应的获利为z ,则有⎩⎪⎨⎪⎧2x +1.5y ≤W ,x +1.5y ≤12,2x -y ≥0,x ≥0,y ≥0.① 目标函数z =1000x +1200y .当W =12时,①表示的平面区域如图(1),三个顶点分别为A (0,0),B (2.4,4.8),C (6,0).将z =1000x +1200y 变形为y =-56x +z 1200,当x =2.4,y =4.8时,直线l :y =-56x +z 1200在y 轴上的截距最大,最大获利Z =z max =2.4×1000+4.8×1200=8160.当W =15时,①表示的平面区域如图(2),三个顶点分别为A (0,0),B (3,6),C (7.5,0).将z =1000x +1200y 变形为y =-56x +z 1200,当x =3,y =6时,直线l :y =-56x +z1200在y 轴上的截距最大,最大获利Z =z max =3×1000+6×1200=10 200.当W =18时,①表示的平面区域如图(3),四个顶点分别为A (0,0),B (3,6),C (6,4),D (9,0).将z =1000x +1200y 变形为y =-56x +z 1200,当x =6,y =4时,直线l :y =-56x +z1200在y 轴上的截距最大,最大获利Z =z max =6×1000+4×1200=10 800.故最大获利Z 的分布列为因此,E (Z )=8160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9708.(2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率P 1=P (Z >10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P =1-(1-P 1)3=1-0.33=0.973. 答案:(1)最大获利Z 的分布列为E (Z )=8160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9708.(2) 0.973. 【例2】:在一次数学考试中,第22,23,24题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中选一题,设5名同学选做这三题中任意一题的可能性均为13,每位同学对每题的选择是相互独立的,各学生的选择相互之间没有影响.(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率;(2)设选做第23题的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.【解析】:(1)设事件A 1表示“甲选22题”,A 2表示“甲选23题”,A 3表示“甲选24题”,B 1表示“乙选22题”,B 2表示“乙选23题”,B 3表示“乙选24题”,由甲、乙选做同一题的事件为A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3,且A 1与B 1,A 2与B 2,A 3与B 3相互独立, 所以P(A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3)=P(A 1)P(B 1)+P(A 2)P(B 2)+P(A 3)P(B 3)=3×19=13.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5,则ξ~B(5,13),所以P(ξ=k)=C k 5(13)k (23)5-k =C k 525-k35,k =0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为所以E ξ=np =5×13=53.答案:(1) 13. (2) 53.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一.选择题1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX =( )A.32 B .2 C.52 D .3 【解析】:EX =1×35+2×310+3×110=32.答案:A.2.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则P (X =12)等于( )A .C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B .C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C .C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D .C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582【解析】:“X =12”表示第12次取到红球,前11次有9次取到红球,2次取到白球,因此P (X =12)=38×C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582=C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.答案:D .3.在四次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A .[0.4,1]B .(0,0.4]C .(0,0.6]D .[0.6,1]【解析】:由题知C 14p (1-p )3≤C 24p 2(1-p )2,解得p ≥0.4,故选A . 答案:A .4.随机变量X 的分布列为则E (5X +4)等于( )A .15B .11C .2.2D .2.3 【解析】:∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E(5X +4)=5E(X)+4=11+4=15. 答案:A .5.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧,其中a ,b ,c ∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量X 为“|a -b |的取值”,则X 的数学期望E (X )为( )A.89B.35C.25D.13【解析】:对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17=126(条),X 的可能取值有0,1,2.P(X =0)=6×7126=13,P(X =1)=8×7126=49,P(X =2)=4×7126=29,故E(X)=0×13+1×49+2×29=89.答案:A. 二.填空题6.设随机变量X ~B(6,12),则P(X =3)的值为 (用最简的分数作答)【解析】:P(X =3)=C 36(12)3(12)3=516. 答案:516. 7.10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.【解析】:由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)=C 13C 37C 410=12.答案:12.8.设随机变量X ~B (2,p ),随机变量Y ~B (3,p ),若P (X ≥1)=59,则P (Y ≥1)=________.【解析】:∵X ~B (2,p ),∴P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-C 02(1-p )2=59,解得p =13.又Y ~B (3,p ),∴P (Y ≥1)=1-P (Y =0)=1-C 03(1-p )3=1927.答案:1927.三.解答题9.某校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核,因该批志愿者表现良好,学校决定考核只有合格和优秀两个等次.若考核为合格,则授予1个学分;若考核为优秀,则授予2个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45,23,23,且他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀的概率;(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ,求随机变量X 的分布列及数学期望. 【解析】:(1)记“甲考核为优秀”为事件A ,“乙考核为优秀”为事件B ,“丙考核为优秀”为事件C ,“甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀”为事件D ,则P (D )=1-P (A B C )=1-P (A )P (B )P (C )=1-15×13×13=4445.(2)由题意,得X 所有可能的取值是3,4,5,6,P (X =3)=P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=145,P (X =4)=P (A B C )+P (ABC )+P (A B C )=845,P (X =5)=P (ABC )+P (ABC )+P (ABC )=49,P (X =6)=P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=1645,所以故E (X )=3×145+4×845+5×49+6×1645=7715.答案:(1) 4445.(2) X E (X )=3×145+4×845+5×49+6×1645=7715.10.某中学校本课程共开设了A ,B ,C ,D 共4门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生.(1)求这3名学生选修课所有选法的总数;(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率;(3)求这3名学生中选择A 选修课的人数X 的分布列和数学期望. 【解析】:(1)每个学生有4个不同的选择,根据分步计数原理,选法总数N =4×4×4=64.(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ,则P (E )=C 24C 23A 2243=916,即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916. (3)方法一:X 所有可能的取值为0,1,2,3,P (X =0)=3343=2764,P (X =1)=C 13×3243=2764, P (X =2)=C 23×343=964,P (X =3)=C 3343=164,所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34.方法二:因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14,没被选中的概率均为34,所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,且X ~B 3,14,P (X =0)=343=2764,P (X =1)=C 13×14×342=2764, P (X =2)=C 23×142×34=964,P (X =3)=143=164, 所以X故X 的数学期望E (X )=3×14=34.答案:(1) 64. (2) 916.(3) X 的分布列为E (X )=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34.【二级目标】能力提升题组一.选择题1.已知集合A ={x |2x 2-x -3<0},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y =lg1-x x +3,在区间(-3,3)上任取一实数x ,则x ∈A ∩B 的概率为( )A.14B.18C.13D.112【解析】:由2x 2-x -3<0,得-1<x<32.由1-xx +3>0,得x -1x +3<0,∴-3<x<1.∴A ∩B ={x|-1<x<1},故所求概率P =26=13.答案:C.2.某同学做了10道选择题,每道题四个选项中有且只有一项是正确的,他每道题都随意地从中选了一个答案,记该同学至少答对9道题的概率为P ,则下列数据中与P 的值最接近的是( )A .3×10-4B .3×10-5C .3×10-6D .3×10-7【解析】:P =C 910·149×34+C 1010·1410=30×1410+1410=31×1410=31×12102=31×110242≈31×(10-3)2=31×10-6=3×10-5. 答案:B . 二.填空题3.[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ=0)=15,E (ξ)=1,则D (ξ)=________.【解析】:设P (ξ=1)=x ,P (ξ=2)=y ,则⎩⎨⎧x +y =45,x +2y =1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =35,y =15,所以D (ξ)=(0-1)2×15+(1-1)2×35+(2-1)2×15=25.答案:25.三.解答题(1)求在未来连续三天里,有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆的概率;(2)用X 表示在未来三天时间里日车流量不低于10万辆的天数,求X 的分布列和数学期望. 【解析】:(1)设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”,A 2表示事件“日车流量低于5万辆”,B 表示事件“在未来连续三天里,有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆”,则P (A 1)=0.35+0.25+0.10=0.70,P (A 2)=0.05, 所以P (B )=0.70×0.70×0.05×2=0.049. (2)X 所有可能的取值为0,1,2,3,P (X =0)=C 03×(1-0.7)3=0.027,P (X =1)=C 13×0.7×(1-0.7)2=0.189,P (X =2)=C 23×0.72×(1-0.7)=0.441,P (X =3)=C 33×0.73=0.343, 所以X 的分布列为因为X ~B (3,0.7)答案:(1) 0.049.(2) X 的分布列为E (X )=3×0.7=【高考链接】1.[2015·福建卷] 某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【解析】:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ,则P (A )=56×45×34=12.(2)依题意得,X 所有可能的取值是1,2,3.又P (X =1)=16,P (X =2)=56×15=16,P (X =3)=56×45×1=23,所以X 的分布列为所以E (X )=1×16+2×16+3×23=52.答案:(1) 12.(2) X 的分布列为E (X )=1×16+2×16+3×23=52.2.[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x -为表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X 为李明在这场比赛中的命中次数,比较EX 与x -的大小.(只需写出结论)【解析】: (1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6”,事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6”,事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C=AB∪AB,A,B相互独立.根据投篮统计数据,P(A)=35,P(B)=25.故P(C)=P(AB)+P(AB)=35×35+25×25=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX=x-.答案:(1) 0.5. (2)1325. (3)EX=x-.3.[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.【解析】:记A1表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.B表示事件:甲需使用设备.C表示事件:丁需使用设备.D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)因为P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=C i2×0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为P(X=0)=P(B·A0·C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·C+B·A0·C+B·A1·C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,所以EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.答案:(1) 0.31.(2)2.。
概率统计与期望方差分布列大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题拔高练新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内,一段时间0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组,绘制频后测量小白鼠的某项指标值,按[)[)[)[)[]率分布直方图如图所示,实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只,其中该项指标值不小于60的有110只,假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.指标值抗体合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计a=的独立性检验,判断能否认为注射(1)填写下面的2×2列联表,并根据列联表及0.05疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.(单位:只)(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性,对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗,结果又有20只小自鼠产生抗体.(i)用频率估计概率,求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p;(ii)以(i)中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率,进行人体接种试验,记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示,当X=99时,P(X)取最大值,求参加人体接种试验的人数n.参考公式:22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0242.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高,某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动,为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况,在该地随机选取了10所学校进行研究,得到如图数据:(1)从这10所学校中随机抽取2所,在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下,求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率;(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”,现在从这10所学校中随机抽取3所,记X 为选出“基地学校”的个数,求X 的分布列和数学期望.3.(2023·广东广州·统考一模)为了拓展学生的知识面,提高学生对航空航天科技的兴趣,培养学生良好的科学素养,某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛,每位参赛学生答题若干次,答题赋分方法如下:第1次答题,答对得20分,答错得10分:从第2次答题开始,答对则获得上一次答题得分的两倍,答错得10分.学生甲参加答题竞赛,每次答对的概率为34,各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率;(2)记甲第i 次答题所得分数)N (i X i *∈的数学期望为()i E x .①写出()1i E X -与()i E x 满足的等量关系式(直接写出结果,不必证明):②若()100i E x >,求i 的最小值.4.(2023·广东湛江·统考一模)某工厂一台设备生产一种特定零件,工厂为了解该设备的生产情况,随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位:cm ),经统计得到下面的频率分布直方图:(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x 和方差2s .(用每组的中点代表该组的均值)(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布()2,N μσ,用直方图的平均数估计值x 作为μ的估计值 μ,用直方图的标准差估计值s 作为σ估计值 σ.(i )为了监控该设备的生产过程,每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标,如果关键指标出现了()3,3μσμσ-+之外的零件,就认为生产过程可能出现了异常,需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标:0.8 1.20.95 1.01 1.23 1.12 1.330.97 1.210.83利用 μ和 σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备.(ii )若设备状态正常,记X 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在()3,3μσμσ-+之外的零件个数,求()1P X ≥及X 的数学期望.参考公式:直方图的方差()221n i i i s x x p ==-∑,其中i x 为各区间的中点,i p 为各组的频率.参考数据:若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ,则()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈,0.105≈0.110≈,90.99730.9760≈,100.99730.9733≈.5.(2023·江苏·统考一模)某小区有居民2000人,想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者,为此需对小区全体居民进行血液化验,假设携带病毒的居民占a %,若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量,随机按n 人一组进行分组,将各组n 个人的血液混合在一起化验,若混合血样呈阴性,则这n 个人的血样全部阴性;若混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若0.2a =,20n =,试估算该小区化验的总次数;(2)若0.9a =,每人单独化验一次花费10元,n 个人混合化验一次花费9n +元.求n 为何值时,每位居民化验费用的数学期望最小.(注:当0.01p <时,()11np np -≈-)6.(2023·江苏·统考一模)人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学,被认为是21世纪最重要的尖端科技之一,其理论和技术正在日益成熟,应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理:首先确定先验概率,然后通过计算得到后验概率,使先验概率得到修正和校对,再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理,我们可以设计如下试验模型;有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子有形状和大小完全相同的小球,其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子,再从该袋子中等可能摸出一个球,称为一次试验.若多次试验直到摸出红球,则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率).(1)求首次试验结束的概率;(2)在首次试验摸出白球的条件下,我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率,②将首次试验摸出的白球放回原来袋子,继续进行第二次试验时有如下两种方案;方案一,从原来袋子中摸球;方案二,从另外一个袋子中摸球.请通过计算,说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.7.(2023·辽宁沈阳·统考一模)2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛,其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行,每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金,并规定:①若其中一对赢的场数先达到4场,则比赛终止,同时这对组合获得全部奖金;②若比赛意外终止时无组合先赢4场,则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金.已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为()01p p <<,黄政/孙艺赢的概率为1p -,且每场比赛相互独立.(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场,求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率()f p ;(2)若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止),则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况?(3)若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止),设12p =,若赞助商按规定颁发奖金,求韩菲/陈宇组合获得奖金数X 的分布列.8.(2023·江苏·二模)为促进经济发展,某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球,我打折”促销活动,门口设置两个盒子,甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球.具体规则如下:摸出3个红球记为一等奖,没有红球记为二等奖,2个红球记为三等奖,1个红球记为鼓励奖.(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折.记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率,求随机变量ξ的分布列及期望()Eξ;(2)某一时段内有3人参加该促销活动,记随机变量η为获得7折及以下资格的人数,求()2Pη=.9.(2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动,为了了解学生参与活动的情况,随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数,制成如下频数分布表:天数[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为,学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布()2,Nμσ,其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值),且 6.1σ=,若全校有3000名学生,求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1);(2)调查数据表明,参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生,天数在[0,15]的学生中有20名男生,学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表:性别活动天数合计[0,15](15,30]男生女生合计并依据小概率值0.05α=的独立性检验,能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联,请解释它们之间如何相互影响.附:参考数据:()0.6827P X μσμσ-≤≤+=;()220.9545P X μσμσ-≤≤+=;()330.9973P X μσμσ-≤≤+=.()()()()()()22n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.82810.(2023·河北邢台·校联考模拟预测)为弘扬体育精神,营造校园体育氛围,某校组织“青春杯”3V3篮球比赛,甲、乙两队进入决赛.规定:先累计胜两场者为冠军,一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后,将不能参加后面场次的比赛.在规则允许的情况下,甲队中球员M 都会参赛,他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为35和25,且每场比赛中犯规4次以上的概率为14.(1)求甲队第二场比赛获胜的概率;(2)用X 表示比赛结束时比赛场数,求X 的期望;(3)已知球员M 在第一场比赛中犯规4次以上,求甲队比赛获胜的概率.11.(2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模)某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查,已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%,且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.(1)假设该疾病患病的概率是0.3%,且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%,设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性,求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率;(2)根据经验,口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将55位居民分成若干组,先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测,若结果显示阴性,则可断定本组居民没有患病,不必再检测;若结果显示阳性,则说明本组中至少有一位居民患病,需再逐个进行检测,现有两个分组方案:方案一:将55位居民分成11组,每组5人;方案二:将55位居民分成5组,每组11人,试分析哪一个方案的工作量更少?参考数据:50.980.904≈,110.980.801≈.12.(2023·福建福州·统考二模)脂肪含量(单位:%)指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男性120位,其平均数和方差分别为14和6,抽取了女性90位,其平均数和方差分别为21和17.(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差,并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计.(结果保留整数)(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ,且X ~N (17,σ2),其中σ2近似为(1)中计算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位,求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率.附:若随机变量×服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827,P(μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.9545≈4.7,0.158653≈0.004.13.(2023·山东青岛·统考一模)今天,中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索,取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况,在全校学生中开展了航天知识测试(满分100分),随机抽取了100名学生的测试成绩,按照[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100分组,得到如下所示的样本频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计该校学生测试成绩的中位数;(2)用样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩,用()P X k =表示这10名学生中恰有k 名学生的成绩在[]90,100上的概率,求()P X k =取最大值时对应的k 的值;(3)从测试成绩在[]90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手,一共有6道题,从中随机挑选出4道题进行测试,至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔,在这6道题中甲能答对4道,乙能答对3道,且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ,求ξ的分布列及期望.14.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)某校举行“强基计划”数学核心素养测评,要求以班级为单位参赛,最终高三一班(45人)和高三二班(30人)进入决赛.决赛规则如下:现有甲、乙两个纸箱,甲箱中有4个选择题和2个填空题,乙箱中有3个选择题和3个填空题,决赛由两个环节组成,环节一:要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答,作答后放回原箱.并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据;环节二:由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛,并分别统计两人的测评成绩的相关数据,两个环节按照相关比赛规则分别累计得分,以累计得分的高低决定班级的名次.(1)环节一结束后,按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学,并统计每位同学答对题目的数量,统计数据为:一班抽取同学答对题目的平均数为1,方差为1;二班抽取同学答对题目的平均数为1.5,方差为0.25,求这20人答对题目的均值与方差;(2)环节二,王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目,答题结束后将题目一起放入乙箱中,然后李明再抽取题目,已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题,求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率.15.(2023·山东聊城·统考一模)某中学在高一学生选科时,要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目,再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目.选科工作完成后,为了解该校高一学生的选科情况,随机抽取了部分学生作为样本,对他们的选科情况统计后得到下表:思想政治地理化学生物物理类100120200180历史类1201406080(1)利用上述样本数据填写以下22⨯列联表,并依据小概率值0.001α=的独立性检验,分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异.科类生物学科选法选不选合计物理类历史类合计(2)假设该校高一所有学生中有35的学生选择了物理类,其余的学生都选择了历史类,且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为15,而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为110.若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生,用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数,求随机变量X的均值()E X.附:()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.0010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.82816.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球,其中4个是黑球,现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球,直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X,求E(X);(2)现对方案进行调整:将这7个球分装在甲乙两个口袋中,甲袋装3个小球,其中2个是黑球;乙袋装4个小球,其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球,当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取,直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y,求E(Y)并从实际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系.17.(2023·湖北·统考模拟预测)某市举行招聘考试,共有4000人参加,分为初试和复试,初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况,随机抽取了100名考生的初试成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,试求样本平均数的估计值;(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布()2,Nμσ,其中μ为样本平均数的估计值,13σ≈,试估计初试成绩不低于88分的人数;(3)复试共三道题,第一题考生答对得5分,答错得0分,后两题考生每答对一道题得10分,答错得0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为34,后两题答对的概率均为35,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y ,求Y 的分布列及均值.附:若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ,则:()0.6827P X μσμσ-<<+=,()220.9545P X μσμσ-<<+=,()330.9973P X μσμσ-<<+=.18.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测)某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建,包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标.该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100,通过时序变化,观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势.分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数,然后合成为该地区区域发展总指数,如下图所示.若年份x (2015年记为1x =,2016年记为2x =,以此类推)与发展总指数y 存在线性关系.(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程;(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年,和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好,记1分,发展总指数大于130的视为优秀,记2分,从和谐发展年中任取三年,用X 表示赋分之和,求X 的分布列和数学期望.参考公式:回归方程y bx a =+$$$,其中a y bx =-$$,()()()121n ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑ ,()()81228.9i i i x x y y =--=∑,119.05y =.19.(2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习)某学校为了了解高一学生安全知识水平,对高一年级学生进行“消防安全知识测试”,并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”,否则为“合格”.若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级知识达标为“合格”;否则该年级知识达标为“不合格”,需要重新对该年级学生进行消防安全培训.现从全体高一学生中随机抽取10名,并将这10名学生随机分为甲、乙两个组,其中甲组有6名学生,乙组有4名学生.甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6(题中所有数据的最后结果都精确到整数).(1)求这10名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ;(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布2(,)N μσ.将上述10名学生的成绩作为样品,用样本平均数x 作为μ的估计值,用样本标准差s 作为σ的估计值.利用估计值估计:高一学生知识达标是否“合格”?(3)已知知识测试中的多项选择题中,有4个选项.小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,小明在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.假设小明在做该道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为12,选择两个选项的概率为13,选择三个选项的概率为16.已知该道多项选择题只有两个正确选项,小明完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求X 的分布列及数学期望.附:①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑;②若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=,(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.20.(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)某学校为了弘扬中华传统文化,组织开展中华传统文化活动周,活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动,以班级为单位参加比赛,每班通过中华传统文化知识竞答活动,择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行,预赛阶段的赛制为:将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中,甲箱有5个选择题和3个填空题,乙箱中有4个选择题和3个填空题,比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答,答完后试题不放回纸箱中,再抽取第二题作答,两题答题结束后,再将这两个试题放回原纸箱中.(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题,答题结束后错将题目放入了乙箱中,接着2班代表队答题,2班代表队抽取第一题时,从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题,求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率;(2)经过预赛,成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛,决赛采用成语接龙的形式进行,采用五局三胜制,即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛,比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35,18班代表队胜的概率为25,且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25,每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ,求随机变量X 的数学期望()E X .21.(2023春·湖南·高三校联考阶段练习)某学校食堂中午和晩上都会提供,A B 两种套餐(每人每次只能选择其中一种),经过统计分析发现:学生中午选择A 类套餐的概率为23,选择B 类套餐的概率为13;在中午选择A 类套餐的前提下,晩上还选择A 类套餐的概率为14,选择B 类套餐的概率为34;在中午选择B 类套餐的前提下,晩上选择A 类套餐的概率为12,选择B 类套餐的概率为12.(1)若同学甲晩上选择A 类套餐,求同学甲中午也选择A 类套餐的概率;(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择B 类套餐的人数为X ,假设每名同学选择何种套餐是相互独立的,求X 的分布列及数学期望.22.(2023·湖南·校联考模拟预测)基础学科招生改革试点,也称强基计划,强基计划是教育部开展的招生改革工作,主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后,从全体考生中随机抽取52名,获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y ),绘制成如图散点图:根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,但图中有两个异常点A ,B .经调查得知,A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常,B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计的值:5015800i i x==∑,5013900i i y ==∑,501462770i i i x y ==∑,()502128540i i x x =-=∑,()502118930i i y y =-=∑,其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩、物理成绩,1i =,2,…,50,y 与x 的相关系数0.45r ≈.(1)若不剔除A ,B 两名考生的数据,用52组数据作回归分析,设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系(不必说明理由);(2)求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.01),并估计如果B 考生加了这次物理考。
高三数学分布列
…
…
为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分 布列.
ξ
X1
X2
…
Xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
离散型随机变量的分布列的两个性质: (1)Pi≥0,i=1,2,……; (2)P1+P2+……=1
例2.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二, 两次分裂为四,如此进行有限多次,而随机终止, 设分裂n次终止的概率是 1/2n(n=1,2,3,……) 记ξ 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目, 求P(ξ ≤10). 解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的 子块数目ξ的分布列为:
ξ
1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
p
此表从概率的角度指出了随机变量在随机 试验中取值的分布情况,称为随机变量ξ的 概率分布.
例如:抛掷两枚骰子,点数之和为ξ,则ξ可 能取的值有:2,3,4,……,12. ξ的概率分布为:
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
例4.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数 记为ξ,求P(ξ>3). 1 解:依题意,随机变量ξ~B (5, ) 6 25 4 1 4 5 所以P(ζ 4) C 5( ) , 6 6 7776 1 5 1 5 P(ζ 5) C 5( ) 6 7776
.
13 所以P(ζ 3) P(ζ 4) P(ζ 5) 3888
练习:
1.一个袋中有6个同样大小的小球,编号为 1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球, 以ξ表示取出的最大号码,求ξ的分布列.
k 2.设随机变量ξ的分布 P ( ) ak (k 1,2,3,4,5) 5 (1)求常数 的值;
概率论分布列期望方差习题及答案
概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名:__________班级:__________学号:__________1.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A ,乙对B ,丙对C 各一盘,已知甲胜A ,乙胜B ,丙胜C 的概率分别为,,,假设各盘比赛结果相互独立。
(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E ξ.2.已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的. (1) 第一小组做了三次实验,求实验成功的平均次数;(2) 第二小组连续进行实验,求实验首次成功时所需的实验次数的期望; (3)两个小组分别进行2次试验,求至少有2次实验成功的概率.3.一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现“○”和“×”之一,其中出现“○”的概率为p ,出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”,则a k =1;出现“×”,则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时,求S 6≠2的概率;(2)当p =31,q =32时,求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4.在一个有奖问答的电视节目中,参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题,答对各个问题所获奖金(单位:元)对应如下表:当一个问题回答正确后,选手可选择继续回答下一个问题,也可选择放弃.若选择放弃,选手将获得答对问题的累计奖金,答题结束;若有任何一个问题回答错误,则全部奖金归零,答题结束.设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、,正确回答一个问题后,选择继续回答下一个问题的概率均为12,且各个问题回答正确与否互不影响.(Ⅰ)按照答题规则,求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率;(Ⅱ)设该选手所获奖金总数为ξ,求ξ的分布列与数学期望.5.某装置由两套系统M,N 组成,只要有一套系统工作正常,该装置就可以正常工作。
高三数学考点-离散型随机变量及其分布列
10.6离散型随机变量及其分布列1.离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示,那么这样的变量叫做____________,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.(2)离散型随机变量所有取值可以__________的随机变量,称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列(1)分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X =x i)=p i,则称表为随机变量X的______________,简称为X的分布列.有时为了简单起见,也可用P(X=x i)=p i,i=1,2,…,n表示X的分布列.(2)分布列的性质①________________________;②________________________.3.常用的离散型随机变量的分布列(1)两点分布(又称0-1分布、伯努利分布)随机变量X的分布列为(0<p<1)则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.(2)二项分布如果随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,且X取值的概率P(X=k)=__________(其中k=0,1,2,…,则称X服从二项分布,记为____________.(3)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为__________________(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.此时称随机变量X的分布列为超几何分布列,称随机变量X服从______________.自查自纠1.(1)随机变量(2)一一列出2.(1)概率分布列(2)①p i≥0,i=1,2,3,…,n②i=1np i=13.(1)1-p(2)C k n p k q n-k C k n p k q n-k X~B(n,p)(3)C k M C n-kN-MC n N超几何分布某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A.0.28 B.0.88C.0.79 D.0.51解:P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.故选C.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C47C68C1015的是()A.P(X=2) B.P(X≤2)C.P(X=4) D.P(X≤4)解:X服从超几何分布P(X=k)=C k7C10-k8C1015,故k=4.故选C.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,…,10,且P(ξ=k)=ak(k=1,2,…,10),则a的值为() A.1110 B.155C.110 D.55解:因为随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,…,10,且P(ξ=k)=ak(k=1,2,…,10),所以a+2a+3a+…+10a=1,则55a=1,即a=155.故选B.已知X的分布列为X-101P1216a设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是________.解:由分布列的性质,a =1-12-16=13,所以E (X )=-1×12+0×16+1×13=-16,因此E (Y )=E (2X +1)=2E (X )+1=23.故填23.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X 个红球,则随机变量X 的概率分布列为________.解:依题意,随机变量X 的可能取值为0,1,2. 则P (X =0)=C 22C 25=0.1,P (X =1)=C 13C 12C 25=0.6,P (X =2)=C 23C 25=0.3,故X 的分布列为X 0 1 2 P0.10.60.3故填X 0 1 2 P0.10.60.3类型一 随机变量的概念与性质(1)设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求:(Ⅰ)2X +1的分布列; (Ⅱ)|X -1|的分布列. 解:由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m =1,解得X 0 1 2 3 4 2X +1 1 3 5 7 9 |X -1|1123从而由上表得所求分布列如下. (Ⅰ)2X +1的分布列:2X +1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(Ⅱ)|X -1|的分布列:|X -1| 0 1 2 3 P0.10.30.30.3(2)随机变量ξ的分布列如下:ξ-1 0 1 Pabc其中a ,b ,c 成等差数列,则P (|ξ|=1)=____________,公差d 的取值范围是____________. 解:因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a +c .又a +b +c =1,所以b =13,所以P (|ξ|=1)=a +c =23.又a =13-d ,c =13+d ,根据分布列的性质,得0≤13-d ≤23,0≤13+d ≤23,所以-13≤d ≤13.故填23;⎣⎡⎦⎤-13,13. 【点拨】①研究随机变量的取值,关键是准确理解所定义的随机变量的含义.明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础.②注意离散型随机变量分布列的两个性质:p i ≥0,i =1,2,…,n ;∑i =1np i =1.③随机变量可能取某一区间内任意值,无法一一列出,则称这样的随机变量为连续型随机变量,如“长江水位”“灯管寿命”等;正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布.设随机变量X 等可能取值1,2,3,…,n ,如果P (X <4)=0.3,那么n =________.解:由于随机变量X 等可能取1,2,3,…,n .所以取到每个数的概率均为1n .所以P (X <4)=P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=3n=0.3,因此n =10.故填10.类型二 求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球.(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X 的分布列;(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X 的分布列; (3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X 的分布列.解:(1)X =1,2,3.P (X =1)=13;P (X =2)=A 12A 33=13;P (X =3)=A 22A 33=13.所以X 的分布列是X 12 3 P13 13 13(2)X =1,2,3,4,5.P (X =k )=⎝⎛⎭⎫23k -1×13,k =1,2,3,4. P (X =5)=⎝⎛⎭⎫234. 故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P13294278811681(3)因为X ~B ⎝⎛⎭⎫5,13,所以X 的分布列为P (X =k )=C k 5⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫235-k,其中k =0,1,2,3,4,5.【点拨】求随机变量的分布列,一要弄清什么是随机变量,建立它与随机事件的关系;二要把随机变量的所有值找出,不要遗漏;三是准确求出随机变量取每个值的概率,确定概率和为1后写出分布列.对于抽样问题,要特别注意放回与不放回的区别.一般地,无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率,放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率.(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解:(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X =0)=⎝⎛⎭⎫1-12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-14=14, P (X =1)=12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-14+⎝⎛⎭⎫1-12×13×⎝⎛⎭⎫1-14+⎝⎛⎭⎫1-12×⎝⎛⎭⎫1-13×14=1124, P (X =2)=⎝⎛⎭⎫1-12×13×14+12×⎝⎛⎭⎫1-13×14+12×13×⎝⎛⎭⎫1-14=14, P (X =3)=12×13×14=124.所以,随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P (Y +Z =1)=P (Y =0,Z =1)+P (Y =1,Z =0) =P (Y =0)P (Z =1)+P (Y =1)P (Z =0)=14×1124+1124×14=1148. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.类型三 超几何分布(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.解:(1)由已知,有P (A )=C 22C 23+C 23C 23C 48=635. 故事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X =k )=C k 5C 4-k 3C 48(k =1,2,3,4). 故随机变量X 的分布列为X 12 3 4 P1143737114故随机变量X 的数学期望E (X )=1×114+2×37+3×37+4×114=52.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆:P (X =k )=C k M C n -kN -MC nN,即恰取了k 件次品的概率=次品中取了k 件×正品中取了n -k 件N 件产品中任取n 件.②当n 较小,N 较大时,超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替.也就是说虽然超几何分布是不放回抽样,二项分布是放回抽样,但是当n 较小而产品总数N 很大时,不放回抽样近似于放回抽样.③超几何分布在产品检验中经常用到.(2017·山东)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6和4名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率;(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望E (X ).解:(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ,则P (M )=C 48C 510=518.(2)由题意知X 可取的值为:0,1,2,3,4,则P (X =0)=C 56C 510=142,P (X =1)=C 46C 14C 510=521,P (X =2)=C 36C 24C 510=1021,P (X =3)=C 26C 34C 510=521,P (X =4)=C 16C 44C 510=142,X 0 1 2 3 4 P1425211021521142X 的数学期望是E (X ) =0×P (X =0)+1×P (X =1)+2×P (X =2)+3×P (X =3)+4×P (X =4)=0+1×521+2×1021+3×521+4×142=2.1.求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值,以及每个值所表示的意义,判断一个变量是否为离散型随机变量,主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出.(2)利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概率.对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等,都要能熟练计算. (3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质∑i =1np i =1验证.2.分布列的结构为两行,第一行为随机变量X 所有可能的取值,第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率.在每一列中,上为“事件”,下为事件发生的概率,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率.3.可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题,且往往由明显的两部分组成,如产品中的正品和次品,盒中的白球和黑球,同学中的男生和女生等.注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系.1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X ,则X 所有可能取值的个数是( ) A .5 B .9 C .10 D .25解:X 的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.故选B. 2.下列表中可以作为离散型随机变量分布列的是( )解:A 中ξ的取值出现了重复性;B 中P (ξ=0)=-14<0;C 中∑i =13P (ξi )=15+25+35=65>1.故选D.3.(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍,试验一次要么成功要么失败,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( )A .0 B.12 C.13 D.23解:X 可能取值为0或1,而P (X =1)=2P (X =0),且P (X =1)+P (X =0)=1.所以P (X =0)=13.故选C.4.(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,所有的球除颜色外完全相同.连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X 个白球,则下列概率等于(n -m )A 2mA 3n 的是( ) A .P (X =3) B .P (X ≥2) C .P (X ≤3) D .P (X =2)解:由超几何分布知该式对应取球3次,第3次才取到黑球的概率,所以P (X =2)=A 1n -m A 2mA 3n =(n -m )A 2m A 3n.故选D.5.设ξξ-1 0 1 P121-2qq 2则q 的值为( ) A .1 B .1±22C .1+22 D .1-22解法一:由分布列的性质,有 ⎩⎪⎨⎪⎧1-2q ≥0,q 2≥0,12+1-2q +q 2=1,解得q =1-22. 解法二:由1-2q ≥0q ≤12,可排除A 、B 、C ,故选D. 6.若P (ξ≤x 2)=1-β,P (ξ≥x 1)=1-α,其中x 1<x 2,则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A .(1-α)(1-β) B .1-(α+β) C .1-α(1-β)D .1-β(1-α)解:由分布列性质可有:P (x 1≤ξ≤x 2)=P (ξ≤x 2)+P (ξ≥x 1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β).故选B. 7.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数,则P (ξ=2)=____________. 解:ξ的可能取值为0,1,2,3,所以P (ξ=2)=C 13C 12C 14+C 23C 22C 24C 26=2790=310.故填310. 8.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200投资成功 投资失败 192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是____________元.解:由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故一年后收益的期望是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元).故填4 760.9.某高校的一科技小组有5名男生,5名女生,从中选出4人参加全国大学生科技大赛,用X 表示其中参加大赛的男生人数,求X 的分布列. 解:依题意随机变量X 服从超几何分布,所以P (X =k )=C k 5C 4-k 5C 410(k =0,1,2,3,4).所以P (X =0)=C 05C 45C 410=142,P (X =1)=C 15C 35C 410=521,P (X =2)=C 25C 25C 410=1021,P (X =3)=C 35C 15C 410=521,P (X =4)=C 45C 05C 410=142,所以X 的分布列为10.(2017·湖北荆门调考)某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试,初三某班共有30名学生,下表为该班学生的这两项成绩,例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人.由于部分数据丢失,只知道从这班30人中随机抽取一个,实验操作成绩合格,且体能测试成绩合格或合格以上的概率是15.(1)试确定a 、b 的值;(2)从30人中任意抽取3人,设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.解:由表格数据可知,实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4+a )人,记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ,则P (A )=4+a 30=15,解得a =2,所以b =30-24-a =4.所以a 的值为2,b 的值为4.(2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C 330,其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人,从30人中任意抽取3人,其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为C k 15C 3-k 15,所以从30人中任意抽取3人,其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为:P (ξ=k )=C k 15C 3-k15C 330,(k =0,1,2,3),ξ的可能取值为0,1,2,3, 则P (ξ=0)=C 015C 315C 330=13116,P (ξ=1)=C 115C 215C 330=45116,P (ξ=2)=C 215C 115C 330=45116,P (ξ=3)=C 315C 015C 330=13116,所以ξ的分布列为P13116 45116 45116 13116Eξ=0×13116+1×45116+2×45116+3×13116=174116=32.11.(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T (分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望E (T );(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解:(1)由统计结果可得T T (分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而E (T )=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一:P (A )=P (T 1+T 2≤70)=P (T 1=25,T 2≤45)+P (T 1=30,T 2≤40)+P (T 1=35,T 2≤35)+P (T 1=40,T 2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P (A )=P (T 1+T 2>70)=P (T 1=35,T 2=40)+P (T 1=40,T 2=35)+P (T 1=40,T 2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09, 故P (A )=1-P (A )=0.91.已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球,从中有放回地连续摸三次,每次摸出两个球,若两个球颜色不同则为中奖,否则不中奖.(1)当n =3时,设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ,求ξ的分布列; (2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ,当n 取多少时,P 最大. 解:(1)当n =3时,每次摸出两个球,中奖的概率P =C 13C 12C 25=35.由题意知ξ的可能值为0,1,2,3, 故有P (ξ=0)=C 03×⎝⎛⎭⎫253=8125;P (ξ=1)=C 13×35×⎝⎛⎭⎫252=36125; P (ξ=2)=C 23×⎝⎛⎭⎫352×25=54125;P (ξ=3)=C 33×⎝⎛⎭⎫353=27125.ξ的分布列为ξ0 1 2 3或P (ξ=i )=C i 3×⎝⎛⎭⎫35i ×⎝⎛⎭⎫253-i ,i =0,1,2,3. (2)设每次摸球中奖的概率为p ,则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P (ξ=2)=C 23·p 2·(1-p )=-3p 3+3p 2,0<p <1,由P ′=-9p 2+6p =-3p (3p -2)知,在⎝⎛⎭⎫0,23上P 为增函数,在⎝⎛⎭⎫23,1上P 为减函数,所以当p =23时,P 取得最大值.又p =C 1n ·C 12C 2n +2=4n (n +1)(n +2)=23,即n 2-3n +2=0,解得n =1或n =2. 所以当n 取1或2时,P 最大.。
高考数学一轮总复习课件:离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次
CMkCN-Mn-k
品,则P(X=k)=________C_N_n __,k=0,1,2,…,m,其中m
=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称分布列:
X
0
P
CM0CN-Mn-0 CNn
为超几何分布列.
1
…
m
CM1CN-Mn-1 CNn
…
CMmCN-Mn-m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式,那么称随机变量
X服从超几何分布,记作X~H(N,M,n).
1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量. (2)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的.
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表,则x=____12____.
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知:x2+x+
1 4
=1,且0≤x≤1,解得x=12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表,则P(|ξ-3|=1)=( A )
3.设ξ是一个离散型随机变量,则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A.0,0,0,1,0
B.0.1,0.2,0.3,0.4
C.p,1-p(p为实数)
D.1×1 2,2×1 3,…,(n-11)·n,1n(n∈N*,n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质;对于D,有
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量的期望与方差、正态分布1
第九节 离散型随机变量的期望与方差、正态分布1.均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单 离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 2.正态分布利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的 意义. 知识点一 均值1.一般地,若离散型随机变量X 的分布列为:X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.若Y =aX +b ,其中a ,b 为常数,则Y 也是随机变量,且E (aX +b )=aE (X )+b . 3.(1)若X 服从两点分布,则E (X )=p . (2)若X ~B (n ,p ),则E (X )=np .易误提醒 理解均值E (X )易失误,均值E (X )是一个实数,由X 的分布列唯一确定,即X 作为随机变量是可变的,而E (X )是不变的,它描述X 值的取值平均状态.[自测练习]1.已知X 的分布列为X -1 0 1 P121316设Y =2X +3,则E (Y )A.73 B .4 C .-1D .1 解析:E (X )=-12+16=-13,E (Y )=E (2X +3)=2E (X )+3=-23+3=73.答案:A知识点二 方差1.设离散型随机变量X 的分布列为:X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E (X ))2描述了x i (i =1,2,…,n )相对于均值E (X )的偏离程度,而D (X )=∑ni =1(x i -E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度.称D (X )为随机变量X 的方差,其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差.2.D (aX +b )=a 2D (X ).3.若X 服从两点分布,则D (X )=p (1-p ). 4.若X ~B (n ,p ),则D (X )=np (1-p ).易误提醒 (1)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度.D (ξ)越大,表明平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散.反之D (ξ)越小,ξ的取值越集中在E (ξ)附近.统计中常用标准差D (ξ) 来描述ξ的分散程度.(2)D (ξ)与E (ξ)一样也是一个实数,由ξ的分布列唯一确定.(3)D (ξ)的单位与随机变量ξ的单位不同,而E (ξ)、D (ξ) 与ξ的单位相同. (4)注意E (aX +b )=aE (X )+b ,D (aX +b )=a 2D (X ).[自测练习]2.已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=13,k =1,2,3,则D (3ξ+5)=( )A .6B .9C .3D .4解析:由E (ξ)=13(1+2+3)=2,得D (ξ)=23,D (3ξ+5)=32×D (ξ)=6. 答案:A3.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X 表示取到次品的次数,则D (X )=________.解析:∵X ~B ⎝⎛⎭⎫3,14,∴D (X )=3×14×34=916. 答案:916知识点三 正态分布 1.正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称. (3)曲线在x =μ处达到峰值1σ2π.(4)曲线与x 轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.2.正态分布的三个常用数据 (1)P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682_6. (2)P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954_4. (3)P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997_4.易误提醒 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.[自测练习]4.若随机变量ξ~N (2,1),且P (ξ>3)=0.158 7,则P (ξ>1)=________.解析:由ξ~N (2,1),得μ=2,因为P (ξ>3)=0.158 7,所以P (ξ<1)=0.158 7,所以P (ξ>1)=1-0.158 7=0.841 3.答案:0.841 3考点一 离散型随机变量的均值|(2015·高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,P (A )=A 12A 13A 25=310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X =200)=A 22A 25=110,P (X =300)=A 33+C 12C 13A 22A 35=310,P (X =400)=1-P (X =200)-P (X =300)=1-110-310=610.故X 的分布列为X 200 300 400 P110310610E (X )=200×110+300×310+400×610=350.求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义,写出X 可能取得的全部值. (2)求X 的每个值的概率. (3)写出X 的分布列. (4)由均值定义求出E (X ).1.(2016·合肥模拟)某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动,活动要求:参加者物理、化学实验操作都必须参加,有50名学生参加这次活动,评委老师对这50名学生实验操作进行评分,每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分),评分结果统计如表:学生数物理得分y化学得分x1分2分3分4分5分1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分 1 2 6 0 1 5分1133分”的学生被抽取的概率;(2)从这50名参赛学生中任取1名,其物理实验与化学实验得分之和为ξ,求ξ的数学期望.解:(1)从表中可以看出,“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生有6名,所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率为650=325.(2)ξ所有可能的取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10,则ξ的分布列为:ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P1504503509508501650450250350∴E (ξ)=2×150+3×450+4×350+5×950+6×850+7×1650+8×450+9×250+10×350=31150.考点二 方差问题|设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a =3,b =2,c =1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量X 为取出此2球所得分数之和,求X 的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量Y 为取出此球所得分数.若E (Y )=53,D (Y )=59,求a ∶b ∶c .[解] (1)由题意得X =2,3,4,5,6. 故P (X =2)=3×36×6=14,P (X =3)=2×3×26×6=13,P (X =4)=2×3×1+2×26×6=518,P (X =5)=2×2×16×6=19,P (X =6)=1×16×6=136.所以X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知Y 的分布列为Y 1 2 3 Paa +b +cba +b +cca +b +c所以E (Y )=a a +b +c +2b a +b +c +3c a +b +c =53,D (Y )=⎝⎛⎭⎫1-532·a a +b +c +⎝⎛⎭⎫2-532·b a +b +c +⎝⎛⎭⎫3-532·c a +b +c =59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a -b -4c =0,a +4b -11c =0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3c ,b =2c .故a ∶b ∶c =3∶2∶1.利用均值、方差进行决策的两个方略(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,可对问题作出判断.(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.2.有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量的样品进行质量检验,结果如下:X 甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X 乙 28 29 30 31 32 P0.130.170.40.170.13其中X 表示纤维长度(单位:mm),根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量. 解:由题意,得E (X 甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30, E (X 乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30.又D (X 甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1,D (X 乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=1.38,所以E (X 甲)=E (X 乙),D (X 甲)<D (X 乙),故甲种棉花的质量较好.考点三 正态分布|1.(2015·高考湖北卷)设X ~N (μ1,σ21),Y ~N (μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A .P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B .P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C .对任意正数t ,P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D .对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t )解析:由正态分布密度曲线的性质可知,X ~N (μ1,σ21),Y ~N (μ2,σ22)的密度曲线分别关于直线x =μ1,x =μ2对称,因此结合题中所给图象可得,μ1<μ2,所以P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1),故A 错误.又X ~N (μ1,σ21)的密度曲线较Y ~N (μ2,σ22)的密度曲线“瘦高”,所以σ1<σ2,所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1),B 错误.对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t ),P (X ≥t )<P (Y ≥t ),C 错误,D 正确.答案:D2.(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%解析:由已知μ=0,σ=3.所以P (3<ξ<6)=12[P (-6<ξ<6)-P (-3<ξ<3)]=12(95.44%-68.26%)=12×27.18%=13.59%.故选B.答案:B正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ-σ<X ≤μ+σ),P (μ-2σ<X ≤μ+2σ),P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x =μ对称,从而在关于x =μ对称的区间上概率相等. ②P (X <a )=1-P (X ≥a ),P (X <μ-a )=P (X ≥μ+a ).10.离散型随机变量的均值的综合问题的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX .[思路点拨] (1)根据题意明确“三位递增数”的定义,从而得到个位数字是5的“三位递增数”.(2)首先根据题意确定随机变量X 的所有可能取值,然后求出每个取值对应事件的概率,列出分布列,从而求得数学期望.[规范解答] (1)个位数是5的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.(4分)(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 39=84, 随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此 P (X =0)=C 38C 39=23,P (X =-1)=C 24C 39=114,P (X =1)=1-114-23=1142.(8分)所以X 的分布列为则EX =0×23+(-1)×114+1×1142=421.(12分)[模板形成]理解题意求相应事件的概率↓由条件写出随机变量的取值↓求出每个取值对应事件的概率↓列出分布列并求均值↓反思解题过程注意规范化[跟踪练习] 据《中国新闻网》报道,全国很多省、市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3 600人就是否应该“取消英语听力”的问题进行调查,调查统计的结果如下表:(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,则应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望E (ξ).解:(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05, ∴120+x3 600=0.05,解得x =60. ∴持“无所谓”态度的人数为3 600-2 100-120-600-60=720. ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603 600=72(人).(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人,∴在所抽取的6人中,在校学生有120180×6=4(人),社会人士有60180×6=2(人),于是第一组的在校学生人数ξ的所有可能取值为1,2,3.P (ξ=1)=C 14C 22C 36=15,P (ξ=2)=C 24C 12C 36=35,P (ξ=3)=C 34C 02C 36=15,即ξ的分布列为∴E (ξ)=1×15+2×35+3×15=2.A 组 考点能力演练1.若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )=( ) A .2 B .2或12C.12D .1 解析:因为分布列中概率和为1,所以a 2+a 22=1,即a 2+a -2=0,解得a =-2(舍去)或a =1,所以E (X )=12.故选C.答案:C2.(2016·长春质量监测)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),若P (ξ>2)=0.15,则P (0≤ξ≤1)=( )A .0.85B .0.70C .0.35D .0.15解析:P (0≤ξ≤1)=P (1≤ξ≤2)=0.5-P (ξ>2)=0.35.故选C. 答案:C3.(2016·九江一模)已知随机变量X 服从正态分布N (5,4),且P (X >k )=P (X <k -4),则k 的值为( )A .6B .7C .8D .9解析:∵(k -4)+k 2=5,∴k =7,故选B.答案:B4.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N (100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则ξ在(0,80)内的概率为( )A .0.05B .0.1C .0.15D .0.2解析:根据正态曲线的对称性可知,ξ在(80,100)内的概率为0.4,因为ξ在(0,100)内的概率为0.5,所以ξ在(0,80)内的概率为0.1,故选B.答案:B5.设随机变量X ~B (8,p ),且D (X )=1.28,则概率p 的值是( ) A .0.2 B .0.8 C .0.2或0.8D .0.16解析:由D (X )=8p (1-p )=1.28,∴p =0.2或p =0.8. 答案:C6.一枚质地均匀的正六面体骰子,六个面上分别刻着1点到6点,一次游戏中,甲、乙二人各掷骰子一次,若甲掷得的向上的点数比乙大,则甲掷得的向上的点数的数学期望是________.解析:共有36种可能,其中,甲、乙掷得的向上的点数相等的有6种,甲掷得的向上的点数比乙大的有15种,所以所求期望为6×5+5×4+4×3+3×2+215=143.答案:1437.(2016·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ~N (90,σ2)(σ>0),统计结果显示P (60≤ξ≤120)=0.8,假设我校参加此次考试有780人,那么试估计此次考试中,我校成绩高于120分的有________人.解析:因为成绩ξ~N (90,σ2),所以其正态曲线关于直线x =90对称.又P (60≤ξ≤120)=0.8,由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1-0.8)=0.1,所以估计成绩高于120分的有0.1×780=78(人).答案:788.设随机变量ξ服从正态分布N (3,4),若P (ξ<2a -3)=P (ξ>a +2),则a 的值为________. 解析:因为随机变量ξ服从正态分布N (3,4),P (ξ<2a -3)=P (ξ>a +2),所以2a -3+a +2=6,解得a =73.答案:739.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(1)求直方图中x 的值;(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1 200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(3)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ,求X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)解:(1)由直方图可得20x +0.025×20+0.006 5×20+0.003×2×20=1,所以x =0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20=0.12,因为1 200×0.12=144,所以估计1 200名新生中有144名学生可以申请住宿. (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14,P (X =0)=⎝⎛⎭⎫344=81256,P (X =1)=C 14×14×⎝⎛⎭⎫343=2764,P (X =2)=C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342=27128,P (X =3)=C 34×⎝⎛⎭⎫143×34=364,P (X =4)=⎝⎛⎭⎫144=1256.所以X 的分布列为E (X )=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1(或E (X )=4×14=1).所以X 的数学期望为1.10.(2016·郑州模拟)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时,该商场的营业时间也恰好为10小时),并开始以每件300元的价格出售,若前6小时内所购进的商品没有售完,则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验,4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再购进A 商品).该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量,制成如下表格(注:视频率为概率).(其中x +y =70)前6小时内的销售量t (单位:件)4 5 6 频数30xy(1)若某天该商场共购入6件该商品,在前6个小时中售出4件.若这些商品被6名不同的顾客购买,现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访,则恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少?(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大,求x 的取值范围. 解:(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A ,则P (A )=C 14C 12C 26=815.(2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位:元),依题意,视频率为概率,为追求更多的利润,则商场每天购进的A 商品的件数取值可能为4件,5件,6件. 当购进A 商品4件时,E (ξ)=150×4=600,当购进A 商品5件时,E (ξ)=(150×4-50)×0.3+150×5×0.7=690, 当购进A 商品6件时,E (ξ)=(150×4-2×50)×0.3+(150×5-50)×x100+150×6×70-x100=780-2x ,由题意780-2x ≤690,解得x ≥45,又知x ≤100-30=70,所以x 的取值范围为[45,70],x ∈N *.B 组 高考题型专练1.(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A .2 386 B .2 718 C .3 413D.4 772附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4.解析:由题意可得,P(0<x≤1)=12P(-1<x≤1)=0.341 3,设落入阴影部分的点的个数为n,则P=S阴影S正方形=0.341 31=n10 000,则n=3 413,选C.答案:C2.(2015·高考福建卷)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=56×45×34=12.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56×45×1=23.所以X的分布列为所以E(X)=1×16+2×16+3×23=52.3.(2015·高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得从而ET=25×0.2+30(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立.且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.法二:P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1-P(A)=0.91.。
高考数学复习知识点讲解教案第65讲 二项分布与超几何分布、正态分布
正态曲线: =
1
2π
−
⋅e
− 2
22
, ∈ ,其中 ∈ , > 0为参数,称
正态密度曲线
为正态密度函数,函数 的图象为_________________,简称正态曲线.
(2)
正态曲线的特点
=
①曲线是单峰的,它关于直线________对称.
②
=
1
曲线在________处达到峰值
3
[思路点拨](1)由题可求出一次试验成功的概率,设试验成功的次数为,可
知服从二项分布,再利用方差的性质即可求解.
[解析] 由题意得,启动一次出现的数字为 = 1010的概率 =
设试验成功的次数为,则~
所以的方差 = 54 ×
2
27
×
25
27
2
54,
27
=
2
1
3
2
3
× =
2
.
记选出女生的人数为,则服从超几何分布,③满足题意;
盒中有4个白球和3个黑球,每次从中随机摸出1个球且不放回,
记第一次摸出黑球时摸取的次数为,
则不服从超几何分布,④不满足题意.故填③.
5.已知随机变量 ∼
2
2,
0.35
, ≤ 0 = 0.15,则 2 ≤ ≤ 4 =______.
0 < < 1 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为( = ) =
−
C 1 −
_________________________,
= 0,1,2,⋯ ,,称随机变量服从二项分布,记作
∼ , .
(2)
1 −
高三数学随机变量的分布列试题答案及解析
高三数学随机变量的分布列试题答案及解析1.盒中有9个正品、3个次品零件,每次取1个零件,如果取出的次品不再放回,则在取得正品前已取出的次品数ξ的分布列________.【解析】ξ可能取的值为0,1,2,3这四个数,而ξ=k(k=0,1,2,3)表示取k+1次零件,前k次取得的都是次品,第k+1次才取到正品.P(ξ=0)==,P(ξ=1)=·=,P(ξ=2)=··=,P(ξ=3)=··=.故ξ的分布列为ξ01232.某电视台的一个智力游戏节目中,有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本名著连线,每连对一个得2分,连错得-1分,某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中,其他不知道随意连线,将他的得分记作ξ.(1)求该观众得分ξ为负数的概率;(2)求ξ的分布列.【答案】(1)(2)ξ-128【解析】解:(1)当该观众只连对《三国演义》,其他全部连错时,得分为负数,此时ξ=-1,故得分为负数的概率为P(ξ=-1)==.(2)ξ的可能取值为-1,2,8.P(ξ=2)==,P(ξ=8)==.ξ的分布列为:ξ-1283.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为黑球的概率;(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列.【答案】(1)(2)(3)ξ的分布列为ξ0123【解析】(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立,且P(A)==,P(B)==.故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)=P(A)·P(B)=×=.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥,且P(C)=·=,P(D)==.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=+=.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3.由(1),(2)得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=3)==.从而P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.ξ的分布列为4.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动,促销规则如下:到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次,进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘),满200元转两次,以此类推;在转动过程中,假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的;若转盘的指针落在A区域,则顾客中一等奖,获得10元奖金;若转盘落在B区域或C区域,则顾客中二等奖,获得5元奖金;若转盘指针落在其他区域,则不中奖(若指针停到两区间的实线处,则重新转动).若顾客在一次消费中多次中奖,则对其奖励进行累加.已知顾客甲到该商场购物消费了268元,并按照规则参与了促销活动.(1)求顾客甲中一等奖的概率;(2)记X为顾客甲所得的奖金数,求X的分布列及其数学期望.【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖,P(A)=×+2××=,所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0,P(X=20)=×=,P(X=15)=2××=,P(X=10)=×+2××=,P(X=5)=2××=,P(X=0)=×=.所以X的分布列为数学期望E(X)=20×+15×+10×+5×=.5.某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者,20名学生的名额分配为高一12人,高二6人,高三2人.(1)若从20名学生中选出3人做为组长,求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率;(2)若将4名教师随机安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】(1)从高一12人中选出1人,从高二和高三共8人中选出2人的事件为A,,计算得到结果;(2)每位教师选择高一年级的概率均为,并且相互独立,X的所有取值为0,1,2,3,4.,,,然后列出随机变量X的概率分布列,利用,或是利用二项分布的期望公式,得出结果.随机变量的概率,分布列,期望还是高考的重点内容,属于基础题型,试题解析:(1)解:设“他们中恰好有1人是高一年级学生” 为事件,则.所以恰好有1人是高一年级学生的概率为. 4分(2)解:X的所有取值为0,1,2,3,4. 6分由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为, 7分所以;;;.随机变量X的分布列为:12分所以. 13分【考点】1.超几何分布;2.二项分布.6.一个袋子装有大小形状完全相同的9个球,其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4,从袋中任意取出3个球.(1)求取出的3个球编号都不相同的概率;(2)记X为取出的3个球中编号的最小值,求X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)【解析】记“取出的3个球编号都不相同”为事件A,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B,则P(B)===,∴P(A)=1-P(B)=.(2)X的取值为1,2,3,4P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.所以X的分布列为E(X)=1×+2×+3×+4×==.7.甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)如下表:(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算);(Ⅱ)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为,求随机变量的分布列和期望.【答案】(Ⅰ)选派乙参赛更好(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)茎表示得分的十位数,放在中间的列,叶表示得分的个位数,放在两侧。
概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
概率统计与期望方差分布列大题基础练新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023·安徽宿州·统考一模)宿州号称“中国云都”,拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地,是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力,现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析,若一次抽取2个机房,全是小型机房的概率为1 3 .(1)求n的值;(2)若一次抽取3个机房,假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学期望.E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.则X的数学期望()012330102652.(2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末)某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间,统计了5个城市的专卖店销售数据如下:款式/专卖店甲乙丙丁戊男装606013080110女装120901306050(1)若分别从甲、乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查,求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率;(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动,用X表示其中男装销量超过女装销量的专E X.卖店个数,求随机变量X的分布列和数学期望()∴()1336 012 105105E X=⨯+⨯+⨯=.3.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)为提高学生的数学应用能力和创造力,学校打算开设“数学建模”选修课,为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关,学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查,其中认为感兴趣的人数占70%. (1)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表,并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关?感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生,现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈,记选出高三女生的人数为X,求X的分布列与数学期望.附:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.4082 2.0721614219K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关;(2)由题意可知X 的取值可能为0,1,2,3,则3539C 5(0)C 42P X ===,124539C C 10(1)C 21P X ===,214539C C 5(2)C 14P X ===,3439C 1(3)C 21P X ===,故X 的分布列为X 0123P5421021514121510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4.(2023秋·江苏·高三统考期末)为深入贯彻党的教䏍方针,全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校从2022年起积极推进劳动课程改革,先后开发开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育,该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查,统计数据如下表:月份x 246810满意人数y8095100105120(1)由表中看出,可用线性回归模型拟合满意人数y 与月份x 之间的关系,求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+,并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数;(2)10月份时,该校为进一步深化劳动教育改革,了解不同性别的学生对劳动课程是否满意,经调研得如下统计表:满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关?参考公式:()()()1122211ˆˆˆ,nni i i ii i nn iii i x y nxyx x yy bay bx xnx x x ====---===--∑∑∑∑.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.两人轮流进行点球训练(每人各踢一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲、乙两人在同一位置,一人踢球另一人扑球,甲先踢,每人踢一次球,两人有1人进球另一人不进球,进球者得1分,不进球者得1-分;两人都进球或都不进球,两人均得0分,设甲、乙每次踢球命中的概率均为12,甲扑到乙踢出球的概率为12,乙扑到甲踢出球的概率13,且各次踢球互不影响.(1)经过1轮踢球,记甲的得分为X,求X的分布列及数学期望;(2)求经过3轮踢球累计得分后,甲得分高于乙得分的概率.()101612412E X=-⨯+⨯+⨯=.(2)经过三轮踢球,甲累计得分高于乙有四种情况:甲3轮各得1分;甲3轮中有2轮各得1分,1轮得0分;甲3轮中有2轮各得1分,1轮得1-分;甲3轮中有1轮得1分,2轮各得0分,甲3轮各得1分的概率为3111464 P⎛⎫==⎪⎝⎭,甲3轮中有2轮各得1分,1轮得0分的概率为2223177C41264 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭,甲3轮中有2轮各得1分,1轮得1-分的概率为2233111C4632 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭,甲3轮中有1轮得1分,2轮各得0分的概率为21431749C412192 P⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭,所以经过三轮踢球,甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192 P=+++=.6.(2023·浙江·校联考模拟预测)某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量(单位:万吨)如下表:年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9(1)求y 关于x 的线性回归方程;(2)根据(1)中的回归方程,分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况,并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-.参考数据7162.4i i x y =∑7.(2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末)为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求,某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛,规定:满分为100分,60分及以上为合格.该企业从甲、乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后,得到了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率;(2)若将频率视为概率,以样本估计总体.从甲车间职工中,采用有放回的随机抽样方法抽取3次,每次抽1人,每次抽取的结果相互独立,记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X .求随机变量X 的分布列;(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%,请根据所给数据,完成下面的22⨯列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式:①()()()()22()n ad bc a c b d a b c d χ-=++++,其中n a b c d =+++.②独立性检验临界值表【答案】(1)80%(2)分布列见解析(3)表格见解析,有【分析】(1)根据频率分布直方图的性质,可得答案;(2)根据二项分布的分布列的解题步骤,可得答案;(3)由题意,补全列联表,利用独立性检验的解题步骤,可得答案.【详解】(1)根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率0.02100.03100.02100.01100.8=⨯+⨯+⨯+⨯=,即80%.(3)根据题中统计数据可填写22⨯列联表如下,甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计10010020022200(80402060)9.524 6.635,10010014060χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.8.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)云计算是信息技术发展的集中体现,近年来,我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知,我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下:年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得:51ln i i y =∑=36.33,51(ln )i i i x y =∑=112.85.(1)根据以上数据,建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=(e 为自然对数的底数).(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前,单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,N mε,其中m 为单件产品的成本(单位:元),且(11)P ε-<<=0.6827;引入云计算后,单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变,则(11)P ε-<<将会变成多少?若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变),则单件产品的成本将会下降多少?附:对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221niii nii x ynx y xnx ==--∑∑,ˆˆy x αβ=-.若2~(,)XN μσ,则(||)0.6827P X μσ-<=,(|2)0.9545P X μσ-<=,(||3)0.9973.P X μσ-<=9.(2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试)近年来,各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱,吸引了眼球赚足了流量,与此同时,也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题.为促使短视频、网络直播等文明、健康,有序发展,依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规,某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管.(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节,三个环节均通过审查才能通过整体审查.设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响,且各环节不能通过审查的概率分别为4131,,25485.①求该团不.能通过整体审查的概率:②设该团队通过整体审查后,还要进入技术技能检测环节,若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%,求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率;(2)某团队为提高观众点击其视频的流量,通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量,现有100条评论数据如下表:试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联?参考公式:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,n a b c d=+++()20P x χα≥=0.10.050.010.0050.001nx 2.7063.8416.6357.87910.82810.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)2023年3月的体坛属于“冰上运动”,速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行.中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击,向奖牌和金牌发起冲击.据了解,甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛,只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34;乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45;丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和3 2p-,其中34p<<.(1)甲、乙、丙三队中,谁进入决赛的可能性最大;(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为3790,求p的值;(3)在(2)的条件下,设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ,求ξ的分布列・11.(2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模)某市从2020年5月1日开始,若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后,交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分,罚款200元的处罚,并在媒体上曝光.但作为交通重要参与者的行人,闯红灯通行却频有发生,带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据,得到行人闯红灯的概率为0.2,并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯的情况进行统计,得到2×2列联表如下:45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期,为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为,交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上,50元以下的经济处罚.在试行经济处罚一段时间后,交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯的情况进行统计,得到2×2列联表如下:45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人9585180数合计100100200将统计数据所得频率视为概率,完成下列问题:(1)将2×2列联表填写完整(不需要写出填写过程),并根据表中数据分析,在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前,是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关;(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,闯红灯现象是否有明显改善,请说明理由;(3)结合调查结果,请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议(至少提出两条建议).【答案】(1)列联表见解析,有(2)有明显改善,理由见解析(3)答案见解析K的值,结合附表,即可【分析】(1)根据题意,填写出2×2列联表,利用公式求得2得到结论;(2)求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,行人闯红灯的概率,结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率,可得出结论;(3)结合表格中的数据,可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育;也可进行适因为()2220015752585253.125 2.706100100401608K⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯,所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关.(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,行人闯红灯的概率为20=0.1 200,而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前,行人闯红灯的概率为0.2,因为0.10.2<,故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,闯红灯现象有明显改善.(3)①根据调查数据显示,行人闯红灯与年龄有明显关系,故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育;②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率,故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚.12.(2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模)为了了解男、女学生对航天知识的了解情况,某调查机构进行了一个随机问卷调查(总分100分),调查的结果如下表所示.若本次问卷调查的得分不低于90分,则认为该学生非常了解航天知识.男学生女学生不低于90分82低于90分2228(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关;(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生,设获得纪念品的女生人数为X,求X的分布列以及数学期望.附:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,n a b c d =+++.()2P k αχ=≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828所以()012.1515155E X =⨯+⨯+⨯=13.(2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试)千百年来,人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代,烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后,科技的进步带动了电讯事业的发展,电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后,计算机和互联网的出现则使得“千里眼”、“顺风耳”变为现实.现在,5G 的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革.某科技创新公司基于领先技术的支持,5G 经济收入在短期内逐月攀升,该创新公司在1月份至5月份的5G 经济收入y (单位:百万元)关于月份x 的数据如表:时间(月份)12345收入(百万元)1015192328(1)根据上表中的数据,求出y 关于x 的线性回归方程,并预测该公司6月份的5G 经济收入;(2)从前5个月的收入中随机抽取3个月,记月收入超过15百万元的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考公式:回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-.所以()123105105E X=⨯+⨯+⨯=.14.(2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习)一般来说,市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系.已知产品甲的年宣传费用(x百万元)和年销量(y万箱)的统计数据如下:年宣传费用(x百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y与x的相关系数(r精确到0.01),并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:0.75r≥);(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本,求恰有1个数据不少于4万箱的概率.附:①相关系数ni ix y nxyr-=∑;71246i iix y==∑②,721888iix==∑,72170iiy==∑,36.28≈36.41≈15.(2023春·河北·高三统考阶段练习)某电影院对观众按照性别进行了分层抽样调查,一共调查了900名观众对A影片和B影片的喜爱度,获得了以下数据:(1)哪个影片更受学生欢迎?(不用说明理由)(2)分别估计该电影院男观众和女观众对B影片表示“非常喜爱”的概率;(3)该电影院为了进一步调查观众对B影片的看法,对样本中的女观众用分层抽样抽取了6人,再从这6人中随机抽取2人参加座谈,求这两人均来自“一般喜爱”群体的概率.16.(2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情,掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试,并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”,否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”;否则该年级体能达标为“不合格”,.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组,其中甲组有24名学生,乙组有16名学生.经过预测后,两组各自将预测成绩统计分析如下:甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6.(数据的最后结果都精确到整数)(1)求这40名学生测试成绩的平均分x和标准差s;(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N(μ,2σ),用样本平均数x作为μ的估计值μ,用样本标准差s作为σ的估计值σ.利用估计值估计,高二学生体能达标预测是否“合格”;(3)为增强趣味性,在体能达标的跳绳测试项目中,同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下:以4:0或4:1获胜队员积4分,落败队员积0分;以4:2或4:3获胜队员积3分,落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23,求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下,他前3局比赛都获胜的概率.附:①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑;②若随机变量Z ~N (μ,2σ),则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,()220.9544P Z μσμσ-<<+=,()330.9974P Z μσμσ-<<+=.17.(2023·山东淄博·统考一模)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出i x (万元)与年度销售量i y (万台)的数据,如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x 1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中71279.4i i i x y ==∑,721708i i x ==∑(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系,求出y 关于x 的线性回归方程;(2)若用y c =+模型拟合得到的回归方程为1.63y =+,经计算线性回归模型及该模型的2R 分别为0.75和0.88,请根据2R 的数值选择更好的回归模型拟合y 与x 的关系,进而计算出年度广告费x 为何值时,利润200zy x =- 的预报值最大?参考公式:()()()1122211nniiiii i nniii i x ynx y xxy y bxnxxx====---==--∑∑∑∑ ,a y bx =-$$;18.(2023·山东济南·一模)为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平,某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试,得到如下表格:记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ,2s ,经计算()102111690i x x =-=∑,102133050ii x==∑.(1)求x ;(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格,从这10名学生中任取3名,记体质测试成绩不合格的人数为X ,求X 的分布列;(3)经统计,高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ,用x ,2s 的值分别作为μ,2σ的近似值,若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试,记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ,求Y 的数学期望()E Y .附:若()2,N ξμσ ,则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈,(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈,330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈.(3)因为()22111156,16901691010i x s x x===-=⨯=∑,所以56,13μσ==.因为(3082)(22)0.9545P X P μσξμσ≤≤=-≤≤+≈,所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545,故(100,0.9545)Y B ~,所以()1000.954595.45E Y =⨯=.19.(2023·江苏泰州·泰州中学校考一模)某公司对40名试用员工进行业务水平测试,根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级,测试分笔试和面试两个环节.笔试环节所有40名试用员工全部参加;参加面试环节的员工由公司按规则确定.公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析,得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表.男女合计优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的22⨯列联表,并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关;(2)公司决定:85分的员工直接淘汰,得分不低于85分的员工都正式录用.笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节);笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级,但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级;笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级,但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级.若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试.已知甲、乙为该公司的两名试用员工,以频率视为概率.①若甲已被公司正式录用,求甲的最终岗位等级为一级的概率;②若乙在笔试环节等级初定为二级,求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率.参考公式:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,.n a b c d =+++()20P k χ0.150.100.050.0100k 2.0722.7063.8416.635所以20.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ=<++++,因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关;(2)不低于85分的员工的人数为:40(0.060.040.02)524⨯++⨯=,直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=,岗位等级初定为二级的概率为:0.045401243⨯⨯=,岗位等级初定为三级的概率为:0.065401242⨯⨯=.①甲的最终岗位等级为一级的概率为:112363510+⨯=;②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为:2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.20.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)为加快推动旅游业复苏,进一步增强居民旅游消费意愿,山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免,全省国有A 级旅游景区免首道门票,鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区,据统计,活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度,并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到如下不完整的22⨯列联表:不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表,并根据小概率值0.001α=的独立性检验,能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联?(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况,设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ,若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率.①求X 的分布列和数学期望;②求()11P X -≤.参考公式及数据:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析;有关;(2)①分布列见解析;() 2.7E X =;②0.271【分析】(1)由题意,抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人,则年龄在50周岁以上的有40人,即可补全22⨯列联表,再根据公式计算212.76χ=,即可判断;(2)①由题意可知(3,0.9)X B ,根据二项分布即可求解分布列及数学期望;②根据则2100(5251555)12.7610.82820806040χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.(2)①由题意可得,游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,则(3,0.9)X B ,X 的所有可能取值为0,1,2,3,033(0)C 0.10.001P X ==⨯=,123(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=,223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=,333(3)C 0.90.729X ==⨯=,所以X 的分布列如下:因为(3,0.9)X B ,所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.21.(2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末)皮影戏是一种民间艺术,是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种,已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺,要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧,以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁,雕刻与着色,刷清与装备三道主要工序,经过以上工序处理之后,一幅幅形态各异,富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成,成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣,师从名师勒学苦练,目前水平突飞猛进,三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为323,534,,三道序彼此独立,只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作,该皮影视为合格作品.(1)求小李进行3次皮影制作,恰有一次合格作品的概率;(2)若小李制作15次,其中合格作品数为X ,求X 的数学期望与方差;(3)随着制作技术的不断提高,小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中,聘其为单位制作演出作品,决定试用一段时间,每天制作皮影作品,其中前7天制作合格作品数y 与时间:如下表:(第1天用数字1表示)时间(t )1234567合格作品数(y )3434768其中合格作品数(y )与时间(t )具有线性相关关系,求y 关于t 的线性回归方程(精确到0.01),并估算第15天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)?(参考公式()()()11222ˆnni i i ii i nn iix ynxyx x yybxnxx x ==---==--∑∑∑∑,ˆˆa y bx =-,参考数据:71163i i i t y ==∑).。
高三数学新课标总复习期望和方差、正态分布
ξ==g,k k P)(注意:常见分布列的期望和方差,不必写出分布列,直接用公式计算即可且使目标函数z =1 600x +2 400y 达到最小的x ,y .作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12),Q (7,14),R (15,6).由图可知,当直线z =1 600x +2 400y 经过可行域的点P 时,直线z =1 600x +2 400y 在y 轴上截距z2 400最小,即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.【新方法、新技巧练习与巩固】一、选择题1.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A .0.4B .1.2C .0.43D .0.62.(2015·太原高三期中)已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P0.20.40.4则E (6X +8)的值为( ) A .13.2 B .21.2 C .20.2D .22.23.如果X ~B (20,p ),当p =12且P (X =k )取得最大值时,k 的值为( )A .8B .9C .10D .114.设随机变量X 服从正态分布N (3,4),若P (X <2a -3)=P (X >a +2),则a =( ) A .3 B.53 C .5D.73 5.(2015·芜湖一模)若X ~B (n ,p ),且E (X )=6,D (X )=3,则P (X =1)的值为( )A.3×2-2B.2-4C.3×2-10D.2-86.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A.100 B.200C.300 D.400二、填空题7.(2015·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球,其中白球的个数为X,则X的数学期望是______.8.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ,σ(x)=122π·e-(x+2)28(x∈R),则E(2X-1)=________.9.已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则任意取出的3件产品中次品数的均值为______.10.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为23,则此人得分的数学期望与方差分别为______________.三、解答题11.(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图,小球从最上方入口处投入,每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为:若小球最终落入A槽,得10张奖票;若落入B槽,得5张奖票;若落入C槽,得重投一次的机会,但投球的总次数不超过3次.(1)求投球一次,小球落入B槽的概率;(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.12.(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:日最高气温t(单位:℃)t≤2222<t≤2828<t≤32t>32天数612Y Z由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?3.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100 000名男生的身高服从正态分布N (168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数;(3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人,将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X ,求X 的数学期望.参考数据: 若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6, P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4, P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4.答案一、选择题1.解析:选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布,即X ~B (3,0.4),∴E (X )=3×0.4=1.2.2.解析:选B 由随机变量的期望公式可得E (X )=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2,E (6X +8)=6E (X )+8=6×2.2+8=21.2.3.解析:选C 当p =12时,P (X =k )=C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220-k =C k 20·⎝⎛⎭⎫1220,显然当k =10时,P (X =k )取得最大值.。
2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1.随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果的变化而变化的变量,常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念:一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的分布列,有时为了表达简单,也用等式P (X =x i )=p i ,i =1,2,…,n 表示X 的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i =1,2,…,n );②∑ni =1p i =1. 3.常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布,则其分布列为其中p =P (X =1)称为成功概率. (2)超几何分布一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n -kN -MC n N,k =0,1,2,…,m ,即:其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映射为实数.( ) (2)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X 服从超几何分布.( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布.( )答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示,则p 4的值是( )A.1 B .12 C .14D .18解析:选D.由分布列的性质,得12+14+18+p 4=1,所以p 4=18.设随机变量X 的分布列为P (X =k )=k 15,k =1,2,3,4,5,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52=________.解析:P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52=P (X =1)+P (X =2)=115+215=15. 答案:15在含有3件次品的10件产品中任取4件,则取到次品数X 的分布列为________. 解析:由题意知,X 服从超几何分布,其中N =10,M =3,n =4,所以分布列为P (X =k )=C k3·C 4-k7C 410,k =0,1,2,3.答案:P(X =k )=C k 3·C 4-k7C 410,k =0,1,2,3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求:(1)2X +1的分布列; (2)|X -1|的分布列.【解】 由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m =1, 解得m =0.3. (1)2X +1的分布列为(2)|X -1|的分布列为在本例条件下,求P (1<X ≤4). 解:由本例知,m =0.3,P (1<X ≤4)=P (X =2)+(X =3)+P (X =4)=0.1+0.3+0.3=0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负值;(2)若X 为随机变量,则2X +1仍然为随机变量,求其分布列时可先求出相应的随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.1.设随机变量X 等可能地取1,2,3,…,n ,若P (X <4)=0.3,则n 的值为( ) A .3 B .4 C .10D .不确定解析:选C.“X <4”的含义为X =1,2,3,所以P (X <4)=3n=0.3,所以n =10.2.随机变量X 的分布列如下:其中a ,b ,c 成等差数列,则P (|X |=1)=________,公差d 的取值范围是________. 解析:因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a +c . 又a +b +c =1,所以b =13,所以P (|X |=1)=a +c =23.又a =13-d ,c =13+d ,根据分布列的性质,得0≤13-d ≤23,0≤13+d ≤23,所以-13≤d≤13. 答案:23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点,多以解答题的形式出现,试题难度不大,多为容易题或中档题.主要命题角度有:(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列; (2)古典概型的离散型随机变量的分布列;(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法.(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列. 【解】 (1)P (当天商店不进货)=P (当天商品销售量为0件)+P (当天商品销售量为1件)=120+520=310.(2)由题意知,X 的可能取值为2,3.P (X =2)=P (当天商品销售量为1件)=520=14;P (X =3)=P (当天商品销售量为0件)+P (当天商品销售量为2件)+P (当天商品销售量为3件)=120+920+520=34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球,其中有红色球4个,编号分别为1,2,3,4;白色球2个,编号分别为4,5,从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).(1)求取出的3个小球中,含有编号为4的小球的概率;(2)在取出的3个小球中,小球编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列. 【解】 (1)“设取出的3个小球中,含有编号为4的小球”为事件A , P (A )=C 12C 24+C 22C 14C 36=45,所以取出的3个小球中,含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3,4,5.P (X =3)=1C 36=120;P (X =4)=C 12C 23+C 22C 13C 36=920; P (X =5)=C 35C 36=12,所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义. (2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格:按规范要求形式写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率,要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *),其中女校友6位,组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12,求n 的最大值;(2)当n =12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X ,求X 的分布列. 解:(1)由题意可知,所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n -6C 16C 2n =12(n -6)n (n -1),则12(n -6)n (n -1)≥12,化简得n 2-25n +144≤0,解得9≤n ≤16, 故n 的最大值为16.(2)由题意得,X 的可能取值为0,1,2,则P (X =0)=C 26C 212=522,P (X =1)=C 16C 16C 212=611,P (X =2)=C 26C 212=522,X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数;(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 的分布列. 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A ,设袋中白球的个数为x ,则P (A )=1-C 210-x C 210=79,得到x =5.故白球有5个.(2)X 服从超几何分布,其中N =10,M =5,n =3, P (X =k )=C k 5C 3-k5C 310,k =0,1,2,3.于是可得其分布列为在本例条件下,若从袋中任意摸出4个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 的分布列.解:X 服从超几何分布,其中N =10,M =5,n =4, P (X =k )=C k 5C 4-k5C 410,k =0,1,2,3,4,于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出.(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典概型.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列. 解:(1)由已知,有P (A )=C 22C 23+C 23C 23C 48=635. 所以,事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X =k )=C k 5C 4-k3C 48(k =1,2,3,4).所以,随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究,需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时,易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的. (2)对于分布列易忽视其性质p 1+p 2+…+p n =1及p i ≥0(i =1,2,…,n ),其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.[基础达标]1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( )A .0B .12C .13D .23解析:选C.设X 的分布列为即“X =0”表示试验失败,“X =1”表示试验成功.由p +2p =1,得p =13,故应选C.2.(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A .P (X =2)B .P (X ≤2)C .P (X =4)D .P (X ≤4)解析:选C.X 服从超几何分布,P (X =k )=C k 7C 10-k8C 1015,故k =4,故选C.3.设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A .14B .12C .34D .23解析:选C.依题意知,14+m +14=1,则m =12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72=P (Y =2)+P (Y =3)=12+14=34.4.设随机变量X 的概率分布列如下表所示:若F (x )=P (X ≤x ),则当x 的取值范围是[1,2)时,F (x )等于( ) A .13 B .16 C .12D .56解析:选D.由分布列的性质,得a +13+16=1,所以a =12.而x ∈[1,2),所以F (x )=P (X ≤x )=12+13=56.5.已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )=( ) A .0.9 B .0.8 C .0.7D .0.6解析:选A.由分布列性质得0.5+1-2q +13q =1,解得q =0.3,所以P (X ∈Z )=P (X =0)+P (X =1)=0.5+1-2×0.3=0.9,故选A.6.抛掷2颗骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)=________. 解析:抛掷2颗骰子有36个基本事件,其中X =2对应(1,1);X =3对应(1,2),(2,1);X =4对应(1,3),(2,2),(3,1).所以P (X ≤4)=P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)=136+236+336=16.答案:167.已知随机变量ξ只能取三个值:x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值范围是________.解析:设ξ取x 1,x 2,x 3时的概率分别为a -d ,a ,a +d ,则(a -d )+a +(a +d )=1,所以a =13,由⎩⎪⎨⎪⎧13-d ≥0,13+d ≥0,得-13≤d ≤13.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,138.若离散型随机变量X 的分布列为则常数c =________,P (X =1)=________. 解析:依分布列的性质知,⎩⎪⎨⎪⎧9c 2-c ≥0,3-8c ≥0,9c 2-c +3-8c =1,解得c =13,故P (X =1)=3-8×13=13.答案:13 139.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,则这两次取出白球数X 的分布列为________.解析:X 的所有可能值为0,1,2. P (X =0)=C 11C 11C 12C 12=14,P (X =1)=C 11C 11×2C 12C 12=12,P (X =2)=C 11C 11C 12C 12=14.所以X 的分布列为答案:10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球,这9个球的大小及质地都相同,现从该袋中随机摸取3个球,则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________,设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ,则P (X =k )取最大值时,k 的值为________.解析:袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球,这9个球的大小及质地都相同,现从该袋中随机摸取3个球,则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是:n =C 26C 13=45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ,则X 的可能取值为0,1,2,3, P (X =0)=C 33C 39=184,P (X =1)=C 16C 23C 39=1884,C 984P (X =3)=C 36C 39=2084,所以P (X =k )取最大值时,k 的值为2. 答案:45 211.抛掷一枚质地均匀的硬币3次. (1)写出正面向上次数X 的分布列; (2)求至少出现两次正面向上的概率. 解:(1)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X =0)=C 0323=18;P (X =1)=C 1323=38;P (X =2)=C 2323=38;P (X =3)=C 3323=18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=38+18=12. 12.(2019·台州高三质检)在一次购物活动中,假设每10张券中有一等奖券1张,可获得价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获得价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从这10张券中任取2张.(1)求该顾客中奖的概率;(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列. 解:(1)该顾客中奖的概率P =1-C 04C 26C 210=1-1545=23.(2)X 的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 P (X =0)=C 04C 26C 210=13,P (X =10)=C 13C 16C 210=25,P (X =20)=C 23C 210=115,P (X =50)=C 11C 16C 210=215,C 1015故X 的分布列为[能力提升]1.(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球,其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5;4个白球编号分别为1,2,3,4,从袋中任意取出3个球.(1)求取出的3个球编号都不相同的概率;(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值,求X 的分布列.解:(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ,则P (B )=C 14C 17C 39=2884=13,所以P (A )=1-P (B )=23.(2)X 的取值为1,2,3,4,P (X =1)=C 12C 27+C 22C 17C 39=4984,P (X =2)=C 12C 25+C 22C 15C 39=2584, P (X =3)=C 12C 23+C 22C 13C 39=984,P (X =4)=1C 39=184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 13·C 27+C 03·C 37C 310=4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P (X =k )=C k4·C 3-k6C 310(k =0,1,2,3). 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8(如图),这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若X =0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X 的分布列.解:(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28=28(种),当X =0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P (X =0)=828=27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为-2,-1,0,1,X =-2时,有2种情形;X =1时,有8种情形;X =-1时,有10种情形.所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球为止,每个球在每一次被取出的机会是相等的,用X 表示终止时所需要的取球次数.(1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量X 的分布列; (3)求甲取到白球的概率. 解:(1)设袋中原有n 个白球,由题意知17=C 2nC 27=n (n -1)27×62=n (n -1)7×6,所以n (n -1)=6,解得n =3或n =-2(舍去). 即袋中原有3个白球.(2)由题意知X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X =1)=37; P (X =2)=4×37×6=27; P (X =3)=4×3×37×6×5=635;P (X =4)=4×3×2×37×6×5×4=335;P (X =5)=4×3×2×1×37×6×5×4×3=135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取,所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球. 设“甲取到白球”的事件为A , 则P (A )=P (X =1或X =3或X =5).因为事件“X =1”“X =3”“X =5”两两互斥,所以P (A )=P (X =1)+P (X =3)+P (X =5)=37+635+135=2235.。
离散型随机变量的分布列及其期望与方差
离散型随机变量的分布列及其期望与方差题组一:1、已知随机变量X 的分布列为P (X=i )=a i 2(i=1,2,3),则P (X=2)= .2、设离散型随机变量X 的概率分布为求:(1)2X+1的概率分布;(2)|X-1|的概率分布.3、设ξ是一个离散型随机变量,其概率分布为则q 的值为 .4、设离散型随机变量ξ的分布列P (ξ=5k )=ak ,k=1,2,3,4,5. (1)求常数a 的值;(2)求P (ξ≥53);(3)求P (101<ξ<107).题组二:1、若某一射手射击所得环数X 的概率分布如下:则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是 .2、一批产品共50件,其中5件次品,45件合格品,从这批产品中任意抽两件,其中出现次品的概率是 .3、某人共有5发子弹,他射击一次命中目标的概率为,击中目标就停止射击,则此人射击次数为5的概率为 .4、设随机变量X~B(6,21),则P(X=3)= .5、某同学有2盒笔芯,每盒有25支,使用时从任意一盒中取出一支。
经过一段时间后,发现一盒已经用完了,则另一盒恰好剩下5只的概率是 .6、甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是,计算:(1)两人都击中目标的概率;(2)其中恰有一人击中目标的概率;(3)至少有一人击中目标的概率.7、已知P(AB)=103,P(A)=53,则P (B|A)= .8、市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 . 9、1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问:(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少(2)从2号箱取出红球的概率是多少10、甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;(2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.11、有甲、乙、丙、丁四名网球运动员,通过对过去战绩的统计,在一场比赛中,甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为,,.(1)若甲乙之间进行三场比赛,求甲恰好胜两场的概率;(2)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,求甲恰好胜两场的概率;(3)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,设甲获胜场次为ξ,求随机变量ξ的概率分布.12、已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为31,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一个小组做三次试验,求至少两次试验成功的概率;(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.13、甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投3球,谁投进的球数多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为54,乙投进的概率为21,求:(1)甲投进2球且乙投进1球的概率;(2)在甲第一次投篮未投进的条件下甲最终获胜的概率.题组三:1、一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球,现从中随机取出3个球,以X 表示取出的最大号码.(1)求X 的概率分布;(2)求X >4的概率.2、袋中有3个白球,3个红球和5个黑球.从中抽取3个球,若取得1个白球得1分,取得1个红球扣1分,取得1个黑球得0分.求所得分数ξ的概率分布.3、从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球赢2元,而每取出一个白球输1元,取出黄球无输赢,以X表示赢得的钱数,则随机变量X可以取哪些值求X的概率分布.4、甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止,已知甲投篮每次投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为ξ,若乙先投,且两人投篮次数之和不超过4次,求ξ的概率分布.5、某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中的男生人数,求X的概率分布.6、一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是31.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列;(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的概率分布;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.题组四:1、设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=p,令随机变量X=⎩⎨⎧不出现出现AA1,则D(X)= .2、设ξ~B(n,p),若有E(ξ)=12,D(ξ)=4,则n、p的值分别为 .3、已知ξ的分布列为ξ=-1,0,1,对应P=21,61,31,且设η=2ξ+1,则η的期望是 .4、随机变量ξ的概率分布如下:其中a,b,c成等差数列.若E(ξ)=31,则D(ξ)的值是 .5、设15000件产品中有1000件次品,从中抽取150件检查则查得次品数的数学期望为 .6、有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽取3张卡片,则这3张卡片上的数学这和的数学期望为 .7、编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X.(1)求随机变量X的概率分布;(2)求随机变量X的数学期望和方差.8、某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求:(1)X的概率分布;(2)X的均值.9、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为21与p,且乙投球2次均未命中的概率为161.(1)求乙投球的命中率p;(2)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为ξ,求ξ的概率分布和数学期望.10、某地区的一个季节下雨天的概率是,气象台预报天气的准确率为.某厂生产的产品当天怕雨,若下雨而不做处理,每天会损失 3 000元,若对当天产品作防雨处理,可使产品不受损失,费用是每天500元.(1)若该厂任其自然不作防雨处理,写出每天损失ξ的概率分布,并求其平均值;(2)若该厂完全按气象预报作防雨处理,以η表示每天的损失,写出η的概率分布.计算η的平均值,并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择11、有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设项目,为了对重点建设项目负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下:其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.。
高三理科数学第一轮复习§12.6:离散型随机变量及其分布列、期望与方差
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第十二章:计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.6:离散型随机变量及其 分布列、期望与方差
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高三数学分布列和期望
高三数学分布列和期望高考考纲透析:等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标:离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望[样题1] 〔2005年高考·全国卷II·理19〕甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.〔精确到0.0001〕本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力.解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4比赛3局结束有两种情况:甲队胜3局或乙队胜3局,因而P 〔=3〕=比赛4局结束有两种情况:前3局中甲队胜2局,第4局甲队胜;或前3局中乙队胜2局,第4局乙队胜.因而P 〔=4〕=+比赛5局结束有两种情况:前4局中甲队胜2局、乙队胜2局,第5局甲胜或乙胜.因而 P 〔=5〕=+ 所以的概率分布为ξ的期望=3×P 〔=3〕+4×P 〔=4〕+ 变式新题型1.〔2005年高考·浙江卷·理19〕袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中摸出一个红球的概率是.〔Ⅰ〕 从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次,求恰好有3次摸到红球的概率. 〔Ⅱ〕 从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止. (i) 求恰好摸5次停止的概率;〔ii 〕记5次之内〔含5次〕摸到红球的次数为,求随机变量的分布列及数学期望E . 解:〔Ⅰ〕 〔Ⅱ〕〔i 〕〔ii 〕随机变量的取值为0,1,2,3,; 由n 次独立重复试验概率公式,得()()1n kk kn n P k C p p -=-()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭; ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔或〕随机变量的分布列是ξξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量的取值范围及分布列ξ[样题2]在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖,某顾客从此10张券中任抽2张,求:〔Ⅰ〕该顾客中奖的概率;〔Ⅱ〕该顾客获得的奖品总价值〔元〕的概率分布列和期望. 解法一:〔Ⅰ〕,即该顾客中奖的概率为.〔Ⅱ〕的所有可能值为:0,10,20,50,60〔元〕..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故有分布列:ξ 从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法二: 〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元,即每张的平均奖品价值为8元,从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16〔元〕.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2,若一周5个工作日内无故障,可获利润10万元;仅有一个工作日发生故障可获利润5万元;仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损;有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求:〔Ⅰ〕一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率〔保留两位有效数字〕; 〔Ⅱ〕一周5个工作日内利润的期望〔保留两位有效数字〕 解:以表示一周5个工作日内机器发生故障的天数,则~B 〔5,0 2〕).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ 〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕以表示利润,则的所有可能取值为10,5,0,-2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P .410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη.205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.057.0)2()1()0(1)3()2(≈=-===-=≥=-=ξξξξηP P P P P 的概率分布为η∴ 利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205-2×0 057≈5 2〔万元〕[样题3] 〔2005年高考·江西卷·理19〕A 、B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片,否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.ξ〔1〕求的取值范围; 〔2〕求的数学期望E.解:〔1〕设正面出现的次数为m ,反面出现的次数为n ,则,可得:.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m〔2〕.322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P 变式新题型3.某射手进行射击练习,每射击5发子弹算一组,一旦命中就停止射击,并进行下一组练习,否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习.若该射手在某组练习中射击命中一次,并且他射击一次命中率为0.8,〔1〕求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列.〔2〕求在完成连续两组练习后,恰好共耗用了4发子弹的概率.分析:该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量,ξ可取值为1,2,3,4,5ξ=1,表示第一发击中〔练习停止〕,故P 〔ξ=1〕=0.8ξ=2,表示第一发未中,第二发命中,故P 〔ξ=2〕=〔1-0.8〕×0.8=0.16ξ=3,表示第一、二发未中,第三发命中,故P 〔ξ=3〕=〔1-0.8〕2×0.8=0.032以下类推解:〔1〕ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016补充备例:有n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开.用它们去试开门上的锁.设抽取钥匙是相互独立且等可能的.每把钥匙试开后不能放回.求试开次数 的数学期望和方差.分析:求 时,由题知前 次没打开,恰第k 次打开.不过,一般我们应从简单的地方入手,如 ,发现规律后,推广到一般.解: 的可能取值为1,2,3,…,n .η 10 5 0 -2 P 0 328 0 410 0 205 0 057;所以的分布列为:1 2 …k…n……;说明:复杂问题的简化处理,即从个数较小的看起,找出规律所在,进而推广到一般,方差的公式正确使用后,涉及一个数列求和问题,合理拆项,转化成熟悉的公式,是解决的关键.。
35 高中数学分布列与期望及决策专题训练
专题35高中数学分布列与期望及决策专题训练【知识总结】离散型随机变量X 的分布列为则,(1)p i ≥0,i =1,2,…,n .(2)p 1+p 2+…+p n =1.(3)E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n .(4)D (X )= i =1n[x i -E (X )]2p i .(5)若Y =aX +b ,则E (Y )=aE (X )+b ,D (Y )=a 2D (X ).【高考真题】1.(2022·全国甲理) 甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X 表示乙学校的总得分,求X 的分布列与期望.2.(2022·北京) 在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m 以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X 的数学期望E (X );(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证)【题型突破】1.某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动,现有高一1,2,3,4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲,设每班只选择其中一首红歌,且选择任一首红歌是等可能的.(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率;(2)记随机变量X 表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个),求X 的分布列与均值.2.有编号为1,2,3的三个小球和编号为1,2,3,4的四个盒子,将三个小球逐个随机地放入四个盒子中,每个小球的放置相互独立.(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率;(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率;(3)记录所有至少有一个小球的盒子,以X 表示这些盒子编号的最小值,求E (X ).3.某公司年会有幸运抽奖环节,一个箱子里有相同的十个乒乓球,球上分别标0,1,2,…,9这十个自然数,每位员工有放回依次取出三个球.规定:每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项:三个数字全部相同中一等奖,奖励10 000元现金;三个数字中有两个数字相同中二等奖,奖励5 000元现金;三个数字各不相同中三等奖,奖励2 000元现金.其他不中奖,没有奖金.(1)求员工A 中二等奖的概率;(2)设员工A 中奖奖金为X ,求X 的分布列;(3)员工B 是优秀员工,有两次抽奖机会,求员工B 中奖奖金的期望.4.目前,新能源汽车尚未全面普及,原因在于技术水平有待提高,国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作.吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为12,m ,14.若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为112. (1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m 的值;(2)三个团队有X 个在两年内出成果,求X 的分布列和均值.5.随着社会的发展,一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式,将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业M 的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行,资料初审通过后才能进行笔试,笔试合格后才能参加面试,面试合格后便正式录取,且这几个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M 的线上招聘,并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为12,13;乙通过笔试、面试的概率分别为23,12;丙通过笔试、面试的概率与乙相同. (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M 正式录取的概率;(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作,企业M 决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴,补贴标准如下表:记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X 元,求X 的分布列和均值.6.一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ,求X 的分布列及数学期望.7.下象棋既锻炼思维又愉悦身心,有益培养人的耐心和细心,舒缓大脑并让其得到充分休息.现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活,举行象棋大赛,要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有12位象棋爱好者,经商议决定采取单循环方式进行比赛(规则采用“中国数目法”,没有和棋),即每人进行11轮比赛,最后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制,比赛结束时,取胜者可能会出现3∶0,3∶1,3∶2三种赛式).9轮过后,积分榜上的前两名分别为甲和乙,甲累计积分26分,乙累计积分22分.第10轮甲和丙比赛,设每局比赛甲取胜的概率均为23,丙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)①在第10轮比赛中,甲所得积分为X ,求X 的分布列;②求第10轮结束后,甲的累计积分Y 的均值;(2)已知第10轮乙得3分,判断甲能否提前一轮获得累计积分第一,结束比赛(“提前一轮”即比赛进行10轮就结束,最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何,甲累计积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.8.一款小游戏的规则如下:每轮游戏都要进行3次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若“摸出的两个都是红球”出现3次,则获得200分;若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次,则获得20分;若“摸出的两个都是红球”出现0次,则扣除10分(即获得-10分).(1)求一轮游戏中获得20分的概率;(2)很多玩过这款小游戏的人发现,很多轮游戏后,所得的分数与最初的分数相比,不是增加而是减少了,请运用概率统计的相关知识解释这种现象.9.“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事,其赛制如下:采用七局四胜制,比赛过程中可能出现两种模式:“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中,每小局比赛均为11分制,率先拿满11分的选手赢得该局;如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛,那么将进入“FAST5”模式,“FAST5”模式为5分制的小局比赛,率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局,比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛,经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现,24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局,且在11分制比赛中,每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13;在“FAST5”模式,每局比赛双方获胜的概率都为12,每局比赛结果相互独立. (1)求4局比赛决出胜负的概率;(2)设在24分钟内,甲、乙比赛了3局,比赛结束时,甲、乙总共进行的局数记为X ,求X 的分布列及数学期望.10.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?11.(2021·新高考全国℃)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P (X =i )=p i (i =0,1,2,3).(1)已知p 0=0.4,p 1=0.3,p 2=0.2,p 3=0.1,求E (X );(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p 是关于x 的方程:p 0+p 1x +p 2x 2+p 3x 3=x 的一个最小正实根,求证:当E (X )≤1时,p =1,当E (X )>1时,p <1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.12.为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.①求证:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.13.为了预防某种流感扩散,某校医务室采取积极的处理方式,对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染,需要通过化验血液来确定被感染的同学,血液化验结果呈阳性即被感染,呈阴性即未被感染.下面是两种化验方案.方案甲:逐个化验,直到能确定被感染的同学为止.方案乙:先任取3个同学,将他们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中1位,后再逐个化验,直到能确定被感染的同学为止;若结果呈阴性,则在另外3位同学中逐个检测.(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率;(2)η表示方案甲所需化验次数,ξ表示方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳.14.已知某高中高三年级共有20个班,共1 000人,其中男生600人,女生400人.现在从该校高三学生中抽取10%的学生进行玩游戏时间的调查.设置方案如下:一个罐子中放置了大小、质地相同的20个红球,20个白球,被抽查的同学首先从该罐子中随机抽取一个球,看过颜色后放回,若抽到红球回答问题1,若抽到白球回答问题2,学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”即可.问题1:你的性别是否为男生?问题2:你周末打游戏的时长是否在3小时及以上?(1)应该抽取多少学生?若用分层抽样的抽样方法,如何抽取这10%的学生?(2)最终有40张答卷回答“是”,请估计该高中高三年级有多大占比的学生周末打游戏的时长在3小时及以上.15.某公司为了切实保障员工的健康安全,决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查,为此需要抽取全公司m人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血样分别化验,这时需要化验m次.方案②:按k个人一组进行随机分组,把从每组k个人抽来的血样混合在一起进行化验,如果每个人的血样均为阴性,则验出的结果呈阴性,这k个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验1k次);否则,呈阳性,则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组k 个人的血样总共需要化验k +1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ,且这些人之间的化验结果相互独立.(1)设方案②中,某组k 个人中每个人的血样化验次数为X ,求X 的分布列;(2)设m =1 000,p =0.1,试求方案②中,k 分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数,并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(结果保留整数)16.某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作,且两个轴承互不影响.现计划购置甲、乙两个品牌的轴承,两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表:已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为12,乙品牌使用3个月或4个月的概率均为12. (1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中,任选2件装入电动机内,求电动机可工作时间不少于4个月的概率;(2)现有两种购置方案,方案一:购置2件甲品牌;方案二:购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用).试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑,选择哪一种方案更实惠?17.为了预防某种流感扩散,某校医务室采取积极的处理方式,对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染,需要通过化验血液来确定被感染的同学,血液化验结果呈阳性即被感染,呈阴性即未被感染.下面是两种化验方案.方案甲:逐个化验,直到能确定被感染的同学为止.方案乙:先任取3个同学,将他们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位,后再逐个化验,直到能确定被感染的同学为止;若结果呈阴性,则在另外3位同学中逐个检测.(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率;(2)η表示方案甲所需化验次数,ξ表示方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳.18.某公司为了切实保障员工的健康安全,决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查,为此需要抽取全公司m 人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血样分别化验,这时需要化验m 次.方案②:按k 个人一组进行随机分组,把从每组k 个人抽来的血样混合在一起进行化验,如果每个人的血样均为阴性,则验出的结果呈阴性,这k 个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验1k次);否则,呈阳性,则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组k 个人的血样总共需要化验k +1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ,且这些人之间的化验结果相互独立.(1)设方案②中,某组k 个人中每个人的血样化验次数为X ,求X 的分布列;(2)设m =1 000,p =0.1,试求方案②中,k 分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数,并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(结果保留整数)19.某工厂购进一批加工设备,由于该设备自动模式运行不稳定,因此一个工作时段内会有14的概率出现自动运行故障.此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式,并持续人工操作至此工作时段结束,期间该维护人员无法对其他设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式,若设备的自动模式出现故障而得不到维护人员的维护,则该设备将停止运行,且每台设备运行的状态相互独立.(1)若安排1名维护人员负责维护3台设备,求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率;(2)设该工厂有甲、乙两个车间.甲车间有6台设备和2名维护人员,将6台设备平均分配给2名维护人员,每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备;乙车间有7台设备和2名维护人员,7台设备由这2名维护人员共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性,试比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低.20.在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r (0<r <1),它们之间相互不影响.(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r 的最小值;(2)当r =0.9时,求能正常工作的设备数X 的分布列;(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案:方案1,更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更换设备硬件的总费用为8万元;方案2,对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护的总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策.。
概率统计与期望方差分布列大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题压轴练新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023秋·浙江·高三校联考期末)抽屉中装有5双规格相同的筷子,其中2双是一次性筷子,3双是非一次性筷子,每次使用筷子时,从抽屉中随机取出1双,若取出的是一次性筷子,则使用后直接丢弃,若取出的是非一次性筷子,则使用后经过清洗再次放入抽屉中,求:(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下,第1次取出的是一次性筷子的概率;(2)取了3次后,取出的一次性筷子的个数(双)的分布列及数学期望;(3)取了(2,3,4n n =,…)次后,所有一次性筷子刚好全部取出的概率.2.(2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测)2022年2月6日,中国女足在两球落后的情况下,以3比2逆转击败韩国女足,成功夺得亚洲杯冠军,在之前的半决赛中,中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足,其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球,表现神勇.(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球.不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望;(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外3人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ,易知121,0==p p .①试证明14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列;②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ,比较10p 与10q 的大小.3.(2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试)中国在第75届联合国大会上承诺,将采取更加有力的政策和措施,力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值,努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”),此举展现了我国应对气候变化的坚定决心,预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革,极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业,对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况,一机构根据统计数据,用最小二乘法得到电动汽车销量y (单位:万台)关于x (年份)的线性回归方程为4.79459.2y x =-,且销量y 的方差为22545y s =,年份x 的方差为22x s =.(1)求y 与x 的相关系数r ,并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱;(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况,得到的数据如下表:性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验,能否认为购买电动汽车与车主性别有关;(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人,再从这7人中随机抽取3人,记这3人中,男性的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.25≈;②参考公式:(i )线性回归方程:ˆy bxa =+,其中()()()121ˆˆ,ni ii n i i x x yy b a y bxx x ==--==--∑∑;(ii )相关系数:()()niix x y y r --=∑0.9r >,则可判断y 与x 线性相关较强.(iii )()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.附表:α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.8284.(2023·浙江·模拟预测)2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加,其中欧洲球队有13支,分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士.世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛,当进入淘汰赛阶段时,比赛必须要分出胜负.淘汰赛规则如下:在比赛常规时间90分钟内分出胜负,比赛结束,若比分相同,则进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜负,比赛结束,若加时赛比分依然相同,就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大战分为2个阶段.第一阶段:前5轮双方各派5名球员,依次踢点球,以5轮的总进球数作为标准(非必要无需踢满5轮),前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利.第二阶段:如果前5轮还是平局,进入“突然死亡”阶段,双方依次轮流踢点球,如果在该阶段一轮里,双方都进球或者双方都不进球,则继续下一轮,直到某一轮里,一方罚进点球,另一方没罚进,比赛结束,罚进点球的一方获得最终的胜利.下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果:():()法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为33:,在点注:“阿根廷4332:战胜法国.球大战中阿根廷42(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率.(2)根据题意填写下面的22 列联表,并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关.欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇,经过120分钟比赛未分出胜负,双方进入点球大战.已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p,乙队球员每轮踢进点球的概率为23,求在点球大战中,两队前2轮比分为2:2的条件下,甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率(用p表示).参考公式:22(),.()()()()n ad bc n a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++()2Pχα≥0.10.050.010.0050.001α 2.706 3.841 6.6357.87910.8285.(2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习)汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展,加大在新能源项目的支持力度,积极推动新能源汽车产业发展,某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查,得到下面的统计表:年份t20172018201920202021年份代码()2016x x t=-12345销量/y万辆1012172026(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆;(2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况,该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名,购置新能源汽车的有45名,女性车主中有20名购置传统燃油汽车.①若95w=,将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率,以样本估计总体,试用(1)中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车,结果精确到千人);②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ,将样本中的频率视为概率,从被调查的所有男性车主中随机抽取5人,记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ,求当w 为何值时,()f p 最大.附:ˆˆy bxa =+为回归方程,1221ˆniii nii x ynxy b xnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-.6.(2022秋·江苏南通·高三校考期中)核酸检测也就是病毒DNA 和RNA 的检测,是目前病毒检测最先进的检验方法,在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测,可以检测血液中是否存在病毒核酸,以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本,设计了如下试验,预备12份试验用血液标本,其中2份阳性,10份阴性,从标本中随机取出n 份分为一组,将样本分成若干组,从每一组的标本中各取部分,混合后检测,若结果为阴性,则判定该组标本均为阴性,不再逐一检测;若结果为阳性,需对该组标本逐一检测.以此类推,直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为a 元,记检测的总费用为X 元.(1)当n =3时,求X 的分布列和数学期望.(2)比较n =3与n =4两种方案哪一个更好,说明理由.7.(2023秋·辽宁·高三校联考期末)2022年冬奥会由北京和张家口联合举办,其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛、淘汰赛和决赛三部分,其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中,循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛,胜者晋级最后的决赛,负者与循环赛第三名再进行一场比赛,胜者晋级决赛,败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.(1)循环赛进行九轮比赛,每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队、瑞士队、瑞典队、英国队.若循环赛的赛程完全随机排列,则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少?(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛,同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明,中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%,与瑞士队对战获胜的概率为60%,加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X 表示中国队最终获得的名次,求其分布列和数学期望.8.(2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测)为丰富学生课外生活,某市组织了高中生钢笔书法比赛,比赛分两个阶段进行:第一阶段由评委给出所有参赛作品评分,并确定优胜者;第二阶段为附加赛,参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析,这些分数X 都在[70,100)内,在以组距为5画分数的频率分布直方图(设“=Y 频率组距”)时,发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩.(1)试确定n 的所有取值,并求k ;(2)组委会确定:在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛;分数在[)95,100的参赛者评为一等奖;分数在[90,95)的同学评为二等奖,但通过附加赛有111的概率提升为一等奖;分数在[85,90)的同学评为三等奖,但通过附加赛有17的概率提升为二等奖(所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级).已知学生A 和B 均参加了本次比赛,且学生A 在第一阶段评为二等奖.(i )求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率;(ii )已知学生A 和B 都获奖,记A B ,两位同学最终获得一等奖的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.9.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间(即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击).其拥有两个技能,技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动,该技能可以连续触发,从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击;技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍,但是多次触发时效果不可叠加(相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成).每次攻击发动时先判定技能二是否触发,再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击,造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1,技能一和技能二的各次触发均彼此独立:(1)当“突击者”发动一轮攻击时,记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”,事件B 为“技能一和技能二各触发1次”,求条件概率()P B A (2)设n 是正整数,“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n 的概率记为n P ,求n P .10.(2023春·福建南平·高三校联考阶段练习)在上海举办的第五届中国国际进口博览会中,硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的110,其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期,某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产,试产期同步进行产品检测,检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成,包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标,人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测,且仅设置一个综合指标,四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品,智能检测三项指标的达标率约为99100,9899,9798,设人工抽检的综合指标不达标率为p (01p <<).(1)求每个芯片智能检测不达标的概率;(2)人工抽检30个芯片,记恰有1个不达标的概率为()p ϕ,求()p ϕ的极大值点0p ;(3)若芯片的合格率不超过96%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的0p 作为p 的值,判断该企业是否需对生产工序进行改良.11.(2023·福建莆田·统考二模)互花米草是禾本科草本植物,其根系发达,具有极高的繁殖系数,对近海生态具有较大的危害.为尽快消除互花米草危害,2022年10月24日,市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》,对全市除治攻坚行动做了具体部署.某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况,采用按比例分层抽样的方法抽取样本.已知甲镇的样本容量12m =,样本平均数18x =,样本方差2119s =;乙镇的样本容量18n =,样本平均数36y =,样本方差2270s =.(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ;(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围,甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛,两镇各派一支代表队参加,经抽签确定第一场在甲镇举行.比赛规则:每场比赛直至分出胜负为止,胜方得1分,负方得0分,下一场在负方举行,先得2分的代表队获胜,比赛结束.当比赛在甲镇举行时,甲镇代表队获胜的概率为35,当比赛在乙镇举行时,甲镇代表队获胜的概率为12.假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ,求()E X .参考数据:2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=.12.(2023·福建厦门·统考二模)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底,我国移动物联网连接数达18.45亿户,成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图,其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5.(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01),并推断它们的相关程度;(2)(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(xn ,yn ),两个变量满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩(随机误差ii i e y bx =-).请推导:当随机误差平方和Q =21ni i e =∑取得最小值时,参数b 的最小二乘估计.(ii)令变量,x t t y w w =-=-,则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩利用(i)中结论求y 关于x 的经验回归方程,并预测2024年移动物联网连接数.附:样本相关系数()()niit t r w w -=-∑,()25176.9i i w w=-=∑,()()5127.2iii t t w w =--=∑,5160.8ii w ==∑27.7≈13.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)学校篮球队30名同学按照1,2,…,30号站成一列做传球投篮练习,篮球首先由1号传出,训练规则要求:第()128,m m m ≤≤∈N 号同学得到球后传给1m +号同学的概率为23,传给2m +号同学的概率为13,直到传到第29号(投篮练习)或第30号(投篮练习)时,认定一轮训练结束,已知29号同学投篮命中的概率为13,30号同学投篮命中的概率为67,设传球传到第()230,n n n ≤≤∈N 号的概率为n P .(1)求4P 的值;(2)证明:{}()1228n n P P n +-≤≤是等比数列;(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小.14.(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入,其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α.现对其进行两次检测,第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35,第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23.已知两次检测过程相互独立,两次检测均合格,试剂品α才算合格.(1)设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ,求X 的分布列和数学期望;(2)若地区排查期间,一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测,如果有一人检测呈阳性,则检测结束,并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立,该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ,若当0p p =时,()f p 最大,求0p 的值.15.(2022秋·山东青岛·高三统考期末)由mn 个小正方形构成长方形网格有m 行和n 列.每次将一个小球放到一个小正方形内,放满为止,记为一轮.每次放白球的频率为p ,放红球的概率为q ,1p q +=.(1)若2m =,12p q ==,记y 表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数,统计数据如表:n 12345y7656423026求y 关于n 的回归方程 ln y bna =+ ,并预测10n =时,y 的值;(精确到1)(2)若2m =,2n =,13p =,23q =,记在每列都有白球的条件下,含红球的行数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望;(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率,并证明:()()111nmm n p q -+-≥.附:经验回归方程系数:1221ˆki ii kii x y kx ybxkx ==-⋅=-∑∑,ˆˆay bx =-,51ln 53i i i n y =⋅=∑,ln 3.8y =.16.(2023·山东枣庄·统考二模)某市正在创建全国文明城市,学校号召师生利用周末从事创城志愿活动.高三(1)班一组有男生4人,女生2人,现随机选取2人作为志愿者参加活动,志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择.每名女生至多从中选择参加2项活动,且选择参加1项或2项的可能性均为12;每名男生至少从中选择参加2项活动,且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得综合评价10分,选择参加几项活动彼此互不彩响,求(1)在有女生参加活动的条件下,恰有一名女生的概率;(2)记随机选取的两人得分之和为X,求X的期望.17.(2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测)治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题,因为基本不能治愈,只是可以让肝功能正常,不可以清除病毒,而且发展严重后还具有传染性,所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后,不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本(都用试管独立装好的)混在了一起,现在要将它们找出来,试管上都有标签,采用将共64份样品采用混检的方式,先将其平均分成两组,每组32份,将每组的32份进行混检,若携带病毒的在同一组,则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验,若携带病毒的样本不在同一组,则将两组都继续平均分组混检下去,直到最后将两份携带病毒的样本找出为止(样品检验时可以很快出结果,每次含病毒的那一组进行平均分组时,每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是12,且互不影响),设共需检验的次数为X.(1)求随机变量X的分布列和期望;(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为91:,急性乙肝炎症治愈率可达9 10,没有治愈的会转为慢性乙肝,慢性乙肝炎症治愈率只有3100,在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗,求两人最后至少有一人痊愈的概率o P.(结果保留两位有效数字)18.(2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响,为此随机抽查了男女生各100名,得到如下数据:性别锻炼不经常经常女生4060男生2080(1)依据0.01α=的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;(2)从这200人中随机选择1人,已知选到的学生经常参加体育锻炼,求他是男生的概率;(3)为了提高学生体育锻炼的积极性,集团设置了“学习女排精神,塑造健康体魄”的主题活动,在该活动的某次排球训练课上,甲乙丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第n 次传球后球在甲手中的概率.附:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.0100.0050.001x α 6.6357.87910.82819.(2022秋·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树,他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式:设X 为离散型随机变量,则()()()2P X E X λλ-λ为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下,对事件X λλ-的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式;(2)应用以上结论,回答下面问题:已知正整数5n .在一次抽奖游戏中,有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ,编号为()1i i n 的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小、质地均相同的小球.主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球,记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ,并记1n i i X X i==∑.对任意的n ,是否总能保证()0.10.01P X n (假设嘉宾和箱子数能任意多)?并证明你的结论.附:可能用到的公式(数学期望的线性性质):对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1n i i X X ==∑,则有()1()ni i E X E X ==∑.20.(2022秋·湖北十堰·高三校联考阶段练习)为了丰富孩子们的校园生活,某校团委牵头,发起同一年级两个级部A 、B 进行体育运动和文化项目比赛,由A 部、B 部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天,每天实行三局两胜制,即先赢两局的级部获得该天胜利,此时该天比赛结束.若A 部、B 部中的一方能连续两天胜利,则其为最终冠军;若前两天A 部、B 部各赢一天,则第三天只进行一局附加赛,该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A 部获胜的概率为()01p p <<,每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.(1)记第一天需要进行的比赛局数为X ,求()E X ,并求当()E X 取最大值时p 的值;(2)当12p =时,记一共进行的比赛局数为Y ,求()5P Y ≤.21.(2022秋·广东广州·高三广州市真光中学校考开学考试)某企业研发了一种新药,为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性,需要开展临床用药试验,检测显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验,并得到了一组数据(),i i x y ,1,2,3,4,5i =,其中i x 表示连续用药i 天,i y 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值.根据临床经验,刚开始用药时,指标A 的数量y 变化明显,随着天数增加,y 的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值:5162i i y ==∑,()()5147i i i x xy y =--=∑,51 4.79i i u =≈∑,()251 1.615i i u u =-≈∑,()()5119.38i i i u u y y =--≈∑,其中ln i i u x =.(1)试判断y a bx =+与ln y a b x =+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型?并建立y 关于x 的回归方程;(2)新药经过临床试验后,企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品,其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012,第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009,两条生产线是否出现不合格药品相互独立.(i )随机抽取一件该企业生产的药品,求该药品不合格的概率;(ii )若在抽查中发现不合格药品,求该药品来自第1条生产线的概率.参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅,其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121n i i in i ix x y y b x x ==--=-∑∑ ,a y bx =-$$.22.(2022·广东深圳·统考二模)2022年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛............,若甲连续赢两场.....则专业队获胜;若甲连续输两场.....则业余队获胜:若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相。
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课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望
高考考纲透析:
等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差
高考风向标:
离散型随机变量的分布列、期望和方差
热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望
[样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.(精确到)
本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解:单局比赛甲队胜乙队的概率为,乙队胜甲队的概率为1-=
比赛3局结束有两种情况:甲队胜3局或乙队胜3局,因而P (ξ=3)=330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况:前3局中甲队胜2局,第4局甲队胜;或前3局中乙队胜2局,第4局乙队胜。
因而
P (ξ=4)=2230.60.40.6C ⨯⨯⨯+2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=
比赛5局结束有两种情况:前4局中甲队胜2局、乙队胜2局,第5局甲胜或乙胜。
因而
P (ξ=5)=2224
0.60.40.6C ⨯⨯⨯+22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯= 所以ξ的概率分布为
ξ的期望E ξ=3×P (ξ=3)+4×P (ξ=4)+5×P (ξ=5)=
变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球,从A
中摸出一个红球的概率是3
1. (Ⅰ) 从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次,求恰好有3次摸到红球的概率. (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.
(i)
求恰好摸5次停止的概率; (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.
解:(Ⅰ) 33
3
512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (Ⅱ)(i )22
24121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(ii)随机变量ξ的取值为0,1,2,3,;
由n 次独立重复试验概率公式()()1n k k k n n P k C p p -=-,得
()5
0513*******
P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭; ()323
511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(或()328021731243243P ξ+⨯==-=) 随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是
热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列
[样题2]在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖,某顾客从此10张券中任抽2张,求:
(Ⅰ)该顾客中奖的概率;
(Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列和期望ξE .
解法一:
(Ⅰ)3245151210
26=-=-=C C I P ,即该顾客中奖的概率为32. (Ⅱ)ξ的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).
故ξ有分布列: 从而期望
.1615
16015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二:
(Ⅰ),324530)(210
241614==+=C C C C P (Ⅱ)ξ的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元,即每张的平均奖品价值为8元,从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16(元).
变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2,若一周5个工作日内无故障,可获利润10万元;仅有一个工作日发生故障可获利润5万元;仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损;有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求: (Ⅰ)一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字);
(Ⅱ)一周5个工作日内利润的期望(保留两位有效数字)
解:以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数,则ξ~B (5,0 2)
(Ⅰ).21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ
(Ⅱ)以η表示利润,则η的所有可能取值为10,5,0,-2
.
()2(=-=ξηP P
η∴∴利润的期望=10×0 328+5×0 ×0 -20 5 2(万元)
[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)
A 、
B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片,否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.
(1)求ξ的取值范围;
(2)求ξ的数学期望E ξ.
解:(1)设正面出现的次数为m ,反面出现的次数为n ,则⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ,可得:
(2);64
5)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ 变式新题型3.某射手进行射击练习,每射击5发子弹算一组,一旦命中就停止射击,
并进行下一组练习,否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习.若该射手在某组练习中射击命中一次,并且他射击一次命中率为0.8,(1)求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列.(2)求在完成连续两组练习后,恰好共耗用了4发子弹的概率。
分析:该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量,ξ可取值为1,2,3,4,5ξ=1,表示第一发击中(练习停止),故P(ξ=1)=0.8
ξ=2,表示第一发未中,第二发命中,故P(ξ=2)=(1-0.8)×0.8=0.16ξ=3,表示第一、二发未中,第三发命中,故P(ξ=3)=(1-0.8)2×0.8=0.032以下类推解:(1)ξ的分布列为
ξ12345
P0.80.160.0320.00640.0016
补充备例:有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开.用它们去试开门上的锁.设抽取钥匙是相互独立且等可能的.每把钥匙试开后不能放回.求试开次数的数学期望和方差.
分析:求时,由题知前次没打开,恰第k次打开.不过,一般我们应从简单的地方入手,如,发现规律后,推广到一般.
解:的可能取值为1,2,3,…,n.
;所以的分布列为:
12…k…n
……
;
??? 说明:复杂问题的简化处理,即从个数较小的看起,找出规律所在,进而推广到一般,方差的公式正确使用后,涉及一个数列求和问题,合理拆项,转化成熟悉的公式,是解决的关键.。