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高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何

(, 0,0) ,y轴上点的坐标为 (0, , 0) ,z轴上点的坐标为 (0,0, ) ；
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→

其中、都是实数.
∘
→
→
→
设是一个非零向量,常把与同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→

→

,且±
→

→

均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →

高数第七章向量与空间解析几何

第七章向量与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系；然后引进有广泛应用的向量及其运算，以它为工具，讨论空间的平面和直线；最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.引起这场数学史上伟大革命的正是坐标系的建立.代数运算的基本对象是数，几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上，引入运动的观点，使平面曲线和方程对应，从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样，要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线，就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即角度转向以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向(见图7-1)，这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系O x y z，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:x O y，y O z，z O x，统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间(0)z>中，从含有x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限；下半空间(0)z<中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应的叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(见图7-2).图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M 为空间的一点，过点M 作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为,,P Q R (见图7-3).这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z .这样，空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，它称为点M 的直角坐标，并依次把x ， y 和z 叫做点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为(,,)x y z 的点M ，通常记为(,,)M x y z .图7-3反过来，给定了一有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q 与R 分别作x 轴、y 轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M 就是具有坐标(,,)x y z 的点(见图7-3).从而对应于一有序数组(,,)x y z ，必有空间的一个确定的点M .这样，就建立了空间的点M 和有序数组(,,)x y z 之间的一一对应关系.如图7-3所示. x 轴、y 轴和z 轴上的点的坐标，分别为(,0,0)P x ，(0,,0)Q y ，(0,0,)R z ；x O y 面、y O z 面和z O x 面上的点的坐标，分别为(,,0)A x y ，(0,,)B y z ，(,0,)C x z ；坐标原点O 的坐标为(0,0,0)O .它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d ，我们过12M M 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以12,M M 为对角线的长方体(见图7-4).根据勾股定理，有图7-42221212M MM NN M=+222111.M P M Q M R +=+因为11221M P P P xx ==-， 11221M Q Q Q y y ==－， 11221M R R R z z ==－，所以12d M M =.特别地，点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离为d O M =第二节向量及其运算一、向量及其线性运算1. 向量概念我们曾经遇到的物理量有两种：一种是只有大小的量，叫做数量，如时间、温度、距离、质量等；另一种是不仅有大小，而且还有方向的量，叫做向量或矢量，如速度、加速度、力等.在数学上，往往用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.如图7-5所示，以1M 为始点、2M 为终点的有向线段所表示的向量，用记号12M M表示.有时也用一个黑体字母或上面加箭头的字母来表示向量，如向量，，，a b i u 或 ,,,a b i u等.图7-5向量的大小叫做向量的模，向量12M M或a 的模分别记为12M M或a . 在研究向量的运算时，将会用到以下几个特殊向量与向量相等的概念：单位向量模等于1的向量称为单位向量.逆向量(或负向量) 与向量a 的模相等而方向相反的向量称为a 的逆向量，记为-a . 零向量模等于0的向量称为零向量，记作0，零向量没有确定的方向，也可以说它的方向是任意的.向量相等两个向量a 与b ，如果它们方向相同，且模相等，就说这两个向量相等，记作=a b .自由向量与始点位置无关的向量称为自由向量(即向量可以在空间平行移动，所得向量与原向量相等).我们研究的向量均为自由向量，今后，必要时可以把一个向量平行移动到空间任一位置2. 向量的线性运算（1）向量的加(减)法.仿照物理学中力的合成，我们可如下规定向量的加(减)法. 定义1 设a ，b 为两个(非零)向量，把a ，b 平行移动使它们的始点重合于M ，并以a ，b 为邻边作平行四边形，把以点M 为一端的对角线向量1M N定义为a ，b 的和，记为+a b(见图7-6).这样用平行四边形的对角线来定义两个向量的和的方法，叫做平行四边形法则.由于平行四边形的对边平行且相等，所以从图7-6可以看出，+a b 也可以按下列方法得出：把b 平行移动，使它的始点与a 的终点重合，这时，从a 的始点到b 的终点的有向线段1M N就表示向量a 与b 的和+a b (见图7-7).这个方法叫做三角形法则.图7-6 图7-7定义2 设a ，b 为两个（非零）向量，b 的逆向量为－b .称向量a 与向量－b 的和向量为向量a 与向量b 的差向量，简称为向量a 与向量b 的差.即-=+a b a b.按定义容易用作图法得到向量a 与b 的差.把向量a 与b 的始点放在一起，则由b 的终点到a 的终点的向量就是a 与b 的差-a b (见图7-8).图7-8在定义1与定义2中，我们都假设a ，b 为非零向量.其实这只是为了几何直观的需要，事实上a ，b 都可以是零向量.根据零向量的定义，我们可以将零向量看成一个没有方向的点.这样我们就可以约定：任何向量与零向量的和与差都等于该向量自己. 向量的加法满足下列性质：+=+a b b a； (交换律)()()++=++a b c a b c ； (结合律)+=a 0a ； ()0+-=a a (2) 向量与数量的乘法.定义3 设λ是一实数，向量a 与λ的乘积λa 是一个这样的向量：当>0λ时，λa 的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即λλ=a a ；当<0λ时，λa 的方向与a 的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即λλ=a a ；当0λ=时，λa 是零向量，即0λ=a .向量与数量的乘法满足下列性质(λ，μ为实数)： ()()λμλμ=a a ； (结合律) ()λμλμ+=+a a a ； (分配律) ()λλλ+=+a b a b . (分配律)设a e 是方向与a 相同的单位向量，则根据向量与数量乘法的定义，可以将a 写成a =a a e这样就把一个向量的大小和方向都明显地表示出来.由此若a 为非零向量，也有a =a e a就是说把一个非零向量除以它的模就得到与它同方向的单位向量.二、向量的坐标表示1. 向量在轴上的投影为了用分析方法来研究向量，需要引进向量在轴上的投影的概念. （1) 两向量的夹角.设a ，b 为两个非零向量，任取空间一点O ，作O A =a ， O B =b，则称这两向量正向间的夹角θ为两向量a 与b 的夹角(见图7-9)，记作(,)θ=ab 或 π(,),0θθ=≤≤b a . 当a 与b 同向时，0θ=；当a 与b 反向时，πθ=.图7-9(2) 点A 在x 轴上的投影.过点A 作与x 轴垂直的平面，交x 轴于点A '，则点A '称为点A 在x 轴上的投影(见图7-10).图7-10 图7-11(3) 向量AB 在x 轴上的投影.首先我们引进轴上的有向线段的值的概念设 AB 是x 轴上的有向线段.如果数λ满足λA B = ，且当AB 与x 轴同向时λ是正的，当 AB 与x 轴反向时λ是负的，那么数λ叫做x 轴上有向线段AB 的值，记作A B ，即λA B =.设,A B 两点在x 轴上的投影分别为A '，B '(见图7-11)，则有向线段''A B 的值A B ''称为向量AB 在x 轴上的投影，记作j P r x A B A B ''= ，它是一个数量. x 轴叫做投影轴.这里应特别指出的是：投影不是向量，也不是长度，而是数量，它可正，可负，也可以是零.关于向量的投影，有下面两个定理.定理1 向量 AB 在x 轴上的投影等于向量 AB 的模乘以x 轴与向量AB 的夹角α的余弦，即j P r cos x A B A B a =.证过A 作与x 轴平行，且有相同正向的x '轴，则x 轴与向量AB 间的夹角α等于x '轴与向量AB 间的夹角(见图7-12).从而有j j P r P r cos x x A B A B A B A B a '''==.图7-12显然，当α是锐角时，投影为正值；当α是钝角时，投影为负值；当α是直角时，投影为0定理2 两个向量的和在某轴上的投影等于这两个向量在该轴上投影的和，即j j j 1212P r ()P r P r x x x a a a a +=+图7-13证设有两个向量12,a a 及某x 轴，由图7-13可以看到j j j 12P r ()P r ()P r x x x A B B C A C A C ''+=+==a a，而j j j j 12P r P r P r P r x x x x A B B C A B B C A C ''''''+=+=+=a a，所以j j j 1212P r ()P r P r x x x +=+a a a a显然，定理2可推广到有限个向量的情形，即j j j j 1212P r ()P r P r P r x n x x x n +++=+++a a a a a a2. 向量的坐标表示 (1) 向量的分解.设空间直角坐标系O x y z ，以,,i j k 表示沿x 轴、y 轴、z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量.始点固定在原点O 、终点为M 的向量O M =r，称为点M的向径.图7-14设向径O M终点M 的坐标为(,,)x y z .过点M 分别作与三条坐标轴垂直的平面，依次交坐标轴于,,P Q R (见图7-14)，根据向量的加法，有O M O P P M M M ''==++r，但 ,P M O P M M O Q ''==，所以 O P O Q O R=++r. 向量,,O P O Q O R ，分别称为向量O M =r在,,x y z 轴上的分向量.根据数与向量的乘法，得,O P x =i ,O Q y =j O R z =k .因此，有O M x y z ==++r i j k.这就是向量r 在坐标系中的分解式，其中,,x y z 三个数是向量O M =r在三条坐标轴上的投影.一般地，设向量12,=aM M 12,M M 的坐标分别为1111(,,)M x y z 及2222(,,)M x y z ，如图7-15所示.由于图7-15122121M M O M O M =-=-r r，而 2222x y z =++r i j k ，1111x y z =++r i j k ，所以()()=++-++a i j k i j k x y z x y z 222111 ()()()-+-+-i j k =x x y y z z 212121.这个式子称为向量12M M按基本单位向量的分解式，其中三个数量212121,,x y z a x x a y y a z z =-=-=-是向量12M M =a在三个坐标轴上的投影.我们也可以将向量a 的分解式写成.x y z a a a =++a i j k(2) 向量的坐标表示.向量a 在三个坐标轴上的投影,,x y z a a a 叫做向量a 的坐标，并将a 表示为(),,x y za a a =a ，上式叫做向量a 的坐标表示式.从而基本单位向量的坐标表示式是()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1===i j k .零向量的坐标表示式为0,0,00=（）.起点为(),,M x y z 1111、终点为(),,M x y z 2222的向量的坐标表示式为()21212112,,M M x x y y z z ---=，特别地，向径的坐标就是终点的坐标，即(),,=O M x y z(3) 向量的模与方向余弦的坐标表示式.向量可以用它的模和方向来表示，也可以用它的坐标来表示.为了找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系，我们先介绍一种表达空间方向的方法.与平面解析几何里用倾角表示直线对坐标轴的倾斜程度相类似，我们可以用向量12M M =a 与三条坐标轴(正向)的夹角,,αβγ来表示此向量的方向，并规定π0α≤≤、π0β≤≤、π0γ≤≤ (见图7-16)，,,αβγ叫做向量a 的方向角.过点12,M M 各作垂直于三条坐标轴的平面，如图7-16所示.可以看出，由于12,P M Mα∠=又21M P M P ⊥，所以1cos cos 12x a M P M M ααa＝＝＝，1c o s c o s 12y a M Q M M ββ===a，（7-2-1）1cos=cos 12.z a M R M M γ==aa z ＝M 1R ＝｜｜cos γ＝｜a ｜cos γ.图7-16公式(7-2-1)中出现的不是方向角αβγ，，本身而是它们的余弦，因而，通常也用数组cos cos cos αβγ、、来表示向量a 的方向，叫做向量a 的方向余弦.把公式(7-2-1)代入向量的坐标表示式，就可以用向量的模及方向余弦来表示向量()cos cos cos αβγ=++a a i j k ，（7-2-2）而向量a 的模为12M M ==a由此得向量a 的模的坐标表示式=a （7-2-3）再把(7-2-3)式代入(7-2-1)式，可得向量a 的方向余弦的坐标表示式cos cos ,cos a αa βa γ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩（7-2-4）把公式(7-2-4)的三个等式两边分别平方后相加，便得到222cos cos cos 1αβγ++=，即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可见，由任一向量a 的方向余弦所组成的向量()cos cos cos ,,αβγ是单位向量，即cos cos cos =αβγ++a e i j k .例1 已知两点()1225,,P －及()2167,P -，，试求：(1) 12P P 在三条坐标轴上的投影及分解表达式； (2) 12P P 的模；(3) 12P P的方向余弦；(4)12P P 上的单位向量12e PP .解 (1)设12(,,)x y z P P a a a =，则12P P在三条坐标轴上的投影分别为：3,8,2x y z a a a =-==于是12P P的分解表达式为38212P P i j k++=-.(2)12P P ==(3)12cos x a α==P P12cos ya β==p p ，12cos za γ==p p .(4))e 38212i j k =++-PP .(4) 用坐标进行向量的线性运算.利用向量的分解式，向量的线性运算可以化为代数运算. 设λ是一数量，,x y z x y z a a a b b b b =++=++a i j k i j k ，则()()x y z x y z a a a b b b ±=±a b i j k i j k ＋＋＋＋()()()x x y y z z a b a b a b =±+±+±i j k ；()x y z x y z λλa a a λa λa λa =++=++a i j k i j k或()()(),,,,,,xy z x y z x x y y z zaa ab b b a b a b a b ±±±±=，()(),,,,x y z x y z λa a a λa λa λa =.这就是说，两向量之和(差)的坐标等于两向量同名坐标之和(差)；数与向量之积，等于此数乘上向量的每一个坐标.例2 从点()217,A -，沿向量8912=+-a i j k 的方向取线段A B ，使AB 34=，求点B 的坐标.解设点B 的坐标为(,,)x y z ，则()()()217A B x y z -+++-i j k=.按题意可知AB上的单位向量与a 上的单位向量相等，即＝A B a e e .而34A B =，17a ==，所以127343434A By x z +--==++e i j kAB AB， 8912171717a ==++a e i j k a比较以上两式，得283417x -=， 193417y +=， 7123417z -=-. 解得 181717,,x y z ===-.所以，点B 的坐标为1817,17()-，.例3 22345 ,,=-+=+-a i j k b i j k 求3-a b 方向的单位向量.解因为()()3322345=-=-+-+-c a b i j k i j k3711=-+i j k.于是c ==，所以371133c c a b i j k c a b-===-+-e ）.三、向量的数量积与向量积1. 两向量的数量积在物理学中，我们知道当物体在力F 的作用下(见图7-17)，产生位移s 时，力F 所做的功图7-17()cos ,W =F s Fs .这样，由两个向量F 和s 决定了一个数量 ()cos ,F s Fs .根据这一实际背景，我们把由两个向量F 和s 所确定的数量 ()cos ,F s Fs 定义为两向量F 与s 的数量积. 定义4 a 与b 的模与它们的夹角余弦的乘积，叫做a 与b 的数量积，记为a·b ，即()cos ,⋅=a b a b ab .因其中的 ()cos ,b ab 是向量b 在向量a 的方向上的投影，故数量积又可表示为 Prj ⋅=a a b a b，同样 Prj⋅=b a b b a . 数量积满足下列运算性质：（1）⋅=⋅a b b a ；（交换律）（2）()++⋅⋅⋅a b c =a b a c ；（分配律）（3）()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b .（结合律）由数量积的定义，容易得出下面的结论：（1）2⋅=a a a ；（2）两个非零向量a 与b 互相垂直的充要条件是0⋅=a b . 数量积的坐标表示式设,x y z x y z a a a a b b b b =++=++i j k i j k ，由于基本单位向量，，i j k 两两互相垂直，从而，⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j k k i j i k j i k .又因为，，i j k 的模都是1，所以1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ，因此，根据数量积的运算性质可得x x y y z z a b a b a b ⋅=++a b ，即两向量的数量积等于它们同名坐标的乘积之和.由于 ()co s ,⋅=a b a b ab ，当a ,b 都是非零向量时，有 ()cos ,a b a b a b ++⋅==a b ab a b.这就是两向量夹角余弦的坐标表示式.从这个公式可以看出，两非零向量互相垂直的充要条件为0x x y y z z a b a b a b ++=. (7-2-5)例4 求向量()322,,=-a 和()3,0,0=b 的夹角.解因为 ()3320209⋅=⋅+-⋅+⋅=a b ，5==a ，=3b ，所以()93cos ,535⋅===⨯a b a b a b.故其夹角()arccos 5383,5=≈︒'a b .例5 求向量()412,,=-a 在()31,,0=b 上的投影. 解因为 ()43112011⋅=⋅+-⋅+⋅=a b ，==b ，所以Prj ⋅===b a b a b.例6 在x O y 平面上，求一单位向量与437(,,)=-p 垂直. 解设所求向量为(),,a b c ，因为它在x O y 平面上，所以0c =.又(),,0a b 与()437,,=-p 垂直，且是单位向量，故有22-43=10a b a b +=+，.由此求得34,55a b =±=±，因此所求向量为34,,055⎛⎫±± ⎪⎝⎭.2. 两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑此物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.下面举例说明表示力矩的方法.图7-18设O 为杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处，F 与OP 的夹角为θ(见图7-18).由物理学知道，力F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模sin M O Q O P θ=F F=.而M 的方向垂直于 OP 与F 所确定的平面（即M 既垂直于OP ，又垂直于F ），M 的指向按右手规则，即当右手的四个手指从OP 以不超过π的角转向F 握拳时，大拇指的指向就是M 的指向.由两个已知向量按上述规则来确定另一向量，在其他物理问题中也会遇到，抽象出来，就是两个向量的向量积的概念.定义5 设a ，b 为两个向量，若向量c 满足(1) sin (,)=c a b ab ，即等于以,a b 为邻边的平行四边行的面积； (2)c 的方向垂直于,a b 所确定的平面，并且按顺序,,a b c 符合右手法则.则称向量c 为向量a 与向量b 的向量积，记为⨯a b （如图7-19），即=⨯c a b.图7-19向量积满足下列规律：（1）⨯=-⨯a b b a （向量积不满足交换律）；（2）()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ；（3）()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b .由向量积的定义，容易得出下面的结论：（1）⨯=a a 0；（2）两个非零向量a 与b 互相平行的充要条件是⨯=a b 0. 3. 向量积的坐标表示式设,x y z x y z a a a b b b =++=++a i j k b i j k .则()()x y z x y z a a a b b b ⨯=⨯a b i j k i j k ＋＋＋＋()()()x x x y x z a b a b a b =⨯⨯⨯+i i i j i k ++ y x y y y za b a b a b ⨯⨯⨯+j i j j j k （）+（）+（）z x z y z za b a b a b ⨯⨯⨯k i k j k k （）＋（）＋（）. 由于⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0， ⨯=i j k ， ,⨯=j k i⨯=k i j ，⨯=j i k -， ⨯=k ji -， ⨯=i k j -.因此()()().y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+a b i j k －这就是向量积的坐标表示式.这个公式可以用行列式(行列式的定义及简单运算见本书后附录)写成下列便于记忆的形式，即⨯=ij k a b xy z xyza a ab b b从这个公式可以看出，两非零向量a 和b 互相平行的条件为0,0,0y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b -=-=-=，或y x z xyza a ab b b ==. (7-2-6)例7 设2=+-ai j k，2=-+bi j k.计算⨯a b .解 211112i j k a b ⨯=--()()()212111222111⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅--+-⋅-⋅+⋅--⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦i j k53=--i j k.例8 求以()123A ，，，()345B ，，，()247,,C 为顶点的三角形的面积S . 解根据向量积的定义，可知所求三角形的面积S 等于12A B A C ⨯ . 因为=222A B ++i j k ， 24A C +i j k＝＋，222124A B A C ⨯=ij k=462-+i j k ，所以12S A B A C =⨯==.例9 已知()211,,=a ，()111,,=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量. 解设=⨯c a b ，则c 同时垂直于a 和b .于是，c 上的单位向量是所求的单位向量.因为23=⨯=--c a b i j k ，==c ，所以==c e c c⎛⎫-=-⎝c e 都是所求的单位向量.第三节空间直线与平面本节将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立最简单的空间图形——平面和直线的代数方程.一、曲面方程的概念平面解析几何把曲线看作动点的轨迹，类似地，空间解析几何可把曲面当作是一个动点或一条动曲线按一定规律而运动产生的轨迹.一般地，如果曲面S 与三元方程(),,0F x y z =之间存在如下关系：（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程(),,0F x y z =；（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，满足方程的点都在曲面上. 那末称(),,0F x y z =为曲面S 的方程，而曲面S 称为方程的图形.二、空间直线的方程在平面解析几何中，我们知道，x O y 平面上的一定点和一非零向量就确定了一条直线.在三维空间的情形也是一样.设空间直线L 过定点0000(,,)M x y z ，且平行于非零向量m n p =++s i j k这时直线的位置就完全确定了（如图7-20），下面我们来求这条直线的直线方程.图7-20设(,,)M x y z 是直线L 上任意一点，因为L 平行于向量s ，所以0000()()()M M x x y y z z =-+-+-i j k0M M平行于向量s ，由两向量平行的充要条件式（7-2-6）有x x y y z z mnp---== （7-3-1）（7-3-1）称为直线L 的对称式方程，也叫做直线L 的标准式方程. 在建立直线L 的标准式方程（7-3-1）时，我们用到了向量0M M平行于向量s 的充要条件，即这两个向量的对应坐标成比例.如果我们设这个比列系数为t ，则有x x y y z z tmnp---===，那么000,,x x m t y y n t z z p t =+=+=+ （7-3-2）当t 从-∞变到+∞时，方程（7-3-2）就是过点0000(,,)M x y z 的直线L 的参数方程，其中t 是参数，向量s 称为直线L 的方向向量.向量s 的坐标,,m n p 叫做直线的方向数.例1 求过两点()1111,,M x y z ，()2222,,M x y z 的直线的方程解可以取方向向量()21212112,,M M x x y y z z =---s=.由直线的标准式方程可知，过两点12,M M 的直线方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---.上式称为直线的两点式方程.例2 用标准式方程及参数式方程表示直线10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩解为寻找直线的方向向量s ，在直线上找出两个点即可，令=10x ，代入题中方程组，得 000,2y z ==- 同理，令1=0x ，代入题中方程组，得1113,22y z ==-即点(0)-，，A 12与点13(0)2，，B 2在直线上. 取()111,,22AB ==-s .因此，所给直线标准式方程为12211y x z -+==- 参数方程为12,,2.x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，注意本例提供了化直线的一般方程为标准方程和参数方程的方法.三、平面及其方程垂直于平面的非零向量叫做该平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直.我们知道，过空间一点可以作，而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面Π上的一点0000(,,)M x y z 和它的法向量(,,)A B C =n 为已知时，平面Π的位置就完全确定了.图7-21设0000(,,)M x y z 是平面Π上一已知点，(,,)A B C =n 是它的法向量(见图7-21)，(,,)M x y z 是平面Π上的任一点，那么向量0M M必与平面Π的法向量n 垂直，即它们的数量积等于零：00M M ⋅=n . 由于(,,)A B C =n ，0000(,,)M M x x y y z z =---，所以有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= (7-3-3)因为所给的条件是已知一定点0000(,,)M x y z 和一个法向量(,,)A B C =n ，方程(7-3-3)叫做平面的点法式方程.例3 求过点23(0)-,,及法向量(1,2,3)=-n 的平面方程.解根据平面的点法式方程(7-3-3)，得所求平面的方程为(2)2(3)30x y z --++= 或2380x y z =+-=.将方程(7-3-3)化简，得A xB yC zD +++=， (7-3-4)其中000D A x B y C z =---.由于方程(7-3-3)是,,x y z 的一次方程，因此任何平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，对于任给的一个形如(7-3-4)的三元一次方程，我们取满足该方程的一组解000,,x y z ，则0000A x B y C z D +++= (7-3-5)由方程(7-3-4)减去方程(7-3-5)，得000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= (7-3-6)把它与方程(7-3-3)相比较，便知方程 (7-3-6)是通过点0000(,,)M x y z ，且以(,,)A B C =n 为法向量的平面方程.因为方程(7-3-4)与(7-3-6)同解，所以任意一个三元一次方程(7-3-4)的图形是一个平面.方程(7-3-4)称为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是该平面的法向量n 的坐标，即(,,)A B C =n .例4 如图7-22所示，平面Π在三个坐标轴上的截距分别为,,a b c ，求此平面的方程(设0,0,0a b c ≠≠≠).图7-22解因为,,a b c 分别表示平面Π在x 轴、y 轴、z 轴上的截距，所以平面Π通过三点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，且这三点不在一直线上.先找出平面Π的法向量n ，由于法向量n 与向量A B ，A C都垂直，可取A B A C =⨯n ，而(,,0),(,0,)A B a b A C a c =-=-，所以得00A B A C ab ac=⨯=--ij k nb c a c a b =++i j k.再根据平面的点法式方程(7-3-3)，得此平面的方程为()(0)(0)0bc x a ac y ab z -+-+-=. 由于0,0,0ab c ≠≠≠，上式可改写成1y xz a b c++=. (7-3-7) 式(7-3-7)叫做平面的截距式方程.下面我们讨论一下特殊位置的平面方程.(1) 过原点的平面方程. 因为平面通过原点，所以将0x y z ===代入方程(7-3-4)，得0D =.故过原点的平面方程为0A x B y C z ++=， (7-3-8)其特点是常数项0D =.(2) 平行于坐标轴的平面方程.如果平面平行于x 轴，则平面的法向量(,,)A B C =n 与x 轴的单位向量(1,0,0)=i 垂直，故0⋅=n i ，即1000A B C ⋅+⋅+⋅=由此，有A =从而得到平行于x 轴的平面方程为B yC zD ++=，其方程中不含x .类似地，平行于y 轴的平面方程为0A x C z D ++=；平行于z 轴的平面方程为A xB y D ++=.(3) 过坐标轴的平面方程.因为过坐标轴的平面必过原点，且与该坐标轴平行.根据上面讨论的结果，可得过x 轴的平面方程为B yC z +=；过y 轴的平面方程为0A x C z +=；过z 轴的平面方程为0Ax B y +=.(4) 垂直于坐标轴的平面方程. 如果平面垂直于z 轴，则该平面的法向量n 可取与z 轴平行的任一非零向量(0,0,)C ，故平面方程为0C z D +=.类似地，垂直于x 轴的平面方程为0A x D +=，垂直于y 轴的平面方程为0B y D +=；而z =表示x O y 坐标面，0x =表示y O z 坐标面，0y =表示z O x 坐标面. 例5 指出下列平面位置的特点，并作出其图形： (1) 4x y +=； (2) 2z =.解 (1) 4x y +=，由于方程中不含z 的项，因此平面平行于z 轴(见图7-23). (2) 2z =，表示过点2(00)，，且垂直于z 轴的平面(见图7-24).图7-23 图7-24四、有关平面与直线的位置关系1. 两平面的夹角及平行、垂直的条件设平面1Π与2Π的法向量分别为1111(,,)A B C =n 和2222(,,)A B C =n .如果这两个平面相交，它们之间有两个互补的二面角(见图7-25)，其中一个二面角与向量1n 与2n 的夹角相等.所以我们把这两平面的法向量的夹角中的锐角称为两平面的夹角.根据两向量夹角余弦的公式，有12cos cos(,)θ==n n (7-3-9)图7-25从两非零向量垂直、平行的条件，立即推得两平面垂直、平行的条件. 两平面12,ΠΠ互相垂直的充要条件是1212120A A B B C C ++=； (7-3-10)两平面12,ΠΠ互相平行的充要条件是111222A B C A B C ==. (7-3-11)例6 设平面1Π与2Π的方程分别为260x y z -+-=及250xy z ++-=，求它们的夹角.解根据公式(7-3-9)得1cos 2θ==，所以平面1Π与2Π的夹角为π3θ=. 例7 一平面通过点1(1,1,1)P 和2(0,1,1)P -，且垂直于平面0x y z ++=，求这平面的方程.解平面0x y z ++=的法向量为1(1,1,1)=n ，又向量12(1,0,2)P P =--在所求平面上，设所求平面的法向量为n ，则n 同时垂直于向量12P P及1n ，所以可取112(1,1,1)(1,0,2)(2,1,1)P P =⨯=⨯--=-n n，故所求平面方程为2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，或20x y z --=.2. 两直线的夹角及平行、垂直的条件设两直线1L 和2L 的标准式方程分别为111111x x y y z z m n p ---==和222222x x y y z z m n p ---==，两直线的方向向量()111,,m n p 1s =与()222,,m n p 2s =的夹角（这里指锐角或直角）称为两直线的夹角，记为θ，则cos θ=. (7-3-12)由此推出，两直线互相垂直的充要条件是121212 0m m n n p p ++=； (7-3-13)两直线互相平行的充要条件是111222m n p m n p == . (7-3-14)例8 求直线113:141y x z L -+==-和直线22:221y x zL +==--的夹角. 解直线1L 的方向向量()1,41-1s =，，直线2L 的方向向量为()221--2s =，，，故直线1L 与2L 的夹角θ的余弦为cos θ===. 所以 π4θ=. 例9 求经过点()2,0,1-且与直线2360,42390x y z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩平行的直线方程.解所求直线与已知直线平行，其方向向量可取为()()()231423728,,,,,,=⨯-⨯-=--12s n n =.根据直线的标准式方程，得所求直线的方程为21728y x z -+==--. 例10 求过点213()，，，且与直线11321y x z-+==-垂直相交的直线方程. 解先作一平面过点213()，，，且垂直于已知直线，那么这平面的方程应为()()()32+2130.x y z ----=再求已知直线与这平面的交点.把已知直线的参数方程13,12,x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩代入平面方程，解之得37t =.再将求得的t 值代入直线参数方程中，即得 2133,,777x y z ===-. 所以，交点的坐标是2133,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭. 于是，向量2132133,,777⎛⎫---- ⎪⎝⎭是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为1232133213777y x z --==-----，即123214y x z ---==-. 3. 直线与平面的夹角及平行、垂直的条件直线L 与它在平面Π上的投影所成的角称为直线L 与平面Π的夹角，一般取锐角(见图7-26).图7-26设直线L 的方程为ox x y y z z mnp---==，其方向向量(),,m n p =s ；平面Π的方程为0Ax B y C z D +++=，其法向量(),,A B C =n ，则πcos 2θ⎛⎫-=⎪⎝⎭n s n s ，即sin θ=. (7-3-15)从而，直线L 与平面Π平行的充要条件是m B n C p ++=； (7-3-16)直线L 与平面Π垂直的充要条件是A B Cm n p==. (7-3-17) 例11 设平面Π的方程为0Ax B y C z D +++=，()1111,,M x y z 是平面外的一点，试求1M 到平面Π的距离.图7-27解在平面Π上取一点()0000,,M x y z (见图7-27)，则点M 1到平面Π的距离Prj 0101n M M d M M ⋅==n n，而()()()11101000·M M A x x B y y C z z -+-+-n ＝由于点()000,,x y z 在平面Π上，有0000A x B y C z D +++=，即 000A x B y C z D ++=-，由此可得11101M M A x B y C z D ⋅=+++n，所以d =(7-3-18)公式（7-3-18）称为点到平面的距离公式.第四节空间曲面与曲线一、曲面及其方程在上一节中，我们考察了最简单的曲面——平面，以及最简单的空间曲线——直线，建立了它们的一些常见形式的方程.在这一节里，我们将介绍几种类型的常见曲面.1. 球面方程到空间一定点0M 之间的距离恒定的动点的轨迹为球面. 例1 建立球心在点()0000,,M x y z ，半径为R 的球面的方程.解将球面看作空间中与定点等距离的点的轨迹.设(),,M x y z 是球面上的任一点，则0.M M R =由于0M M =所以R =.两边平方，得2222000x x y y z z R ---=（）+（）+（）(7-4-1) 显然，球面上的点的坐标满足这个方程，而不在球面上的点的坐标不满足这个方程.所以，方程(7-4-1)就是以()0000,,M x y z 为球心，以R 为半径的球面方程.如果0M 为原点，即0000x y z ===，这时球面方程为2222x y z R ++= (7-4-2)若记20A x =-，20B y =-，20C z =-， D 222200x y z R =++-，则式(7-4-1)可化为2220x y z A x B y C z D ++++++=（7-4-3）（7-4-3）式称为球面的一般方程由(7-4-3)式可以看出，球面的方程是关于,,x y z 的二次方程，它的222x y z ，，三项系数相等，并且方程中没有,,x y y z z x 的项.对于形如式（7-4-3）的一般方程，我们有下面几个结论：(1) 当22240A B C D ++->时，上式为一球面方程； (2) 当22240A B C D ++-=时，上式只表示一个点；(3) 当22240A B C D ++-<时，上式表示一个虚球，或者说它不代表任何图形. 例2 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面? 解通过配方，原方程可以改写为()()22212=5x y z -+++.与式(7-4-1)比较，可知原方程表示球心在点120,,0M -（）、半径R =的球面. 2. 柱面设给定一条曲线C 及直线l ，则平行于直线l ，且沿曲线C 移动的直线L 所形成的曲面叫做柱面.定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线(见图7-28).图7-28如果柱面的准线是x O y 面上的曲线C ，其方程为() ,0f x y =， (7-4-4)柱面的母线平行于z 轴，则方程(),0f x y =就是这柱面的方程(见图7-29).因为在此柱面上任取一点(),,M x y z ，过点M 作直线平行于z 轴，此直线与x O y 面相交于点()0,,0M x y ，点0M 就是点M 在x O y 面上的投影.于是点0M 必落在准线上，它在x O y 面上的坐标(),x y 必满足方程(),0f x y =，这个方程不含z 的项，所以点M 的坐标(),,x y z 也满足方程(),0fx y =.。

大一高数课件第七章 7-3-1

关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（1）投影定理
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：量的夹角的余弦： Pr ju AB =| AB | cos ϕ
证
Pr ju AB = Pr ju′ AB
=| AB | cos ϕ
A ϕ
A′
B
B′′
B′
u′ u
定理1的说明：定理1的说明： π (1) 0 ≤ ϕ < , 投影为正；投影为正； 2 π ( 2) < ϕ ≤ π, 投影为负；投影为负； 2 π ( 3) ϕ = , 投影为零；投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；
例4
设有向量 P1 P2 ，已知 P1 P2 = 2 ，它与 x 轴和 y 轴
π π 的夹角分别为和，如果 P1 的坐标为(1,0,3)，求 P2 的 3 4
坐标. 坐标. 解设向量 P1 P2 的方向角为 α 、 β 、γ
1 π π α = , cos α = , β = , 3 2 4
2 cos β = , 2
1 Q cos α + cos β + cos γ = 1, ∴ cos γ = ± . 2 2π π . 设 P2 的坐标为( x , y , z ), ⇒γ= , γ= 3 3
2 2 2
x −1 x −1 1 cosα = ⇒ x = 2, ⇒ = P1 P2 2 2
y−0 y−0 2 cos β = ⇒ ⇒ y = 2, = P1 P2 2 2 z−3 z−3 1 ⇒ z = 4, z = 2, ⇒ cos γ = =± 2 P1 P2 2
r 向量的坐标表达式坐标表达式：向量的坐标表达式： a = {a x , a y , a z }

高等数学课件详细

分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法多元函数的连续性：定义、性质、判断方法多元函数的可微性：定义、性质、判断方法多元函数的可导性：定义、性质、判断方法多元函数的可积性：定义、性质、判断方法多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的性质：连续函数具有局部有界性、局部保号性、局部保序性等性质。

高等数学(工科类)第七章

a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
称为算术级数．
1
（2）等比数列各项的和
数
a1 a1q a1q2 a1qn1
项
称为等比级数，也称为几何级数．
级数
（3）调和级数为
1 1 1 1 1 ．
1 5

1 6

1 7

1 8
1
1 2

1 4

1 4

1 8

1 8

1 8

1 8
数的基
1 3． 2
本概
念
高等数学
数项级数
数项级数的审敛法
函数项级数与幂级数
函数展开成幂级数
第二章
第一节
第 12 页
一般地，对任意正整数k，有
Sk
1
1 2

1 3

1 4

1 5

1 8

1 9

1 16

1

1 2k 1 1

1 2k 1
2

1 2k

1
1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 k．
数项
2
2级
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sn 也无界，
高等数学（工科类）
高等数学第七章
高等数学
数项级数

同济第五版高数下第七章课件

第七章习题课
向量代数与空间解析几何
一基本要求
1.理解空间直角坐标系理解空间直角坐标系. 理解空间直角坐标系 2.理解向量的概念及其表示掌握单位向量、理解向量的概念及其表示; 理解向量的概念及其表示掌握单位向量、方向余弦、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法．达式进行向量运算的方法． 3.掌握向量的运算线性运算、内积、外积）. 掌握向量的运算(线性运算内积、外积）掌握向量的运算线性运算、 4.了解两个向量垂直、平行的条件．了解两个向量垂直、平行的条件．了解两个向量垂直
分别求适合下列条件的直线方程：例5 分别求适合下列条件的直线方程：（1）通过点）通过点(1,0,-3)且与平面 3 x − 4 y + z − 10 = 0 且与平面垂直；垂直； (2)通过点通过点(1,0, -2)且与平面 3 x + 4 y − z + 6 = 0 通过点且与平面平行,又与直线 x − 3 = y + 2 = z 垂直；垂直；平行又与直线
(
)
(
P0
)
l
例2 解
r uuu 已知向量OA
的模为8,且已知它与轴和的模为且已知它与x轴和且已知它与
π
r uuu ,求 OA 的坐标表达式．的坐标表达式．求 3
y轴正向的夹角均为轴正向的夹角均为
r uuu 设与 OA 同向的单位向量为
1 其中 cos α = cos β = cos = 3 2 又 cos γ = ± 1 − cos α − cos β = ±
• 一般式 • 截距式
Ax + By + Cz + D = 0

【高数课件】第七章拉普拉斯变换

1/s的拉氏逆变换为哪个？？？
( 2 ) L [ s g n t] 0 ( s g n t) e s td t 0 e s td t 1 s e s t0 1 s ,Re(s) 0
即： L[sgnt]1,Re(s)0； s
(3)L [1]estdt1est
0
s
0 1 s,
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它对分析线性系统有重要的作用．
2020/12/25
h
10
• 例3．求解微分方程 y ( t ) 2 y ( t ) 0 ， y ( 0 ) 0 ,y ( 0 ) .
解：令 Y(s)L[y(t)],
对方程两边取拉氏变换，有: L [y(t)2y(t)]L [0]，
证明：由定义 L[f(t)]f(t)esdt 0
f(t)e sd t f(t)e sd t
0
f(t)esdt (令t u)
f(u)es(u)du 0
es f(u)esuduesF(s). 0
2020/12/25
h
17
•
例7．
求函数 u(t ) 10,,
t 的拉氏变换． t
解：已知 L[u (t )] 1 , 由延迟性知
s
L[u(t)]es 11es.
ss
• 例8．求函数 f(t)u(3t5) 的拉氏变换．
解：因为 u(3t5)u[3(t5)]u(t5), L[u (t )] 1
3
3
s
所以 L[u(3t5)]L[u(t5)]1e5 3s.
3s
2020/12/25
h
18
➢ 五、周期函数的拉氏变换
设 f (t),t 0 是 [ 0 , ) 内以 T 为周期的周期函数，且 f(t)在一个周期内

高等数学上册第七章课件.ppt

y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节可降阶的二阶微分方程
小结可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节可降阶的二阶微分方程
例求解解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]

清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二

若fC[a,b],则有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
2020/4/28
12
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函
数？
2020/4/28
13
二、牛顿—莱布尼兹公式定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
2020/4/28
路程函数是速度函数的原函数4
[证] (1) 用连续定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
xx
x
F (xx)F (x)f(t)d tf(t)dt
xx
a
a
a
x x
f(t)dt f(t)dt f (t )dt
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
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20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
t
[证] 设F(x)是f(x)的一个原函数
d[F ( t) ] F ( x )( t) f( x )( t) f[( t)] ( t) dt f[(t)] (t)d tF [() ]F [()]
试比 I1与较 I2的大小。
[解] 利用估值定理
当 x [0,]时 ,有 six n x,

高数课件第七章微分方程第二节可分离变量微分方程

从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变化规律. 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
h h r
1m
流量系数
孔口截面面积重力加速度
O hdh
即设在
dV k S 2 g h d t
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
对应下降体积 d V r 2 dh
h h r
1m
π
O hdh
h
t 0
14 π 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k S 2 g
1
则得容以k 0.62, S 104 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式，器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
y x 1 1
2
例4. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有即解得
1 u sin 2 u
tan u x C
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
练习:
解法 1 分离变量即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 ) u 1 eu

( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式后化简, 得特解 v (1 e ) k
例8. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积开始时容器内盛满了水, 求水

《高等数学(下册)》课件高等数学第7章

n
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。

大一高数课件第七章

微分的概念
总结词
微分是导数的另一种表达方式，也是描述函数在某一点附近的变化率的重要概念。
VS
详细描述
微分表示函数在某一点处的增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于0时的极限，即函数在该点附近的变化率。微分与导数的关系是微分等于导数与自变量增量的乘积加上高阶无穷小量。微分具有线性性质，即函数的微分满足线性运算规则。
洛必达法则
洛必达法则
如果函数f(x)与g(x)在某点x0的某个领域内有定义，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，而 g'(x0)≠0，那么当x→x0时，lim (f(x)/g(x))=lim (f'(x0)/g'(x0))。
洛必达法则的应用条件
应用洛必达法则求极限时，需要满足三个条件：分子和分母的导数都存在且分母的导数不为零；所求极限的表达式是“0/0”或“ 无穷大/无穷大”的形式；通过等价无穷小替换或有理化分母等方法将所求极限的表达式化为“0/0”的形式。
03
导数与微分
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，表示函数在该点附近的变化率。通过求导，可以分析函数在某一点附近的增减性、极值等性质。
导数的性质
总结词
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有可加性和可乘性，即对于两个函数的和或乘积求导，可以分别对每个函数求导后再进行相应的运算。链式法则是指对复合函数的导数进行求导时，需要用到外层函数的导数和内层函数的导数。
应用
微积分基本定理是计算定积分的基石，通过它可以求出许多复杂函数的定积分。

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高等数学基础第七讲
马黎（2019. 12.13）
复习凑微分法新授分部积分法
不定积分的定义：
如果函数 F(X)是函数 f ( x) 在某区间上的一个原函数，那么 f ( x)的全体原函数 F(X)+C(C 为
任意常数)，称为 f(x)在该区间上的不定积分，
记为 f ( x)dx.
导数基本公式
用了凑微分小妙招也不灵，怎么办？我们还有一招—分部积分法
分部积分法
2
x ln x
xd
(ln
x
)
2
x ln x 2
x 1 dx x
1
2 x ln x 2 x 2 d x
1
2 x ln x 4 x 2 c
2 x ln x 4 x c
作业四
三、计算题 P17页 6、7、8
(coxt) 1 sin2 x
积分基本公式
coxdsxsixnc
sixn dxcox sc co12sxdxtanxc
si12nxdxcoxtc
定理若已知 f(x)dxF(x)c, 则有
f u x u ( x ) d x F u x c
其中 u ( x ) 是可微函数 , c 是任意常数
下面是积分部分的考题
小结
1.理解原函数的定义； 2.记住导数和积分公式； 3.记住“积分常用小妙招”； 4.熟练运用凑微分和分部积分法进行积分计算。
积分基本公式
(c) 0
0dx c
(x)x1
(ln x) 1 x
xdx1 1x1c 1
1xdxlnx c
(a x) a xln a(a 0 ,a 1 )
axdxax c (a0,a1) ln a

《高等数学课件》课件

导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具，通过链式法则可以将复合函数的导数转化为简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
THANKS
重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程的分类，如线性微分方程、非线性微分方程、一阶微分方程、高阶微分方程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并举例说明每种解法的应用。

高等数学第七章课件.ppt

a
(2) 三角形法则
b
向量的加法符合下列运算规律：
（（12））交结换合律律：：aa
b b
cb
(aa.
b)
c
a
a a
(b
b
c ).
多个向量相加，可以按照三角形法则.
负向量：大小相a 等但方向a相反的向量.
减法：a b a (b)
ab
b
a
ab
特例：a
(a)
0.
b
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα；当λ=0时
λα
φ1 = φ φ1=π- φ
Prj(λα)= 0 =λPrjlα；
λ<0
（二）向量的坐标表示
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
向量平行方向相反或者方向b 相同的向量a
a//b
零向量和任何向量都平行.
三、向量的线性运算
（一）向量的加减法
加法：a b c
(1) 平行四边形法则
b c
a
b
c
a
(b )
ab
（向(二((123量))）)aa向与000,,,量实aaa与数与与数aa0的2同的反a乘向乘向法，积，|| 记aa作|||a||12,a规a||a定 | a是一个向量.

高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数

在例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义由公式 ② 确定的称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数展开思路在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开在
上有定义上, 上为奇函数(偶函数)
定义在在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A：振幅：角频率
？
复杂的周期运动
：初相 )