九年级上学期数学第一次月考题
浙教版九年级上册数学第一次月考试卷含答案
浙教版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．如果函数()23231kk y k x kx -+=-++是关于x 的二次函数，那么k 的值是（）A ．1或2B ．0或3C ．3D ．02．顶点为()6,0-，开口向下，形状与函数212y x =的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A ．21(6)2y x =-B ．21(6)2y x =+C ．21(6)2y x =--D ．21(6)2y x =-+3．一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%”他的说法（）A ．正确B ．不正确C ．有时正确，有时不正确D ．应由气候等条件确定4．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在()3,0-和()2,0-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：()2140b ac ->；()22a b =；()3点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、23,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、35,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则123y y y <<；()4320b c +<；()()5t at b a b +≤-（t 为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（）A ．13B ．14C ．16D ．1126．若二次函数22y x =的图象经过点P （1，a ），则a 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．47．将抛物线23y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（）A ．23(1)2y x =++B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =-+D ．23(1)2=--y x 8．下列哪些事件是必然事件的个数有（）()1哈尔滨冬天会下雪()2中秋节（农历十月十五日）的晚上一定能看到月亮()3秋天的树叶一定是黄色的()4抛十次硬币五次正面，五次反面．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．明明的相册里放了大小相同的照片共32张，其中与同学合影8张、与父母合影10张、个人照片14张，她随机地从相册里摸出1张，摸出的恰好是与同学合影的照片的可能性是（）A ．12B ．13C ．14D ．1810．二次函数22(3)5y x =--+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A ．开口向下，对称轴为3x =-，顶点坐标为()3,5B ．开口向下，对称轴为3x =，顶点坐标为()3,5C ．开口向上，对称轴为3x =-，顶点坐标为()3,5-D ．开口向上，对称轴为3x =，顶点坐标为()3,5--二、填空题11．抛物线2y x x m =-+，若其顶点在x 轴上，则m =________．12．已知()221m m y m x x -=-+-是关于x 的二次函数，则m =________．13．同时抛两枚1元硬币，出现两个正面的概率为14，其中“14”含义为___．14．二次函数21212y x x =+-的最小值为________．15．二次函数在x =32时，有最小值14-，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式为_______．16．已知抛物线的顶点在()1,2-，且过点()2,3，则抛物线的解析式为__．17．如图是抛物线()210y ax bx c a =++≠图象的一部分，抛物线的顶点坐标()1,3A ，与x 轴的一个交点()4,0B ，直线()20y mx n m =+≠与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①20a b -=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0-；⑤当14x <<时，有21y y <，其中正确的序号是________．18．若二次函数223y x x =--配方后为2()y x h k =-+，则h k +=__．19．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为()1,0x 、()2,0x ，且12x x <，图象上有一点()00,M x y 在x 轴下方，在下列四个算式中判定正确的是________．①()()01020a x x x x --<；②0a >；③240b ac -≥；④102x x x <<．20．已知二次函数2()1y x m =---，当1x >时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是________．三、解答题21．已知开口向下的抛物线225y ax x a =++-经过点()0,3-．()1确定此抛物线的解析式；() 2当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值．22．请你设计一个摸球游戏，要求：()1袋子中要有黄球、绿球和红球三种球．()2摸到球的概率；P （摸到红球）14=；P （摸到黄球）23=；并求出摸到绿球的概率有多大？23．二次函数2y ax bx c =++的图象过()3,0A -，()1,0B ，()0,3C ，点D 在函数图象上，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B ，D ，求：()1一次函数和二次函数的解析式；() 2写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．24．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．()1估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？() 2请你估计袋中红球接近多少个？25．某商场有A 、B 两种商品，A 商品每件售价25元，B 商品每件售价30元，B 商品每件的成本是20元．根据市场调查“若按上述售价销售，该商场每天可以销售B 商品100件，若销售单价每上涨1元，B 商品每天的销售量就减少5件．()1请写出B 商品每天的销售利润y （元）与销售单价()x 元之间的函数关系？() 2当销售单价为多少元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？26．某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落OP=米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子下（如图所示）．若已知3OP的距离为1米．()1求这条抛物线的解析式；()2若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？参考答案1．D2．D3．B4．C5．A6．C7．A8．A9．C10．B11．1412．-113．当实验很多次时，平均每抛4次出现1次“两个正面”14．-315．y =x 2﹣3x +216．25103y x x =-+17．③⑤18．-319．①20．1m ≤21．（1）223y x x =-+-（2）52-22．11223．()12123y x x =--+，21y x =-+；()22x <-或1x >24．()10.75；()215个25．（1）y ＝−5x2＋350x−5000；（2）当销售单价为35元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元.26．（1）2(1)4y x =--+；（2）不计其它因素，水池的半径至少3米，才能使喷出的水流不至于落在池外．。
九年级数学第一次月考卷(沪科版)(解析版)【测试范围：第二十一章】
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：150分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。
2．测试范围：第二十一章（沪科版）。
第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列函数：①y＝32；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：①y＝3―2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，故选：C．2．（4分）已知反比例函数y=―6x，下列说法中正确的是（ ）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点（2，3）在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随x的增大而增大，再逐个判断即可．【解答】解：A．∵反比例函数y=―6x中﹣6＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入y=―6x得：左边＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，∴点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数y=―6x中﹣6＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比函数y=―6x的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D．3．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（ ）A．向右平移4个单位，向上平移11个单位B．向左平移4个单位，向上平移11个单位C．向左平移4个单位，向上平移5个单位D．向右平移4个单位，向下平移5个单位【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．故选：D．4．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的y与x的部分对应值如下表：x…﹣1012…y…﹣5131…则下列判断正确的是（ ）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间【分析】结合图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1＝a（﹣1）2+3，解得：a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故A错误；∵y＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故B错误；∵当x＞1时，y随x的增大而减小时正确的，故C正确；∵方程ax2+bx+c＝0，△＝16+4×2×1＝22＞0，此方程有两个不相等的实数根，由表正根在2和3之间；故选：C．5．（4分）若点（x1，y2）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数y=―2x的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列判断中正确的是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【分析】根据所给反比例函数解析式，得出y随x的变化情况，据此可解决问题．【解答】解：因为反比例函数的解析式为y=―2 x ，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大．因为x1＜x2＜0＜x3，所以0＜y1＜y2，y3＜0，所以y3＜y1＜y2．故选：B．6．（4分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）x…﹣3﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1【分析】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y=a―b+cx的图象在同一坐标系中大致为（ ）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当x＝﹣1时，y＜0，可知a﹣b+c＞0，然后利用排除法即可得出正确答案．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵―b2a＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴c＞0，∴直线y＝bx+c经过一、二、四象限，由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴反比例函数y=a―b+cx的图象必在一、三象限，故B、C、D错误，A正确；故选：A．8．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（ ）A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD【分析】根据D（m，n）、C（2﹣m，n）两点可确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线过点D（m，n），C（2﹣m，n）两点，∴抛物线的对称轴为x=2―m+m2=1，若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故选项B错误，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．故选：D．9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B两点，与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间（包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③―43≤a≤―1；④a+b≤am2+bm（m为实数）；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0必有两个不相等的实根．其中结论正确有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：由函数图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0．故①错误．因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0．又因为抛物线的对称轴为直线x＝1，所以―b2a=1，即b＝﹣2a，所以a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．故②正确．因为点C在（0，3），（0，4）之间（包含端点），所以3≤c≤4．又因为c＝﹣3a，则3≤﹣3a≤4，解得―43≤a≤―1．故③正确．因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1，所以当x＝1时，函数取得最大值：a+b+c．则抛物线上的任意一点（横坐标为m）的纵坐标都不大于a+b+c，即am2+bm+c≤a+b+c，故a+b≥am2+bm．故④错误．方程ax2+bx+c﹣3＝0的根可看成函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3交点的横坐标，显然两个图象有两个不同的交点，所以方程ax2+bx+c﹣3＝0必有两个不相等的实根．故⑤正确．故选：C．10．（4分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，﹣1），（―…，都是“相反点”，若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为―74，则m的取值范围为（ ）A．﹣1≤m≤4B．―1≤m≤32C．32≤m≤4D．32≤m≤5【分析】把（2，﹣2）代入y＝ax2+3x+c，求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反点”，结合Δ＝b2﹣4ac求出a、c的值，得出y＝﹣x2+3x﹣4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y＝﹣8时，求出x的值即可．【解答】解：∵点（2，﹣2）是二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的“相反点”，∴﹣2＝4a+6+c，∴c＝﹣4a﹣8，∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”，∴ax2+3x+c＝﹣x（即ax2+4x+c＝0）有且只有一个根，∴Δ＝16﹣4ac＝0，∴16﹣4a（﹣4a﹣8）＝0，解得，a＝﹣1，c＝﹣4×（﹣1）﹣8＝﹣4∴y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x―32）2―74，二次函数图象的对称轴为直线x=32，函数的最大值为―74，当y＝﹣8时，﹣x2+3x﹣4＝﹣8，解得，x1＝﹣1，x2＝4，当32≤m ≤4时，函数的最大值为―74，最小值为﹣8．故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）若函数y =(m +2)x 3―m 2是反比例函数，则m 的值为 ．【分析】形如y =kx（k 为常数，k ≠0）的函数叫做反比例函数，也可写成y ＝kx ﹣1（k 为常数，k ≠0），由此解答即可．【解答】解：若函数y =(m +2)x 3―m 2是反比例函数，则3﹣m 2＝﹣1，解得m ＝±2，∵m +2≠0，∴m ≠﹣2，∴m ＝2，故答案为：2．12．（5分）若抛物线y ＝x 2+2x +c 的顶点在x 轴上，则c ＝ ．【分析】根据x 轴上点的，纵坐标是0，列出方程求解即可．【解答】解：∵抛物线的顶点在x 轴上，∴y =4ac―b 24a =4c―224×1=0，解得c ＝1．故答案为：1．13．（5分）如图，在△OAB OA 在y 轴上．反比例函数y =kx（x ＞0）的图象恰好经过点B ，与边AB 交于点C ．若BC ＝3AC ，S △OAB ＝10．则k 的值为 ．【分析】根据BC ＝3AC ，S △OAB ＝10可得S △COB =152，再根据反比例函数k 值的几何意义列出方程12×(k m +k 4m )×(4m ―m)=152求出k 即可．【解答】解：∵BC ＝3AC ，S △OAB ＝10．∴S△COB =34×10=152，设点C（m，km），则B（4m，k4m），∵S△COB ＝S梯形BCDE=152，∴12×(km+k4m)×(4m―m)=152，解得：k＝4．故答案为：4．14．（5分）抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．（1）a＝ ；（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2，得――42a=2，即有a＝1；（2）①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），可得0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，故10+m＞017+m＜0或10+m＜017+m＞0，解得﹣17＜m＜﹣10，当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m 在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），即可得m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．∴――42a=2，∴a＝1；故答案为：a＝1；（2）由（1）知：a＝1，∴抛物线y＝ax2﹣4x+5+m为y＝x2﹣4x+5+m，∴由Δ≥0得m≤﹣1，∵对称轴为直线x＝2，∴抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，分两种情况：①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），∴0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，而当x＝﹣1时，y＝10+m，x＝6时，y＝17+m，∴10+m＞017+m＜0或10+m＜017+m＞0，解得﹣17＜m＜﹣10，当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），符合题意，综上所述，m取值范围是m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10，故答案为：m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）已知：y＝y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例．当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求当x＝8时的函数值．【分析】（1）首先设y1＝k1（x﹣1），y2=k2x，再根据y＝y1+y2可得y＝k1（x﹣1）+k2x，然后把x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9代入可得关于k1、k2的方程组，解出k1、k2的值，可得函数解析式；（2）把x＝8代入函数解析式可得答案．【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例，∴设y1＝k1（x﹣1），y2=k2 x，∵y＝y1+y2，∴y＝k1（x﹣1）+k2 x，∵当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9．∴5=k1+k22―9=―3k1―k22，解得：k1=2k2=6，∴y关于x的函数解析式为y＝2（x﹣1）+6 x（2）当x＝8时，原式＝2×7+34=1434．16．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1．（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数图象与y轴交于点（0，3），求该函数的图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，计算判别式即可得出结论．（2）先根据图象与y轴交于点（0，3），求出m的值，得出其解析式，再求出y＝0时x的值．【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，∴Δ＝[﹣（m+2）2]﹣4（2m﹣1），＝m2+4m+4﹣8m+4，＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4≥4，∴Δ＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点；（2）∵函数的图象与y轴交于点（0，3）．∴2m﹣1＝3，∴m＝2，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣1，∴x1＝3，x2＝1，∴该函数的图象与x轴的交点坐标（3，0）或（1，0）．17．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根： ；（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集： ；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 ；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围： ．【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3，故答案为：1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；故答案为：x＜1或x＞3；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；故答案为：x＞2．（4）由图象可知，二次函数y＝2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c （a≠0）的最大值，故答案为：k＜2．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA，OB，求△ABO的面积；（3）不等式k1x+b＞k2x的解集是 ．【分析】（1）把A （4，﹣2）代入反比例函数y =k 2x得出k 2的值，进而求得B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入y ＝k 1x +b ，运用待定系数法分别求其解析式；（2）设一次函数与x 轴交于点C ，由y ＝﹣x +2即可求得点C 的坐标，把三角形AOB 的面积看成是三角形AOC 和三角形OCB 的面积之和进行计算即可求得；（3）根据图象即可求解．【解答】解：（1）将A （4，﹣2）代入反比例函数解析式得：k 2＝﹣8，则反比例解析式为y =―8x；将B （﹣2，n ）代入反比例解析式得：n ＝4，即B （﹣2，4），将A 与B 坐标代入y ＝k 1x +b 中，得：4k 1+b =―2―2k 1+b =4，解得：k 1=―1b =2，则一次函数解析式为y ＝﹣x +2；（2）如图所示，设一次函数与x 轴交于点C ，对于一次函数y ＝﹣x +2，令y ＝0，得到x ＝2，即OC ＝2，则S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×22+12×2×4＝6．（3）根据函数图象可知：不等式k 1x +b ＞k 2x的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜4，故答案为：x ＜﹣2或0＜x ＜4．19．（10分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB 为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；（2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案．【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，解得a=―1 25，∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y=―125(x―10)2+6；（2）此船不能通过，理由：当y＝2+3＝5时，―125(x―10)2+6=5，解得x＝5或x＝15，∵15﹣5＝10＜12，∴此船不能通过桥洞．20．（10分）为了预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x（min）成反比例，如图所示，现测得药物9min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为5mg．请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式；（2）利用y ＝3时分别代入求出答案．【解答】解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y ＝k 1x （k 1＞0），代入（9，5）得5＝9k 1，∴k 1=59，设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y =k 2x（k 2＞0），代入（9，5）得5=k 29，∴k 2＝45，∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y =59x （0≤x ≤9），药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为：y =45x（x ＞9），∴y =≤x ≤8)(x ＞8)；（2）无效，理由如下：把y ＝3代入y =59x ，得：x =275，把y ＝3代入y =45x，得：x ＝15，∵15―275=485，485＜10，∴这次消毒是无效的．21．（12分）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程，以下是我们研究函数y=(x+1)2―1，x≤11，x＞1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…a2―14﹣1―142b…（1）写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；（2）请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ；（3）若此函数与直线y＝m﹣2有2个交点，请结合函数图象，直接写出m的取值范围 ．【分析】（1）根据解析式计算即可；（2）利用描点法画出函数图象，观察图象可得函数的一条性质．（3）根据图象即可求解．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y=34（﹣4+1）2﹣1=234∴a=23 4，当x＝2时，y＝2+1＝3，∴b＝3，故答案为：234，3；（2）画出函数图象如图所示：由图象得：x＞1时，y随x的增大而增大；故答案为：x＞1时，y随x的增大而增大；（3）由图象可知，若此函数与直线y＝m﹣2有2个交点，m的取值范围：m﹣2＞﹣1，即m＞1．故答案为：m＞1．22．（12分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）当x＝200时，代入y=―110x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：100k+b=100300k+b=80，解得：k=―110 b=110，∴y与x的函数关系式为：y=―110x+110，故答案为：y=―110x+110；（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，∴90×200＝18000（元），答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；（3）分两种情况：①当100≤x≤300时，w＝（―110x+110﹣71）x=―110x2+39x=―110（x﹣195）2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x＝190或200时，w有最大值是：―110（200﹣195）2+3802.5＝3800；②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．23．（14分）如图，已知：抛物线y=―14x2+bx+c经过点A（0，2）点C（4，0），且交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求△ACM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）M点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图象上存在点P，使△ACP的面积等于△ACM面积的一半，则P点的坐标为 ．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y=―14x2+12x+2；（2）过M作MK∥y轴交AC于K，设M（m，―14m2+12m+2），△ACM面积为S，求出直线AC解析式为y=―12x+2，知K（m，―12m+2），KM＝（―14m2+12m+2）﹣（―12m+2）=―14m2+m，故S=12KM•|x C﹣x A|=12×（―14m2+m）×4=―12m2+2m=―12（m﹣2）2+2，根据二次函数性质可得答案；（3）过P作PN∥y轴交AC于N，设P（n，―14n2+12n+2），则N（n，―12n+2），PN＝|（―14n2+12n+2）﹣（―12n+2）|＝|―14n2+n|，故S△ACP=12PN•|x C﹣x A|=12×|―14n2+n|×4＝|―12n2+2n|=12S△ACM＝1，解方程组可得答案．【解答】解：（1）把A（0，2）、C（4，0）代入y=―14x2+bx+c得：c=2―4+4b+c=0，解得b=12 c=2，∴抛物线的解析式为y=―14x2+12x+2；（2）过M作MK∥y轴交AC于K，如图：设M（m，―14m2+12m+2），△ACM面积为S，由A（0，2）、C（4，0）得直线AC解析式为y=―12x+2，∴K（m，―12m+2），∴KM＝（―14m2+12m+2）﹣（―12m+2）=―14m2+m，∴S=12KM•|x C﹣x A|=12×（―14m2+m）×4=―12m2+2m=―12（m﹣2）2+2，∵―12＜0，∴当m ＝2时，S 取最大值2，此时M （2，2）；∴△ACM 面积的最大值是2，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）过P 作PN ∥y 轴交AC 于N ，设P （n ，―14n 2+12n +2），则N （n ，―12n +2），∴PN ＝|（―14n 2+12n +2）﹣（―12n +2）|＝|―14n 2+n |，∴S △ACP =12PN •|x C ﹣x A |=12×|―14n 2+n |×4＝|―12n 2+2n |=12S △ACM＝1，解得n ＝2+22+2―∴P 点的坐标为（22―2+2―故答案为：（2+）或（2―22―。
2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷及答案
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册21.1-22.1。
6．难度系数：0.8。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则x2﹣x＝（）A．﹣2B．6或﹣2C．6D．32．方程中x（x﹣1）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣1B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝0D．x1＝x2＝13．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．且k≠0D．5．若方程x 2﹣4x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则+的值为（）A ．2B ．﹣2C ．D ．6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（）A ．20.3%B ．25.2%C ．29.3%D ．50%7．下列有关函数y ＝（x ﹣1）2+2的说法不正确的是（）A ．开口向上B ．对称轴是直线x ＝1C ．顶点坐标是（﹣1，2）D ．函数图象中，当x ＜0时，y 随x 增大而减小8．若x ＝2是方程x 2﹣x +c ＝0的一个根，则c 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣29．二次函数y ＝a （x ﹣t ）2+3，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 和t 满足（）A ．a ＞0，t ≤1B ．a ＜0，t ≤1C ．a ＞0，t ≥1D ．a ＜0，t ≥110．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x 2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
人教版九年级上册数学第一次月考试卷及答案
人教版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．方程x 2-4x-3=0的一次项系数和常数项分别为（）A ．4和3B ．4和﹣3C ．﹣4和﹣3D ．﹣4和32．抛物线24y x =-与y 轴的交点坐标为（）A ．()0,4B ．()4,0C ．()0,4-D ．()4,0-3．把方程x 2﹣4x ﹣1＝0转化成（x+m ）2＝n 的形式，则m ，n 的值是（）A ．2，3B ．2，5C ．﹣2，3D ．﹣2，54．若关于x 的一元二次方程230x x a -+=的一个根为1，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．－2D ．－15．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0根的情况是（）A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根6．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知抛物线y ＝x 2+x-1经过点P(m ，5)，则代数式m 2+m+100的值为（）A ．104B ．105C ．106D ．1078．把二次函数y ＝－x 2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）A ．y ＝－（x －2）2＋5B ．y ＝－（x ＋2）2＋5C ．y ＝－（x －2）2－5D ．y ＝－（x ＋2）2－59．设1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(1,)C y ，是抛物线2(1)y x m =+-上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 210．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b 2＜4ac ；③9a+3b+c ＜0；④2c ＜3b ．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．方程x2﹣4x＝0的解为______．12．方程（m-1）21m x++3x+5=0为一元二次方程，则m的值为___．x x+=______．13．已知方程2+-=的两根分别为1x和2x，则12x x243014．抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标为_______．15．有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染______人．16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集_____．x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，17．如图，把抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12三、解答题18．解方程：2670-+=x x19．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．20．一条抛物线经过点A(-2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0的两实根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）如果x12+x22＝x1x2+33，求m的值．22．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．（1）设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为米；（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AD的长．23．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；求x为何值时y的值为1920；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少．24．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0…①解得y1＝﹣2，y2＝3，当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝﹣3，解得x＝所以原方程的解为x1x2问题：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）利用以上学习到的方法解下列方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．-，与y 25．如图，抛物线2y x bx c=++与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(3,0)D--在抛物线上．轴交于点C，点(2,3)（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA PD的最小值；△的面积为6，求点Q的坐标．（3）若抛物线上有一动点Q，使ABQ参考答案1．C【分析】根据ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【详解】解：x2-4x-3=0的一次项系数和常数项分别为-4，-3．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．C【解析】【分析】求图象与y轴的交点坐标，令x＝0，求y即可．【详解】当x＝0时，y＝-4，所以y轴的交点坐标是（0，-4）．故选：C．【点睛】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点，解题的关键是熟知函数图像的特点．3．D【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，∴m＝﹣2，n＝5，故选：D．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的集中常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程特点选择合适、简便的方法是解题关键．4．A【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，即可得到关于a的方程，再求解即可．【详解】解：根据题意得：1-3+a=0解得：a=2．故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．5．B 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac -与0的大小关系，即可得出方程根的情况．【详解】解：2x 2－3x ＋1＝0，2,3,1a b c ==-=，∴224(3)42110b ac -=--⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于掌握根的判别式的应用，即240b ac ->，方程有两个不相等的实数根；240b ac -=，方程有两个相等的实数根；240b ac -<，方程无实数根．6．D 【解析】【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：12x （x ﹣1）＝36，化简，得x 2﹣x ﹣72＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．7．C【解析】【分析】把P（m，5）代入y＝x2+x﹣1得m2+m＝6，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：把P（m，5）代入y＝x2+x﹣1得m2+m﹣1＝5，所以m2+m＝6，所以m2+m+100＝6+100＝106．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了整体思想的应用．8．A【解析】【分析】根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．【详解】解：把二次函数y＝－x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象是y＝－（x－2）2＋5，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．9．D【解析】【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点C的对称点C ，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【详解】解： 函数的解析式是2(1)y x m =+-，∴对称轴是直线1x =-，∴点C 关于对称轴的点C '是1(3,)y -，那么点A 、B 、C '都在对称轴的左边，而对称轴左边y 随x 的增大而减小，于是312y y y >>．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是利用二次函数的对称性得出C 关于对称轴的点C '．10．B 【解析】【分析】①函数对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，c ＞0，即可求解；②根据抛物线与x 轴有两个交点，由判别式即可得解；③当x=3时，y ＜0，即可求解；④函数的对称轴为：x=1，故b=-2a ，结合③的结论，代入9a+3b+c ＜0，即可得解；【详解】解：①函数对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，c ＞0，故①错误，不符合题意；②抛物线与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，所以b 2＞4ac ，故②错误，不符合题意；③x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故正确，符合题意；④函数的对称轴为：x ＝1，故b ＝﹣2a ，∴2b a =-,由③知9a+3b+c ＜0，代入得302bc -+<，故2c ＜3b 正确，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．11．x 1＝0，x 2＝4【解析】【分析】24x x -提取公因式x ，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．【详解】解：240x x -=，(4)0x x -=，0x =或40x -=，10x =，24x =，故答案是：10x =，24x =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法，该题运用了因式分解法．12．-1【解析】【分析】把含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的概念即可完成．【详解】由题意得：212m +=且m-1≠0解得：m=－1即当m=－1时，方程（m-1）21m x ++3x+5=0是一元二次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般形式为20ax bx c ++=，其中a≠0，且a ，b ，c 是常数，理解概念是关键．13．2-【解析】【分析】方程()200++=≠ax bx c a 的两根分别为1x 和2x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=根据根与系数的关系直接计算即可.【详解】解： 方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，1242.2b x x a ∴+=-=-=-故答案为： 2.-【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的根与系数的关系”是解题的关键.14．（3，1）【解析】【分析】由抛物线解析式可求得答案．【详解】根据二次函数的性质,由顶点式直接得出顶点坐标为（3，1）．故答案是（3,1）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在()2y a x h k =-+中，对称轴为直线x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．15．24【解析】【分析】根据题意列一元二次方程，解方程即可【详解】设每轮传染中平均一人传染x 人，则第一轮有(1)x +人感染，第二轮有2(1)x +人感染，根据题意可得：2(1)=625x +解得：1224,26x x ==-（不符题意，舍去）故答案为24【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．16．1＜x ＜3【解析】【分析】直接写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为1＜x ＜3．故答案为1＜x ＜3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．17．272【解析】【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可.【详解】过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，设PQ 交x 轴于点N ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3.∴平移后的二次函数解析式为：y=12（x+3）2+h ，将（﹣6，0）代入得出：0=12（﹣6+3）2+h ，解得：h=﹣92.∴点P 的坐标是（3，﹣92）．根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=9273=22⨯-18．13x =+23x =【解析】【分析】根据方程特点，先将方程变形为267-=-x x ，则利用配方法求解即可．【详解】解：∵2670x x -+=，∴267-=-x x ，则26979x x -+=-+，即2(3)2x -=，∴3x -=∴13x =+23x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．19．（1）抛物线的对称轴x=52，顶点坐标为（52，212）；（2）抛物线交y 轴于（0，﹣2），交x 轴于（2，0）或（12，0）．【解析】【分析】（1）把二次函数y=-2x 2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；（2）令x=0可求图象与y 轴的交点坐标，令y=0可求图象与x 轴的交点坐标；【详解】（1）∵y=﹣2（x 2﹣52x+2516﹣2516）﹣2=﹣2（x ﹣54）2+98，∴抛物线的对称轴x=54，顶点坐标为（54，98）．（2）对于抛物线y=﹣2x 2+5x ﹣2，令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到﹣2x 2+5x ﹣2=0，解得：x=2或12，∴抛物线交y 轴于（0，﹣2），交x 轴于（2，0）或（12，0）．20．()211 3.3y x =--【解析】【分析】设抛物线为：()2,y a x h k =-+根据抛物线的顶点坐标求解,h k ，再把()2,0A -代入解析式可得答案．【详解】解：设抛物线为：()2,y a x h k =-+ 抛物线的顶点是(1，－3)，1,3,h k ∴==-∴抛物线为：()213,y a x =--把()2,0A -代入抛物线得：()22130,a ---= 93a ∴=，1,3a ∴=∴抛物线为：()211 3.3y x =--【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，根据题意设出合适的抛物线的解析式是解题的关键．21．（1）m≥-2；（2）m=2．【解析】【分析】（1）根据判别式在大于等于0时，方程有两个实数根，确定m 的值；（2）根据根与系数的关系可以求出m 的值．【详解】解：（1）∵△≥0时，一元二次方程有两个实数根，Δ=[2（m+1）]2-4×1×（m 2-3）=8m+16≥0，m≥-2，∴m≥-2时，方程有两个实数根．（2）∵x 12+x 22＝x 1x 2+33，∴21212()3x x x x +-=33，∵1222b x x m a+=-=+，2123c x x m a ⋅==-，∴22(22)3(3)m m +--=33，解得m=2或-10（舍去），故m 的值是m=2．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记住12b x x a +=-，12c x x a⋅=-．22．（1）（36﹣2x ）；（2）AD ＝10米【解析】【分析】（1）设AD ＝x 米，则BC ＝AD ＝x 米，利用CD 的长＝篱笆的长＋门的宽﹣2AD ，即可用含x 的代数式表示出CD 的长；（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合墙的长度为18米，即可确定AD 的长．【详解】（1）设AD ＝x 米，则BC ＝AD ＝x 米，∴CD ＝34＋2﹣2AD ＝34＋2﹣2x ＝（36﹣2x ）米．故答案为：（36﹣2x ）．（2）依题意得：x （36﹣2x ）＝160，化简得：x2﹣18x＋80＝0，解得：x1＝8，x2＝10．当x＝8时，36﹣2x＝36﹣2×8﹣20＞18，不合题意，舍去；当x＝10时，36﹣2x＝36﹣2×10＝16＜18，符合题意．故AD的长为10米．【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，注意：求得的两个解要检验是否符合题意．23．（1）x=2；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【解析】【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可．【详解】解：（1）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；令y=1920得：1920=﹣10x2+80x+1800x2﹣8x+12=0，（x﹣2）（x﹣6）=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，（2）由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x=802(10)-⨯-=4时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【点睛】本题考查考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．24．（1）换元，化归；（2）x 1＝0，x 2＝﹣5【解析】【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想，据此可得答案；（2）令y ＝x 2+5x ，得到关于y 的一元二次方程，解之求出y 的值，从而得到两个关于x 的一元二次方程，分别求解可得．【详解】解：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；故答案为换元，化归．（2）令y ＝x 2+5x ，则原方程化为（y+1）（y+7）＝7，整理，得：y 2+8y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝﹣8，当y ＝0时，x 2+5x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣5；当y ＝﹣8时，x 2+5x ＝﹣8，即x 2+5x+8＝0，∵△＝52﹣4×1×8＝﹣7＜0，∴此方程无解．综上，方程（x 2+5x+1）（x 2+5x+7）＝7的解为x 1＝0，x 2＝﹣5．【点睛】本题考查利用换元法解方程，熟练掌握该方法是解题关键.25．（1）223y x x =+-；（2）（3）点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-+或(1-【解析】【分析】（1）将A 、D 点代入抛物线方程2y x bx c =++，即可解出b 、c 的值，抛物线的解析式可得；（2）点C 、D 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，点P 即为AC 与对称轴的交点，PA+PD的最小值即为AC 的长度，用勾股定理即可求得AC 的长度；（3）求得B 点坐标，设点()2,23Q m m m +-，利用三角形面积公式，即可求出m 的值，点Q 的坐标即可求得．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点(3,0),(2,3)A D ---，∴930,423,b c b c -+=⎧⎨-+=-⎩解得2,3,b c =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+-．（2）由（1）得抛物线223y x x =+-的对称轴为直线1,(0,3)x C =--．∵(2,3)D --，∴C ，D 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，可知，当点P 为直线AC 与对称轴的交点时，PA PD +取得最小值，∴最小值为AC ==（3）设点()2,23Q m m m +-，令2230y x x =+-=，得3x =-或1，∴点B 的坐标为(1,0)，∴4AB =．∵6QAB S = ，∴2142362m m ⨯⨯+-=，∴2260m m +-=或220m m +=，解得：1m =-1-0或2-，∴点Q 的坐标为(0,3)-或(2,3)--或(1-或(1-．【点睛】本题考察了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答。
九年级数学上册第一次月考试卷(含答案)
更
a b c 0, a b c 2 ， 所 以 a c 1 ， 所 以 a 1 c ，因为 c＜0，所以 a 1 ，所以②③④正确.
考点：二次函数图象的性质. 11．-3． 【解析】 2 试题分析：根据一元二次方程的定义得到 m-3≠0 且 m -7=2，然 后解不等式和方程即可得到满足条件的 m 的值． 2 试题解析：根据题意得 m-3≠0 且 m -7=2， 所以 m=-3． 考点：一元二次方程的定义． 12．
九年级上册第一次月考试卷
满分 100 分，时间 60 分钟
一、选择题（每题 3 分，共 24 分）
1．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 x a 0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（
2
）
A．4
2
B．－4
C．1
D．－1
3 2
2．如果 x x 1 0 ，那么代数式 x 2 x 7 的值是( A、6 B、8 C、-6 D、-8
∠PAD+∠BAP=90°， x2 x 1 ， 所 以 ∴∠APB=∠PAD， 3 2 3 2 2 2 2 2 x 2 x 7 x x x 7 x ( x x ) x 7 x x又∵∠B=∠DEA=90°， 7 1 7 6 ∴△ABP∽△DEA，
22．某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所 示（其中 x 为正整数，且 1≤x≤10）：
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为 x 的产品时，当天的利润为 y 万元． （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
无锡市辅仁中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考卷数学试题
辅仁中学2023-2024学年上学期10月九年级数学初三数学练习一、选择题1.下列方程中是一元二次方程的是（）A.2221x x x +=- B.20ax bx c ++=C.223250x xy y --= D.()()121x x ++=2.下列命题：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；②相等的弧所对的圆周角相等；③经过圆内任意一点可以作一条直径；④弧分为优弧和劣弧，其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.点P 为半径为3的O 上一点，若PQ 3=，则点Q 与O 的位置关系为（）A.在⊙O 外B.在⊙O 上C.在⊙O 内D.都有可能4.如图，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（）A.35°B.55°C.70°D.110°5.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是A.50（1+x 2）=196B.50+50（1+x 2）=196C.50+50（1+x ）+50（1+x ）2=196D.50+50（1+x ）+50（1+2x ）=1966.半径为2的圆中，弦AB AC 、的长分别2和22，则BAC ∠的度数是（）A.15︒B.15︒或45︒C.15︒或75︒D.15︒或105︒7.如图，AB 是半圆直径，半径OC AB ⊥于点O ，AD 平分CAB ∠交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ．下列结论：①AC OD ∥；②CE OE =；③OED AOD ∠=∠；④CD DE =．其中正确的结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，AB 是⊙O 的直径，点C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为()A.100°B.110°C.115°D.120°9.如图，E 是O 的直径AB 上一点，10AB =，2BE =，过点E 作弦CD AB ⊥，P 是弧AB 上一动点，连接DP ，过点A 作AQ PD ⊥，垂足为Q ，则OQ 的最小值为（）A.5 B.25 C.352 D.35410.已知在扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，4OB =，C 为弧AB 的中点，D 为半径OB 上一动点，点B 关于直线CD 的对称点为M ，若点M 落在扇形OAB 内（不含边界），则OD 长的取值范围是()A.42422OD << B.2242OD <<C.022OD << D.4224OD -<<二、填空题：11.方程223x x =的解是______．12.已知P 为O 内一点，1OP =，如果O 的半径是2，那么过P 点的最短弦长是______．13.已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为______．14.圆内接四边形ABCD 的内角::2:3:4A B C ∠∠∠=，则D ∠=________度．15.在半径为13的O 中，弦AB CD ，弦AB 和CD 间的距离为7，若24AB =，则CD 的长为_____________．16.如图，AB 为O 的直径，点E 是BA 延长线上的一点，EC 交O 于点D 、C ，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则DOE ∠的度数为______．17.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A B C D A →→→→滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B C D A B →→→→滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路径长为______．18.如图，已知矩形ABCD 中，4AB =，5BC =，点E 在CD 边上，点F 为BE 的中点，将EF 绕点E 逆时针旋转90︒得EG ，当CE =______时，点A 、C 、G 三点共线．三、解答题19.解方程：（1）()219x +=；（2）2210x x +-=；（3）24280x x -+=；（4）()()233340x x +++-=．20.已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=有一个相同的根，求此时m 的值．21.（1）如图1，AB 是O 的直径、C 、D 是O 上的两点，若20BAC =︒∠，弧AD =弧CD ．求：①ADC ∠的度数；②求DAC ∠的度数；（2）如图2，O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若O 的半径为4，求弦AB 的长．22.（1）如图①，用尺规作图作出圆的一条直径EF （不写作法,保留作图痕迹）；（2）如图②，A 、B 、C 、D 为圆上四点，AB ∥CD ，AB ＜CD ，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF （不写画法，保留画图痕迹）．23.如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度32AB =米，拱高8CD =米．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端点B 的4米处欲立一桥墩EF 支撑，求桥墩EF 高度．24.某厂家授权一淘宝卖家销售该厂生产的儿童写字台，双方就每套写字台的进价与销售达成如下协议：若当月仅售出1套写字台，则写字台的进价为800元/套，在此基础上，每多售出1套，进价就降低10元/套（即售出2套时、进价为790元/套，依此类推）但每套进价不低于500元．月底厂家将一次性返利付给淘宝实家，当月所售写字台可返利50元/套．（1）若该淘宝卖家当月售出5套，则每套写字台的进价为______元，若该淘宝卖家当月售出35套，则每套写字台的进价为______元；（2）如果写字台的销售价为1200元，该卖家计划当月盈利9600元，那么要卖出多少套写字台?（盈利=销售利润+返利）25.如图，在ABC 中，AC BC =，D 是AB 上一点，⊙O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交⊙O 于点F ，求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形（2）AF EF =26.如图1、在直角坐标系中，()5,0A ，()0,8B ，P 是y 轴的正半轴上一动点，（1）C 是直线AP 上一动点，连接BC ，若点C 在第二象限，且ABC 为等腰直角三角形，求出所有满足条件的点C 的坐标；（2）如图2，作点O 关于直线AP 的对称点Q ，连接AQ PQ 、，过直线AB 上一点D 作x 轴的平行线，交y 轴于点E ，已知点D 的横坐标为52①连接BQ ，BQ 的最小值为______．②当点Q 落在直线DE 上时，求APQ △的面积．27.图，在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，AC =3，AB =4，AD ⊥BC 于点D ，射线CE 平行AB 交AD 的延长线于点E ，P 是射线CE 上一点（在点E 的右侧），连结AP 交BC 于点F ．（1）求证：~ACE BAC ．（2）若35CE EP =，求PF AF 的值；（3）以PF 为直径的圆经过△BDE 中的某一个顶点时，求所有满足条件的EP 的长．答案部分一、选择题【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】A二、填空题：【11题答案】【答案】10x =，232x =【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【15题答案】【答案】10或【16题答案】【答案】20︒【17题答案】【答案】2π【18题答案】【答案】2514三、解答题【19题答案】【答案】（1）12x =，24x =-（2）11x =-+21x =-（3）12x x ==（4）17x =-，22x =-【20题答案】【答案】（1）4k <且2k ≠（2）0或83-【21题答案】【答案】（1）①110ADC ∠=︒；35DAC ∠=︒；（2）【22题答案】【答案】见解析【23题答案】【答案】（1）20米（2）4m【24题答案】【答案】（1）760；500（2）要卖出16套写字台【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【26题答案】【答案】（1）点C 的坐标为()8,3-或33,22⎛⎫-⎪⎝⎭（25-；②APQ △的面积为258或25【27题答案】【答案】（1）证明过程见解析（2）32（3）8128或4或0。
江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知Rt ABC V 中，90C o ∠=，3AC =，4BC =，以C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 有两个交点，则r 的取值范围是（ ）A ．125r =B ．125r >C ．34r <<D ．1235r <≤ 2．关于x 的一元二次方程2(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则实数a 的值为A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x 2﹣13x +15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．8B ．11.5C ．10D ．8或11.5 4．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a ---的值为（ ）A B C ．﹣1 D ．1 5．关于x 的方程()20a x m b ++=的解是122,1=-=x x （a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程()220a x m b +++=的解是（ ） A ．122,1=-=x xB ．121,3==x xC ．124,1=-=-x xD ．无法求解6．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有实数根，设此方程得一个实数根为t ，令24454y t t m =--+，则（ ）A ．2y >-B ．2y ≥-C ．2y ≤-D ．2y <- 7．已知关于x 的方程25ax bx c ++=的一个根是2，且二次函数2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =，则这条抛物线的顶点坐标为（ ）A ．(2,3)-B ．(2,1)C ．(2,5)D ．(5,2) 8．如图，在同一平面直角坐标系中，函数2(0)y ax a =+≠与22(0)y ax x a =--≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A ．()3,6--B ．()3,0-C ．()3,5--D ．()3,1--二、填空题10．已知关于x 的方程（m ＋2）x ²＋4m x ＋1＝0是一元二次方程，则m 的取范围值是． 11．方程220210x x -=中较小的根是 ．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(0,1)和，则OAB △外接圆的圆心坐标是 ．13．若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程27100x x -+=，则此三角形的周长为．14．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是． 15．如图，在等腰直角△ABC 中，斜边AB 的长度为8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为．16．若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是． 17．已知8ab -=，160ab +≤，则2+a b 的值为．18．如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，∠A ＝30°，OB ＝4，以点O 为圆心，OB 为半径画弧，分别交OA 、AB 于点C 、D ，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）19．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a +b ＝0；③a ﹣b +c ＜0；④b 2＞4ac ；⑤当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，你认为其中正确的是 .（填序号）20．当1x ≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为．三、解答题21．如图，AD 为ABC V 外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．(1)求证：BD CD =；(2)请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．22．已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根为1，且a 、b 满足b ，求c 的值．23．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m 2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x 1，x 2满足12123x x x x ++＝，求m 的值．24．矩形ABCD 中，AB =17，BC P 在AB 边上，且满足AP =3PC ，求PB 之长．25．已知CD 为△ABC 的中线，∠A 及∠BDC 的度数分别是方程x 2-75x +1350=0的两根， （1）求∠A 及∠BDC 的度数；（2）求∠B 的度数．26．王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，2(2)0x +≥Q ，2(2)11x ∴++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．245x x ∴++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为 ．(2)求代数式21032x x ++的最小值．(3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x y +的最小值．27．如图一，AB 是O e 的直径，AC 是弦，直线EF 和O e 相切与点C ，AD EF ⊥，垂足为D ．（1）求证：CAD BAC ∠=∠；（2）如图二，若把直线EF 向上移动，使得EF 与O e 相交于G ，C 两点（点C 在点G 的右侧），连结AC ，AG ，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与CAD ∠相等的角．若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．。
福建省厦门市湖里中学2024-2025学年上学期九年级数学第一次月考试卷
福建省厦门市湖里中学2024-2025学年上学期九年级数学第一次月考试卷一、单选题1．关于x 的一元二次方程2470x x --=的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．4-D ．7-2．2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ）A ．43.8410⨯B ．53.8410⨯C ．63.8410⨯D ．538.410⨯ 3．已知：抛物线的解析式为()2321y x =-++，则抛物线的对称轴是直线（ ）A ．2x =B ．1x =C ．2x =-D ．=1x - 4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ） A ．16- B ．4- C ．4 D ．165．在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x 个，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．1(1)1102x x +=B ．1(1)1102x x -= C ．(1)110x x += D ．(1)110x x -=6．已知二次函数221y ax ax =-+（a 为常数，且0a >）的图象上有三点()12,A y -，()21,B y ，()33,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．123y y y <> 7．图1，图2分别是某厂六台机床十月份第一天和第二天生产零件数的统计图，与第一天相比，第二天六台机床生产零件数的平均数与方差的变化情况是（ ）A ．平均数变大，方差不变B ．平均数变小，方差不变C ．平均数不变，方差变小D ．平均数不变，方差变大8．如图所示的是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是（ ）A ．15x -<<B ．5x >C ．1x <-且5x >D ．1x <-或5x > 9．如图，在Rt ABC △中，2AC BC ==，点D 在AB 的延长线上，且CD AB =，则BD 的长是（ ）A B C ．2 D ．10．如表中列出了二次函数20y ax bx c a =++≠（）的一些对应值，则一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的一个近似解x 的范围是（ ）A ．10x -＜＜B ．01x ＜＜C ．23x ＜＜D ．34x ＜＜二、填空题11．关于x 的方程()23320m x mx +-+=是一元二次方程，则m 的取值范围是．12．把抛物线2y x =的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为． 13．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是1(10)(4)12y x x =--+，则铅球推出的距离OA =m ．14．如果m 、n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则多项式2n mn m -+的值是 15．为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为x ，依题意可列方程为．16．已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线()2220=-≠y ax a x a 上的两点．若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，则a 的取值范围为．三、解答题17．解方程(1)220x x +=；(2)22510x x -+=18．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 在边DC 上，若∠DAF ＝∠CBE ，求证：AF ＝BE ．19．先化简再求值：22241244x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中2x =． 20．已知二次函数()214y x =--+，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 21．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，共分三组：.90100A x ≤≤，.8090B x ≤<，.7080C x ≤<），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a =______，b =______，m =______：(2)该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（90x ≥）的总共有多少人？22．如图，在ABC V 中，60ABC ∠=︒，AC 沿AB 方向平移BC 长，得DE ，连接BE ．∠的度数；(1)求CBE(2)在BC取一点F，且BF BD=．=，连接AF，求证：AF DE23．2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量y （个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式；(2)当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？24．如图1，已知四边形ABCD是矩形，BC k AB=⋅，E，F是AD，BC边上的点，以直线EF为对称轴将矩形进行折叠，点A，B的对称点分别是G，H，点H落在CD边上，HG 交AD于点P．(1)如图2，当点H 与点D 重合时，连接BE ，求证：四边形BEDF 是菱形：(2)当1k =时，若5BF =，8AB =，求EF 的长．25．定义：对于二次函数2y ax bx c =++，当自变量x 满足p x q ≤≤时，函数值y 的取值范围也为p y q ≤≤，则称二次函数．2y ax bx c =++是p x q ≤≤上的“等域函数”．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ．(1)若2b =-，且抛物线经过点()10，，()01，． ①求a ，c 的值；②若2y ax bx c =++是()02x t t ≤≤>上的“等域函数”，求t 的值：(2)在a b c <<的情况下，记点B 的横坐标为B x ，经过点B 的直线y ax m =-+与抛物线交于点()C C C x y ，．若3322BOC S c b =-△，是否存在二次函数2y ax bx c =++是B C x x x ≤≤或C B x x x ≤≤上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．。
人教版九年级上册数学第一次月考试卷含答案
人教版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A 0=B ．2x +1=0C ．20y x +=D ．21x =12．方程（x+3）（x-4）=0的根是（）A ．123,4x x =-=B ．123,4x x ==C ．1234,x x ==-D ．123,4x x =-=-3．已知关于x 的方程260--=x kx 的一个根为x=4，则实数k 的值为（）A ．25B ．52C ．2D ．54．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=5．已知方程2380x x --=的两个解分别为12,x x ，则1212,x x x x +⋅的值分别是（）A ．3，-8B ．-3，-8C ．-3，8D ．3，86．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（）A ．236(1)3625x -=-B ．236(12)25x -=C ．236(1)25x -=D ．225(1)36x -=7．抛物线22(2)1y x =-+的顶点坐标是（）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()1,2D ．()1,2-8．抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程20ax bx c ++=的解是（）A ．x=-1B ．x=3C ．x=-1或x=3D ．无法确认9．将抛物线y=4x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．y=4（x+1）2+3B ．y=4（x ﹣1）2+3C ．y=4（x+1）2﹣3D ．y=4（x ﹣1）2﹣310．二次函数2(2)1y x =+-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．将方程()()3152x x x -=+化为一元二次方程的一般式______．12．一元二次方程x 2﹣4=0的解是_________．13．已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______14．函数243y x x =-++有_____（填“最大”或“最小”），所求最值是_______15．抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0)，则这条抛物线的对称轴是x =______.16．已知二次函数23(1)y x k =-+的图象上三点1(2,)A y ，2(3,)B y ，3(4,)C y -，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_____．17．将抛物线247y x x =++沿竖直方向平移，使其顶点在x 轴上，且过点A （m ，n ），B （m+10，n ），则n=________三、解答题18．解方程：（1）2410x x --=（2）()255x x-=-19．已知抛物线y=4x 2-11x-3.(1)求它的对称轴;(2)求它与x 轴,y 轴的交点坐标.20．已知关于x 的方程（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根；（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．如图，抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）．（1）求此抛物线的解析式：（2）设抛物线的顶点为B ，求∆OAB 的面积S ．22．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m ，另外三边木栏围着，木栏长40m ．（1）若养鸡场面积为200m 2，求鸡场靠墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m 2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由23．已知抛物线()2114y a x =-+与直线21y x =+的一个交点的横坐标是2（1）求a 的值；（2）请在所给的坐标系中，画出函数21(1)4y a x =-+与21y x =+的图象，并根据图象，直接写出12y y ≥时x 的取值范围24．大润发超市以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现每天的销售量y （件）与每件的销售价x （元）之间满足一次函数1623y x=-（1）写出超市每天的销售利润w （元）与每件的销售价x （元）之间的函数关系式；（2）如果超市每天想要获得销售利润420元，则每件商品的销售价应定为多少元？（3）如果超市要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元最合适？最大销售利润为多少元？25．如图所示，抛物线2y x mx n =-++经过点A （1，0）和点C （4，0），与y 轴交于B（1）求抛物线所对应的解析式．（2）连接直线BC ，抛物线的对称轴与BC 交于点E ，F 为抛物线的顶点，求四边形AECF 的面积．（3）x 轴上是否存在一点P ，使得PB+PE 的值最小，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．参考答案1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．238100x x --=12．x=±213．34m >且2m ≠14．最大715．116．123y y y <<17．2518．（1）2x =±，（2）5x =或4x =19．（1）x=118（2）该抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)，1-,04⎛⎫⎪⎝⎭；该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,-3).20．（1）m=1；0（2）见解析21．（1）y ＝−x 2＋2x ；（2）122．（1）20m ．（2）不能达到250m 2，理由见解析．23．（1）a=-1；（2）图见解析，-1≤x≤224．（1）w=－32x +252x －4860；（2）40或44；（3）42元，432元25．（1）254y x x =-+-；（2）458；（3）存在，P （2011，0）。
九年级数学第一次月考卷01(全解析)【九年级上册第二十一章~第二十二章】人教版-初中上学期第一次月考
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01（人教版）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x―2y=1B．x2―2x+1=0C．x2―2y+4=0D．x2+3=2x2．将方程x2―8x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A．―8，―10B．―8，10C．8，―10D．8，10【答案】A【详解】将x2―8x=10化为一般形式为：x2―8x―10=0，∴一次项系数、常数项分别是-8，-10.故选A.3．对于二次函数y=3(x+4)2，其图象的顶点坐标为（）A．(0,4)B．(0,―4)C．(4,0)D．(―4,0)【答案】D【详解】解：因为二次函数y=3(x+4)2，所以其图象的顶点坐标为(―4,0)．故选：D．4．一元二次方程x2―2x+3=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【答案】C【详解】∵Δ=(―2)2―4×1×3=―8<0，∴一元二次方程没有实数根.故选：C．5．淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（）A．5(1+x)=9.8B．5(1+2x)=9.8C．5(1―x)2=9.8D．5(1+x)2=9.86．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是ℎ=30t―5t2．小球运动到最高点所需的时间是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【详解】解：ℎ=30t―5t2=―5(t―3)2+45，∵―5＜0，∴当t=3时，ℎ有最大值，最大值为45．故选：B．7．中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出72条信息，设这个微信群的人数为x，则根据题意列出的方程是（）A ．x(x ―1)=72B ．12x(x +1)=72 C ．x(x +1)=72D ．12x(x ―1)=72【答案】A【详解】解：根据题意可得x (x ―1)=72，故选：A ．8．如果三点P 1(1,y 1),P 2(3,y 2)和P 3(4,y 3)在抛物线y =―x 2+6x +c 的图象上，那么y 1,y 2与y 3之间的大小关系是（ ）A ．y 1<y 3<y 2B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 2<y 3【答案】A【详解】解：∵y =-x 2+6x +c =-（x -3）2+9+c ，∴图象的开口向下，对称轴是直线x =3，P 1（1，y 1）关于对称轴的对称点为（5，y 1），∵3＜4＜5，∴y 2＞y 3＞y 1，故选：A ．9．对于二次函数y =(x ―1)2―2的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是直线x =―110．如图是抛物线y ＝a(x ＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴的交点坐标是( )A．(1，0)B．(1，0)C．(2，0)D．(3，0)211．二次函数y=x―+3的图象(1≤x≤3)如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y4的取值范围是（）A．y≥1B．1≤y≤3C．3≤y≤3D．0≤y≤3412．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）A．4B．﹣1或4C．0或4D．1或4【答案】D【详解】解：∵a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，∴关于x的方程x⊗k＝0（k为实数）化为(x―k)2―k=0，∵x＝2是这个方程的一个根，∴4-4k+k2-k=0，解得：k1=4,k2=1，故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．把方程x2=2x―3化为一般形式是．【答案】x2―2x+3=0【详解】解：由x2=2x―3得：x2―2x+3=0，故答案为：x2―2x+3=0．14．已知x=1是方程x2+bx―2=0的一个根，则b的值为．15．若x1，x2是一元二次方程x2+2x―5=0的两个根，则x1+x2=．【答案】―2【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x―5=0的两个根，方程中二次项系数a=1，一次项系数b=2，常数项c=―5，∴x1+x2=―2．故答案为：―2．16．若抛物线y=(m―1)x m2―2―mx有最小值，则常数m的值为．【答案】2【详解】解：∵抛物线y=(m―1)x m2―2―mx有最小值，∴m―1>0（开口向上），m2―2=2，解得m>1，m=±2，即m=2，故答案为：2.17．已知等腰三角形的底边长为7，腰长是x2―8x+15=0的一个根，则这个三角形周长为．【答案】17【详解】解：x2―8x+15=0，(x―5)(x―3)=0，x―5=0，x―3=0，x1=5，x2=3，即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是5+5+7=17；②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，故答案为：17．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．故答案为k＜5．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：(1)x（2x+1）＝2x+1；(2)4x2﹣3x＝x+1．20．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a―2=0．(1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．△=a2―4×1×(a―2)=a2―4a+8=(a―2)2+4，（4分)∵(a―2)2≥0，∴(a―2)2+4≥4，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；(6分）21．（10分）已知二次函数y=―x2+2x+3；(1)把该二次函数化成y=a(x+m)2+k的形式为______；(2)当x______时，y随x的增大而增大；(3)若该二次函数的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．22．（10分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．【详解】解：（1）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，（2分）解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．（5分）（2）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，（7分）整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．（10分）23．（10分）为了加强安全教育，某校对学生进行“防溺水知识应知应答”测评．该校随机选取了八年级300名学生中的20名学生在10月份测评的成绩，数据如下：收集数据：9791899590999097919890909188989795909688整理、描述数据：数据分析：样本数据的平均数、众数、中位数和极差如表：平均数中位数众数极差93b c d(1)a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；(2)该校决定授予在10月份测评成绩优秀（96分及以上）的八年级的学生“防溺水小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的人数．(3)若被选取的20名学生在11月份测评的成绩的平均数、众数、中位数和极差如表：平均数中位数众数极差95939410结合相关数据，从一个方面评价10月份到11月份开展的“防溺水知识应知应答”测评活动的效果．24．（10分）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？【详解】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为256(1+m)2，根据题意得：256(1+m)2=400，解得：m1=0.25=25%，m2=―2.25（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；（4分）（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y―35)元，月销售量为400+20(58―y)=(1560―20y)（件)，根据题意得：(y―35)(1560―20y)=8400，（7分）整理得：y2―113y+3150=0，解得：y1=50，y2=63（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．（10分）25．（10分）如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形ABCD的四条边上运动，四边形EFGH也是正方形．(1)求证：△AEH≌△BFE；(2)设AE的长为x，正方形EFGH的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)在（2）的条件下，当AE的长为多少时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=―x2+bx+c交x轴于C(1,0)，D(―3,0)两点，交y轴于点E，连接DE．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在线段DE上，是否存在一点P，使得△DCP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点A(―3,5)，B(0,5)，连接AB，若二次函数y=―x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．∠PCM=45°，时，5=―9+6+3+m,解得m=5，∴当m=1，或2<m≤5时，函数图象与线段AB有一个公共点．（10分）。
九年级数学上册第一次月考【压轴大题】练习
九年级数学上册 | 第一次月考【压轴大题】练习【一】如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场ABCD，设BC边长为x米，鸡场的面积为y平方米.（1）求y与x的函数关系式；解：∵在矩形ABCD中，BC=x，∴CD=30-x/2=15－1/2x，∴y=x(15－1/2x)=－1/2x2+15x（2）写出其二次项、一次项、常数项；【解析】二次项为－1/2x2，一次项为15x，常数项为0（3）写出自变量x的取值范围.【解析】自变量的取值范围为：0＜x≤20.【二】如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；解：把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）(2)当0＜x＜3时，求y的取值范围；【解析】由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0；(3)点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．解：∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，设P（x，y），则S△PAB＝1/2AB•|y|＝2|y|＝10，∴|y|＝5，∴y＝±5；①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解；综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【三】已知二次函数y=a(x−2)2+3的图象经过点(−1,0).(1)求这个二次函数的解析式；解：把(−1，0)代入二次函数解析式得：9a+3=0，即a=−1/3，则函数解析式为y=−1/3 (x−2)2+3(2)分别指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：∵a=−1/3<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(2，3)，对称轴为直线x=2(3) 写出把此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式．解：抛物线y=−1/3 (x−2)2+3向右平移1个单位长度所得解析式为：y=−1/3 (x−3)2+3，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：y=−1/3 (x−3)2+3+2=−1/3 (x−3)2+5.故答案为y= −1/3 (x−3)2+5【四】在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1)，若射线OC上存在点P，使得ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是（0，2）；解：如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；解：如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=√OP²-PH²=√2²-1²=√3，观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜﹣√3．（2）若n＝√3，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t ≤4．解：如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C（√3，1），∴CH＝√3，OH＝1，∴tan∠COH＝CH/EH=√3，∴∠COH＝60°，当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝30°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝30°，∴OB＝BP/cos60°=2/(1/2)=4，此时t＝4﹣2＝2，如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA＝4，此时t＝4，此时符合题意．如图3﹣5中，当⊙A经过原点时，A（2，0），此时t＝2，观察图形可知，满足条件的t的值为：2＜t≤4，综上所述，满足条件t的值为﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4．【五】在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；解：∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝1/2BC，∵∠ACB＝90°∴∠DEC＝90°∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝1/2BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF＝=√CF²+CE²=√1²+2²=√5（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．解：AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，∠AED＝∠BMD，∠ADE＝∠BDM，AD＝BD，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．。
2024-2025学年江苏省连云港海宁中学九年级上学期第一次月考数学试题及答案
江苏省连云港海宁中学2024-2025学年初中九上数学第一次月考试题一．选择题（共8小题）1．已知任意实数满足等式x＝a2﹣4ab+4b2，y＝4a﹣8b﹣5，则x，y的大小关系是（）A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y2．一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（）A．12B．16C．20D．243．在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2）、Q（m，n2﹣1），其中m≥0，则下列函数的图象可能同时经过P、Q两点的是（）A．y＝2x+b B．y＝ax2+2ax+c（a＞0）C．y＝ax+2（a＞0）D．y＝﹣x2﹣2x+c（c＞0）4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞b；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；⑤c＜﹣2a，上述结论中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象，当△BEF的面积为10cm2时，运动时间t为（）A．s B．4s或s C．5s D．3s或7s6．已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（）A．a＝﹣3，b＝1B．a＝3，b＝1C．，b＝﹣1D．，b＝17．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（）A．k≥﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠1D．k＞2且k≠18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0二．填空题（共7小题）9．已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为．10．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不等的实根，则m的取值范围是．11．已知关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，则该方程的根是．12．当m＝时，关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0有两个相等的实数根．13．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝1，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根为．14．如图，二次函数y＝a（x﹣1）2的图象经过点A（﹣1，4），与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线x＝1上的动点，当四边形ABCD的周长最小时，则点D的坐标为．15．抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是．三．解答题（共9小题）16．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．17．我们在求代数式y2+4y+8的最小值时，可以考虑用如下法求得：解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．请用上面的方法解决下面的问题：（1）代数式m2+10m﹣6的最小值为；（2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为24m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），①AB的取值范围是；②当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？18．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售件．（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3072元？19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．20．已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．21．某数学兴趣小组研究函数y＝|x﹣1|的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当x≥1时，y＝x﹣1；当x＜1时，y＝1﹣x．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似的，研究函数y＝x|x﹣2|的图象时，他们已经画出了x≤2时的图象．（1）请你用描点法补全此函数的图象；（2）根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小？（3）当0≤x≤a时，y的最大值是1，最小值是0，请你直接写出a的取值范围．22．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C；（1）用配方法将二次函数y＝2﹣2x﹣3化为y＝a（x+h）2+k的形式；（2）观察图象，当0≤x＜4时，y的取值范围为；（3）设二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的顶点为M，求△ACM的面积．23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知A（﹣2，0），B （4，0），点Q为射线OB上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线BC于点D、E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接CD、AC，是否存在△CDE与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△P AO＝2S△PCO，求出P点的坐标；（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣4ab+4b2﹣（4a﹣8b﹣5）＝（a﹣2b）2﹣4（a﹣2b）+4+1＝[（a﹣2b）﹣2]2+1，∴[（a﹣2b）﹣2]2+1＞0，∴x＞y．故选：B．2．【解答】解：当a＝12时，方程为x2﹣8x﹣12＝0，解得不是整数，故A选项不符合题意；当a＝16时，方程为x2﹣8x﹣16＝0，解得不是整数，故B选项不符合题意；当a＝20时，方程为x2﹣8x﹣20＝0，解得x＝10或x＝﹣2是整数，故C选项符合题意；当a＝24时，方程为x2﹣8x﹣24＝0，解得不是整数，故D选项不符合题意；解法二：x＝4±，由选项可知，a＝20，符合题意．故选：C．3．【解答】解：∵m＞0，∴m﹣1＜m，∵n2＞n2﹣1，∴当m＞0时，y随x的增大而减小，A、y＝2x+b中，y随x的增大而增大，故A不可能；B、y＝ax2+2ax+c（a＞0）中，开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大故B不可能；C、y＝ax+2 中，a＞0，y随x的增大而增大，故C不可能；D、y＝﹣x2﹣2x+c中，开口向下，对称轴为直线x＝＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故D有可能，故选：D．4．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴为：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①不正确，∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＝0，∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，故②不正确，∵b＝﹣2a，∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0，故③正确，∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0，∴函数的最大值为：a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0），∴a+b＞am2+bm，故④正确，由上知，a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，∴c＝﹣3a＞﹣2a，故⑤不正确，∴③④正确，故选：B．5．【解答】解：由图1、图2可知，当t＝6时，点F与点C重合；当6＜t≤10时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动4s，∵四边形ABCD是平行四边形，点F、点E的速度都是1cm/s，∴CD＝AB＝1×10＝10（cm），BC＝1×6＝6（cm），∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴BD＝＝＝8（cm），当0＜t≤6时，如图3，作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝∠CBD＝90°，∵AB∥CD，∴∠GBF＝∠C，∴△BGF∽△CBD，∴＝，∴GF＝•BF＝×t＝t（cm），∴S＝×t（10﹣t）＝﹣t2+4t，当S＝10时，则﹣t2+4t＝10，解得t1＝t2＝5；当6＜t≤10时，如图4，作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，∵CD•CH＝BC•BD＝S△CBD，∴×10CH＝×6×8，解得CH＝，∴S＝×（10﹣t）＝﹣t+24，当S＝10时，则﹣t+24＝10，解得t＝，不符合题意，舍去，综上所述，运动时间t为5s，故选：C．6．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴﹣2a＝3，b＝1，即a＝﹣，b＝1，故选：D．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜2且k≠1．故选：C．8．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故A、B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，故选：D．二．填空题（共7小题）9．【解答】解：设a2+b2＝y，则原方程换元为y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0∴（y﹣8）（y+2）＝0，解得：y1＝8，y2＝﹣2，即a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去），∴a2+b2＝8．故答案为：8．10．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3且m≠2．故答案为m＜3且m≠2．11．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，∴该方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．故答案为：x1＝1，x2＝﹣2．12．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣m）＝36+4m＝0，解得：m＝﹣9．故答案为：﹣9．13．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt﹣1＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝1，所以at2+bt﹣1＝0有一个根为t＝1，则x﹣1＝1，解得x＝2，所以a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根为x＝2．故答案为：x＝2．14．【解答】解：作点A关于对称轴x＝1的对称点E，则E（3，4），作点B关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形ABCD的周长取得最小值，将点A（﹣1，4）代入y＝a（x﹣1）2得4a＝4，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，∴点B坐标为（0，1），则点F（0，﹣1），设CD所在直线解析式为y＝mx+n，将E（3，4），F（0，﹣1）代入得，解得，所以CD所在直线解析式为y＝x﹣1．当x＝1时，y＝，∴D（1，）．故答案为：（1，）．15．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，∴当4≤x＜5时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y＝﹣3，x＝5时，y＝5a﹣3，∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，∴它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，∴﹣1≤5a﹣3≤0，∴；故答案为：．三．解答题（共9小题）16．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，解得：m＞﹣2；（2）根据根与系数的关系可得：x1+x2＝2（m+1），∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m＝1．17．【解答】解：（1）m2+10m﹣6＝m2+5m+25﹣25﹣6＝（m+5）2﹣31，∵（m+5）2≥0，∴（m+5）2﹣31≥﹣31，∴m2+10m﹣6的最小值是﹣31，故答案为：﹣31；（2）①设AB＝x m，则BC＝（24﹣2x）m，∵墙长15m，∴0＜24﹣2x≤15，解得≤x＜12，∴AB的取值范围是≤x＜12．故答案为：≤x＜12；②设花园的面积为S，由题意得：S＝x（24﹣2x）＝﹣2x2+24x＝﹣2（x2﹣12x）＝﹣2（x2﹣12x+36﹣36）＝﹣2（x﹣6）2+72，∵﹣2（x﹣6）2≤0，∴﹣2（x﹣6）2+72≤72，∴当x＝6时，S最大＝72，答：当x＝6时，花园的面积最大，最大面积是72平方米．18．【解答】解：（1）40+2×（60﹣50）＝60（件）．故答案为：60．（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（60﹣x）元，平均每天可售出（40+2x）件，依题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3072，整理得：x2﹣40x+336＝0，解得：x1＝12，x2＝28，又∵要尽快减少库存，∴x＝28．答：每件商品应降价28元．19．【解答】解：（1）将x＝2代入方程x2+ax+a﹣1＝0得，4+2a+a﹣1＝0，解得，a＝﹣1；方程为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，即方程的另一根为1；（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，∴不论a取何实数，该方程都有实数根．20．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），，∴，解得：，∴二次函数的表达式为y＝+2；（2）过点P作P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，如图，∵线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，∴∠FPE＝90°，PF＝PE∴∠FP A+∠EP A＝90°．∵作P A⊥x轴，PB⊥y轴，OF⊥OE，∴四边形APBO为矩形，∴∠APB＝90°，∴∠BPF+∠FP A＝90°，∴∠FPB＝∠EP A．在△BPF和△APE中，，∴△BPF≌△APE（AAS），∴PB＝P A．∴点P的横纵坐标相等，设P（m，m），∵点P为二次函数图象上一点，∴2＝m，解得：m1＝m2＝4，∴点P的坐标为（4，4）．21．【解答】解：（1）当x≥2时，y＝x|x﹣2|＝y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，∴当x＝2时，y＝0，当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝8，补全此函数的图象如下：（2）根据图象，当1＜x＜2时，y随着x的增大而减小；（3）当y＝1时，x2﹣2x＝1，解得x＝+1或﹣+1∴a的取值范围为1≤a≤．22．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；（2）由（1）知，二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），在将x＝4代入二次函数解析式中的y＝5．当0≤x≤4时，y的取值范围为：﹣4≤y＜5．故答案为：﹣4≤y＜5；（3）由（1）知，二次函数的顶点坐标为M（1，﹣4），由二次函数图象与x轴交于点B，所以x2﹣2x﹣3＝0，得到点A（﹣1，0），由二次函数图象与y轴交于点C，所以点C（0，﹣3），所以三角形ACM的面积＝×2×4﹣×（1+4）×1﹣×1×1＝1．23．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝y＝﹣x2+x+4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4①；（2）存在，理由：过点C作直线l∥y轴交抛物线于点R，设∠ECR＝α，则∠RCE＝CBO＝45°，即∠DCE＝45°+α，由OB＝OC＝4知，∠OCB＝∠OCB＝45°，∵QD∥y轴，则∠DEC＝∠OCB＝∠ABC＝45°，∵△CDE与△ABC相似，则∠DCE＝∠ACB或∠CAB；①∠DCE＝∠ACB时，∵∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠ACO+45°，∠DCE＝45°+α，∴∠ACO＝α，∴tan∠ACO＝＝tanα，故直线CD的表达式为：y＝x+4②，联立①②得：﹣x2+x+4＝x+4，解得：x＝0（舍去）或1，即点D（1，4.5），则点Q（1，0）；②∠DCE＝∠CAB时，延长DC交x轴于点H，则∠CHO＝∠DCE＝α，∵∠OAC＝∠ACH+∠AHC＝α+∠ACH，∠DCE＝45°+α，∴∠ACH＝45°，在△ACH中，过点H作AC的垂线交CA的延长线于点M，∵tan∠HAM＝tan∠CAO＝＝2，设AM＝m，则HM＝2m，在等腰Rt△CMH中，HM＝CM，即2m＝m+，解得：m＝2，在Rt△AMH中，AH＝＝m＝10，即点H（﹣12，0），由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：y＝x+4③，联立①③得：﹣x2+x+4＝x+4，解得：x＝0（舍去）或，则点Q（，0）综上，点Q的坐标为：（，0）或（1，0）；（3）存在，理由：设点D的坐标为（m，﹣m2+m），由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣（m+4）（x+2），则点G（0，﹣m﹣4），同理可得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，则点E（m，﹣m+4），当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则CG＝DE，即4+m+4＝|﹣m2+m+4+m﹣4|，解得：m＝2或6，即点D（2，4）或D（6，﹣8）．24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3）∴OA＝OC＝3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3）∵S△P AO＝2S△PCO，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|＝2××3×|x|，∴x＝±或x＝﹣2±，∴点P（，﹣2）或（﹣，2）或（﹣2+，﹣4+2）或（﹣2﹣，﹣4﹣2）；（3）若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形，∴CF∥BE，∴点F与点C纵坐标相等，∴3＝﹣x2﹣2x+3，∴x1＝﹣2，x2＝0，∴点F（﹣2，3）若BC为边，且四边形BCEF是平行四边形，∴BE与CF互相平分，∵BE中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，∴点F的纵坐标为﹣3，∴﹣3＝﹣x2﹣2x+3∴x＝﹣1±，∴点F（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；若BC为对角线，则四边形BECF是平行四边形，∴BC与EF互相平分，∵BC中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，∴点F的纵坐标为3，∴点F（﹣2，3），综上所述，点F坐标（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．。
九年级数学第一次月考卷(苏科版)(解析版)【测试范围：第一章~第二章】
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。
2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。
第Ⅰ卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ）A．x2+2x=―1B．x2﹣4＝2yC．﹣2x2+3＝0D．（a﹣1）x2﹣2x＝0【分析】根据一元二方程的定义进行判断即可．【解答】解：A．x2+2x=―1是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意；C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意；D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意．故选：C．2．（3分）将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4x2，﹣5x【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣5x+81＝0，则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5．故选：B．3．（3分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（ ）A ．（40﹣3x ）（25﹣2x ）＝200B ．（40﹣4x ）（25﹣2x ）＝600C ．40×25﹣80x ﹣100x +8x 2＝200D ．40×25﹣80x ﹣100x ＝600【分析】由人行通道的宽度为x m ，可得出每个展位的长为（25﹣2x ）m ，宽为40―4x 3m ，根据每个展位的面积都为200m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵人行通道的宽度为x m ，∴每个展位的长为（25﹣2x ）m ，宽为40―4x 3m ．依题意得：40―4x 3•（25﹣2x ）＝200，即（40﹣4x ）（25﹣2x ）＝600．故选：B ．4．（3分）如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，点B ．点E 为⊙O 上一点（点E 与A ，B 两点不重合）．若∠P ＝70°，则∠AEB ＝（ ）A ．75°B ．30°或50°C ．60°或120°D ．75°或105°【分析】连接OA ，OB ，分为E 是优弧⌢AB 上一点，和E 是劣弧⌢AB 上一点，两种情况计算即可．【解答】解：（1）如图，点E 为优弧上一点，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 分别与⊙O 相切，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，∴∠AEB=12∠AOB=75°，（2）如图，点E为劣弧上一点，若M是优弧⌢AMB上一点，连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，∴∠AMB=12∠AOB=75°，∵四边形AEBM是⊙O的内接四边形，∴∠AMB+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝180°﹣75°＝105故选：D．5．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣2）【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB ，作CB 的垂直平分线，如图所示：在CB 的垂直平分线上找到一点D ，CD ＝DB ＝DA ==∴点D 是过A 、B 、C 三点的圆的圆心，即D 的坐标为（﹣1，﹣2），故选：C ．6．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）A ．133B ．92CD ．【分析】连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，得到∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，由于AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E F G 三点得到∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，推出四边形AFOE ，FBGO 是正方形，得到AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3，∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM=4 3，∴DM＝3+43=133，故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）7．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 ．【分析】把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得﹣9a+3b＝﹣6，再把所求结果整体代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得：9a﹣3b＝6，∴﹣9a+3b＝﹣6，∴2024﹣9a+3b＝2024﹣6＝2018，故答案为：2018．8．（3分）已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 ．【分析】由已知条件可证得圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，根据直线与圆的位置关系可得结论．【解答】解：∵⊙O的圆心坐标为（3，0），∴圆心O到y轴的距离为3，∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∴圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，∴⊙O与y轴相切．故答案为：相切．9．（3分）如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O 的半径长是 ．【分析】连接OA，由垂径定理的推论得出AB⊥CD，由已知可得AE=12AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r．【解答】解：连接OA，∵，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，∴AB⊥CD，∴AE=12AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，故答案为：5．10．（3分）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 ．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，则：120πl180=4π，解得l＝6．故答案为：6．11．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x31―2024x1+x22的值为 ．【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x21―x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，即x31―2024x1=x21，最后代入即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0两个实数根，∴x21―x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，∴x31―x21―2024x1＝0，∴x31―2024x1=x21，∴x31―2024x1+x22=x21+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+4048＝4049．故答案为：4049．12．（3分）已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为 ．【分析】与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求．【解答】解：与OP垂直的弦AB最短．证明如下：过点P任作一条弦CD，作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OD，AB＝2AP＝==CD＝2QD＝=在Rt△OPQ中，OP＞OQ，即3＞OQ，∴42﹣32＜42﹣OQ2，∴AB＜CD，∴弦AB最短，故答案为：13．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝ °．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．【解答】解：如图：连接AD ，∵∠O ＝130°，OA ＝OD ，∴∠OAD =12（180°﹣130°）＝25°，∵∠C ＝130°，∴∠BAD ＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO ＝∠BAD +∠OAD ＝25°+50°＝75°．故答案为：75．14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上．将AC 沿AC 翻折与AB 交于点D ．若OA ＝3cm ，BC 的度数为40°，则AD = cm ．【分析】作D 关于AC 的对称点E ，连接AE ，BE ，OE ，则AD =AE ，然后再根据BC 的度数为40°知∠CAB ＝20°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE ＝180°﹣80°＝100°，最后运用弧长公式即可解答．【解答】解：如图，作D 关于AC 的对称点E ，连接AE ，BE ，OE ，则AD =AE ，∵BC 的度数为40°，∴∠CAB ＝20°，∴∠EAB ＝2∠CAB ＝40°，∴∠EOB ＝2∠EAB ＝80°，∴∠AOE ＝180°﹣80°＝100°，∴AE 的长度为100°×2π×3360°=53π，∴AD 的长度为53π．故答案为：53π．15．（3分）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，以AB 为边在正六边形ABCDEF 的内部作正方形ABMN ，连接OD ，ON ，则∠DON ＝ °．【分析】连接OA ，OB ，OE ，OF ，利用正六边形的性质得到OA ＝OB ＝OF ＝OE ＝OD ，∠AOB ＝∠AOF ＝∠FOE ＝∠EOD ＝60°，则△OAB 为等边三角形，D ，O ，A 在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON 的度数，则结论可得．【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，∴∠NAB＝90°，AB＝AN，∴∠NAO＝30°，OA＝AN，∴∠AON＝∠ANO=180°―30°2=75°，∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．故答案为：105．16．（3分）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为 ．【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC=12DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB==5，∴BA′==∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC=12 DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+∴DA′的最大值为5+∴EC三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2+ax﹣2a2＝0．（a为常数且a≠0）【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后两个一次方程即可；（2）先利用因式分解法把方程转化为x+2a＝0或x﹣a＝0，然后两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2+ax﹣2a2＝0，（x+2a）（x﹣a）＝0，x+2a＝0或x﹣a＝0，所以x1＝﹣2a，x2＝a．18．（6分）如图，A、B是⊙O上的点，以OB为直径作⊙O1．仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）在图①中，在⊙O1上作出一个点C，使BC与AB的长度相等；（2）在图②中，在⊙O上作出一个点D，使AD与BD的长度相等．【分析】（1）连接OA交⊙O1于点C，点C即为所求．（2）连接AB交⊙O1于点T，作直线OT交⊙O于点D，点D′，点D，点D′即为所求．【解答】解：（1）如图，点C即为所求．（2）如图，点D或D′即为所求．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；（2）注意：分b＝c，b＝a两种情况做．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2，∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解：①当b＝c时，则Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，∴k＝2，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7；②解：当b＝a＝3时，∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，∴x＝2或x＝k，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴k＝b＝3，∴c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8；综上所述，△ABC的周长为7或8．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，得出∠ODB＝∠C，进而得出OD∥AC，由DE⊥AC，得出OD⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线；（2）先求出BD＝5，再由勾股定理求出AD===12，最后再用面积法求解即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，∴BD＝5，∴AD===12，∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，∴12DE⋅AC=12AD⋅CD即DE=60 13．21．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．（2）若DA=DF=π）．【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圆心O到EF的距离为圆的半径；（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可；【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∴OD的长是圆心O到EF的距离，∵AB＝90cm，∴OD=12AB=45cm．（2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G．∵DA＝DF，∴∠F＝∠BAD，由（1）得∠CAD＝∠BAD，∴∠F＝∠CAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，∴(2OD)2―OD2=2，解得OD＝6，在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，OG=12×6=3，∴S △AOD =12××3=∴S 阴影=S 扇形OBD +S △AOD=60π×62360=6π+22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，依题意，得：150（1+x ）2＝216，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元，依题意，得：（y ﹣30）[600﹣10（y ﹣40）]＝10000，整理，得：y 2﹣130y +4000＝0解得：y 1＝80（不合题意，舍去），y 2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．23．（12分）【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】（1）如图1，AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝100°，点P 1、P 2分别是优弧AB 和劣弧AB 上的点，则∠AP 1B ＝ 50 °，∠AP 2B ＝ 130 °．（2）如图2，AB 是⊙O 的弦，圆心角∠AOB ＝m （m ＜180°），点P 是⊙O 上不与A 、B 重合的一点，求弦AB 所对的圆周角∠APB 的度数（用m 的代数式表示） （m 2）°或180°﹣（m 2）° ．【问题解决】（3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，在点E从点A运动到点C过程中，PC的最小值是【分析】（1）根据圆周角定理计算∠AP1B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠AP2B的度数；（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；（3）先作AB的垂直平分线得到AB的中点P，再以AB为直径作圆交AB的垂直平分线于O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O在⊙P内的弧为满足条件的点C所组成的图形；（4）由等边三角形的性质证明△AEB≌△CFA可以得出AF＝BE，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，结合勾股定理分别求得DC、DP，即可得解．【解答】解：（1）∠AP1B=12∠AOB=12×100°＝50°，∠AP2B＝180°﹣∠APB＝180°﹣50°＝130°．故答案为：50，130；（2）当P在优弧AB上时，∠A PB=12∠AOB＝（m2）°；当P在劣弧AB上时，∠A PB＝180°﹣（m 2）°；故答案为：（m2）°；180°﹣（m2）°；（3）如图劣弧AB（不包含A、B两个端点）就是所满足条件的点C所组成的图形；（4）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝12，∠BAC ＝∠C ＝60°．在△AEB 和△CFA 中，AB =AC∠BAC =∠C AE =CF，∴△AEB ≌△CFA （SAS ），∴AF ＝BE ．点P 的路径是一段弧，由题目不难看出当E 为AC 的中点的时候，点P 经过弧AB 的中点，PC 最小，此时△ABP 为等腰三角形．且∠ABP ＝∠BAP ＝30°，OC ⊥AB ，如图3：∴∠AOB ＝120°，∵AB ＝12，AP ＝2DP ，∴AD ＝6，DP =∴DP ＝在Rt △ADC 中，DC ===∴PC ＝=故答案为：24．（12分）已知△ABC 的外接圆，圆心为点O ，点P 是该三角形的内心．（1）如图1，在△ABC 中，直线AP 与△ABC 外接圆交点为D ，求证：BD ＝PD ＝CD ；（2）如图2，若该△ABC ，M 是弧ABC 中点，MN ⊥BC 与点N ，①求证：AB +BN ＝CN ；②如图3，若△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，求证：直线MN 经过内心点P ；③将上述第②题中∠BAC ＝90°改为∠BAC 为任意角，参考图3，其他条件均不变，试猜想该结论是否成立： （是，或者不是）．【分析】（1）连接BP ，可推出∠ABP ＝∠CBP ，∠BAD ＝∠BCD ，∠DAC ＝∠CBD ，从而∠DBP ＝∠DPB ，从而BD ＝PD ，进一步得出结论；（2）过点M 作ME ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，连接BM ，可证得Rt △AME ≌Rt △CMN ，从而MN ＝EM ，进而证得△BME ≌△BMN ，从而BE ＝BN ，进一步得出结论；②设AE ，AC 切⊙P 于点E ，F ，设AB ＝a ，AE ＝AF ＝x ，则AC ＝2a ，在BC 上截取CQ ＝AB ＝a ，可证得△ABM ≌△CQM ，从而BM ＝QM ，进而得出BN ＝NQ =12BQ ，根据⊙P 是△ABC 的内切圆可得出BC ＝BE +CF ＝（a ﹣x ）+（2a ﹣x ）＝3a ﹣2x ，从而BQ ＝BC ﹣CQ ＝2a ﹣2x ，进而得出BN =12BQ ＝a ﹣x ，从而BE ＝BN ，进一步得出结论；③由②得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连接BP，∵点P是△ABC的内心，∴AP、BP分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABP＝∠CBP，∴CD=BD，∴CD＝BD，∵∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∴∠CBD+∠CBP＝∠BAD+∠ABP，∴∠DBP＝∠DPB，∴BD＝PD，∴BD＝PD＝CD；（2）①证明：如图2，过点M作ME⊥AB，交AB的延长线于E，连接BM，则∠E＝90°，∵MN⊥BC，∴∠BNM＝∠CNM＝90°，∴∠E ＝∠BNM ＝∠CMN ，∵M 是弧ABC 中点，∴AM ＝CM ，∵BM =BM ，∴∠MAB ＝∠MCB ，∴Rt △AME ≌Rt △CMN （HL ），∴MN ＝EM ，CN ＝AE ，∵BM ＝BM ，∴△BME ≌△BMN （HL ），∴BE ＝BN ，∵AB +BE ＝AE ，∴AB +BN ＝CN ；②证明：设AE ，AC 切⊙P 于点E ，F ，设AB ＝a ，AE ＝AF ＝x ，则AC ＝2a ，在BC 上截取CQ ＝AB ＝a ，∵∠C ＝∠BAM ，AM ＝CM ，∴△ABM ≌△CQM （SAS ），∴BM ＝QM ，CQ ＝AB ＝a ，∵MN ⊥BC ，∴BN ＝NQ =12BQ ，∵⊙P 是△ABC 的内切圆，∴BC ＝BE +CF ＝（a ﹣x ）+（2a ﹣x ）＝3a ﹣2x ，∴BQ ＝BC ﹣CQ ＝2a ﹣2x ，∴BN =12BQ ＝a ﹣x ，∴BE ＝BN ，∴⊙P切BC于N，∴M、N、P共线，∴PN⊥BC，∴直线MN经过圆内心点P；③解：由②知：直线MN经过圆内心点P，故答案为：是．。
吉林省第二实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
吉林省第二实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．根据有理数减法法则，计算()23--过程正确的是（ ） A ．()23+-B ．()32+-C ．()23-+D ．23+2．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A ．80°B ．50°C ．30°D ．20°4．下列运算一定正确的是（ ） A ．339a a a ⋅= B ．235a a a ⋅= C ．()22ab ab =D ．()235a a =5．若a b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．55-<-a b B ．55a b< C ．55a b +>+D ．a b ->-6．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB 与AC 的夹角为24︒，则高BC 是（）A ．50sin24︒米B ．50cos24︒米C ．50sin24︒米 D ．50cos24︒米 7．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图： ①分别以点,A B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点,M N ，过点,M N 作直线与AB 交于点D ；②连接CD ，以点D 为圆心，以一定长为半径画弧，交MN 于点E ，交CD 于点F ，以点C 为圆心，以同样定长为半径画弧，与CD 交于点G ，以点G 为圆心，以EF 长为半径画弧与前弧交于点H ．作射线CH 与AB 交于点K ． 请根据以上操作，下列结论不一定成立的是（ ）A ．CDM DCK ∠=∠B ．CK 平分ACD ∠C ．MN 垂直平分ABD ．90CKD ∠=︒8．如图，在平面直角坐标系中，直线4y kx ＝＋与y 轴交于点C ，与反比例函数my x=，在第一象限内的图像交于点B ，连接OB ，若4OBC S =V ，1tan 3BOC ∠=，则m 的值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题9．单项式22ax -的系数是．10．11．若抛物线22y x x k =-+和x 轴有交点，则k 的取值范围是．12．如图，一次函数y ax b =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，()3,0A 、()0,2B ，那么不等式2ax b +<的解集为．13．如图，A ，B 是O e 上的两点，OA OB ⊥，点C 在优弧»AB 上，则ACB ∠=度.14．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，则下列结论中： ①0abc >；②2am bm a b +≤-（m 为任意实数）； ③31a c +<；④若()()12,,M x y N x y 、是抛物线上不同的两个点，则121x x +=-． 其中正确的结论有．三、解答题15．先化简，再求值：21111x x x -⎛⎫-⋅⎪+⎝⎭，其中1x = 16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，C e 经过点O ，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为 0,4 ，M 是圆上一点，135BMO ∠=︒．(1)求ABO ∠的度数． (2)圆心C 的坐标为______．17．有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？18．函数21115424y x x =-++的图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)方程211150424x x -++=的两个根为1x =______，2x =______；(2)当0y >时，则x 的取值范围为______；当32x -<<时，自变量y 的取值范围为______； (3)若方程21115424x x k -++=有实数根，k 取值范围是______．19．如图，已知AB 是O e 的直径，弦AC 平分DAB ∠，过点C 作直线CD ，使得CD AD ⊥于D ．(1)求证：直线CD与Oe相切；(2)若3AD=，AC=AB的长．20．图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A B、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形．(1)在图①中，作ABCV，使其面积为32；(2)在图②中，作ABD△，使其面积为2；(3)在图③中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3．21．“绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题：(1)甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元．(2)当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式．(3)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20/hkm，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为6km ，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 22．【问题原型】如图1，线段AB 是O e 一条弦，2AB =，点D 在O e 上，30ADB ∠=︒，求O e 的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由：解：连结BO 并延长交O e 于点C ，连结AC ，BC Q 为O e 直径，点A 在圆上，90CAB ∴∠=︒，（______）»»AB AB =Q ，30ACB ADB ∴∠=∠=︒，（______）∴在Rt ABC △中，30ACB ∠=︒， 1sin 2C ∴∠=， 12AB BC =∴． 2AB =Q ．4BC ∴=， 2OB ∴=．即O e 的半径长为2． 【逆向思考】如图2，线段AB 是O e 一条弦，若C 、D 在AB 的异侧，60ADB ∠=︒，O e 的半径为1，求弦AB 的长．【模型应用】如图3，P 为ABC V 边BC 上一点，以AP 为直径作圆，交直线AB 于点E ，交直线AC 于点F ，连结EF ．30B ∠=︒，15C ∠=︒，AB x =，则线段EF 的最小值为______（有含x 的代数式表示）．23．如图，在ABC V 中，7AB =，5AC =，3tan 4A ∠=，点P 为边AC 上一点，当点P 不与点A 重合时，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PQ 为边向右侧作正方形PQMN ．(1)tan B ∠=______；(2)当QBC △是等腰直角三角形时，求线段AP 的长； (3)连接BN ，求线段BN 的最小值；(4)连接PM QC 、，设线段PM 与线段QC 交点为O ，当点O 为线段QC 的三等分点时，直接写出此时的线段AP 的长．24．在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++（b c 、为常数）经过点()0,3-和点()3,0，点P 是抛物线上一动点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴垂线交直线2y x =于点Q ，分别作点P Q 、关于y 轴的对称点N M 、，构造矩形PQMN ．(1)求此二次函数的解析式．(2)当抛物线顶点落在矩形PQMN的边上时，求矩形PQMN的面积．(3)当抛物线在矩形内部的图象y随x的增大而减小时，求m的取值范围．(4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出m的值．。
2024-2025学年初中九年级上学期数学第一次月考卷及答案(北师大版)
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1章～第3章（北师版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．xx2−3xx−5=−5B．2xx2−yy−1=0C．xx2−xx(xx+2.5)=0D．aaxx2+bbxx+cc=02．下列命题为真命题的是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形3．若关于xx的方程xx2+mmxx−6=2．则mm为（）A．−2B．1 C．4 D．−34．a是方程xx2+2xx−1=0的一个根，则代数式aa2+2aa+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20215．如图，在正方形AAAAAAAA中，EE为AAAA上一点，连接AAEE，AAEE交对角线AAAA于点FF，连接AAFF，若∠AAAAEE=35°，则∠AAFFAA的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=11407．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）A．2 B．12 C．18 D．248．如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA相交于点OO，EE是AAAA的中点，若菱形的周长为20，则OOEE的长为（）A．10 B．5 C．2.5D．19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为xx人，则根据题意可列方程为（）A．xx(xx−1)=110B．xx(xx+1)=110C．(xx+1)2=110D．(xx−1)2=11010．关于xx的一元二次方程kkxx2−2xx−1=0有两个不相等的实数根，则kk的取值范围是（）A．kk>−1B．kk>−1且kk≠0C．kk<1D．kk<1且kk≠011．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（）A．74B．95C．1910D．76�312．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=4，E为对角线AAAA上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EEFF⊥AAAA于点F，EEEE⊥AAAA与点G，连接AAEE，FFEE，有下列结论：①AAEE=FFEE．②AAEE⊥FFEE．③∠AAFFEE=∠AAAAEE．④FFEE的最小值为3，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③④第Ⅱ卷二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．一元二次方程5xx2+2xx−1=0的一次项系数二次项系数常数项．14．xx1,xx2为一元二次方程xx2−2xx−10=0的两根，则1xx1+1xx2=．15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为．16．如图所示，菱形AAAAAAAA的对角线AAAA、AAAA相交于点OO．若AAAA=6，AAAA=8，AAEE⊥AAAA，垂足为EE，则AAEE的长为．17．如图，将一张长方形纸片AAAAAAAA沿AAAA折起，重叠部分为ΔΔAAAAEE，若AAAA=6,AAAA=4，则重叠部分ΔΔAAAAEE的面积为．18．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=6，点E，F分别在边AAAA,AAAA上，AAEE=AAFF=2，点M在对角线AAAA上运动，连接EEEE和EEFF，则EEEE+EEFF的最小值等于．三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：（1）3xx2−4xx−1=0；（2）2�xx−3�2=xx2−920．（8分）已知方程xx2+�kk+1−6=0是关于xx的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数kk方程中有两个不相等的实数根．(2)若xx1，xx2是方程的两根，kk=6，求1xx1+1xx2的值．21．（8分）如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA交于点OO，AAEE⊥AAAA交AAAA延长线于EE，AAFF∥AAEE交AAAA延长线于点FF．(1)求证：四边形AAEEAAFF是矩形；(2)若AAEE=4，AAAA=5，求AAAA的长．22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．请根据以上信息回答：(1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有______人．(2)请将条形统计图补充完整；(3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率．23．（8分）阅读材料，回答问题．材料1：为了解方程�xx2�2−13xx2+36=0，如果我们把xx2看作一个整体，然后设yy=xx2，则原方程可化为yy2−13yy+36=0，经过运算，原方程的解为xx1,2=±2，xx3,4=±3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数mm，nn满足mm2−mm−1=0，nn2−nn−1=0，且mm≠nn，显然mm，nn是方程xx2−xx−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知mm+nn=1，mmnn=−1．根据上述材料，解决以下问题：(1)为解方程xx4−xx2−6=0，可设yy=____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____．(2)应用：若实数aa，bb满足：2aa4−7aa2+1=0，2bb4−7bb2+1=0且aa≠bb，求aa4+bb4的值；24．（10分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．(1)设售价每盒下降xx元，则每天能售出______盒（用含xx的代数式表示）；(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；(3)该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形AAAAAAAA．判断四边形AAAAAAAA的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图2，已知四边形AAAAAAAA纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图3，AAAA是锐角△AAAAAA的高，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAEE，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAFF，延长EEAA,FFAA交于点G．①若∠AAAAAA=50°，当△AAAAEE是等腰三角形时，请直接写出∠AAAAAA的度数；②若∠AAAAAA=45°，AAAA=2,AAAA=5,AAEE=EEEE=FFEE，求AAAA的长．26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形AAAAAAAA中，E，F为平面内两点．【初步感知】（1）如图1，当点E在边AAAA上时，AAEE⊥AAFF，且B，C，F三点共线．请写出AAEE与FFAA的数量关系______；【深入探究】（2）如图2，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥EEFF，E，C，F三点共线．若AAEE=2，AAEE=4，求AAEE的长；【拓展运用】（3）如图3，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥EEAA，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥AAEE，且D，F，E三点共线，猜想并证明AAEE，AAEE，AAFF之间的数量关系．2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2024-2025学年江苏省苏州中学九年级上学期第一次月考数学试题及答案
2024-2025学年第一学期九年级数学第一次月考卷（范围：九上第1、2章、九下第6章 考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列方程一定是关于 x 一元二次方程的是（ ） A. 22350x x −−= B. 2220x xy y ++=C. ()()()213x x x x +=−+D. 250x =2. 下列各条件中，能判断ABC A B C ′′′∽△△的是（ ）A. 3AB A B ′′=，A A ′∠=∠B. AB BCA B A C =′′′′ ，B B ∠=∠′ C. ABA B BC B C ′′=′′，∠+∠=∠+∠′′A C A CD. 40A ∠=°，80B ∠=°，80∠′=°A ，70B ′∠=°3. 如图，四边形ABCD 内接于O ，它的一个外角70CBE ∠=°，则ADC ∠的度数为（ ）A. 55°B. 70°C. 110°D. 140° 4. 定义运算21m n mn mn =−−☆，例如242424217=×−×−=☆，则方程20x =☆的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根 5. 如图，AB 、CD 是O 的弦，且AB CD =，若84BOD ∠=°，则ACO ∠的度数为（ ）A. 42°B. 44°C. 46°D. 48°6. 如图，ABC 与DEF 是位似三角形，位似比为2:3，已知3AB =，则DDDD 的长等于（ ）的A. 49B. 2C. 92D. 2747. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则可列方程为（ ）A. 250(1)80x +=B. 250(1%)80x +=C. 250(12)80x +=D. 25050(1)50(1)80x x ++++= 8. 如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（ ）．A 35AD AF =B. 32C. 23AB EF =D. 35BC BE = 9. 如图，ABC 的内切圆O 与AB BC AC 、、相切于点D 、E 、F ，已知435AB AC BC ===，，，，则DE 的长是（ ）A.B.C.D. 10. 如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，且12AD AB =，分别作射线BD 、CE ，它们交于点M ．以点A 为旋转中心，将ADE 按顺时针方向旋转，若AE 的长为2，则MBC △面积的最小值是（ ）.A. 4B. 8C. 2+D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 方程 250x =的解是____．12. 若32a b=，则22a b a b +−的值为____． 13. 已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，那么:AP AB 的比值为________．14. 如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为__________．15. 已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，BC =B 为圆心BC 为半径的圆交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为__________．16. 如图，AD 是O 的直径，将弧AB 沿弦AB 折叠后，弧AB 刚好经过圆心O ．若6BD =，则O 的半径长是___．17. 已知A 是方程2201010x x −+=的一个根，试求22201020091A A A −++的值______． 18. 如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6120AB AOC =∠=°，，P 为O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为______．三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 用指定方法解下列一元二次方程（1）23(21)120x −−=（直接开平方法） （2）22470x x −−=（配方法）（3）210x x +−=（公式法）（4）22(21)0x x −−=（因式分解法） 20. 如图，AAAA 是⊙O 的弦，C 是⊙O 上的一点，且60ACB ∠=°，OD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ．若⊙O 的半径为6，求弦AAAA 的长．21. 如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 中点，点F 在边CD 上，且3CF FD =，求证：ABE DEF △△∽．的22. 已知ABC 三边a b c ，，满足()()()271a c a b c b −+−=−∶∶∶∶，且24a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）判断ABC 的形状．23. 已知关于x 一元二次方程22230x mx m m ++−=．（1）若方程有两个实数根，求m 取值范围；（2）设22230x mx m m ++−=的两个实数根为1x ，2x ，若221212364x x x x =++，求m 的值． 24. 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB 的示意图．如图Ⅱ，在C 处放置一根高度为2m 且与地平线BF 垂直的竹竿IC ，点A ，I ，D 在同一直线上，测得CD 为3m ．将竹竿3m 平移5m 至E 处，点A ，G ，F 在同一直线上，测得EF 为5m ．求大拇指的高度．25. 如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，P 是AB 的延长线上的点，弦CE 交AB 于点D ．2POE CAB ∠=∠，P E ∠=∠．（1）求证：CE AB ⊥；（2）求证：PC 是O 的切线；（3）若BD OD =，9PB =，求O 的半径．26. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．的的（1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？（2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？（3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．27. 按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，由小正方形构成的66×网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，O 经过A ，B ，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O ；（2）如图2，在平行四边形ABCD 中，45A ∠=°，以AB 为直径的圆与CD 相切于点D ．请仅用无刻度直尺在图中作出ABD △的重心M ．28. 新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图1，若四边形ABCD AD BD =，90ABC ∠=°，4AB =，3BC =，求四边形ABCD 的面积；【问题解决】（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在A ，B ，C ，D 四处，现要求信号塔C 建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m 的圆，记为E ．已知点A 到该湖泊的最近距离为500m ，是否存在这样的点D ，满足AC BD =，使得四边形ABCD 的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．2024-2025学年第一学期九年级数学第一次月考卷（范围：九上第1、2章、九下第6章 考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列方程一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A. 22350x x −−= B. 2220x xy y ++=C. ()()()213x x x x +=−+D. 250x = 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式()200ax bx c a ++=≠，这种形式叫一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．【详解】解：A 、22350x x−−=含有分式，故不是一元二次方程，不符合题意； B 、2220x xy y ++=含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意．C 、()()()213x x x x +=−+化简得03=−，不是一元二次方程，不符合题意；D 、250x =符合一元二次方程定义，符合题意；故选：D ．2. 下列各条件中，能判断ABC A B C ′′′∽△△的是（ ）A. 3AB A B ′′=，A A ′∠=∠B.AB BC A B A C =′′′′，B B ∠=∠′ C. AB A B BC B C ′′=′′，∠+∠=∠+∠′′A C A C D. 40A ∠=°，80B ∠=°，80∠′=°A ，70B ′∠=° 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．【详解】A 、∵3AB A B ′′=，A A ′∠=∠，只有一角一边，∴不能判断两个三角形相似，故A 不符合题意；B 、∵AB BC A B A C =′′′′，B B ′∠=∠，B ′∠不是A B ′′与A C ′′的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B 不符合题意；C 、由∠+∠=∠+∠′′A C A C ，可得B B ′∠=∠， 再由AB A B BC B C′′=′′，得AB BC A B B C =′′′′， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，∴可判断ABC A B C ′′′∽△△，故C 符合题意；D 、由40A ∠=°，80B ∠=°，得60C ∠=°，由80∠′=°A ，70B ′∠=°， 得30C ′∠=°，∵只有80B A ∠′=∠=°，∴不能得ABC A B C ′′′∽△△，故D 不符合题意．故选：C ．3. 如图，四边形ABCD 内接于O ，它的一个外角70CBE ∠=°，则ADC ∠的度数为（ ）A. 55°B. 70°C. 110°D. 140°【答案】B【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明ADC CBE ∠=∠即可得到答案．本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可．详解】解：依题意，180ADC ABC ∠+∠=°，∵180ABC CBE ∠+∠=°，70ADC CBE ∴∠=∠=°．故选：B ．4. 定义运算21m n mn mn =−−☆，例如242424217=×−×−=☆，则方程20x =☆的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【详解】解：根据定义得：222210x x x =−−=☆， 2a = ，2b =−，1c =−，()()22Δ42421120b ac ∴=−=−−××−=>， ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选：A ．5. 如图，AB 、CD 是O 的弦，且AB CD =，若84BOD ∠=°，则ACO ∠的度数为（ ）A. 42°B. 44°C. 46°D. 48°【答案】D【解析】 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系求出84AOC BOD ∠=∠=°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA ，【AB CD = ，CAB D ∴=， AB AD AD CD ∴−=−，AC BD∴=， 84AOC BOD ∴∠=∠=°，OA OC = ，()()11180180844822ACO CAO AOC ∠=∠=°−∠=×°−°=°． 故选：D ．6. 如图，ABC 与DEF 是位似三角形，位似比为2:3，已知3AB =，则DDDD 的长等于（ ）A. 49B. 2C. 92D. 274【答案】C【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似比等于相似比，进而即可求解．掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：∵ABC 与DEF 是位似图形，位似比为2:3，∴23AB DE =， ∵3AB =，∴92DE =， 故选：C ．7. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则可列方程为（ ）A. 250(1)80x +=B. 250(1%)80x +=C. 250(12)80x +=D. 25050(1)50(1)80x x ++++= 【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题的一般形式为2(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量，由此列方程即可．【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则250(1)80x +=，故选A ．8. 如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（ ）．A. 35AD AF =B. 32BC CE =C. 23AB EF =D. 35BC BE = 【答案】C【解析】【详解】本题主要考查了比例的基本性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键．根据比例的性质、平行线分线段成比例列出比例式逐项判断即可．【分析】解： AD DF ＝32， 35AD AF ∴=, 故A 选项正确，不符合题意；a b c ∥∥，且AD DF ＝32， 32AD BC DF CE ∴==, 故B 选项正确，不符合题意；32BC CE = 35BC BE ∴= 故D 选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能求出AB EF的值，故C 选项不正确． 故选C ．9. 如图，ABC 的内切圆O 与AB BC AC 、、相切于点D 、E 、F ，已知435AB AC BC ===，，，，则DE 的长是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接AO ，BO ，CO ，DO ，EO ，FO ．根据题意可知OE OD OF ==，且OE BC ⊥，OF AC ⊥，OD AB ⊥，再根据6ABC ABO BCO ACO S S S S =++= 求出OE ，接下来设BE x =，根据切线长定理得出CE CF =，AD AF =，BD BE =，求出BE ，再根据勾股定理求出BO ，结合DO EO =，BD BE =可知BO 是DE 的垂直平分线，然后根据1122BEO S BE EO BO EG =⋅=⋅ 求出EG ，进而得出答案．本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键．【详解】解：连接AO ，BO ，CO ，DO ，EO ，FO ．根据题意可知OE OD OF ==，且OE BC ⊥，OF AC ⊥，OD AB ⊥，∵435AB AC BC ===，，，∴222AB AC BC +=∴ABC 是直角三角形 ∴13462ABC S =××= ， ∴1116222ABC ABO BCO ACO S S S S OE BC OF AC OD AB =++=⋅+⋅+⋅= ， 即1()62OE BC AC AB ++=， 解得()123451OE =÷++=．设BE x =，则BD BE x ==，5CE CF x ==−，4AD AF x ==−，得543x x −+−=， 解得3x =，3BE ∴=．在Rt BOE 中，BO，DO EO = ，BD BE =， BO ∴是DE 的垂直平分线，DG EG ∴=． 1122BEO S BE EO BO EG =⋅=⋅ ，即113122EG ××=，解得EG =，∴2DE EG==． 故选：C ．10. 如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，且12AD AB =，分别作射线BD 、CE ，它们交于点M ．以点A 为旋转中心，将ADE 按顺时针方向旋转，若AE 的长为2，则MBC △面积的最小值是（ ）A. 4B. 8C. 2+D. 【答案】A【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．先证明()SAS BAD CAE ≌，则ACE ABD ∠=∠，推出90BMC ∠=°，由题意知，E 在以A 为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当CE 在A 下方且与A 相切时，线段MB 最短，MBC △面积的最小；再证明四边形ADME 是正方形，则2MD ME AE ===，由勾股定理得，CE BD ==2,2BM CM −，最后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，且12AD AB =，2AE = ∴290,4,AB AC AD AE BAC DAE ===∠=∠=°=， ∴45ABC ACB ∠=∠=°，∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠， ∵,,AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=， ∴()SAS BAD CAE ≌，∴ACE ABD ∠=∠，BD CE =∴180BMC DBC ACB ACE ∠=°−∠−∠−∠()18090DBC ABD ACB=°−∠+∠−∠=°， 如图：由题意知，E 在以A 为圆心，2为半径的圆上运动，∵90BMC ∠=°，∴当CE 在A 下方且与A 相切时，点M 到BC 距离最小，MBC △面积的最小∵90AEM CMD DAE ∠=°=∠=∠，∴四边形ADME 是矩形，∵AD AE =∴四边形ADME 是正方形，∴2MD ME AE ===，由勾股定理得，CE BD ==，∴2,2BM BD DM CM CE ME =−=−=+=，∴()()1122422MBC S BM CM =⋅=⋅⋅= ． 故选：A ． 二、填空题：本题共83分，共24分．11. 方程 250x =的解是____．【答案】120x x == 【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用开平方法解方程即可．【详解】解：∵250x =，∴20x =，∴120x x ==， 故答案为：120x x == 12. 若32a b=，则22a b a b +−的值为____．【答案】2【解析】【分析】本题考查比例性质，根据条件设3,2a k b k ==，代值化简即可得到答案，熟练掌握比例性质及相应题型的解法是解决问题的关键．【详解】解： 32a b=， ∴设3,2a k b k ==，则22328222324a b k k k a b k k k +×+===−×−， 故答案为：2．13. 已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，那么:AP AB 的比值为________．【解析】【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．根据黄金分割的定义即可得出答案．【详解】解： 点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，AP AB ∴，∴AP AB =14. 如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为__________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为()30m x −，宽为()20m x −的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为2551m ，即可得出关于x 的一元二次方程，求解并注意检验．【详解】解：根据题意得：()()3020551x x −−=， 化简得：250490x x −+=，解得：11x =，249x =，∵当249x =时，20290x −=−<，∴249x =舍去，故答案为：1．15. 已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，BC =B 为圆心BC 为半径的圆交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】2π−−【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明AE AB =，可得45ABE AEB ∠=∠=°，45CBE ∠=°，再由阴影部分的面积为ABE ABCD CBE S S S −− 矩形扇形，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC A ∠=∠=°，由题意得：BE BC ==∵2AB =，∴2AE ，∴AE AB =，∴45ABE AEB ∠=∠=°，∴45CBE ∠=°，∴阴影部分的面积为ABE ABCD CBE S S S −− 矩形扇形21452360BC AB BC AB AE π×=×−×−12222=×××2π=−−故答案为：2π−−16. 如图，AD 是O 的直径，将弧AB 沿弦AB 折叠后，弧AB 刚好经过圆心O ．若6BD =，则O 的半径长是___．【答案】6【解析】【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键．过点O 作OH AB ⊥于点H ，交 AB 于点M ，连接AM ，根据折叠的性质，得出AB 垂直平分OM ，根据垂直平分线的性质得出AO AM =，则AM OM AO ，证明AOM 为等边三角形，得出60AOM ∠=°，由OH AB ⊥、垂径定理得出AH BH =，推出30OAH=°∠，根据含30°角的直角三角形的性质得出2OA OH =，由AH BH =，OA OD =，推出OH 是ABD △的中位线，根据中位线的性质得出132OH BD ==，由2OA OH =得出答案即可． 【详解】解：如图，过点O 作OH AB ⊥于点H ，交 AB 于点M ，连接AM，∵弧AB 沿弦AB 折叠后，弧AB 刚好经过圆心O ，∴AB 垂直平分OM ，∴AO AM =，∴AM OM AO ，∴AOM 为等边三角形，∴60AOM ∠=°，∵OH AB ⊥，∴AH BH =，90AHO ∠=°，∴180906030OAH ，∴2OA OH =，∵AH BH =，OA OD =，∴OH 是ABD △的中位线， ∴132OH BD ==， ∴26OA OH ，即O 的半径长是6．故答案为：6．17. 已知A 是方程2201010x x −+=的一个根，试求22201020091A A A −++的值______． 【答案】2009【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由A 是方程2201010x x −+=的一个根，将其代入方程，得到关于A 的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】∵A 是方程2201010x x −+=的一个根，∴2201010A A −+=，即220101A A +=，220101A A =−则22201020091A A A −++201012009A A −−20102010A + 21111A A A A+=−+=−201012009A A −= 故答案为：2009．18. 如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6120AB AOC =∠=°，，P 为O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为______．【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识点，正确寻找点Q OQ ，作CH AB ⊥于H ，先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解答．【详解】解：如图：连接OQ ，作CH AB ⊥于H ，∵Q 是AP 中点，∴AQ QP =，根据垂径定理的推论可得OQ AP ⊥，∴90∠=°AQO ， ∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，∵在直角OCH △中，120AOC ∠=°，∴60COH ∠=°，132OC AB ==，∴1322OH OC ==，CH ， 又∵在直角CKH 中，11324KH OK OH OA OH AB OH =+=+=+=，∴CK =∴32CQ CK KQ =+=+=CQ ．． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 用指定方法解下列一元二次方程（1）23(21)120x −−=（直接开平方法） （2）22470x x −−=（配方法）（3）210x x +−=（公式法）（4）22(21)0x x −−=（因式分解法） 【答案】（1）132x =，212x =−（2）11x =+，21x =（3）1x =，2x = （4）113x =，21x = 【解析】【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可．【小问1详解】解：23(21)120x −−=，移项，得23(21)12x −=，两边都除以3，得2(21)4x −=，两边开平方，得212x −=±，移项，得212x =±， 解得：132x =，212x =−；【小问2详解】解：22470x x −−=，两边都除以2，得27202x x −−=， 移项，得2722x x −=， 配方，得29212x x −+=，即29(1)2x −=，解得：1x −=，即11x =，21x =−；【小问3详解】解：210x x +−=，这里1a =，1b =，1c =−，224141(1)5b ac −=−××−= ，x ∴，解得：1x =，2x =；【小问4详解】解：22(21)0x x −−=， 方程左边因式分解，得(21)(21)0x x x x −+−−=，即(31)(1)0x x −−=， 解得：113x =，21x =． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20. 如图，AAAA 是⊙O 的弦，C 是⊙O 上的一点，且60ACB ∠=°，OD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ．若⊙O 的半径为6，求弦AAAA 的长．【答案】【解析】【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．连接OB ，可得2120AOB ACB ∠=∠=°，进而可得OAB OBA ∠=∠12=()18030AOB °−∠=°，OE 12=3OA =，求出AE 即可；【详解】解：连接OB ，∵60ACB ∠=°，∴2120AOB ACB ∠=∠=°，∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠12=()18030AOB °−∠=°，∵OE AB ⊥，OE 过圆心O ，∴90AE BE AEO =∠=°，， ∵6OA =， ∴OE 12=3OA =，由勾股定理得：AE == ∴3BE =，即3AB AE BE =+=+=21. 如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且3CF FD =，求证：ABE DEF △△∽．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质：熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键；由正方形的性质得出90,A D AB AD CD ∠∠==°==，设4AB AD CD a ===，得出2,AEDE a DF a ===，证出AB AE DE DF=，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形 90,A D AB AD CD ∠∠∴==°==设4AB AD CD a ===∵E 为边AD 的中点，3CF FD =2,AE DE a DF a ∴===422,22AB a AE a a DF DE a ∴==== AB AE DE DF=∴ A D ∠=∠ ∴ABE DEF △△∽22. 已知ABC 三边a b c ，，满足()()()271a c a b c b −+−=−∶∶∶∶，且24a b c ++=．（1）求a b c ，，值；（2）判断ABC 的形状．【答案】（1）6810a b c ===，，；（2）直角三角形．【解析】【分析】（1）设2a c k −=−，7a b k +=，c b k −=，可得()()27a c a b c b k k k −+++−=−++，即得3a k =，进而得到4b k =，5c k =，再由24a b c ++=，可得2k =，据此即可求解；（2）利用勾股定理逆定理即可判断求解；本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键．【小问1详解】解：设2a c k −=−，7a b k +=，c b k −=，∴()()27a c a b c b k k k −+++−=−++， 即26a k =，∴3a k =，∴4b k =，5c k =，∵24a b c ++=，∴34524k k k ++=，∴2k =，∴6a =，8b =，10c =；【小问2详解】解：∵222268100a b +=+=，2210100c ==，∴222a b c +=，∴ABC 为直角三角形．23. 已知关于x 一元二次方程22230x mx m m ++−=．（1）若方程有两个实数根，求m 取值范围；（2）设22230x mx m m ++−=的两个实数根为1x ，2x ，若221212364x x x x =++，求m 的值． 【答案】（1）0m ≥的的的（2）3m =【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点．（1）由方程有实数根即可得出()()22Δ2430m m m =−−≥，解之即可得出m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出122x x m +=−，2123x x m m =−，结合221212364x x x x =++，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再由（1）中m 的取值范围即可确定m 的值．【小问1详解】解： 该方程有两个实数根，()()22Δ2430m m m ∴=−−≥， 120m ∴≥，0m ∴≥；【小问2详解】解：122x x m +=− ，2123x x m m =−， 221212364x x x x ∴=++，()21212236x x x x ∴++=，即()2242336m m m +−=， 260m m ∴−−=， 12m ∴=−，23m =，0m ≥ ，3m ∴=．24. 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB 的示意图．如图Ⅱ，在C 处放置一根高度为2m 且与地平线BF 垂直的竹竿IC ，点A ，I ，D 在同一直线上，测得CD 为3m ．将竹竿3m 平移5m 至E 处，点A ，G ，F 在同一直线上，测得EF 为5m ．求大拇指的高度．【答案】大拇指的高度为7m【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．分别证明CDI BDA ∽ 、GEF ABF ∽ 可得IC CD CD AB BD BC CD ==+、EF GE EF AB EF CE BCBF ==++，进而得到35310BC BC =++可得7.5BC =；最后将7.5BC =代入IC CD AB BC CD=+求得AB 值即可解答．【详解】解：由题意可得：AB CI ∥，∴CDI BDA ∽ ． ∴ICCD CD AB BD BC CD==+． 由题意可得：AB EG ∥，∴GEF ABF ∽ ． ∴GEEF EF AB EF CE BCBF ==++． ∵IC GE =， ∴CD EF BC CD EF CE BC =+++，即35310BC BC=++，解得：7.5BC =． 将7.5BC =代入IC CD AB BC CD =+，得2310.5AB =．解得7AB =． ∴大拇指的高度为7m ．25. 如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，P 是AB 的延长线上的点，弦CE 交AB 于点D ．2POE CAB ∠=∠，P E ∠=∠．（1）求证：CE AB ⊥；（2）求证：PC 是O 的切线；的（3）若BD OD =，9PB =，求O 的半径．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）9【解析】【分析】（1）连接OC ，如图所示，由圆周角定理得到COD EOD ∠=∠，在COD △和EOD △中，由三角形全等即可得到SAS COD EOD （≌），利用三角形全等的性质即可得到答案； （2）由（1）中全等三角形性质得到E OCE ∠=∠，结合三角形内角和定理得到OC CP ⊥即可得证； （3）由垂直平分线的判定与性质得到OC BC =，再由等边三角形的判定与性质得到BCP P ∠=∠，再由等腰三角形的判定与性质即可得到答案．【小问1详解】证明：连接OC ，如图所示：则2COB CAB ∠=∠，∵2POE CAB ∠=∠，COD EOD ∴∠=∠，在COD △和EOD △中，CO EO COD EOD OD OD = ∠=∠ =∴SAS COD EOD （≌）， ∴1180902CDO EDO ∠=∠=×°=°， CE AB ∴⊥；【小问2详解】证明：由（1）得COD EOD ≌，E OCE ∴∠=∠，又P E ∠=∠ ，P OCE ∴∠=∠∵90CDO ∠=°，∴1801809090OCE COP CDO ∠+∠=°−∠=°−°=°，90P COP ∴∠+∠=°，∵()1801809090OCP P COP ∠=°−∠+∠=°−°=° ，即OC CP ⊥， PC ∴是O 的切线；【小问3详解】解：BD OD = ，CE AB ⊥，CE ∴垂直平分OB ，∴OC BC =．又OC OB = ，OB OC BC ∴==，OBC ∴ 为等边三角形，60OCB COB ∴∠=∠=°，90OCP ∠=° ，906030,90906030BCP OCP OCB P COP °°°°°°°∴∠=∠−∠=−=∠=−∠=−=BCP P ∴∠=∠，BC BP ∴=，9PB = ，9BC ∴=，9OC ∴=，即O 的半径为9．【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的基本性质及综合题型解法是解决问题的关键．26. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．（1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？（2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？（3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．【答案】（1）800元（2）55元 （3）该超市不能每月获得880元的利润，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；（1）根据总利润=销售量×单个的销售利润列式求解即可；（2）设每箱饮料降价x 元，根据总利润=销售量×单个的销售利润，列出方程求解即可；（3）设每箱饮料降价y 元，根据总利润=销售量×单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可．【小问1详解】解：()()6024860210800−−×+×=元， 答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元；【小问2详解】解：设每箱饮料降价x 元，由题意得：()()60486010770x x −−×+=， 整理得：2650x x −+=，解得：15x =，21x =（不符合题意，舍去）， ∴6060555x −−，答：每箱饮料售价应定为55元；【小问3详解】解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下：设每箱饮料降价y 元，由题意得：()()60486010880y y −−×+=， 整理得：26160y y −+=， ∵()2Δ6411636640=−−××=−<，∴此方程无解，∴该超市不能每月获得880元的利润．27. 按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，由小正方形构成的66×网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，O 经过A ，B ，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O ；（2）如图2，在平行四边形ABCD 中，45A ∠=°，以AB 为直径的圆与CD 相切于点D ．请仅用无刻度直尺在图中作出ABD △的重心M ．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了网格作图和尺规作图．熟练掌握全等三角形性质，线段垂直平分线性质，是解题的关键．（1）根据AD BC ==，5CD AB ==，AC 共用，可知，ABC CDB △≌△，得到CD 是直径，点O 即为圆心；（2）根据AD BD =，AP BP =，得到DP 垂直平分AB ，点N 为AB 中点，根据AC BD ，是平行四边形ABCD 的对角线，得到点Q 是BD 的中点，即得M 是ABD △的重心．【小问1详解】解：取点D ，使AD =CD ，交AB 于点O ，点O 即为所求作；【小问2详解】分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径在点D 的异侧画弧，两弧交于点P ，作射线DP ，连接AC 交DP 于点M ，点M 即为所求作．28. 新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图1，若四边形ABCD 是美好四边形，且AD BD =，90ABC ∠=°，4AB =，3BC =，求四边形ABCD 的面积；【问题解决】（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在A ，B ，C ，D 四处，现要求信号塔C 建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m 的圆，记为E ．已知点A 到该湖泊的最近距离为500m ，是否存在这样的点D ，满足AC BD =，使得四边形ABCD 的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3+； （2）存在，最大为2405000m【解析】【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键．（1）过D 作DK AB ⊥于K ，先利用勾股定理求出AC ，再分别求ABD S 和BCD S △；（2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定AC 的最大值，即可得到答案．【详解】解：（1）过D 作DK AB ⊥于K ，如图1，90ABC ∠=° ，4AB =，3BC =，5AC ∴=，四边形ABCD 是美好四边形，AD BD =，5AD BD AC ∴===，DK AB ⊥ ，122AK BK AB ∴===，在Rt ADK △中，DK1122ABD S AB DK ∴=⋅=×=△，1132322BCD S BC BK =⋅=××=△，3ABD BCD ABCD S S S ∴=+=△△四边形；（2）存在这样的点D ，满足AC BD =，且使得四边形ABCD 的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2，过点D 作DM AC ⊥于M ，过点B 作BN AC ⊥于N ，则()12ACD ACB ABCD S S S AC DM BN =+=⋅+ 四边形， DM DO < ，BN BO <，DM BN BD ∴+<， 12ABCD S AC BD ∴<⋅四边形． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3，则()1122ACD ACB ABCD S S S AC OD OB AC BD =+=⋅+=⋅ 四边形， ∴当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点A 到湖泊的最近距离为500m ，E 的半径为200m ， ()500200700m AE ∴=+=，又200m CE = ，∴当A 、E 、C 依次共线时AC 最长，如图4，又AC BD ⊥时，21122ABCD S AC BD AC =⋅=四边形， ∴此时四边形ABCD 面积最大，此时()900m AC AE CE =+=，()22211900405000m 22ABCD S AC ∴==×=四边形， 故四边形ABCD 的面积最大为2405000m ．。
2024-2025学年初中九年级上学期第一次月考数学试题及答案(苏科版)
2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是（ ）A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x+= 2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为（ ）A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x += 4. 若关于x 一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上的三点，则123,,y y y 为的大小关系为（ ）A 123y y y >> B. 132y y y >> C. 321y y y >> D. 312y y y >> 7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为（ ） x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >的.二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根，则22101m m −−=______． 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0，则m 的值为________ 12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形．假设矩形的一边长是cm x ，则可列出方程_____________________13. 如图，已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________．14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ ．15. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 取值范围为__________16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−，则飞机着陆后滑行_________秒才停下来．17. 如图所示，,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点，且直线AB 垂直于y 轴，若2AB =，则点B 的纵坐标为________．18. 如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高163米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子的正方形的最大边长为______米．三、解答题19. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．（1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？（3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由． 20. 解方程：（1）2(2x 1)9+=；（2）2x 2﹣4x ＝1（配方法）；（3）22x 5x 10−+=；（4） ()2(x 3)4x 3x 0−−−= 21. 随着科技的发展，某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G 基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G 基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为多少？22. 如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．（1）当羊圈的边AB 的长为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．23. 已知函数()214y x =−−+．（1）当x =____________时，抛物线有最大值，____________．（2）当x ____________时，y 随x 的增大而增大．（3）该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到？（4）该抛物线与x 轴交于点____________，与y 轴交于点____________．（写坐标）（5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．24. 已知图象的顶点坐标是()2,1，且与x 轴的一个交点坐标是()3,0，求此二次函数的解析式． 25. 已知：二次函数()221y x m x m =−++−． （1）求证：该抛物线与x（2）设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、（A 在原点左边，B 在原点右边），且3AB =，求此时抛物线的解析式．26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C −．（1）求二次函数解析式；（2）若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，连接PA ，PB ，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；是的2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是（ ）A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x += 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：A 、当0a ≠时，20ax bx c ++=是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、22x x −=是一元二次方程，故本选项符合题意；C 、变形为22x =不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、11x x+=含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的情况，涉及一元二次方程根的判别式，由题中一元二次方程得到判别式，即可判断答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键．【详解】解：一元二次方程2310x x −−=， 3,1,1a b c ==−=−，()()21431∴∆−−××−112=+130=>，∴一元二次方程2310x x −−=的根的情况为有两个不相等的实数根，故选：D ．3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为（ ）A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x +=【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：2430x x −+=，∴243x x −=−，∴24434x x −+=−+，即()221x −=．故选：B4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，∴()26490k ∆=−−×>，且0k ≠，解得：1k <且0k ≠，即k 的取值范围是1k <且0k ≠．故选：D5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案．【详解】解：将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，得到22y x =+，再向右平移3个单位长度，得到()232y x =−+， 故选：B ．6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上三点，则123,,y y y 为的大小关系为（ ）A. 123y y y >>B. 132y y y >>C. 321y y y >>D. 312y y y >>【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．【详解】解：∵()221y x a =−+,∴抛物线的对称轴为直线1x =，开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵点()12,A y −离对称轴最远，点()21,B y 在对称轴上，∴132y y y >>．故选：B ．7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x 轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k 的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案．【详解】解：∵抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点， 的∴()()2Δ44200k k =−−×−⋅> ≠ ， ∴2k >−且0k ≠，故选：C ．8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为（ ） x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数的表达式，再根据与x 轴的交点即可求出0y <的x 的取值范围，解题的关键是求出二次函数2y ax bx c ++的表达式．【详解】解：由表格可知2y ax bx c ++经过()2,0−，()3,0，()0,6−，设解析式为()()23y a x x =+−∴()()02036a +−=−， 解得：1a =，∴抛物线解析式为()()2236y x x x x =+−=−−，∴抛物线图象开口向上，与x 轴的交点为()2,0−，()3,0，∴0y <时x 的取值范围是23x −<<，故选：C ．二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根，则22101m m −−=______． 【答案】3【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m 代入2520x x −−=，求出252m m −=，即可求出22101m m −−的值．【详解】解：∵m 是方程2520x x −−=的一个根，∴252m m −=，∴()2221012512213,m m m m −−=−−=×−=故答案为：3． 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 【答案】1或3−【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．根据判别式的意义得到()2Δ1410k =+−×=，然后解关于k 的方程即可． 【详解】解：由题意得：()2Δ1410k =+−×=，即：()214k +=，解得：1k =或3−，故答案为：1或3−． 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0，则m 的值为________ 【答案】2−【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将0x =代入方程求出2m =±，再根据一元二次方程的定义求出2m ≠，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．【详解】解：将0x =代入()22240m x mx m −++−=，得240m −=， 解得2m =±，∵20m −≠，∴2m ≠，∴2m =−，故答案为2−．12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形．假设矩形的一边长是cm x ，则可列出方程_____________________ 【答案】22=302x x −【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S ab =来解题的方法．本题可根据长方形的周长可以用x 表示另一边长的值，然后根据面积公式即可列出方程．【详解】解：一边长为 c m x ，则另一边长为22cm 2x −， 得22=302x x −． 故答案为：22=302x x −． 13. 如图，已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________．【答案】30x −≤≤【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x 的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】∵抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点， ∴由函数图象可得，不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是30x ≤≤﹣，故答案为：30x −≤≤．14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ ． 【答案】()3,2− 【解析】【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)性质，2()y a x h k =−+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(,)h k ，对称轴是直线x h =． 【详解】解：物线()232y x =−−−的顶点坐标是()3,2−．故答案为：()3,2−．15. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为__________ 【答案】35y −≤≤##53x ≥≥− 【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当1x >−时，y 随x 的增大而增大，求得当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，即可求解．【详解】解：由题意得，10a =>，对称轴1x =−， ∴当1x >−时，y 随x 增大而增大， ∵当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，∴当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为35y −≤≤， 故答案为：35y −≤≤．16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−，则飞机着陆后滑行_________秒才停下来． 【答案】20 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s 最大时对应的t 值，根据顶点坐标的实际意义可得答案． 【详解】∵()2260 1.5 1.520600s t t t =−=−−+， ∴当20t =时，s 取得最大值600， ∴飞机着陆后滑行20秒才停下来．的的故答案：20．17. 如图所示，,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点，且直线AB 垂直于y 轴，若2AB =，则点B 的纵坐标为________．【答案】1 【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键．求出对称轴后根据对称性求点B 横坐标，再代入解析式即可解答． 【详解】解：∵()2221y x =−−， ∴抛物线对称轴为直线2x =， ∵2AB =，∴点B 横坐标为213+=，将3x =代入()2221y x =−−得1y =， ∴点B 的纵坐标为1． 故答案为：118. 如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高163米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为______米．【解析】为【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先建立解析中坐标系，则()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，，利用待定系数法求出抛物线解析式为211633y x =−+，再把B 、C 坐标代入求解即可．【详解】解：建立如下平面直角坐标系，则点()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，、设抛物线的表达式为：()21603y ax a =+≠， 将点A 的坐标代入上式得：160163a =+，解得13a =−，∴抛物线的表达式为：213y x =− 将点B 、C 的坐标代入上式得：()2211623311633m m n m n =−+ =−++①②，由①得1228m m ==−，(舍去），解得：2m n = = 或2m n = =（舍去），米．． 三、解答题19. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．（1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？（3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）()40x −，2x（2）每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）不能，理由见解析 【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x 元，根据题意列出代数式即可；（2）设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，根据题意列出一元二次方程求解即可；（3）设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【小问1详解】解：设每套拖把降价x 元，则每天销售量增加2x 套，即每天销售()202x +套， 每套拖把盈利()1208040x x −−=−元．故答案为：()40x −，()202x +； 【小问2详解】解：设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，依题意得：()()402021242x x −+=， 整理得：2302210x x −+=，解得：121317x x ==，． 又∵需要尽快减少库存，∴17x =．答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； 【小问3详解】解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，依题意得：()()120802021400y y −−+=， 整理得：2303000y y −+=． ∵()22Δ43041300300<0b ac =−=−−××=−， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 20. 解方程：（1）2(2x 1)9+=； （2）2x 2﹣4x ＝1（配方法）； （3）22x 5x 10−+=；（4） ()2(x 3)4x 3x 0−−−=【答案】（1）121,2x x ==−；（2）1211x x ；（3）12x x ；（4）1233,5x x == 【解析】【分析】（1）直接开平方法解方程即可；（2）先方程两边除以2，将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上1，配方开平方即可解答； （3）确定a 、b 、c ，求出△值，当判断方程有解时，带入公式求解即可； （4）整理方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）2(2x 1)9+= 开平方，得：2x 13+=±， 解得：121,2x x ==−； （2）22x 41x −=，二次项系数化为1，得：21x 22x −=， 配方，得：21x 2112x −+=+， 即23(x 1)2−=，开方，得：1x −=解得：1211x x （3）22x 5x 10−+= ∵a=2，b=﹣5，c=1,∴△=224(5)42117b ac −=−−××=﹥0,∴x =，解得：12x x =（4）()2(x 3)4x 3x 0−−−= ()2(x 3)4x 30x +−−=(3)(53)0x x −−=∴30x −=或530x −=，解得：1233,5x x ==． 【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是解答的关键．21. 随着科技的发展，某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G 基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G 基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为多少？ 【答案】（1）6万座 （2）70% 【解析】【分析】本题考查有理数乘法的应用，一元二次方程的实际应用：（1）根据计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍，列出算式计算即可；（2）设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可 【小问1详解】解：由题意得：1.546×=（万座）； 答：计划在今年底，全省5G 基站数量是6万座． 【小问2详解】解：设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，由题意得：()26117.34x +=，解得：120.7, 2.7x x ==−（不符合题意，舍去）； 答：全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．22. 如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．（1）当羊圈的边AB 的长为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈 （2）羊圈的面积不能达到2650m ，理由见解析 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】解：设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －，根据题意，得()722640x x −=，化简，得2363200x x −+=，解方程，得116x =，220x =，当116x =时，72240x −=， 当220x =时，72232x −=．答：当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈． 【小问2详解】不能，理由如下：根据题意，得()722650x x −=， 化简，得2363250x x −+=，()22436432540b ac −=−×=−−< ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到2650m 23. 已知函数()214y x =−−+．（1）当x =____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x ____________时，y 随x 的增大而增大．（3）该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到？（4）该抛物线与x 轴交于点，与y 轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．【答案】（1）1；4 （2）1<（3）见解析 （4）(1,0)−和(3,0)；(0,3) （5）见解析 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为1−得出抛物线开口向下，由此即可得出结论；（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；（3）找出函数2y x =−的顶点坐标，结合函数2(1)4y x =−−+的顶点坐标，即可找出平移的方法； （4）令0y =可得出关于x 的一元二次方程，解方程求出x 值，由此得出抛物线与x 轴的交点坐标；令0x =求出y 值，由此即可得出抛物线与y 轴的交点坐标；（5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象． 【小问1详解】解： 函数解析式为2(1)4y x =−−+，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)． ∴当1x =时，抛物线有最大值，是4．故答案为：1；4； 【小问2详解】解： 抛物线的开口向下，对称轴为1x =，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大．故答案为：1<； 【小问3详解】解： 函数2y x =−的顶点坐标为(0,0)，∴将函数2y x =−的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数2(1)4y x =−−+的图象．【小问4详解】解：令0y =，则有2(1)40x −−+=， 解得：11x =−，23x =，∴该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)−和(3,0)．当0x =时，2(01)43y =−−+=， ∴该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(1,0)−和(3,0)；(0,3)． 【小问5详解】 解：列表：x 1−0 1 2 3 y343描点，连线，该抛物线的图象如图：．24. 已知图象的顶点坐标是()2,1，且与x 轴的一个交点坐标是()3,0，求此二次函数的解析式． 【答案】()221y x =−−+ 【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把解析式设顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数解析式为()()2210y a x a =−+≠，把()3,0代入()()2210y a x a =−+≠中得：()20321a =−+，解得1a =−，∴此二次函数解析式为()221y x =−−+． 25. 已知：二次函数()221y x m x m =−++−．（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、（A 在原点左边，B 在原点右边），且3AB =，求此时抛物线的解析式．【答案】（1）见解析 （2）2y x x 2−− 【解析】【分析】（1）根据()()22Δ2418m m m =+−−=+的符号，即可求解，为（2）由根与系数关系，列出()()2224A B A B A B AB x x x x x x =−=+−⋅，即可求解，本题考查了根的判别式，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握根的判别式，根据系数关系．【小问1详解】证明：()()22Δ2418m m m =+−−=+，20m ≥ ，2Δ880m ∴=+≥>，故抛物线与x 轴一定有两个交点，【小问2详解】解：令0y =，得()2210x m x m −++−=， 由（1）知Δ0>，2A B x x m ∴+=+，1A B x x m ⋅=−，()()()()22224241A B A B A B AB x x x x x x m m =−=+−⋅=+−−， ()()22419m m ∴+−−=，解得1m =±，A 在原点左边，B 在原点右边，10A B x x m ∴⋅=−<，1m ∴<，1m ∴=−，故抛物线的表达式为：2y x x 2−−．26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C −．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，连接PA ，PB ，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；【答案】（1）245y x x =−−（2）当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24 − 【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −，则25PQ x x =−+，然后根据ABPS PQ OB =⋅ 计算即可． 【小问1详解】解：当xx =0时，5y =−，∴点A 的坐标为()0,5−， 当0y =时，50x −=，解得5x =，∴点B 的坐标为()5,0，设抛物线的解析式为()()51y a x x =−+，代入()0,5−得：55a −=−，解得：1a =，∴二次函数的解析式为()()25145y x x x x =−+=−−； 【小问2详解】解：过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −， ∴225(45)5PQ x x x x x =−−−−=−+， ∴()2211551255522228ABP S PQ OB x x x =⋅=×−+×==−−+ ， 当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24 − ．。
九年级上册数学第一次月考试卷(含答案)
九年级月考（一）数学试题一.选择题(10×4)1.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．12.如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 23.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(13)，B ．(13)-，C ．(13)-，D ．(13)--，4.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）5.将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大A. 7B. 6C. 5D. 4 6. 如图所示，A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、C （3x ，3y ）是函数xy 1=的图象在第一象限分支上的三个点，且1x ＜2x ＜3x ，过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH 、BEON 、CFOP ，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论中正确的是（ ） A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 3 <S 2< S 1C ．S 2< S 3< S 1D ．S 1=S 2=S 37．已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过 （ ） A (－a ,－b ) B (a ,－b ) C (－a ，b ) D （0，0）8.在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、 向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A ．y ＝2(x －2)2 + 2B ．y ＝2(x + 2)2－2C ．y ＝2(x －2)2－2D ．y ＝2(x + 2)2 + 2y–1 33O xP1 xy C OA B9.如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x=过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4-10.一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当0x =时，函数值最大；②当02x <<时，函数y 随x 的增大而减小； ③存在001x <<，当0x x =时，函数值为0．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③五、填空题(5×5)11.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是 m ． 12.数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：x… 2-1- 0 1 2 … y…162- 4-122- 2-122- …根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =时，y =13. 已知函数22y x x c =-++的部分图象如图所示,则c=______,当x______时,y 随x 的增大而减小. 14.如图，在反比例函数2y x=(x<0)的图象上，有点P 1（x 1,y 1），p 2(x 2,y 2)若x 1<x 2,则y 1___y 2 .15.如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（0x >，常数0k >）的图象经过点(12)A ，，()B m n ，，（1m >），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC △的面积为2，则点B 的坐标为 ．（第10（第7题）ox13y OxC A (1，2)B (m ，n )三.解答题（85分）16.(8分)已知一次函数y =ax ＋b 的图像与反比例函数4y x=的图像交于A （2，2），B (－1，m )，求一次函数的解析式．17.(8分)已知二次函数y=x 2-2x-1。
山西省大同市大同一中南校2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷
山西省大同市大同一中南校2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷一、单选题1．方程()()3240x x −−=的根是（ ） A ．13x =−，22x =− B ．13x =，22x = C ．13x =，22x =−D ．13x =−，22x =2．抛物线2(3)5y x =−+的开口方向、顶点坐标分别是（ ） A ．开口向上；()3,5− B ．开口向下；()3,5−− C ．开口向上；()3,5D ．开口向下；()3,5−3．解方程()()2513510x x x −−−=最适当的方法是（ ） A ．直接开平方法 B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法4．拋物线243y x x =−++的对称轴是（ ） A ．x =2B ．2x =−C ．4x =D ．4x =−5．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为响应全民阅读活动，打造书香校园，在校园里建立了图书角。
据统计，八（10）班第一周阅读128人次，阅读人次每周增加，到第三周累计阅读608人次，若阅读人次的周平均增长率为x 可得方程（ ） A ．128(1+x)=608B ．128(1+x ）2=608C ．128(1+x)+128(1+x)2=608D ．128+128(1+x)+128(1+x)2=6086．关于x 的一元二次方程22210x ax a ++−=的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关7．下表给出了二次函数()20y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值，则方程20ax bx c ++=的一个根的近似值可能是（ ）A ．1.09B ．1.19C ．1.29D ．1.398．若点()14A y −，，()21B y −，，3(1)C y ，在抛物线21(2)12y x =−+−上，则（ ） A ．132<y y y <B ．213<<y y yC ．321<y y y <D ．312y y y <<9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值如下表：下列说法正确的是( ) A ．抛物线的开口向下 B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是－2D ．抛物线的对称轴是直线x ＝－5210．如图，抛物线()210:+=+L y ax bx c a ≠与x 轴只有一个公共点A （1，0），与y 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．方程32=2x x x ++（）（）的解为 ．12．二次函数2=23y x x −−的顶点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ．13．汽车刹车后行驶的距离y （单位：m ）关于行驶的时间x （单位：s ）的函数解析式是：2156s x x =−，汽车刹车后前进了 米才能停下来．14．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x 2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为 ．15．如图，抛物线2824277y x x =−++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，P 为抛物线对称轴上动点，则PA PC +取最小值时，点P 坐标是 ．三、解答题 16．解下列方程： (1)22480x x +−=； (2)262−+=−x ； (3)22530x x +−=17．已知关于x 的一元二次方程22240x mx m ++−=． (1)求证：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个根为p 和q ，且满足0pq p q −−=，求m 的值．18．如图，直线12y x =−−交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线22y ax bx c =++顶点为A ，且经过点B ．（1）求该抛物线的解析式； （2）求当12y y ≥时，x 的取值范围．19．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x 元，平均每周的销售量为y 顶．(1)每顶头盔降价x 元后，每顶头盔的利润是 元（用含x 的代数式表示）； (2)平均每周的销售量y （顶）与降价x （元）之间的函数关系式是 ； (3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？20．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用79m 长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有1m 宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设m AB x =，矩形ABCD 的面积为2m y ．(1)请求出y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为2750m ？(3)当x 为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 21．阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务：用函数观点认识一元二次方程根的情况，我们知道，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根就是相应的二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭和一元二次方程根的判别式24Δb ac =−分别分0a >和0a <两种情况进行分析：（i ）0a >时，拋物线开口向上：①当2Δ40b ac =−>时，有240ac b −<．0a >，∴顶点纵坐标2404ac b a−<．∴顶点在x 轴的下方，犹物线与x 轴有两个交点（如图①）．∴—元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根．②当2Δ40b ac =−=时，有240.−=ac b 0a >，∴顶点纵坐标2404ac b a−=．∴顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点（如图②）．∴—元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根．③当2Δ40b ac =−<时，L （ii ）0a <时，抛物线开口向下：… 任务：(1)请参照小论文中当0a >时①②的分析过程，写出（ii ）中当0a <，Δ0>时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(2)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例22．如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y =16−x 2+bx +c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m ．（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？23．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象交x 轴于点()1,0A ，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的解析式：(2)点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求BCP 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．。
天津市南开中学滨海生态学校2024-—2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
天津市南开中学滨海生态学校2024-—2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．2y ax bx c =++C ．221y x =-D ．y =2．二次函数()2223y x =--的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()2,3D ．()2,3-- 3．已知抛物线()212y x =-+，下列结论不正确的是（ ）A ．顶点在x 轴上方B ．对称轴在y 轴右侧C ．顶点是抛物线的最低点D ．与y 轴的交点是()0,24．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位5．二次函数26y x x =+-的图象与x 轴交点的横坐标是（ ）A ．2和3-B ．2-和3C ．2和3D ．2-和3- 6．二次函数222y x x -=+有（ ）A ．最大值2B ．最大值1C ．最小值1D ．最小值2 7．若函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤ D ．3k ≤且0k ≠8．下列各点，在抛物线设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()21y x a =++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 9．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()3,9A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为（ ）A ．11x =-，23x =B ．19x =，23x =-C ．11x =，29x =D ．11x =，23x =-10．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当1x =和3x =时，函数值相等；③40a b +=；④当2y =-时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．二次函数2y ax bx c =++与-次函数y ax c =+在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为则水面下降（ ）米．A ．1米B ．2米C ．3米D ．10米二、填空题13．当m ＝时，y ＝（m+2）22m x -是二次函数．14．将二次函数225y x x =-+化为2()y a x h k =-+的形式为y =.15．抛物线()()1312017y x x =-+-的对称轴是． 16．已知抛物线224y x x m =-+的顶点在x 轴上，则m 的值是．17．有一长方形条幅，长为m a ，宽为m b ，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积()2m S 与花边宽度()m x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围为 ．18．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S （米）关于滑行的时间t （秒）的函数解析式是20.258S t t =-+，无人机着陆后滑行秒才能停下来，滑行的最大距离为米．三、解答题19．已知抛物线265y x x =-+-．(1)通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴；(2)当x 取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值．20．已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点()4,3，()3,0．(1)求b ，c 的值；(2)在所给平面直角坐标系中画出二次函数2y x bx c =++的图象；(3)如果此抛物线上下平移后过点()2,2-，试确定平移的方向和平移的距离．21．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,0A -、()2,3B 、()0,3C 三点，且与x 轴的另一个交点为E ．(1)求二次函数的解析式；(2)写出抛物线顶点D 的坐标和对称轴；(3)结合图象回答：当x 在什么范围时，0y >(4)求四边形ACDE 的面积．22．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a 的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ，并在BC 边上留有一扇1米宽的门．设AD 边的长为x 米，矩形花圃的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式．(2)若墙长a ＝30米，求S 的最大值．23．如图，点A 、B 在214y x =的图象上已知A 、B 的横坐标分别为2-、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接OA OB 、．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)求AOB V 的面积；(3)设直线AB 所对应的一次函数的函数值小于214y x =的函数值，写出对应的自变量的取值范围：___________．(4)函数214y x =的图象上是否存在点P ，使PAB V 的面积等于AOB V 的面积的一半，则这样的点P 共有___________个．24．大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x 元每星期销售量为y 件．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？(3)若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 25．已知，抛物线2y x bx c =-++经过点()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式；的值最小？如果存在，请求出点P的坐(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA PC标，如果不存在，请说明理由；(3)设点M在抛物线的对称轴上，当MAC△是直角三角形时，求点M的坐标．。
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2011年秋初三年级第一次月考
数学试题
一、细心填一填，相信你填得对！（每空3分，共33分）
1. 若x
x x x --=--32
32
成立，则x 满足_______________． 2.
计算：= ；)27)(27(-+
的结果是 . 3. 已知4322+-+
-=x x y ，则，=xy ______. 4．若方程21(1)230m m x mx +-+-=是关于x 的一元二次方程，则m= .
5．如果二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是 .
6、 在一块长35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同为x 的两条小路，
如图，其中绿地面积为850m 2，则可列出方程为 .
7.化简22)23(169--+-x x x 的结果是 .
8. 若两个最简二次根式
x x 32+与15+x 可以合并，则x = 。
9．如图，A B C △和D C E △都是边长为2的等边三角形，点
B C E ，，在同一条直线上，连接B D ，则B D 的长为 ．
10．小明的爸爸下岗后一直谋职业，做起了经营水果的生意，一天他先去批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.80元零售，结果，乙种水
果很快售完，甲种水果售出45
时，出现滞销，他又按原零售价的5折售完剩余的水果。
请你帮小明的爸爸算一算这一天卖水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因
素）？ .
二、精心选一选（30分）
11．在下列根式45283、、、a b x 中，最简二次根式有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个 12. 若2-x 是二次根式，则x 的取值范围是 ( )
A ． x ＞2
B ． x ≥2
C 、 x ＜2
D ． x ≤2
A D
B C D
13．下列计算正确的是 ( ) ①694)9)(4(=-⋅-=
--；②694)9)(4(=⋅=--； ③145454522=-⋅+=
-；④145452222=-=-； A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 14．把m m 1
-根号外的因式移到根号内，得（ ）
A ．m
B ．m -
C ．m --
D ．m -
15、关于x 的一元二次方程522=+ax x 的一个根是1，则a 的值是（ ）
A 、0
B 、1
C 、3
D 、-3
16. 等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A ．8
B ．10
C ．8或10
D ．不能确定
17．解下面方程：（1）2x 2－5=0（2）2320x x --=（3）260x x +-=，较适当的方法分别为（ ）
A ．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B ．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C ．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D ．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
18．若关于x 的一元二次方程kx 2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）
A ．k<1且k ≠0
B ． k ≠0
C ． k<1
D ． k ＞1
19.
20.
三、耐心做一做，试试我能行！（共6道题，30分）
21． 计算：（1）
（2）
22. 先化简再求值：
)12(122+-÷++x x x x x ，其中2=x .
23、用配方法解方程
24、用公式法解方程 2x 2－3x=1
25．（4分）已知2007,a a -+
=求2
2007a -的值.
四．解答题（共57分）
26（8分）某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）
27.（8分）如图，有一面积为2
18），另三边用竹
150m的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长m 篱笆围成，如果竹篱笆的长为m
35，求鸡场的长与宽各为多少米？
28. （共10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大
销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件。
（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？
29.（10分）如图，以直角梯形OBDC的下底OB所在的直线为x轴,以垂直于底边的腰OC所在的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,CD和OB是方程2540
x x
-+=的两个根.
(1)试求S
△OCD : S
△ODB
的值;
(2)若2.
OD CD OB
=,试求直线DB的解析式;。