2017中考数学圆综合性问题复习

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(完整版)2017中考数学圆的综合题试题

圆的综合题1. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，过圆心O 的直线垂直AB 于点D ，交⊙O 于点C 和点E ，连接AC 、BC 、OB ，cos ∠ACB ＝13，延长OE 到点F ，使EF ＝2OE .(1)求证：∠BOE ＝∠ACB ; (2)求⊙O 的半径；(3)求证：BF 是⊙O 的切线．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC 、 BC ，分别与⊙O 相交于点D 、点E ，且»»AD DE ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接BD 、DE 、AE . (1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)试判断△DEC 的形状，并说明理由；(3)若⊙O 的半径为5，AC ＝12，求sin ∠EAB 的值．3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC 于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE ＝CE ；(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； (3)若BC ＝8，AD ＝10，求CD 的长．6 (2017原创)如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 和点D ，点E 为»DC的中点，连接OE 交CD 于点F ，连接BE 交CD 于点G .(1) 求证：AB ＝AG ；(2) (2)若DG ＝DE ，求证：GB 2＝GC ·GA ；(3)在(2)的条件下，若tan D ＝34，EG ＝10，求⊙O 的半径．7.(2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于点D ，F 为»AD 上一点，且»»AF BC ，连接DF ，并延长DF 交BA 的延长线于点E. (1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD ≌△AFD ；(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．8. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为点D .(1)求证：△ACD ∽△ABC ；(2)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(3)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CG 于点F ，连接BE ，若sin P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．9、(2016大庆9分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH。

中考数学精讲篇考点系统复习第六章圆第一节圆的基本性质

圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧G︵E上
一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°
1．垂径定理的应用类型： (1)如图，下列五个结论：①︵AC＝C︵B；②︵AD＝D︵B；③AM＝BM； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径．只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立(简称为“知二推三”)； (2)如图，在 Rt△AOM 中，满足 r2＝d2＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．
又∵AD＝BC，∴EC＝BC.∴OM＝ON， ∴CO 平分∠BCE.
命题点 2：垂径定理及其推论(近 6 年考查 2 次)
4．(2020·安徽第 9 题 4 分)已知点 A，B，C 在⊙O 上，则下列命题为真
命题的是
(B)
A．若半径 OB 平分弦 AC，则四边形 OABC 是平行四边形
B．若四边形 OABC 是平行四边形，则∠ABC＝120°
第六章圆第一节圆的基本性质
1．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，连接 AC，BC，AD，BD，若∠ABC＝40°，则∠AOC＝8 80°0°，∠ADC＝4040°°，∠ACB＝9 90°0°，∠BAC＝ 5 500°°.
2．(RJ 九上 P90 练习 T9 改编)如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝ 8，且圆心 O 到线段 AB 的距离为 6，则 AC 的长为__88－－22 7 __．
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB，在 Rt△OPB 中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan 30°＝ 3.

中考数学圆的综合的综合热点考点难点含详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG =．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．2．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．（1）求证：∠ACE=∠DCE；（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；（3）若AC=4，23CDFCOESS∆∆=，求CF的长．【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）43 【解析】【分析】（1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ；（2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°；（3）易证12COECAE S S =，由于23CDFCOE S S =，所以CDFCAE S S =13，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案．【详解】（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ；（2）延长AE 交BC 于点G ．∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°．∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°．∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°．（3）∵O 是AC 中点，∴12COE CAE S S=． 23CDFCOE SS =，∴CDFCAE S S =13． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°． ∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴CF CA =3，∴CF =3CA =43．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．3．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E(1) 求证：BE 是⊙O 的切线(2) 若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA 35=【解析】分析：（1）连接OB ，OD ，根据线段垂直平分线的判定，证得BF 为线段AD 的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF 是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.（2）根据中点的性质求出OF 的长，进而得到BF 、DE 、OB 、OD 的长，然后根据等角的三角函数求解即可.详解：证明：(1) 连接BO 并延长交AD 于F ，连接OD∵BD＝BA，OA＝OD∴BF为线段AD的垂直平分线∵AC为⊙O的直径∴∠ADC＝90°∵BE⊥DC∴四边形BEDF为矩形∴∠EBF＝90°∴BE是⊙O的切线(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点∴OF＝12CD＝32∵BF＝DE＝1＋3＝4∴OB＝OD＝35422-=∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝332552OFOD==点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.5．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2=PE•PF；（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．【答案】（1）详见解析；（2）D3，34a），E（﹣334a，34a），F3，0），P（﹣32a，2a）；S△DEF=3316a2．【解析】试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得出PB PEOP PD=，同理，△OPF∽△BPD，得出PB PDOP PF=，然后利用等量代换即可．（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．试题解析：（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP=∠PDO=90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴=，同理，△OPF∽△BPD∴=，∴=，∴PD2=PE•PF；（2）连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=30°，∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，∵O1B=O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B=BP，∵P为弧BO的中点，∴BP=OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P=OP=a，∴∠O1OP=60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，∴O1D=a，OD=a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，∴D（﹣a， a），∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°∴∠POF=30°，∵PE⊥OA，∴PF=OP=a，OF=a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=∠BOP=30°，∵PE⊥AB，PB=a，∴∠EPB=60°∴PE=a，BE=a，∵P为弧BO的中点，∴BP=PO，∴∠PBO=∠BOP=30°，∴∠BPO=120°，∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，即OPE三点共线，∵OE=a+a=a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA=30°，∴EM=OE=a，OM=a，∴E（﹣a， a），∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，DE边上的高为： a，∴S△DEF=×a×a=a2．故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足若13 CFDF=,连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3.（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求tan∠E的值．【答案】(1)证明见解析;(2)FG =2;(3)5 4.【解析】分析：（1）由AB是 O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；（2）由13CFFD= ,CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠5本题解析：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG=CG，∴AD AC=，∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；②∵13CFFD=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG-CF=2；③∵AF=3，FG=2，∴225AF FG-=，点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.7．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若CF OF＝12，求BFGF的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若CFOF＝k，求12SS的值．（用含k的式子表示）【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)72；(3)12SS=211k kk+++.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得BFGF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出12SS的值．【详解】解：(1)∵BC＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝12∠COB＝30°，∵OC＝OD，点E为CD中点，∴OE⊥CD，∴∠GED ＝90°，∴∠DGE ＝60°；(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3 ∵∠COB ＝60°∴OH ＝12OF ＝1， ∴HFHB ＝OB ﹣OH ＝2，在Rt △BHF 中，BF == 由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1， ∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12，∴HF2=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，在Rt △BHF 中，BF =由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OFCB BF=，即1GO k =+， ∴GO=过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB ＝30°∴PC ＝12CD ，∵点E是CD中点，∴DE＝12CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴12SS=BFGO=22111k kkk k+++++=211k kk+++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．8．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）23nπ．【解析】试题分析：（1）先求出AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．9．如图，AB为⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A，C，且AB=AD．（1）求tan∠AOD的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②22 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．10．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．【答案】AB＝3．【解析】【分析】作DE⊥AC，BF⊥AC，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD=，进而得到∠DAC＝∠CAB＝60°，在Rt△ADE中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE＝23，AE＝2，再由Rt△DEC中，根据勾股定理求出DC的长，在△BFC和△ABF中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF的长，然后根据求出的两个结果，由AB＝2AF，分类讨论求出AB的长即可.【详解】作DE⊥AC，BF⊥AC，∵BC＝CD，∴BC CD=，∴∠CAB＝∠DAC，∵∠DAB＝120°，∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°，∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE ， ∴DE ＝AE ＝2，∵AC ＝7，∴CE ＝5，∴DC= ∴BC ，∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°，∴tan60°＝BF AF，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF，∴()2227AF +-=， ∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AF AB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4，∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠ADC ＝∠ABC ，∵ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，2222453AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2，∴AB ＝4（不合题意，舍去），当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3．【点睛】此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.。

中考与圆有关的几何综合题教学设计

中考与圆有关的几何综合题教学设计教学目标1.借助中考考题的讲解，引导学生通过观察、探索、实践，进一步熟悉和运用圆、相似三角形、全等三角形、三角函数、特殊的四边形等相关知识；2.能合理运用转化的数学思想把复杂图形转化为基本图形求解，进一步熟悉几何的语言表达，培养良好的逻辑推理解题习惯。

教学重点能够综合运用圆、相似三角形、全等三角形、三角函数、特殊的四边形等知识。

教学难点能够排除复杂图形或复杂题意的干扰，分解出基本图形，抓住性质特征，综合运用相关知识解决类似的问题。

教法与学法1、合作探究：用题组，由浅入深，变式探讨，层层递进，促进学生对知识的细化和方法的掌握。

2、引导启发：发挥教师是组织者、引导者和参与者的作用，引导学生发现找到问题的办法。

让学生在合作交流中，诊断归纳；在探究探索中，类比提炼。

教学用具多媒体、圆规和直尺、试卷（课堂上所涉及到的题都先印发给学生提前探究分析）教学流程图式关系，夯实基础把握基本图形，排除干探讨归纳解题方法课件变式训练，巩固知识检查学生对方法的掌握程度排除干扰，把复杂的问题简单化抓纲务本，变式拓展掌握常规的证题方法和思路题的命题特点和考点分析2014 -2018年有关圆的综合布置作业归纳总结1教学过程一、命题特点与方法分析年份考点2014圆的性质、圆的相关计算、圆的切线证明、全等三角形、平行的判定和性质2015圆的性质（垂径定理）、全等三角形、平行四边形、平行的判定和性质、三角函数2016圆的性质（切线）、圆的切线证明、全等三角形、相似三角形、三角函数2017圆的性质（切线）、圆的相关计算、全等三角形、相似三角形、角的平分线的性质、三角函数2018圆的切线证明、全等三角形、相似三角形、平行的判定、垂直平分线的判定和性质、三角函数设计意图：通过表格让学生了解掌握有关圆的几何综合题的必要性和重要性，知道这道题的命题趋势和把握题目思考的方向。

二、中考考题剖析1、抓纲务本，变式拓展①(2013•广东)如图，⊙O是Rt△ABC 的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC 的延长线于点E．(1)求证：∠BCA=∠BAD；(2)求DE 的长；(3)求证：BE 是⊙O 的切线．②(九上P87例题)如图，⊙O 的直径AB 长为10cm，弦AC 长为6cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D,求BC,AD,BD 的长.图①图②2几何思路图: 解答：①(1)要证：∠BCA=∠BAD∠BDA=∠BAD ∠BCA=∠BDA (等腰三角形的性质) (圆周角定理)BD=BA(2)要求：DE 的长△BED∽△CBA∠BDE=∠CAB ∠BED=∠CBA=90 ①(1)证明：∵ BD=BA∴ ∠BDA=∠BAD.∵ ∠BCA=∠BDA∴ ∠BCA=∠BAD.(2)解：∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，∴∆BED∽∆CBA，∴即∴解得:（圆周角定理）(3)要证：（圆周角定理推论）BE是⊙O的切线OB⊥BE (3)证明：连接OB，OD，在∆ABO 和∆DBO 中OB∥ED BE⊥ED∠DBO=∠BDC∠DBO=∠ABO ∠ABO=∠OAB=∠BDC △ABO≌△DBO（SSS）AB=DBBO=BOOA=OD ∴∆ABO ≌ ∆DBO（SSS）∴ ∠DBO=∠ABO∵ ∠ABO=∠OAB=∠BDC∴ ∠DBO=∠BDC∴OB∥ED∵BE⊥ED∴EB⊥BO3∴BE 是⊙O 的切线.师生行为：学生观察两道题的图形，发现中考题是课本例题的变式。

中考数学圆的综合的综合热点考点难点及详细答案

中考数学圆的综合的综合热点考点难点及详细答案一、圆的综合1．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．求证：AD+BC=AB+CD．证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：B，D；②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．故答案为：40；③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．3．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, DEBE=DHBCDE BE =212-4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB2．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．5．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE∴BG∴弦BG的长度不变，等于．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．7．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22（）=4，∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P ，Q 的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．8．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若半圆O 的半径为6，求¶AC 的长．【答案】（1）直线CE 与半圆O 相切（2）4π【解析】试题分析：（1）结论：DE 是⊙O 的切线．首先证明△ABO ，△BCO 都是等边三角形，再证明四边形BDCG 是矩形，即可解决问题；（2）只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题，求AC 即可解决问题．试题解析：（1）直线CE 与半圆O 相切，理由如下：∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC.∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC ⊥DE ，∴直线CE 与半圆O 相切．（2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF ，∴△OCF 是等边三角形，∴∠AOC=120°∴¶AC 的长为1206180π⨯⨯=4π.9．已知：AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ，BD=CD,连接AD 、AC ．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ，交AB 于点K,求证AK=2OF ；(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105 【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ，可得GF =2a ，AF =4a ．由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM=12AG ．在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK 22(2)m m +=6，解得：m 65，∴AH =2m 125．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL =2AH = 12105．10．如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明;(2)求证:AE BF =;(3)若3(22)OG DE =-g ，求⊙O 的面积.【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π【解析】试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可；（2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明；（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =12AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴BD DE AD DB =，即BD 2=AD •DE ，∴22622BD AD DE OG DE =⋅=⋅=-（）．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得22222422x -=-（）（），∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x ==⋅=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π•（6）2=6π．点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．11．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是BC 上的一点，且PB ＜PC ，PA 交BC 于E ，点F 是PC 延长线上的点，CF=PB ，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP ≌△ACF ；（2）求证：AC 2=PA•AE ；（3）求PB 和PC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC 2=PA•AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。

2017中考数学全国试题汇编------圆(含详细解析)

2AE 2CD
BE 2
CD
当 D 在 C 右侧时，过 E 作 EI AB 于 I
在 Rt IBE 中， BE 2EI 2 2 AE 2
2AE 2CD
BE 2
CD 考点：圆的相关知识的综合运用 2（5 2017 贵州六盘水）.如图，MN 是 ⊙O 的直径，MN = 4 ，点 A 在⊙O 上，∠ AMN = 30°， B 为 AN 的中点， P 是直径 MN 上一动点 . (1)利用尺规作图，确定当 PA + PB 最小时 P 点的位置 (不写作法，但要保留作图痕迹 ). (2)求 PA + PB 的最小值 .
2
∴∠ CND=∠ NCD， 6 分 ∵MC=MN， ∴∠ MCN=∠MNC． ∵∠ MNC+∠CND=90°， ∴∠ MCN+∠NCD=90°， 7 分即 MC⊥CD．
y
A C
M
N
D
O
BA x
∴直线 CD是⊙ M 的切线． 8 分
25（ 2017 广东广州） .如 Nhomakorabea 14，AB 是 O 的直径， AC BC, AB 2 ，连接 AC ．
∴AN=4，1 分 ∵∠ ABN=30°，∠ ANB=90°， ∴AB=2AN=8，2 分 ∴由勾股定理可知： NB= 4 3 ，
∴B（ 4 3 ， 2） 3 分
（2）连接 MC，NC4 分 ∵AN 是⊙ M 的直径， ∴∠ ACN=90°， ∴∠ NCB=90°， 5 分在 Rt△ NCB中， D 为 NB 的中点， ∴CD= 1 NB=ND，
20（2017 湖北黄冈）．已知：如图， MN 为⊙ O 的直径， ME 是⊙O 的弦， MD
垂直于过点 E 的直线 DE，垂足为点 D，且 ME 平分∠ DMN．求证：（ 1） DE是⊙ O 的切线；（ 2） ME2=MD?MN．

(完整版)中考数学专题复习圆压轴八大模型题(学生用)(最新整理)

（2）连接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GH⊥AB 于点 H，若 PC＝4 ，PB＝4，求 GH 的长．
2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若 CD＝4，AF＝2，求⊙O 的半径．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
直线 CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若＝，则
＝．
（图 1-2）
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别平分∠BAD 和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF
求 PA 和 AD.
求 AD、PD、PA 的长.
【典例】（2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC．（1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ＝2，求的值．

中考数学专题11圆(第03期)-2017年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)

一、选择题目1．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，AC =5cm ，BC =12cm ，∠ACB =90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2 【答案】B ．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．2．（2017四川省广安市）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB =45，BD =5，则OH 的长度为（）A ．32B ．65C ．1D ．67【答案】D ．【解析】试题分析：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD =∠BHD =90°，∵cos ∠CDB =DHBD=45，BD =5，∴DH =4，∴BH3，设OH =x ，则OD =OB =x +3，在Rt △ODH 中，由勾股定理得：x 2+42=（x +3）2，解得：x =67，∴OH =67；故选D ．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．3．（2017四川省眉山市）如图，在△ABC 中，∠A =66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为（）A ．114°B ．122°C ．123°D ．132° 【答案】C ．【解析】试题分析：∵∠A =66°，∴∠ABC +∠ACB =114°，∵点I 是内心，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =57°，∴∠BIC =180°﹣57°=123°，故选C ．学*科网考点：三角形的内切圆与内心．4．（2017四川省绵阳市）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB =8cm ，圆柱体部分的高BC =6cm ，圆锥体部分的高CD =3cm ，则这个陀螺的表面积是（）A ．68πcm 2B ．74πcm 2C ．84πcm 2D ．100πcm 2【答案】C．【解析】试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．考点：1．圆锥的计算；2．几何体的表面积．5．（2017四川省达州市）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C．D【答案】A．考点：正多边形和圆．6．（2017山东省枣庄市）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．r << Br << C5r << D．5r <<【答案】B ．【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB==，AC =AD==，AE==，AF==，AG =AM =AN5r <<A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．故选B ．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．推理填空题目．7．（2017山东省济宁市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A ． 6πB ． 3πC ．122π-D ． 12【答案】A．【解析】试题分析：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB，∴S扇形ABD=6π．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=6π．故选A．考点：1．扇形面积的计算；2．等腰直角三角形；3．旋转的性质．学科*网8．（2017广东省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【答案】C．考点：圆内接四边形的性质．9．（2017广西四市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于（）A．2π3B．π3C．2√3π3D．√3π3【答案】A．【解析】试题分析：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠BAC =60°，又OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC =OB =OC =2，∴劣弧BC 的长为：602180π⨯ =2π3．故选A ．考点：1．弧长的计算；2．圆周角定理．二、填空题目10．（2017四川省眉山市）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB =8cm ，DC =2cm ，则OC = cm ．【答案】5．【解析】试题分析：连接OA ，∵OC ⊥AB ，∴AD =12AB =4cm ，设⊙O 的半径为R ，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，∴R 2=42+（R ﹣2）2，解得R =5，∴OC =5cm ．故答案为：5．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．11．（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P．若AB =6，BC=F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE =92CE；④S =阴影．其中正确结论的序号是．【答案】．【解析】试题分析：①∵AF 是AB 翻折而来，∴AF =AB =6，∵AD =BC=DF=3，∴F 是CD中点；∴①正确；②连接OP ，∵⊙O 与AD 相切于点P ，∴OP ⊥AD ，∵AD ⊥DC ，∴OP ∥CD ，∴AO OP AF DF =，设OP =OF =x ，则636x x -=，解得：x =2，∴②正确；③∵RT △ADF 中，AF =6，DF =3，∴∠DAF =30°，∠AFD =60°，∴∠EAF =∠EAB =30°，∴AE =2EF ； ∵∠AFE =90°，∴∠EFC =90°﹣∠AFD =30°，∴EF =2EC ，∴AE =4CE ，∴③错误；④连接OG ，作OH ⊥FG ，∵∠AFD =60°，OF =OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG =∠FOG =60°，OHOG，S 扇形OPG =S 扇形OGF ，∴S 阴影=（S 矩形OPDH ﹣S 扇形OPG ﹣S △OGH ）+（S 扇形OGF ﹣S △OFG ）=S 矩形OPDH ﹣32S △OFG=312(222-⨯⨯．∴④正确；故答案为：①②④．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题．12．（2017山东省枣庄市）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则FE的长为．【答案】π．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算．学&科网13．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．14．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若CF =2，DF =4，求⊙O 直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD 、CD ，由AC 为⊙O 的直径知△BCD 是直角三角形，结合E 为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；（2）分别计算AC和BD的长，证明△DFB∽△AFC，列比例式得：BF BDFC AC，得出结论．试题解析：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=，Rt△ADB中，cos∠BAD=34=ADAB，∴34=8AD，∴AD=6，∴BD=，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴BF BDFC AC=，∴103BF=，∴BF=考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．16．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DF A=45，AN=，求圆O的直径的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）503．学&科网【解析】试题分析：（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，如图2所示．∵cos∠DF A=45，∠DF A=∠ACH，∴CHAC=45．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=253，∴圆O的直径的长度为2r=503．考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．17．（2017四川省达州市）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；试题解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD ACBQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE 2+（3DE ）2=BD 2=4，∴DE=，∴BE=，设OB =OD =R ，∴OE =R﹣，∵OB 2=OE 2+BE 2，∴R 2=（R）2+2，解得：R=，∴⊙O的半径为．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．分式方程的解；3．圆周角定理；4．切线的判定与性质；5．解直角三角形；6．压轴题．18．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BD=BF =2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）BC 与⊙O 相切；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB =90°，从而证得BC 是圆的切线；（2）设OF =OD =x ，则OB =OF +BF =x +2，由勾股定理得：OB 2=OD 2+BD 2，即（x +2）2=x 2+12，解得：x =2，即OD =OF =2，∴OB =2+2=4，∵Rt △ODB 中，OD =12OB ，∴∠B =30°，∴∠DOB =60°，∴S扇形AOB =604360π⨯ =23π，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF =12×2×﹣23π=23π-．故阴影部分的面积为23π．考点：1．直线与圆的位置关系；2．扇形面积的计算；3．探究型．19．（2017山东省济宁市）如图，已知⊙O 的直径AB =12，弦AC =10，D 是BC 的中点，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）11．【解析】试题分析：（1）连接OD ，由D 为弧BC 的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE 平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD 与DE 垂直，即可得证；（2）解：过点O 作OF ⊥AC ，∵AC =10，∴AF =CF=12AC =5，∵∠OFE =∠DEF =∠ODE =90°，∴四边形OFED 为矩形，∴FE =OD =12AB ，∵AB =12，∴FE =6，则AE =AF +FE =5+6=11．考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．垂径定理．20．（2017广东省）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线；（2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF =CE ，只要证明△ACF ≌△ACE 即可；（3）作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，利用相似三角形的性质求出BM ，求出tan ∠BCM 的值即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ，∵PF 是⊙O 的切线，CE ⊥AB ，∴∠OCP =∠CEB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，∠BCE +∠OBC =90°，∴∠BCE =∠BCP ，∴BC 平分∠PCE ．（2）证明：连接AC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCP +∠ACF =90°，∠ACE +∠BCE =90°，∵∠BCP =∠BCE ，∴∠ACF =∠ACE ，∵∠F =∠AEC =90°，AC =AC ，∴△ACF ≌△ACE ，∴CF =CE ．（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，∵△BMC ∽△PMB ，∴BM CMPM BM =，∴BM 2=CM •PM =3a 2，∴BM=a ，∴tan ∠BCM=BM CM =，∴∠BCM =30°，∴∠OCB =∠OBC =∠BOC =60°，∴BC 的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算．21．（2017江苏省盐城市）如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC =9，圆形纸片的半径为2，求圆心O 运动的路径长．【答案】（1）作图见解析；（2）15+ 【解析】试题分析：（1）作∠ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O ，作射线CO 即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，先求出△ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO 1、四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 均为矩形、四边形OECF 为正方形，得出∠OO 1O 2=60°=∠ABC 、∠O 1OO 2=90°，从而知△OO 1O 2∽△CBA ，利用相似三角形的性质即可得出答案．试题解析：（1）如图①所示，射线OC 即为所求；（2）如图2，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，过点O 1作O 1D ⊥BC 、O 1F ⊥AC 、O 1G ⊥AB ，垂足分别为点D 、F 、G ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为点E ，连接O 2B ，过点O 2作O 2H ⊥AB ，O 2I ⊥AC ，垂足分别为点H 、I ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°、∠A =30°，∴AC =tan 30BC==，AB =2BC =18，∠ABC =60°，∴C △ABC =9++18=27+，∵O 1D ⊥BC 、O 1G ⊥AB ，∴D 、G 为切点，∴BD =BG ，在Rt △O 1BD 和Rt △O 1BG 中，∵BD =BG ，O 1B =O 1B ，∴△O 1BD ≌△O 1BG （HL ），∴∠O 1BG =∠O 1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD=1tan 30O D==，∴OO1=9﹣2﹣=7﹣O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四边形OEDO1为平行四边形，∵∠OED=90°，∴四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，∴四边形OECF为正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴1212OO OABCC O OC BC∆∆==，∴12OO OC∆=15+，即圆心O运动的路径长为15+考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题．学科*网22．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．【答案】（1）y=2x+4；（21112．【解析】试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．试题解析：（1）∵OB=4，∴B（0，4）．∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则420bk b，解得24kb，∴直线AB的解析式为y=2x+4；（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴12AD•OB=5，∴12（m+2）•m=5，即22100m m+-=，解得111m 或111m（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B 的运动路径长为：1111211142．考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算．学#科网23．（2017河北省）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=QD的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）143π；（3）4＜OC＜8．（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴∠AOP =∠BOQ ，∴P 、O 、Q 三点共线，∵在Rt △BOQ 中，cos B =43382QB OB==，∴∠B =30°，∠BOQ =60°，∴OQ =12OB =4，∵∠COD =90°，∴∠QOD =90°+60°=150°，∴优弧QD 的长=2104180π⨯=143π；（3）∵△APO 的外心是OA 的中点，OA =8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8．考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质．24．（2017河北省）平面内，如图，在ABCD 中，AB =10，AD =15，tan A =43．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ =10°时，求∠APB 的大小；（2）当tan∠A tan A=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）100°或80°；（2）（3）16π或20π或32π．【解析】试题分析：（1）根据点Q与点B和PD的位置关系分类讨论；（2）因为△PBQ是等腰直角三角形，所以求BQ的长，只需求PB，过点P作PH⊥AB于点H，确定BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求PB；（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ．∵tan∠A tan A=:3:2PH PHHB AH=，∴HB=3：2．而AB=10，∴AH=6，HB=4．在Rt△PHA中，PH=AH·tan A=8，∴PQ=PB==Rt△PQB中，QBPB=（3）①点Q在AD上时，如图3，由tan A=43得，PB=AB·sin A=8，∴扇形面积为16π．②点A 在CD 上时，如图4，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，交CD 延长线于点K ，由题意∠K =90°，∠KDP =∠A ．设AH =x ，则PH =AH ·tan A =43x ．∵∠BPH =∠KQP =90°-∠KPQ ，PB =QP ，∴Rt △HPB ≌Rt △KQP ．∴KP =HB =10-x ，∴AP =53x，PD =()5104x -，AD =15=()551034x x +-，解得x =6．∵22280PB PH HB =+=，∴扇形的面积为20π．③点Q 在BC 延长线上时，如图5，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，由①得BM =8．又∠MPB =∠PBQ =45°，∴PB =，∴扇形面积为32π．所以扇形的面积为16π或20π或32π．考点：1．解直角三角形；2．勾股定理；3．扇形面积的计算；4．分类讨论；5．压轴题．25．（2017浙江省丽水市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =16，DE =10，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15．【解析】试题分析：（1）只要证明∠A +∠B =90°，∠ADE +∠B =90°即可解决问题；（2）连接CD ．∵∠ADE =∠A ，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ADC 中，DC 12，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+122，在Rt △ABC 中，BC 2=（x +16）2﹣202，∴x 2+122=（x +16）2﹣202，解得x =9，∴BC 15．考点：1．切线的性质；2．勾股定理．26．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：△APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求22PC PB +的值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）只要证明∠AEP =∠ABP =45°，∠P AB =90°即可解决问题；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM=AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC=2PM，PB=2PN，∴22PC PB+=222()PM PN+ =222()AN PN+=22PA =2PE =22 =4．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等腰直角三角形．27．（2017湖北省襄阳市）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧BC的长l．【答案】（1）证明见解析；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）连接OD，DC，∵∠DAC=12∠DOC ，∠OAC=12∠BOC，∴∠DAC=∠OAC，∵ED=1，DC=2，∴sin∠ECD=12DEDC=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l=602180π⨯=23π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．祝你考试成功!祝你考试成功!。

中考数学一轮复习6.1圆的有关概念及性质课件随堂演练全面版

有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_____．相等
3．垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径_平__分__弦及弦所对的两条弧．
(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径_____于弦，并且_____
垂直
平分
弦所对的弧；
②弦的垂直平分线经过_____，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的圆直心径垂直平分弦，并且_____
性质
知识点一圆的有关概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形
叫做圆．其中，定点称为_____，定长称为_____．
圆心
半径
2．与圆有关的概念
(1)弧：圆上任意_两__点__间__的部分叫做圆弧，简称弧． (2)弦：连接圆上任意两点的_____叫做弦．
线段 (3)直径：经过_____的弦叫做直径． (4)等圆：能够重圆合心的圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够
(2)性质：圆内接四边形的对角_____；圆内接四边形的外角
等于它的_______．
互补
内对角
知识点三确定圆的条件
1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外
接圆．外接圆的圆心是三角形三边___________的交点，叫
做三角形的外心．
垂直平分线
考点一圆心角、弧、弦之间的关系 (5年1考) 例1 (2017·潍坊)点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点， ∠A＝50°，则∠BCE的度数为( B )
A．40°
B．50°
C．60°
D．130°
9．(2017·凉山州)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4

2017全国中考数学真题与圆的有关计算(选择题+填空题+解答题)解析版

（cm2）．
15. 7.(2017 湖北咸宁，7，3 分)如图，⊙O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 OB、OD，若∠ BOD=∠ BCD，
则 BD 的长为( )
A．
B． 3 2
C. 2
D． 3
答案：C
解析：∵∠ BAD= 1 ∠ BOD= 1 ∠ BCD，∠ BAD+∠ BCD=180°，
转动五次 A 的路线长是：错误!未找到引用源。，
以此类推，每四次循环，
5
2017 全国中考数学真题（精品文档）
故顶点 A 转动四次经过的路线长为： 2 5 3 6 ， 22
∵2017÷4=504……1
∴这样连续旋转 2016 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是：6π×504+2π=3026π．故选：D．
18. （2017 江苏宿迁，3 分）若将半径为 12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
答案：D，解析：根据圆锥底面圆周长=扇形弧长，即 l=C 得 12π=2πr，所以 r=6．
19. (2017 甘肃天水．9．4 分)如图所示，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB．垂足为 E，∠BCD＝30°，CD＝4 3 ，则
A．68πcm2
B．74πcm2
C．84πcm2
答案：C 解析：圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．
D．100πcm2
5. 2. （2017 重庆，9，4 分）如图，矩形 ABCD 的边 AB＝1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，
以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。

2017年中考数学压轴题专题汇编06 圆的有关动点综合问题 (解析版)

【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

几何中关于圆的综合题大致可分为：（1）以几何知识为主体的综合题；（2）代数、几何知识相结合的综合题；（3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1【典例分析】例1 如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由．图1思路点拨1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．满分解答（2）如图3，如果四边形ACDP 为菱形，那么AC ＝AP ．所以4－0.8t ＝t ．解得t ＝209．此时OD ＝0.6t ＝43．所以BD ＝433-＝53．作DE ⊥AB 于E ．在Rt △BDE 中，sin B ＝45，BD ＝53，所以DE ＝BD ·sin B ＝43．因此OD ＝DE ，即圆心D 到直线AB 的距离等于圆D 的半径．所以此时圆D 与直线AB 相切于点E （如图4）．图2 图3考点伸展在本题情境下，点P 运动到什么位置时，平行四边形ACDP 的面积最大？ S 平行四边形ACDP ＝AC ·DO ＝43(4)55t t -⨯＝21212+255t t -＝2125()3252t --+．当52t =时，平行四边形ACDP 的面积最大，最大值为3．此时点P 是AB 的中点（如图5）．图4 图5例2如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．图1 图2 图3思路点拨1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．2．第（3）题发现AO //MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了．满分解答此时等边三角形ABC 3602︒=，所以S △ABC ．图4 图5 图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B 画圆O 的切线，切点为G ．如图8，弧GQ 上的每一个点（包括点G 、Q ）都是符合题意的点A ，即线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）．如图9，弧GP 上的每一个点A （不包括点Q ）与点B 连成的线段AB ，与圆O 都有两个交点A 、M ．图7 图8 图9例3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sinB ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =．在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+．在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =．在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+．①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根．②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA ==③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C ，求AP 的长．图1 备用图思路点拨1．△PCD 的底边CD 上的高，就是弦AD 对应的弦心距．2．若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C 的半径等于1，公共弦MN ，那么△CMN 是等腰直角三角形．在四边形CMPN 中，利用勾股定理列关于x （⊙P 的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt △ABC 中， AC ＝4，cos A ＝14，所以AB ＝16，BC ＝设弦AD 对应的弦心距为PE ，那么AE ＝14AP ＝14x ，PE x ．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝11(4)22x x -＝2x x +．定义域是0＜x ＜8．（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m此时AE ＝4，AP ＝4AE图2 图3图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF 1(16)4x x =-．解得87x =．例5如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x ===+③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为4+图4 图5考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ===+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．【变式训练】1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当O 的半径为2时，①在点123115,0,,,,02222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y x =-上，若P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）①23,P P ，②－2≤x ≤－2 或2 ≤x ≤2，（2）－2≤x ≤1或2≤x ≤本题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===, 点1P 与⊙的最小距离为32 ，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12，∴⊙的关联点为2P 和3P ．（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴令y=0得，-x+1=0,解得x=1，令得x=0得，y=0，∴A(1,0) ,B (0,1) ,分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3,∴点C坐标为，C ( -如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ,如图4,当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3,在Rt△OCB中，由勾股定理得=, C点坐标为．考点：切线，同心圆，一次函数，新定义. 2. （2017广东广州第25题）如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=；（2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,B D A B B D =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论；②EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①AE AD = ②2BECD=（2）①如图所示，作BF l ⊥ 于F 由（1）可得，ACB ∆ 为等腰直角三角形.O 是AB 的中点. CO AO BO ∴== A C B ∴∆ 为等腰直角三角形. 又l 是O 的切线，OC l BF l ∴⊥⊥∴ 四边形OBEC 为矩形 22AB BFBD BF ∴=∴=303075BDF DBA BDA BAD ∴∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，15901575CBE CEB DEA ∴∠=︒∠=︒-︒=︒=∠，,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=②当ABD ∠ 为钝角时，如图所示，同样，1,302BF BD BDC =∴∠=︒ 1801501509015152ABD AEB CBE ADB ︒-︒∴∠=︒∠=︒-∠=︒∠==︒，，AE AD ∴=考点：圆的相关知识的综合运用3.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A B、及AB的中点F重合），连接OM.过点M作ME AB⊥于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过M点作O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN.（1）探究：如左图，当M动点在AF上运动时；①判断OEM MDN∆∆是否成立？请说明理由；②设ME NCkMN+=，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBNα∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点M在FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③ 为定值45°；（2）不发生变化.试题解析：（1）①成立，理由如下：过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，∴∠MEO=∠MDN=90°，∴∠MOE+∠EMO=90°过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∴∠DMN+∠EMO=90°∴∠MOE=∠DMN∴△OEM∽△MDN②k是定值1，理由如下：过点B作BG⊥MN,∵过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∵BG⊥MN,∴∠BGM=90°，③α为定值45°，理由如下：由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG ≌△BCN, ∴∠GBN=∠CBN, ∵正方形BCDE ， ∴∠EBC=90°， ∴∴∠MBN=01452EBC ∠=(2)不发生变化.4. （2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x 2+bx +c +1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ②若c=14b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =，求二次函数的表达式．【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=12； ②.b 为2或2时，二次函数的图象与x 轴相切；③. 二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1．出△OAM ∽△OMB ，得出OM 2=OA•OB ，由二次函数的图象与x 轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），得出方程（c +1）2=c +1，得出c=0，OM=1，证明△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ，得出DE BD OM OD =，OM OADF AD=，得出OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1，由x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，得出方程组122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解方程组求出b 的值即可．试题解析：①二次函数y=﹣x 2+bx +c +1的对称轴为x=2b ，当b=1时，2b =12， ∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=12．③∵AB 是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM +∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM +∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM ， ∴△OAM ∽△OMB ，∴OM OAOB OM=，∴OM 2=OA•OB ， ∵二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），∴OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），∵OM=c +1，∴（c +1）2=c +1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =， ∴AD=BD ，DF=4DE ，DF ∥OM ，∴△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ， ∴,DE BD OM OA OM OB DF AD ==，∴DE=BD OB ，DF=AD OA ，∴AD BDOA OB=×4，∴OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1， ∵x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，∴122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解得：12122x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴b=﹣12+2=32，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1．考点：二次函数综合题；二次函数的性质．5．（2017哈尔滨第26题）已知：AB 是O ⊙的弦，点C 是AB 的中点，连接OB 、OC ，OC 交AB 于点D .(1)如图1，求证：AD BD =；(2)如图2，过点B 作O ⊙的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP 、BP ，求证：90APB OMB -=∠∠°.(3)如图3，在(2)的条件下，连接DP 、MP ，延长MP 交O ⊙于点Q ，若6MQ DP =，3sin 5ABO =∠，求MP MQ 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）518PM MQ =.试题解析：（1）如图1，连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC BC =，∴∠AOC=∠BOC ，∵OA=OB ，∴OD ⊥AB ，AD=BD ；（2）如图2，延长BO 交⊙O 于点T ，连接PT∵BT是⊙O的直径，∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB，又∠ABO=∠APT，∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；考点：圆的综合题．6.（2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣29x2﹣49x+169（2）证明见解析（3）50415120试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴∠MAG=∠ABO ． ∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OA B=90°，即∠MAB=90°． ∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°， ∴∠FPE=∠FBD ． ∴tan ∠FPE=12．∴PF ：PE ：2：1．∴△PEF 的面积=12PE•EF=12×5PF•5PF=15PF 2．考点：二次函数综合题7.（2017年四川省内江市第27题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）123．【解析】试题分析：（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP 的长，与半径的差就是PQ的最小值．试题解析：（1）如图1，连接BC ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC AC =，∴∠A =∠ABC ，∵EC =AE ，∴∠A =∠ACE ，∴∠ABC =∠ACE ，∵∠A =∠A ，∴△AEC ∽△ACB ，∴AC AEAB AC=，∴AC 2=AE •AB ；（3）如图3，∵N 为OC 的中点，∴ON =12OC =12OB ，Rt △OBN 中，∠OBN =30°，∴∠COB =60°，∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∵Q 为⊙O 任意一点，连接PQ 、OQ ，因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A =12∠COB =30°，∴∠PEB =2∠A =60°，∠ABP =90°﹣30°=60°，∴△PBE 是等边三角形，Rt △OBN 中，BN ∴AB =2BN =设AE =x ，则CE =x ，EN =x ，Rt △CNE 中，2222)x x =+，x ，∴BE =PB ==Rt △OPB 中，OP ，∴PQ =3﹣4=123．则线段PQ 的最小值是123-．考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．8. （2017年浙江省杭州市第23题）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上（不与点A ，B 重合），点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E ，射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G ，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【答案】（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5试题解析：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BC A=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣（180°﹣2α），∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，∴CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，，考点：1、圆的综合问题，2、勾股定理，3、解方程，4、垂直平分线的性质9.(2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD 上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM的度数；（2）求证：AC=AB。

2017年中考数学备考专题复习探索规律问题含解析

探索规律问题一、单选题（共7题；共14分）1、（2016•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A、64B、77C、80D、852、（2016•重庆）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A、43B、45C、51D、533、（2016•邵阳）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）A、y=2n+1B、y=2n+nC、y=2n+1+nD、y=2n+n+1 4、（2016•临沂）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A、2n+1B、n2﹣1C、n2+2nD、5n﹣25、（2016•荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A、671B、672C、673D、6746、（2016•永州）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是（）A、①②B、①③C、②③D、①②③7、（2016•青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A、（）6B、（）7C、（）6D、（）7二、填空题（共14题；共15分）8、（2016•宁波）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需________根火柴棒．9、（2016•济宁）按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．10、（2016•岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1， P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为________．11、（2016•内江）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有________个小圆•（用含n的代数式表示）12、（2016•新疆）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为________．13、（2016•百色）观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=________14、（2016•丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．15、（2016•泉州）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．16、（2016•铜仁市）如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要________个铜币．17、（2016•益阳）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是________枚．18、（2016•徐州）如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．19、（2016•青海）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x=________，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y=________．20、（2016•曲靖）等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是________．21、（2016•葫芦岛）如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y= x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y 轴，分别交直线y=x和y= x于A2， B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n的面积为________（用含正整数n 的代数式表示）三、综合题（共4题；共46分）22、（2016•连云港）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？23、（2016•台州）【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1， y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2， y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．(1)若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；(2)若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k=﹣，b=2，已在x 轴上表示出x 1（如图2所示），请在x 轴上表示x 2 ， x 3 ， x 4 ，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值（用含k ，b 的代数式表示）24、（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；…对任何正整数n ，第n 个数与第（n+1）个数的和等于．(1)经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a ，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论；(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n 个数（即用正整数n 表示第n 数），并且证明你的猜想满足“第n 个数与第（n+1）个数的和等于”；(3)设M 表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．25、（2016•北京）已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围x ＞0，下表是y 与x 的几组对应值：y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (2)根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值y 约为________ ②该函数的一条性质：________答案解析部分一、单选题2、【答案】D【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15，…，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．分析：此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．2、【答案】C【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n =2+ ．令n=8，则a8=2+ =51．故选C．【分析】设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“a n =2+ ”，结合该规律即可得出结论．本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =2+ ”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．2、【答案】B【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，右边三角形的数字规律为：2，22，…，2n，下边三角形的数字规律为：1+2，2+22，…，n+2n，∴y=2n+n．故选B．【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：n+2n，继而求得答案．此题考查了数字规律性问题．注意根据题意找到规律y=2n+n是关键．2、【答案】C【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．2、【答案】B【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．2、【答案】B【考点】实数的运算，定义新运算【解析】【解答】解：①因为24=16，所以此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1= ，所以此选项正确；故选B．【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．2、【答案】A【考点】勾股定理【解析】【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2， DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，S2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，…，∴S n=（）n﹣3．当n=9时，S9=（）9﹣3=（）6，故选：A．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律“S n=（）n﹣3”，依此规律即可得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n=（）n﹣3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．二、填空题2、【答案】50【考点】坐标与图形变化-平移【解析】【解答】解：∵图案①需火柴棒：8根；图案②需火柴棒：8+7=15根；图案③需火柴棒：8+7+7=22根；…∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；当n=7时，7n+1=7×7+1=50，∴图案⑦需50根火柴棒；故答案为：50．【分析】根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）=7n+1根，令n=7可得答案．此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化．2、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．【分析】把整数1化为，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解．此题主要考查数列的规律探索，把整数统一为分数，观察找出存在的规律是解题的关键．2、【答案】（504，﹣504）【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：由规律可得，2016÷4=504，∴点P2016的在第四象限的角平分线上，∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），∴点P2016（504，﹣504），故答案为（504，﹣504）．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．2、【答案】4+n（n+1）【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，∵6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5…，∴第n个图形有：4+n（n+1）．故答案为：4+n（n+1），【分析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．2、【答案】370【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，∴2n=20，m=2n﹣1，解得：n=10，m=19，∵右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，∴第n个：2n（2n﹣1）﹣n，∴x=19×20﹣10=370．故答案为：370．【分析】首先观察规律，求得n与m的值，再由右下角数字第n个的规律：2n（2n﹣1）﹣n，求得答案．此题考查了数字规律性问题．注意首先求得n与m的值是关键．2、【答案】a2017﹣b2017【考点】多项式乘多项式，平方差公式【解析】【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，故答案为：a2017﹣b2017【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．此题考查了平方差公式，以及多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．2、【答案】-【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【分析】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键．根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．2、【答案】226【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案为：226．【分析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出规律，即可得出a的值．本题考查了数字的变化美；根据题意得出规律是解决问题的关键．2、【答案】n（n+1）【考点】数据分析【解析】【解答】解：n=1时，铜币个数=1+1=2；当n=2时，铜币个数=1+2+2=4；当n=3时，铜币个数=1+2+2+3=7；当n=4时，铜币个数=1+2+2+3+4=11；…第n 个图案，铜币个数=1+2+3+4+…+n= n（n+1）．故答案为：n（n+1）．【分析】找出相邻两个图形铜币的数目的差，从而可发现其中的规律，于是可求得问题的答案．本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．2、【答案】13【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：设第n个图形有a n个旗子，观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）．当n=4时，a9=3×4+1=13．故答案为：13．【分析】设第n个图形有a n个旗子，罗列出部分a n的值，根据数值的变化找出变化规律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）”，依次规律即可解决问题．本题考查了规律型中得图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出部分图形的棋子数目，根据数的变化找出变化规律是关键．2、【答案】n（n+1）【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：设第n个图案中正方形的总个数为a n，观察，发现规律：a1=2，a2=2+4=6，a3=2+4+6=12，…，∴a n =2+4+…+2n= =n（n+1）．故答案为：n（n+1）．【分析】设第n个图案中正方形的总个数为a n，根据给定图案写出部分a n的值，根据数据的变化找出变换规律“a n=n（n+1）”，由此即可得出结论．本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变换规律“a n=n（n+1）”．本题属于基础题，难度不大，根据给定图案写出部分图案中正方形的个数，根据数据的变化找出变化规律是关键．2、【答案】63；m（n+1）【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：观察，发现规律：3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1），∴x=7×（8+1）=63，y=m（n+1）．故答案为：63；m（n+1）．【分析】观察给定图形，发现右下的数字=右上数字×（左下数字+1），依此规律即可得出结论．本题考查了规律型中的图形的变化类以及数字的变化类，解题的关键是找出变换规律“右下的数字=右上数字×（左下数字+1）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形中数字的变化找出变化规律是关键．2、【答案】77【考点】等腰三角形的性质，坐标与图形变化-旋转【解析】【解答】解：由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，15÷3=5，故第15次翻转后点C的横坐标是：（5+5+6）×5﹣3=77，故答案为：77．【分析】根据题意可知每翻折三次与初始位置的形状相同，第15次于开始时形状相同，故以点B 为参照点，第15次的坐标减去3即可的此时点C的横坐标．本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等腰三角形的性质，解题的关键是发现其中的规律，每旋转三次为一个循环．2、【答案】【考点】等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y= x于点B1，∴B1（2，1）∴A1B1=2﹣1=1，即△A1B1C1面积= ×12= ；∵A1C1=A1B1=1，∴A2（3，3），又∵A2B2∥y轴，交直线y= x于点B2，∴B2（3，），∴A2B2=3﹣= ，即△A2B2C2面积= ×（）2= ；以此类推，A3B3= ，即△A3B3C3面积= ×（）2= ；A4B4= ，即△A4B4C4面积= ×（）2= ；…∴A n B n=（）n﹣1，即△A n B n C n的面积= ×[（）n﹣1]2= ．故答案为：【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而得到A1B1的长以及△A1B1C1面积，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，求得B2的坐标，进而得到A2B2的长以及△A2B2C2面积，最后根据根据变换规律，求得A n B n的长，进而得出△A n B n C n的面积即可．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，根据A n B n的长，求得△A n B n C n的面积．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．三、综合题2、【答案】（1）解：分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得，解得：，∴y=﹣2x+10；②当x＞3时，设y= ，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y= ；综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=（2）解：能；理由如下：令y= =1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L【考点】一次函数的应用【解析】【分析】（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y= ，把（3，4）代入求出m的值即可；（2）令y= =1，得出x=12＜15，即可得出结论．本题考查了方程式的应用、反比例函数的应用；根据题意得出函数关系式是解决问题的关键．2、【答案】（1）解：若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…取x1=4，则x2x3=x4=4，…取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n越来越小．当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n的值保持不变，都等于4．当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n越来越大（2）解：当x1＞时，随着运算次数n的增加，x n越来越大．当x1＜时，随着运算次数n的增加，x n越来越小．当x1= 时，随着运算次数n的增加，x n保持不变．理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，∴y1＞x1∵y1=x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜x n，∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，x n越来越大．同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，x n越来越小．当x1= 时，随着运算次数n的增加，x n保持不变（3）解：①在数轴上表示的x1， x2， x3如图2所示．随着运算次数的增加，运算结果越来越接近．②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，由消去y得到x=∴由①探究可知：m= ．【考点】一次函数的性质【解析】【分析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情形解答即可．（2）分x1＞，x1＜，x1= 三种情形解答即可．（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，x n的值越来越接近两直线交点的横坐标．②根据前面的探究即可解决问题．本题考查一次函数综合题以及性质，解题的关键是学会从一般到特殊探究规律，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．2、【答案】（1）解：由题意知第5个数a= = ﹣（2）解：∵第n个数为，第（n+1）个数为，∴ + = （+ ）= ×= ×= ，即第n个数与第（n+1）个数的和等于（3）解：∵1﹣= ＜=1，= ＜＜=1﹣，﹣= ＜＜= ﹣，…﹣= ＜＜= ﹣，﹣= ＜＜= ﹣，∴1﹣＜+ + +…+ + ＜2﹣，即＜+ + +…+ + ＜，∴【考点】分式的混合运算，探索数与式的规律【解析】【分析】（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；（3）将每个分式根据﹣= ＜＜= ﹣，展开后再全部相加可得结论．本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律= ﹣得到﹣= ＜＜= ﹣是解题的关键．2、【答案】（1）解：如图，（2）2；该函数有最大值【考点】函数的概念【解析】【解答】解：①x=4对应的函数值y约为2；②该函数有最大值．故答案为2，该函数有最大值．【分析】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可；②利用函数图象有最高点求解．。

江苏省中考数学真题《圆》专题汇编(选择、填空)(含解析)

2017年江苏省中考数学真题《圆》专题汇编（选择、填空）一、选择题1．（2017·南京第6题）过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（）A ．（4，617） B ．（4，3） C ．（5，617） D ．（5，3） 2．（2017·无锡第9题）如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（） A ．5 B ．6 C ．52 D ．23第2题图第3题图第4题图3．（2017·徐州第6题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB=72°，则∠ACB 等于（）A ．28°B ．54°C ．18°D ．36°4．（2017·苏州第9题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ．E 是⊙O 上一点，且CE ⌒=CD⌒，连接OE ．过点E 作EF ⊥OE ，交AC的延长线于点F ，则∠F 的度数为（）A ．92°B ．108°C ．112°D ．124°5．（2017·南通第6题）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（）A ．4πB ．6πC ．12πD ．16π第5题图第6题图第7题图6．（2017·南通第9题）已知∠AOB ，作图．步骤1：在OB 上任取一点M ，以点M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；步骤2：过点M 作PQ 的垂线交PQ ⌒于点C ；步骤3：画射线OC ．则下列判断：①PC ⌒=CQ⌒；②MC ∥OA ；③OP=PQ ；④OC 平分∠AOB ，其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2017·连云港第8题）如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；…按此规律运动到点A 2017处，则点A 2017与点A 0间的距离是（）A ．4B ．32C ．2D ．08．（2017·宿迁第6题）若将半径为12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm二、填空题9．（2017·南京第15题）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ，若78D ∠=︒，则EAC ∠= °．第9题图第11题图第12题图10．（2017·无锡第16题）若圆锥的底面半径为3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积为 cm 2．11．（2017·无锡第17题）如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，分别以边AD ，BC 为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O 1和半圆O 2，一平行于AB 的直线EF 与这两个半圆分别交于点E 、点F ，且EF=2（EF 与AB 在圆心O 1和O 2的同侧），则由AE ⌒，EF ，FB ⌒，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于．12．（2017·徐州第17题）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为D ，AB=BC=2，则∠AOB= °．13．（2017·苏州第16题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC ．若用扇形OAC （图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是．第13题图第15题图第16题图14．（2017·南通第13题）四边形ABCD 内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度．15．（2017·连云港第14题）如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB=12，AC=8，则⊙O 的半径长为．16．（2017·淮安第16题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4：3：5，则∠D 的度数是 °．17．（2017·盐城第14题）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB ⌒上，点D 在AB ⌒上，若∠ACB=70°，则∠ADB= °．第17题图第18题图第21题图18．（2017·扬州第15题）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO ，若∠B=40°，则∠OAC= °．19．（2017·泰州第12题）扇形的半径为3cm ，弧长为2πcm ，则该扇形的面积为 cm 2．20．（2017•常州第14题）已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是．21．（2017•常州第16题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ⌒的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC= °．22．（2017•镇江第6题）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于（结果保留π）．23．（2017•镇江第9题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D ，若∠CAD=30°，则∠BOD= °．第23题图参考答案与解析1．【答案】A ．【考点】坐标与图形性质．【分析】已知A （2，2），B （6，2），C （4，5），则过A 、B 、C 三点的圆的圆心，就是弦的垂直平分线的交点，故求得AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线的交点即可．【解答】解：已知A （2，2），B （6，2），C （4，5），∴AB 的垂直平分线是4262=+=x ，设直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y ，把B （6，2），C （4，5）代入上式得：⎩⎨⎧=+=+5426b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=1123b k ，1123+-=x y ，设BC 的垂直平分线为m x y +=32，把线段BC 的中点坐标（5，27）代入得61=m ，∴BC 的垂直平分线是6132+=x y ，当4=x 时，617=y ，∴过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（4，617）．故选A ．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决本题的关键．2．【答案】C ．【考点】切线的性质；菱形的性质．【分析】如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得：BHOF BD OA =，即可解决问题．【解答】解：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∴AB •DH=320，∴DH=16，在Rt △ADH 中，1222=-=DH AD AH ， ∴HB=AB-AH=8，在Rt △BDH 中，5822=+=BH DH BH ，设⊙O 与AB 相切于F ，连接OF ．∵AD=AB ，OA 平分∠DAB ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ， ∴BHOF BD OA =， ∴85810OF =， ∴52=OF ．故选C ．【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．【答案】D ．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．【解答】解：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，故选D ．【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确认识∠ACB 与∠AOB 的位置关系是解题关键．4．【答案】C ．【考点】圆心角、弧、弦的关系；多边形内角与外角．【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE 的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，∴∠ABC=34°，∵CE ⌒=CD⌒， ∴2∠ABC=∠COE=68°，又∵∠OCF=∠OEF=90°，∴∠F=360°-90°-90°-68°=112°．故选：C ．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE 的度数是解题关键．5．【答案】C ．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故选C ．【点评】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．6．【答案】C ．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理．【分析】由OQ 为直径可得出OA ⊥PQ ，结合MC ⊥PQ 可得出OA ∥MC ，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠PAO=∠CMQ ，结合圆周角定理可得出∠COQ=21∠POQ=∠BOQ ，进而可得出PC ⌒=CQ⌒，OC 平分∠AOB ，结论①④正确；由∠AOB 的度数未知，不能得出OP=PQ ，即结论③错误．综上即可得出结论．【解答】解：∵OQ 为直径，∴∠OPQ=90°，OA ⊥PQ ．∵MC ⊥PQ ，∴OA ∥MC ，结论②正确；①∵OA ∥MC ，∴∠PAO=∠CMQ ．∵∠CMQ=2∠COQ ，∴∠COQ=21∠POQ=∠BOQ ， ∴PC ⌒=CQ⌒，OC 平分∠AOB ，结论①④正确； ∵∠AOB 的度数未知，∠POQ 和∠PQO 互余，∴∠POQ 不一定等于∠PQO ，∴OP 不一定等于PQ ，结论③错误．综上所述：正确的结论有①②④．故选C ．【点评】本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．7．【答案】A ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据题意求得A 0A 1=4，A 0A 2=32，A 0A 3=2，A 0A 4=32，A 0A 5=2，A 0A 6=0，A 0A 7=4，…于是得到A 2017与A 1重合，即可得到结论．【解答】解：如图，∵⊙O 的半径=2，由题意得，A 0A 1=4，A 0A 2=32，A 0A 3=2，A 0A 4=32，A 0A 5=2，A 0A 6=0，A 0A 7=4，…∵2017÷6=336…1，∴按此规律运动到点A 2017处，A 2017与A 1重合，∴A 0A 2017=2R=4．故选A ．【点评】本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．8．【答案】D ．【考点】圆锥的计算．【分析】易得圆锥的母线长为12cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm ），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm ），故选：D ．【点评】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．二、填空题9．【答案】27．【考点】圆周角定理；菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=21∠DCB=21（180°-∠D ）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=21∠DCB=21（180°-∠D ）=51°， ∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°，故答案为：27．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10．【答案】15π．【考点】圆锥侧面积的计算．【分析】圆锥的侧面积=rl π．【解答】解：底面半径为3，母线为5，侧面面积=πππ1553=⨯⨯=rl【点评】本题利用圆锥侧面积公式求解．11．【答案】64353π--．【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．【分析】连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，过E 作EG ⊥O 1O 2，过F ⊥O 1O 2，得到四边形EGHF 是矩形，根据矩形的性质得到GH=EF=2，求得O 1G=21，得到∠O 1EG=30°，根据三角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结果．【解答】解：连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，则四边形O 1O 2FE 是等腰梯形，过E 作EG ⊥O 1O 2，过FH ⊥O 1O 2，∴四边形EGHF 是矩形，∴GH=EF=2，∴O 1G=21， ∵O 1E=1， ∴GE=23， ∴2111=E O G O ； ∴∠O 1EG=30°，∴∠AO 1E=30°，同理∠BO 2F=30°，∴阴影部分的面积=S 矩形ABO 2O 1-2S 扇形AO 1E-S 梯形EFO 2O 1=3×1-2×3601302⨯⋅π-21（2+3）×23=3-435-6π．故答案为：3-435-6π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．【答案】60．【考点】切线的性质．【分析】由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD 得到∠A=30°，然后由切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB 的度数．【解答】解：∵OA ⊥BC ，BC=2，∴根据垂径定理得：BD=21BC=1．在Rt △ABD 中，sin ∠A=AB BD =21． ∴∠A=30°．∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO=90°．∴∠AOB=60°．故答案是：60．【点评】本题主要考查的圆的切线性质，垂径定理和一些特殊三角函数值，有一定的综合性．13．【答案】21．【考点】圆锥的计算．【分析】根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC 是等边三角形，得到OA=3，根据弧长的规定得到AC ⌒的长度=ππ=⨯⋅180360，于是得到结论．【解答】解：∵∠BOC=2∠AOC ，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA=3，∴AC ⌒的长度=ππ=⨯⋅180360， ∴圆锥底面圆的半径=21，故答案为：21．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．【答案】70．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=110°，∴∠C=70°，故答案为：70．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．【答案】5．【考点】切线的性质．【分析】连接OB ，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO 中，由勾股定理即可求出⊙O 的半径长．【解答】解：连接OB ，∵AB 切⊙O 于B ，∴OB ⊥AB ，∴∠ABO=90°，设⊙O 的半径长为r ，由勾股定理得：r 2+122=（8+r ）2，解得r=5．故答案为：5．【点评】本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是得出直角三角形ABO ，主要培养了学生运用性质进行推理的能力．16．【答案】120．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】设∠A=4x ，∠B=3x ，∠C=5x ，根据圆内接四边形的性质求出x 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4：3：5，∴设∠A=4x ，则∠B=3x ，∠C=5x ．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x +5x =180°，解得x =20°，∴∠B=3x =60°，∴∠D=180°-60°=120°．故答案为：120．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．17．【答案】110．【考点】圆周角定理．【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点C 在AmB ⌒上，点D 在AB ⌒上，若∠ACB=70°，∴∠ADB+∠ACB=180°，∴∠ADB=110°，故答案为：110．【点评】本题考查了折叠的性质和圆内接四边形的性质，熟练掌握折叠的直线是解题的关键．18．【答案】50．【考点】圆周角定理．【分析】连接CO ，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B=80°，进而得出∠OAC 的度数．【解答】解：连接CO ，∵∠B=40°，∴∠AOC=2∠B=80°，∴∠OAC=（180°-80°）÷2=50°．故答案为：50．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．19．【答案】3π．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【分析】先用弧长公式求出扇形的圆心角的度数，然后用扇形的面积公式求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的圆心角为n ，则：18032⋅⋅=ππn ，得：n =120°． ∴S 扇形=36031202⋅⋅π=3π cm 2．故答案为：3π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意先求出扇形的圆心角的度数，再计算扇形的面积．20．【答案】3π．【考点】圆锥侧面积的计算．【分析】圆锥的侧面积=rl π．【解答】解：底面半径为1，母线为3，侧面面积=πππ331=⨯⨯=rl【点评】本题利用圆锥侧面积公式求解．21．【答案】70．【考点】圆的内接四边形的性质、圆周角定理推论．【分析】连接BD ，根据AB 为直径，求出∠DBA=50°；再根据圆的内接四边形的性质可得：∠C=180°-40°=140°，又点C 为BD ⌒的中点，可得CD=BC ，求出∠CBD=20°，∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°+20°=70°．【解答】解：连接BD ，∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，又∵∠DAB=40°，∴∠DBA=50°，根据圆的内接四边形的性质可得：∠C=180°-40°=140°，又点C 为BD ⌒的中点， ∴CD=BC ，∴∠CDB=∠CBD=︒=︒-︒202140180， ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°+20°=70°【点评】本题利用圆的内接四边形的性质、圆周角定理推论求解．22．【答案】10π．【考点】圆锥侧面积的计算．【分析】圆锥的侧面积=rl π．【解答】解：底面半径为2，母线为5，侧面面积=πππ1052=⨯⨯=rl【点评】本题利用圆锥侧面积公式求解．23．【答案】120．【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、外角定理．【分析】根据AC 是切线，可得：∠OAC=90°，结合∠CAD=30°，可得∠OAD=60°，根据等腰三角形的性质和外角定理即可得到结果．【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，∴∠OAC=90°，∵∠CAD=30°，∴∠OAD=60°．∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=60°．∴∠BOD=∠ODA+∠OAD =120°．【点评】本题利用切线的性质、等腰三角形的性质、外角定理求解．。

人教中考数学圆的综合的综合热点考点难点含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=1 2∴；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．3．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．（1）求证：∠ABD=2∠BDC；（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92 DE=.【解析】【分析】（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB22AD BD+=26，由相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，则∠CAB=∠BDC=α，∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD =90°﹣∠DAB =90°﹣（β﹣α），∴∠ABD =2α，∴∠ABD =2∠BDC ；（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°，∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ，∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ；（3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ，∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ，∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴12OH OC BD AB ==， ∵OH =5，∴BD =10，∴AB =22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18， ∵△AHE ∽△ADB ，∴AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =92．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，已知Rt △ABC 中，C=90°，O 在AC 上，以OC 为半径作⊙O ，切AB 于D 点，且BC=BD ．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O 的半径；（3）在（2）的条件下，P 点在⊙O 上为一动点，求BP 的最大值与最小值.【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：∵sinA=35，∴CB3AB5,∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,∵sinA=35，∴cosA=45，∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴OB=223635+=.∴PB=OB-OE=353-.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.5．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A 作AH ⊥PD ，垂足为H ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P ，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC ，∴AD=PD ，∴△ADH ≌△DPC ，∴AH=CD ，∵CD=AB ，且AB 是⊙A 的半径，∴AH=AB,即AH 是⊙A 的半径，∴PD 是⊙A 的切线.（2）如图，在Rt △PDC 中，∵sin ∠P=23CD PD =，PC=25 ，令CD=2x ，PD=3x ，由由勾股定理得：（3x ）2-(2x)2=(25)2，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD 的面积为6×4=24，Rt △CED 的面积为12×4×2=4，扇形ABE 的面积为12π×42=4π， ∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.6．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒ 2,AB AC ==AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC=2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠C =45°．又∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠1=12∠BAC =45°，BD =CD ，∠ADC =90°．又∵∠BAC =90°，BD =CD ，∴AD =CD ．又∵∠EAF =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF =90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE 和△CDF 中．∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△CDF （ASA ）．（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径．在Rt △ADC 中，∠C =45°，AC =2，∴sin ∠C =AD AC ，∴AD =AC sin ∠C =1，∴⊙O 的半径为12，∴⊙O 的面积为24π．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．7．已知⊙O 中，弦AB=AC ，点P 是∠BAC 所对弧上一动点，连接PA ，PB ．（1）如图①，把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ ，连接PC ，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；（2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA 、PB 、PC 之间的关系．（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC．理由见解析；（3）若∠BAC=120°时，（2）PA=PB+PC．【解析】试题分析：（1）如图①，连接PC．根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图②，通过作辅助线BC、PE、CE（连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE）构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（3）如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．利用全等三角形△ABP≌△AQP（SAS）的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将PA、PB、PC的数量关系转化到△APC中来求即可．试题解析：（1）如图①，连接PC．∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的，∴∠ABP=∠ACQ．由图①知，点A、B、P、C四点共圆，∴∠ACP+∠ABP=180°（圆内接四边形的对角互补），∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代换）；（2）PA=PB+PC．理由如下：如图②，连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形）．∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°（圆内接四边形的对角互补），∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，∵PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP（等量代换）,在△BEC和△APC中，CE PCBCE ACPAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC≌△APC（SAS），∴BE=PA，∴PA=BE=PB+PC；（3）若∠BAC=120°时，（2．理由如下：如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，∴∠BPC=60°．∵弦AB=弦AC，∴∠APB=∠APQ=30°．在△ABP和△AQP中，PB PQAPB APQAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△AQP（SAS），∴AB=AQ，PB=PQ（全等三角形的对应边相等），∴AQ=AC（等量代换）．在等腰△AQC中，QG=CG．在Rt△APG中，∠APG=30°，则AP=2AG，AG,∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=23AG，∴3PA=23AG，即3PA=PB+PC．【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等.8．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．9．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52 BE=【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF ＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝AD＝10，CD= CF+DF=4，再证明△ABE∽△CDA，得出BE ABDA CD=，即可求出BE的长度；试题解析：（1）证明：连结OA ，OB ，∵∠ACB =45°，∴∠AOB =2∠ACB = 90°，∵OA=OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∵∠BAE =45°，∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°，∴OA ⊥AE ．∵点A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，则∠AFC =∠AFD =90°．∵AB=AD ，∴AB =AD∴∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中，∵AC =∠ACF =45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ， ∴BE AB DA CD =，∴= ∴52BE =．10．已知：BD 为⊙O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，点C 为⊙O 上一点，且AB ＝AC ，连接BC 交AD 于点E ，连接AC ．(1)如图1，求证：∠ABF ＝∠ABC ；(2)如图2，点H 为⊙O 内部一点，连接OH ，CH 若∠OHC ＝∠HCA ＝90°时，求证：CH ＝12DA ； (3)在(2)的条件下，若OH ＝6，⊙O 的半径为10，求CE 的长．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）215. 【解析】【分析】 ()1由BD 为O 的直径，得到D ABD 90∠∠+=，根据切线的性质得到FBA ABD 90∠∠+=，根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=，等量代换即可得到结论；()2如图2，连接OC ，根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=，根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根据相似三角形的性质即可得到结论；()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OH OC==，根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根据全等三角形的性质得到BF BE =，AF AE =，根据射影定理得到212AF 916==，根据相交弦定理即可得到结论．【详解】()1BD 为O 的直径，90BAD ∴∠=，90D ABD ∴∠+∠=， FB 是O 的切线，90FBD ∴∠=，90FBA ABD ∴∠+∠=，FBA D ∴∠=∠，AB AC =，C ABC ∴∠=∠，C D ∠=∠，ABF ABC ∴∠=∠；()2如图2，连接OC ，90OHC HCA ∠=∠=，//AC OH ∴，ACO COH ∴∠=∠，OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠，即ABD ACO ∠=∠，ABC COH ∴∠=∠，90H BAD ∠=∠=，ABD ∴∽HOC ，2AD BD CH OC∴==， 12CH DA ∴=； ()3由()2知，ABC ∽HOC ，2AB BD OH OC∴==， 6OH =，O 的半径为10，212AB OH ∴==，20BD =，16AD ∴==，在ABF 与ABE 中，90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ABF ∴≌ABE ，BF BE ∴=，AF AE =，90FBD BAD ∠=∠=，2AB AF AD ∴=⋅，212916AF ∴==， 9AE AF ∴==，7DE ∴=，15BE ==， AD ，BC 交于E ，AE DE BE CE ∴⋅=⋅，9721155AE DE CE BE ⋅⨯∴===．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．。

宁波中考数学知识点过关培优易错难题训练∶圆的综合

宁波中考数学知识点过关培优易错难题训练∶圆的综合一、圆的综合1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，2而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．2．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上DCE B∠=∠．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan3B=，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AOAB AD=.∵1132OA AB x==，AD=2x+10,∴113221013xxx=+.解得 x=8.∴138413OA=⨯=.则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.3．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．4．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．（1）图1中，线段AE=；（2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．①当α=30°时，请求出线段AF的长；②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；③当α=°时，DM与⊙O相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．5．如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，（1）求证：CM⊥AD；（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接OC∵CM切⊙O于点C，∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=1AD2∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE～△ACE∴CE DEAE CE∴CE2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.6．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，∴OA=2，OB．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB，∴∠ABO=30°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．7．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，tan∠ACD＝3，求FC的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE3∠==，设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC＝22OF OC83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．8．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC=2 4=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．9．已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；（2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC．理由见解析；（3）若∠BAC=120°时，（2）3 PA=PB+PC．【解析】试题分析：（1）如图①，连接PC．根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图②，通过作辅助线BC、PE、CE（连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE）构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（3）如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．利用全等三角形△ABP≌△AQP（SAS）的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将PA、PB、PC的数量关系转化到△APC中来求即可．试题解析：（1）如图①，连接PC．∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的，∴∠ABP=∠ACQ．由图①知，点A、B、P、C四点共圆，∴∠ACP+∠ABP=180°（圆内接四边形的对角互补），∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代换）；（2）PA=PB+PC．理由如下：如图②，连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形）．∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°（圆内接四边形的对角互补），∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，∵PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP（等量代换）,在△BEC和△APC中，CE PCBCE ACPAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC≌△APC（SAS），∴BE=PA，∴PA=BE=PB+PC；（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论不成立，3 PA=PB+PC ．理由如下：如图③，在线段PC 上截取PQ ，使PQ=PB ，过点A 作AG ⊥PC 于点G ． ∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，∴∠BPC=60°． ∵弦AB=弦AC ，∴∠APB=∠APQ=30°．在△ABP 和△AQP 中，PB PQ APB APQ AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△AQP （SAS ），∴AB=AQ ，PB=PQ （全等三角形的对应边相等），∴AQ=AC （等量代换）．在等腰△AQC 中，QG=CG ．在Rt △APG 中，∠APG=30°，则AP=2AG ，PG=3AG, ∴PB+PC=PG ﹣QG+PG+CG=PG ﹣QG+PG+QG=2PG=23AG ， ∴3PA=23AG ，即3PA=PB+PC ．【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等.10．已知，ABC ∆内接于O e ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB ；（1）如图1，若AC BC =，求证：AB PC ⊥；（2）如图2，若PA 平分CPM ∠，求证：AB AC =；（3）在（2）的条件下，若24sin 25BPC ∠=，8AC =，求AP 的值．【答案】(1)见解析;(2)见解析5【解析】【分析】(1)由点P 是弧AB 的中点，可得出AP=BP , 通过证明APC BPC ∆≅∆ ,ACE BCE ∆≅∆可得出AEC BEC ∠=∠进而证明AB ⊥ PC.(2)由PA 是∠CPM 的角平分线，得到∠MPA=∠APC, 等量代换得到∠ABC=∠ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.(3)过A 点作AD ⊥BC,有三线合一可知AD 平分BC,点O 在AD 上，连结OB ，则∠BOD ＝∠BAC ，根据圆周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC ，由∠BOD=∠BPC 可得sin sin BDBOD BPC OB∠=∠=,设OB=25x ，根据勾股定理可算出OB 、BD 、OD 、AD 的长，再次利用勾股定理即可求得AP 的值. 【详解】解：（1）∵点P 是弧AB 的中点，如图1， ∴AP ＝BP ，在△APC 和△BPC 中 AP BP AC BC PC PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△APC ≌△BPC （SSS ）， ∴∠ACP ＝∠BCP ，在△ACE 和△BCE 中AC BC ACP BCP CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△BCE （SAS ）， ∴∠AEC ＝∠BEC ， ∵∠AEC +∠BEC ＝180°， ∴∠AEC ＝90°， ∴AB ⊥PC ；（2）∵PA 平分∠CPM ， ∴∠MPA ＝∠APC ，∵∠APC +∠BPC +∠ACB ＝180°，∠MPA +∠APC +∠BPC ＝180°， ∴∠ACB ＝∠MPA ＝∠APC ， ∵∠APC ＝∠ABC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ；（3）过A 点作AD ⊥BC 交BC 于D ，连结OP 交AB 于E ，如图2，由（2）得出AB ＝AC ， ∴AD 平分BC ， ∴点O 在AD 上，连结OB ，则∠BOD ＝∠BAC ， ∵∠BPC ＝∠BAC ， ∴sin sin BOD BPC ∠=∠=2425BDOB=，设OB ＝25x ，则BD ＝24x ， ∴OD 22OB BD -7x ，在Rt ABD V 中，AD ＝25x +7x ＝32x ，BD ＝24x ， ∴AB 22AD BD +40x ，∵AC ＝8， ∴AB ＝40x ＝8，解得：x ＝0.2，∴OB ＝5，BD ＝4.8，OD ＝1.4，AD ＝6.4， ∵点P 是¶AB 的中点， ∴OP 垂直平分AB ， ∴AE ＝12AB ＝4，∠AEP ＝∠AEO ＝90°，在Rt AEO ∆中，OE 223AO AE -=，∴PE ＝OP ﹣OE ＝5﹣3＝2，在Rt APE ∆中，AP 22222425PE AE +=+= 【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大.11．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析（2）23 3π-【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵¶¶AE DE=，∴OE⊥AD．∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE26023360π⋅⋅=-22233π=．【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，①△CBH∽△OBC②求OH＋HC的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.【解析】分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：BC HBOC BC＝，所以HB=24BC，由于BC=HC，所以OH+HC=4−24BC+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC②由△CBH∽△OBC可知：BC HB OC BC＝∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB=24 BC，∴OH=OB-HB=4-24BC ∵CB=CH ，∴OH+HC=4−24BC +BC ，当∠BOC=90°，此时BC=42 ∵∠BOC ＜90°， ∴0＜BC ＜42，令BC=x 则CH=x ，BH=24x()221142544OH HC x x x ∴+=-++=--+当x=2时，∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．13．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝35，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E ．（1）当⊙P 与边BC 相切时，求⊙P 的半径．（2）连接BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的⊙Q 与⊙P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++;（3）50105-.【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxxy-+--=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，解得：R＝409；（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，则BH＝ACsinC＝8，同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+， DA ＝255x ，则BD ＝45﹣255x ，如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，tanβ＝2，则cosβ＝5，sinβ＝5， EB ＝BDcosβ＝（45﹣25x ）×5＝4﹣25x ， ∴PD ∥BE ， ∴EB BF PD PF =，即：2024588x y x xx y -+--=，整理得：y ＝25x x 8x 803x 20-++；（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G ，则PG ＝PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ， GD 为相交所得的公共弦，∵点Q 是弧GD 的中点，∴DG ⊥EP ，∵AG 是圆P 的直径，∴∠GDA ＝90°，∴EP ∥BD ，由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形，∴AG ＝EP ＝BD ，∴AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝45，设圆的半径为r ，在△ADG 中，AD ＝2rcosβ＝5，DG ＝5，AG ＝2r ， 5+2r ＝45，解得：2r ＝51+，则：DG ＝5＝50﹣105，相交所得的公共弦的长为50﹣105．【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．14．如图①，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作O e ，过C 作CE 切O e 于E ，交AB 于F .（1）若O e 的半径为2，求线段CE 的长；（2）若AF BF =，求O e 的半径；（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.【答案】(1)42CE =(2)O e 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE BC =OC BA ，即r 8-r =610，解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GE AB AC=，即12108GE =，解得即可．【详解】(1)如图，连结OE .∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒.∵8AC =，O e 半径为2，∴6OC =，2OE =.∴2242CE OC OE =-=；(2)设O e 半径为r .在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，∴226BC AB AC -=. ∵AF BF =， ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒.∴OEC ACB ∠=∠，∴OEC BCA ∆~∆.∴OE OC BC BA =， ∴8610r r -=，解得3r =.∴O e 的半径为3；(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，由对称性可知，CB CG =.又CE CB =，∴CE CG =.∴EGC GEC ∠=∠.∵CE 切O e 于E ，∴90GEC OEG ∠+∠=︒.又90EGC GMC ∠+∠=︒，∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠，∴OEG OME ∠=∠.∴OE OM =.∴点M 与点D 重合.∴G 、D 、E 三点在同一条直线上.连结AE 、BE ，∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，即90AEG ∠=︒.又CE CB CG ==，∴90BEG ∠=︒.∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒，∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.∴E 、F 两点重合.∵90GEB ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴GBE ABC ∆~∆. ∴GB GE AB AC =，即12108GE =. ∴9.6GE =.故G 、E 两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ．（1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD ＝2，AC=6，求⊙O 的半径R 的长．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】试题分析：（1）连接OC ，由题意得OC ⊥CD ．又因为AC 平分∠DAB ，则∠1=∠2=12∠DAB ．即可得出AD ∥OC ，则AD ⊥CD ；（2）连接BC ，则∠ACB =90°，可证明△ADC ∽△ACB ．则2AD AC AC R =，从而求得R ．试题解析：（1）证明：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于C 点，AB 是⊙O 的直径， ∴OC ⊥CD ．又∵AC 平分∠DAB ，∴∠1=∠2=12∠DAB ．又∠COB =2∠1=∠DAB ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ．（2）连接BC ，则∠ACB =90°，在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB =90°，∴△ADC ∽△ACB ．∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =。

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1．（2015•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
2．（2015•武汉）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；
（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．
3．（2015•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．
4．（2015•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求证：AD=CD．
5．（2015•义乌市）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．
（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；
（2）证明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA=，求EF的长．
7．（2015•随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F．
（1）求证：AF⊥EF．
（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．
8．（2015•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
9．（2015•西宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD 于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．
10．（2015•柳州）如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=．
（1）求OD、OC的长；
（2）求证：△DOC∽△OBC；
（3）求证：CD是⊙O切线．
12．（2015•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
13．（2015•十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．
14．（2015•南昌）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O 外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标．
15．（2015•莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．
16．（2015•雅安）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
17．（2015•威海）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
18．（2015•乌鲁木齐）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．
19．（2015•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
20．（2015•孝感）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
21．（2015•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
23．（2015•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
24．（2015•玉溪）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）
25．（2015•永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．
28．（2015•衢州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
29．（2015•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=，求DE的长．
30．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．。