第08章 期权定价的数值方法

第八章 期权定价的数值方法在前面几章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并且解出了一些精确的期权解析定价公式。

但是在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures ）为期权定价，其中包括二叉树方法（Binomial Trees ）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation ）和有限差分方法（Finite Difference Methods ）。

当期权收益依赖于标的变量所遵循的历史路径时（如我们将在第九章看到的路径依赖期权），或是期权价值取决于多个标的变量的时候，可以用蒙特卡罗模拟为期权定价。

而二叉树图和有限差分方法则比较适用于有提前执行可能性的期权。

在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。

为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻，表示为0。

第一节 二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型是由J. C. Cox 、S. A. Ross 和M. Rubinstein 于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。

二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。

一、二叉树模型的基本方法我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。

二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ∆，并假设在每一个时间间隔t ∆内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；下降到原先的d 倍，即Sd 。

其中，1u >，1d <，如图8.1所示。

价格上升的概率假设为p ，下降的概率假设为1p -。

S图8.1 t ∆时间内资产价格的变动相应地，期权价值也会有所不同，分别为u f 和d f 。

注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。

因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。

（一）单步二叉树模型运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利方法和风险中性定价方法。

1.无套利定价法由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图8.1的单步二叉树中，我们可以构造一个证券组合，包括∆股资产多头和一个看涨期权空头。

如果我们取适当的∆值，使u d Su f Sd f ∆-=∆-则无论资产价格是上升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。

也就是说，当u df f Su Sd-∆=-时，无论股票价格上升还是下跌，该组合的价值都相等。

显然，该组合为无风险组合，因此我们可以用无风险利率对u d Su f Sd f ∆-∆-或贴现来求该组合的现值。

在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合的成本，即()r t u S f Su f e -∆∆-=∆-将u df f Su Sd-∆=-代入上式就可得到：()1r t u d f e pf p f -∆=+-⎡⎤⎣⎦其中du d e p t r --=∆2.风险中性定价法在第六章中我们已经探讨过，期权定价可以在风险中性世界中进行，同样，我们也可以在二叉树模型中应用风险中性定价原理，确定参数p 、u 和d ，从而为期权定价。

这是二叉树定价的一般方法。

在风险中性世界里：（1） 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2） 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。

在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率r ，因此若期初的证券价格为S ，则在很短的时间间隔t ∆末的证券价格期望值应为tr Se ∆。

因此，参数p 、u 和d的值必须满足这个要求，即：Sd p pSu Se t r )1(-+=∆d p pu etr )1(-+=∆ (8.1)二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，根据第六章的讨论，在一个小时间段t ∆内证券价格变化的方差是t S∆22σ。

根据方差的定义，变量Q 的方差等于()()22E Q E Q -⎡⎤⎣⎦，因此：22222222])1([)1(d p pu S d S p u pS t S -+--+=∆σ[]2222)1()1(d p pu d p pu t -+--+=∆σ (8.2)式（8.1）和(8.2)给出了计算p 、u 和d 的两个条件。

第三个条件的设定则可以有所不同， Cox 、Ross 和Rubinstein 所用的条件1是：1u d=（8.3） 从以上三个条件求得，当t ∆很小时：du de p t r --=∆ （8.4）te u ∆=σ（8.5） te d ∆-=σ （8.6）从而()1r t u d f e pf p f -∆=+-⎡⎤⎣⎦比较以上两种方法，我们可以看到，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。

在风险中性定价过程中，我们无需考虑资产价格上升和下降的概率，也就是说资产预期收益具有无关性，这正好符合风险中性的概念。

但是在最后的期权公式中，两种方法都包含了概率p ，这里的概率是风险中性世界中的概率，参数p 、u 和d 实际上都隐含在给定条件中。

一般来说，在运用二叉树方法时，风险中性定价是常用的方法，而无套利定价法则主要是提供了一种定价思想。

（二）证券价格的树型结构应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图8.2所示。

1这是二叉树模型中最常用的第三个条件，后文我们将会谈到对第三个条件的其他设定方法。

Su 24S24图8.2 资产价格的树型结构当时间为0时，证券价格为S 。

时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下降到Sd ；时间为2t ∆时，证券价格就有三种可能：2Su 、Sud （等于S ）和2Sd ，以此类推。

一般而言，在t i ∆时刻，证券价格有1i +种可能，它们可用符号表示为：j i j d Su - 其中0,1,,j i =注意：由于1u d=，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。

（三）倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T 时刻开始往回倒推，为期权定价。

由于在到期T 时刻的预期期权价值是已知的，例如看涨期权价值为)0,max(X S T -，看跌期权价值为),max(o S X T -，因此在风险中性条件下在求解t T ∆-时刻的每一结点上的期权价值时，都可通过将T 时刻的期权价值的预期值在t ∆时间长度内以无风险利率r 贴现求出。

同理，要求解t T ∆-2时的每一结点的期权价值时，也可以将t T ∆-时的期权价值预期值在时间t ∆内以无风险利率r 贴现求出。

依此类推。

采用这种倒推法，最终可以求出零时刻（当前时刻）的期权价值。

以上是欧式期权的情况，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t ∆时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。

例8.1假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。

为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。

根据式（8.4）到（8.6），可以算出：4924.015076.08909.01224.1=-=--=====∆∆-∆p d u d e p e d e u t r tt σσ据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如图8.3所示。

在每个结点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。

股价上涨概率总是等于0.5076，下降概率总是等于0.4924。

在t i ∆时刻，股票在第j 个结点（0,1,,j i =）的价格等于j i j d Su -。

例如，F 结点（4,1i j ==）的股价等于元69.398909.01224.1503=⨯⨯。

在最后那些结点处，期权价值等于max(,0)T X S -。

例如，G 结点（5,1i j ==）的期权价格等于50－35.36=14.64。

图8.3 不付红利股票美式看跌期权二叉树从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。

首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。

这意味着所计算的期权价值是t ∆时间内期权价值期望值的现值。

例如，E 结点（4,2i j ==）处的期权价值等于：元66.2)45.54924.005076.0(0833.01.0=⨯+⨯⨯-e而F 结点处的期权价值等于：元90.9)64.144924.045.55076.0(0833.01.0=⨯+⨯⨯-e然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。

在E 结点，提前执行将使期权价值为0，因为股票市价和协议价格都等于50，显然不应提前执行。

因此E 结点的期权价值应为2.66元。

而在F 结点，如果提前执行，期权价值等于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。

因此，若股价到达F 结点，就应提前执行期权，从而F 结点上的期权价值应为10.31元，而不是9.90元。

用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。

如果我们把期权有效期分成更多小时段，结点数会更多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。

当t ∆非常小时，期权价值将等于4.29元。

（四）二叉树方法的一般定价过程下面我们给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法，仍然举无收益证券的美式看跌期权为例。

假设把该期权有效期划分成N 个长度为t ∆的小区间，令)0,0(i j N i f ij ≤≤≤≤表示在时间t i ∆时第j 个结点处的美式看跌期权的价值，我们将ij f 称为结点),(j i 的期权价值。

同时用ji jdSu -表示结点),(j i 处的证券价格。

由于美式看跌期权在到期时的价值是),max(o S X T -，所以有：max(,0)j N j N j f X Su d -=-，，其中0,1,,j N =当时间从t i ∆变为t i ∆+)1(时，从结点),(j i 移动到结点)1,1(++j i 的概率为p ，移动到),1(j i +的概率为1p -。

假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：1,11,[(1)]r t ij i j i j f e pf p f -∆+++=+-其中i j N i ≤≤-≤≤0,10。

如果考虑提前执行的可能性的话，式中的ij f 必须与期权的内在价值比较，由此可得：1,11,max{,[(1)]}j i j r t ij i j i j f X Su d e pf p f --∆+++=-+-按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间t ∆趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。