动态规划作业完整

动态规划作业

1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线?

把A看作终点，该问题可分为4个阶段。

f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。

f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30

f3(C1)=min[d3(C1,B1)+ f4(B1), d3(C1,B2)+ f4(B2), d3(C1,B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3

f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3

f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3

f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1

f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2

f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2

所以可以得到以下最短路线，

E→D1→C1→B2 / B3→A

E→D2→C2→B3→A

2、习题4－2

解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3；

2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数，

Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X k

Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值

fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值

3)递推关系式：

fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1

f4(S4)＝0

4）从最后一个阶段开始向前逆推计算

第三阶段：

设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为：

f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4

表1

第二阶段：

设将S2个销售点（S2＝0,1,2,3,4）分配给乙丙两个地区时，对每一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为：f2(S2)＝max[ P2(X2)+ f3(S2－X2) ]

其中，X2＝0,1,2,3,4

表2

第一阶段：

设将S1个销售点（S1＝4）分配给三个地区时，则最大利润值为：f1(S1)＝max[ P1(X1)+ f2(4－X1) ]

其中，X1＝0,1,2,3,4

表3

然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：最大总利润为53

1）由X1*＝2，X2*＝1，X3*＝1。即得第一个地区分得2个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得1个销售点。

2）由X1*＝3，X2*＝1，X3*＝0。即得第一个地区分得3个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得0个销售点。

3、

某施工单位有500台挖掘设备，在超负荷施工情况下，年

产值为20万元/台，但其完好率仅为0.4，在正常负荷下，年产值为15万元/台，完好率为0.8。在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量，使第四年年末仍有160台设备保持完好，并使产值最高。试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。 解：1）该问题分成四个阶段，k 表示年度，k ＝1,2,3,4 2）设Sk 表示为分配给第k 年初拥有的完好挖掘设备数量， Uk 表示为第k 年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量， Dk (Sk)={ Uk|0≤Uk ≤Sk }

Sk －Uk 表示为第k 年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。 状态转移方程：S k ＋1＝0.4Uk +0.8(Sk －Uk)， S1＝500台 3）设vk(sk,uk)为第k 年度的产量，则 vk ＝20Uk +15(Sk －Uk) 故指标函数为V1,4= f k (Sk)表示由资源量Sk 出发，从第k 年开始到第4年结束时所生产的产量最大。

4）递推关系式：f k (Sk)＝MAX{20 Uk +15(Sk －Uk)+ f k+1[0.4Uk +0.8(Sk －Uk)]} k=1,2,3,4 5）从第4阶段开始，向前逆推计算 当k ＝4时，

∑=4

1

k )

U ,(S V k k k

S5=160, 0.4U4 +0.8(S4－U4)=160 2S4-U4=400 U4=2S4-400 f4(S4)＝MAX{20 U4 +15(S4－U4)+ f5[0.4U4 +0.8(S4－U4)]} ＝MAX{5 U4 +15S4}

=25S4-2000

当k＝3时，

f3(S3)＝MAX{20 U3 +15(S3－U3)+ f4[0.4U3 +0.8(S3－U3)]} = MAX{5U3+15S3+25(0.8S3-0.4U3)-2000}

＝MAX{-5U3 +35S3-2000}

故得最大解U3*＝0

所以f3(S3)＝35 S3-2000

依次类推，可求得：

U2*＝0，f2(S2)＝43S2-2000

U1*＝0，f1(S1)＝49.4S1-2000

因为S1＝500台，故f1(S1)＝22700台

最优策略为U1*＝0，U2*＝0，U3*＝0，U4*＝112

已知S1＝500，

S2＝0.4U1 *+0.8(S1－U1*)＝0.8S1＝400

S3＝0.4U2 *+0.8(S2－U2*)＝0.8S2＝320

S4＝0.4U3 *+0.8(S3－U3*)＝0.8S3＝256

U4=2S4-400=112 S4-U4=256-112=144

即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工，第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工，144台