07 功能原理 机械能转换和守恒定律
机械能守恒：能量转化和转移的原则
机械能守恒：能量转化和转移的原则一、能量守恒定律1.定义：能量守恒定律是指在一个封闭系统中，能量总量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总值保持不变。
2.表达式：ΔE = W + Q，其中ΔE表示系统内能的变化，W表示系统对外做的功，Q表示系统吸收的热量。
二、机械能的概念1.定义：机械能是指物体由于其位置或速度而具有的能量。
2.分类：动能（Kinetic Energy, KE）和势能（Potential Energy, PE）。
a)动能：物体由于运动而具有的能量，公式为KE = 1/2mv²，其中m为物体质量，v为物体速度。
b)势能：物体由于位置而具有的能量，包括重力势能和弹性势能。
•重力势能：物体在重力场中由于位置而具有的能量，公式为PE = mgh，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为物体相对于参考点的高度。
•弹性势能：物体由于形变而具有的能量，公式为PE = 1/2kx²，其中k为弹簧系数，x为弹簧的形变量。
三、机械能守恒的条件1.定义：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但总的机械能（动能加势能）保持不变。
a)系统内只有重力或弹力做功。
b)系统内没有非保守力做功，如摩擦力、空气阻力等。
四、机械能守恒的运用1.判断机械能是否守恒：分析物体在受力过程中，是否只有重力或弹力做功，如果没有其他非保守力做功，则机械能守恒。
2.计算物体在转化过程中的能量：根据物体所处的状态（静止、匀速直线运动、抛体运动等）和受力情况，运用动能和势能的公式，计算物体在转化过程中的能量。
五、能量转化和转移的原则1.能量守恒定律：能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总值保持不变。
2.能量转化和转移的方向性：能量转化和转移具有方向性，如热能自发地从高温物体传递到低温物体，而不会自发地反向传递。
能量守恒定律与机械能转换
能量守恒定律与机械能转换能量是物质存在的一种形式，它贯穿了整个宇宙。
能量可以以不同的形式存在，如热能、化学能、动能和势能等。
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出在一个孤立系统中，能量的总量是不变的，即能量不能被创造或摧毁，只能从一种形式转换为另一种形式。
机械能转换是能量守恒定律的一个重要应用。
机械能是指物体的动能和势能之和。
动能是物体由于运动而具有的能量，当一个物体具有速度时，它拥有动能。
动能的大小与物体的质量和速度的平方成正比。
例如，一个运动着的汽车比一个静止的汽车具有更大的动能。
而势能是物体由于位置而具有的能量。
常见的势能有重力势能和弹性势能。
重力势能是指物体由于重力而具有的能量，它与物体的质量、高度以及地球表面附近的重力加速度有关。
当物体抬高时，它的重力势能增加；当物体下降时，它的重力势能减少。
弹性势能是指物体由于弹性变形而具有的能量，例如一个被压缩或拉伸的弹簧。
在机械能转换中，动能和势能可以相互转换。
当物体从高处下落时，它的重力势能减少，而动能增加。
相反，当物体被抬高时，它的重力势能增加，动能减少。
这种能量的转换遵循能量守恒定律，总能量保持不变。
例如，考虑一个小球从一定高度自由下落的情况。
当小球开始下落时，它具有重力势能，但没有动能。
随着下落过程中，小球的高度降低，重力势能减少，而相应地动能增加。
当小球下落到最低点时，它丧失了全部的重力势能并转化为最大的动能。
在下落过程中，摩擦力会使得小球的动能逐渐减小，最终转化为热能散失到周围环境中。
机械能转换在日常生活中随处可见。
例如，电梯的升降过程就是机械能转换的一个例子。
当电梯上升时，电梯具有势能的增加和动能的减小。
当电梯下降时，势能减小，而动能增加。
这种能量的转换使电梯能够运送人和物品。
此外，摆钟的运行也涉及到机械能转换。
当摆钟开始摆动时，重力势能逐渐转换为动能，使得摆球摆动来回。
而摆动过程中，摆球的速度不断变化，动能转换为势能，当摆球到达最高点时，动能为零，重力势能最大。
功能原理机械能守恒定律
仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑保守内力的功，这正 是功能原理的优点；因为计算势能增量常比直接计算功方便。
4 – 5 功能原理 机械能守恒定律
二 机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy)
能与外界的能量交换；用系统内部非保守力做功来量度系统内 部与机械能其它形式能量的转化。
例如，内摩擦力作功，机械能转变成热能。
4 – 5 功能原理 机械能守恒定律
A外 + A内非 = Ek + EP = E
—— 质点系的功能原理
说 明：
2、必须注意保守内力做功所起的作用。由于机械能中的
势能的改变已经反映了保守内力的功，因而只需计算保守内力 之外的其它力的功，切不可再计入有关保守内力的功。
B
(1/ kx
2)kx2 m2g
(1/
2)kx2 m1gh
解得
h x x
x [m1 (m1 m2 )]g / k
x为弹簧的形变量，取正值。A板需加的压力为
F kx m1g (m1 m2 )g
4 – 5 功能原理 机械能守恒定律
例题：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在 光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从 顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体 时速度 v ，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
功能原理(大学物理)
va a
4R E
RE
2R E
∵G
m Em R2
E
＝m
g
设：卫星在a 点的速率为va
所受的向心力是由万有引力
提供，由牛顿第二定律可得：
b vb
F向心力＝ m a ＝m
v2 R
G （m2RE mE）2 ＝m
v2 a
2R E
∴
Gm R2
E
E
＝g
代入上式得：
∴ va＝
gR E 2
va a
≥
5 2
R
C
(2)小球在 A 点受重力mg 及
A
轨道对小球的正压力N 作用。
H
B
·R
N0
(3)如果小球由H =2R 的高处滑下
mg 小球将不能到达A点就掉下来了。
本题结束
例题： 如图所示，子弹水平地射入一端固定在弹簧上
的木块内，已知：子弹质量是0.02kg ，木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块 后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系 数为0.2，求:子弹的速度。
和轨道对小 球的正压力
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1 )
不脱轨的条件为： N = mRvA2－m g ≥ 0
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1)
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
0＋mg( H
-
2R
)=
1 2
m
v
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
探究力学中三个能量守恒定律的应用
探究力学中三个能量守恒定律的应用力学中的三个能量守恒定律包括动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
文章主要对这三个能量守恒定律的实践应用进行了分析与研究，标签：力学；能量守恒定律；功能原理；机械能守恒定律；机械运动前言：在现代化管理、金融和经济等领域中，力学的定量建模方式应用十分广泛。
而能量守恒定律在物理学科中是一个很关键的内容，其是物理学科建立的奠基石，并可在宏观和低速领域成立，且在微观和高速领域也同样成立，对其实践应用进行研究具有很关键的现实意义。
1能量守恒定律概述能量不会凭空消失和产生，其只会从一种形态变成了另外一种形态，或者从一个物体中转移至其他的物体中。
故能量守恒定律可具体表述为，系统能量的变化，等于传出或传入该系统的实际能量，而总能量则是热能、机械能以及其他能量的总和，它是自然界中最为常见的能量之一。
众所周知，在物理学科中，能量守恒定律和动量守恒定律是其中最为重要的规律，并在自然界中普遍存在，其向人们展示了自然中物质形态的转化和传递，属于无法创造和消灭的客观本质。
其中，能量守恒定律不仅可在宏观、低速的物理过程中适用，同时也更加适用于微观世界。
该定律具体包括电势能与动能总和守恒、电势能与机械能总和守恒、机械能守恒等多个方面，在各种运动能量的相互转化中最为常见。
总之，通过对力学能量守恒定律的應用进行分析和研究，同时结合实际情况，更加有助于人们快速的找到解决问题的有效办法[1]。
2力学中三大能量守恒定律的应用对比分析力学中三大能量守恒定律包括动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
以下主要从定律内容、研究对象、应用条件等方面入手，对着三大定律的应用差异进行了阐述。
定律内容：动能定理，即外力对物体所做的合功，等于物体的动能增量。
而机械能守恒定律，即在只有弹力和重力做功的物体系中，势能和动能可实现相互转化，但总的机械能则保持不变。
功能原理，除弹力或者其他的重力之外，内力和外力所做功的代数，等同于系统机械能增量。
功能原理机械能转换和守恒定律
本节将介绍功能原理机械能转换的定义、基本原理以及机械能守恒定律的概 念和表达式。
功能原理机械能转特定方 式转换为其他形式的能量的过程。
2 原理
通过改变物体的运动状态或形状，将机械能 转换为电能、热能或其他形式的能量。
机械能转换的基本原理
能量转换
机械能可以转换为其他形式的 能量，如电能或热能。
动力学定律
根据牛顿第二定律，物体受到 的力越大，其动能转换效率越 高。
工程设计
通过合理设计机械结构，可以 实现高效的能量转换。
机械能守恒定律的概念
1
封闭系统
2
这一定律适用于封闭的物理系统，其中
只有内部力和势能发生变化。
3
能量守恒
机械能守恒定律指出，在没有外部能量 输入或损失的情况下，系统的机械能保 持不变。
蒸汽机车
通过蒸汽发动机将燃料燃烧产生的热能转换为机械 能，推动火车行驶。
水力发电
利用水流所具有的动能，通过涡轮机将其转换为机 械能，再转换为电能。
机械能转换的能源效率
能源损耗
在机械能转换过程中，总会有能量损耗，导致能源效率低于100%。
能量回收
通过改进设计和应用高效能源转换技术，可以提高能源回收率。
可再生能源
利用可再生能源可以减少对非可再生能源的依赖，提高能源转换效率。
机械能转换的未来发展前景
随着科技的进步，机械能转换技术将越来越智能化和高效化，为可持续能源 发展和人类生活带来更多创新和便利。
应用范围
机械能守恒定律广泛应用于机械工程、 物理学以及能源领域。
机械能守恒定律的表达式
系统起始状态 机械能 = 动能 + 势能
系统终止状态 机械能 = 动能 + 势能
机械能守恒和功能原理
能量守恒定律与功能原理主要内容：一、能量守恒定律1）在机械运动范围内，物体所具有的动能、势能（重力势能和弹性势能），统称为机械能。
物体的动能和势能之间是可以相互转化的。
例如：自由下落的物体，由于重力做功，所以其势能减少，动能增加，势能转化为动能；竖直上抛的物体，由于要克服重力做功，所以其动能减少,势能增加，动能转化为势能。
下面从动能定理出发，推证机械能守恒的条件：选某物体为研究对象，根据动能定理，有：ΣW=ΔE k可写成：W重+W弹+W其它=ΔE k，其中W弹为弹簧弹力的功。
又根据重力、弹簧弹力做功与势能的关系有：W重=－ΔE P重，W弹=－ΔE P弹－ΔE P重－ΔE P弹+W其它=ΔE k，如果W其它=0，即其它力不做功，则：－ΔE P重－ΔE P弹=ΔE k，即ΔE k+ΔE P重+ΔE P弹=0即ΔE=0（机械能的增量为零）从上面推证可以看出，系统机械能守恒的条件为：除了重力、弹簧弹力以外无其它力对物体做功。
2）实际上，物质运动的形式不仅是机械运动，另外，热运动、电磁运动、化学运动、核运动等也是物质的不同运动形式，不同的运动形式对应着不同形式的能量，物质各种形式的运动是可以相互转化的，因此不同形式的能也是可以相互转化的，且在能量转化的过程中，总的能量守恒。
因此，系统机械能守恒条件的严格表述为：物体系（系统）内只有重力、弹力做功，而其它一切力都不做功时，系统机械能守恒。
二、功能原理（或称功能关系）1）由动能定理可以知道，外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，可表示为：ΣW=ΔE k 这里说的外力包括作用于物体上的全部做功的力，可分为三部分：(1)系统内的重力、弹力；(2)系统内的摩擦力；(3)系统外物体对它的作用力，则动能定理的表达式可写成W重+W弹+W摩擦+W外=ΔE k，又因为：W重=－ΔE P重，W弹=－ΔE P弹，所以有：W摩擦+W外=ΔE k+ΔE P重+ΔE P弹等式的右边为动能的增量跟势能增量的和，即为物体机械能的增量，即：W摩擦+W外=ΔE表述为：除重力、弹簧弹力以外力对物体做功的代数和，等于物体机械能的增量。
机械能守恒与能量转换的基本原理
机械能守恒与能量转换的基本原理机械能守恒和能量转换是物理学中非常重要的概念，它们描述了能量在物体运动中的变化过程。
本文旨在介绍机械能守恒和能量转换的基本原理及其应用。
一、机械能守恒的基本原理机械能守恒是指在没有外力或外力做功为零的情况下，一个封闭系统中物体的机械能（动能和势能之和）保持不变。
这个原理是根据能量守恒定律推导出来的。
在一个封闭系统中，只有内力和势能存在。
内力做功是相互抵消的，而势能是由物体位置决定的。
因此，当系统中没有外力做功时，机械能守恒成立。
具体来说，对于一个物体在地球上的自由下落运动，当物体从高处下落到低处时，势能减小，而动能增大，两者之和保持不变。
同样地，当物体由低处抬升到高处时，势能增加，动能减小，机械能仍然守恒。
二、能量转换的基本原理能量转换是指一种能量形式转化为另一种能量形式的过程。
它们可以通过物体的运动、热传导、辐射等方式进行。
1. 机械能转换机械能转换是指物体的动能和势能之间的相互转化。
例如，当弹簧被压缩时，机械能转化为弹性势能；而当弹簧释放时，弹性势能转化为动能。
同样地，当物体滑下斜坡时，势能转化为动能，反之亦然。
2. 热能转换热能转换是指物体内部分子的热运动所产生的热能转化为其他形式的能量。
例如，当我们在火中烤肉时，热能转化为热量使得食物加热，而当食物被吃下去后，食物中的化学能转化为身体的热能。
3. 光能转换光能转换是指光的能量转化为其他形式的能量。
光能可以通过光电效应转化为电能，也可以通过光热转换为热能。
例如，太阳能电池板将阳光中的光能转化为电能，太阳能热水器利用光能加热水。
4. 化学能转换化学能转换是指化学反应中储存的能量转化为其他形式的能量。
例如，当我们燃烧木材或化石燃料时，化学能转化为热能和光能。
同样地，电池中的化学能可以转化为电能供电。
三、应用和意义机械能守恒和能量转换的概念在日常生活和工业生产中具有广泛的应用和意义。
1. 能源利用和节约了解能量转换的原理，可以帮助我们更好地利用和节约能源。
学习能量转换公式
学习能量转换公式
1、机械效率η=W有/W总×100％
2、恒力的功W=FScosα
3、电场力功W=qU=qEd
4、牵引力（摩擦力）所做的功等于牵引力（摩擦力）乘以路程
5、功率P=W/t
6、动能Ek=mv²/2
7、重力势能Ep=mgh
8、弹性势能Ep=kx²/2
9、动能定理：W=Ek2-Ek1
10、机械能守恒定律：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
11、功能原理：W'=E2-E1
12、重力所做的功等于物体重力势能的减少。
13、弹簧弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加。
14、电场力所做的功等于电荷电视能的减少。
15、热力学第一定律：ΔΕ=W+Q
16、电场力功W=qU=qEd
17、电流的功W=UIt=I²Rt=U²t/R电热Q=I²Rt=U²t/R
18、纯电阻：UIt=Q
19、非纯电阻：UIt=Q+其它形式的能量
20、电场能E=cu²/2
21、磁场能E=Li²/2
22、光电效应方程：hc/λ=hγ=w+mv²/2
23、质能方程：ΔΕ=mc²。
质点系的功能原理和机械能守恒定律
对保守力，必有：
C
B
LF dr 0
A•
C'
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
一、保守内力 势能
若
F
dr
0
则
F
为非保守力
L
如：摩擦力沿任意闭合路径的功
L
0
一对摩擦力：机械能耗散为热能的途径和量度。
一般地，若
F
dr
0
则F
为耗散力
L
一、保守内力 势能
3、重力的功
重力：
A(0, hA ,0)
WAB mg (hA hB )
y hA
mg j
hB
O
z
B(0, hB ,0)
x
重力做功只与始末相对位置有关!
一、保守内力 势能
小结
1、引力的功
2、弹性力的功
1、重力的功
一、保守内力 势能
【保守力】做功只与始末位置有关，而与质点所经历路径无 关的力。如：重力、引力、弹性力。
亦即：当系统中只有保守内力做功
则其机械能
（常量）
（1）机械能守恒条件： 系统在某一过程中始终只有保守内力做功！ 而不能只考虑始末两状态的
（2）适用于惯性系，且与惯性系的选择有关； （3）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力学
问题中的体现。
三、机械能守恒定律
例：用弹簧连接两个木板m1 、m2，弹簧压缩x0
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
二、质点系的功能原理
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
意义：质点系机械能的增量等于所有的外力和 所有非 保守内力做功的代数和。
机械能守恒及功能关系
在日常生活中的应用
机械能守恒
在日常生活中，许多现象遵循机械能守恒原理。例如，骑自行车时，人体的动能和重力势能之间相互转换；滑滑 梯时，人体的重力势能转换为动能。
功能关系
功能关系在日常生活中主要应用于分析不同形式的能量转换。例如，在做饭过程中，电能转换为热能；在跑步过 程中，化学能转换为动能和内能。通过了解这些能量转换过程，人们可以更有效地利用能源，提高生活质量。
02
机械能守恒定律是物理学中一个 基本而重要的定律，它描述了物 体在运动过程中能量的转化和守 恒。
机械能守恒的条件
系统不受外力或所受外力做功代 数和为零。
系统内只有动能和势能之间的相 互转化，不存在其他形式的能量
（如内能、电能等）的转化。
系统内各部分之间的相互作用都 是完全弹性碰撞，没有能量损失。
机械能守恒及功能关系
contents
目录
• 引言 • 机械能守恒定律 • 功能关系 • 机械能守恒与功能关系的实际应用 • 结论
01 引言
主题简介
机械能守恒
机械能守恒是物理学中的一个基本原 理，它指出在一个没有外力作用的孤 立系统中，动能和势能的总和保持不 变。
功能关系
功能关系是描述力与距离、力与时间 等物理量之间关系的定律或公式。
对未来研究和发展的展望
深入研究
随着科学技术的发展，我们需要更深入地研究和理解机械 能守恒及功能关系，以解决复杂问题和新出现的挑战。
跨学科应用
机械能守恒及功能关系可以与其他学科领域相结合，如生 物学、化学和地球科学等，以开拓新的应用领域。
创新技术
利用机械能守恒及功能关系原理，我们可以开发出更高效、 环保和可持续的技术和设备，以推动社会进步和发展。
功能原理和机械能守恒定律
【例3-6】如下图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定 ，沿斜面放置，斜面倾角为θ。质量为m的物体从与弹簧上端 相距为a的位置以初速度v0沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩b ，求物体与斜面之间的摩擦因数μ。
【解】将物体、弹簧和地球视为一个系统。物体的重力、 物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力 为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦 力为外力，做功。
W外 W保内 W非保内 Ek Ek 0
由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即W保内＝Ep0 －Ep，则上式可写为（功能原理）：
W外 W非保内 (Ek E p ) (Ek0 E p0 ) E E0 ΔE
1.2 机械能守恒定律
根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力 不做功或做功之和始终等于零，即W外＋W非保内＝0，则有：
1.3 能量守恒定律
由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为 零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的 能量与机械能之间的转化。例如，电动绞车提升重物时，电 流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用 力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。
在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要 的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从 一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个 物体，在转化或转移的过程中其总量不变。这一规律称为能 量守恒定律，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒 定律只是这条定律在力学领域的特例。
物理学
功能原理和机械能守恒定律
1.1 功能原理
系统的动能与势能之和称为机械能，用E表示，即
E Ek Ep 力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内 力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功W内也 可分为保守内力的功W保内和非保守内力的功W非保内，即W 内＝W保内＋W非保内。因此，质点系的动能定理式可写为：
机械能及其守恒定律
机械能及其守恒定律1．功：作用于物体的力和物体在力的方向上位移的乘积叫做力对物体所做功。
即 W＝FScosα公式中α是物体受到的力的方向和物体位移方向的夹角。
公式中的F必须是恒力；位移S，应该是力F作用点的位移。
功是标量，只有大小无方向，合力的功或总功都可由各分力功的代数和求得．但是功有正负之分。
当0°≤α＜90°时，力做正功；当90°＜α≤180°时，力做负功；当α＝90°时力不做功。
2．功率：物体所做的功与完成这些功所用时间的比值，叫功率，功率是表示物体做功快慢的物理量，公式为：P=W/t（1）功率另一种表达式：P＝FVcosα此公式中V为平均速度，则求出的是平均功率．若V为某时刻的瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率．功率一定时，力与物体的运动速度成反比。
速度一定时，物体的功率与速度成正比。
（2）P = FV的应用：①P一定时，F与V成反比，汽车在水平路面上以恒定的功率启动。
②F一定时，P与V成正比，汽车在水平路面上以恒定的加速度启动易错现象1．对功的定义W=FS理解不全面。
公式中F是恒力，在变力情况下如滑动摩擦力有往返运动的做功，位移为零，但功不为零，因此不能直接应用。
2．混淆合外力的功和某个力所做功。
3．混淆平均功率和即时功率。
4．对恒定功率下的运动和恒力作用下的运动的动态变化过程不清楚。
3．重力势能：重力做功的特点是只决定于初、末位置间的高度差，与运动路径无关. W G=mgh E p=mgh (1)重力势能是标量，是地球和物体所组成的系统共有；（2）重力势能具有相对性，即重力势能的大小与零势能面的选择有关；（3）重力所做功等于重力势能增量的负值。
4．弹性势能：物体由于发生弹性形变所具有的能量，大小与弹性形变量有关。
5．机械能守恒定律：在只有重力(或弹力)做功的条件下，物体的重力势能(或弹性势能)和动能相互转化，但机械能总量保持不变E p2+E k2= E p1+E k1或ΔE=0 或ΔE k+ΔE p =0（1）机械能守恒定律成立的条件：①只受重力(或弹力)作用；②受其他外力，但其他外力不做功；③对多个物体构成的系统，如果外力不做功，且系统的内力也不做功；，此系统机械能守恒。
机械能守恒定律能量守恒定律
机械能守恒定律与能量守恒定律的重要性
理论意义
机械能守恒定律和能量守恒定律是物 理学中的基本定律，对于理解自然界 的运动规律和物质性质具有重要意义 。
实践应用
这两个定律在工程、技术、经济和社 会等领域中有着广泛的应用，例如在 能源利用、机械设计、经济分析等方 面提供重要的理论支持和实践指导。
02 机械能守恒定律
能量守恒定律是许多其他物理定律的基础，如牛顿运动定律、动量守恒定律、 角动量守恒定律等。
能量守恒定律的适用范围
能量守恒定律适用于宇宙中的一切物理现象，无论是宏观的天体运动还是微观的粒子运动，无论是经 典力学还是相对论力学。
能量守恒定律适用于各种类型的能量，包括动能、势能、内能、电磁能等，以及它们的组合和转化。
需要注意的是，在量子力学中，能量守恒定律有时会受到一些限制，如能量量子化、不确定性原理等。
能量守恒定律的实例
摩擦生热
当两个物体相互摩擦时， 机械能转化为内能，总的 能量保持不变。
水力发电
水从高处流到低处时，重 力势能转化为动能，然后 动能转化为电能，总的能 量保持不变。
核反应
在核反应过程中，原子核 的结合能转化为热能和光 能等其他形式的能量，但 总的能量保持不变。
机械能守恒定律的定义
01
机械能守恒定律是指在只有重力 或弹力做功的情况下，物体的动 能和势能相互转化，且总机械能 保持不变的规律。
02
机械能守恒定律是经典力学中的 基本定律之一，它反映了能量在 机械运动中的守恒性质。
机械能守恒定律的适用范围
适用于只有重力或弹力做功，没有其 他力（如摩擦力、电磁力等）做功或 外力做功为零的情况。
04 机械能守恒定律与能量守 恒定律的应用
物理机械能守恒定律与能量转化
物理机械能守恒定律与能量转化物理学是一门研究物体及其运动的学科，其中机械能守恒定律是一个重要的概念。
通过理解和应用这一定律，我们可以更好地理解能量在物理系统中的转化过程。
在本文中，我们将介绍机械能守恒定律的原理，以及能量在物理系统中的转化现象。
一、机械能守恒定律的原理机械能守恒定律是指在一个孤立系统中，机械能（由动能和势能组成）的总量保持不变。
简单来说，就是在没有外力做功的情况下，系统的机械能保持常数。
当没有能量转化时，机械能不会发生改变。
机械能的转化可以通过下面的公式表示：E = K + U其中，E表示机械能的总量；K表示系统的动能；U表示系统的势能。
根据这个公式，我们可以看出，如果系统中的动能增加，势能就会减少；反之，如果势能增加，动能就会减少。
这是能量在物理系统中转化的基本原理。
二、能量转化的案例1. 牛顿摆牛顿摆是一个很好的例子，可以帮助我们理解机械能守恒定律和能量转化的概念。
当摆球从最高点释放时，它具有最大的势能，而动能为零。
随着球的下落，势能逐渐减少，而动能则逐渐增加。
当球达到最低点时，动能达到最大值，势能为零。
这个过程中，机械能的总量始终保持不变。
2. 弹簧振子弹簧振子也是一个常见的案例，能够展示机械能守恒定律和能量转化的现象。
当弹簧振子处于最大位移时，势能达到最大值，动能为零。
随着振子的运动，势能逐渐减少，动能逐渐增加，直到达到最大速度时，动能达到最大值，势能为零。
在整个过程中，机械能保持不变。
3. 自由落体自由落体也是一个很好的例子，可以用于说明机械能守恒定律的应用。
当物体从高处自由落体时，势能逐渐减少，而动能逐渐增加。
当物体触地时，势能为零，动能达到最大值。
在这个过程中，机械能总量保持不变。
总结：物理机械能守恒定律是一个非常重要的原理，它能够帮助我们理解能量在物理系统中的转化过程。
通过对机械能的转化和守恒的研究，我们可以更好地理解物理现象，并应用于解决实际问题。
在真实的物质世界中，几乎所有机械能的转化都符合机械能守恒定律，这使得这一定律在物理学中具有广泛的应用价值。
功能原理和机械能守恒定律
A
GMm
rb dr r ra 2
G
Mm rb
G
Mm ra
三、弹性力(elastic work)所做的功
建立如图所示 坐标系, 弹性力的 元功可写为:
ac d O xa x
b
xb X
dA F (dxi ) (kxi ) (dxi ) kxdx
A
b
dA
a
xb xa
kxdx
v
g (l 2 d 2 ) l
解三: 用机械能守恒定律求解；
系统: 整个绳子和地球. 并由于绳不可伸长，有：
A(e) AN 0
A(i) nc
0
系统机械能守恒.
d2
1
mg
2l
2
设水平桌面处重力势能
mv2 l mg 2
v
Ep
g (l l
0.
2 d2
)
比较三种方法：
①牛顿定律方程两端： 均为瞬时值，需对方程两端积分；
牵引力所做的功.
解: 由 dv Fx 6 103t 3t 得 dt m 2103
dv 3tdt
积分
v
dv
t
3tdt
得
0
0
v dx 1.5t 2 dt
dx vdt 1.5t 2dt 所以牵引力前10s做功为:
A
Fxdx
10 6 103t 1.5t 2dt 2.25107 (J )
(nonconservative force ).
对于任意闭合路径:
F dr 0 即做功为零, 为保守力, 如: 重力, 弹性力.
L
F dr 0 为非保守力(耗散力). 如:摩擦力
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第三节
功和能
图2-12 航天器轨道与发射时速度的关系
第二章 质点运动 时间 空间 第二章 质点动力学
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2-4
功能原理
机械能转换和守恒定律
六.能量转化和守恒定律
德国物理学家和生理 学家．于1874年发表了 《论力(现称能量)守恒》 的演讲，首先系统地以数 学方式阐述了自然界各种 运动形式之间都遵守能量 守恒这条规律．是能量守 恒定律的创立者之一．
四、了解一对内力的功，掌握质点和质点组的动能定理.
五、理解保守力作功的特点和系统势能的概念，掌握系统保守内力的功与 相应势能增量的关系，掌握机械能守恒定律. *六、了解狭义相对论中质量-速率关系、动量和动能表达式、质量-能量关 系及能量-动量关系.
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功能原理
机械能转换和守恒定律
一.几种常见力的功
acb bda
d
c
W F dr 0
b ——反映保守力做功特点的数学表达式
沿任意闭合路径运动一周时，保守力所作的功为零。 非保守力：作功与路径有关的力
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功能原理
机械能转换和守恒定律
保守力所作的功，是位置的单值函数；那么， 我们就可以引入仅是位置单值函数的能量，这种 能量叫做势能，或位能。
F dr Fx dx Fy dy Fz dz
EP EP EP F ( i j k) x y z
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功能原理
机械能转换和守恒定律
势能曲线上某点斜率的负值，就是该点 对应位置处质点所受的保守力。 势场中的粒子：
dE P F i dx
EP
O
EP
r
O
z
重力势能
O 弹性势能
x
万有引力势能
E p重 mgh
E p弹
1 2 kx 2
Mm E p引 G r
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功能原理
机械能转换和守恒定律
由势能函数求保守力
E P E P ( x, y , z )
dW F dr dEP
EP EP EP dEP dx dy dz x y z
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功能原理
机械能转换和守恒定律
人们在长期实践和科学研究中认识到，自然界除了 机械能以外，还有与热运动相联系的内能、与电磁现象相 联系的电磁能、与化学反应相联系的化学能以及与原子核 的结构相联系的核能等等。在一个系统的机械能增加或减 少的同时，必定伴随着其它形式的能量的相应的减少或增 加。非保守力作功就是机械能与其他形式的能相互转化的 过程。人的生命过程和劳动过程，从能量的角度讲，就是 化学能向机械能和内能的不停转化。人们通过长期大量的 实验，总结出了各种形式的能量相互转化的关系：对一个 封闭系统，它所具有的各种形式的能量的总和是守恒的。 即封闭系统中能量之间可以相互转化或转移，但总能量保 持不变。这就是普遍的能量守恒和转化定律，它是自然界 普遍遵守的又一个基本规律。
2-4
功能原理
机械能转换和守恒定律
3.万有引力的功
元功 :
rb
M
b
dr
m F
Mm Mm dW F dr G 2 er dr G 2 dr r r
结论: (1)万有引力的功，也是只与初末位置有关，而与质点 所经路径无关。 (2)两质点靠近时，万有引力作正功；远离时，万有引 力作负功。
mM 总功： W G 2 dr ra r mM mM [(G ) (G )] rb ra
rb
ra
a
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功能原理
机械能转换和守恒定律
4.摩擦力的功
摩擦力F 在这个过程中所作的功为:
M A M L F dr M ( L ) F dr
A
EP
C E
Ek F
EP x1
FF
x2
B
F
x3
x4
做往复振动
x
质点运动范围：
Ek E E p 0 ( x1 ) (x 2 x 3 ) (x 4 ) 非稳定平衡位置 A、C点： F B点：稳定平衡位置2-4
功能原理
机械能转换和守恒定律
小结
1.势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，保守力属于 内力。只要有保守力，就可引入相应的势能。 2. W 保内 =- ΔEp ，保守内力作正功，系统势能减少；保守内力 作负功，系统势能增加。 3. 计算势能必须规定零势能点。质点在某一点的势能大小等
1.重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
z
M1
m O x mg
M2
W
M2 M1
mg dr
z2 z1
mgdz
y
(mgz2 mgz 1)
结论: (1)重力的功只与初末位置有关，而与质点所行经的路径 无关； (2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
V12 M m G 2 m r r
GM V1 r
式中，V1为环绕速度， G为引力常量，M为地 球质量，r为航天器到地 心的距离。
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第二章 质点运动 时间 空间 第二章 质点动力学
（2）第二宇宙速度 它是在地球上发射完全脱离地球吸引力成为太阳的行 星的航天器所需的最小发射速度。 设最小发射速度为V2 ，航天器在它的燃料烧完时的 机械能等于脱离地球的引力范围时的机械能。在航天器 脱离地球的引力范围时，r=∞，物体的引力势能为零，此 时物体相对于地球的运动速度也为零，有
第二章 质点运动 时间 空间 第二章 质点动力学
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航天器轨道与发射时速度的关系。当发射速度大于 第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，物体将在地球的 引力场中，按不同的发射速度绕地球作偏心率不同的椭 圆轨道运动，这是人造地球卫星的情况。当发射速度大 于第二宇宙速度时，则是围绕太阳运行的人造行星的情 形,此时，相对于地球而言，它的轨道是抛物线或双曲线。 图2-12表示从地面A处发射航天器，当发射速度的方向 与该处地面平行但速度大小不同时，人造航天器的运行 轨道。如果要让航天器脱离太阳的引力场，航天器必须 大于第三宇宙速度。
E p重 mgh
Mm 引力势能以无穷远处为零势能点： E p引 G r 1 2 弹性势能以平衡位置为零势能点： E p弹 kx 2
W保
b
a
F保 dr ( E pb E pa ) E p
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功能原理
机械能转换和守恒定律
2.势能曲线
EP EP
Ek
E
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功能原理
机械能转换和守恒定律
注意
（1）守恒条件：外力及非保守内力均不作功。 （2）守恒定律是对一个系统而言的。 （3）守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态。 （4）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范
围内的体现。
机械能守恒与宇宙速度
常说的三种宇宙速度都可以用机械能守恒定律和牛 顿力学的有关公式推导出来。 （1）第一宇宙速度 它是在地球上发射环绕地球运动 的航天器时所需的最小发射速度（相对于地心参考系）。 由于航天器作匀速圆周运动的向心力应等于地球对航天器 的万有引力，即
于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保
守力所作的功。 4.势能仅有相对意义，两点间的势能差是绝对的，即势能是 质点间相对位置的单值函数，势能是状态量。
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功能原理
机械能转换和守恒定律
四.功能原理
W
b
a
F dr Ek 2 Ek1
质点
质点系
W外 W内 Eki Eki0 Ek
M2
1
2 1
M1
F
v
M2
M ( L Fds )
1
M2
mgs
结论: 摩擦力的功，不仅与初末位置有关，而且与质点所行经 的路径有关 。
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功能原理
机械能转换和守恒定律
二.保守力与非保守力
保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 a 设保守力沿闭合路径acbda作功
W F dr F dr F dr 0
W非保内
W保内 E p
W非保内 W外 Ek E p E
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功能原理
机械能转换和守恒定律
质点系的功能原理：
W非保内 W外 Ek E p E
质点系在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守 内力的功的总和等于系统机械能的增量。
功能原理和质点系的动能定理物理本质是一致的，它们 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。
亥姆霍兹 (1821—1894)
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功能原理
机械能转换和守恒定律
前面讨论使我们认识了功和能的关系，功是一个过量， 能是一个状态量。动能定理说明了合外力的功是动能变化的 量度；势能定理说明保守力的功是势能变化的量度；功能原 理说明质点组外力与非保守力做功之和是质点组机械能变化 的量度。它们都表明：一个系统的某种能量的变化与某些力 的功相联系。因此可以说，在一定的条件下，功是系统能量 变化的一种量度。
第二章 力 动量 能量
2-1 牛顿运动定律 2-2 动量定理和动量守恒定律 2-3 功 动能定理 2-4 功能原理 机械能转换和守恒定律 *2-5 质量-速率关系 质量-能量关系
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功能原理
机械能转换和守恒定律
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功能原理
机械能转换和守恒定律
2-4
功能原理
机械能转换和守恒定律