高三数学直线与圆的方程复习题1

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高考数学直线与圆的方程复习题及答案

高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高三数学一轮复习高考总复习测评卷直线和圆的方程章末质量检测文试题

·创作人：历恰面日期： 2020年1月1日金版新学案?高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(七)直线和圆的方程————————————————————————————————————— 【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题一共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．下面各组方程中，表示一样曲线的是( )A ．y ＝x 与yx＝1 B ．|y |＝|x |与y 2＝x 2C ．|y |＝2x ＋4与y ＝2|x |＋4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ(θ为参数)y ＝cos 2θ与y ＝－x 2＋12．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝03．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点P (5，－2)，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角的直线l 的方程是( )A ．y ＝－2B ．y ＝2，x ＝5C ．x ＝5D ．y ＝－2，x ＝55．假设PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，那么直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝06．假设k ，－1，b 三个数成等差数列，那么直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)7．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π28．A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，2259．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 满足|＋|＝|－|，那么C 点的轨迹方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．3x －2y －11＝011．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝012．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B 在A 的正东40千米处，那么B 城处于危险区内的时间是为( )A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时第二卷 (非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，那么所得直线的方程为________．14．在坐标平面内，与点A (1,3)的间隔为2，且与点B (3,1)的间隔为32的直线一共有__________条．15．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，那么△EOF (O 为坐标原点)的面积等于________．16．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6y ＋4≤0，|x －2|＋|y －3|≥3表示的平面区域的面积是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)△ABC 的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．18．(本小题满分是12分)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求BC 边所在直线的方程．(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程．19.(本小题满分是12分)△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0.AC 边上的高BH 所在直线为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．20．(本小题满分是12分)甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？21.(本小题满分是12分)圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A ，B 两个不同点，且满足＝12＋32(O 为坐标原点)关系的点M 也在圆C 上？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由．22．(本小题满分是12分)圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求·的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由．答案：卷(七)一、选择题1．B 用排除法做．A 、C 易排除，∵点坐标范围明显不一致．D 中前者x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]，后者x ∈R ，y ∈(－∞，1]，故排除D.2．D 选D.由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.3．C 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1〞是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直〞的充要条件． 4．D (1)假设直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan 45°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －11＋k ，得k ＝0，所求l 的直线方程为y ＝－2.(2)假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝5，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角．应选D.5．B 结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.6．A ∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2.∴当x ＝1时，y ＝k ＋b ＝－2. 即直线过定点(1，－2)．7．B 如图阴影局部表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧A B 的长度为2×π4＝π2.8．B 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．9．A 不等式组表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)获得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6 ＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2 ＝256，应选A10．C 由|＋|＝|－|知⊥，所以C 点的轨迹是以两个端点A 、B 为直径的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.11．D 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，那么O (2,0)， ∴K OM ＝2－01－2＝－2.∴直线l 的斜率k ＝12，∴l 的方程为y －2＝12(x －1)．即x －2y ＋3＝0.12．B 如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B (40,0)，台风中心挪动的轨迹为射线y ＝x (x ≥0)，而点B 到射线y ＝x 的间隔 d ＝402＝202＜30，故l ＝2302－(202)2＝20，故B 城处于危险区内的时间是为1小时．二、填空题13．【解析】直线y ＝x ＋3－1的斜率为1，故倾斜角为45°，旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.【答案】3x －y ＝014．【解析】以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切，公切线只有一条．【答案】 1 15．【解析】如图圆心O 1(2，－3)到直线l ：x －2y －3＝0的间隔为5，那么|EF |＝29－5＝4，O 到l 的间隔 d ＝35，故S △OEF ＝12d |EF |＝655.【答案】65516．【解析】区域为圆面(x －2)2＋(y －3)2＝9内挖去了一个内接正方形．【答案】 9π－18三、解答题17．【解析】可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，那么可设AB ，AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，那么可求得AB ，AC 所在的直线方程为y－2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)，所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 18．【解析】 (1)设C (x 0,0)，那么k AB ＝－220－(－2)＝－ 2.k BC ＝0＋22x 0－0＝22x 0. ∵AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－2×22x 0＝－1，∴x 0＝4，∴C (4,0)，∴k BC ＝22， ∴直线BC 的方程为y －0＝22(x －4)，即y ＝22x －2 2. (2)圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. 19．【解析】直线AC 的方程为：y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3，那么C 点坐标为(4,3)．设B (m ，n )，那么M (m ＋52，n ＋12)，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋52－n ＋12－5＝0m －2n －5＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －1＝0m －2n －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝－3那么B 点坐标为(－1，－3)直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.20．【解析】设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋y ＋1.6(300－y )(万元)，即z ＝780－x －y . x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(300－y )≤360，作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，那么M (0,280)，把直线l ：x ＋y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿消费的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 21．【解析】 (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4所以圆C 的方程为 x 2＋y 2＝4；(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)①假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)＋1x 2＋y 2－4＝0消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3，因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，由＝12＋32得x 0 ＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 222 ＝4，整理得，x 21＋y 214＋3x 22＋y 224＋32x 1x 2＋123y 1y 2＝4，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0，从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0，②假设直线l 的斜率不存在，那么A (－1，3)，B (－1，－3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，3－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322 ＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝022．【解析】圆M 的方程可整理为：(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.(1)圆N 的圆心为(0,0)，因为|MN |＝2＜22，所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M .设其半径为r .因为圆N 内切于圆M ，所以有：|MN |＝R －r ，即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆N 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意可知：E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，得|DO |2＝|DE |×|DF |，即：(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得：x 2－y 2＝1.而＝(－2－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1，由于点D 在圆N 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＜2x 2－y 2＝1，由此得y 2＜12，所以·∈[－1,0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，那么直线MB 的斜率为－k .故直线MA 的方程为y －1＝k (x －1)，直线MB 的方程为 y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点M 在圆N 上，故其横坐标x ＝1一定是该方程的解，可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2，同理可得：x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝ 2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k MN . 所以，直线AB 和MN 一定平行．。

高中数学选修一第二章直线和圆的方程章末测试(解析版)

第二章直线和圆的方程章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（） A ．－2 B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（）. A ．-0.25 B ．1C ．-1D ．1或-1【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直，当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直，当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（）A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=，故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]【答案】A【解析】作出曲线y 的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。

高三数学二轮专题复习第1讲直线与圆

∴切线方程为
y＝±
3x－2，和直线 y＝2
的交点坐标分别为－4
3
3，2，4
3
3，2.
故要使视线不被⊙O
挡住，则实数

的取值范围是－∞，－4
3
3∪4
3
3，＋∞.
答案 (1)－53 (2)B
考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B
归纳总结思维升华
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件. (2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当

高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析

高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，过圆C作CM⊥PQ，垂足为M，由于|PQ|＝2，可求得|CM|＝1.由|CM|＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝ (x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.2.已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为()A．6B．C．8D．【答案】B【解析】如图，过圆心C向直线AB做垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，∴△ABP的面积的最小值为×5×(－1)＝.3.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2【答案】A【解析】由切割线定理可知CE·CB＝CD2．又由平面几何知识知△ADC∽△CDB，得相似比＝，即AD·DB＝CD2，∴CE·CB＝AD·DB．故选A．4.如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2．若CF∶DF＝1∶4，则CF的长等于()A． B．2 C．3 D．2【答案】B【解析】∵CF∶DF＝1∶4，∴DF＝4CF．∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8．∵CF·DF＝AF·BF，∴CF·4CF＝2×8，∴CF＝2．5.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为()A．B．C．D．【答案】C【解析】延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1，又∠AOB＝90°，所以AD＝，由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即3×1＝×DE，解得DE＝．6.如图所示，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】A【解析】逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．故选A．7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________．【答案】【解析】因为AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，所以可设AF＝4x，FB＝2x，BE＝x．由割线定理，得AF·FB＝DF·FC，即4x×2x＝×，解得x＝．所以AF＝2，FB＝1，BE＝．由切割线定理，得EC2＝BE·EA，即EC2＝×(＋3)，解得EC＝．8.如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．【答案】（1）见解析（2）3【解析】解：(1)证明：∵AB∥DE，∴＝，又OD＝OE，∴OA＝OB．如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB．又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC．由(1)知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD＝∠F，∴△ACD∽△AFC．∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，∴＝．∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4．又AC2＝AD·AF，∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3．9.若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是() A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝0【答案】C【解析】圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知k＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为yOC－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.10.（5分）（2011•重庆）过原点的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为．【答案】2x﹣y=0【解析】用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可．解：直线方程为y=kx，圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1即圆心坐标为（1，2），半径为r=1因为弦长为2，为直径，故y=kx过圆心，所以k=2所以该直线的方程为：y=2x故答案为：2x﹣y=0点评：本题考查直线和圆的相交弦长问题，属基础知识的考查．注意弦长和半径的关系．11.如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于. 若，，求的长.【答案】【解析】由题中所给是圆的直径且，根据等腰三角形的性质可得：，再由直线为圆的切线，易得，可引入辅助线使得：，运用三角形知识即可求出：，进而得到：.是圆的直径且，，连，为圆的切线，，记是圆的交点，连，，，，，. 10分【考点】1.圆的几何性质;2.三角形的知识12.已知圆C的方程为：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0(m∈R)．(1)试求m的值，使圆C的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．（2）x＝1或4x－3y－10＝0.【解析】圆C的方程：(x－m)2＋(y－1)2＝(m－2)2＋1.(1)当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当m＝2时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设所求的直线方程为y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，由直线与圆相切，得＝1，k＝，所以切线方程为y＋2＝(x－1)，即4x－3y－10＝0，又因为过点(1，－2)且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x＝1或4x－3y－10＝0.13.圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】联立，解得或．∴两圆的交点P（0，0），Q．∴|PQ|==．故选C．14.过点(-1，2)的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为．【答案】或【解析】设过点的直线方程为，即.即，由已知得，，解得，直线的斜率为或.【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式.15.设圆的一条切线与轴、轴分别交于点, 则的最小值为( )A．4B．C．6D．8【答案】【解析】设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径得所以令，即，则，得即最小值为4故选.【考点】点到直线的距离；基本不等式.16.已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是．【答案】【解析】法一：数形结合法：设，由题意可得，即，解之得．法二：设点，，则由条件得A点坐标为，，从而，整理得，化归为，从而，于是由得。

高三数学圆的方程试题

高三数学圆的方程试题1.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】因为两圆关于直线对称后半径不变，只需设圆的圆心坐标为，利用点与圆圆心关于直线对称得解得,故选B.【考点】圆的标准方程，曲线关于直线的对称问题.2.(本小题满分14分)关于的方程（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）在方程C表示圆时，若该圆与直线且，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，若定点A的坐标为（1，0），点P是线段MN上的动点，求直线AP的斜率的取值范围。

【答案】（1）；（2）m=4；（3）。

【解析】（1）方程C可化为：要使该方程表示圆，只需5-m>0.即m<5 所以方程C表示圆时，实数m的取值范围是。

（2）由（1）知，当方程C表示圆时，圆心为C（1，2），半径为。

过圆心C作直线L的垂线CD，D为垂足。

则又由因为。

所以，解得m=4.(3)由（2）得C圆的方程为：再由得和所以，由图象可知，，所以直线AP的斜率的取值范围是。

【考点】圆的一般式方程；直线与圆的位置关系；直线的斜率公式。

点评：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当时，表示圆的方程；当时，表示点；当时，不表示任何图形。

3.（本小题满分12分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的左侧），且．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析。

【解析】(I)由于圆与轴相切于点, 所以圆心坐标为,然后根据建立关于r的方程求出r值，圆的标准确定.(2)将y=0代入圆的方程求出M,N的坐标，然后再分两种情况证明.(i) 当轴时，由椭圆对称性可知.当与轴不垂直时，可设直线的方程为．证明,然后直线方程与椭圆方程联立借助韦达定理来解决即可.（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．································ 1分∵∴，解得．····································································· 3分∴圆的方程为．······················································· 5分（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．····················································································· 6分（1）当轴时，由椭圆对称性可知．······························· 7分（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去得，．······················ 8分设直线交椭圆于两点，则，．······································································· 9分∵，∴．······························································· 10分∵，11分∴，．····························································· 12分综上所述，． 13分4.已知圆经过两点，圆心在轴上，则的方程为_____________；【答案】【解析】设圆，将坐标代入可得。

高三数学《直线与圆》专题测试题含答案

高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

历年高三数学高考考点之直线与圆必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<直线与圆>必会题型及答案体验高考1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.26B.8C.46D.10 答案 C解析由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34答案 D解析由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4.已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为______. 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255. 5.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)，所以|CD |＝4.高考必会题型题型一直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析由题意知圆心C (3，0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程. 解设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10，5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)，又因为直线x －2y －1＝0，即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2，故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2，则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2，所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二圆的方程例2 (1)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切. ①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)，则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型三直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A.2B.42C.6D.210 答案 C解析根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.①写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB (O 为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解 ①圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，则圆心C 的坐标为(1，－2)，半径为3. ②假设存在这样的直线m ，根据题意可设直线m ：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，因为直线与圆相交，所以Δ>0，即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1，且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1，1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.3.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.32B.22C.33D.4 2 答案 A解析依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4.(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时，即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3，从而|MC |－|MO |＝2<|OC |，因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时，必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上，但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.43 答案 B解析由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________. 答案 34解析由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________. 答案 ±13解析因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.10.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________. 答案 (－24，24) 解析因为已知直线过点(－2，0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆，设过点(－2，0)的直线的斜率为k ，则直线方程为y ＝k (x ＋2)，则点到直线距离等于圆的半径1，有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1，所以k ＝±24，然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，可知斜率的取值范围是(－24，24)，故答案为(－24，24). 11.已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点.(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值.解 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量为a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.12.已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.(1)若Q (1，0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1 ≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3.设Q (x ，0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆

高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆一、选择题1．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线所在直线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上．又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以半径最小的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.2．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，因此2＋a －1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(2＋4)2＋(1＋1)2－4＝6.3．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 解析：选C 注意到y ≥1，曲线y ＝1＋4－x 2是圆x 2＋(y －1)2＝4在直线y ＝1的上方部分的半圆．又直线kx －y －2k ＋4＝0⇒y －4＝k (x －2)知恒过定点A (2,4)．如图，由B (－2,1)，知k AB ＝4－12－(－2)＝34，当直线与圆相切时，|－1－2k ＋4|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝512，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.4．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，所以|AB |min ＝214－10＝4.5．已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选B 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.所以S(8,0)，T(0，－6)．而圆心(4，－3)在直线ST上，所以PS⊥PT.即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.所以|PS|·|PT|≤12(|PS|2＋|PT|2)＝50.所以(|PS|·|PT|)max＝50.6．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.7．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB ＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为23，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为23，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝|3k＋1|k2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0. 8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2.当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|.又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6)．10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 法一：(排除法)由圆心在x 轴上，可排除A 、B ，又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴|PO |min ＝|MO |－1，|PO |max ＝|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，又|PQ |＝29－d 2，所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：法一：由题意，设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，则N (2＋cos θ，－2－sin θ)，将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1.因为sin θ－k cos θ＝k 2＋1sin(θ－φ)，其中tan φ＝k ，所以|2k ＋1|≤k 2＋1，即3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43. 法二：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 问题转化为直线kx ＋y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝1有公共点N . 所以|2k －2＋3|k 2＋1≤1，即|2k ＋1|≤k 2＋1，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.答案：－4314．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：415．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 216．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝5，圆心(－1,0)，r ＝5，两直线分别与圆相切时对应的a 的边界值为：|－2＋a 2＋1|5＝5时，a ＝±6； |a －2|5＝5时，a ＝－3或a ＝7，所以a 的边界值分别为－3,7，±6.由题意可知，两平行直线中必有一条与圆相切，另一条与圆相离，相切，相交三种情况都满足题意，故a ∈[]－3，－6∪[]6，7.答案：[]－3，－6∪[]6，7。

高三数学直线与圆的位置关系试题

高三数学直线与圆的位置关系试题1.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．【答案】（1）;（2）相切【解析】（1）由于点在圆上运动, 为线段的中点,根据两点坐标的关系,以及点P在圆上,即可得到结论.（2）由（1）得到轨迹的方程为椭圆方程.切线PE的斜率有两种情况：斜率不存在则可得直线与轨迹的位置关系为相切.直线斜率存在则假设点P的坐标,写出切线方程,以及点N的坐标,再写出直线MN的方程.联立椭圆方程,根据判别式的值即可得到结论.（1）设，则．点在圆上，，即点的轨迹的方程为． 4分（2）解法一：（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．显然与轨迹相切；（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，因为直线与圆相切，所以，即． 7分又直线的斜率等于，点的坐标为．所以直线的方程为，即. 9分由得．．故直线与轨迹相切．综上（i）（2）知，直线与轨迹相切. 13分解法二：设（），则． 5分（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；（2）当时，直线的方程为，即．令，则．，又点，所以直线的方程为，即． 9分由得即．．所以，直线与轨迹相切．综上（i）（2）知，直线与轨迹相切． 13分【考点】1.待定系数法求椭圆的方程.2.直线与圆的位置关系.3.直线与椭圆的位置关系.2.在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是．【答案】【解析】圆C的方程为．解题中要体会转化思想的运用：先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆心的距离为”，再将“直线上存在点到圆心的距离为”转化为“圆心到直线的距离小于等于”，再利用点到直线的距离公式求解．即【考点】圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式3.在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为.【答案】.【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系4.过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．【答案】(，)【解析】本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由可得5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________．【答案】【解析】∵圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立，即ACmin≤2.∵ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离，∴≤2，解得0≤k≤.∴k的最大值是.6.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.【答案】【解析】r=≤1,当有最大半径时有最大面积,此时k=0,r=1,∴直线方程为y=-x+2,设倾斜角为α,则由tanα=-1且α∈[0,π)得α=.7.已知点和曲线，若过点A的任意直线都与曲线至少有一个交点，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】把曲线方程化为：，知它是以为圆心，为半径的圆．如图所示，点在直线上，任意过的直线与圆有交点，则．【考点】直线和圆的位置关系．8.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.9.动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【答案】D【解析】设圆心为，半径为，，即，即，∴圆心为，，圆心到直线的距离为，∴或，当时，，∴.【考点】1.点到直线的距离；2.圆与直线的位置关系.10.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．【答案】(x－2)2＋2＝【解析】∵圆C经过原点O(0,0)和点P(4,0)，∴线段OP的垂直平分线x＝2过圆C的圆心，设圆C的方程为(x－2)2＋(y－b)2＝r2，又圆C与直线y＝1相切，∴b2＋22＝r2，且|1－b|＝r，解之得b＝－，r＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝.11.直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则＝()．A．4B．3C．2D．－2【答案】C【解析】由解得或,即A(，1)，B(0,2)，所以＝212.已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．【答案】（1）见解析（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5（3）2，坐标为【解析】(1)证明由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．△AOB(2)解∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)解点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝＝3－＝2.所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.13.已知圆的半径为,、为该圆的两条切线,、为两切点,那么的最小值为．【答案】-3+2【解析】.【考点】圆的切线长，向量数量积，基本不等式14.直线将圆分割成的两段圆孤长之比为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心到直线的距离为直线被圆所截得的弦长为,所以圆心角为,故分割成的两段圆孤长之比为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式.15.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A．B．C．D．【答案】【解析】圆心到直线的距离为，所以弦长为.选A.【考点】直线与圆.16.已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】将圆的方程配方得：.双曲线的渐近线方程为.由于双曲线的渐近线与圆有公共点，所以，即，所以离心率的取值范围为.【考点】1、双曲线的离心率；2、直线与圆的位置关系.17.过点P（0,1）与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】配方得，依题意，被圆截得的弦最长时的直线过圆心，由因为过点,故所求的直线方程为.【考点】1、直线和圆的位置关系；2、直线和圆的方程.18.已知实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将化为，，，从几何意义讲，表示在圆上的点到直线的距离的倍，要使其值最小，只需最小即可，由直线和圆的位置关系可知，所以的最小值为，选A.【考点】直线和圆的位置关系、点到线的距离公式.19.已知直线与直线平行且与圆相切，则直线的方程为（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】设直线的方程为，将圆的方程化为标准式为，圆心坐标为，半径长为，由于直线与圆相切，则有，整理得，解得或，故直线的方程为或，故选D.【考点】1.两直线的位置关系；2.直线与圆的位置关系20.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线平分圆周，则直线过圆心，则，.【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式.21.若直线与圆相交于、两点，则的值为（）A．B．C．D．与有关的数值【解析】对于直线，令，可得，，故直线过定点，而此定点恰为圆圆心，故为圆的一条直径，.【考点】直线过定点，直线与圆相交所形成的弦长的计算22.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.23.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为【答案】4【解析】画出可行域（如图），P在阴影处，为使弦长|AB|最小，须P到圆心即原点距离最大，即直线过P(1，3)时，取到最小值为=4.【考点】本题主要考查简单线性规划问题，直线与圆的位置关系。

高三数学高考复习：直线和圆的方程专项练习

高考数学复习：直线和圆的方程专项练习一．选择题1．已知直线l1:y=x+2，直线l2过点P（-2，1）且l2到l1的角为45°，则l2的方程是（）A.y=x-1B.y=x+C.y=-3x+7 D .y=3x+72．a、b、c分别是△ABC中A、B、C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+ay+c=0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直 D.相交但不垂直3．原点O和点P（1，1）在直线x+y-a=0的两侧，则a的取值范围是（）A.a＜0或a＞2B.a=0或a=2C.0＜a＜2D.0≤a≤24．已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是( )A.（0，1）B.（，）C.（，1）∪(1,)D.(1,)5．点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时,P的坐标为(-10,10),则5秒后,点P的坐标为（）A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)6．直线经过原点和点(-1，-1)，则它的倾斜角是( )A.45°B.135°C.45°或135° D.0°7．已知点M(a,b)与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为( )A.(a,b)B.(b,a)C.(-a,-b)D.(-b,-a)8．已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为（）A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y-1)2=19．在直角坐标系中，满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)的集合所对应的阴影部分是( )10．方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示圆方程,则t的取值范围是（）A.-1＜t＜B.-1＜t＜C.-＜t＜1 D.1＜t＜211．集合M={(x,y)|y=,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则M∩N等于( )A.{(1,0)}B.{y|0≤y≤1}C.{1,0}D.12．如果点P(x,y)在曲线x=(θ为参数)上,则x2+y2的最大值是( )A.10B.16C.25D.100二．填空题1．若实数x、y满足①则不等式组①表示的区域面积为_________,的取值范围是_________.2．圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为_________.3．从点A（-1，3）所引圆x2+y2+4x+14y+49=0的两条切线所夹的劣弧对应的圆心角的余弦是_______________.4．不论m为何实数，直线（m-1）x-y+2m+1=0恒过定点___________________.三．解答题1．一圆经过A（2，1）点和直线x-y-1=0相切，且圆心在2x-y=0上.(1)求该圆的标准方程；(2)已知点B（，1），求过B点且有最短弦长的直线l的方程.2．某工厂家具车间造A、B两类型桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张A型和B型的桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A型和B型的桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 型和B型桌子分别获得利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A型和B型的桌子各多少张时，才能获得利润最大？3．求与直线3x+4y+2=0平行,且与坐标轴构成的三角形的面积为24(平方单位)的直线l的方程.4．设直线l的方程是2x+By-1=0，倾斜角为α.（1）试将α表示为B的函数；（2）若＜α＜，试求B的取值范围；（3）若B∈(-∞,-2)∪(1,+∞)，求α的取值范围.5．求通过直线l:2x+y+4=0及圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的交点，并且有最小面积的圆的方程. 6．求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.直线和圆的方程专项练习参考答案一．选择题1．解析：因=1，故k2=3.答案：D2．解析：因-·=-1,故两直线垂直.答案：C3．解析：(0+0-a)(1+1-a)＜00＜a＜2.答案：C4．解析：已知k1=1,倾斜角α=45°,斜率k2=a,设l2的倾斜角为β，依题意0＜|β-α|＜,得：＜β＜且β≠α=45°,∴l2的斜率tan＜a＜tan且α≠tan45°=1，即＜a＜且a≠1.答案：C5．解析：经过t秒动点P的位移为t(4,-3),即经过t秒动点P(x,y)所在位置为(*)所以t=5时,P点坐标为(10,-5),应选C.答案：C6．解析：tanα=k==1,∴α=45°.选A.答案：A7．解析：N(a,-b),P(-a,-b)，则Q(b,a)答案：B8．解析：由M(x,y)关于y=-x的对称点为(-y,-x),即得x2+(y+1)2=1.答案：C9．解析：x2-y2≥0(x+y)(x-y)≥0或答案：B10．解析：由D2+E2-4F＞0,得7t2-6t-1＜0,即-＜t＜1.答案：C11．解析：y=表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0). 答案：A12．解析：易知是圆(x-3)2+(y+4)2=25上的点到原点的距离.答案：D二．填空题1．解析:(1)如图,(x,y)在上图阴影区域内,则S=×1×3=.则z为区域内点与定点(1,-2)所在直线的斜率.则z∈［1,+∞)∪(-∞,-2］.答案：(-∞,-2］∪［1,+∞)2．(x-a)2+(y-b)2=r23．解析：圆C：(x+2)2+(y+7)2=4,故|AC|=，∴cos=,cosα=2cos2-1=-.答案：-4．解析：(m-1)x-y+2m+1=0y-3=(m-1)(x+2)，即过点(-2，3).答案：(-2，3)三．解答题1．解：(1)设圆心（a,2a）,半径为r,则有r=,∴a2-2a+1=0,a=1,r=,∴圆的标准方程为（x-1）2+(y-2)2=2.(2)记圆心为M（1，2），当直线l与MB垂直时弦长最短，k MB=2,∴k l=-,∴l的方程为2x+4y-5=0.2．解:设工厂每天生产A型桌子x张、B型桌子y张，获利为z（千元）.可行域为四边形ABCO内部及边界.∴即为动直线在y轴上的截距，将动直线在可行域内移动,可知：B点处直线截距最大，此时z有最大值.∴z max=2×2+3×3=13(千元).∴工厂每天应生产A型桌子2张、B型桌子3张，可获利最大，为1.3万元.3．解：设所求直线l的方程为3x+4y+m=0, ①因为直线交x轴于A(-,0),交y轴于B(0,-),故由得m=±24.代入①,得所求直线方程为3x+4y±24=0.4．解：（1）若B=0，则直线l的方程是2x-1=0，∴α=;若B≠0，则方程即为y=-x+,∴当B＜0时，-＞0,α=arctan(-),而当B＞0时，-＜0，α=π+arctan(-),即α=f(B)=(2)若α=，则B=0,若α≠，则tanα＜-或tanα＞,即-＜-(B＞0)或-＞(B＜0＝,∴-2＜B＜0或0＜B＜.综上,知-2＜B＜.(3)若B＜-2，则-＜1，∴0＜tanα＜1,0＜α＜;若B＞1，则-＞-2,∴0＞tanα＞-2,π-arctan2＜α＜π.综上,知π-arctan2＜α＜π或0＜α＜.5．解：法一：圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4.设直线l与圆C交于A、B两点，D为AB的中点，则直线CD的方程为x-2y+5=0,x-2y+5=0,2x+y+4=0.故D∴以D为圆心，AB为直径的圆是面积最小的圆.法二：设圆的方程是(x2+y2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即［x+(1+λ)2］+圆面积=πR2,而时，圆面积最小，此时圆的方程是5x2+5y2+26x-12y+37=0.法三：设A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆方程可设为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0.然后用韦达定理求出圆的方程.6．剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称,它们具有下列几何性质:(1)若a、b相交,则l是a、b交角的平分线;(2)若点A在直线a上,那么A关于直线l的对称点B 一定在直线b上,这时AB⊥l,并且AB的中点D在l上;(3)a以l为轴旋转180°,一定与b 重合.使用这些性质,可以找出直线b的方程.解此题的方法很多,总的来说有两类:一类是找出确定直线方程的两个条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程;另一类是直接由轨迹求方程.解：由解得a与l的交点E(3,-2),E点也在b上.方法一:设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为-2,直线l的斜率为-.则=.解得k=-.代入点斜式得直线b的方程为y-(-2)=-(x-3),即2x+11y+16=0.方法二:在直线a:2x+y-4=0上找一点A(2,0),设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0), 由解得B(,-).由两点式得直线b的方程为=,即2x+11y+16=0.方法三:设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点Q(x0,y0),则有解得x0=,y0=.Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则2×+-4=0,化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四:设直线b上的动点P(x,y),直线a上的点Q(x0,4-2x0),且P、Q两点关于直线l:3x+4y-1=0对称,则有消去x,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍).。

第2章直线和圆的方程章末测试(提升)(原卷版).

第2章直线和圆的方程章末测试（提升）一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2021·河南）不论k 为何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A．()5,2B．()2,3C．()5,9D．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·全国·专题练习）已知过定点直线40kx y k -+-=在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A．270x y --=B．270x y -+=C．260x y +-=D．260x y +-=3．（2022·陕西汉中）直线l :y x =被圆C ：()()22313x y -+-=截得的弦长为（）A．1B．2C．3D．44．（2023·全国·专题练习）若方程3x b +=-b 的取值范围为（）A．(1-+B．(11]--C．[1,1-+D．(1-5．（2023·广东）若圆()()2221:10C x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线y ＝x 的对称点Q 在圆()()222:211C x y -+-=上，则r 的取值范围是（）A．1⎤-⎦B．-C．⎡⎣D．(]0,16．（2022·全国·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）B．5D．1637．（2022·云南）如果圆22()()8x a y a -+-=则实数a 的取值范围是（）A．()3,3-B．(1,1)-C．(3,1)-D．(3,1)(1,3)--8．（2022·安徽）已知直线:320l mx y m +--=与圆22:(5)(4)25M x y -+-=交于,A B 两点，则当弦AB 最短时，圆M 与圆22:(2)9N x m y ++=的位置关系是（）A．内切B．外离C．外切D．相交二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。

高三数学第二轮复习(直线与圆的方程)

直线和圆的方程★★★高考在考什么【考题回放】1．（208全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．5 2．（2008福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2008四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =-D ．113y x =+ 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4、（2008安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ C ）A ．[B ．(C ．[33-D ．(33-5．（2008辽宁文、理科3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ）A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞6．（2008陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ）AB ．C ．-D ．-7、（2008山东文科11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭8、（2008广东文科6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0 9．（2008重庆理科3）圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ B ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切10、（2008广东理科11）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是________________．【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=． 11．（2008重庆理科15）直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为．答案：x －y ＋1＝012、（2008宁夏海南文科第20题）已知,m ∈R 直线m y m mx l 4)1(:2=+-和圆01648:22=++-+y x y x C . （Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧？为什么？解：（Ⅰ）22,0()1mk km m k m =∴-+=*+， ,m ∈R ∴当k ≠0时0∆≥，解得1122k -≤≤且k ≠0又当k ＝0时，m ＝0，方程()*有解，所以，综上所述1122k -≤≤（Ⅱ）假设直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点则∠ACB ＝120°．∵圆22:(4)(2)4C x y -++=，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1．1=，整理得423530m m ++=．∵254330∆=-⨯⨯<，∴423530m m ++=无实数解．因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧．★ ★★热点透析直线与圆在高考中主要考查三类问题：一.基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查： 1）与直线方程特征值（主要指斜率，截距）有关的问题； 2）直线的平行和垂直的条件； 3）与距离有关的问题等。

高考数学专题重组卷第1部分专题15直线与圆的方程含解析 (2)

专题十五直线与圆的方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分,考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞,0)D ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)答案 A解析解法一：∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,∴直线的斜率小于0,即2a －a －13－1＋a <0,即a －12＋a<0,解得－2<a<1,故选A.解法二：当a ＝0时,P(1,1),Q(3,0),因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0,此时过点P(1,1),Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角,排除C,D ；当a ＝1时,P(0,2),Q(3,2),因为k PQ ＝0,不符合题意,排除B,故选A.2．(2019·河南天一大联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5答案 A解析由题意,得圆心在直线2x －y －1＝0上,将点(a,1)代入可得a ＝1,即圆心为(1,1),半径为r ＝|2－1＋4|5＝5,∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5,故选A. 3．(2019·大庆质检)已知⊙O 1：(x ＋3)2＋y 2＝4,⊙O 2：x 2＋(y －4)2＝r 2(r>0),则“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知,⊙O 1的圆心为O 1(－3,0),半径为2,⊙O 2的圆心为O 2(0,4),半径为r.若⊙O 1与⊙O 2相切,则|O 1O 2|＝r ＋2或|O 1O 2|＝|r －2|,解得r ＝3或7,所以“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的充分不必要条件．故选A.4．(2019·景德镇二模)一条光线从点A(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析点A(－2,－3)关于y 轴的对称点为A(2,－3),故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x －2),即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1,化简得24k 2＋50k ＋24＝0,解得k ＝－43或－34.故选D. 5．(2019·凌源联考)已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r>0)所得的弦长为14,点M,N 在圆Ω上,且直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,若PM ⊥PN,则|MN|的取值范围为( )A ．[2－2,2＋3]B ．[2－2,2＋2]C ．[6－2,6＋3]D ．[6－2,6＋2]答案 D 解析依题意得2r 2－12＝14,解得r ＝2.因为直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,所以P(1,1),设MN 的中点为Q(x,y),则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2,即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2,化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32,所以点Q 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心,62为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22,|MN|的取值范围为[6－2,6＋2]．故选D.6．(2019·济宁市高三期末)圆C 1：x 2＋(y －1)2＝1与圆C 2：(x ＋4)2＋(y －1)2＝4的公切线的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A 解析 ∵|C 1C 2|＝0＋42＋1－12＝4,r 1＝1,r 2＝2,r 1＋r 2＝1＋2＝3,∴|C 1C 2|＞r 1＋r 2,所以圆C 1与圆C 2相离,有4条公切线．故选A.7．(2019·广州市三校联考)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点,直线m 是以P 为中点的弦所在直线,直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2,那么( )A ．m ∥l,且l 与圆相交B ．m ⊥l,且l 与圆相切C ．m ∥l,且l 与圆相离D ．m ⊥l,且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a 2＋b 2<r 2,∵k OP ＝b a ,直线OP ⊥直线m,∴k m ＝－ab ,∵直线l 的斜率k l ＝－ab ＝k m ,∴m ∥l,∵圆心O 到直线l 的距离d ＝r2a 2＋b 2>r2r ＝r, ∴l 与圆相离．故选C.8．(2019·惠州市高三第三次调研)已知直线l 过点P(－2,0),当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时,其斜率k 的取值范围为( )A ．(－22,22) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 C ．(－2,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18 答案 B解析直线l 为kx －y ＋2k ＝0,又直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点,故|k ＋2k|k 2＋1<1,得－24<k<24.故选B.9．(2019·宝鸡中学高三一模)平面直角坐标系xOy 中,动点P 到圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的最小距离与其到直线x ＝－1的距离相等,则P 点的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．x 2＝8y C ．y 2＝4x D ．x 2＝4y 答案 A解析设动点P(x,y),∵动点P 到直线x ＝－1的距离等于它到圆：(x －2)2＋y 2＝1的点的最小距离, ∴|x ＋1|＝x －22＋y －02－1,化简得6x －2＋2|x ＋1|＝y 2, 当x≥－1时,y 2＝8x,当x<－1时,y 2＝4x －4<－8,不符合题意． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝8x.故选A.10．(2019·广州市高三调研)若点P(1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0 答案 D解析圆方程为(x －3)2＋y 2＝9,圆心O(3,0), 因为P 为弦MN 的中点,所以OP ⊥MN, 又k OP ＝1－01－3＝－12,所以k MN ＝2,所以直线MN 的方程为y －1＝2(x －1),化简, 得2x －y －1＝0.故选D.11．(2019·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定答案 B解析将圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24,∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2,半径r ＝a 2＋b 22,∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b22a 2＋b 2＝a 2＋b22＝r,∴圆与直线的位置关系是相切．故选B. 12．(2019·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1 D．0 答案 A解析化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2,－1),∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,∴－k 2＝－1,得k ＝±1.当k ＝1时,k 4－4k ＋1<0,不符合题意,∴k ＝－1.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共40分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·汉中市高三第一次检测)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0,若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则实数k 的最大值是________．答案 43解析圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式为(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线y ＝kx －2到点(4,0)的距离小于等于2”,则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|1＋k2≤2,解得0≤k≤43,则k 的最大值为43.14．(2019·安徽淮北、宿迁一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1,定点M(3,0),过点M 的直线l 与圆O 交于P,Q 两点,P,Q 两点均在x 轴的上方,如图,若OP 平分∠MOQ,则直线l 的方程为________．答案 y ＝－57(x －3) 解析设∠MOQ ＝2θ,由S △MOQ ＝S △POQ ＋S △POM 得32sin2θ＝12sinθ＋32sinθ,得cosθ＝23,进而得直线的斜率k ＝－57,故直线方程为y ＝－57(x －3)． 15．(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A(－2,－1),则m ＝________,r ＝________.答案－25解析根据题意画出图形,可知A(－2,－1),C(0,m),B(0,3),则AB ＝－2－02＋－1－32＝25, AC ＝－2－02＋－1－m2＝4＋m ＋12,BC ＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A, ∴∠BAC ＝90°,∴AB 2＋AC 2＝BC 2. 即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2, 解得m ＝－2.因此r ＝AC ＝4＋－2＋12＝ 5.16．(2019·河北联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知A(0,a),B(3,a ＋4),若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,使得△ABC 的面积为5,则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，53 解析如图,AB 的斜率k ＝a ＋4－a 3－0＝43,|AB|＝3－02＋a ＋4－a2＝32＋42＝5,设△ABC 的高为h,∵△ABC 的面积为5, ∴S ＝12|AB|h ＝12×5h＝5,即h ＝2,直线AB 的方程为y －a ＝43x,即4x －3y ＋3a ＝0.若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,则圆心O 到直线4x －3y ＋3a ＝0的距离d ＝|3a|42＋－32＝|3a|5,则应该满足d ＜R －h ＝3－2＝1, 即|3a|5<1,得|3a|＜5,得－53<a<53. 三、解答题(本大题共2小题,共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·绵阳二模)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解 (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3),半径r 1＝11,圆C 2的圆心C 2(5,6),半径r 2＝4,两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5,r 1＋r 2＝11＋4,|r 1－r 2|＝4－11,∴|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2,∴圆C 1和圆C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右分别相减,得4x ＋3y －23＝0,∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3,故公共弦长为216－9＝27.18．(本小题满分10分)(2019·湖北稳派教育联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,且y 轴和直线x －3y ＋2＝0均与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)设点P(0,1),若直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点,且∠MPN 为锐角,求实数m 的取值范围．解 (1)设圆C 的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0),由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＝0，|a|＝r ，|a －3b ＋2|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x －22＋y 2＝4，消去y 整理,得2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0.∵直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点, ∴Δ＝4(m －2)2－8m 2>0, 解得－2－22<m<－2＋22, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝2－m,x 1x 2＝m 22.∴PM →＝(x 1,y 1－1),PN →＝(x 2,y 2－1),依题意,得PM →·PN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(x 1＋m －1)(x 2＋m －1)＝2x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2>0,∴m 2＋(m －1)(2－m)＋(m －1)2>0, 整理,得m 2＋m －1>0,解得m<－1－52或m>－1＋52.又－2－22<m<－2＋22,∴－2－22<m<－1－52或－1＋52<m<－2＋2 2.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－22，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－2＋22.。

圆的方程项训练—— 高三数学一轮复习

高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练基础巩固练1.已知圆C 的一条直径的两个端点的坐标分别是O (1,1)和A (3,3),则圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=2D.(x+2)2+(y+2)2=22.“方程x 2+y 2-4x+6y+a=0表示的图形是圆”是“a 2-144≤0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2023扬州月考)若直线2x+y-1=0是圆x 2+(y+a )2=1的一条对称轴,则a=( )A.-1B.1C.12D.-124.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )A.6B.25C.26D.365.(多选题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=13C.(x -43)2+(y -73)2=22D.(x -85)2+(y-1)2=95 6.(多选题)已知曲线C :Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0,下列说法正确的是( )A.若A=B=1,则C 是圆B.若A=B ≠0,D 2+E 2-4AF>0,则C 是圆C.若A=B=0,D 2+E 2>0,则C 是直线D.若A ≠0,B=0,则C 是直线7.(2023连云港期中)已知圆C 的圆心在y 轴上,半径长为1,且过点(1,2),则圆C 的标准方程为 .8.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是 .9.已知圆过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段长为4√3,求圆的方程.综合提升练10.(多选题)已知点A(-1,0),B(0,2),P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,若△P AB面积的最大值为a,最小值为b,则()A.a=2B.a=2+√52C.b=2-√52D.b=√52-111.过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为8,则△OAB外接圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-2)2=8B.(x-1)2+(y-2)2=8C.(x+2)2+(y-2)2=8D.(x-1)2+(y+2)2=812.若点C到A(-1,0),B(1,0)的距离之比为√3,则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为()A.2√5−√3B.√5−√3C.2√5D.√313.对任意实数m,圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0过定点,则定点坐标为.14.如图,已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上的两个动点,点P(2,0),则矩形P ACB的顶点C的轨迹方程是.15.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.创新应用练16.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A (-2,0),B (2,0),C (0,4),则△ABC 的最小覆盖圆的半径为( )A.32B.2C.52D.3参考答案1.C2.B3.A4.D5.AB6.BC7.x 2+(y-2)2=1 8.(x-2)2+(y+1)2=19.解方法一:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),①将P ,Q 的坐标分别代入①,得{4D -2E +F =-20,②D -3E -F =10.③令x=0,由①得y 2+Ey+F=0.④由已知得|y 1-y 2|=4√3,其中y 1,y 2是方程④的两根.∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F=48.⑤解②③⑤联立成的方程组,得{D =-2,E =0,F =-12或{D =-10,E =-8,F =4.故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0或x 2+y 2-10x-8y+4=0.方法二:求得PQ 的中垂线方程为x-y-1=0.①∴所求圆的圆心C 在直线x-y-1=0上,∴设其坐标为C (a ,a-1),圆C 的半径r=|CP|=√(a -4)2+(a +1)2.②又圆C 截y 轴所得的线段长为4√3,而圆心C 到y 轴的距离为|a|,∴r 2=a 2+(4√32)2,代入②并将两端平方,并整理得a 2-6a+5=0,解得a 1=1,a 2=5.∴当圆心为(1,0)时,半径r 1=√13;当圆心为(5,4)时,半径r 2=√37.故所求圆的方程为(x-1)2+y 2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.10.BC 11.A 12.A13.(1,1)或(15,75) 14.x 2+y 2=2815.解由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0.设A (x 1,0),B (x 2,0),可得Δ=m 2-8m>0,则m<0或m>8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m.令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0,所以m=0(舍去)或m=-12.此时C (0,-1),AB 的中点,即圆心为M (-14,0),半径r=|CM|=√174,故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx+Ey+2m=0,将点C (0,2m )代入可得E=-1-2m , 所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx-(1+2m )y+2m=0.整理得x 2+y 2-y-m (x+2y-2)=0.令{x 2+y 2-y =0,x +2y -2=0,可得{x =0,y =1或{x =25,y =45,故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)和(25,45). 16.C。

九种直线和圆的方程的解题方法高考数学一轮复习(新高考专用原卷版)

九种直线和圆的方程的解题方法题型一：直接法求直线方程一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为( ) A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线:l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y x =4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（） A ．10x y --= B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（） A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（） A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（） A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF = ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题 1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MAMF取得最大值时，直线M A 的方程为（） A ．24y x =+ B ．24y x =-- C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（） A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（）条. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥ C．点到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --= 6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（） A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =- B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______． 10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F ，点3(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题 1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A BC D 2．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（） A ．点N 的坐标为()3,0- B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______． 6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值；（2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；①若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()7⎡-∞+∞⎣，，D．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的值可能为（） A ．-7 B ．-5 C ．-2 D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________. 四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，()f x =()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______．五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤ B ．存在k ∈R ，使A C ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C 的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．AB 的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n A C B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)． (1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340C x y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题 1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅=(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|P A ||PT |，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=-且AC CB λ=（λ＞0）. (1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题 1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与 x轴和直线y = 相切，则圆M 的标准方程可能是（）A ．22((1)1x y +-=B ．22(1)(1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______. 三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-． (1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程；（2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点(A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l 被圆22:16O x y +=- ）A ．1B ．2C ．3D ．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=-CA CB ，则实数m =_______．四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在①AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b-=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程； (2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题 1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x +=的距离为1，则实数a 的值为（）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________．四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.。

高三数学专题训练-圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系

高三数学专题练习29 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系小题基础练○29一、选择题1．方程|2－x |＝2y －y 2表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个半圆C ．两个圆D ．半圆答案：A解析：由方程|2－x |＝2y －y 2(0≤y ≤2)，两边平方得|2－x |2＝(2y －y 2)2，即(x －2)2＝2y －y 2，配方得(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆，故选A.2．[2019·湖北七校联考]已知a >1，过P (a,0)作⊙O ：x 2＋y 2＝1的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则经过P ，A ，B 三点的圆的半径为( ) A.2a －12 B.a ＋12C ．a D.a 2答案：D解析：经过P ，A ，B 三点的圆为以OP 为直径的圆，所以半径为a 2，故选D.3．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2答案：D解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.故选D.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2my ＋m 2－3＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则直线x ＝－1与圆C 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定答案：A解析：由已知得C ：(x －1)2＋(y －m )2＝4，即圆心C (1，m )，半径r ＝2，因为圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以圆心(1，m )在直线l ：x －y ＋1＝0上，所以m ＝2.由圆心C (1,2)到直线x ＝－1的距离d ＝1＋1＝2＝r 知，直线x ＝－1与圆心相切．故选A.5．[2019·贵阳监测]经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆与y 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝________.( )A ．2 3B ．2 2C ．3D ．4答案：A解析：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心为P (1，m )，则半径r ＝|m －2|，所以(m －2)2＝22＋m 2，解得m ＝0，所以圆心为P (1,0)，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，当x ＝0时，y ＝±3，所以|MN |＝2 3.故选A.6．[2019·西安八校联考]若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 答案：D 解析：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 7．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋5＝0相交于M ，N 两点，若|MN |＝23，则k 的值是( )A ．1或 2B ．1或－1C ．－2或12 D.2或12答案：C解析：由已知得圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝8，则该圆的圆心为(3,2)，半径为2 2.设圆心到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，则23＝28－d 2，解得d ＝5，即|3k －2＋3|1＋k2＝5，解得k ＝－2或12.故选C.8．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)，则n －3m ＋2的最大值为( ) A ．3＋ 2 B ．1＋ 2C ．1＋ 3D ．2＋ 3答案：D解析：由题意可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k ，将圆C 化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，C (2,7)，r ＝22，由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，故选D. 二、非选择题9．[2019·合肥调研]圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的半径为________．答案： 2解析：由x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，所以所求圆的半径为 2.10．过点A (5,2)，B (3，－2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的标准方程是________．答案：(x －2)2＋(y －1)2＝10解析：解法一因为圆过A (5,2)、B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．可求得线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆的圆心坐标为C (a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，b ＝－12(a －4)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以C (2,1)，r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.解法二设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.化为标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.11．[2019·上海徐汇模拟]已知圆O ：x 2＋y 2＝1与圆O ′关于直线x ＋y ＝5对称，则圆O ′的方程是________．答案：(x －5)2＋(y －5)2＝1解析：因为点O 关于直线x ＋y ＝5的对称点为O ′(5,5)，所以圆O ′的方程是(x －5)2＋(y －5)2＝1.12．[2019·陕西模拟]若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________．答案：x －y －3＝0解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1,0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为x －y －3＝0.课时增分练○29一、选择题1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 答案：D解析：a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.故选D.2．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案：A解析：解法一由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交．故选A.解法二由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．故选A.解法三直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．故选A.3．若圆x 2＋y 2＋4x －2y －a 2＝0截直线x ＋y ＋5＝0所得的弦长为2，则实数a 的值为( )A ．±2B ．－2C ．±4D ．4答案：A解析：圆x 2＋y 2＋4x －2y －a 2＝0化为标准方程(x ＋2)2＋(y－1)2＝a 2＋5，则圆心(－2,1)到直线x ＋y ＋5＝0的距离d ＝42＝22，则弦长2a 2＋5－8＝2，化简得a 2＝4，故a ＝±2.故选A.4．[2019·柳州模拟]若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是( )A ．x 2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝4答案：A解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，则圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，故r ＝|2|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.故选A. 5．[2019·嘉定模拟]过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案：B解析：圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.6．设P ，Q 分别为圆O 1：x 2＋(y －6)2＝2和圆O 2：x 2＋y 2－4x ＝0上的动点，则P ，Q 两点间的距离的最大值是( )A ．210＋2＋ 2 B.10＋2＋ 2C ．210＋1＋ 2 D.10＋1＋ 2答案：A解析：圆O 1的圆心O 1(0,6)，半径r 1＝2，圆O 2化为标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心O 2(2,0)，半径r 2＝2.则|O 1O 2|＝22＋62＝4＋36＝210>r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相离，则|PQ |max ＝210＋2＋ 2.故选A.7．[2019·福建福州外国语学校适应性考试]已知点A (－2,0)，B (2,0)，若圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)上存在点P (不同于点A ，B )使得P A ⊥PB ，则实数r 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[3,5]答案：A解析：根据直径所对的圆周角为90°，结合题意可得以AB 为直径的圆和圆(x －3)2＋y 2＝r 2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，两个圆的圆心距为3，故|r －2|<3<r ＋2，解得1<r <5，故选A.8．圆x 2＋y 2＋4x ＝0与圆x 2＋y 2－8y ＝0的公共弦长为( ) A.255 B.455C.855D.1655答案：C解析：解法一联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＝0，x 2＋y 2－8y ＝0，得x ＋2y ＝0，将x ＋2y ＝0代入x 2＋y 2＋4x ＝0，得5y 2－8y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝85，故两圆的交点坐标是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，85，则所求弦长为 ⎝⎛⎭⎪⎫－1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝855，故选C. 解法二联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＝0，x 2＋y 2－8y ＝0，得x ＋2y ＝0，将x 2＋y 2＋4x ＝0化为标准方程得(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心为(－2,0)，半径为2，圆心(－2,0)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|－2|5＝255，则所求弦长为222－⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝855，故选C. 二、非选择题9．[2019·常州八校联考]若圆C 1：x 2＋y 2＝m 2(m >0)内切于圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，则m ＝________.答案：1解析：由x 2＋y 2＝m 2(m >0)，得圆心C 1(0,0)，半径r 1＝m .圆C 2的方程化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心C 2(－3,4)，半径r 2＝6，∵圆C 1内切于圆C 2，∴|C 1C 2|＝6－m .又|C 1C 2|＝5，∴m ＝1.10．[2019·湖南师大附中摸底]已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________．答案：x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0解析：由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r ＝5，弦长m ＝8.设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22，解得d ＝3.若l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，则d ＝|－k ＋2＋4k －3|k 2＋1＝3，即9k 2－6k ＋1＝9k 2＋9，解得k ＝－43，则直线l 的方程为4x ＋3y＋25＝0.所以直线l 的方程是x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0.11．过点P (1，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，求：(1)切线方程；(2)直线AB 的方程；(3)线段AB 的长度．解析：(1)当切线的斜率存在时，设直线方程为y ＋3＝k (x －1)，即kx －y －k －3＝0，由|4k －2－k －3|k 2＋1＝3，解得k ＝815. ∴切线方程为8x －15y －53＝0.当切线斜率不存在时，易知直线x ＝1也是圆的切线， ∴所求切线方程为8x －15y －53＝0或x ＝1.(2)以PC 为直线的圆D 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝172. ∵圆C 与圆D 显然相交，∴直线AB 就是圆D 与圆C 公共弦所在直线．∴直线AB 方程为3x ＋5y －13＝0.(3)设AB 与PC 相交于点Q ，在Rt △P AC 中，AQ ⊥PC ，S △P AC ＝12|P A ||AC |＝12|PC ||AQ |＝12×3×5＝12×34×12|AB |，得|AB |＝153417.。

圆及其方程-测试

目录
狂刷小题·基础练
KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN
精做大题·能力练
JING ZUO DA TI NENG LI LIAN
狂刷小题·基础练
KUANG SHUA XIAO TI JI CHU LIAN
一、基础小题
1．直线 l：y＝x 被圆 C：(x－3)2＋(y－1)2＝3 截得的弦长为( )
∠APC＝2× 410× 46＝ 415，cos∠APB＝cos(2∠APC)＝cos2∠APC－sin2
∠APC＝
462－
4102＝－14<0，即∠APB
为钝角，所以
sinα＝sin(π－
∠APB)＝sin∠APB＝ 415.故选 B.
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答案解析
6．若圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上至少有三个不同点到直线 l：ax
＋by＝0 的距离为 2 2，则直线 l 的斜率的取值范围是( )
A．[2－ 3，1]
B．[2－ 3，2＋ 3]
C．
33，
3
D．[0，＋∞)
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圆及其方程
高考高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中概览等难度
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；考点能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系研读 3．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题 4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想