直线与圆的方程专题复习
高考数学直线和圆的方程专题复习 专题训练
高考数学直线和圆的方程专题复习专题训练----8ce23688-7166-11ec-986e-7cb59b590d7d高考数学直线和圆的方程专题复习专题训练高考中直线和圆的数学方程专题复习&LPAR；特殊培训和rPar；专题六、解析几何（一）1.线性方程：y=KX+T或ax+by+C=02.点关于特殊直线的对称点坐标：（1）关于线性方程y=x的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=Y0，n=x0；（2）关于线性方程y=x+B的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=Y0-B，n=x0+B；（3）关于线性方程y=-X的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=-Y0，n=-x0；（4）关于线性方程y=-x+B的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：n=-x0+B；m=-y0+b3.圆的方程：。
(x-a)+(y-b)=r或x2+y2+dx+ey+f=0d2+e2-4f>024.直线与圆的交点：l=2r2-d2（d为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。
若直线方程和圆的方程联立后，化简为：ax+bx+c=0，其判别式为∆，则=+k2--4=+k2注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可，它广泛应用于解析几何。
5.圆的切线方程：（1）点在圆外：如定点p(x0,y0)，圆：(x-a)+(y-b)=r，[(x0-a)+(y0-b)>r]第一步：设置切线l方程y-y0=K（x-x0）；第二步：求K到d=R，从而得到切线方程。
这里有两个切线方程。
特别说明：当K不存在时，应单独讨论。
（2）圆上的点：若点p(x0，y0)在圆(x-a)+(y-b)=r2（x-x0）（x0-a）+（y-y0）（y0-b）=0⇒（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。
高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案
高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc
的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
立体几何与圆专题复习
【立体几何】与【直线与圆】专题复习【知识梳理】1.空间几何体：（重点考查：三视图，表面积与体积）2.点、直线、平面之间的位置关系：（重点考查：平行与垂直关系，空间角）3.空间向量与立体几何：（重点考查：立体几何中的向量方法）4.直线与圆的方程：（重点考查：直线与圆的方程，位置关系）【典例精析】例1.（1）如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，则这四个几何体 依次 三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台（2）在空间四边形ABCD 中，E H 、分别是AB AD 、的中点，F G 、分别是CB CD 、的中点。
若AC BD a AC BD b +=⋅=，，则22EG FH += 21(2)2a b -（3）已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，内切圆半径为r （用ABC S ∆表示ABC ∆的面积），则1()2ABC S r a b c ∆=++；类比这一结论有：若三棱锥A BCD -的内切球半径为R ，则三棱锥体积A BCD V -= 1()3A BCD ABC ABD ACD BCD V R S S S S -∆∆∆∆=+++注： 平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积.（4）如图所示，已知球O 为棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为6π例2.（1）设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题： ①,//l m l m αα⊥⊥⇒； ②,m n l m l m n ββ⊂⊥⇒⊥是在内的射影， ③,////m m n n αα⊂⇒； ④,//αγβγαβ⊥⊥⇒.其中正确的命题是（ A ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④（2）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长为2的 线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点P 的轨迹的面积为（ D ） A ．4π B ．2π C ． π D ．2π（3）如图，在长方形ABCD 中，3AB =1BC =，E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C 时，K 所形A 1B 1C 1D 1P NMDCBA成轨迹的长度为（ D ） 3 23 C.2π D.3πB CBCD'ADEK（4）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在 线段1AD 上运动，给出以下四个命题： ①异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值； ②二面角1P BC D --的大小为定值； ③三棱锥1D BPC -的体积为定值；④异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值. 其中真命题的个数为（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4例3.在正三角形ABC 中， ,,E F P 分别是,,AB AC BC 边上的点，满足： :::1:2AE EB CF FA CP PB ===（如图甲），将AEF ∆沿EF 折叠到1A EF ∆的位置， 使二面角1A EF B --成直二面角，连接11,A B A P （如图乙）。
高二数学直线与圆专题复习
高二数学直线与圆专题复习卷一、选择题1.已知圆22:210C x y y +--=上任一点(,)P x y ，其坐标均使不等式x y m ++≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.[1,)+∞B.(]-∞,1C.[3,)-+∞D. (]-∞,-32. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M N 、两点，若23MN ≥k 的取值范围是（ ）. A.3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.[)3,0,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C.33⎡⎢⎣⎦ D.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别AC BD 和，则四边形ABCD 的面积为（ ） A.1066 C.30664.已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称， 则圆2C 的方程为（ ）.A.22(2)(2)1x y ++-=B.22(2)(2)1x y -++=C.22(2)(2)1x y +++=D.22(2)(2)1x y -+-=5.已知M （-1，0），N （1，0），在直线340x y m -+=上存在点P ，满足0PM PN ⋅=，则m 的取值范围是（ ）.A.(,5][5,)-∞-⋃+∞B. (,25][25,)-∞-⋃+∞C.[5,5]-D. [25,25]-6.已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在二、填空题7. 自点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，则光线l 与m 所在直线方程为__________.8 .设直线ax -y +3=0与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a = .9. 已知直线:60l x y -+=与圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则C 上各点到l 距离的最小值为__________.10. 已知圆M 与圆2220x y x +-=相外切，并且与直线0x +=相切于点(3,Q ，则圆M 的方程为__________.11. 如果圆()22()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 .12.设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．14.若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是15.与直线2x+y-1=0关于点（1,0）对称的直线的方程是16.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是17.已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M N ≠∅，则b 的取值范围是18.一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是19.设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ．20.已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ．三、解答题21.已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.(1).求实数,a b 间满足的等量关系；(2).求线段PQ 长的最小值；(3).若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取值最小时，圆P 的方程.22．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为，求该圆的方程．23.、已知直线l ：kx －y －3k =0，圆M ：x 2＋y 2－8x －2y ＋9=0（1）求证：直线l 与圆M 必相交；（2）当圆M 截l 所得弦最短时，求k 的值，并求l 的直线方程。
高三数学二轮专题复习第1讲 直线与圆
∴切线方程为
y＝±
3x－2，和直线 y＝2
的交点坐标分别为－4
3
3，2，4
3
3，2.
故要使视线不被⊙O
挡住，则实数
的取值范围是－∞，－4
3
3∪4
3
3，＋∞.
答案 (1)－53 (2)B
考法2 圆的弦长相关计算 【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B
归纳总结 思维升华
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数 的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑 直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件. (2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当
备战2023年新高考数学二轮专题复习直线和圆
专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。
专题19直线与圆的方程(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破
专题19直线与圆的方程【考点命题趋势分析】直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能力要求较高.纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点:一是每年必考，但未必在全国卷I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017年全国卷I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量.二是在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016年全国卷理科是个例外，有一小一大两道题).三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法.四是就文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科.综合以上分析，我们在复习备考中要给予高度重视.高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、品味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性.典型例题与解题方法1方程问题求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法:(1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径.(2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解.例1已知抛物线C:y2=2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(I)证明:坐标原点O在圆M上；(Ⅱ)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.2弦长问题但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少.小题中大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题，大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因此，弦长问题举足轻重.解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径所构成的直角三角形中运用勾股定理进行计算.例2已知直线l:mx+y+3m－√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2√3，则|CD|=.3最值与范围问题最值问题是范围问题的特例，因此，研究的方法、手段基本相同.在处理直线与圆的方程的最值与范围问题时，主要有以下两种途径:一是利用圆的几何性质直接判断，如过圆内一个定点的弦长的最值与范围问题，就可以结合图形利用弦长与弦心距之间的关系进行判断；二是构建目标函数的解析式，然后利用函数或基本不等式研究最值与范围.另外，在特定的情境中，利用“三角形两边之差小于第三边”来研究最值与范围问题可以取到意想不到的效果.例3已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x－1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.例4设圆x2+y2+2x－15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.4定值与定点问题直线与圆的定值与定点问题虽不是高考的热点，但一旦出现则必然是试卷的压轴题，如2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第20题，就考查了直线与圆的定值问题，试题综合性较强，难度较大例5在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题:(I)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由；(Ⅱ)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.例6在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.5复习建议本章的复习首先要注重基础，对基础知识、基本题型要掌握好.求直线的方程基本用待定系数法，复习时应注意直线的方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系，应特别注意直线斜率的存在与不存在两种情况；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题、弦长问题都是高考考查的热点，求圆的方程、圆心坐标和圆的半径的常用方法是待定系数法及配方法，要熟练掌握，还应特别注意充分运用直线与圆的几何性质以简化运算.特别需要指出的是，绝大多数和直线与圆的方程有关的高考题，都会涉及弦长问题，因此，在高考复习备考中，强化弦长问题的训练显得尤为重要.最新模拟题强化训练1．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为()A ．2B ．52C ．3D ．722．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=3．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是( )A ．()0,223,⎡++∞⎣B ．[2,2]C ．(),0-∞D ．[0∞+，) 4．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.( )A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =( )A ．12-B ．1C ．2D ．126．在圆22420x y x y +-+=内，过点(1,0)M 的最短弦的弦长为A B ．C D ．7．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =( )A ．2B ．C ．6D ．8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．22230x y x +--=B ．2240x y x ++=C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=9．已知点P 是直线l ：3x 4y 70+-=上的动点，过点P 引圆C ：222(x 1)y r (r 0)++=>的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，当MPN ∠的最大值为π3时，则r 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为 ( ) A ．230x y +-=B ．230x y +-=C ．210x y --=D ．210x y -+=11．已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为( )A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．)3,⎡+∞⎣ 12．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( )A ．12BC ．3 D13．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是( )A ．2或3B ．2C 或2D ．3或2 14．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( )A ．B ．5C ．2D ．1015．已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为( )A ．B ．C ．4D ．16．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于( )A ．B ．CD ．17．圆224210++--=x y x y 上存在两点关于直线()2200,0ax by a b -+=>>对称，则14a b+的最小值为A ．8B ．9C ．16D ．18 18．在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( ) A ．14 B ．12 C ．1D ．2 19．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．53-或53 B ．35或32 C ．23-或23 D ．43-或34- 20．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥21．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________：22．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．23．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ：B 两点，若AB =C 的面积为________ 24．在平面直角坐标系xOy 中，A(-12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________25．已知A ，B 为圆22:5O x y +=上的两个动点，4AB =，M 为线段AB 的中点，点P 为直线:60l x y +-=上一动点，则PM PB ⋅的最小值为____．26．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为__________．27．已知直线l 经过点P(：4：：3)，且被圆(x：1)2：(y：2)2：25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________： 28．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为__________． 29．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于,A B 两点，P 为x 轴上一动点，则ABP ∆周长的最小值为______：30．已知点()1,2P -及圆()()22344x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则PQ QT +的值为______________．。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
高中数学会考复习直线与圆的方程(贺思轩)
高中数学会考专题复习直线与圆的方程篇基础知识：1、直线的斜率与倾斜角（1）tan k α=，[)0απ∈，，2πα=时，直线不存在斜率；（2）斜率公式 2121y y k x x -=-（()111P x y ，、()222P x y ，） 2、直线的五种方程（1）点斜式 ()11y y k x x -=- （直线l 过点()111P x y ，，且斜率为k ）． （2）斜截式 y kx b =+（b 为直线l 在y 轴上的截距）.（3）两点式112121y y x x y y x x --=--（12y y ≠）（()111P x y ，、()222P x y ， （12x x ≠））。
（4）截距式 1x y a b+=（a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、） （5）一般式 0Ax By C ++=（其中A 、B 不同时为0）. 说明：点到直线的距离公式里面用的直线的一般式。
3、两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212//l l k k b b ⇔=≠，②12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零， ①11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 4、点到直线的距离d =（点()00P x y ，，直线l ：0Ax By C ++=）。
5、中点公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），中点坐标是（122x x +，122y y +） 6、圆的方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=（224D E F +-＞0）.特别提醒：只有当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ，7、点与圆的位置关系 点()00P x y ，与圆()()222x a y b r -+-=的位置关系有三种若d =（说明：这里d 表示点到圆心的距离） 则d r >⇔点P 在圆外；d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内。
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题(WORD版含答案)
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题（WORD 版含答案）一、选择题1.点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．．3 2.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．。
其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则△ADG 为黄金三角形。
根据上述作法，可以求出cos36°= A ．415-B ．415+ C ．435+ D ．435-3.已知实数a ，b 满足224a b +=，则ab 的取值范围是 A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．(－∞,－2]∪[2,+∞)D ．[－2,2]4.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -=C ．22125x y -= D ．221412x y -= 5.若直线与圆有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. [－3,－1]B. [－1,3]C. [－3,1]D. （－∞,－3]∪[1,+∞）6.直线20x y -与y 轴的交点为P ，点P 把圆()22136x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),00A m Bm m ->,．若圆．．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．．90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )．A ．．．7B ．．．．6C ．．．．5D ．．．．4．8.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),,00A m B m m ->．． 若圆．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．． 90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )． A ．．．7 B ．．．．6 C ．．．．5 D ．．．．4．9.若函数1)(2+=x x f 的图象与曲线C :()01)(>+=a ae x g x存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，26e B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛28,0e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，22e D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛24,0e 10.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 A ．2 B ．±2 C ．－2D ．2±11.已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P 、Q 分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A 1B ． 2C ．．1函数()e cos xf x x =的图象在(0,f (0))处的切线倾斜角为（ ） A. 0 B . 4π C. 1 D .2π 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：1222=+y x 和C 2：1422=+y x ，又A 点坐标为(3,－1)，M ，N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个 14. 曲线11x y x +=-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．－2D ．215.已知过点A (a ,0)作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,－4)∪(0,+∞)B ．(0,+∞)C ．(－∞,－1)∪(1,+∞)D ．(－∞,－1) 16.若点P (1,1)为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 17.直线2x －y 与y 轴的交点为P ,点P 把圆22(1)36x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A. 2B. 3C. 4D. 518.若函数1()(0,0)bxf x e a b a=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）C.2D.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．220.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．221.若直线y x b =+与曲线096422=+--+y x y x 有公共点,则b 的取值范围是( )A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤-⎣⎦22.已知直线4x －3y +a =0与⊙C : x 2+y 2+4x =0相交于A 、B 两点，且∠AOB =120°，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或 21 D ．3或13 23.过点（2，1）且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为A ．2x -3y -1=0B ．2x +3y -7=0C ．3x -2y -4=0D ．3x +2y -8=0 24.若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3b 的取值范围是A ．[1,1-+B ．[1-+C ．[1-D ．[1 25.已知动圆圆心在抛物线y 2=4x 上，且动圆恒与直线x=－1相切，则此动圆必过定点（ ）A. (2,0)B. (1,0)C. (0,1)D.(0,－1) 26.已知曲线421y x ax =++在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)= A ．7B ．－4C ．－7D ．427.已知点(1,2)P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,)3-∞C ．(33-D ．(3- 28.已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则cos2θ的值为 （ ） A ．35 B ．35- C ．15 D ．15- 29.我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） P 1:对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；P 2:如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； P 3:圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； P 4:圆的太极函数均是中心对称图形； P 5:奇函数都是太极函数； P 6:偶函数不可能是太极函数. A. 2B. 3C.4D.530.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程4)3()1(22=-+-y x ，则点P 的轨迹经过（）A. 第一、二象限B.第二、三象限C. 第三、四象限D.第一、四象限 31.直线1-=x y 的倾斜角是（）A.6π B.4π C. 2π D.43π32.已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（）A.内含B.外离C.相交D.相切 33.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则原点O 到直线l 的距离是A.12D.234.过点()1,1P -作圆()()()22:21C x t y t t R -+-+=∈的切线，切点分别为A,B ，则PA PB ⋅的最小值为A. 103B. 403C. 214D.3 35.已知函数()ln ,f x x x =若直线l 过点(0,－1),且与曲线()y f x =相切,则直线l 的方程为 A.10x y +-= B.10x y ++= C.10x y --= D.10x y -+= 36.圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11(,)23B ．21(,)33C ．11(,)32D ．12(,)3337.过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆C 1：22(5)4x y ++=和圆C 2：222(5)x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1B ．2 38.已知l 1，l 2分别是函数()|ln |f x x =图像上不同的两点P 1，P 2处的切线，l 1，l 2分别与y 轴交于点A ，B ，且l 1与l 2垂直相交于点P ，则△ABP 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C. (0,+∞) D ．(1,+∞) 39.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则△ABP 面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．40.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）441.若圆1C ：2222()(2)410x m y n m n -+-=++（0mn >）始终平分圆2C ：22(1)(1)2x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．92C.6 D ．9 42.函数()2ln (0,)f x x x bx a b a =+-+>∈R 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．243.己知直线1:sin 10l x y α+-=，直线212:3cos 10,sin 2=l x y l l αα-+=⊥若，则 A ．23B ．35±C ．35-D ．3544.若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[- C ．]221,1[+- D ．]3,221[- 45.已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°二、填空题46.若直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为___________． 47.在四边形ABCD 中，︒=∠90ABC ，2==BC AB ，△ACD 为等边三角形，则△ABC 的外接圆与△ACD 的内切圆的公共弦长=___________. 48.设圆O 1，圆O 2半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆O 1，圆O 2上，则PA PB ⋅的最大值为 ▲ ．49.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ . 50.已知a ，b 为正数，若直线022=-+by ax 被圆422=+y x 截得的弦长为32，则221b a +的最大值是 .51.已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C x y -+=a = ． 52.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 53.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ． 54.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =的值域是[]0,1；⑤()2π1d 2f x x +=⎰．其中判断正确的序号是__________．55.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得23=+，则实数a 的取值范围是 . 56.已知函数a x y +=ln 的图象与直线1+=x y 相切，则实数a 的值为 . 57.函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 58.已知直线:1l mx y -=。
高一数学 直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)
专题二 直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断 教学重难点：直线和圆的位置关系的应用 教学过程：第一部分 知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d 22||Aa Bb C A B+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B 解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3， 设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d =22|334311|2334⨯+⨯-=<+如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含答案解析)
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含(Han)答案解析)【知识要(Yao)点】圆的(De)定义：平面内与一定点距离(Li)等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标(Biao)准方程形如：这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :。
问题：形如022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：（1）当时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以为圆心，以为半径的圆。
（2）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为,所以表示一个点)2,2(ED --.（3）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（i ）的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式(Shi)，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利(Li)用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作(Zuo)判断(Duan): 当(Dang)d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
九种直线和圆的方程的解题方法高考数学一轮复习(新高考专用原卷版)
九种直线和圆的方程的解题方法题型一：直接法求直线方程 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为( ) A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线:l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y x =4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（ ） A ．10x y --= B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（ ） A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF = ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题 1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MAMF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．24y x =+ B ．24y x =-- C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（ ） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（ ）条. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥ C．点到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --= 6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（ ） A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =- B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______． 10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F ，点3(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题 1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（ ）A BC D 2．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（ ） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（ ） A ．点N 的坐标为()3,0- B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______． 6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值； （2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；①若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点 一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（ ） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（ ） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()7⎡-∞+∞⎣，，D．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的值可能为（ ） A ．-7 B ．-5 C ．-2 D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________. 四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，()f x =()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______． 五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（ ）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤ B ．存在k ∈R ，使A C ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C 的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（ ）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A ．AB 的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n A C B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)． (1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340C x y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题 1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（ ）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅=(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|P A ||PT |，则实数k 的取值范围是______________． 三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=-且AC CB λ=（λ＞0）. (1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍． （1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题 1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与 x轴和直线y = 相切，则圆M 的标准方程可能是（ ）A ．22((1)1x y +-=B ．22(1)(1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______. 三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-． (1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程； （2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长 一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点(A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l 被圆22:16O x y +=- ）A ．1B ．2C ．3D ．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（ ）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=-CA CB ，则实数m =_______． 四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在①AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b-=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程； (2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题 1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x +=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（ ）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（ ）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上 三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________． 四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.。
圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理[1]
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直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题知识梳理一、直线的方程1、倾斜角：范围0≤α＜180，若x l //轴或与x 轴重合时，α=00。
若l x ⊥轴时，α=900。
2、斜率： k=tan α 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） P 2（x 2,y 2）⇒k=1212x x y y --当1x =2x 时，α=900，k 不存在。
α为锐角时，k>0; α为钝角时，k<0;几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx 或x=0⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的 四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5．过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6．点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=. 注：（1）．两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221BA C C d +-=.二、有关圆的基础知识要点归纳1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2． 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()0222>=-+-r r b y a x ，其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r y x =+；3． 圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D ； ② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项 ③ 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是0≠=C A 且0=B ； //////// 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D4． 圆的参数方程① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==r y r x 为参数）； ② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 圆方程之间的互化 022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D配方⇔44222222F E D E x D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+即圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E ，D ，半径F E D r 42122-+=⇔利用()()222sin cos r r r =+θθ得θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）6． 点与圆的位置关系设圆()()222:r b y a x C =-+-，点()00,y x M 到圆心的距离为d ，则有：(1)r d >⇔点M 在圆外； (2)r d = ⇔点M 在圆上； (3)r d < ⇔点M 在圆内． 7． 直线与圆的位置关系设圆()()222:r b y a x C =-+-，直线l 的方程为0=++C By Ax （B A ,不全为0），圆心()b a ,，判别式为△，则有：(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断 ①r d < ⇔直线与圆相交；②r d =⇔直线与圆相切；③ r d >⇔直线与圆相离；(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 ① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 直线与圆相交； ② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 直线与圆相切； ③ △＜0⇔无实数解⇔ 直线与圆相离.(3) 直线与圆相交的弦长问题①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有2222r d l =+⎪⎭⎫⎝⎛.③弦长公式：设直线交圆于()()2211,,,y x B y x A ，则B A AB x x k AB -⋅+=21或B A y y k AB -⋅+=211. (4) 圆的切线方程：① 设切点公式法：已知圆2221:r y x O =+；()()2222:r b y a x O =-+-；0:223=++++F Ey Dx y x O ，则以()00,y x M 为切点的圆1O 切线方程为：200r y y x x =+；圆2O 切线方程为：()()()()200r b y b y a x a x =--+--；圆3O 切线方程为：()()0220000=++++++F y y E x x D yy xx . ②设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消x（y ），再用判别式0=∆解出切线斜率k ；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在的情况，可单独考虑。
2024年对口高考数学二轮复习专题七—直线与圆的方程
2024年对口高考数学二轮复习专题七：直线与圆的方程1．直线与圆的位置关系：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心到直线l 的距离d ＝||Aa ＋Bb ＋C A 2＋B 2．若l 与圆C 相离⇔d >r ；l 与圆C 相切⇔d ＝r ；l 与圆C 相交⇔d <r .若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两解，即Δ>0，则相交；若有一解，即Δ＝0，则相切；若无解，即Δ<0，则相离． 2．圆的弦和切线：圆的半径为r ，直线l 与圆相交于A 、B ，圆心到l 的距离为d ，则|AB |＝2r 2－d 2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．练习1、已知直线l 经过两条直线2x ﹣3y +10＝0和x +2y ﹣2＝0的交点．且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0，则直线l 的方程为（ ）A ．2x +3y ﹣2＝0B ．2x +3y +2＝0C ．2x ﹣3y +10＝0D ．2x ﹣3y ﹣10＝02、若直线3x +4y +k ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +5＝0相切，则k 的值为（ ）A ．﹣1或19B ．1或﹣19C ．1D ．±103、直线x ﹣y +8＝0与圆x 2+y 2＝r 2相切，则r 的值是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．4、已知过点P （2，2）的直线l 与圆（x ﹣1）2+y 2＝5相切，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B ．C ．2D ．5、过圆x 2+（y ﹣1）2＝9外一点P （3，5）向圆引切线，则点P 与切点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56、已知点P 在直线l ：x ﹣y ﹣6＝0上，点Q 在圆O ：x 2+y 2＝2上，则|PQ |的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上的点到直线x +y ﹣14＝0的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．30B ．18C ．6D ．58、已知直线x ﹣y ﹣4＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 是圆x 2+y 2＝2上的一个动点，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[4，8]B ．[4，12]C ．[8，12]D ．[12，16]9、从点P （4，5）向圆（x ﹣2）2+y 2＝4引切线，切线方程为________________________10、过点（1，2）作圆x 2+y 2＝5的切线，则切线方程为（ ）A ．x ＝1B ．3x ﹣4y +5＝0C ．x +2y ﹣5＝0D ．x ＝1或x +2y ﹣5＝011、过点P （2，1）作圆x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在的直线方程为 ．12、过点P （2，1）作圆x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则|AB |＝13、过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线(O 为坐标原点)，切点分别为A ，B ，则P A →·PB→＝____14、过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．15、如图所示，已知两点A （﹣3，0），B （3，2）在圆C 上，直线：x +y ﹣2＝0过圆心C 。
圆的方程与专题复习(直线与圆圆与圆的位置关系轨迹问题)知识梳理
圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2．圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得0222rr by ax ，其中圆心坐标为b a,，半径为r ；当0,0b a时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r yx；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3．圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022F Ey Dx y x0422FED ；②圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项③二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的必要条件是0C A 且0B ；二元二次方程022FEy Dx CyBxy Ax表示圆的充要条件是C A 且0B且0422AFED4．圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量将变量y x,联系起来的一个方程.①圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r yr x 为参数）；②圆心在b a,，半径为r 的圆的参数方程是：(sincos r b yr a x 为参数）；5．圆方程之间的互化022F Ey Dx yx422FED配方44222222FE D E xD x即圆心22E ，D ，半径F EDr 42122利用222sincosr r r 得(sincos r byr a x 为参数）6．确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
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高中数学专题复习--直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法．直线的倾角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章重点之一，点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线1l 到2l 的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意； 曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点．二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念． 三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大．四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算．直线【例题】例1已知点),2,16(),4,1(C B 点A 在直线033=+-y x 上，并且使,21=∆ABC S 求点A 的坐标． 例2已知直线l 的方程为,01243=-+y x 求直线1l 的方程, 使得：(1) 1l 与l 平行, 且过点(－1,3) ; (2) 1l 与l 垂直, 且1l 与两轴围成的三角形面积为4.例3过原点的两条直线把直线01232=-+y x 在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角．例4圆0622=+-++c y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点,求c 为何值时,O OQ OP (⊥为原点) ． 例5已知直线b x y +-=2与圆0152422=-+-+y x y x 相切,求b 的值和切点的坐标．例6某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a bm am (,＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 例7预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？例8已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各x 千克,y 千克,z 千克配成100千克混合食物,并使混合食物内至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B .，y ，z 的值，使成本最低．【直线练习】一、选择题1．设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为 ( )A .M ＞NB .M =NC.M ＜ND.无法判断2．已知定点A (1,1)，B (3,3)，点P 在x 轴上，且∠APB 取得最大值，则P 点坐标为 （ ） A ．()02，B ．()06，C ．⎪⎭⎫⎝⎛037，D ．()04，3．圆022=++x y x 上的点到直线033=-+y x 的最短距离为 （ ）A ．23B ．45 C ．43 D ．49 4．如果AC <0且BC <0, 那么直线,0=++C By Ax 不通过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若点(4, m)到直线431x y -=的距离不大于3, 则m 的取值范围是 ( )A ．(0, 10)B ．[]010,C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡331,31D ．()[)-∞+∞,,0106．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为 ( )A ．232,⎛⎝ ⎫⎭⎪B ．258256,⎛⎝ ⎫⎭⎪C ．(3, 4)D ．(4, 3)7．如果直线2+=ax y 与直线b x y -=3关于直线y = x 对称, 那么 ( )A ．a b ==136, B ．a b ==-136, C ．a = 3, b = －2 D ．a = 3, b = 6 8．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是 ( )A ．-13B ．－3C ．13D ．39．设a 、b 、c 分别是△ABC 中, 角A 、B 、C 的对边, 则直线sin A x ay c ·++=0与bx B y C -+=sin sin ·0的位置关系是 ( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直二、填空题10．直线042=--y x 上有一点,P 它与两定点)4,3(),1,4(B A -的距离之差最大.则P 点坐标是___． 11．自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，则光线l 所在直线方程为_________． 12．函数2cos 1sin )(--=θθθf 的最大值为_________，最小值为_________．13．设不等式12-x ＞)1(2-x m 对一切满足||m ≤2的值均成立，则x 的范围为_________． 三、解答题14．已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数x y 2log =的图象交于C 、D 两点．(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标． 15．设数列{a n }的前n 项和b a n b n n na S n ,),,2,1(,)1( =-+=是常数且0≠b ．(1)证明：{a n }是等差数列； (2)证明：以(a n ,nS n－1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程； (3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围．例题参考答案例1解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| = 29，设点A 坐标(3y －3,y )，则可求A 到B C 的距离为29|2811|-y ，∵∆AB C 面积为21，∴2129|2811|2921=-∙y ， ∴11141170-=或y ，故点A 坐标为（1170,11177）或（1114,1175--）． 例2解： (1) 由条件, 可设l ′的方程为 3x +4y +m=0, 以x =－1, y =3代入, 得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′的方程为 3x +4y －9=0． (2) 由条件, 可设l ′的方程为4x －3y +n=0, 令y =0, 得4n x -=, 令x =0, 得3ny =, 于是由三角形面积43421=∙-∙=n n S , 得n 2=96, ∴64±=n ∴直线l ′的方程是06434=+-y x 或06434=--y x ． 例3解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点， 则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为所求角． ∵2=CA BC ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38）. 又2=DB AD ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⨯+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k .∴139313413134|1|=⨯+-=+-=ODOC ODOC k k k k tg θ，∴139arctg =θ． 例4解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,)12(5121c y y +=∙, 消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5121-=∙c x x , ∵OP ⊥OQ,∴12211-=∙x y x y ,∴5274512--=+c c ，解得c = 3． 例5解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0,整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2＋2b －15 = 0,令∆= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，5)2(2+=b x ，得x =－2或x = 6， 代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1，∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）．例6解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =t a n xCA =x a a -αcos αsin , .αcos αsin tan xb b xCB k BC -== 于是t a n ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1αcos )(αsin )(αcos )(αsin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xab b a x x b a ab x b a由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则t a n ACB ≤αcos )(2αsin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳．例7解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得∴A 点的坐标为(7200，7200)由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以)0,0(),275,25(),7200,7200(O B A 为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数y x z +=在可行域内的最优解为),275,25(但x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择．例8解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得，463203130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩，所以，75450.x y +≥所以，40075400450850,c x y =++≥+=当且仅当4632050, 313020x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-≥=⎩⎩即时等号成立． 所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y=++最大的点．不难发现,应在点)20,50(M 处取得．【直线练习】参考答案一、选择题： ABACB DAAC1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N . ． 2．解：P 点即为过A 、B 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为222)()(b b y a x =-+- )0,0(>>b a所以有⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-06)3()3()1()1(222222b a bb a b b a ． 二、填空题：10.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6）． 11.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切． 答案：3x +4y －3=0或4x +3y +3=0 12.解析：f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率. 答案：3413.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：213217+<<-x 三、解答题：14.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2).因A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2). 由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13 将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83). 15.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a aa bn n na a a S n S n n∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)=21(x －a ),即x －2y +a －2=0. (3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-0108041750)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜25－2或r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6 再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞).高中数学专题复习——圆【例题】①② ③P nP n+1yox 例1设正方形AB CD 的外接圆方程为x 2+y 2–6x +a =0(a <9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为31 ,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线A C 、B D 的斜率．例2设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ． （1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；（2）当m 变化且0≠m 时,求证：2C 的圆心在一条定直线上,并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． 例3已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．例4已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围．例5已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点． （1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 例6有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 例7在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111⋅⋅⋅y x P y x P),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1()n N +∈．（1）求证：数列}1{nx 是等差数列；（2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21,求证：23π<n T ． 例8已知圆C ：22(1)1x y +-=和圆1C ：22(2)(1)1x y -+-=,现在构造一系列的圆123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答：(1)求圆n C 的半径n r ；(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为21nC ；(3)求和)111(lim 22322nn C C C +++∞→ .【圆·练习】1、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 （ ）(A )直线与圆相切 (B ) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心2、点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点,则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交3、直线()00≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4,则以|a |、|b |、|c |为边长确定的∆一定是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不存在4、已知两点A (–2,0),B (0,2), 点C 是圆x 2+y 2–2x =0上的任意一点,则△AB C 面积的最小值是 （ ）(A )23- (B ) 23+ (C)226- (D) 223- 5、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--==R y x x y y x p 、,25),(2及{}Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,,),(，则实数b 的取值范围是 （ ）（Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(- （Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[-6、若曲线x 2+y 2+a 2x =(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ ）． （Ａ）21±（Ｂ）22± （Ｃ）2221-或 （Ｄ）2221或- 7、若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离为1，则R 的取值范围为（ ）． （A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1<R <3 （D ）R ≠28、已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：交于A 、B 两点,则AB 所在的直线方程是_ _． 9、直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是_ _． 10、已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为_ _．11、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是_ _． 12、半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程． 13、已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB ．求m 的值． 14、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程．例题参考答案：例1解：由(x –3)2+y 2=9－a (a <9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0）依题意：.31,4==∠=∠AB k BAM ABM πM A ,M B 的斜率k 满足:113131=+-kk 解得:k A C =2,21=-BD k例2解：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2），设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ）则⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 解得：⎩⎨⎧+=+=112m b m a∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--（2）由⎩⎨⎧+=+=112m b m a 消去m 得a －2b +1=0即圆C 2的圆心在定直线x －2y +1=0上。