错解剖析得真知 26
如何进行有效的错题分析弥补知识漏洞
如何进行有效的错题分析弥补知识漏洞在学习过程中，做错题是常见的情况。
但是，如何进行有效的错题分析以及如何利用这些错题来弥补知识漏洞则是至关重要的。
本文将探讨如何进行有效的错题分析，并提供一些实用的方法来弥补自己的知识漏洞。
一、了解错题的原因在开始任何分析之前，我们需要先了解错题的原因。
错题可能是由于不熟悉知识点、理解错误、粗心大意或者做题技巧不到位等原因造成的。
只有分析出错题的具体原因，才能有针对性地进行相应的知识弥补。
二、审视错题中的错误通过仔细审视错题，我们可以发现其中的错误类型。
常见的错误类型包括概念错误、计算错误、应用错误、理解错误等等。
明确错误类型有助于我们选择合适的方法进行知识的补充。
三、查阅相关资料在分析错题时，我们可以查阅相关的教材、参考书、学习资料等来帮助我们理解正确的解题思路。
通过查阅资料，我们可以深入了解该知识点的概念、原理以及解题方法，从而更好地弥补自己的知识漏洞。
四、解题思路的整理在进行错题分析之后，我们需要整理出正确的解题思路。
这样有助于我们在遇到类似的问题时能够避免犯同样的错误。
通过将解题思路整理成清晰的步骤，我们可以更好地掌握该知识点，并在解题过程中避免疏漏。
五、刻意练习为了提高自己的解题能力和对知识点的掌握程度，我们需要进行刻意练习。
针对之前的错题或者类似的问题进行反复练习，可以帮助我们巩固相关的知识点，并且提高解题的准确性和速度。
六、寻求帮助如果在分析错题的过程中遇到困惑或者不理解的地方，我们可以寻求他人的帮助。
可以向老师、同学、家长等请教，在其他人的指导下更好地理解和弥补知识漏洞。
七、反思与总结最后，我们需要对整个错题分析的过程进行反思与总结。
反思自己在分析过程中的不足之处，总结出有效的错题分析方法和经验，以便今后在解题时能够更好地应用。
通过以上的方法和步骤，我们可以进行有效的错题分析，并且在弥补知识漏洞的过程中提高自己的学习效果。
当我们能够充分理解和掌握错题背后的知识点时，我们就能够更加自信地应对类似的问题，并且在学习中取得更好的成绩。
错题分析总结
错题分析总结错题分析总结在学习过程中，错题是难免的。
每个人都可能会犯错，犯错并不可怕，重要的是能够从中汲取教训，改正错误。
本文将对错题进行分析和总结，以便更好地提高学习效果。
首先，错题分析的目的是为了理清自己知识盲点和错误的原因。
只有了解了错误的原因，才能更好地解决问题和提高学习效果。
在进行错题分析时，有以下几个方面需要考虑：1. 错误的原因是什么？是因为概念理解不清楚导致的还是因为计算方法错误？是困惑于规则还是不懂得如何应用规则？通过弄清楚错误的原因，可以有针对性地进行学习和复习。
2. 错误的类型是什么？是常见的知识点错误还是一些细节错误？是因为粗心大意导致的还是因为不了解题目要求？了解错误的类型可以帮助我们更好地避免同类错误的发生。
3. 错误与其他知识点的联系如何？错题往往会与其他知识点相互关联。
分析错误时要考虑到与其他知识点的联系，以便更全面地理解同一类问题的解决方法。
分析完成后，我们还需要总结得出结论和解决办法。
总结的目的是为了巩固知识点和错误原因的认识。
1. 结论总结：对于每个错题，我们都需要总结出一个结论。
这个结论可以是关于概念的，也可以是关于计算方法的。
总结结论的目的是为了将错误转化为知识，从而提高学习效果。
2. 解决办法总结：根据对错题的分析，我们还可以总结出解决办法。
比如，在理解不清楚概念时，我们可以通过查阅资料或请教老师来解决；在计算方法错误时，可以通过刻意练习和反复验证来改进；在困惑于规则和应用时，可以通过多做例题和加强练习来加深理解。
总结解决办法的目的是为了给自己留下一个方便的参考，以便在遇到类似问题时能够快速解决。
最后，我们需要将错题分析和总结应用到实际学习中。
1. 认真总结错题：每次做错题后，都要认真总结，并按照之前总结的结论和解决办法进行复习和练习。
只有深入总结和反复练习，才能将错误转变为知识。
2. 多做类似的题目：对于同一类题目，我们可以利用之前总结的解决办法，多做类似的题目来加深理解和掌握。
错解的剖析在数学教学中的作用
２对 称 与 非 对 称 ． ．
在 一 些 比较 长 的公 式 中存 在 着 对 称 的现 象 。 只要 发 现 了 这 一点 ， 么 公 式 的 实 际 难 度 就 大 大 降 低 了 ， 在 教 学 过 程 中 那 我 就 着重 让 学 生 根 据 这 点 来 识 记 公 式 ． 在 讲 授 “ 角 和 与差 的 如 两
２ ２ ｇ， ０ － ３ｌ考 试 周 １－ ｔ ｆ ） ｉ ｔ 刊
错 解 的 剖 析 在 数 学 教 学 中 的 作 用
傅 子 川
（ 福建 省尤 溪 职 业 中专 学 校 ， 建 尤 溪 福 ３５ ０ ） ６ １ ０
摘 要 ： 数 学 教 学 中 ， 生 解 题 中 出现 各 种 各 样 的错 在 学 误 一 直 是教 师 最 头痛 的 问题 ， 而 这 个 问题 却 始 终 贯 穿 整 个教 学 过 程 ．怎 么 才 能减 少或 避 免 学 生在 数 学 学 习中 的 解题 错 误 呢 ？ 是 一 个 令 广 大 一 线教 师和 学者 所 关 注 的 实 际 问题 ， 是 这 也 学 生渴 望 从 老 师 那里 得 到 明 确 答 案 的 问题 ．本 文 分析 错 解 的 剖 析 在 数 学 教 学 中的作 用． 关 键 词 ： 学教 学 错 解 剖 析 错 解 原 因 作 用 数 在 数 学 教 学 中 ， 常 会 存 在 这 种 现 象 ， 堂 上 教 师 讲 得 头 经 课 头 是 道 ， 生 也 听 得 明 明 白 白 ， 是 做 起 题 目却 错 误 百 出 ， 学 但 究 其 原 因 ． 视 错 解 的 作 用 是 其 中重 要 的一 个 ． 然 谁 也 不 希 望 忽 虽 在 解 题 中 出错 ， 谁 也 不 能 幸 免 在 解 题 中 出 错 ． 生在 解 题 中 但 学 出错 是 学 习 活动 的必 然 现 象 ．教 师 对 错 解 的处 理 是 解 题 教 学
错解剖析与教学反思
，
将不 等 式 “ 静 分 离 ” 变形 动 ，
为 ａ ｘ一１ 可 见 曲线 Ｃ： ｘ ≥３ ， Ｙ＝
Ｒ ． ４
《 数学之友》
２０ ０ ８年第 ２ ３期
ｘ ｙ空 间 中 的 单 位 面积 做 参 照 ， 有 Ｓ＝ Ｏ 则
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另外若 ｏ ≤ｌ则即证 口 ＜ ， ≥塾 对于任意 ∈
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问题 二 ：
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①￡ｒ ｏ 空问中的图形面积与原 ｘ ｙ空间中的图 ｏ 形 面 积不一 定相 等 ， 至无 面积概 念． 甚 ②用换元积分法可以算一些封闭图形 的面积．
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评注： 我们 发现 这 里其 实就 是 用积 分换 元法 ， 所
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以 当我们 的换 元过 程 仅 对 函数 作 的是 平 移 变换 时 ，
变换 的 只是位 置 ， 所研 究的 面积是 一样 的． 其
“错”出真知-5页文档资料
“错”出真知中职学生在数学的学习过程中经常会出现错误，而通过集体的识错、思错以及纠正错误的过程中生成的课程资源，是一种非常真实的、有价值的，有意义的教学资源，应加以有效利用。
对于“错误”的产生，教师要宽容对待，更要善于利用，培养学生正确归因错误并巧妙地利用错误，进而培养学生的创造性思维，让课堂因此更精彩、更鲜活。
利用错误鲜活教学培养思维“学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程。
”而这必然伴随着大量学习错误的生成。
对于这种直接反映学生学习情况的生成性教学资源，作为一线的教师，我们应充分加以利用，而对于“错误”的产生，更要宽容对待，分析错误产生的缘由，因势利导，促进学生的全面发展。
那么，如何在数学教学中利用这一动态生成的资源，使数学教学更鲜活呢？一、正视错误，包容学生的错误，抓住教学契机中职学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往和成人截然不同，在学习过程中必然会出现各式各样的错误。
哲学家黑格尔曾说过，错误本身乃是达到真理的一个必然的环节。
正确很有可能只是一种模仿，可错误却绝对是一种经历，真实而自然。
在平时教学中，我们要善待学生的“错误”，抓住这种数学教育契机，加以充分的利用，长此以往课堂也因差错而变得鲜活而又有生命力。
二、课中捕捉错误善待“错误”，生成多姿的课堂叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中曾提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。
”错误是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，就能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。
同时教师也要独具慧眼，及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中，让其发挥出应有的价值，折射出灿烂的光芒。
[案例一]：学习了函数这一章后，我发现函数的值域问题很多学生存在着一定的问题特别是二次函数的值域问题，很多学生的求法是把闭区间的2个端点分别代入函数解析式中，因此我特别设计了一堂习题课。
学习中的错题分析技巧
学习中的错题分析技巧在学习的过程中，我们常常会遇到各种难题和错题。
这些错题不仅能够暴露我们的学习问题，还是我们提高学习能力的重要机会。
因此，正确地分析和解决错题对我们的学习至关重要。
本文将介绍一些学习中的错题分析技巧，帮助大家更好地应对错题。
一、审题清晰在解决错题之前，首先要对题目进行仔细审题。
通读题目，并标注出重要关键词。
理解题目的要求和限制条件能够帮助我们正确解答问题。
同时，还要注意题目中的附加信息，例如，图表、表格或者文字说明等，这些附加信息可能会提供一些有用的线索，有助于解答题目。
二、寻找错题原因当我们遇到错题时，要针对每一道错题深入分析，找出错误的原因。
错误的原因可能是因为知识点理解不清晰，步骤操作不当，逻辑推理有误，或者是没有充分思考等。
通过找到错误的原因，我们就可以有针对性地调整我们的学习方法和策略，避免犯同样的错误。
三、查漏补缺在分析错题的过程中，我们有时候会发现自己对某个知识点或者概念的理解不够深入。
这时候，我们需要及时查漏补缺，重新学习弄懂这个知识点。
可以通过查阅教科书、参考书籍、网上资源等多种途径来加深对知识点的理解。
只有在具备了全面的知识基础之后，我们才能在学习中做到事半功倍。
四、分类总结将错题按照不同的类别和类型进行分类总结，有助于我们更好地理解和掌握其中的知识点。
例如，将数学错题分为代数、几何、概率等不同类别；将语文错题分为阅读理解、写作、语法等不同类型。
这样做有利于我们对知识点的梳理和记忆，并能够迅速找到特定类型题目的解题思路。
五、反思总结除了对错题进行分类总结，更重要的是对我们自身的学习方法和态度进行反思总结。
我们要反思我们在学习过程中的不足之处，以及导致错误的原因。
我们可以思考一下自己在做题时的思维方式、步骤是否正确，是不是粗心大意导致错误等。
通过反思总结，我们可以不断改进自己的学习方法，提高学习效果。
六、寻求帮助在学习中，我们常常会遇到一些难解的问题。
当我们对某个问题束手无策时，可以主动寻求帮助。
2023年高考生物冲刺复习经典易错知识点总结与例题剖析26 发酵工程含详解
易错点26发酵工程1.有关“倒平板”（1）培养基要冷却到50℃左右时开始倒平板。
温度过高会烫手，过低培养基又会凝固。
（2）要使锥形瓶的瓶口通过酒精灯火焰。
通过灼烧灭菌，防止瓶口的微生物污染培养基。
（3）倒平板时，要用左手的拇指和食指将培养皿打开一条稍大于瓶口的缝隙，不要完全打开，以免杂菌污染培养基。
（4）平板冷凝后，要将平板倒置。
因为平板冷凝后，皿盖上会凝结水珠，平板倒置后，既可避免培养基表面的水分过快地挥发，又可防止皿盖上的水珠落入培养基，造成污染。
（5）在倒平板的过程中，如果不小心将培养基溅在皿盖与皿底之间的部位，那么这个平板不能用来培养微生物。
因为空气中的微生物可能在皿盖与皿底之间的培养基上滋生。
（6）整个操作过程要在酒精灯火焰旁进行，避免杂菌污染。
2.有关“平板划线法”①第一次划线及每次划线之前都需灼烧接种环灭菌，划线操作结束仍需灼烧接种环。
②灼烧接种环之后，要等其冷却后才能伸入菌液，以免温度太高杀死菌种。
③在做第二次以及其后的划线操作时，总是从上一次划线的末端开始划线，这样才能使细菌的数目随着划线次数的增加而逐步减少，最终得到由单个细菌繁殖而来的菌落。
④划线时最后一区域不要与第一区域相连。
⑤划线用力大小要适当，防止用力过大将培养基划破。
3.有关“选择培养基与鉴别培养基”4.有关“消毒和灭菌”消毒：使用较温和的物理或化学方法杀死物体表面或内部的部分微生物(不包括芽孢和孢子)。
灭菌：指使用强烈的理化因素杀死物体内外所有的微生物，包括芽孢和孢子。
1．下列有关微生物培养基的配制表述错误的是（）A ．培养硝化细菌的培养基中的铵盐可作为氮源和能源B ．尿素固体培养基中的K 2HPO 4能用于维持培养基的pH项目选择培养基鉴别培养基制备方法培养基中加入某些化学物质培养基中加入某种指示剂或化学药品原理依据某些微生物对某些物质或环境条件的嗜好或抗性而设计产生特定的颜色或其他变化用途从众多微生物中分离出所需的微生物鉴别不同种类的微生物C．培养光能自养型的蓝细菌的培养基中不需提供有机物D．马铃薯蔗糖固体培养基中的琼脂能作为酵母菌的碳源2．酵母的蛋白含量高，可用作饲料蛋白，且有些酵母能利用工业废甲醇作为碳源进行繁殖，既可减少污染，又可降低成本。
剖析的心得体会6篇
剖析的心得体会6篇（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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错解剖析得真知
3.3三角函数的恒等变换一、知识导学1.两角和、差、倍、半公式（1）两角和与差的三角函数公式（2）二倍角公式（3）半角公式，，2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.二、疑难知识导析1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.4．三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、，等，注意到倍角的相对性.5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.三、典型例题导讲[例1]在∆ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则?C的大小应为( ) A． B． C．或 D．或错解：C错因：求角C有两解后未代入检验.正解：A[例2]已知tanα tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，若α，β?(-)，则α+β=（）A． B．或- C．-或 D．-错解：B.错因：未能准确限制角的范围.正解：D.[例3]若，则对任意实数的取值为（）A. 1B. 区间（0，1）C.D. 不能确定错解：C错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D.正解：解法一设点，则此点满足解得或即选A解法二：用赋值法，令同样有选A[例4]△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A. B. C.或 D.错解：C错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.正解：A[例5]已知，（），则（）A、 B、 C、 D、错解：A错因：是忽略，而解不出正解：C[例6]求值：=_______________解：答解法一原式解法二[例7]已知是第三象限的角，若等于（）A. B. C.D.解：选A.解析：[例8]分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少.观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.解法一：（复角→单角，从“角”入手）原式解法二：（从“名”入手，异名化同名）解法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）解法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.四、典型习题导练1.已知集合M=，N=则MUN等于（）A．M B.N C.ф D.2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=( )A.1B.2C.-1D.-23.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )A.或-B.-C.D.以上都不对4.已知θ=,则= .5.计算sin sin= .6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（）A．B． C． D．7．求值：__________8.函数的最小值为（）A. B. C.0 D. 19．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定10.已知向量（1）求的值；（2）若的值.。
必修一 错解剖析得真知
错解剖析得真知（一）第一章集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为A B或B A；如果A B，并且A B，这时集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足A B、B A，则A=B.5.补集：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A B.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1]已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．[例2]已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+n A B. m+n B C.m+n C D. m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵m A，∴m=2a,a,同理n=2a+1,a Z, ∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵m A, ∴设m=2a1,a1Z,又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+n B, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使B A，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由B A得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5]已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6]设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1 A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ?－1∈A ?∈A ? 2∈A∴ A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ?∈A ?∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7]设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：A B．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+),∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*∴ a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得A B．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0， x∈ Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16 B．14 C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－ } C．{±2，± } D．{，－} 3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则M N＝（）A． B．C． D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .8．充分条件与必要条件：①p q ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②p q ：p是q的充要条件 .9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.（）（）2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:,它的否定:；特称命题p:,它的否定:；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1]把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2]将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a o时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a o，则函数y=ax+b的值不增加.[例3]已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：,故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为所以两式相减得故即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于同理也可得因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4]已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a且b的否定是a=1或b=3.正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a且b为真时，必须a,b同时成立.[例5]已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q 成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p r s q但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A解：选A[例6]已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)①mx2－4x＋4＝0 ②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是解得m 1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.[例7]用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于0.[例8]已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.解：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，即命题p：m＞2若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴解得：m≥3或1＜m≤2.四、典型习题导练1．方程至少有一个负根，则（）A.或B.C.D.2．“”是“或”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数不全为0的充要条件是（）A.都不是0. B.中至多一个是0.C.中只有一个是0.D.中至少一个不是0.4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.5．若，试从A. B. C. D. E.F.中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使都为0的充分条件是；（2）使都不为0的充分条件是；（3）使中至少有一个为0的充要条件是；（4）使中至少有一个不为0的充要条件是．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为．7．命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．错解剖析得真知（二）第二章函数概念与基本初等函数§2.1 映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B 的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都有原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作.其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识（1）对函数符号的理解知道y=与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则.是单值对应.(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图象关于y=x对称.三、经典例题导讲[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足(a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有，共6个映射(2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个[例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，∴的定义域是[1，2]错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.正解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足，∴的定义域是[－1，0][例3]已知：，求.错解：∵，∴故，∴＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵，∴＝＝＝7-5＝2[例4]已知的反函数是，如果与的图象有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图象关于直线对称这一性质理解不深，比如函数的图象的交点中，点不在直线上，由此可以说明“两互为反函数图象的交点必在直线上”是不正确的.[例5]求函数，的值域.错解：又，的值域是错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y的取值范围了.正解：配方，得∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，的值域是[例6]已知，求函数的解析式.错解：由已知得即，∴错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.正解：因为的反函数为＝，所以＝＝[例7]根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设＝由于得，又由，∴即因此：＝(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设∴＝（）（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解用代可得：与联列可消去得：＝.点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.[例8]已知，试求的最大值.分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.解由得又当时，有最大值，最大值为点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由得当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图象着手，这样才能正确地解题..[例9]设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.解法一：由，设，得，所以＝解法二：令，得即又将用代换到上式中得＝点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.四、典型习题导练1. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（）A.0B.1C.0或1D.1或22.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是( ) A. B.C.g(t)=(t－1)2D.g(t)=cost3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )4.（06年高考全国II）函数f(x)＝的最小值为A．190 B.171 C.90 D.455. 若函数f(x )=(x ≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )A.3B.C.－D.－36.已知函数满足：，，则7.已知函数f(x)满足f(log a x )= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.8.已知函数是函数（R）的反函数，函数的图象与函数的图象关于直线y＝x－1成轴对称图形，记＝+.（1）求函数F（x）的解析式及定义域；（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.错解剖析得真知（三）§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图象：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图象.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数的单调性.错解：是减函数错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.正解：令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，∴是增函数[例2]判断函数的奇偶性.错解：∵＝∴∴是偶函数错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：有意义时必须满足即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断的奇偶性.错解：∵∴且所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵＝＝＝－∴是奇函数方法二：∵。
一个错误解法得出正确结果的解析
存 在 明显 矛 盾 ！
如 何 解 释 呢 ？矛 盾 如 何 产 生 呢 ？首 先 我 们 看 看 在解 答 过
程 出现 的错 误 ．
（ ２ ｎ （ ２” ¨ （ ２ ｎ－ － １） 十 ａ２ １）
Ｓ２ Ｔ２
却得 到正 确 的结 果． 通 过 严 密 推 理 发现 两 处 错 误 ， ｉ消 除错误 ， 最 后得 出 了正确 结论 ．
中学生数理亿 ． 掌研版
… ． ．
用类 比 的 思 考 方 法 解 题 是 学 生 很 常 用 的 方
一 个错误解法得出正确结果的解析 的解 题 途 径． 但 类 比推 理 仅 仅 是 合 情 推 理 ， 不 严
；法 ， 有 时 是很 有效 的一 种 思 考 方 法 ， 能够 找 到 正 确
曼 霎 问 题 １ 已 知 等 差 数 列 ｛ ｎ ） 、 ｛ ） 的 前 ” 项
尊
复 和 和 分 别 为ｓ ， 且 满 足 ： ＝ ＊， 娶 ， 则 ＝ ｝ ．
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在 解 答 此 问 题 时 学 生 联 想 到 以 下 问 题 的 处
理方法 ，
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一
密， 有 时 出现 了错 误还 具 有 隐 蔽性 ， 只有 经 过 严 密
的 推理 才能 够查 出． 下 面 通 过 一 个 很有 趣 的例 子 ， ｊ学生 用类 比的方 法思 考得 出一个 错 误 的解 题 过 程
÷ （ ６ － ＋ｎ 。 ） 一 ９ 但 一 杀・ １ ３ ａ ７ 一 杀・ （ Ｏ 。 ＋ １ ３ Ｔ ｑ ≠ 鲁 Ｔ ｑ ， ’
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错题的剖析与纠正策略
错题的剖析与纠正策略学习是一个不断成长和进步的过程，而在这个过程中，错题是无法避免的。
每个人都会在学习中犯错，错题不仅是学习的一个阶段，更是一个学习的机会。
正确地剖析和纠正错题，对于提高学习效果和发展学习能力至关重要。
本文将探讨错题的剖析与纠正策略，帮助读者更好地应对错题。
首先，正确的剖析错题是解决问题的第一步。
当我们遇到错题时，不要急于寻找正确答案，而是应该先仔细分析错题的原因。
错题的原因可以分为两类：一是知识理解不到位，二是解题方法不当。
对于知识理解不到位的错题，我们需要回顾相关知识点，找出自己的盲区并加以弥补。
而对于解题方法不当的错题，我们需要思考自己的解题思路是否正确，是否存在逻辑漏洞。
通过正确的剖析，我们可以找到自己学习上的问题所在，为下一步的纠正做好准备。
其次，纠正错题需要有针对性的策略。
一方面，我们可以通过查阅参考书籍、资料或者请教老师来弥补知识上的不足。
这些资源可以帮助我们更全面地理解知识点，从而避免再次犯错。
另一方面，我们还可以通过做大量的练习题来提高解题能力。
练习题可以帮助我们熟悉不同类型的题目，掌握解题的技巧和方法。
同时，我们还可以寻找一些解题思路不同的题目，挑战自己的思维方式，拓展解题的思路。
通过有针对性的策略，我们可以逐渐纠正错题，提高学习效果。
此外，及时反馈也是纠正错题的重要环节。
当我们纠正错题后，应该及时检查自己的答案，并对照标准答案进行比对。
通过比对，我们可以了解自己的解题思路是否正确，是否存在漏洞。
如果发现自己的答案错误，我们应该仔细分析错误的原因，并进行相应的调整。
同时，我们还可以将自己的错题和解题过程记录下来，形成一个错题集或者思维导图，方便以后的复习和总结。
及时反馈可以帮助我们及时发现问题，并及时修正，从而加快纠正错题的速度。
最后，要保持积极的心态和良好的学习习惯。
在面对错题时，我们要保持积极的心态，不要过于自责或者灰心丧气。
每个人都会犯错，关键是如何从错误中学习和成长。
剖析错例 反思教学 促进学生有效学习
剖析错例反思教学促进学生有效学习【摘要】这篇文章探讨了剖析错例、反思教学以及促进学生有效学习的重要性和方法。
首先介绍了包括文章背景和研究目的。
接着详细分析了剖析错例对于帮助学生认识错误、提高学习效果的重要性，以及反思教学在引导学生思考、提升学习能力方面的价值。
然后提出了促进学生有效学习的方法，包括利用错例进行案例分析、鼓励学生进行反思等。
结合实际案例进行分析，展示了这些方法的实践应用效果。
最后总结了剖析错例、反思教学和促进学生有效学习之间的关系，并展望了未来研究方向。
文章通过深入探讨这些问题，为教学实践提供了有益的启示。
【关键词】错误案例、反思、教学、学习、有效、促进、剖析、价值、方法、案例分析、实践应用、关系、未来研究方向1. 引言1.1 文章背景现代教育中，学生在学习过程中难免会犯错误。
而如何有效地处理这些错误，帮助学生进行反思和提高学习效果，是每位教师都需要思考和探索的问题。
剖析错例、反思教学以及促进学生有效学习，是三个相互关联的环节，它们之间的有效结合可以帮助学生更快更深入地学习，提高学习效果。
本文旨在探讨剖析错例、反思教学以及促进学生有效学习的关系，希望能够为教师们提供一些有益的启示和方法，从而更好地指导学生学习，实现教育目标。
在当今信息爆炸的时代，教育需要更加注重培养学生的批判性思维和问题解决能力。
通过剖析错例、反思教学，以及促进学生有效学习的方式，可以帮助学生更好地应对各种挑战，提高学习品质和水平。
1.2 研究目的研究目的即为本文的重点所在，通过剖析错例、反思教学以及促进学生有效学习的相关内容，旨在探讨如何提高教学质量，帮助学生更好地掌握知识和技能。
通过深入分析错例和错误思维，可以帮助教师更好地了解学生常犯的错误，并针对性地进行教学改进。
反思教学则是为了让教师反思自己的教学方法和教学策略，以更好地满足学生的学习需求。
促进学生有效学习的方法是为了探讨如何激发学生学习的兴趣和提高学生的学习效果。
错解剖析得真知——对排列组合问题的错解探究
错解剖析得真知——对排列组合问题的错解探究
张丽
【期刊名称】《课外阅读：中下》
【年(卷),期】2012(000)024
【摘要】本文从探究排列组合的基本原理入手，对学生在学习过程中暴露出的错误进行归纳剖析，使学生更好地理解所学知识，提高他们分析问题和解决问题的能力。
【总页数】1页(P189-189)
【作者】张丽
【作者单位】陕西省宝鸡市宝鸡中学,陕西宝鸡721013
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
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错解剖析得真知(三)
错解剖析得真知（三）§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. （2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数. （3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图象：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图象.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数的单调性.错解：是减函数错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.正解：令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，∴是增函数[例2]判断函数的奇偶性.错解：∵＝∴∴是偶函数错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：有意义时必须满足即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断的奇偶性.错解：∵∴且所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵＝＝＝－∴是奇函数方法二：∵＝∴是奇函数[例4]函数y=的单调增区间是_________.错解：因为函数的对称轴是，图象是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是[例5]已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x 的取值范围.错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)= f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3又f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解：由,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},[例6] 作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象.[例7]若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围解：设由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得∴a＞点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.[例8]已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.四、典型习题导练1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )2. （05年高考重庆卷）若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是（）A. B. C. D.（－2，2）3. （05年高考江西卷）若函数是奇函数，则a= .4. （05年高考辽宁卷）已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则（）A. B. C. D..5.已知是定义在R上的奇函数，且当时，＝，求.6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7.已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.。
错误认识剖析材料范文
错误认识剖析材料范文第一篇：错误认识剖析材料范文错误认识剖析材料基本情况：XXX年至XXX年几年间，中央大力实施惠农政策，对农民购置农机（水稻联合收割机、甘蔗提升机等）实行资金补贴。
几年来，XXX 农机局为使上级下达的购机补贴资金及购机任务能顺利完成，多次召开乡镇农机管理员会议，下达任务。
当时，县局只布置工作任务，没有任何工作经费，为促进各乡镇农机管理员工作积极性，由县局领导与XXX农机营销有限公司取得联系，该公司承诺给予各乡镇农机管理员下村宣传发动、下村加油、办公用品费、与村干部就餐费、到县局开会的路桥费、接待厂家人员餐费等工作经费，公司还承诺，群众购买水稻联合收割机每台劳务费XX元、甘蔗提升机每台劳务费XX元给本人，本人共计收取公司给予的XX台水稻联合收割机XX元、XX台甘蔗提升机的补劳务费XX元，共计XX元。
在工作中，本人已正常使用这些费用，共计XXX元。
由于县农机局及公司承诺给劳务费给本人，因此本人没有把此项资金存入农业服务中心账户，XXX年XX月，本人收取公司给予的劳务费受到检察院、及县、乡纪委的调查，本人积极配合，并在XXX年X月X日把收到的劳务费XXX元上缴县检察院。
错误剖析：一是平时疏于学习，我总认为，只要把工作做好，学习无关紧要，殊不知，学习和工作是相辅相成的。
就该项工作，公司虽然承诺给予我劳务费，县局领导也没有反对我拿公司的劳务费，自己却没有认真思考，没有站好立场，没有深入地、系统地、全面地学习相关法律法规，放松夯实理论基础，导致犯了不该犯的错误。
二是为民意识不强，宗旨观念淡薄。
没有真正把群众利益放在第一位，想问题不能从群众利益出发，缺乏事业心和责任感，没有把为人民服务这一宗旨放在首位。
认为收取这点劳务费是理所当然的，是自己付出劳动应该得的，殊不知，作为一名基层农机工作人员，就应该全心全意为人民服务，为群众排除万难，不该拿不是自己的东西。
1 三是主观世界修养不够，思想素质不高。
函数常见错解剖析
函数常见错解剖析广东 郑少藩例1 当k 为何值时，函数2(1)k y k x =-是正比例函数？错解：由21k =得1k =±，所以当1k =±时，函数2(1)k y k x =-是正比例函数． 错因分析：错解中忽略了正比例函数(0)y kx k =≠中隐含条件“0k ≠”，这里应有10k -≠．正解：根据题意可得2110k k ⎧=⎨-≠⎩解得1k =-，所以当1k =-时，函数2(1)k y k x =-是正比例函数．例2 已知y 与1x -成正比例函数，且当5x =-时，2y =，求y 与x 的函数关系式．错解：设y kx =，把5x =-，2y =，代入得25k =-，解得25k =-，于是y 与x 的函数关系式是25y x =-． 错因分析：错解中认为y 与x 成正比例函数．正解：设(1)y k x =-，把5x =-，2y =，代入得2(51)k =--，所以13k =-，于是y 与x 的函数关系式是1133y x =-+．例3 已知一次函数4y kx =+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求此一次函数的解析式．错解：一次函数4y kx =+与y 轴，x 轴的交点分别是(04)，，40k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，因为144162k ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得12k =-，所以一次函数的解析式是142y x =-+． 错因分析：由于4y kx =+与x 轴交点的位置不确定，可能在x 轴正半轴上，也可能在x 轴负半轴上，所以4y kx =+与坐标轴围成的直角三角形的底边（在x 轴上的边）的长度应是4k-，否则容易造成漏解现象．正解：一次函数4y kx =+与y 轴、x 轴的交点分别是(04)，，40k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，图象与两坐标轴围成的三角形的面积是144162k ⨯⨯-=，解得12k =±． 所以一次函数解析式是142y x =+或142y x =-+． 例4 已知函数22()231(001)f x x ax a a x =-+->，≤≤，求函数()f x 的最大值和最小值．错解：2222()231()21f x x a x a x a a =-+-=-+-， ∵2()0x a -≥，∴2()21f x a -≥．∴函数()f x 的最小值为221a -，最大值不存在．错因分析：由22()()2f x x a a =-+就认为()f x 的最小值是221a -，最大值不存在，是不正确的．因为这里函数的定义域是[]01，，而且这里的二次函数()f x 的图象的对称轴()x a =的位置是不确定的．因此，应该讨论直线x a =相对于区间[]01，的各种可能．正解：2222()231()21f x x ax a x a a =-+-=-+-，由0a >知，当1a ≥时，由于()f x 在[]01，上是减函数，故()f x 的最大值为2(0)31f a =-，最小值为2(1)32f a a =-；当01a <<时，()f x 的最小值为2()21f a a =-，()f x 的最大值为(0)f ，(1)f 中的较大者．若(0)(1)f f <，则223132a a a -<-，解得12a <， 所以当102a <<时，()f x 的最大值为2(1)32f a a =-； 当112a <≤时，()f x 的最大值为2(0)31f a =-． 我们把例4再延伸一下：若()f x 的最小值为78-，求其最大值．解析：由217328a a a ⎧⎪⎨-=-⎪⎩≥，，或201174218a a a <<⎧⎪⇒=⎨-=-⎪⎩，．由于1142<<，故此时()f x的最大值为25(1)3216f a a=-=-．评注：在例4中，对a作了两次划分，前者是以1为划分标准，后者是以12为划分标准，这种分类讨论的方法可以保证每一级都不会重复与遗漏．。
查摆剖析的心得体会
查摆剖析的心得体会我们经常要面对一些问题，而想要解决问题必须要先找出问题根源。
而查办剖析便是一种非常重要的方法，因为如果我们能正确地进行查办剖析，就能更快地找到问题的症结所在，才能更有效地解决问题。
在我的实践中，我深深地体会到，查办剖析对于解决问题至关重要。
首先，查办剖析能够帮助我们深入了解问题背后的复杂性。
很多时候，我们面对的问题是看起来非常简单的，但是深入研究后，我们就会发现问题远比看起来的样子要复杂得多。
对于这些问题，我们必须要使用查办剖析的方法来深入了解，才能够找到问题的关键所在。
只有真正弄懂了问题的复杂性，我们才能制定出更为准确的应对方案。
其次，查办剖析能够帮助我们找到问题的核心。
有时候，在复杂问题中，我们往往容易分心，对一些次要或者不重要的问题过分关注，而忽略了问题的核心所在。
而查办剖析，通过逐层深入、逐步分析，能够帮助我们更快地找到问题的核心所在，从而更加有针对性地解决问题。
第三，查办剖析能够促进我们的自我反思。
很多时候，我们会出现各种各样的问题，但是我们往往很难从自己的内心找到问题的症结。
这时候，我们可以借鉴查办剖析的方法，对自己进行深入的剖析，从而找到问题所在。
这种自我反思，不仅能够帮助我们解决问题，还能够帮助我们更好地认清自己，提升自我修养和能力。
最后，查办剖析不仅可以帮助我们解决问题，还能够让我们在以后的实践中更加得心应手。
通过对问题的深度剖析，我们不仅能够解决当前的问题，还能够提升我们的应对能力。
在以后的实践中，我们遇到问题时就能够更加从容地应对，迎难而上，获得更好的成果。
总之，查办剖析是一种非常重要的方法，它能够帮助我们解决问题、提高自我反思能力、增强应对能力等等。
希望通过今天的分享，大家也能够更好地掌握这一方法，更加顺利地应对各种问题。
剖析错误,对症下药_1
剖析错误，对症下药
为了有效地提高学生的计算能力，我尝试让学生利用“错题本”收集自己的错误，分析错误的原因，并在错题本上写出正确解法、注意事项等，取得了较好的效果。
以下是我将学生收集的错误进行分类分析，并根据不同的“病因”开出的“处方”。
一、知识方面的原因产生的错误
1.概念不明确，算理不理解。
在小学数学计算教学中，主要是以数的概念和运算法则为基础，如果学生对数的概念和运算法则掌握得不好，理解得不够透彻，那么就难免在计算中出现这样、那样的错误。
[案例1]700÷200=3 (1)
这位学生受乘法分配律思维定势的负面影响，出现了运算顺序的错误。
克服心理定势，关键是培养学生良好的计算习惯，因为计算比较枯燥，规律性比较强，平时做的较多，学生自信心十足，计算时会不看题目，拿笔就做。
所以，要严格要求学生做到“三个一致”：书上或黑板上题目抄到作业本上时要一致；横式与竖式答案要一致；计算步骤与规定运算顺序要一致。
作业时切实做到认真书写、细心审题、正确估算、认真计算、仔细验算，从而提高计算的速度和正确率。
2.注意力发展不完善的影响。
注意是指心理活动对一定对象的指向与集中。
也就是说，当人们的心理活动有选择地指向一个对象，而不理会其余对象时，这就是注意。
而小学生在注意的广度、稳定性、转移和分配上发展都很不完善。
他们在观察式题中抽象的数字、运算符号时往往只注意到一些孤立的现象，不能看出它们之间的联系，对事物的观察缺乏整体性，而且注意力集中的时间很短暂。
因此，常发生抄错数字、写错符号以及漏写数字等所谓的粗心错误。
[案例5]
546×34=25504。
剖析错例 反思教学 促进学生有效学习
剖析错例反思教学促进学生有效学习
在教学过程中，教师需要及时对学生的错误例进行剖析，通过反思教学方法来促进学生的有效学习。
以下是对错误例的剖析和反思教学的一些方法：
剖析错误例需要对学生的思维过程进行分析。
学生犯错的原因可能是由于对知识点理解不够深入，或者是因为对知识点掌握不够牢固导致的。
通过仔细地剖析错误例，可以清晰地发现学生理解和掌握知识的薄弱环节，从而有针对性地进行教学。
剖析错误例需要对学生的错误思维进行引导和纠正。
在剖析错误例的过程中，教师可以通过提问的方式引导学生分析错误思维的根源，并帮助他们找到正确的解决办法。
教师还可以通过给出正确的例子，让学生对比分析，找出错误的原因，从而引导他们纠正错误思维，建立正确的学习观念。
剖析错误例需要及时反馈，鼓励学生不断改进。
在剖析错误例的过程中，教师需要及时给出反馈，鼓励学生不断改进。
教师还可以设置一些错误例分析的任务，让学生根据自己的经验和知识对错误例进行剖析，并提出改进的方法，从而促进学生主动学习和思考，提高他们的学习能力。
剖析错误例并不是简单地指出学生的错误，而是应该通过深入分析和引导，促使学生发现错误的原因，并帮助他们建立正确的学习观念和方法。
通过及时的反馈和鼓励，可以激发学生的学习兴趣，促进他们不断改进，提高学习效果。
这对于促进学生的有效学习具有重要的意义。
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错解剖析得真知（四）
§2.3基本初等函数
一、知识导学
1.二次函数的概念、图象和性质.
（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式
二次函数的顶点式和
二次函数的坐标式
（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图象，很多二次函数都用数形结合的思想去解.
①，当时图象与x轴有两个交点.
M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=.
②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.
2.指数函数和对数函数的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①；②；③（这时m,n是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式.
；
（2）指数函数的图象、单调性与特殊点.对数函数的图象、单调性与特殊点.
①指数函数图象永远在x轴上方，当a＞1时，图象越接近y轴，底数a越大；当0<a<1时，图象越接近y轴，底数a越小.
②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.
③当a>1时，图象越接近x轴，底数a越大; 当0<a<1时，图象越接近x轴，底数a越小.
3.幂函数的概念、图象和性质.
结合函数y=x,y=x2 ,y=x3,y=,y=的图象，了解它们的变化情况.
①＞0时，图象都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；
注意＞1与0<＜1的图象与性质的区别.
②＜0时，图象都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图象向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x>1时，指数大的图象在上方.
二、疑难知识导析
1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图象.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内
2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：
（1）式子＝，
（2）
3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.
4.函数的研究方法一般是先研究的性质，再由的情况讨论的性质.
5.对数函数与指数函数互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.
6.幂函数的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响.
（1）当时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当
时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.
三、经典例题导讲
[例1]已知求
错解：∵∴
∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
正解：∵∴
∴
[例2]分析方程（）的两个根都大于1的充要条件.
错解：由于方程（）对应的二次函数为
的图象与x轴交点的横坐标都大于1即可.
故需满足，所以充要条件是
错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图象与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.
正解：充要条件是
[例3]求函数的单调区间.
错解：令，则＝
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.
正解：令，则为增函数，
＝＝
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为
[例4]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
错解：∵是由，复合而成，又＞0∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
正解：∵是由，复合而成，又＞0∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于在[0，1]上时有意义，又是减函数，∴＝1时，
取最小值是＞0即可，∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2
[例5]已知函数.
（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.
分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，
显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜
∴的取值范围是（0，1）∪（1，）
(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1
∴＝此时
当时，没有意义，故这样的实数不存在.
点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.
[例6]已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).
点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表
现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.
[例7]若，试求的取值范围.
解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系
① ② ③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为
，从而导致解题错误.
[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x － )
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2
) < 0 ,求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=log a x(t∈R)，则
f(x)在R 上都是增函数.
点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会.
四、典型习题导练 1. 函数
的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（05年高考福建试题）
2.已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则的值为（）
A.1
B.4
C.1或4
D.4 或 8
3.方程 (0<a<1)的解的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
4.函数f(x)与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,则f(4－x2)的单调递增区间是 ( ）
A. B. C. D.
5.图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n可取±2，±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B．2，，－，－2
C. －，－2,2，
D. 2，，－2, －
6.求函数y = log 2 (x2－5x+6) 的定义域、值域、单调区间.
7. 若x满足 ,求f(x)=最大值和最小值.
8.已知定义在R上的函数为常数
（1）如果＝，求的值；
（2）当满足（1）时，用单调性定义讨论的单调性.。