七年级数学专题-----规律探究题

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(完整)七年级数学专题规律探究题

七年级数学专题-----规律探究题题型一：数字变化类问题1 •观察下列按顺序排列的等式：引二1-*，2誌-書，巧€ 一+，4冷一+ 试猜想第n个等式（n为正整数）：a n= ______________________ .2. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是____ .1 2 3 5 8 13 a-2 3 5 8 13 21 34 …3. ___ 观察下面的单项式：a,- 2a2, 4a3,- 8a4, ••根据你发现的规律，第8个式子是.4. 有一组等式：1222 3232,22326272,32 42 122132,4252202212……请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为__________5. 把奇数列成下表，13113213L59152333111725h-itn! ■ b ■2737—39——根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。

而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。

已知二进十进位制0123456• • •请将二进制数10101010（二）写成十进制数为_______ .6 •观察下列各数，它们是按定规律排列的，则第n个数是15 3116?眈'7.观察一列单项式：1x, 3x2, 5x2, 7x, 9x2, 11x2,…，则第2013个单项式是8•有这样一组数据a i, a2, a3, •• a,满足以下规律：且I三・❻尸—-—3 勒二 ~-—j …，且—-------- （n多且n为正整数）,贝U宠。

1312 1 _ J1 _a2n1 - a n_ L的值为________ （结果用数字表示）.9. 观察下列各式的计算过程：5X 5=0X 1 X 100+25,15X 15=1X 2X 100+25,25X 25=2X 3X 100+25,35X 35=3X 4X 100+25,请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为_____________________________ 10. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M与m、n的关系是A. M=mnB. M=n（m+1）C. M=mn+1D. M=m（n+1）11. 观察下列等式：31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187… 解答下列问题：3+32+33+3仃+32013的末位数字是（）A. 0B. 1C. 3D. 712. ____________________________________________ 如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是_______________________________ .13. 将连续正整数按以下规律排列，则位于第 7行第7列的数x 是85篦一如邕二苑董三列策囚列篝三到邕七扪・・・第一行 136 10 1521 n 重二行 2 5 9 14 20 27 :第三行 413 15--- ■策四行712 1$25■・■11 17 2415 23 ■ ■•2215•电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD 中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“ 3”表示它的周围八个方块中仅有 3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ___________________________ .（请填入方块上的字母）16. 如图，在△ ABC 中，/ A=m°，/ ABC 和/ACD 的平分线交于点 A,得/ A;/ ABC 和/ACD 的平分线交于点 A ，得/ A;…/A2012BC 和/A 2012CD 的平分线交于点 A ?013，贝 A 2013= ______ 度。

难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)(解析版)-初中数学北师大版7年级上册

第10讲难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)目录【类型一有理数中新定义型的有关运算】......................................................................................................1【类型二一列数中的规律探究问题】..............................................................................................................5【类型三计算中的规律探究问题】..................................................................................................................8【类型四数轴上的规律探究问题】. (12)【类型一有理数中新定义型的有关运算】1．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）设a ，b 为自然数，定义22a b a b ab ∆=+-，则()()3445∆+-∆的值（）A ．34B ．58C ．74D ．98【答案】C【分析】由22a b a b ab ∆=+-，可知()()()()2222343445453445∆+-=+-⨯+∆+---⨯，计算求解即可．【详解】解：∵22a b a b ab ∆=+-，∴()()()()222243343445474545=+-⨯+-∆+--⨯+=∆-，【类型二一列数中的规律探究问题】【类型三计算中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则202221-的个位数字是（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到202221-的个位数字．【详解】解：由1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……可知计算结果中的个位数字以1375、、、为一个循环组依次循环，∵202245052÷=⋯，∴202221-的个位数字是3，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．【变式训练】1．（2022秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，…．通过观察，用你发现的规律确定20232的个位数字是（）A ．2B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．【详解】解：继续计算：5678232, 264, 2128, 2256====，…，显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，而202345053=⨯+，所以20232的个位数字是8；故选：C ．【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（）A ．3B ．9C ．7D ．1【答案】A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，37=2187，末位数字为7，38=6561，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，【类型四数轴上的规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k 0处，第一步从k 0向左跳一个单位到k 1，第二步从k 1向右跳2个单位到k 2，第三步由k 2处向左跳3个单位到k 3，第四步由k 3向右跳4个单位k 4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k 0表示的数是（）A ．0B ．100C ．50D ．﹣50【答案】D【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可知：10210320(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)k k k k k k k k =+-=++=+-++=+-=+-+++-……0(1)(2)(3)...(1)n nk k n=+-+++-++-当n =100时，1000000(1)(2)(3) (100)(12)(34)...(9910015050k k k k k =+-+++-+++=+-++-+++-+=+⨯=+=）∴050k =-故选D ．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键．【变式训练】【答案】1516-【答案】1027。

2021年七年级数学下册期末综合专题训练：专题04 实数的规律探究(含答案及解析)(人教版)

2020-2021学年七年级数学下册期末综合专题训练（人教版）专题04 实数的规律探究【专题训练】一、选择题1．观察下列各式，发现规律：111233+=， 112344+=， 113455+=，（1）填空：146+= ，157+= ；（2）计算（写出计算过程）：120172019+；（3）请用含正整数n 的代数式把你们所发现的规律表示出来.【答案】（1）114566+=，115677+=；（2）120182019；（3）()112n n ++. 【解析】【分析】（1）先通分，然后把分子中两数的积运用平方差公式变形，再根据二次根式的性质化简即可；（2）与（1）的步骤相同；（3）与（1）的步骤相同.【详解】（1）()()2515111461514566666-++⨯++====， ()()2616111571615677777-++⨯++====；（2）11 2017201820192019+=，原式()()20181201811 20172019120192019-++⨯+==220181201820192019 ==；（3）()()()22111112222n n nn nn n n n++++===+++++.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，平方差公式，通分后能运用平方差公式变形是解答本题的关键. 2．观察下列材料各式：①284222 242 55555⨯-===⨯=即22 2255 -=②3279333 393 1010101010⨯-===⨯=即33 331010 -=……（1）按照发现的规律填空4417-=.（2）按此规律，第6个等式是.写出你的推理过程.（3）请用含自然数n（n>0）的式子写出你发现的规律；.【答案】（1）4417；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据算术平方根的概念进行计算；（2）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果；（3）根据给出各式的计算过程和结果，总结规律．【详解】（1）观察所给的式子可得： 44441717-=. 故答案为4417. （2）按此规律，第6个等式是77775050-=. 73507343497777.505050505050⨯-=-=== 即：77775050-=. （3）第n 个式子为:()221111.1111()()n n n n n n +++-=+++++ 【点睛】本题属于规律型，数字的变化类，根据数据前后的变化得出变化的规律是解题的关键.3．先观察下列等式，再回答下列问题：①2211111111121112++=+-=+； ②2211111111232216++=+-=+ ③22111111113433112++=+-=+ (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想2211145++的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n +1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)2211 145++=1+14−141+=1120，验证：2211145++=1111625++=25161400400++=441400=1120 (2)()2211 1n n 1+++=1+1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，即2a a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.4．阅读理解．观察下列变形：13142⨯+==；24193⨯+==；351164⨯+==；…解答下列各题：(1)填空：7 9 1( )⨯+==________；22241( )⨯+==________；31331( ) ⨯+==________．(2)请用含n (n 为正整数)的等式反映上述变形的规律．【答案】（1）64，8；529，23；1024，32；（2）(2)11n n n ++=+【分析】（1）根据实数的性质即可化简求解；（2）根据（1）中的式子发现规律即可写出等式．【详解】解：(1)根据题意得791648⨯+==；22241529⨯+=＝23；313311024⨯+==32，故答案为：8，23，32；(2)根据题意得()2(2)11n n n ++=+＝|n ＋1|＝n ＋1 即(2)11n n n ++=+．【点睛】此题主要考查实数的性质及规律探索，解题的关键是熟知实数的性质．5．（探究）用“＞”、“＜”、“≤”、“≥”或“＝”填空，并探究规律：（1）4+5 245⨯；（2）3+14 2134⨯；（3）1+12 2112⨯；（4）a +1 221（a ＞0）．（发现）用一句话概括你发现的规律：；（表达）用符号语言写出你发现的规律并加以证明；（应用）若a ＞0，求a +1a的最小值．【答案】探究：（1）＞，（2）＞，（3）＞，（4）≥；发现：两个正数的和大于等于这两数乘积的算术平方根的2倍；表达： a +b ≥2ab ，a ＞0，b ＞0）；应用：2【分析】﹝发现﹞根据前面4个填空题即可得出规律；﹝表达﹞将这两个数表示为a 、b ，得到关系式即可；﹝应用﹞利用公式代入计算即可得到答案.【详解】﹝发现﹞通过计算即可完成，故答案为＞，＞，＞，≥；﹝表达﹞故答案为：两个正数的和大于等于这两数乘积的算术平方根的2倍；故答案为：a +b ≥2ab （a ＞0，b ＞0）； ﹝应用﹞由归纳的公式可知，1122a a a a +≥⨯=， ∴1a a+的最小值是2．【点睛】此题考查代数式类规律的探究，根据所给例子总结得出此式子的规律是解题的关键.6．观察下列各式及其变形过程：11112212a ==-+ 2111233223a ==-+ 3111344334a ==-+ （1）按照此规律，写出第五个等式5a = ；（2）按照此规律，若123···n n S a a a a =++++，试用含n 的代数式表示n S ．【答案】（1）1156-；（2）111n S n =-+．【分析】（1）根据上述的规律第五个等式a 5=1156-；（2）根据（1）总结得到的规律，用含n 的等式表示a n ，然后计算S n ，抵消合并后，即可得到S n =111n --；【详解】解：()511156a =- 故答案为：1156- ()2用含字母n （n 为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为 ()111111n a n n n n n n ==-++++ 123···n n S a a a a ∴=++++11111111?··223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+ 【点睛】此题考查了分母有理化，属于规律型题，根据题意找出一般性规律是解本题的关键． 7．观察例题：∴479<<，即273<<，∴7的整数部分为2，小数部分为(72)-．请你观察上述的规律后试解下面的问题：（1）如果2的小数部分为a ，22-的小数部分为b ，求221a b +-的值．（2）已知a 是173-的整数部分，b 是173-的小数部分，求（﹣a ）3+（b +4）2的平方根．【答案】（1）1；（2）±4【分析】（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可；（2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可．【详解】（1）124<< 即122<<0221∴<-<， ∴2的整数部分为1，小数部分为()21-，22-的小数部分是22-， 21,22a b ∴=-=-， ()()22122122211a b ∴+-=-+--=；（2）161725<< 即4175<<11732∴<-< ∴173-的整数部分为1，173-的小数部分为1731=174---1,174a b ∴==-，()()()()232341174411716a b ∴-++=-+-+=-+=， ()()324a b ∴-++的平方根为：4±．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键．8．观察下列等式： 12-12-121212-1（）（） 13-23-232323-2（）（） 14-34-343434-3（）（）回答下列问题：（1）化简：120202019（无需化为最简二次根式）（2）化简：1n 1n （n 为正整数）（3）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：111111223342018201920192020 【答案】（1）20202019 （2）1n n +- （3）2020-1【分析】（1）根据已知得出式子变化规律写出答案即可；（2）进而由（1）的规律得出答案；（3）利用发现的规律化简各式进而求出即可．【详解】解：（1）12020201920202019；故答案为：20202019；（2）111n n n n =+-++；(n 为正整数）；故答案为：1n n +-；（3）111111223342018201920192020 2132432019201820202019 20201．【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确发现式子中变化规律是解题关键．9．观察等式：3333,22+=2422,33⨯+=5555,44+=⋅⋅⋅．（1）请用含n （3n ≥的整数）的式子表示出上述等式的规律；（2）按上述规律若10109a ab +=，则a b +=________；（3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律．【答案】（1）11n n n n n n +=--（3n ≥的整数）；（2）109+；（3）111111111010+=（答案不唯一）【分析】（1）根据已知等式，找出等式规律，然后总结公式即可；（2）根据（1）中规律，即可求出a 和b 的值，然后代入即可；（3）根据（1）中规律，再写一个等式，然后验证即可．【详解】（1）第一个等式：3333,22+=即333,31331+=-- 第二个等式：2422,33⨯+= 即4444,1441⨯+=-- 第三个等式：5555,44+=即5155,1555+=-- ∴用含n （3n ≥的整数）的式子表示为：11n n n n n n +=--（3n ≥的整数）．（2）根据题意得1010101099+=，则10,a =9b =，即109a b +=+ 故答案为：109+．（3）此等式可以为：111111111010+=（答案不唯一），验证如下： 1110111111111110101010+=+=（此时n =11）．【点睛】此题考查的是探索规律题，根据已知等式找出规律，并归纳公式是解决此题的关键． 10．先判断下列等式是否成立，再回答问题. ①2211111122++=； ②2211111236++=； ③22111113412++=.(1)试猜想2211145++=______. (2)按照上述各式反映的规律，试用含n 的式子表示这一规律（n 为正整数）.【答案】等式成立，（1）1120；(2) 2211111+(1)(1)n n n n ++=++. 【分析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n +1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子【详解】等式成立.（1）2211145++=1120，理由是：2211145++=1251611++=4411625=⨯1120；（2）2211111111(1)1(1)n n n n n n ++=+-=++++. 【点睛】此题考查了实数有关运算的规律问题，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．。

北师大版数学七年级上册第三章整式的加减复习课探究与表达规律专题课件

类型三：图形类规律问题
3.下列图形都是由相同的小正方形按照一定的
规律摆放而成的，照此规律下去，第20个图
中小正方形的个数为
.
课堂小结：
通过本节课的学习你有哪些新的收获
与体会？
课堂达标检测
1.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火
柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照图形的规
律,摆第(n)个图,需用火柴棒的根数为
则a2021的值为
.
方法归纳：
.
类型二：数式类规律问题
2.观察下列各式，完成问题.
1＋3＝4＝22,
1＋3＋5＝9＝32,
1＋3＋5＋7＝16＝42,1＋3＋5＋7＋9＝25
＝52，……
(1)仿照上例，计算：1＋3＋5＋7＋…＋99
＝ 2500 ；
类型二：数式类规律问题
2.观察下列各式，完成问题.

3.一组数，

−
4 3 6 5
8 7
，，− …按一定的
5
7
9
规律排列，请你根据排列规律，推测这组数
20 19
的第10个数应为 − 21.
方法归纳：
.
类型二：数式类规律问题
1.已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:a1=0,
a2=-|a1+1|,a3=-|a2+2|,a4=-|a3+3|,…依次类推,
为
.
课堂达标检测
答案：
1.6n+2;
2. − ;
3.5(2n-1)×5（2n-1）=100n(n-1)+25.

1.一组数，，，…按一定的规律排列，请

第六章几何图形初步单元复习专题几何中的一些规律探究 -2025学年人教版数学七年级上册

角平分线的概念及性质
（1）概念：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线. （2）性质：一个角的角平分线把这个角分成相等的两个角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，且 ∠AOC=30°，∠BOC=20°．
请计算：∠AOB= 50° ，∠EOF= 25° ，
2、要求：
小组合作完成，每个小组交一份作业，要求写在一张A4纸上或材料纸上，并写上小组序号和成员名字，作业获得A可以加6分并贴在教室里展示，获得B可以加4分，获得C可以加2分。
余角和补角的概念及性质
（1）概念：一般地，如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角.
类似地，如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角.
（2）性质:同角(等角)的余角相等. 同角(等角)的补角相等.
2.如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠COD=30°
（1）概念：若点M把线段AB分成相等的两条线段 AM和BM，点M叫做线段AB的中点.
（2）性质：线段的中点把线段分成相等的两段.
3.如图,已知PA=4,PB=2,且E为PA中点,F为PB中点，
请计算：AB= 6 ，EF= 3 ，EF= 1 AB. 2
如图，已知P为线段AB上的任意一点，且E为PA中点，F为PB中点，
请计算：∠AOB= 150°，∠COD+∠AOB= 180°.
D
C
A
O
B
(1)如下图，已知∠AOC=∠BOD=90°，猜想：∠COD与∠AOB的数量关系，并说明理由.
D
C
A

七年级数学上学期期末考试真题汇编(人教版)探究与表达规律(八个考点) 专题讲练(解析版)

专题04 探究与表达规律（八个考点）专题讲练1、知识储备考点1. 数列的规律考点2. 数表的规律考点3..算式的规律考点4. 图形的规律（一次类）考点5 图形的规律（二次类）考点6. 图形的规律（指数类）考点7. 程序框图考点8. 新定义运算2、经典基础题3、优选提升题1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：1）数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.2）等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系.4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.5）数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.2. 常见的数列规律：1）1，3，5，7，9，… ，21n-（n为正整数）．2）2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．3）2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．4）2，6，12，20，…，(1)n n+（n为正整数）．5）x-，x+，x-，x+，x-，x+，…，(1)n x-（n为正整数）．6）特殊数列：①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n+.②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.考点1. 数列的规律【解题技巧】①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为(1)n -或1(1)n --或1(1)n +-；②数字规律：数字规律需要视题目而确定；○3字母规律：通常字母规律是呈指数变换，常表示为：n a 等形式。

例1．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依次出现的规律，则第n 个数是_____________．【答案】(2)1n -+【分析】所给的数可转化为：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…据此即可得第n 个数，从而可求解．【详解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，∵第奇数个数为：1-2n ；第偶数个数为：1+2n ；∵第n 个数为：()21n-+．故答案为：()21n-+．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律．变式1．（2022·云南红河·八年级期末）一组按规律排列的单项式3a 、5a 2、7a 3、9a 4……，依这个规律用含字母n （n 为正整数，且n ≥1）的式子表示第n 个单项式为_______ 【答案】(21)n n a +【分析】找出前3项的规律，然后通过后面几项验证，找出规律得到答案．【详解】解：3a ＝（2×1+1）a 1，5a 2＝（2×2+1）a 2，7a 3＝（2×3+1）a 3，… 第n 个单项式是：（2n +1）an ．故答案为：（2n +1）an ．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是找出前几项的规律，然后验证，最后得到规律．变式2．（2022·山东烟台·七年级期末）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，第n 个单项式是（） A ．()211nn x -- B ．()1211n n x -+-C ．()1211n n x ---D ．()211nn x +-【答案】B【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n 个单项式即可．【详解】解：∵3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，∵系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n -1,指数的规律为2n +1，∵第n 个单项式为()1211n n x -+-，故选：B ．【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．考点2. 数表的规律【解题技巧】例1. （2022•绵阳市七年级期中）将正奇数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 ………2725若2021在第m 行第n 列，则m +n ＝（） A ．256B ．257C ．510D ．511【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，根据2021在正奇数中的位置来推算m ，n ．【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，其次，奇数可以用2x ﹣1表示，当x ＝1011时，2x ﹣1＝2021，即2021是排在第1011个位置．在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4＝252•••••••3，因此2021应该在第253行，第4列，即m ＝253，n ＝4．∴m +n ＝257，故选：B ．变式1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a ，b ）表示第a 行，从左至右第b 个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（）A ．115B ．114C ．113D ．112【答案】A【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，得出a，b的值分别为（）A．9，10B．9，91C．10，91D．10，110【解题技巧】算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。

七年级数学上册 1.2 数轴、相反数和绝对值专题训练 (新版)沪科版

专题一与相反数和绝对值有关的规律探究题1．将1，-21，31，-41，51，-61，……按一定规律排列如下：第1行1 第2行-21 31 第3行-41 51 -61 第4行71 -81 91 -101 第5行111 121 131 -141 151 …… 请你写出第20行从左至右第10个数是 .专题二利用数轴、绝对值解决实际问题2. 如图，检测10个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足的克数记为负数，若设一个排球的标准质量为265克．从轻重的角度看，哪个排球与标准重量偏差最大？3. 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行使，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．现在一个轨道长为180 cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为40 cm，B到右挡板的距离为50 cm，A、B两球相距30 cm．（1）在数轴上，A球在坐标原点，B球代表的数为30，找出C球及右挡板E代表的数．（2）碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10 cm的速度向右匀速运动，问多少秒后B球第二次撞向右挡板E？（3）在前面的条件下，当3个钢球运动的路程和为6 m时，哪个球正在运动？此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是什么？状元笔记【知识要点】1. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．2. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0．3. 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离.即若a 是有理数，则| a |就是数轴上表示“a ”的点与原点“0”的距离.【温馨提示】1. ①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.②正数可用原点右边的点表示，反过来, 原点右边的点都表示正数；负数可用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；零用原点表示，反过来，原点表示零.2.（1）“只有”意味着除符号外，其后面的数字应是相同的. 如＋4和－3不是互为相反数；“互为”的含义是指相反数是成对出现的，如4是－4的相反数，反过来，－4是4的相反数．（2）互为相反数的两数在数轴上的位置是很有特点的：①在原点两旁，②与原点的距离相等．3. 求一个数a 的绝对值，就是求它到原点的距离．因为距离不能是负数，所以任何一个数的绝对值都是非负数，即对于有理数a ，0a ≥．【方法技巧】1. 求一个数的绝对值和相反数可以借助数轴形象、直观地解题；2. 利用相反数的意义化简式子时，若含有多重符号，最后结果的符号只与这个数前面的负号个数有关，若负号的个数是偶数时，则最后结果符号为正；若负号的个数为奇数时，则最后结果符号为负. 如遇到绝对值问题，要先去绝对值符号，再用前面的方法化简.参考答案1．-2001 解析：题中的正负号可暂时不考虑，因为当你找到的数若分母是偶数则带负号，若分母是奇数时，则带正号.这些数字第一行1个数,第2行2个数,…所以第1到20行共1+2+3+…+20=210个数,即第20行的最后一个数为2101-,所以第20行从左到右第10个数,可从第20行去掉后面的10个数而得到,即为-2001. 2. 解：根据图形可得与标准质量的差的绝对值最大为3.5，所以与标准质量相差为-3.5的球偏差最大.3. 解：（1）依题意得：AC=180-40-30-50=60，AE=80，又∵C在负半轴，∴C代表-60，E代表+80．（2）依题意得T=（180×2+80）÷10=44（秒）．（3）当3个钢球运动的路程和为6米时，C球正在运动，此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是-60，30，-80．。

易错07 整式中的规律探究问题(原卷版)-七年级数学上册期末突破易错挑战满分(人教版)

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年七年级数学上册期末突破易错挑战满分（人教版）易错07 整式中的规律探究问题【易错1例题】数字问题的规律探究问题 1．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；… 青解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：5a =______________．（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：n a =______=_______（n 为正整数）；（3）求12100a a a ++⋅⋅⋅+的值．【易错2例题】图形问题的规律探究问题2．（2020·浙江七年级期末）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）对于方式一、方式二，4张桌子拼在一起分别可坐多少人？（2）对于方式一、方式二，n 张桌子拼在一起分别可坐多少人？（3）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？【专题训练】一、选择题1．（2021·日照市新营中学七年级期中）观察下列各式数：−2x ，4x 2，−8x 3，16x 4，−32x 5，…则第n 个式子是 ( ) A ．−2n −1x nB ．(−2)n −1x nC ．−2n x nD ．(−2)n x n2．（2021·云南西双版纳·七年级期末）有一列按一定规律排列的式子：﹣3m ，9m ，﹣27m ，81m ，﹣243m ，…，则第n 个式子是（） A ．（﹣3）n mB ．（﹣3）n +1mC ．3n mD ．﹣3n m3．（2021·河南周口市·七年级期中）如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要10根小棒，图案②需要16根小棒，图案③需要22根小棒，技此规律摆下去，第n 图案需要小棒多少根？（） ①，②，③，… A ．46n +B ．82n +C ．62n -D ．64n +4．（2021·四川达州市·八年级期末）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为（）A ．180B ．183C ．186D ．190二、填空题5．（2021·河南周口市·七年级期中）观察一组关于x 的单项式：3x ，25x -，37x ，49x -，…．按照排列规律，第n 个单项式是______．6．（2021·云南临沧市·八年级期末）观察下列一组代数式：a ，2345,,,3579a a a a ，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个代数式为 ___．7．（2021·辽宁朝阳市·七年级期末）观察下列图形：第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈…，按此规律排列，则第n 个图形中小圆圈的个数是_________．8．（2021·山东七年级期末）如图是用棋子摆成的“H ”，摆成第一个“H ”需要7个棋子，第二个“H ”需要棋子12个；按这样的规律摆下去，摆成第2021个“H ”需要__个棋子．三、解答题9．（2021·浙江七年级期末）一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝﹣1，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＝111n a --．（1）求a 2，a 3的值；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a 2021的值．10．（2021·安徽合肥市五十中学新校九年级二模）观察下列等式：第1个等式：()2311131⨯+=⨯+；第2个等式：()2322261⨯+=⨯+；第3个等式：()2333391⨯+=⨯+；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：______；（2）写出你猜想的第n 个等式：______（用含n 的等式表示），并证明．11．（2020·吉林七年级期末）某展览馆选用规格为60×60cm2（边长为60cm的正方形）的黑白两种颜色的大理石地砖，按下图的方式铺设通向展厅的走廊地面．（1）依据上图规律，第n个图形中需要黑色大理石地砖块；（2）铺设完毕后，施工人员发现整个走廊地面恰好是符合上图规律的一个完整图形，且用去的黑色大理石地砖是白色大理石地砖的512，求走廊的长度．12．（2020·浙江杭州·七年级期末）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔观察，并回答下列问题：（1）第5个图案中有白色纸片多少张？（2）第n个图案中有白色纸片多少张？（3）第几个图案有白色纸片有2020张？（写出必要的步骤）13．（2021·石家庄市第四十四中学）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．（1）求x y+的值．（2）若30n=，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？（3）用含n（n为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．14．（2021·河北七年级期末）下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：（1）第4个图形中共有_______根火柴，第6个图形中共有_______根火柴；（2）第n个图形中共有_______根火柴（用含n的式子表示）；（3）请判断上组图形中前2021个图形火柴总数是2021的倍数吗？请说明理由．（参考：()11232n nn+⨯++++=，例如求解()1991239452+⨯++++==）15．（2021·河南郑州·）用火柴棒按图中的方式搭图形：按图示规律填空：图形标号①②③④⑤火柴棒根数5913a b（1）a=__________，b=__________；（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示）（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．。

部编数学七年级上册专题04有理数运算中的规律探究(解析版)含答案

专题04 有理数运算中的规律探究1．观察下列等式：第1个等式：111111323a æö==´-ç÷´èø第2个等式：2111135235a æö==´-ç÷´èø第3个等式：3111157257a æö==´-ç÷´èø第4个等式：4111179279a æö==´-ç÷´èø……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：5a =________=_______(2)用含有n 的式子表示第n 个等式：（n 为正整数）n a =______=_______(3)求12341000a a a a a ++++¼+的值．【答案】(1)1911´，1112911æö´-ç÷èø(2)()()12121n n -´+，11122121n n æö´-ç÷-+èø(3)100201【解析】【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可；（2）根据所给的等式，进行总结可得出规律；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．(1)解：观察等式找到规律，第5个等式为： 511119112911a æö==´-ç÷´èø故答案为：1911´，1112911æö´-ç÷èø(2)解：Q 第1个等式：111111323a æö==´-ç÷´èø第2个等式：2111135235a æö==´-ç÷´èø第3个等式：3111157257a æö==´-ç÷´èø第4个等式：4111179279a æö==´-ç÷´èø第5个等式：511119112911a æö==´-ç÷´èø……第n 个等式：()()1111212122121n a n n n n æö==´-ç÷-´+-+èø故答案为：()()12121n n -´+，11122121n n æö´-ç÷-+èø(3)解：12341000a a a a a ++++¼+=11123æö´-ç÷èø+111235æö´-ç÷èø+111257æö´-ç÷èø…+1992011112æö´-ç÷èø11111112335199201æö=-+-+×××+-ç÷èø1112201æö=-ç÷èø12002201=´100201=【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．2．先阅读下列式子的变形规律：111122=-´；1112323=-´；1113434=-´；1111111113111223342233444++=-+-+-=-=´´´然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】(1)类比计算：1910=´______，120192020=´______，归纳猜想：若n 为正整数，那么猜想()11n n =+______．(2)知识运用，选用上面的知识计算111112233420192020++++´´´´LL 的结果．(3)知识拓展：试着写出111113355779+++´´´´的结果．【答案】(1)11910-；1120192020-；111n n -+(2)20192020(3)49【解析】【分析】（1）根据题意分解形式求解即可；（2）根据式子规律求解即可；（3）将113´分解成11123æö-ç÷èø的形式，其余各式比照该分解形式进行分解，然后求和计算即可．(1)解：由题意知111910910=-´1112019202020192020=-´()11111n n n n =-´++故答案为：11910-；1120192020-；111n n -+．(2)解：1111······+12233420192020+++´´´´1111111111 (223342018201920192020)=-+-+-++-+-211200=-20192020=(3)解：111113355779+++´´´´11111111111123235257279æöæöæöæö=-+-+-+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø11111111123355779æö=-+-+-+-ç÷èø11129æö=´-ç÷èø49=【点睛】本题考查了数字类规律的探究．解题的关键在于概括出分解运算规律．3．（1）观察下列各式：123456733,39,327,381,3243,3729,32187,=======L1234561313,13169,132197,1328561,13371293,134826809,======L根据你发现的规律回答下列问题：①20223的个位数字是___________；9913的个位数字是___________；②9943的个位数字是___________；5543的个位数字是___________；（2）自主探究回答问题：①997的个位数字是___________，557的个位数字是___________；②9952的个位数字是___________，5552的个位数字是___________．（3）若n 是自然数，则9955n n -的个位上的数字（）A ．恒为0B ．有时为0，有时非0C ．与n 的末位数字相同D ．无法确定【答案】（1）①9；7 ②7；7 （2）①3；3 ②8；8 （3）A【解析】【分析】（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（3）根据（1）（2）中的结论可知99n 与55n 个位上的数字相同即可得出答案．【详解】解：（1）①Q 123456733,39,327,381,3243,3729,32187,=======L\3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环20224505 (2)¸=Q \20223的个位数字是9；Q 1234561313,13169,132197,1328561,13371293,134826809,======L\13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环99424 (3)¸=Q \9913的个位数字是7；故答案为：9；7；②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环99424...355413 (3)¸=¸=Q ，\9943的个位数字是7，5543的个位数字是7；故答案为：7；7；（2）①123456777497343724017168077117649...======Q ，，，，，\7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环99424...355413 (3)¸=¸=Q ，\997的个位数字是3，557的个位数字是3故答案为：3；3②123456222428216232264...======Q ，，，，，\2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环\52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环99424...355413 (3)¸=¸=Q ，\9952的个位数字是8，5552的个位数字是8故答案为：8；8（3）由（1）（2）中的结论可知99n 与55n 个位上的数字相同\9955n n -的个位上的数字恒为0故选A ．【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．4．观察下列各式：3312189+=+=，而2332(12)9,12(12)+=\+=+；33312336++=，而23332(123)36,123(123)++=\++=++；33331234100+++=，而233332(1234)100,1234(1234)+++=\+++=+++；(1)猜想并填空：3333312345++++=_______2=_______；(2)根据以上规律填空：3333123n ++++=L _______2=_______；(3)求解：333331617181920++++．【答案】(1)（1+2+3+4+5），225(2)()123n ++++L ，()212n n +éùêúëû(3)29700【解析】【分析】观察题中一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，据些规律来求解．（1）根据上述规律填空即可求解；（2）根据上述规律填空，然后把123n ++++L 变为2n 个()1n +相乘来求解；（3）对所求的式子前面加上1到15的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与16到20的立方和，再求出两数相减即可求解．(1)解：由题意可知：()2333331234512345225++++=++++=．故答案为：（1+2+3+4+5），225；(2)解：()()()1121211222n n n n n n n n +éùæö+++=+++-++-+=éùç÷êúëûèøëûQ L L ()()22333311231232n n n n +éù\+++=++++=êúëûL L ．故答案为：()123n ++++L ，()212n n +éùêúëû；(3)解：333331617181920++++()()333333331232012315=+++-+++L L()()221232012315=+++-+++L L 22210120=-29700=故答案为：29700．【点睛】本题考查了探究数字规律，主要要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，运用总结的规律解决问题的能力．找出规律是解答关键．5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．(1)如图2所示，则幻和＝______；(2)若b＝4，c＝6，求a的值；(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．【答案】(1)-6(2)8(3)图形见解析(答案不唯一)【解析】【分析】(1)根据幻和等于九宫格中最中心数的3倍即可得答案；(2)根据b=4先求出第二行第三列的数字，根据c=6求出第一行第三列的数字，根据对角线求出第一行第一列的数字，最后根据第一行三个数字之和等于幻和即可求解；(3)根据九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍先求出中心数为3，幻和为9，进一步将数据分成5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，按照此条件分组将数据填入九宫格中即可．(1)解：由题意可知：幻和等于九宫格中最中心数的3倍，∴图2中幻和=-2×3=-6．(2)解：由(1)知幻和为-6，当b＝4，c＝6时：第二行第三列的数字为：-6-b-(-2)=-6-4+2=-8，第一行第三列的数字为：-6-(-8)-c=-6+8-6=-4，根据对角线可知：第一行第一列的数字为：-6-(-2)-6=-10，∴a=-6-(-10)-(-4)=-6+10+4=8．(3)解：将图3中的九宫格分别标记为A~I，如下图所示：由于九宫格中横行、纵向的数字之和均相等，其和叫做幻和，∴九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍，∴幻和=(5+7-5+3+9-1+11-3+1)÷3=9，又幻和为九宫格中最中心数的3倍，∴最中心的E代表的数为3，∵对角线、横行、纵向的数字之和是幻和的3倍，∴A+I=6，B+H=6，C+G=6，D+F=6，故5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，只需要满足此条件写出来九宫格必然满足题目要求，取A=5、B=7时，此时I=1，H=-1，G=9，C=-3，D=-5，F=11，如下图所示(答案不唯一)：【点睛】本题主要考查数字的变化规律，读懂题意，解题的关键是掌握幻方的定义及幻和与中心数的关系即可．6．探究规律，完成相关题目．将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到33´的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等．（1）设下面的三阶幻方中间的数字是m （其中m 为正整数），请用含m 的代数式将下面的幻方填充完整；（2）若设（1）幻方中9个数的和为S ，则S 与中间的数字m 之间的数量关系为______；（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面33´的方格中．【答案】（1）答案见解析；（2）9m S =；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由第3列的三个代数式的和为3,m 再利用每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等逐一填好其余的空格，即可得到答案；（2）由每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等，可得()3123,S m m m =++++-从而可得答案；（3）由（2）的规律先确定最中间的数据0, 把－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40按从小到大的顺序排列，再把第2,4,6,8个数据放在四角的位置，再根据每行，每列，每一条对角线上的三个数之和相等，填好其余空格即可．【详解】解：（1）1m +4m -3m +2m +m 2m -3m -4m +1m -（2）由每行每列及对角线上的三个代数式的和相等可得：()31239,S m m m m =++++-=故答案为：9.S m =（3）幻方如图所示（答案不唯一）：10－4030200－20－3040－10【点睛】本题考查的是数或代数式的排列的规律的探究，有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化(1)平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 A .（＋3）＋（＋2）＝＋5；B ．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C ．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D ．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1②一机器人从原点O 开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是．(2)翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2018（A 在B 的左侧，且折痕与①折痕相同），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 点表示 B 点表示．③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为．（用含有a ，b 的式子表示）【答案】(1)①D ； ②﹣1009(2)①﹣2015； ②﹣1008，1010；③2a b+【解析】【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB ＝2018，可知A 点是1左边距1为1009个单位的点表示的数，B 点是1右边距1为1009个单位的点表示的数，即可求出点A 、B 所表示的数；③利用中点坐标公式即可解决问题．(1)解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），故选D ．②一机器人从数轴原点处O 开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是（﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+…+（+2016）+（﹣2017）＝1×1008+（﹣2017）＝﹣1009，故答案为：﹣1009．(2)①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合， 132-+＝1，∴对称中心为1，∴2017﹣1＝2016，∴1﹣2016＝﹣2015，∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，故答案为：﹣2015；②∵对称中心为1，AB ＝2018，∴点A 所表示的数为：1﹣20182＝﹣1008，点B 所表示的数为：1+20182＝1010，故答案为：﹣1008，1010；③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为2a b+；故答案为：2a b+．【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．8．观察下面三行数：2，4-，8，16-，32，64-，……； ①0，6-，6，18-，30，66-，……； ②1-，2，4-，8，16-，32，……； ③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第n 个数是________；（2）第②行的第n 个数是________，第③行的第n 个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】（1）256-；1(1)2n n +- ；（2）1(1)22n n +--， 11(1)2()2n n+-´-或1(1)2n n --；（3）1538-【解析】【分析】（1）第①行有理数是按照1(1)2n n +-排列的；（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n 个数的表达式即可；（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．【详解】解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2， ﹣1×22，23， ﹣1×24，…，故第8个数是861522´=-﹣，第n 个数为（﹣2）n （n 是正整数）；故答案为：256-；1(1)2n n +- ；（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n 的数为1(1)22n n +--（n 是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n 个数是11(1)2()2n n +-´-或1(1)2n n --（n 是正整数）；故答案为：1(1)22n n +--， 11(1)2()2n n+-´-或1(1)2n n --；（3）∵第①行的第10个数为101011(1)22--=，第②行的第10个数为1022--，第③的第10个数为1099(1)22-=，所以，这三个数的和为：101092(22)2-+--+1024(10242)512=-+--+102410242512=---+1538=-【点睛】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝；②|－12＋15|＝；（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．【答案】（1）①7+2；②1125-；（2）20194042【解析】【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【详解】解：（1）①∵7+20> ，∴|7＋2|＝7+2；②∵11025-+< ，∴|－12＋15|＝1125-；（2）原式＝11111111+...+23344520202021-+-+-- ，1122021=- ，＝20194042．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，以此类推，第n 个数记为n a （n 为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，11a =，23a =，35a =，47a =，59a =．规定运算1123(:)n n sum a a a a a a =+++¼¼+，即从这列数的第一个数开始依次加到第n 个数，如在上面这列数中：1312313(:)59sum a a a a a =++=++=．（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则110(:)sum a a =______．（2）已知一列有规律的数：1(1)1-´，2(1)2-´，3(1)3-´，4(1)4-´，¼¼，按照规律，这列数可以无限的写下去．①求12021(:)sum a a 的值．②是否有正整数n 满足等式1(:)50n sum a a =-成立？如果有，请直接写出n 的值．如果没有，请说明理由．【答案】（1）5；（2）①-1011；②n =99．【解析】【分析】（1）直接根据题中所给定义运算进行求解即可；（2）①由题意可知()12341,2,3,4, (1)n a a a a a n =-==-==-×，由此可得20212021a =-，然后求解即可；②由题意易得()12345....150nn -+-+-++-×=-，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意得：110(:)123456789105sum a a =-+-+-+-+-+=，故答案为5．（2）解：由题意得：()12341,2,3,4, (1)n a a a a a n =-==-==-×，∴12021(:)sum a a =-1+2-3+4···+2020-2021=1×1010-2021=-1011．②由题意得：()12345....150nn -+-+-++-×=-，∴当n 为奇数时，则有11502n n -´-=-，解得：n =99，当n 为偶数时，则有1502n ´=-，解得：100n =-，（不符合题意，舍去），∴综上所述：n =99．【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及数字规律问题，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及数字规律问题是解题的关键．11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是、、；（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是、、；（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．【答案】（1）24，60，120；（2）-10，-13，-16；（3）191，理由见解析【解析】【分析】（1）根据有理数乘法的性质计算，即可得到答案；（2）根据有理数加法的性质计算，即可得到答案；（3）根据有理数乘法和加法的性质计算，并结合前三个图形的数字规律，即可完成求解．【详解】（1）(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24；(－1)×(－3)×(－5)×(－4)＝60；(－1)×(－4)×(－5)×(－6)＝120；故答案为：24，60，120；（2）(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＝－10；(－1)＋(－3)＋(－5)＋(－4)＝－13；(－1)＋(－4)＋(－5)＋(－6)＝－16；故答案为：-10，-13，-16；（3）(－1)×(－5)×(－6)×(－7)＝210；(－1)＋(－5)＋(－6)＋(－7)＝－19；∵第1个正方形中的数()241014=+-= 第2个正方形中的数()601347=+-=第3个正方形中的数()12016104=+-=∴第四个正方形中的数()21019191=+-=．【点睛】本题考查了有理数加减法、乘法，以及数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减法和乘法的性质，结合数字规律，从而完成求解．12．一跳蚤P 从数轴上表示﹣2的点A 1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A 2；第二次从点A 2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A 3；第三次从点A 3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A 4，…，点P 按此规律移动，那么：（1）第一次移动后这个点P 在数轴上表示的数是；（2）第二次移动后这个点P 在数轴上表示的数是；（3）第五次移动后这个点P 在数轴上表示的数是；（4）这个点P 移动到点An 时，点An 在数轴上表示的数是．【答案】（1）﹣1；（2）0；（3）3；（4）﹣2+n ．【解析】【分析】（1）根据题意可得第一次移动后这个点P 在数轴上表示的数是﹣1；（2）第二次移动后这个点P 在数轴上表示的数是2120-+´=；（3）第五次移动后这个点P 在数轴上表示的数是2153-+´=；（4）这个点P 移动到点An 时，点An 在数轴上表示的数212n n -+´=-+．【详解】解：（1）记某次向左移动m 个单位长度，则向右移动()1m +个单位长度，从而每次移动的实际量为：123411,m m -+=-+=-++=∵一跳蚤P 从数轴上表示﹣2的点A 1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位∴211-+=-，即第一次移动后这个点P 在数轴上表示的数是﹣1故答案为﹣1（2）∵2120,-+´=∴第二次移动后这个点P 在数轴上表示的数是0故答案为0（3）∵2153,-+´=∴第五次移动后这个点P 在数轴上表示的数是3故答案为3（4）∵212n n -+´=-+，∴这个点P 移动到点An 时，点An 在数轴上表示的数是﹣2+n 故答案为﹣2+n ，【点睛】本题考查的是点在数轴上的移动规律的探究，有理数的加法运算，掌握数轴上点的移动后对应的数的变化规律是解题的关键．13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n ﹣1）+（2n +1）=_____；（用含n 的式子表示）（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）【答案】（1）1+3+5+7+9+11=62；（2）400；（3）（n +1）2；（4）1400【解析】（1）类比得出第6行等式为：1+3+5+7+9+11=62；（2）由图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可；（3）利用（1）（2）的规律推出一般规律即可；（4）用从1到89的连续奇数的和减去从1到49的连续奇数的和，进行计算即可得解．【详解】解：（1）第6行等式：1+3+5+7+9+11=62；（2）1至39共有（39+1）÷2=20个奇数，∴1+3+5+7+9+…+39=202=400；（3）1+3+5+7+9+…+（2n -1）+（2n +1）=22112n ++æöç÷èø=（n +1）2；（4）51+53+55+…+87+89=1+3+5+7+…+87+89-（1+3+5+7+…+47+49）=2289149122++æöæö-ç÷ç÷èøèø=452-252=2025-625=1400．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，解决问题．14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，124,6K K ==，……按此规律排列下去，第n 个图形中实心圆的个数表示为Kn ．（1）n K =______（用n 表示）：100K =_______（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a 和正整数n ．规定*2n na K a K a n -++=，例如：223336|36|(3)*2322K K --+-+--+-+-===-．①计算：(26.6)*10-的值；②比较：3*n 与(3)*n -的大小．【答案】（1）2（n +1），202；（2）①-22；②3☆n ＞（-3）☆n 【解析】【分析】（1）由图形可知：第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，…由此得出第n 个图形中有2（n +1）个实心圆，进一步代入求得答案即可；（2）①根据规定的运算顺序与计算方法，转化为有理数的混合运算计算即可；②根据规定的运算顺序与计算方法分别计算得出结果比较得出结论即可．【详解】解：（1）Q 第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，¼2(1)n K n \=+；1002(1001)202K =´+=；（2）①(26.6)-*10101026.6|26.6|2K K --+-+=26.6(2102)|26.6(2102)|2--´++-+´+=22=-；②n Q 是正整数，224n K n \=+…；3\*n3|3|2n n K K -++=332n nK K -++=3=，(3)-*n3|3|2n n K K --+-+=332n nK K ---+=3=-．n>-*n．所以3*(3)【点睛】此题考查图形的变化规律，有理数的混合运算，找出图形的运算规律，理解规定的运算方法是解决问题的关键．。

初一数学培优专题---规律探究题的解题方法

七年级培优专题--规律探究题的解法指导一、数式规律探究1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦ 12+22+32….+n2=16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=14n2(n+1）2⑨2，4.8.16.32...... 2n4、初中阶段会考察的规律，大部分为等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：a n=a1+(n-1)d。

首项a1=1，公差d=2。

前n项和公式为：S n=12[n×(a1+a n)]=n a1+12n(n-1)d。

注意：以上n均属于正整数。

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：①.观察法：例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：①1×12=1-12观察相应位置上变化的数字与序列号②2×23=2-23的对应关系（注意分清正整数的奇偶）③ 3×34=3-34易观察出结果为：④ 4×45=4-45例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。

华师版七年级上册数学第3章整式的加减专题技能训练(三) 训练应用代数式探索规律(1)

A．50B．60C．62D．71
【点拨】这一列数可分组写为：11，12，21，13，22，31， 14，23，32，41，….根据规律可知57所在的组为第 11 组：(111，120， 39，48，57，66，75，84，93，120，111)，
【答案】B
2．【2020·西藏】观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，…； 1，4，7，10，13，16，19，22，25，…. 探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，
【答案】A
3．如第果n一个些数数是按__一__定(_－_规_1_)律n_＋_排1_·2_列n_2＋_为n_1_：_．23，(n－为45，正87整，数－)196，…，那么
4．一列数按规n律2 排列：，…，第12，n个43数，为94_，__1_5_6_，__．265(n为正整数) n＋1
5．【2020·青海】观察下列各式的规律： ①1×3－22＝3－4＝－1； ②2×4－32＝8－9＝－1； ③3×5－42＝15－16＝－1. 请按以上规律写出第4个算式：______________________．用含有字母的式子表示第n个算式：___________________.
8．【2020·日照】用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中圆点的个数是( )
A．59B．65C．70D．71
【点拨】由题图可知，当n＝1时，圆点个数为5＋2；当n＝2时，圆点个数为5 ＋2＋3；当n＝3时，圆点个数为5＋2＋3＋4；当n＝4时，圆点个数为5＋2＋3 ＋4＋5，…，所以当n＝10时，圆点个数为5＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＋11＝70.故选C.
(2)归纳算式中的规律，直接写出第n个等式；

2022年人教版七年级下册数学同步培优小专题(四)平面直角坐标系中的规律探究

,P15 (5,0) ;
小专题(四) 平面直角坐标系中的规律探究
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解:(2)由(1)可归纳总结点P3n的坐标为P3n(n,0). (4)动点从点P210到点P211的移动方向是向上. 提示:由(2)知点 P210在x轴上.由图象规律可以发现当动点在x 轴上时,偶数点向上运动,奇数点向下运动.因为P210是在x轴上的偶数点,所以动点从点P210到点P211的移动方向是向上.
小专题(四) 平面直角坐标系中的规律探究
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“坐标规律型”问题考查的是点在平面直角坐标系内按照一定规律运动时其坐标的变化规律.这类问题把点的坐标与数字规律联系在一起,加大了找规律的难度.因为这类问题设置的情境是在平面直角坐标系内,我们探究点的坐标不仅要考虑数值的大小,还要考虑不同象限内点的坐标的正负性.
小专题(四) 平面直角坐标系中的规律探究
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类型2 图形的变化规律
6.在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整
点,且规定正方形的内部不包含边界上的点.观察如图所示的中
心在原点、一边平行于x轴的正方形:边长为1的正方形内部有1
个整点,边长为2的正方形内部有1个整点,边长为3的正方形(1,2) , ⑤ ④ (2,1)
4
小专题(四) 平面直角坐标系中的规律探究
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(2)当点P从点O出发15 s,可得到的整点的个数是 16 ; (3)当点P从点O出发 17 s时,可得到整点(9,8).
小专题(四) 平面直角坐标系中的规律探究
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5.如图,在平面直角坐标系中,一个动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动1个单位长度,依次得到点
A.(0,9) B.(9,0) C.(8,0) D.(0,8)

2019年春人教版七年级数学下册专题复习-规律探究专题训练

七下期末复习专题——规律探究一、数的规律1、观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．200622、请你认真观察和分析图中数字变化的规律，由此得到图中所缺的数字应为（） A ．32B ．29C ．25D ．233、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：当输入数据是8时，输出的数是（）A ．861B ．865C ．867D ．8694、观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20062的个位数字是．5、按一定规律排列的一列数依次为23，58，1015，1724，2635，，按此规律排列下去，这列数的第n 个数是（n 是正整数）．6、观察规律并填空：111123248，，，…，第5个数是，第n 个数是．7、我们把分子为1的分数叫做单位分数．如111234，，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同单位分数的和，如11111111123634124520=+=+=+，，，…（1）根据对上述式子的观察，你会发现1115=+□○．请写出□，○所表示的数；（2）进一步思考，单位分数1n（n 是不小于2的正整数）11=+△☆，请写出△，☆所表示的式子，并加以验证．二、式的规律1、观察下面的单项式：a ，22a -，34a ，48a -，．根据你发现的规律，第8个式子是．2、观察下列单项式：x , -3x 2, 5x 3, -7x 4, 9x 5,…按此规律，可以得到第2010个单项式是______，第n 个单项式怎样表示________.3、观察下列一串单项式的特点：，，，，，… 按此规律第9个单项式是______，第n 个单项式是______，它的系数是_____，次数是_ _. 三、等式的规律 1、观察下列等式：按照上述规律，第n 行的等式为．2、观察下列各式：21321⨯=- ；22431⨯=-； 23541⨯=-；24651⨯=- …………请你根据发现的规律，写出第n 个等式：． 3、已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若299a ab b+=⨯（a b ，为正整数），则ab = ． 4、观察下列等式：22(12)4114+-⨯=+ ； 22(22)4224+-⨯=+；22(32)4334+-⨯=+ …则第n 个等式可以表示为．5、观察算式：211=； 21342+==； 213593++==；21357164+++==； 213579255++++==；……xy y x 22-y x 34y x 48-y x 516…图①图②图③3()2()1()用代数式表示这个规律（n 为正整数）：13579(21)n ++++++-= ．6、观察下列各式：22151(11)1005225=⨯+⨯+=， 22252(21)1005625=⨯+⨯+= 22353(31)10051225=⨯+⨯+=， ……依此规律，第n 个等式（n 为正整数）为． 7、观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：（2）通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式______________________．8、观察下列等式111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．（1）猜想并写出：1(1)n n =+ ．（2）直接写出下列各式的计算结果： ①111112233420062007++++=⨯⨯⨯⨯ ；②1111122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ ．四、图形的规律1、用M ，N ，P ，Q 各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．图-1—图-4是由M ，N ，P ，Q 中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．那么，下列组合图形中，表示P&Q 的是（）2、如图，图①，图②，图③，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是．3、用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根，，则搭n 条小鱼需要根火柴棒．（用含n 的代数式表示）4、按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为；第（n ）堆三角形的个数为 .5、将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中，其有个六边形．①401413⨯+=⨯-；②411423⨯+=⨯-； 421433⨯+=⨯-；③ ④⑤ _________________；_________________；A ．B ．C ．D ．M&PN&PN&QM&图-1图-2图-3图-4……图①图②图③图④参考答案一、数的规律1、C2、B3、B4、45、n n n 2122++6、3215，n n 21+ 7、（1）6,30；（2）1+n ，)1(+n n二、式的规律1、8128a -2、20104019x -，n n x n )12()1(1--+3、y x 9256，y x n n n 112)1(-+- 三、等式的规律1、22)1(12n n n -+=+2、1)1()2(2-+=+n n n3、7204、44)2(22+=-+n n n5、2n6、225100)1()510(+⨯+=+n n n7、（1）344134-⨯=+⨯，354144-⨯=+⨯；（2）341)1(4-=+-n n8、（1）1+n n ；（2）①20072006，②1+n n四、图形的规律1、B2、25+n3、26+n4、（1）14，（2）23+n5、23-n。

初一上数学真题专题练习---规律探究与新定义运算

规律探究与新定义运算【真题精选】1．（2020秋•161月考）按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是，第n个数是（n为正整数）．2．（2020秋•海淀月考）按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（）A．2020a B．﹣2020a C．a2020D．﹣a2020 3．（2019秋•昌平区月考）观察下面的单项式：2x，4x2，8x3，16x4根据你发现的规律，写出第6个式子是，第n个式子是．4．（2020秋•房山期末）观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5…，按此规律写出第20个单项式是．5．（2015秋•人大附中）观察下列单项式，2x，﹣5x2，10x3，﹣17x4，…根据你发现的规律写出第8个式子是，第n个式子是．6．（2020秋•海淀校级期中）有一列式子，按照一定的规律排列成﹣3a2，9a5，﹣27a10，81a17，﹣243a26…，则第n个式子为（n为正整数）．7．（2020秋•西城校级期中）观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，第n个相同的数是2023，则n等于（）A．337B．338C．339D．3408．（2020秋•海淀期末）在一列数a1，a2，a3，a4，…a n中，已知a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…a n＝，则a2020＝．9．（2021秋•西城期末）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣2的差倒数是，如果a1＝﹣4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a1+a2+a3+a4+…+a61的值是（）A．﹣55B．55C．﹣65D．65 10．（2021•海淀月考）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1﹣a2+a3﹣a4…+a401﹣a402+a403﹣a404的值是（）A．B．﹣3C．D．11．（2020秋•朝阳期中）根据如图数字之间的规律，问号处应填（）A．61B．52C．43D．37 12．（2021•西城月考）如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．若（1+x）45的展开式按x的升幂排列得：（1+x）45＝a0+a1x+a2x2+…+a45x45，则a2＝．13．（2021•海淀月考）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为．14．（2020秋•西城期末）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（）个〇．A．6058B．6059C．6060D．6061 15．（2020秋•东城月考）观察下面一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7…将这组数排成如图的形式，按图中规律排下去，则第6行中从左边数第3个数是（）A．28B．﹣28C．﹣34D．34 16．（2020秋•海淀校级期中）世界上最著名的数列之一﹣﹣斐波那契数列，是从兔子繁殖问题引申出的一个数学模型．兔子在出生两个月后就具有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子．如果所有兔子都不死，那么一年后可以繁殖的兔子的对数会成斐波那契数列．斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…的排列规律是：从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和．在斐波那契数列的前2021个数中，共出现的偶数的个数为（）A．670B．671C．672D．673 17．（2020秋•西城期末）观察下列各算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式的规律，你认为22020的末位数字应该是（）A．2B．4C．6D．818．（2020秋•海淀区校级月考）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2020次跳后它停的点所对应的数为（）A．1B．2C．3D．519．（2020秋•西城区校级期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为m﹣1，第16个数为2，第78个数为3﹣2m，则m的值为，第2021个数为．20．（2020秋•丰台期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，则第2019次输出的结果为．21．（2021秋•朝阳期末）按下面的程序计算：若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种22．（2020秋•海淀月考）规定一种新的运算＝ad﹣bc，那么＝．23．（2020秋•西城区校级期中）定义计算“△”，对于两个有理数a，b，有a△b＝ab﹣（a+b），例如：﹣3△2＝﹣3×2﹣（﹣3+2）＝﹣6+1＝﹣5，则3△﹣2＝，[（﹣1）△（m﹣1）]△4＝．24．（2021春•海淀区校级期末）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝．25．（2020秋•东城期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝；（2）（m，n）是“相伴数对”，则代数式mm﹣[n+（6﹣12n﹣15m）]的值为．规律探究与新定义运算参考答案与试题解析一．试题（共25小题）1．【分析】观察已知一列数的变化发现：分子都是1，分母是序号数的平方加1，奇数项是正数，偶数项是负数，据此可以解答．【解答】解：根据分析可知：一列数依次为：，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是﹣，所以第n个数是：（﹣1）n+1（n是正整数）．故答案为：﹣；（﹣1）n+1．【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．2．【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，从而可以写出第n个单项式，然后即可写出第2020个单项式．【解答】解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•a n，当n＝2020时，这个单项式是（﹣1）2020+1•a2020＝﹣a2020，故选：D．【点评】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，写出相应的单项式．3．【分析】观察已知单项式，归纳总结得到一般性规律，确定出第6个式子与第n个式子即可．【解答】解：归纳总结得：第6个式子是26x6＝64x6，第n个式子是2n x n，故答案为：64x6，2n x n【点评】此题考查了单项式，根据题意归纳总结得到一般性规律是解本题的关键．4．【分析】找出单项式规律求解即可．【解答】解：由0，3x2，8x3，15x4，24x5…，可得第n项为（n2﹣1）x n，所以第20个单项式是399x20．故答案为：399x20．【点评】本题主要考查了单项式，解题的关键是正确的找出单项式规律．5．【分析】观察得到奇数位上的单项式的系数为正，偶数位上的单项式的系数为负，并且单项式的系数的绝对值为x的指数的平方加1，即第n个式子为：（﹣1）n+1（n2+1）x n，n ＝8即可得到第8个式子．【解答】解：根据所给式子可得：第n个式子为：（﹣1）n+1（n2+1）x n，则第8个式子是﹣65x8．故答案为：﹣65x8，（﹣1）n+1（n2+1）x n．【点评】本题考查了关于数字的变化规律：先要观察每个单项式的系数和字母指数的特点，得出数字变化的规律，然后写出一般规律性的式子．6．【分析】利用归纳法来求已知数列的通式．【解答】解：∵第一个式子：﹣3a2＝，第二个式子：9a5＝，第三个式子：﹣27a10＝，第四个式子：81a17＝，…．则第n个式子为：（n为正整数）．故答案是：．【点评】本题考查了单项式．此题的解题关键是找出该数列的通式．7．【分析】根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以求得n的值，本题得以解决．【解答】解：由题目中的数据可知，第一行是一些连续的奇数，第二行奇数个数为奇数，偶数个数为偶数，第二行的第m个数为1+3（m﹣1）＝3m﹣2，令3m﹣2＝2023，得m＝675，∵第一行和第二行第n个相同的数是2023，∴n＝（675+1）÷2＝338，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出n的值．8．【分析】根据已知条件进行计算分别得出前几个数，进而发现规律：每3个数一个循环，即可求解．【解答】解：∵a1＝2，∴a2＝＝﹣1；a3＝＝；a4＝＝2；…，发现规律：每3个数一个循环，所以2020÷3＝673…1，则a2020＝a1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，运用规律．9．【分析】根据题意可以写出前几项，然后即可发现数字的变化规律，然后即可求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，a1＝﹣4，a2＝，a3＝，a4＝﹣4，a5＝，a6＝，…，∵﹣4+＝＝﹣，61÷3＝20…1，∴a1+a2+a3+a4+…+a61＝20×（﹣）+（﹣4）＝﹣51+（﹣4）＝﹣55，故选：A．【点评】本题考查数字的变化类、倒数，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．10．【分析】根据差倒数定义分别求出前几个数字，即可发现规律进而得结果．【解答】解：∵a1＝﹣3，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣3，……∴这个数列以﹣3，，依次循环，∵404÷3＝134…2，∴a403的值是﹣3，a404的值是，那么a1﹣a2+a3﹣a4…+a401﹣a402+a403﹣a404＝﹣3﹣++3+﹣﹣3﹣++3+﹣﹣ (3)＝﹣3﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．11．【分析】由图可知每个圆中的规律为左边与上边对应的数相乘得到的积再加上右边的数，所得结果为最下边的数．【解答】解：由图可知每个圆中的规律为：1×2+2＝4，2×3+3＝9，3×5+4＝19，4×7+5＝33，∴最后一个圆中5×11+6＝61，∴？号所对应的数是61，故选：A．【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过图形找到每个圆中的四个数之间的关系是解题的关键．12．【分析】根据图形中的规律即可求出（1+x）45的展开式中第三项的系数为前44个数的和，计算得到结论．【解答】解：由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，（a+b）2的第三项的系数为：1，（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，…∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（1+x）45＝a0+a1x+a2x2+…+a45x45，则a2＝1+2+3+…+44＝＝990；故答案为：990．【点评】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．13．【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，据此可以得出最大的三角形数和正方形数，即可以求得m和n的值，从而可以计算出m+n的值．【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，当n＝19时，＝190＜200，当n＝20时，＝210＞200，所以最大的三角形数m＝190；当n＝14时，n2＝196＜200，当n＝15时，n2＝225＞200，所以最大的正方形数n＝196；则m+n＝190+196＝386，故答案为：386．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现三角形数和正方形数的变化特点，求出m、n的值．14．【分析】观察图形的变化可得第n个图形中共有〇的个数，进而可得第2020个图形中共有〇的个数．【解答】解：观察图形的变化可知：第1个图形中共有3×1+1＝4个〇；第2个图形中共有3×2+1＝7个〇；第3个图形中共有3×3+1＝10个〇；…所以第n个图形中共有（3n+1）个〇；所以第2020个图形中共有〇的个数为：3×2020+1＝6061．故选：D．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．15．【分析】根据数字的变化情况寻找规律即可求解．【解答】解：因为第一行﹣1第二行2，﹣3，4第三行﹣5，6，﹣7，8，﹣9第四行10，﹣11，12，﹣13，14，﹣15，16，共7个数；所以，第五行﹣17，18，﹣19，20，﹣21，22，﹣23，24，﹣25，共9个数；第六行26，﹣27，28，﹣29，…34，﹣35，36，共11个数．所以第6行中从左边数第3个数是28．【点评】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找规律．16．【分析】从题目上可看出第3个，第6个，第9个为偶数，依此类推每3项就是一个偶数，2021÷3＝673．所以应该有673个偶数．【解答】解：从数列中可看出每3个，就有一个偶数，2021÷3＝673．所以有673个偶数．故选：D．【点评】本题是一个规律性题目，关键是看出每3个数中就有一个偶数，可求解．17．【分析】通过观察发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据2020÷4＝505，得出22020的个位数字与24的个位数字相同，是6．【解答】解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以2020÷4＝505，则22020的末位数字是6．故选：C．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．18．【分析】利用青蛙停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点，若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点这一规律，找出青蛙跳跃停留的点对应的数字是以3，5，2，1循环往复，由此得到结论．【解答】解：由题意得：青蛙第1次跳到的那个点是3，∵若青蛙停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点，∴青蛙第2次跳到的那个点是5，∴青蛙第3次跳到的那个点是2．∵若青蛙停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，∴青蛙第4次跳到的那个点是1，∴青蛙第5次跳到的那个点是3；归纳类推得：青蛙跳后它停的点所对应的数是以3，5，2，1循环往复的，∵2020＝4×505，∴经2020次跳后它停的点所对应的数与经4次跳后它停的点所对应的数相同，即为1，【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，准确找出变化的数字的循环规律是解题的关键．19．【分析】根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15，列出等式，找出规律，计算出m 的值；再求出第2021个数是几即可．【解答】解：∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，∴第5个数（5﹣4＝1）与第1个数相同，都为m﹣1；第16个数（16÷4＝4）与第4个数相同，都为2；第78个数（78÷4＝19…2）与第2个数相同，都为3﹣2m；∴m﹣1+3﹣2m+7+2＝15，解得m＝﹣4，则m﹣1＝﹣4﹣1＝﹣5，3﹣2m＝11，∵2021÷4＝505…1，∴第2021个数是﹣5．故答案为：﹣4；﹣5．【点评】本题主要考查有理数的加法及数字的变化规律，解决此题的关键是根据题意，列出等式，求出字母的值，找出规律．20．【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算．【解答】解：由设计的程序，知依次输出的结果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…，发现从8开始循环．则2019﹣4＝2015，2015÷4＝503…3，故第2019次输出的结果是2．故答案为：2【点评】此题主要考查了数字的变化规律，正确发现循环的规律，根据循环的规律进行推广．该题中除前4次不循环外，后边是4个一循环．21．【分析】由5x+1＝556，解得x＝111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x值满足5x+1＝111，最后输出的结果也为556，可解得x＝22；当开始输入的x值满足5x+1＝22，最后输出的结果也为556，但此时解得的x的值为小数，不合题意．【解答】解：∵输出的结果为556，∴5x+1＝556，解得x＝111；而111＜500，当5x+1等于111时最后输出的结果为556，即5x+1＝111，解得x＝22；当5x+1＝22时最后输出的结果为556，即5x+1＝22，解得x＝4.2（不合题意舍去），所以开始输入的x值可能为22或111．故选：B．【点评】本题考查了代数式求值：先把代数式进行变形，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的代数式的值．也考查了解一元一方程．22．【分析】根据题意给出的运算法则以及整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝4﹣2（1﹣x）＝4﹣2+2x＝2+2x故答案为：2+2x【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．23．【分析】先根据定义得出算式，再根据整式的加减法则求出即可．【解答】解：3△﹣2＝3×（﹣2）﹣[3+（﹣2）]＝﹣7，[（﹣1）△（m﹣1）]△4＝[﹣m+1﹣m+2]△4＝（﹣2m+3）△4＝（﹣2m+3）×4﹣（﹣2m+3+4）＝﹣8m+12+2m﹣7＝﹣6m+5，故答案为：﹣7，﹣6m+5．【点评】本题考查了整式的加减，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．24．【分析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代入求值即可．【解答】解：∵（m，n）是“相随数对”，∴，∴，整理得：9m+4n＝0，∴3m+2[3m+（2n﹣1）]＝3m+2[3m+2n﹣1]＝3m+6m+4n﹣2＝9m+4n﹣2＝0﹣2＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．25．【分析】（1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出m的值；（2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意得：+＝，去分母得：15m+10＝6m+6，移项合并得：9m＝﹣4，解得：m＝﹣；（2）由题意得：+＝，即＝，整理得：15m+10n＝6m+6n，即9m+4n＝0，则原式＝m﹣n﹣3+6n+m＝m+5n﹣3＝（9m+4n）﹣3＝﹣3，故答案为：（1）﹣；（2）﹣3【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．。

七年级数学人教版(上册)【知识讲解】小专题(五)有理数中的规律探究

3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，根据这组数的规律第 10 个数是 55 ．
类型 2 有理数运算中的规律 4．根据如图所示的数字之间的规律，问号处的数字为( A ) A．61 B．52 C．43 D．37
5．观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋ 7＝42，……
第一章有理数
小专题(五) 有理数中的规律探究
类型 1 一列数中的规律
1．(2021·黄冈期中)观察下列各数的排列规律：0，－3，8，－
15，…，照这样排列，第 8 个数应是( CLeabharlann )A．55B．－56
C．－63
D．65
2．找规律，并按规律填写第 5 个数：－32，54，－78，196，－3112 ．
则 1＋3＋5＋7＋…＋2 021＝ 1 0112 ．
6．计算：21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝ 31，……归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测 22 022－1 的个位数字是 3 ．
7．(2021·自贡)如图，某学校“桃李餐厅”把 Wi-Fi 密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码后顺利地连接到了“桃李餐厅”的无线网络．那么她输入的密码是 244872 ．
1157 5 7 (2)计算：6＋8＋7＋9＋42＋72.
1515 1717 解：原式＝(6＋7＋6×7)＋(8＋9＋8×9)
＝1＋1 ＝2.
类型 3 数轴上的规律
9．(2021·黄冈期末)如图，把周长为 4 个单位长度的圆放到数轴(单位
长度为 1)上，点 A，B，C，D 将圆四等分，将点 A 与数轴上表示 1 的点

七年级数学探究规律题

规律探究1．图1是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．2 .观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是＿＿＿。

”3．如图，是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝．（用n 的代数式表示s ）4．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．5．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（）粒。

A 、12+n B 、12-n C 、n 2 D 、2+n6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n 幅图中共有个． 7．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有（）个．找规律专题练习1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。

这样捏合到第次后可拉出64根细面条。

第一次捏合第二次捏合第三次捏合(3) …… 图1 (1) (2) … … 第1幅第2幅第3幅第n 幅图5第1个第2个第3个…… n =1 n =2 n =32、如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表：（2（3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？（4）观察图形，你还能得出什么规律？3、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是．（2）当x 非常大时，2100x 的值接近于什么数？5、现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下：▲ ▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲……则黑色三角形有个，白色三角形有个。

人教版七年级上册数学作业课件第一章难点探究专题：有理数中的规律探究(选做)

难点探究专题：有理数中的规律探究（选做）
——从特殊到一般，探寻多方规律
目录页
类型一一列数中的规律类型二计算中的规律
◆类型一一列数中的规律
1.（2020·牡丹江中考）一列数 1，5，11，19，…，按此规律排列，第 7 个数是（ C ）
A.37 B.41
C.55
D.71
解析：观察这列数字，可得到如下规律：第 1 个数是 1
8. 观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42，……则 1＋3＋5＋7＋…＋2021＝
10112 .
9.阅读材料：求 1＋2＋22＋23＋24＋…＋22019. 首先设 S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22019①，则 2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22020②. ②－①得 S＝22020－1，即 1＋2＋22＋23＋24＋…＋22019＝22020－1. 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”.
A.61
Hale Waihona Puke B.52C.43D.37
解析：由图可知每个圆中的规律为：1×2＋2＝4，2×3
＋3＝9，3×5＋4＝19，4×7＋5＝33，∴最后一个圆
中 5×11＋6＝61，∴问号所对应的数是 61.故选 A.
11. 如图，圈中有 6 个数按一定的规律填入，后因不慎，一滴墨水涂掉了一个数，你认为这个数可能是
A.2
B.－2
C.－1
D.12
5.若“！”是一种数学运算符号，并且 1！＝1，2！＝
2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，……
则 5！＝
5×4×3×2×1
＝
120
，100！的值 98！

专题01 规律探究问题(精练)-初中中考数学高频考点突破全攻略(原卷板+解析版)

一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．1212. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．504. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋36.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．3027.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．169.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：1+3+5+…+（2n ﹣1）+（ 2n+1 ）+（2n ﹣1）+…+5+3+1= ．20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化例：将0.7化为分数形式由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79．同理可得0.3 =39=13，1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5 = ，5.8 = ；（2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ，2.018= ；（注：0.315=0.315315…，2.018=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.9与1的大小：0.91（填“＞”、“＜”或“=”）②若已知0.285714=27，则3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，故选B．2. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．4. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋3【解析】∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子(3n＋3)个．6.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．302【解析】：拐弯处的数与其序数的关系如下表：拐弯的序数0 1 2 3 4拐弯处的数 1 2 3 5 7拐弯的序数 5 6 7 8 …拐弯处的数10 13 17 21 …由此可见相邻两数的差是1，1，2，2，3，3，4，4，...，则第33次拐弯处的数是1+2×（1+2+ (16)+17=290.故选A.学科@网7.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．9.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），∴第2018次输出的结果是5．故答案为：5．学科@网12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．【解答】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，故答案为：4035．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n 列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得P n O n垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．学科@网【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．=﹣=．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1 ）+（2n﹣1）+…+5+3+1=．【分析】（1）根据1+3+5+7=16可得出16=42；设第n幅图中球的个数为a n，列出部分a n的值，根据数据的变化找出变化规律“a n﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2”，依此规律即可解决问题；（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．（2）观察图形发现：20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可例：将0.7化为分数形式由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79．同理可得0.3 =39=13， 1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5 = ， 5.8 = ；（2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ， 2.018= ；（注：0.315 =0.315315…， 2.018=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.9与1的大小：0.9 1（填“＞”、“＜”或“=”） ②若已知0.285714=27，则 3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节．学科@网（3）同理0.315=315999=35111，2.0=2+1181099=11155故答案为：35111，11155（4）①0.9=99=1故答案为：0.9=1②3.714285=3+714285999999=3+57=267故答案为：26 7。