成都树德中学2016数学试卷
2016-2017年四川省成都市树德中学高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．7．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2D．﹣1 11．（5分）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2B．C．D．512．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD 的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D．5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．7．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x，则BC=10﹣x，由矩形的面积S=x （10﹣x）≥9可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．8．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tanθ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．9．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2D．﹣1【分析】设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题即可．【解答】解：设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，C点坐标（3，0），由于M在y2=x上，设M的坐标为（y2，y），∴|CM|==≥，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为﹣1．故选：A．11．（5分）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2B．C．D．5==|PM|．因此要使四边形【分析】由切线的性质可得S四边形PMFNPMFN面积取得最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．【解答】解：如图所示，由椭圆C1：+=1可得a=4，c==1，∴F（﹣1，0）．由切线PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．S四边形PMFN==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，则|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．∴|PM|=2，∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．故选：A．12．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=0．【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，利用圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，求出圆心距等于半径差，即可得出结论．【解答】解：∵圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1；圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，圆心坐标（﹣4，a），半径为：5，∵圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，∴两个圆的圆心距d==4，∴a=0．故答案为0．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=2．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|并且，，在△F1PF2中根据勾股定理可得到：，该式可变成：=2．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：得|PF1|+|PF2|=2a1+a2，∴|PF1|﹣||PF2|=2a2∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由勾股定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2∴化简得：该式可变成：=2．故答案为：216．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（3分）（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（6分）（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…（8分）其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…（10分）∴P（A）=．…（12分）19．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，即可得椭圆C的焦点坐标，结合椭圆的几何性质可得4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的方程，即可得答案；（2）联立抛物线与椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=4x，其焦点坐标为（1，0），椭圆的焦点为（1，0），则有c=1，对于椭圆，可知4﹣n=1，∴n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程；（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程；（3）求出轨迹C1，直利用线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…（3分）（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…（6分）（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，，∴化简得…（9分）由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C1：（x≠1）…（10分）因为直线与曲线C1只有一个交点，所以圆心到直线的距离d==或k=0，所以…（12分）21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD 的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．【分析】（1）设AB的方程为，联立，求出M，N的坐标，即可求△FMN的面积；（2）求出直线MN的方程，即可证明直线MN过定点，并求此定点．【解答】解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为联立，得x2﹣2x﹣1=0，，同理∴S=|FM|•|FN|==1△FMN△FMN的面积为1．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为联立，得x2﹣2k1x﹣1=0，，同理…（7分）k MN=∴MN的方程为，即，…（10分）又因为，所以k1+k2=k1k2，∴MN的方程为即∴直线MN恒过定点．…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．【分析】（1）由题意列关于P的坐标的函数关系式，整理可得动点P的轨迹C 的方程；（2）设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B中点的坐标，得到直线PQ的方程，求出|PQ|．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，联立，整理得：x2=，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d==2≥2．即m=0时，S min=2．。
四川省成都市树德中学2016届高三下学期入学数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年四川省成都市树德中学高三(下）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分．1．已知复数z满足z=，那么z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={x｜ax=1｝，B={0,1}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为（）A．｛1｝B．｛0} C．{0，1} D．∅3．设命题p：函数f（x）=tanx是其定义域上的增函数;命题q:函数g（x）=3x﹣3﹣x为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．(￢p）∧（￢q) D．（￢p）∧q4．最近，国家统计局公布:2015年我国经济增速为6。
9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能,寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研,由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则他们看到的图是（)A．B．C．D．5．在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y）,使得成立的概率是（）A．B．C．D．6．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为( ）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F 7．设a＞b＞1,c＜0，给出下列四个结论:①＞;②a c＞b c;③（1﹣c)a＜(1﹣c）b；④log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．其中正确结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8．命题：“∃b∈R，使直线y=﹣x+b是曲线y=x3﹣3ax的切线"是假命题，则实数a的取值范围是( ）A．B．C．D．9．恒过定点的直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x交于A，B，若m，n是从集合｛﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3｝中取出的两个不同元素，则使｜AB|＜8的不同取法有（）A．30种B．24种C．18种D．12种10．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点,C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4,AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P ﹣ABCD体积的最大值是( )A．B．16 C．48 D．144二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
成都树德中学(九中)2016年自主招生考试数学试题
成都树德中学（成都九中）2016年外地生自主招生考试数学试题考试时间：120分钟，满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1、已知a,b满足a2−2a−5=0,b2−2b−5=0,且a≠b,则ba +ab+3的值是（）（A）15(B)−15（C）25(D)−252、若关于x的不等式组{x−m<07−2x≤1的整数解共有4个，则关于x的一元二次方程x2−8x+m=0的根的情况是（）（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根（C）没有实数根（D）有一正一负根3、在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为( )A. B. C. D.4、如图在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为()所示，O1的半径为3，圆O2的半径为1，两圆外切于点P，从O1上的点A作圆O2的切线AB,B为切点，连AP并延长，与圆O2交于点C，则ABAC( )A.1 2B.√32C.45D.355、如果实数a,b,c满足：a+b−2√a−1−4√b−2=3√c−3−12c−5,则a+b+c的值是（）A.2B.20C.6D.2√56、如图,一根木棒AB长为8斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,与地面的倾斜角∠ABO=60°,若木棒沿直线NO下滑,且B端沿直线OM向右滑行,则木棒中点P也随之运动,已知A端下滑到A′时,AA′=4√3−4√2，则木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长为（）(A)π3(B)16√3−2413(C)2(√3−1)5(D)27、8、已知相互垂直的直线、已知相互垂直的直线L 1:y =k 1x +2−k 1与L 2:y =k 2x +2−3k 2交于点P ，O 为坐标原点，则op 的最大值是（ ）A.√13B.√3+2C.4√2+9D.2√2+19、若图所示，O,I 分别表示△ABC 的外心与内心，已知∠OIB=30°，则∠BAC=A.30°B.45°C.60°D.75°10、若实数x 、y 满足关系式2xy−x−y=2,则x 2+y 2的最小值为( )A. 3−√5B. 3+√5C. 8+4√3D. 8-4√311、已知函数y=cosx,a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 所对的边，且a 2+b 2≤c 2,则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）cos(sinA)≤cos(cosB) (B)cos(sinA)≤cos(sinB)(C)cos (cosA )≤cos (sinB ) (D)cos(cosA)≤cos(cosB)12、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A. C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC 、OB 相交于E,过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H,以O 为圆心,OC 为半径的圆弧交OA 于D,若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F,则下列结论：①AG=CH;②GH=103;③直线GH 的函数关系式y=−34x+54;④梯形ABHG 的内部有一点P,当☉P 与HG 、GA 、AB 都相切时,☉P 的半径为12.其中正确的有( )（A ） 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13、已知抛物线22)2(212++-+=x x b x y 向右平移2个单位后得到抛物线τ，τ经过点)0,4(A .设点)3,1(-C ，请在抛物线τ的对称轴上确定一点D ，使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为___________________.14、端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯。
2016-2017学年成都树德中学(光华校区)七年级上学期数学期中试卷
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
20.（8 分）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价 200 元，领带每条定价 40 元，厂方在开展促销活动期间，向
客户提供两种优惠方案：
①买一套西装送一条领带；
②西装和领带都按定价的 90％付款；
现在某客户要到该服装厂购买西装 20 套，领带 x 条， (x 20)
2016-10 七年级数中 第 2页 共 5 页
19.（6 分）一根长 70cm 的弹簧，一端固定，如果另一端挂上物体，那么正常情况下物体的质量每增加 1kg 可使弹簧
增长 2cm。
（1）正常情况下，当挂着 x kg 的物体时，弹簧的长度是多少厘米？
（2）利用（1）的结果，完成下表：
物体的质量/kg
第 14 题图
。则 x y _________;
三、解答题（每小题 4 分，共 24 分）
16. （1）计算： (4) (9) (2) ； （3）计算： (1 5 2 ) 35 ；
375 （5）化简： 4a 8b 2a 3b ；
（2）计算： (3 4 1 ) (3 1 4) ；
三、解答题（每小题 6 分，共 12 分）
28.
若
x2
与
2(
y
1)
2
互为相反数，求代数式
3 2
x
2
y
2
xy
2
1 2
(
x
2
y
xy
2
)
的值.
29. 24 点游戏规则如下：给出 4 个数字，用加、减、乘、除、乘方、括号将这四个数字连结，计算出结果为 24 点即可.
数学---四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cos x=cos y”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cos x=cos y”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB 的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．310．（5分）点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．11．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26C．30 D．3212．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，] D．[，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a=．15．（5分）已知知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的取值范围．21．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为k AC，直线BD的斜率为k BD，且k AC+4k BD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．参考答案一、选择题1．A【解析】∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．D【解析】∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．D【解析】对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．4．D【解析】命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cos x=cos y”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cos x=cos y”的逆命题为命题“若cos x=cos y，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D5．B【解析】由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．A【解析】设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．7．C【解析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．8．D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D9．B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B10．A【解析】圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的圆的圆心坐标（3，0），半径是1；设M的坐标为（y2，y），所以圆心到M的距离：，当y2=时，它的最小值为，则|MN|的最小值是：．故选A．11．D【解析】根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．12．C【解析】设P A与PB的夹角为2α，则|P A|=PB|=，∴y=•=|P A||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的范围为[2﹣3，]．故选：C．二、填空题13．乙【解析】由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．±2或0【解析】∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时，=4，外切时，=6，∴a=±2或0，故答案为±2或015．4【解析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mn cos，∴4c2=（a1﹣a2）2+（a1+a2）2﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为4c2=a12+3a22，化为=4．故答案为：4．16．【解析】∵y=，∴x=y2，代入y=k（x+）得y=k（y2+），整理得ky2﹣y+=0，直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，等价为ky2﹣y+=0有两个不同的非负根，即△=1﹣k2＞0，且＞0，解得0＜k＜1，∴A={k|0＜k＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：．三、解答题17．解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．∴P（A）=．19．解：（1）根据题意，抛物线C：y2=2px中，P到焦点距离等于P到准线距离，所以，p=2故抛物线的方程为C：y2=4x；又由椭圆，可知4﹣n=1，即n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0恒过定点当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP，∴化简得（x﹣1）2+y2=1由于点P在圆内，由得x=所以C1：（注：范围也可写成）圆心到直线的距离d==1，∴，过（，）时，k=因为直线与曲线C1只有一个交点，所以或21．（1）解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为y=kx+联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，，同理∴S△FMN=|FM|•|FN|==≥1当且仅当k=±1时，△FMN的面积取最小值1．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y=kx+，联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1故k AC+4k BD===注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4，直线AC的方程为，化简得即所以，直线AC恒经过点（0，﹣2）22．解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，圆心与直线mx+2y=0的距离为，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d=．令m2+4=t（t≥4），则S=（）．当，即时，．。
2016-2017年四川省成都市树德中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7B．5C．4D．310．（5分）点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2D．11．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．3212．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，]B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，]D．[，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a=．15．（5分）已知知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C 上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的取值范围．21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD 的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为k AC，直线BD的斜率为k BD，且k AC+4k BD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D．5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x，则BC=10﹣x，由矩形的面积S=x （10﹣x）≥9可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．7．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tanθ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D．9．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7B．5C．4D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，确定m的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2D．【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆心坐标到抛物线上的坐标的距离的最小值，减去半径即可得到|MN|的最小值．【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的圆的圆心坐标（3，0），半径是1；设M的坐标为（y2，y），所以圆心到M的距离：，当y2=时，它的最小值为，则|MN|的最小值是：．故选：A．11．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选：D．12．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，]B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，]D．[，]【分析】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的范围为[2﹣3，]．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a=±2或0．【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论．【解答】解：∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时，=4，外切时，=6，∴a=±2或0，故答案为±2或015．（5分）已知知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=4．【分析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，n﹣m=2a2，∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos，化简整理由离心率公式即可得出．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos，∴4c2=（a1﹣a2）2+（a1+a2）2﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为4c2=a12+3a22，化为=4．故答案为：4．16．（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【分析】根据直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=，∴x=y2，代入y=k（x+）得y=k（y2+），整理得ky2﹣y+=0，直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，等价为ky2﹣y+=0有两个不同的非负根，即△=1﹣k2＞0，且＞0，解得0＜k＜1，∴A={k|0＜k＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（3分）（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（6分）（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…（8分）其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…（10分）∴P（A）=．…（12分）19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C 上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义可得，即p=2，可得抛物线的方程，结合题意可得椭圆中有4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（2）联立抛物线、椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=2px中，P到焦点距离等于P到准线距离，所以，p=2故抛物线的方程为C：y2=4x；又由椭圆，可知4﹣n=1，即n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的取值范围．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程；（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程；（3）求出轨迹C1，利用直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…（3分）（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0恒过定点当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…（7分）（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP，∴化简得（x﹣1）2+y2=1…（9分）由于点P在圆内，由得x=所以C1：（注：范围也可写成）…（10分）圆心到直线的距离d==1，∴，过（，）时，k=因为直线与曲线C1只有一个交点，所以或…（12分）21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD 的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC 的斜率为k AC ，直线BD 的斜率为k BD ，且k AC +4k BD =0，求证：直线AC 过定点，并求此定点．【分析】（1）求出M ，N 的坐标，可得S △FMN =|FM |•|FN |==，利用基本不等式求△FMN 面积的最小值；（2）利用k AC +4k BD =0，得出x 1x 3=4，可得直线AC 的方程，即可得出结论．【解答】（1）解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为y=kx +联立抛物线方程，得x 2﹣2kx ﹣1=0，，同理∴S △FMN =|FM |•|FN |==≥1 当且仅当k=±1时，△FMN 的面积取最小值1．…（5分）（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为y=kx +，联立抛物线方程，得x 2﹣2kx ﹣1=0，∴x 1x 2=﹣1， 同理，x 3x 4=﹣1 …（7分）故k AC +4k BD === 注意到点A 、C 在第一象限，x 1+x 3≠0，故得x 1x 3=4，…（10分）直线AC 的方程为， 化简得即所以，直线AC 恒经过点（0，﹣2）…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点P （x ，y ）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，直线OM 与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．【分析】（1）由题意列关于P的坐标的函数关系式，整理可得动点P的轨迹C 的方程；（2）设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B中点的坐标，得到直线PQ的，求出圆心与直线mx+2y=0的距离为，得到|PQ|．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，圆心与直线mx+2y=0的距离为，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d=．令m2+4=t（t≥4），则S=（）．当，即时，．。
2016-2017学年成都市树德中学八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2016-2017学年成都市树德中学八年级（上）期中数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列实数中是无理数的是（）A．0.38 B．2 C．D．2．下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，，23．16的算术平方根是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．24．估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间5．点P（2，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（）A．（2，3 ）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）6．已知一等腰直角三角形的斜边长为10cm，则腰长为（）A．5cm B．C．D．7．在根式，，，中与是同类二次根式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若在实数范围内有意义，则（）A．x≥1 B．x≠1 C．x＞1 D．x≤19．若过点P和点A（3，2）的直线平行于x轴，过点P和B（﹣1，﹣2）的直线平行于y轴，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2 ）B．（﹣2，2）C．（3，﹣1）D．（3，﹣2）10．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题（每小题4分，共16分）11．﹣8的立方根是．12．已知M（3，0），N（﹣2，0），则MN的长度为．13．如果点P（a，﹣2）在第四象限，那么点Q（﹣a，4）所在的象限是第象限．14．如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则正方形A，B的面积之和为cm2．三、解答题（共54分）15．（12分）计算下列各式（1）+（2）（﹣）÷（3）+（π﹣2）0﹣|﹣|﹣（﹣1）201616．（6分）解方程：（x﹣3）2＝16．17．（10分）解下列方程组：（1）（2）18．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A做AB的垂线，交BP 的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．（1）求证：△AMN≌△PAQ；（2）求证：PC＝AN；（3）若NP＝4，AQ＝8，求BC的长．B卷（50分）一、填空题：（每题4分，共20分）19．已知点A（a，﹣2）和点B（8，a+2b）关于y轴对称，那么a＝，b＝．20．二元一次方程组的解满足方程x﹣2y＝5，那么k的值为．21．（填“＞、＝或＜”）．22．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当∠APB＝90°时，AP的长为．23．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．二.解答题（共30分）24．（8分）已知x＝，y＝；（1）求x2+y2﹣xy的值；（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值．25．（10分）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点．（1）求△ABC的面积；（2）点D为x轴上一动点，△ABD的面积是△ABC的面积的2倍，求D点的坐标；（3）在x轴上是否存在一点E，使△ABE为等腰三角形？若存在请直接写出点E的坐标，若不存在请说明理由．26．（12分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝，PA＝2，则：①线段PB＝；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2＝PQ2；（3）如图3，在平面直角坐标系中，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，0），点P为线段AC外一动点，且PA＝2，PM＝PC，∠CPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：0.38，2，是有理数，是无理数，故选：D．2．【解答】解：A、∵22+32≠42，∴以2，3，4为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；B、∵32+42＝52，∴以3，4，5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴以5，12，13为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵12+（）2＝22，∴以1，，2为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．3．【解答】解：∵42＝16，∴16的算术平方根是4，故选：A．4．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，则的值在3和4之间，故选：B．5．【解答】解：点P（2，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3），故选：B．6．【解答】解：设腰长为xcm，由勾股定理，得x2+x2＝102，解得x＝5．∴腰长为5cm．故选：C．7．【解答】解：∵＝2，＝3，∴与是同类二次根式的有2个：，，故选：B．8．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．9．【解答】解：∵过点P和点A（3，2）的直线平行于x轴，∴P的纵坐标为2，∵过点P和B（﹣1，﹣2）的直线平行于y轴，∴点P的横坐标为﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，2）．故选：A．10．【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝．∵（）2+（）2＝（）2．∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°．故选：C．11．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．12．【解答】解：∵点M（3，0），N（﹣2，0），∴MN的长度为：3﹣（﹣2）＝5，故答案为：5．13．【解答】解：∵点P（a，﹣2）在第四象限，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴点Q（﹣a，4）所在的象限是第二象限．故答案为：二．14．【解答】解：∵正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，∴a2+b2＝82，∴正方形A、B的面积和＝a2+b2＝82＝64（cm2）．故答案为：64．三、解答题15．【解答】解：（1）原式＝2+＝3；（2）原式＝﹣＝3﹣2＝1；（3）原式＝﹣1+1﹣﹣1＝﹣1．16．【解答】解：由原方程直接开平方，得x﹣3＝±4，∴x＝3±4，∴x1＝7，x2＝﹣1．17．【解答】解：（1）①+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：6﹣y＝6，解得：y＝0，所以原方程组的解为：；（2）整理得：①﹣②×2得：x＝2，把x＝2代入②得：y＝3，所以原方程组的解为：．18．【解答】解：（1）∵AM⊥AB，PQ⊥AB∴PQ∥AM∴∠MAN＝∠APQ，且AQ＝MN，∠AQP＝∠ANM＝90°∴△AMN≌△PAQ（AAS）（2）∵△AMN≌△PAQ；∴AP＝AM，AN＝QP，∴∠APM＝∠AMP∵AM∥PQ∴∠AMP＝∠BPQ∴∠AMP＝∠BPQ＝∠APM＝∠BPC∴∠BPQ＝∠BPC，且BP＝BP，∠BCP＝∠BQP∴△BCP≌△BQP（AAS）∴PC＝PQ，且AN＝PQ∴PC＝AN（3）∵NP＝4，AQ＝8，AN＝PQ∴AP＝PQ+4在Rt△AQP中，AP2＝AQ2+PQ2．∴（PQ+4）2＝64+PQ2．∴PQ＝6∴AN＝PQ＝PC＝6∴AC＝16∵△BCP≌△BQP∴BC＝BQ在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2．∴（8+BC）2＝BC2+256∴BC＝1219．【解答】解：∵点A（a，﹣2）和点B（8，a+2b）关于y轴对称，∴，解得：．故答案为：﹣8，3．20．【解答】解：，①+②，得4x＝12k，解得x＝3k，①﹣②，得2y＝﹣2k，解得y＝﹣k，所以原方程组的解为．把代入方程x﹣2y＝5，得×3k﹣2（﹣k）＝5，解得k＝．故答案为．21．【解答】解：＝8+4，＝8+2，∵8+4＜8+2，∴＜，∴＜．故答案为：＜．22．【解答】解：当∠APB＝90°时（如图1），∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝AB•sin60°＝4×＝2，故答案为：2．23．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝2，在Rt△AOD中，OD＝＝2，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．故答案为：2﹣2．24．【解答】解：（1）∵x＝＝2﹣，y＝＝2+，∴x+y＝（2﹣）+（2+）＝4，xy＝（2﹣）×（2+）＝4﹣3＝1，∴x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy＝42﹣3×1＝16﹣3＝13；（2）∵1，∴﹣1＞﹣＞﹣2，3＜2+＜4，∴1＞2﹣＞0，b＝2+﹣3＝﹣1，∴a＝2﹣，∴a+b＝（2﹣）+（﹣1）＝1，a﹣b＝（2﹣）﹣（﹣1）＝3﹣2＝3﹣＜0，∴（a+b）2+＝12+|3﹣2|＝1+2﹣3＝2﹣2．25．【解答】解：（1）∵B（3，0），C（3，4），∴BC＝4，且BC⊥x轴，则△ABC的面积为×BC×x B＝×4×2＝4；（2）设点D（x，0），则BD＝|x﹣3|，∴S△ABD＝•|x﹣3|•y A＝•|x﹣3|×2＝|x﹣3|，根据题意，得：|x﹣3|＝2×4，解得：x＝11或x＝﹣5，所以点D的坐标为（11，0）或（﹣5，0）；（3）设点E（a，0），则AE＝＝，BE＝|a﹣3|，AB＝＝，当AE＝BE时，＝|a﹣3|，解得a＝，此时点E坐标为（，0）；当BE＝BA时，|a﹣3|＝，解得a＝3±，此时点E坐标为（3+，0）或（3﹣，0）；当AB＝AE时，＝，解得a＝3（与点B重合，舍去）或a＝﹣3，此时点E的坐标为（﹣3，0）；综上，存在这样的点E，使△ABE为等腰三角形，且点E的坐标为（，0）或（3+，0）或（3﹣，0）或（﹣3，0）．26．【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2+2，∴PB＝AB﹣AP＝2，故答案为：2；②连接BQ，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠A＝45°，∴∠PBQ＝90°，∴BQ2+PB2＝PQ2，即PA2+PB2＝PQ2；（2）由（1）②得，△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠A＝45°，∴∠PBQ＝90°，∴BQ2+PB2＝PQ2，即PA2+PB2＝PQ2；（3）如图3，连接CM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PCN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，CN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，0），∴OA＝2，OC＝5，∴AC＝3，∴线段AM长的最大值＝线段CN长的最大值，∴当N在线段CA的延长线时，线段CN取得最大值，最大值＝AC+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2+3；如图4，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝CO﹣AC﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，∴P（2﹣，）．。
精选四川省成都市树德中学2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题文
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 文一、选择题（每小题5分，共60分）1、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是（） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该高中某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4、下列说法正确的是 （ ）A.命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >，则1≤x ”B.命题“若200,1x R x ∃∈>”的否定是“2,1x R x∀∈<”C.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.85B.1311C.138D.21136、已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y=-的取值范围是 （ ） A.3[,6]2-B.3[,1]2-- C.[1,6]- D.3[6,]2-7、在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不．小于．．9cm 2的概率为（ ） A ．910B ．45C ．23D ．128、直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN |≥2，则直线倾斜角的取值范围是（ ） A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 9、已知集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为（ ） A ．316πB ．16πC ．32πD ．332π 10、点M 是抛物线y 2=x 上的点，点N 是圆C ：()2231x y -+=上的点，则|MN|的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．11、已知椭圆的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ） A ．2B ．C ．D ．512、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（ ） A.24 B.26 C.30 D.32二、填空题（每小题5分，共20分）13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，___运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”） 14、已知圆O 1：x 2＋y 2＝1与圆O 2： (x ＋4)2＋(y －a )2＝25内切，则常数a ＝______ 15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且122F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221211e e +=_____16、已知y =a x(a >0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是_____三、解答题17、（10分）设命题p ：点（1，1）在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.（1）若椭圆22:14x y C n'+=与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程； （2）设抛物线C 与（1）中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；（2）直线l 过点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；（3）过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．设直线AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k . （1）若AB CD ⊥，且11k =，求△FMN 的面积； （2）若12111k k +=，求证：直线MN 过定点，并求此定点.22、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（文科）参考答案一、选择题 ADDDCA BCDAAD二、填空题13、乙 14、0 15、2 16、34三、解答题17、解：命题p 11m ⇔-<<，…………3分 命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分 (2)中位数17373.33≈…………6分 (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)． ∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a ，b ； 在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c ，d ，e ，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A ，所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分∴P (A )＝815………12分19、解:（1）椭圆22:14x y C n '+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……....6分 （2）由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去).所以22((,33A B ,则双曲线的渐近线方程为y =……………………8分0y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =±………………...……10分 因为点P 在双曲线上,642λ∴-==,故所求双曲线方程为:22312y x -=……………………………………….…………..12分20、解：（1）3x =或3410x y --=………3分（2）当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP ，CP AP=0∙∴化简得223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭………9分由于点P 在圆内，去除点（1，0），所以1C ：223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（1x ≠）………10分0k =………12分21、解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为12y x =+联立2122y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得x 2﹣2x ﹣1=0，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |＝1△FMN 的面积为1. ……....5分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为112y k x =+联立12122y k x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得21210x k x --=，2111,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2221,2N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……....7分k MN ＝221212121122k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即()121212y k k x k k =+-+，……....10分 又因为12111k k +=所以1212k k k k +=，∴MN 的方程为121212y k k x k k =-+即()12112y k k x =-+ ∴直线MN 恒过定点112⎛⎫⎪⎝⎭，．……....12分22、解：（12=． 两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…（3分）（2）因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，…....5分22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得：x2=，|PQ|=....7分 方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4.…....10分 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝12∙==2≥2即0m =时，min 2S =.…....12分 方法二：P （，），Q （，），P 到直线AB 的距离d 1=，Q 到直线AB 的距离d 2=，∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称，∴S APBQ =丨AB 丨（d 1+d 2）=••（ +）=，.…....10分∴S APBQ ==2≥2，即0m =时，min 2S =.…....12分。
数学---四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)段考试卷(解析版)
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）段考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x+3y+a=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°2．（5分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．（5分）若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．3 B．C．2 D．4．（5分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6 5．（5分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．6．（5分）原点在圆C：x2+y2+2y+a﹣2=0外，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜27．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．（5分）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣110．（5分）已知方程x2+﹣=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2）、B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．随θ值的变化而变化11．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元12．（5分）已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x ﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为．14．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为．15．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的取值范围是．16．（5分）设集合，B={（x，y）|2m ≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（10分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：（1）l1∥l2（2）l1⊥l2．18．（12分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．19．（12分）设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x ﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．20．（12分）设约束条件所确定的平面区域为D．（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．（2）设向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．21．（12分）已知圆M：x2+（y﹣1）2=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．22．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）若S△MON=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．参考答案一、选择题1．C【解析】设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．∴tanα=﹣，∴α=150°．故选：C．2．B【解析】两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选B．3．C【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示解得A（2，3）、B（1，0）、C（0，1），所以S△ABC=2；（表示的平面区域的面积为：矩形的面积﹣三个三角形的面积=2×3﹣﹣2﹣=2．）故选C．4．A【解析】法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6,答案：a=，b=65．B【解析】联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率k AP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．故选B．6．B【解析】∵圆x2+y2+2y+a﹣2=0，即x2+（y+1）2=3﹣a，∴3﹣a＞0，即a＜3．∵原点（0，0）在圆x2+y2+2y+a﹣2=0的外部，∴a﹣2＞0，∴a＞2．综上可得，2＜a＜3，故选：B．7．B【解析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．8．D【解析】设直线的方程为：y﹣1=k（x﹣1），（k≠0）．令x=0，解得y=1﹣k；令y=0，解得x=1﹣．∴|（1﹣k）（1﹣）|=4，化为（k﹣1）2=±8k，即k2﹣10k+1=0，k2+8k+1=0，由于△＞0，可得两个方程共有4个不同的解．因此直线l共有4条．故选：D．9．D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D10．B【解析】由a和b为方程x2+﹣=0的两个不等的实根，得到a+b=﹣，ab=﹣，又A（a，a2）、B（b，b2），得到直线AB的斜率k==a+b，线段AB的中点坐标为（，）所以直线l AB：y=（b+a）（x﹣）+．由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，则圆心到直线AB的距离d=====1=r．所以直线AB与圆的位置关系是相切．故选B11．C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=280012．D【解析】如图所示，圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1﹣，故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，点P（t，t）在直线y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），直线O2O1′与y=x的交点为原点O，则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|﹣|PM|的最大值为2．故选D．二、填空题13．【解析】M为AB的中点设为（x，y，z），∴x==2，y=，z==3，∴M（2，，3），∵C（0，1，0），∴MC==，故答案为：．14．【解析】圆的圆心坐标（2，0）半径为，如图：设=k，则y=kx，所以k为过原点与圆x2+y2﹣4x+1=0上的点连线的斜率．由几何意义知，直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值或最小值，圆的半径为，圆心到原点的距离为2，所以k=tan60°=，所以的最大值是．故答案为：．15．[1，]【解析】=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），则||=，设z=||=，则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z==，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1≤z≤，即的取值范围是[1，]，故答案为：[1，]．16．[，2+]【解析】依题意可知，若A∩B≠∅，则A≠∅，必有，解可得m≤0或m≥，此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，此时A∩B=∅，不合题意；②当m＜0时，有||＜﹣m或||＜﹣m；则有﹣m＞﹣m，或﹣m＞﹣m，又由m＜0，则（﹣1）m＜，可得A∩B=∅，不合题意；③当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．三、解答题17．解：（1）由题意，，∴a=﹣1；（2）∵（a﹣1）+2a=0，∴a=．18．解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．即2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2）由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|P A|（当l⊥P A时等号成立）．∴d max=|P A|=．19．解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，即b2﹣4＜0，解得：﹣2＜b＜2；（2）当b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，故|AB|的最大值为2，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，|AB|=2=2，故|AB|的最小值为2．20．解：（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，如右图阴影部分则S△OAB|OA|•|AB|=t2，S△DEF=|DE|•|EF|=（1﹣t）2，∴五边形ABCDE面积S=S△OCF﹣S△OAB﹣S△DEF=×2×1﹣t2﹣（1﹣t）2=﹣t2+t+即f（t）=﹣t2+t+，其中0＜t＜1（2）向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，可得（x，y）=m（1，﹣1）+n（2，﹣1），可得，令z=m+3n，∴z=m+3n=2x+y，m+3n的最大值就是2x+y的最大值，由（1）可知可行域D（，）点，并且直线2x+y=z 经过（，）点时取得最大值：，21．解（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，∴=1，∴m=或0，∴QA，QB的方程分别为3x+4y﹣3=0和x=1．（2）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|=．在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，即1=|MQ|，∴|MQ|=3，∴x2+（y﹣2）2=9．设Q（x，0），则x2+22=9，∴x=±，∴Q（±，0），∴MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．22．解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，所以＜1．解得＜k＜．所以k的取值范围为：（，）．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．所以x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=（1+k）2（x1x2）+k（x1+x2）+1=．由题设可得S△MON=6tan∠MON，可得=12．即=12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．。
四川省成都市树德中学2016届高三数学10月阶段性考试试题 理
高2013级第五期10月阶段性考试数学试题（理）（试卷共150分考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则A B⋂=（）A．（﹣∞，1] B．(1,)+∞C．（0，1] D．[0，1]2．已知复数Z满足(12)5Z i i-=g，则复数Z在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 分配4名煤气工去3个不同的居民家里检查煤气管道，要求4名煤气工都分配出去，并每名煤气工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A． 24种B．18种C． 72种D．36种4．已知m R∈，“函数21xy m=+-有零点”是“函数logmy x=在0+∞（，）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若如图所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是（）A．n≥3 B．n≥4C．n≥5 D．n≥66.一个几何体的三视图（单位：Cm）如图所示，则该几何体的体积是80cm3．则图中的x等于（）A．B．C． 3 D．67.设a＞0，b＞0，若点P（1，1）到直线（a+1）x+（b+1）y﹣2=0的距离为1，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．8.O为坐标原点，点M的坐标为（1，1），若点N（x，y）的坐标满足，则的最大值为（）A．B． 2C．D．29.若实数x，y满足|x－1|－ln1y＝0，则y关于x的函数图象的大致形状是( )10.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2线与圆x2+y2=b2相切于点A，并与椭圆C交与不同的两点P，Q，如图，PF1⊥PQ，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11.定义：12nnp p p+++为n个正数123,,np p p p的“均倒数”。
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题文科
四川省成都市树德中学2016—2017学年高二数学上学期期末考试试题 文一、选择题（每小题5分，共60分)1、设a ∈R ,则“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋2y －1＝0与直线l 2:x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）(i=1，2,…,n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x —85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该高中某学生身高增加1cm,则其体重约增加0。
85kg D 。
若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4、下列说法正确的是 ( )A 。
命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >,则1≤x "B 。
命题“若200,1x R x ∃∈>"的否定是“2,1x R x∀∈<"C 。
命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D 。
命题“若x y =,则y x cos cos ="的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A 。
85B 。
错误!C 。
错误! D.错误! 6、已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y=-的取值范围是 （ ) A.3[,6]2-B.3[,1]2-- C 。
四川省成都市树德中学(9中)高2016级11月阶段性测试数学文科
成都树德中学高2016级11月阶段性测试数学试题（文科）满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合}2|{)},9lg(|{22x y y N x y x M -==-==，则=⋃N M（A ）}23|{≤<-y y （B ）}33|{<<-y y （C ）}3|{<y y （D ）}2|{≤y y 2.命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题是（A ）若b a >，则c b c a +≤+ （B ）若c b c a +≤+，则b a ≤ （C ）若c b c a +>+，则b a > （D ）若b a ≤，则c b c a +≤+3．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是4.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=+||221z z z （A ）i 22+ （B ）i 22- （C ）i +-2 （D ）i --25. 双曲线1222=-x y 的焦点到渐近线的距离为（A ）2 （B ）1 （C ）22（D ）36. 已知⎩⎨⎧≥<=-0,log 0,2)(2x x x x f x ，则=+)81(log )81(2f f（A ）3 （B ）5 （C ）11 （D ）12 7. 如图正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（A ）14 （B ）π8 （C ）12 （D ）π48．已知函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的最大值为4，最小值为4-，最小正周期为2π，直线3π=x 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（A ）)64sin(4π+=x y （B ）)34sin(4π+=x y（C ）)34sin(2π+=x y （D ）)64sin(4π-=x y9.函数xx f x 1)21()(1-=-的零点个数为（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 10.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输人n ，x 的值分別为4，5，则输出ν的值为（A ）211 （B ）1055 （C ）1048 （D ）100 11. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且有)1()1(+=-x f x f ，任意不等实数]1,0[,21∈x x 都有0))](()([2121>--x x x f x f ，则=a )1sin 2(+f 、=b )1cos (-f 、=c )2019(f 的大小关系是 （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a << （D ）c a b <<12.已知圆1)1(:22=+-y x C ，圆)(4)sin 4()cos 41(:22R y x M ∈=-+--θθθ，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE 、，切点分别为F E 、，则⋅的最小值是（A ）32 （B ）3 （C ）3 （D ）23二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x 则y x z -=的最小值是__________。
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 含答案
即 时， 。…。。..12分
联立 ,得 ， ，同理 …….。.。7分
kMN＝
∴MN的方程为 ，即 ，……。.。.10分
又因为 所以 ，∴MN的方程为 即
∴直线MN恒过定点 ．……。。..12分
22、解:（1）由已知，得 ．
两边平方，化简得 ＋y2＝1．故轨迹 的方程是 ．…（3分)
（2)因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1,A（x1,y1),B(x2，y2)，
13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，___运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）
14、已知圆O1:x2＋y2＝1与圆O2：（x＋4）2＋（y－a）2＝25内切，则常数a＝______
15、已知 是椭圆和双曲线的公共焦点, 是它们的一个公共点,且 ,椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 _____
5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ )
A. B。 C。 D。
6、已知变量 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是 （ )
A。 B. C. D.
7、在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（ )
A． B． C． D．
A． B．
C．2D．
11、已知椭圆 的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（ )
A．2 B．
C． D．5
12、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（ )
A.24B。26C.30D。32
二、填空题（每小 题5分,共20分)
2016-2017年四川省成都市树德中学高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．7．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2D．﹣111．（5分）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2B．C．D．512．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD 的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D．5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．7．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x，则BC=10﹣x，由矩形的面积S=x（10﹣x）≥9可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．8．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tanθ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．9．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2D．﹣1【分析】设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题即可．【解答】解：设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，C点坐标（3，0），由于M在y2=x上，设M的坐标为（y2，y），∴|CM|==≥，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为﹣1．故选：A．11．（5分）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2B．C．D．5【分析】由切线的性质可得S==|PM|．因此要使四边形四边形PMFNPMFN面积取得最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．【解答】解：如图所示，由椭圆C1：+=1可得a=4，c==1，∴F（﹣1，0）．由切线PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．S四边形PMFN==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，则|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．∴|PM|=2，∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．12．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=0．【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，利用圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，求出圆心距等于半径差，即可得出结论．【解答】解：∵圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1；圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，圆心坐标（﹣4，a），半径为：5，∵圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，∴两个圆的圆心距d==4，∴a=0．故答案为0．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=2．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|并且，，在△F1PF2中根据勾股定理可得到：，该式可变成：=2．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：得|PF1|+|PF2|=2a1+a2，∴|PF1|﹣||PF2|=2a2∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由勾股定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2∴化简得：该式可变成：=2．故答案为：216．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（3分）（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（6分）（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…（8分）其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…（10分）∴P（A）=．…（12分）19．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，即可得椭圆C的焦点坐标，结合椭圆的几何性质可得4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的方程，即可得答案；（2）联立抛物线与椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=4x，其焦点坐标为（1，0），椭圆的焦点为（1，0），则有c=1，对于椭圆，可知4﹣n=1，∴n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程；（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程；（3）求出轨迹C1，直利用线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…（3分）（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…（6分）（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，，∴化简得…（9分）由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C1：（x≠1）…（10分）因为直线与曲线C1只有一个交点，所以圆心到直线的距离d==或k=0，所以…（12分）21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD 的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．【分析】（1）设AB的方程为，联立，求出M，N的坐标，即可求△FMN的面积；（2）求出直线MN的方程，即可证明直线MN过定点，并求此定点．【解答】解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为联立，得x2﹣2x﹣1=0，，同理=|FM|•|FN|==1∴S△FMN△FMN的面积为1．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为联立，得x2﹣2k1x﹣1=0，，同理…（7分）k MN=∴MN的方程为，即，…（10分）又因为，所以k1+k2=k1k2，∴MN的方程为即∴直线MN恒过定点．…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．【分析】（1）由题意列关于P的坐标的函数关系式，整理可得动点P的轨迹C 的方程；（2）设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B中点的坐标，得到直线PQ的方程，求出|PQ|．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，联立，整理得：x2=，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx 1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d==2≥2．即m=0时，S min=2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．7．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A． B．C．D．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣111．（5分）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2 B． C． D．512．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．（5分）（2015•龙岩模拟）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．4．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D5．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x ﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．（5分）（2016•广西二模）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．8．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．9．（5分）（2015•秦安县一模）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A． B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D10．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣1【解答】解：设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，C点坐标（3，0），由于M在y2=x上，设M的坐标为（y2，y），∴|CM|==≥，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为﹣1．故选A．11．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2 B． C． D．5【解答】解：如图所示，由椭圆C1：+=1可得a=4，c==1，∴F（﹣1，0）．由切线PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．S四边形PMFN==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，则|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．∴|PM|=2，∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．故选：A．12．（5分）（2013•成都二模）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=0．【解答】解：∵圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1；圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，圆心坐标（﹣4，a），半径为：5，∵圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，∴两个圆的圆心距d==4，∴a=0．故答案为0．15．（5分）（2016秋•青羊区校级期末）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=2．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：得|PF1|+|PF2|=2a1+a2，∴|PF1|﹣||PF2|=2a2∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由勾股定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2∴化简得：该式可变成：=2．故答案为：216．（5分）（2014•成都模拟）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【解答】解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：三、解答题17．（10分）（2016秋•青羊区校级期末）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．（12分）（2016秋•青羊区校级期末）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（3分）（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（6分）（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…（8分）其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…（10分）∴P（A）=．…（12分）19．（12分）（2016秋•青羊区校级期末）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=4x，其焦点坐标为（1，0），椭圆的焦点为（1，0），则有c=1，对于椭圆，可知4﹣n=1，∴n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．（12分）（2016秋•青羊区校级期末）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…（3分）（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…（6分）（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，，∴化简得…（9分）由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C1：（x≠1）…（10分）因为直线与曲线C1只有一个交点，所以圆心到直线的距离d==或k=0，所以…（12分）21．（12分）（2016秋•青羊区校级期末）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F 到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD 的中点．设直线AB、CD的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．【解答】解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为联立，得x2﹣2x﹣1=0，，同理=|FM|•|FN|==1∴S△FMN△FMN的面积为1．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为联立，得x2﹣2k1x﹣1=0，，同理…（7分）k MN=∴MN的方程为，即，…（10分）又因为，所以k1+k2=k1k2，∴MN的方程为即∴直线MN恒过定点．…（12分）22．（12分）（2016秋•青羊区校级期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，联立，整理得：x2=，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d==2≥2．即m=0时，S min=2．参与本试卷答题和审题的老师有：涨停；maths；刘长柏；豫汝王世崇；w3239003；邢新丽；742048；沂蒙松；lcb001；minqi5；zlzhan；陈远才；刘老师；danbo7801；sxs123（排名不分先后）菁优网2017年3月9日。
2016年四川省成都市树德中学七年级(上)期中数学模拟试卷与参考答案PDF
2015-2016学年四川省成都市树德中学七年级（上）期中数学模拟试卷A卷（100分）一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）|﹣5|的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．D．﹣2．（3分）在下列各平面图形中，是圆锥的表面展开图的是（）A．B．C．D．3．（3分）在下面的图形中，（）是正方体的展开图．A．B．C．D．4．（3分）用一个平面去截一个正方体，截出截面不可能是（）A．三角形B．五边形C．六边形D．七边形5．（3分）一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是（）A．是正数B．是负数C．是非负数D．是非正数6．（3分）在﹣，﹣20%，0这7个数中，非负整数的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（3分）已知|a|=5，|b|=2，则|a﹣b|的值是（）A．3 B．7 C．3或7 D．±3或±78．（3分）a的2倍与b的的差的平方，用代数式表示为（）A．2a2b2B．（2a b）2C．a2 b D．2a2﹣（b）29．（3分）设n是有理数，下列代数式的值一定是正数的是（）A．n﹣2000 B．2000n C．n2+2000 D．|n|10．（3分）商店分别以相同的价格300元卖出两件不同品牌的衬衣，其中一件盈利20%，另一件亏本20%，该商店在这次买卖中（）A．不亏不赚B．亏了25元C．赚了25元D．不能确定二、填空题：（每小题3分，共15分）11．（3分）（1）（﹣1）2009+（﹣1）2010=．（2）一个数的平方等于64，则这个数是（3）一个数的立方等于64，则这个数是．12．（3分）用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用小正方体的个数是个．13．（3分）若a＜0，化简|a﹣（﹣a）|=．14．（3分）关于x的代数式3x2﹣nx2﹣x的各项系数的和为0，则n=．15．（3分）若a2=b2，且ab＜0，b和c互为倒数，则（a+b）3﹣（﹣bc）1003=．三、计算（每小题25分，共25分）16．（25分）（1）（2）（3）99×（﹣29）（4）化简：1﹣（3xy+x）+[﹣（2x﹣3yx）]（5）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x的绝对值等于3，试求下列代数式的值：x3﹣（1+m+n+ab）x2+（m+n）x2009+（﹣ab）2007．四、解答题（共10分）17．（4分）如图是几个小正方体所搭的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置的小正方体的个数，请画出该几何体的主视图和左视图．18．（6分）分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图．五．找规律（本题共8分）．19．（8分）问题解决：一张长方形桌子可坐6人，按如图方式将桌子拼在一起．（1）2张桌子拼在一起可坐人，3张桌子拼在一起可坐人，…n 张桌子拼在一起可坐人．（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人．六、生活问题（12分）20．（12分）先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会对保密要求越来越高，密码正在成：为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1，2，3…25，26这26个自然数（见下表）：给出一个变换公式：将明文转换成密文，如：4⇒，即R变为L．11⇒，即A变为S．将密文转换成明文，如：21⇒3×（21﹣17）﹣2=10，即X变为P13⇒3×（13﹣8）﹣1=14，即D变为F．（1）按上述方法将明文NET译为密文；（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．（B卷，50分）一、填空题：（每小题4分，共计20分）21．（4分）若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则=．22．（4分）若a+19=b+9=c+8，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=．23．（4分）代数式3x2﹣4x+6的值9，则x2﹣+6=．24．（4分）已知当x=2时，代数式ax3+bx﹣2=5，则当x=﹣2时，ax3+bx﹣2=．25．（4分）已知几何体的主视图与左视图如下：则最多需要个小正方体所搭，最少需要个小正方体所搭．二．解答题（共30分）．26．（8分）如图所示，求阴影部分的面积．27．（10分）（1）已知a﹣b=5，ab=﹣1，求代数式（2a+3b﹣2ab）﹣（a+4b+ab）﹣（3ab+2b﹣2a）的值．（2）已知代数式﹣2x2﹣mxy+3y2﹣2xy﹣不含有xy项，求代数式2m﹣{﹣1+[3（m+2）+6m]﹣5}的值．28．（12分）铁中羽毛球队为参加校运动会，需要购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（x＞6），羽毛球拍市场价为200元/支，羽毛球为30元/盒．甲商场优惠方案为：所有商品9折．乙商场优惠方案为：买1支羽毛球拍送1盒羽毛球，其余原价销售．（1）用x的代数式分别表示在甲商场和乙商场购买所有物品的费用．（2）当x=20时，分别计算在甲商场和乙商场购买所需费用．（3）猜想：当x在什么范围时，在甲商场购买比在乙商场购买划算．（直接写出答案）2015-2016学年四川省成都市树德中学七年级（上）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析A卷（100分）一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）|﹣5|的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．D．﹣【解答】解：根据绝对值的定义，∴︳﹣5︳=5，根据相反数的定义，∴5的相反数是﹣5．故选：A．2．（3分）在下列各平面图形中，是圆锥的表面展开图的是（）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的展开图是由一个扇形和一个圆形组成的图形．故选：C．3．（3分）在下面的图形中，（）是正方体的展开图．A．B．C．D．【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A选项缺少一个小正方形，故不是正方体的展开图；B、D选项都出现了“田”字，不能围成正方体，只有选项C可以拼成一个正方体．故选：C．4．（3分）用一个平面去截一个正方体，截出截面不可能是（）A．三角形B．五边形C．六边形D．七边形【解答】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此不可能是七边形．故选：D．5．（3分）一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是（）A．是正数B．是负数C．是非负数D．是非正数【解答】解：设|a|=﹣a，|a|≥0，所以﹣a≥0，所以a≤0，即a为非正数．故选：D．6．（3分）在﹣，﹣20%，0这7个数中，非负整数的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：﹣（﹣5），（﹣1）2，0是非负整数．故选：B．7．（3分）已知|a|=5，|b|=2，则|a﹣b|的值是（）A．3 B．7 C．3或7 D．±3或±7【解答】解：因为|a|=5，|b|=2，可得：a=±5，b=±2，所以当a=5，b=2时，|a﹣b|=3；当a=﹣5，b=2时，|a﹣b|=7；当a=5，b=﹣2时，|a﹣b|=7；当a=﹣5，b=﹣2时，|a﹣b|=3；故选：C．8．（3分）a的2倍与b的的差的平方，用代数式表示为（）A．2a2b2B．（2a b）2C．a2 b D．2a2﹣（b）2【解答】解：∵a的2倍与b的的差为2a﹣b，∴差的平方为（2a b）2，故选：B．9．（3分）设n是有理数，下列代数式的值一定是正数的是（）A．n﹣2000 B．2000n C．n2+2000 D．|n|【解答】解：A、n≤2000时，|a|=0，n﹣2000不是正数，故本选项错误；B、n≤0时，2000n≤0，故本选项错误；C、n2+2000一定是正数，故本选项正确；D、n=0时，|n|是0，故本选项错误．故选：C．10．（3分）商店分别以相同的价格300元卖出两件不同品牌的衬衣，其中一件盈利20%，另一件亏本20%，该商店在这次买卖中（）A．不亏不赚B．亏了25元C．赚了25元D．不能确定【解答】解：设盈利的衬衣的进价为x，另一件为y，根据题意，得x（1+20%）=300；得x=250．即盈利了50元．y（1﹣20%）=300，得y=375．即亏本75元．综合评价商店亏本25元．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共15分）11．（3分）（1）（﹣1）2009+（﹣1）2010=0．（2）一个数的平方等于64，则这个数是±8（3）一个数的立方等于64，则这个数是4．【解答】解：（1）（﹣1）2009+（﹣1）2010=﹣1+1=0；（2）一个数的平方等于64，则这个数是±8；（3）一个数的立方等于64，则这个数是4．故答案为：（1）0；（2）±8；（3）4．12．（3分）用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用小正方体的个数是5个．【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个．13．（3分）若a＜0，化简|a﹣（﹣a）|=﹣2a．【解答】解：∵a＜0，∴|a﹣（﹣a）|=|2a|=﹣2a，故答案为：﹣2a．14．（3分）关于x的代数式3x2﹣nx2﹣x的各项系数的和为0，则n=2．【解答】解：∵关于x的代数式3x2﹣nx2﹣x的各项系数的和为0，∴3﹣n﹣=0，解得：n=2．故答案为：2．15．（3分）若a2=b2，且ab＜0，b和c互为倒数，则（a+b）3﹣（﹣bc）1003=1．【解答】解：∵a2=b2，∴a=b或a=﹣b．∵ab＜0，∴a=﹣b．∴a+b=0．∵b和c互为倒数，∴bc=1．∴原式=03﹣（﹣1）1003=0﹣（﹣1）=0+1=1．故答案为：1．三、计算（每小题25分，共25分）16．（25分）（1）（2）（3）99×（﹣29）（4）化简：1﹣（3xy+x）+[﹣（2x﹣3yx）]（5）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x的绝对值等于3，试求下列代数式的值：x3﹣（1+m+n+ab）x2+（m+n）x2009+（﹣ab）2007．【解答】解：（1）原式=﹣4×25×5×=﹣；（2）原式=﹣40+55+56﹣8=63；（3）原式=（100﹣）×（﹣29）=﹣2900+1=﹣2899；（4）原式=1﹣3xy﹣x﹣2x+3xy=1﹣3x；（5）根据题意得：m+n=0，ab=﹣1，x=3或﹣3，当x=3时，原式=27+0+1=28；当x=﹣3时，原式=﹣27+0+1=﹣26．四、解答题（共10分）17．（4分）如图是几个小正方体所搭的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置的小正方体的个数，请画出该几何体的主视图和左视图．【解答】解：如图所示：．18．（6分）分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图．【解答】解：五．找规律（本题共8分）．19．（8分）问题解决：一张长方形桌子可坐6人，按如图方式将桌子拼在一起．（1）2张桌子拼在一起可坐8人，3张桌子拼在一起可坐10人，…n张桌子拼在一起可坐2n+4人．（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐112人．【解答】解：（1）2张桌子拼在一起可坐2×2+4=8人，3张桌子拼在一起可坐2×3+4=10人，那么n张桌子拼在一起可坐（4+2n）人；（2）因为5张桌子拼在一起，40张可拼40÷5=8张大桌子，再利用字母公式，得出40张大桌子共坐8×（4+2×5）=112人．六、生活问题（12分）20．（12分）先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会对保密要求越来越高，密码正在成：为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1，2，3…25，26这26个自然数（见下表）：给出一个变换公式：将明文转换成密文，如：4⇒，即R变为L．11⇒，即A变为S．将密文转换成明文，如：21⇒3×（21﹣17）﹣2=10，即X变为P13⇒3×（13﹣8）﹣1=14，即D变为F．（1）按上述方法将明文NET译为密文；（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．【解答】解：（1）将明文NET转换成密文：N→25→+17=26→ME→3→=1→QT→5→+8=10→P即NET密文为MQP；（2）D→13→3×（13﹣8）﹣1=14→FW→2→3×2=6→YN→25→3×（25﹣17）﹣2=22→C即密文DWN的明文为FYC．（B卷，50分）一、填空题：（每小题4分，共计20分）21．（4分）若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则=9900．【解答】解：∵100！=100×99×98×97×...×1，98！=98×97× (1)∴==100×99=9900．22．（4分）若a+19=b+9=c+8，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=222．【解答】解：由a+19=b+9=c+8得a﹣b=﹣10，b﹣c=﹣1，c﹣a=11．∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2，=（﹣10）2+（﹣1）2+112，=100+1+121，=222．故答案为：222．23．（4分）代数式3x2﹣4x+6的值9，则x2﹣+6=7．【解答】解：∵3x2﹣4x+6的值9，∴3x2﹣4x+6=9，∴x2﹣=1，∴x2﹣+6=1+6=7．故答案为7．24．（4分）已知当x=2时，代数式ax3+bx﹣2=5，则当x=﹣2时，ax3+bx﹣2=﹣9．【解答】解：当x=2时，多项式ax3+bx﹣2=5，∴8a+2b﹣2=5，即8a+2b=7，当x=﹣2时，ax3+bx﹣2=﹣8a﹣2b﹣2=﹣（8a+2b）﹣2=﹣7﹣2=﹣9．故答案为：﹣9．25．（4分）已知几何体的主视图与左视图如下：则最多需要5个小正方体所搭，最少需要11个小正方体所搭．【解答】解：组成这个几何体的小正方体的个数最少为3+1+1=5个小正方体，最多为9+1+1=11个小正方体．故答案为：5，11．二．解答题（共30分）．26．（8分）如图所示，求阴影部分的面积．【解答】解：依题意得：S=4a2﹣πa2﹣（4a2﹣π×4a2）=πa2，阴影答：阴影部分的面积是πa2．27．（10分）（1）已知a﹣b=5，ab=﹣1，求代数式（2a+3b﹣2ab）﹣（a+4b+ab）﹣（3ab+2b﹣2a）的值．（2）已知代数式﹣2x2﹣mxy+3y2﹣2xy﹣不含有xy项，求代数式2m﹣{﹣1+[3（m+2）+6m]﹣5}的值．【解答】解：（1）原式=2a+3b﹣2ab﹣a﹣4b﹣ab﹣3ab﹣2b+2a=3（a﹣b）﹣6ab，当a﹣b=5，ab=﹣1时，原式=15+6=21；（2）代数式﹣2x2﹣mxy+3y2﹣2xy﹣=﹣2x2﹣（m+2）xy+3y2﹣不含有xy项，得到m+2=0，即m=﹣2，则原式=2m+1﹣3m﹣6﹣6m+5=﹣7m=14．28．（12分）铁中羽毛球队为参加校运动会，需要购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（x＞6），羽毛球拍市场价为200元/支，羽毛球为30元/盒．甲商场优惠方案为：所有商品9折．乙商场优惠方案为：买1支羽毛球拍送1盒羽毛球，其余原价销售．（1）用x的代数式分别表示在甲商场和乙商场购买所有物品的费用．（2）当x=20时，分别计算在甲商场和乙商场购买所需费用．（3）猜想：当x在什么范围时，在甲商场购买比在乙商场购买划算．（直接写出答案）【解答】解：（1） 甲商场的花费：（6×200+30x）•90%=1080+27x，乙商场的花费：6×200+30（x﹣6）=1020+30x；（2） 当x=20时，甲商场费用是：1080+27×20=1620（元），乙商场费用是：1020+30×20=1620（元）；（3）x＞20时，在甲商场购买比在乙商场购买划算．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)11月月考数学试卷(文科)
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（）A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（﹣5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4xC．y2=2x D．y2=﹣4x或y2=4x3．已知命题p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程=1表示双曲线，则p是q的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x+y的取值范围是（）A．B．C．D．5．圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A． B．C．D．6．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．4C．6 D．27．下列命题中真命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；（2）“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件；（3）命题p：x≠y，q：sinx≠siny，则p是q的必要不充分条件；（4）设函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x），”是“函数f（x）为增函数”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．9．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知直线y=x+1与椭圆mx2+my2=1（m＞n＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于﹣，则双曲线=1的离心率等于（）A．2 B．C．D．11．已知A，B分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，不同两点P，Q 在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A． B．C．D．12．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB．设直线BD、AB的斜率分别为k1、k2，若，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知抛物线方程为y=4x2，则抛物线的焦点坐标为．14．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是．15．已知直线l与双曲线C：x2﹣y2=2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为．16．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分）17．设命题p：函数的定义域为R；命题q：函数是R上的减函数，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．已知定圆⊙F1：x2+y2+4x+3=0，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，动圆M与圆F1、F2都外切或都内切．（1）求动圆圆心M的轨迹曲线C的方程．（2）过点F1的直线l与曲线C交于A、B两点，与⊙F2交于P、Q两点，若|PQ|=2，求|AB|．19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F（1，0），其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．（1）证明：点F在直线BD上；（2）设•=，求直线l的方程．20．如图，已知椭圆C：的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．求△OPQ的面积的最大值．21．已知直线x﹣2y+2=0与圆C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知P（2，4），过P向圆C引两条切线分别与抛物线y=x2交与点Q、R（异于R 点），判断直线QR与圆C的位置关系，并加以说明．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）11月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（）A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】直线l1的斜率一定存在，为，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于，由两直线平行，斜率相等得=，解得m=﹣1 或﹣7．当m=﹣1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m=﹣7满足条件，故选A．2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（﹣5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4xC．y2=2x D．y2=﹣4x或y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出抛物线的标准方程，再由抛物线的定义，点M到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得抛物线方程．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）∵抛物线上一点（﹣5，m）到焦点距离是6，∴+5=6，∴p=1，∴抛物线方程为y2=﹣4x．故选：B．3．已知命题p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程=1表示双曲线，则p是q的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义求出p为真时m的范围，根据双曲线的定义求出q为真时m 的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得：＜m＜1，故p：＜m＜1；若方程=1表示双曲线，则m（1﹣m）＞0，解得：0＜m＜1，故q：0＜m＜1，故p是q的充分不必要条件，故选：A．4．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣x+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=﹣x+z，即直线y=﹣x+z经过点B（2，1）时，截距最大，此时z最大，为z=2+1=3．经过点A（0，1）时，截距最小，此时z最小，为z=1．∴1≤z≤3，故z的取值范围是．故选：D．5．圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A． B．C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：=|3a++3|=r，|3a++3|=5r，由a＞0，知3a++3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：=|3a++3|=r，（圆半径）∴|3a++3|=5r，∵a＞0，∴3a++3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，∵5r=3a++3≥2+3=15，∴r≥3，当3a=，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故选A．6．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．4C．6 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+m﹣1=0，∴m=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|==6．故选C．7．下列命题中真命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；（2）“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件；（3）命题p：x≠y，q：sinx≠siny，则p是q的必要不充分条件；（4）设函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x），”是“函数f（x）为增函数”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0；（2），m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；（3），x≠y时，sinx=siny可能成立，sinx≠siny时，一定有x≠y；（4），若函数f（x）为增函数，则f（x+1）＞f（x）成立．若∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”，则函数f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=，满足f（x+1）＞f（x），而f （x）不是增函数．【解答】解：对于（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，故错；对于（2），m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直，故正确；对于（3），x≠y时，sinx=siny可能成立，sinx≠siny时，一定有x≠y，故正确；对于（4），若函数f（x）为增函数，则f（x+1）＞f（x）成立，必要性成立．若∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”，则函数f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=，满足f（x+1）＞f（x），而f（x）不是增函数．充分性不成立．即“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件．故错；故选：B．8．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m，m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．9．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选B．10．已知直线y=x+1与椭圆mx2+my2=1（m＞n＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于﹣，则双曲线=1的离心率等于（）A．2 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（（x2，y2），则x1+x2=﹣．由得（m+n）x2+2nx+n﹣1=0⇒x1+x2=⇒m=2n即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（（x2，y2），则x1+x2=﹣．由得（m+n）x2+2nx+n﹣1=0⇒x1+x2=⇒m=2n双曲线=1的离心率e，e2=⇒e=．故选：C11．已知A，B分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，不同两点P，Q 在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A． B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），y02=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，+ln|m|+ln|n|=++ln=，令=t＞1，则f（t）=+t+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．12．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB．设直线BD、AB的斜率分别为k1、k2，若，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），运用直线的斜率公式，由两直线垂直的条件，可得AD的斜率，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理，结合直线的斜率公式可得BD的斜率，进而得到，则椭圆离心率可求．【解答】解：设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵k AB=，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=﹣，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，消去y整理得：（b2+a2k2）x2+2ma2k2x+a2m2﹣a2b2=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由题可知：x1≠﹣x2，∴k1==，即有，∴，得e=．故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知抛物线方程为y=4x2，则抛物线的焦点坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标．【解答】解：由题意，x2=，故其焦点在y轴正半轴上，p=．∴焦点坐标为，故答案为．14．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f （n0）＞n0．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0故答案为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n015．已知直线l与双曲线C：x2﹣y2=2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入渐近线的方程，求得A，B的坐标，可得中点坐标，代入双曲线的方程，运用直角三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2即为=1，可得a=b=，渐近线方程为y=±x，若直线l的斜率不存在，可设x=t，即有A（t，t），B（t，﹣t），中点为（t，0），代入双曲线的方程可得t=±，直角三角形AOB的面积为=2；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，代入渐近线方程，可得A（，），B（﹣，），求得AB的中点为（，），代入双曲线的方程可得m2=2（1﹣k2），①由题意可得A，B在y轴的同侧，可得＞0，①显然不成立．综上可得，△AOB的面积为2．故答案为2．16．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．【解答】解：如图圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4）∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：三、解答题（共70分）17．设命题p：函数的定义域为R；命题q：函数是R上的减函数，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q的真假，根据p与q一真一假，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：若p真：在R上恒成立，a=0时，显然不恒成立，a≠0时，△=1﹣a2＜0，且a＞0，解得：a＞2，若q真：，据题意¬p与¬q一真一假，即是p与q一真一假，故或，解得：＜a≤2或a≥．18．已知定圆⊙F1：x2+y2+4x+3=0，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，动圆M与圆F1、F2都外切或都内切．（1）求动圆圆心M的轨迹曲线C的方程．（2）过点F1的直线l与曲线C交于A、B两点，与⊙F2交于P、Q两点，若|PQ|=2，【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用定圆⊙F1：x2+y2+4x+3=0，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，动圆M与圆F1、F2都外切或都内切，结合双曲线的定义，即可得出轨迹方程．（2）求出直线方程，即可求|AB|．【解答】解：（1）⊙F1：x2+y2+4x+3=0和，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，即圆F1：（x+2）2+y2=1和F2：（x﹣2）2+y2=9．设动圆的圆心P（x，y），半径为R，由题意，与两已知圆都外切或都内切，有|PC1|=R+3，|PC2|=R+1，|PC1|﹣|PC2|=2＜4，∴点P的轨迹是双曲线的一支，方程为；（2）令直线l：x=my﹣2，从而，∴9=+1，根据对称性，不妨设m=1，由，可得2x2﹣4x﹣7=0，∴|AB|==6．19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F（1，0），其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．（1）证明：点F在直线BD上；（2）设•=，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设抛物线C：y2=2px，则点K（﹣1，0），=1，由此能求出抛物线C 的方程．设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，﹣y1），l的方程为x=my﹣1（m≠0）．将x=my﹣1代入y2=4x并整理得y2﹣4my+4=0，再由韦达定理能够证明点F（1，0）在直（2）由x1+x2=（my1﹣1）+（my2﹣1）=4m2﹣2，x1x2=（my1﹣1）（my2﹣1）=1，知=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），所以•=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+4=8﹣4m2，由此能够求直线l的方程．【解答】（1）证明：设抛物线C：y2=2px，则点K（﹣1，0），=1∴抛物线C的方程y2=4x．设l的方程为x=my﹣1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，﹣y1），故整理得y2﹣4my+4=0，故，则直线BD的方程为即，令y=0，得，所以F（1，0）在直线BD上…（2）解：由（1）可知，所以，又=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），所以•=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+4=8﹣4m2，则，∴，故直线l的方程为3x+4y+3=0或3x﹣4y+3=0…20．如图，已知椭圆C：的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．求△OPQ的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及点的坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆椭圆方程；（2）①当斜率不存在时，代入椭圆方程，求得P和Q点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△OPQ的面积；当斜率不存在时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式，即基本不等式的性质，即可取得△OPQ的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意，得，解得：a2=6，b2=3，所以椭圆的方程为．．（2）①若直线l斜率不存在，将x=，代入椭圆方程：解得：y=，则△OPQ的面积为S=×x×2y=2；…②当斜率存在时，且k≠0，则直线l：y=kx+m，则有，∵，∴△=16k2m2﹣8（2k2+1）（m2﹣3）=8（4k2+1）∴，∴，令t=2k2+1≥1得：，从而当t=2时，△OPQ的面积取得最大值…21．已知直线x﹣2y+2=0与圆C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知P（2，4），过P向圆C引两条切线分别与抛物线y=x2交与点Q、R（异于R 点），判断直线QR与圆C的位置关系，并加以说明．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求得圆心到直线的距离，由弦长公式，计算即可得到r2=1，进而得到圆的方程；（2）令切线方程为y﹣4=k（x﹣2），设的斜率分别为k1、k2，求得直线QR的方程，运用直线和圆相切的条件，化简整理，再由圆心到直线QR的距离，即可判断所求位置关系．【解答】解：（1）∵C（0，2），∴圆心C到直线x﹣2y+2=0的距离为，∵截得的弦长为，∴，∴圆C的方程为：x2+（y﹣2）2=1；（2）令切线方程为y﹣4=k（x﹣2），从而，即3k2﹣8k+3=0，设的斜率分别为k1、k2，从而可得，联立，得（x﹣2）（x﹣k+2）=0，∴x1=k1﹣2，x2=k2﹣2，又由于直线QR的方程为，即y=（x1+x2）x﹣x1•x2=（k1+k2﹣4）x﹣（k1﹣2）（k2﹣2）=（k1+k2﹣4）x﹣k1k2+2（k1+k2）﹣4=．∴4x+3y﹣1=0．由圆心（0，2）到直线QR的距离为，从而可得直线与圆相切．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，左顶点（﹣4，0），求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【解答】解：（1）∵左顶点为A（﹣4，0），∴a=4，又∵e=，∴c=2，又∵b2=a2﹣c2=16﹣4=12，…∴椭圆方程为：=1．…（2）直线的方程为y=k（x+4），由，消元得，化简得（x+4）=0，∴，…∴D（，），又∵点P为AD的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），…直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，则k OP•k EQ=﹣1，即﹣，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0）…2017年3月29日。
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成都市树德中学2016年自主招生考试数学试卷注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂写在答题卷上，在试卷上作答无效。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知b a 、满足052,05222=--=--b b a a ，且b a ≠，则a b +ba+3的值是（） （A ）51（B ）—51（C ）52（D ）—522.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-<-1270x m x 的整数解共有4个，则关于x 的一元二次方程082=+-m x x 的根的情况是（）（A ）.有两个不相等的实数根（B ）.有两个相等的实数根 （C ）.没有实数根（D ）.有一个实数根3.边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 是BD 上一动点过P 作AC EF //，分别交正方形的两条边于点E 、F .设x BP =,∆BEF 的面积为y ，则能反映出y 与x 之间关系的图像为（）4.如图，圆1O 的半径为3，2O 的半径为1,两圆外切于点P ；从1O 上的点A 作2O 的切线AB ，B 为切点；连接AP 并延长，与圆2O 交于点C,则=ACAB( ) （A ）21（B ）23（C ）54（D ）535.如果a+b —21-a —42-b =33-c —21c —5，则a+b+c 的值是（）（A ）2 （B ）20 （C ） 6 （D ）526.如图，一根木棒AB 长为8，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角︒=∠60ABO ，若木棒沿直线NO 下滑，且B 端沿OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知A 端下滑到1A 时，1AA =2434-，则木棒中点P 随之运动到1P 所经过的路线长为（） （A ）3π（B ）1324316-（C ）5)13(2-（D ）2 7.定义n n ⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯=4321!则=-⨯=-⨯!2017201820172016!201520162015201422（） （A ）!20171!20161!20121!20111--+（B ）!20171!20161!20131!20121--+ （C ）!20171!20161!20141!20131--+（D ）!20171!20161!20151!20141--+ 8.已知相互垂直的直线1112:k k l -+=χγ与22232:k k l -+=χγ交于点P ,O 为坐标原点，则OP 的最大值是（）（A ）13（B ）23+（C ）924+（D ）212+9.如图所示，O 、I 分别表示ABC ∆的外心与内心，已知︒=∠30OIB 则=∠BAC ( )（A ） ︒30（B ）︒45（C ）︒60（D ）︒7510.若实数x 、y 满足关系式22=--y x xy ，则22y x +的最小值为（） （A ）53-（B ）53+（C ）348+（D ）348-11.已知函数x y cos =，c b a ,,分别为的内角ABC ∆222,,c b a C B A ≤+所对的边，且，则下列不等式一定成立的是（）（A ）)cos(cos )cos(sin B A ≤（B ）)cos(sin )cos(sin B A ≤ （C ）)cos(sin )cos(cos B A ≤（D ）)cos(cos )cos(cos B A ≤12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点C A 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且2,4==OC OA ，矩形对角线OB AC 、相交于E ，过点E 的直线与边BC OA 、分别相交于点H G 、，以O 为圆心，OC 为半径的圆弧交于D OA 于，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，则下列结论：①;CH AG =②310=GH ;③直线GH 的函数关系式4543y +-=x ；梯形ABHG 的内部有一点P ，当P Θ与HG 、GA 、AB 都相切时，P Θ的半径为21，其中正确的有( )（A ）1个（B ） 2个（C ） 3个（D ） 4个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
13.已知抛物线22)2(212++++=b x b x y 向右平移2个单位后得到抛物线ττ,经过点A(4,0）设点C(1,-3),请在抛物线τ的对称轴上确认一点D ，使得CD AD -的最大值，则D 点的坐标为_________.14.端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯。
某校数学情趣小组调查了4位同学， 他们的口味各有偏好，其中：小军只爱吃肉馅粽子，小丽只爱吃糖馅粽子，小童只爱吃豆沙馅粽子，小雨只爱吃枣馅粽子；现在桌子上有四只外表和重量完全一样的肉馅、糖馅、豆沙馅，枣馅粽子各一只，让四个同学各选一只，则所有同学拿到的都是自己不喜欢的口味的粽子的概率是___________。
15.设函数1y 和2y 是定义在同一个取值范围b x a ≤≤上的两个函数，当函数021=-y y 在b x a ≤≤上有两个不同的解，则称函数1y 和2y 是在b x a ≤≤上是的“关联函数”，若m x y mx x y +-=+-=24221和在30≤≤x 上是“关联函数”，则m 的取值范围是——————. 16.直角三角形ABC 的两直接边AB 、BC 分别为4、6，其内部一点O 与两边距离均为2,P在以O 为圆心，1为半径的圆上运动，则222PC PB PA ++的最小值是——————————。
三、解答题：共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡上指定区域内.17.（本题满分10分，每小题5分）（1）已知锐α满足0cos 2cos sin sin22=--αααα，求（2818tan 1)145sin 2(tan 1-----︒+-αα的值.(2)已知,0142=++x x 且22212324=++++xtx x tx x ，求t 的值.18.(本题满分12分)“数学王子”高斯（Gauss ）流传着许多故事，其中他十岁的时候快速计算1+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅99+100最广为人知，他的算法是2)1100()299()983()992()1001(++++⋅⋅⋅++++++=2100101⨯=5050 （1）我国古代数学文献中有早已多次出现过这种算法，比如《张邱建算经》中“织女问题”；《九章算术》“均输”一章的“金箠”，“竹九节”，“五人分钱”问题；《周髀算经》中的“七衡图”等，其中《张邱建算经》中的“织女问题”如下：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”（2）在现代生活中，仍要用这种算法：初三同学参加毕业照的拍摄，假设某校两个毕业班的师生共100人拍毕业照留念，摄影师要求排列成前多后少的梯形阵（不少于三排），且要求各行人数必须是连续的自然数，这样才能使最后一排的每个人都站在前一排两人间的空档处，请替排队组织者计算，满足摄影师要求的排法的方案有多好种？每种方案各有几排，人数最少的最后排有多少人？19.(本题满分12分)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4,MA=1,MB>1.以A 为中心顺时针旋转点M,以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C,构成ABC ∆,设.x AB = （1）若ABC ∆为直角三角形，求x 的值； （2）探究：ABC ∆的最大面积？20.(本题满分12分)新信息一：设ABC ∆的三边AB CA BC 、、长度分别为c b a 、、，则A bc c b a cos 2222-+=,B ca a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=，我们称其为余弦定理，可见勾股定理是其特殊情况；新信息二：︒=+180βα，则βαcos cos -=，即两角互补，它们的余弦值互为相反数. 根据以上的信息完成下列问题. (1)已知平行四边形ABCD,两对角线长为BD AC 、,求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+;(2)设ABC ∆的BC 边上的中点为M ，推导其中线AM 的长度m 的公式（即用c b a ,,表示出m ）；(3)已知ABC ∆的两边3,4==c b ，且BC 边上的中线AM 的长度3=m ，求BAC ∠cos .21.(本题满分12分)如图1,等腰梯形O A B C 的底边OC 在x 轴上，O AC AB ,//为坐标原点，︒=∠==60,AOC BC AB OA ,连接OB ，点P 为线段OB 上一个动点，点E 为边OC 中点. )1(;PE PA PE PA =，求证：、连接32,)2(=+PE PC PC 若连接,的最大值；试求AB（3）在（2）的条件下，当AB 取最大值时，如图2，点M 坐标为（0，-1）,点D 为线段OC上一个动点，当D 点从O 点向C 点移动时，直线MD 与梯形另一边交点为N ，设D 点横坐标为m ，当MN C ∆为钝角三角形时，求m 的范围.22.（本题满分12分）已知函数bx x y +=2的图像与函数)6)(4(++=x x y 的图像关于直线2-=x 对称，将bx x y +=2的图像向上平移4个单位得到的图像为抛物线C .直线)0(>=k kx y 与抛物线C 交于两个不同的点B A 、，与直线82:+-=x y l 交于点P ，分别过P B A 、、作x 轴的垂线，设垂足分别为111P B A 、、. (1)求1111OB OP OA OP +的值； (2)求11BB AA +的取值范围.(3)若存在两个不同的k 值，使m BB AA =+11，求m 的取值范围.。