辽宁沈阳二中14—15学年下学期高一期中考试数学(附答案) (1)

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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题

20．（本小题满分 12 分）如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,△ABC 为等边三角形,D,E 分别是 BC,CA 的中点. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAC; (Ⅱ)如何在 BC 上找一点 F,使 AD//平面 PEF?并说明理由; (Ⅲ)若 PA=AB=2,对于(Ⅱ)中的点 F,求三棱锥 P-BEF 的体积.
三．解答题（本大题共 6 小题,满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17． (本小题满分 10 分 )在 △ ABC 中 ,角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,若
AB AC BA BC k(k R). (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (II)若 c 2, 求k 的值.
A． a b ＞ a b
B． a b ＜ a b
C． a b ＜ a b
D． a b ＜ a b
．执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 p 是 A．8 B．5 C．3 D．2
（）
开始输入 n s 0, t 1, k 1, p 1
kn
否
是 p st
s t,t p
（）
k k 1 输出 p 结束
A．[5, 7] B．[4, 6] C． (, 5] [7, ) D． (, 4] [6, )
．某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下:
甲
乙
9
8
8
1
7
7
9
9
6
1
0
2
2
5
6
7
9
9
5
3
2
0
3
0
2
3
7

辽宁省沈阳二中14—15学年下学期高三第四次模拟考试数学(理)试题(附答案)

沈阳二中2014—2015学年度下学期第四次模拟考试高三（15届）数学（理科）试卷命题：高三数学备课组说明：1、测试时间：120分钟总分：150分2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷（60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合()ln 2105x A xx ⎧⎫-⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，412,12x B x y y ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭则A B =( )A. ()1,12B.()1,6C. ()2,5D. ()4,5 2.函数()lg |sin |f x x =是( ).A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数 3．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12315a a a =，且133551315535S S SS SS ++=，则2a =（） A.2 B.12C. 3D. 134.设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=( ) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

5..已知数列{a n },{b n }满足a 1=1,且a n ,a n+1是方程x 2-b n x+2n =0的两个根,则b 10等于( ) A.24B.32C.48D.646．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-（）A.B.C.D.7．如下图所示的程序框图输出的结果是（）A ．6B ．-6C ．5D ．-58．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98 BC.D. 109.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(,1)a （0a >），点(,)N x y 的坐标x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x . 若当且仅当30x y =⎧⎨=⎩时，OM ON ⋅取得最大值，则a 的取值范围是( )A.1(0,)3 B.1(,)3+∞C.1(0,)2D. 1(,)2+∞10．已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11..现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同。

辽宁省东北育才高中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题带答案

2014—2015学年度下学期期中考试高一年级数学科试卷命题人：来洪臣校对人：付兴第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．执行右面的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则y x +的值为（）A.6B.8C.9D.113．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数据算得的线性回归方程可能是（）A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5y x =-+ D ．ˆ0.3 4.4y x =-+ 4．在区间[]0,π上随机取一个实数x ，使得）A 5．下列说法中，正确的是（）A. 钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. 小于90°的角是锐角D. -95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角6，则角α的最小值为（）A 7 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．向量)4,2(),,1(-==b m a ，若λλ(b a =为实数），则m 的值为（）29．已知平面向量a ，b 满足3a =，2b=，3a b ⋅=-，则2a b +=（） A ．1 B 10．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC AB AD λμ=+，则=+μλ（）A.2B.2-C.3D. 3-11）33πϕ=12．为得到函数sin()3y x π=+的图像，可将函数sin y x =的图像像左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（,m n 均为正数），则||m n -的最小值是（）A ．43π B ．23πC ．3πD ．2π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高三年级应抽取的人数为人1415．①存在sin 0x <；最小16．ω是正实数，设S ω={θ|f （x ）=cos[ω（x +θ）]是奇函数}，若对每个实数a ，S ω∩（a ，a +1）的元素不超过2个，且有a 使S ω∩（a ，a +1）含2个元素，则ω的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分）从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如下：（1）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为多少；（2）在样本中，若学校决定身高在185cm 以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm 以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．18．(本小题满分12分）已知)cos ,(sin ),1,2(x x b a ==,且a ∥b .（219．（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.(n x x +-+为数据12,,,n x x x 的平均数）.20．（本小题满分12分）已知1a =，4b =,且向量a 与b 不共线.（1）若a 与b 的夹角为60︒，求()2a b -·()a b +；（2）若向量ka b +与ka b -互相垂直，求k 的值.21．（本小题满分12分）已知方程0222=++b ax x 是关于x 的一元二次方程．（1）若a 是从集合}0,1,2,3{四个数中任取的一个数，b 是从集合}0,1,2{三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若]3,0[∈a ，]2,0[∈b ，求上述方程有实数根的概率． 22．（本小题满分12分）（其中0ω>）在,减.（1）求ω的值及()x f 的单调递增区间；（2）当[],2x ππ∈时，不等式()33m f x m -≤≤+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 9．B 10．A 11．A 12．B 13．20 1415．（4）．16．（π，2π] 17．（1）144；（2）0．7 18．(1)2tan =x ;(2) 1. 19．（1）3=m ，8=n ；（2）2 5.2s =甲，22s =乙，甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3 20．（1）(2)()12a b a b -⋅+=-;（2）4k =±.21．（1222.。

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一下学期4月月考试题数学 Word版含答案

沈阳二中2014—2015学年度下学期4月份小班化学习成果阶段验收高一（17届）数学试题高一数学组审校人：高一数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（每题5分，共40分） 1.=⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin ( ) A.21-B. 21C. 23-D. 232 ．已知a 与b 夹角为o120，3=a ，13=+b a ，则=b （）A. 5B. 4C. 3D. 13. 设43πα=，则arccos(cos )α的值是（） A.43π B.23π- C.32π D.3π4 . 如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅ 的值是A ．32B ．3C ．32- D ．3-5. 函数341)(2++=x ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（A ．]34,0()0,(⋃-∞B ．]34,(-∞C ．),34[+∞D ．),34(+∞6 . 设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则( ) A ．a <12且a ≠－1B ．－1<a <0C ．a <－1或a >0D ．－1<a <27 ．已知函数()22-=x x f ，则函数y ＝|f (|x |)|的图象可能是( )到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32cos πx y 的8 ．为得图像，只需将函数x y 2sin =的图像 ( )A ．向左平移π125个长度单位 B. 向右平移π125个长度单位 C ．向左平移π65个长度单位 D. 向右平移π65个长度单位9．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值,则ω值为（）A. 310B. 314C. 338 D. 36210．()3x x f =,若20πθ≤≤时,()()01cos >-+m f m f θ恒成立,则m 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．()0,∞-C ．()1,∞-D ．()21,∞-11．当(,1]x ∈-∞时，函数2()12()4xxf x a a =++-的图像在x 轴的上方，则实数a 的取值范围（）A 1(2,)4-B (,6)-∞C 1(,)4-∞D 13(,)22- 12. 在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝第Ⅱ卷（满分90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在三棱锥ABCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________________． 14．已知函数()Rxx f πsin3=图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222R y x =+上，则()x f 的最小正周期为__________________15. 若b a ,是两个非零向量,且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ,则b 与b a -的夹角的取值范围是______________________16. 已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：(1)函数f (x )是周期函数；(2)函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； (3)函数f (x )为R 上的偶函数；(4)函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a＋(sin α－3)b , d＝－k a＋(sin α)b,且c⊥d，试求实数k 的取值范围.18．2()(,,,0),(2)(0)0f x ax bx c a b c R a f f =++∈≠-==，()f x 的最小值为1-，（1）求()f x 的解析式；（2）设()()()1g x f x mf x =--+，若()g x 在[1,1]-上是减函数，求实数m 的范围；（3）设2()log [()]h x n f x =-，若此函数不存在零点，求n 的范围。

辽宁省沈阳二中2020至2021学年高一下学期期中考试(数学)

沈阳二中2020-2021学年度下学期期中考试高一（14届）数学试题命题人：高一数学组审校人：高一数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（满分60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ．sin 240的值为（）A ．12-B ．12C ．32-D ．322 ．已知平面向量(1,2)=a , (2,)m =-b , 且a ∥b , 则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-3．在ABC ∆中，1,4AD AB E =为BC 边的中点，设=AB a ,=AC b , 则=DE ( ) A ．b 21+a 41 B ．b 21+a 43 C ．b 21-a 41 D ．b 21-a 434 ．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（）A ．向左平移4π个长度单位B ．向右平移4π个长度单位C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位5 ．已知()2,3,(4,7)a b ==-,则a 在b方向上射影的数量为（）A http:///13B http:///513C http:///565D http:///656 ．函数()2sin cos f x x x =-的最小值是（）A ．54-B ．1-C ．34-D ．17 ．在ABC ∆中,角2120,tan tan 33C A B =+=,则tan tan A B 的值为（） A ．41 B ．13 C ．21 D ．538 ．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（）9．已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示,2()23f π=-,则(0)f = （）A ．23-B ．23C ．-12 D ．1210．若等边ABC ∆的边长为32,平面内一点M 满足→→→+=CA CB CM 3261,则=•→→MB MA （）A.－１B.－２C.１D. ２11．若),2(,ππβα∈，且βαcot tan <，那么必有（）A ．πβα23>+ B ．πβα23<+ C ．βα> D ．βα<12．函数tan()(04)42y x x ππ=-<<的图象与x 轴交于A 点，过点A 的直线l 与函数的图象交于,B C 两点，则()OB OC OA +⋅= （） A.4 B.10 C.6 D. 8第Ⅱ卷（满分90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是o32ππ2πyA 2-︒B o32ππ2πy2-︒2o 32ππ2πyC -︒o32ππ2πyD2--︒________14．函数)4tan()(x x f -=π的单调减区间为；15．平面内不共线的四点O,A,B,C ，若023=+-OC OB OA ，则AB BC=______16．如果)2,0(πθ∈，且θθθθcos )cos 1(sin )sin1(22+>+，那么角θ的取值范围是_____三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 . （本小题满分10分）化简：00010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++18 ．（本小题满分12分）设)1,1(=a ，)sin ,(cos αα=b（I ）求b a •的最小值；（II ）若21=•，求αααtan 12sin sin 22++的值.19 ．（本小题满分12分）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . （Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛+32sin πx 的值. 20 ．（本小题满分12分）已知向量),1,1(=向量与向量夹角为π43,且1-=⋅. (1)求向量n ;(2)若向量n 与向量q =(1,0)的夹角2,(2sin ,4cos )22Ap A π=向量求|2n +p |的值. 21 ．（本小题满分12分）已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值. 22．（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积S 满足1S ≤≤,且2,AC CB ABC θ⋅=-∠=(三角形面积公式:111sin sin sin )222ABC S ab C ac B bc A ∆=== (I)若(sin 2,cos 2),(cos 2,sin 2)m A A n B B ==求|23|m n -的取值范围;(II)求函数()sin()cos cos()244f ππθθθθθ=-+-+-的最大值｡沈阳二中2020-2021学年度下学期期中考试高一（14届）数学答案一、选择题 1. C 2. D 3. A 4. B 5. C 6. A 7. B 8. D 9. B 10. B 11. B 12. D 二、填空题13. 32≤<-a 14. ))(43,4(Z k k k ∈+-ππππ 15. 2 16. 5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题17.00=00=0050452+====---------------------10分 18. 解：（I ）)4sin(2cos sin πααα+=+=•，•∴的最小值为2-------4分（II ）αααtan 12sin sin 22++ =ααααααααcos sin 2sin cos )sin (cos cos sin 2=++ 21cos sin =+=•αα，41cos sin 21=+∴αα 43cos sin 2-=∴αα故43tan 12sin sin 22-=++ααα --------------------------------12分 19. 解：（Ⅰ）因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，于是10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x ---------------2分 54221022210274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x ---------6分（Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x -----------------8分所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+πππx x x -------------12分 20. 解:(1)设1),,(-=⋅=y x 由,有1-=+y x ①由与夹角为π43,有π43cos ||||⋅⋅=⋅.∴.1,1||22=+=y x n 则② ----------------------4分由①②解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=.1,0.0,1y x y x 或 ∴即)0,1(||-=n 或).1,0(-=n ---------------6分 (2)由与垂直知).1,0(-= ----------------8分),cos 2,sin 2()22cos 4,sin 2(22A A AA =-=+ ∴2cos 4sin 4|2|22=+=+A A p n ------------------------12分21. 解:(1)因为1()4cos cos )12f x x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+ ---------4分所以()f x 的最小正周期.π -----------------------------------------6分 (2)因为64x ππ-≤≤,所以22663x πππ-≤+≤,所以1sin(2)126x π-≤+≤ 所以()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值为2,最小值 1.- ------------------12分22、。

2014-2015年辽宁省沈阳二中高二(下)期中数学试卷(文科)(1)和解析PDF

B．c＞a＞b
5．（5 分）某同学进入高三后，4 次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（）
A．125
B．45
C．5
D．3 ）
6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（
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A．
B．4
C．2
D．）
7．（5 分）若实数 x、y 满足 A． B．9
（Ⅲ）设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式 4aSn＜bn 恒成立时，求实数 a 的取值范围． 22．（12 分）已知 a＞0，函数（Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求函数 f（x）在[﹣1，1]的极值；（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数 x0，使 f（x0）＞g（x0）成立，求．
则 z=3x+2y 的最大值是（ C．1 D．3
8．（5 分）函数 y=f （x）的图象如图所示，则导函数 y=f′ （x）的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D． =1（a＞0，b ）
9．（5 分）已知抛物线 y2=2px（p＞1）的焦点 F 恰为双曲线
＞0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点 F，则双曲线的离心率为（ A． B． C．2 D．
+
=1（a＞b＞0）的离心率
直线 l：x+y﹣2=0 经过焦点 F2，并与∑相交于 A、B 两点．（1）求（2）在的方程；上是否存在 C、D 两点，满足 CD∥AB，F1C=F1D？若存在，求直线
CD 的方程；若不存在，说明理由． 21．（12 分）已知数列{an}，{bn}满足（Ⅰ）求 b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设，证明数列{cn}是等差数列；．

辽宁省沈阳二中高一数学下学期4月月考试卷(含解析)

2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）4月月考数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．的值等于（）A．B．C．D．2．已知向量与的夹角为120°，，则等于（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 13．设，则arccos（cosα）的值是（）A．B．C．D．4．如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则•的值是（）A．B． 3 C．﹣D．﹣35．函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C． a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜27．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是（）A．B．C．D．8．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．已知函数，若且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=x3，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．C．（﹣∞，0）D．（0，1）11．x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，6）C．D．12．在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在三棱锥ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为．14．已知在函数f（x）=sin 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为．15．若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是．16．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（，﹣1），=（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量=+（sinα﹣3）•，=﹣k+（sinα），且⊥，试求实数k的取值范围．18．f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R，a≠0），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（﹣x）﹣mf（x）+1，若g（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数m的范围；（3）设h（x）=log2[n﹣f（x）]，若此函数不存在零点，求n的范围．19．已知sinx+siny=，求sinx﹣cos2y的最大值和最小值．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），最大值为2，函数与直线y=1的交点中，距离最近两点间的距离为，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且，求f（x）的单调递增区间．21．已知定义在R上的偶函数f（x）=a•3x+3﹣x，a为常数，（1）求a的值；（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；（3）若关于x的方程f（b）=f（|2x﹣1|）（b为常数）在R上有且只有一个实根，求实数b 的取值范围．22．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．的值等于（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=故选A．点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．2．已知向量与的夹角为120°，，则等于（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 1考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．分析：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．解答：解：∵向量与的夹角为120°，，∴，∵，∴，∴=﹣1（舍去）或=4，故选B．点评：两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．3．设，则arccos（cosα）的值是（）A．B．C．D．考点：反三角函数的运用．专题：计算题；压轴题．分析：先求cosα的值，再利用反三角函数运算法则直接求解即可．解答：解：因为cos=﹣所以：arccos（）=故选C．点评：本题考查反三角函数的运用，三角函数求值，是基础题．4．如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则•的值是（）A．B． 3 C．﹣D．﹣3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．由E为DC的中点，可得．因此．再利用数量积的坐标运算即可得出．解答：解：如图所示，B（0，0，0），E，D（3，3）．∴=（3，3），=．∴=﹣．∵E为DC的中点，∴．∴．∴•===﹣．故选：C．点评：本题考查了向量的共线定理、数量积的坐标运算，属于基础题．5．函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：函数的定义域是实数，推出分母不为0，对a分类a=0和a≠0讨论利用△＜0，求解即可得到结果．解答：解：函数的定义域为R，只需分母不为0即可，所以a=0时，分母变为4x+3，则当x=时，分母为0，定义域不是R，故a≠0，要使定义域为R，△＜0，16﹣12a＜0，∴a，故选：D．点评：本题主要考查函数定义域的应用，本类问题主要转化为函数在已知定义域上恒成立问题解决．6．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C． a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：计算题；转化思想．分析：根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．解答：解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．点评：把转化为f（1）＜1，依据就是函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，体现了转化的数学思想，好题．属中档题．7．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：作图题．分析：先根据图象的平移规律得到y=2x﹣2的图象；再根据偶函数的性质得到y=f（|x|）的图象，最后再对y=f（|x|）中函数值大于0的图象不动，函数值小于0的沿x轴对折即可得到y=|f（|x|）|的图象．解答：解：y=2x的图象如图①；把其向下平移2个单位得到f（x）=y=2x﹣2的图象，如图②；因为y=f（|x|）是偶函数，把②的图象y轴右边的部分不动，左边的与右边的关于轴对称即可，即为图③；把③中函数值大于0的图象不动，函数值小于0的沿x轴对折即可得到y=|f（|x|）|的图象，如图④．故选A．点评：本题主要考查指数运算以函数图象的平移规律，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．8．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．9．已知函数，若且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω的值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，直线x==为f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的一条对称轴，且ω•+=2kπ﹣（k∈Z），由ω＞0，即可求得答案．解答：解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），且f（）=f（），在区间（，）上有最小值，无最大值，∴直线x==为f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的一条对称轴，∴ω•+=2kπ﹣（k∈Z），∴ω=4（2k﹣）（k∈Z），又ω＞0，∴当k=1时，ω=．故选：C．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，求得ω•+=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于中档题．10．设函数f（x）=x3，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．C．（﹣∞，0）D．（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：由于f（x）=x3，0≤θ≤利用导数可判断f（x）为奇函数，增函数，可得f（mcosθ）＞f（m﹣1），从而得出mcosθ＞m﹣1，根据cosθ∈[0，1]，即可求解．解答：解：由函数f（x）=x3，可知f（x）为奇函数，f′（x）=3x2≥0恒成立∴f（x）=x3是增函数；且f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）是奇函数∵f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m﹣1）恒成立，∴mcosθ＞m﹣1，令g（m）=（cosθ﹣1）m+1，则g（m）=（cosθ﹣1）m+1＞0恒成立．∵0≤θ≤∴cosθ∈[0，1]，∴cosθ﹣1≤0，∴∴m＜1．故选A点评：本题考查了函数恒成立的问题，解题的关键在于对函数f（x）=x3单调性、奇偶性的判断，考查转化思想与构造函数的方法，属于中档试题．11．x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，6）C．D．考点：函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，可转化成f （x）=1+2x+（a﹣a2）4X＞0在（﹣∞，1]上恒成立，然后将a分离出来，在利用二次函数在给定区间上求出不等式另一侧的最值，从而求出a的取值范围．解答：解：∵x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，∴f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X＞0在（﹣∞，1]上恒成立，即a2﹣a＜=在（﹣∞，1]上恒成立，令g（x）=，x∈（﹣∞，1]，再令t=，则t≥，g（x）=t2+t≥，∴a2﹣a＜，解得﹣＜a＜，∴实数a的取值范围是﹣＜a＜．故选D．点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及函数恒成立问题，常常利用参变量分离的方法，同时考查了转化的思想，属于中档题．12．在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．解答：解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在三棱锥ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为43π．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）DE==4，DF=3，EF==，∴GF=，球半径DG==，∴外接球的表面积为4π×DG2=43π，故答案为：43π．点评：本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力．14．已知在函数f（x）=sin 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为 4 ．考点：正弦函数的图象；圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由正弦函数的周期公式可求得其周期T=2R，依题意，（R，）与（﹣，﹣）在x2+y2=R2上，可求得R，从而可求得f（x）的最小正周期．解答：解：∵f（x）=sin ，∴其周期T==2R，又（R，）与（﹣，﹣）为函数f（x）=sin 图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点，由题意得：（R，）与（﹣，﹣）为x2+y2=R2上的点，∴+3=R2，∴R2=4，∴R=2．∴f（x）的最小正周期为4．故答案为：4．点评：本题考查正弦函数的周期性与最值，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．15．若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是[，] ．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：不妨设||=1，则||=||=λ．令=，=，以OA、OB为临边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，与的夹角等于π﹣θ，且0＜θ＜．△OAC中，由余弦定理求得cos2θ的范围，从而求得θ的范围，即可得到与的夹角的取值范围．解答：解：∵，不妨设||=1，则||=||=λ．令=，=，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，且0＜θ＜．而由题意可得，与的夹角，即与的夹角，等于π﹣θ．△OAC中，由余弦定理可得 OC2=1=OA2+AC2﹣2OA•AC•cos2θ=λ2+λ2﹣2•λ•λcos2θ，解得 cos2θ=1﹣．再由≤λ≤1，可得≤≤，∴﹣≤cos2θ≤，∴≤2θ≤，∴≤θ≤，故≤π﹣θ≤，即与的夹角π﹣θ的取值范围是[，]，故答案为：[，]．点评：本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，余弦定理以及不等式的性质的应用，属于中档题．16．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是①②③（写出所有正确命题的序号）考点：奇函数；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性．专题：压轴题；存在型．分析：题目中条件：f（x+）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．解答：解：对于①：∵f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对对于②：∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称又∵函数f（x）的图象是由y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到．∴函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故②对．对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（x），用换x，可得：f（﹣﹣x）+f（x）=0∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立．令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．故答案为：①②③．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（，﹣1），=（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量=+（sinα﹣3）•，=﹣k+（sinα），且⊥，试求实数k的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，先求出，，的值，由=0得到4k=（sinx﹣）2﹣，利用二次函数的性质求得4k的最值，即可得到实数k的值域．解答：解：=4，=1，=0，由题意得：=﹣k+sinα﹣k（sinα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=﹣4k+0+0+sinα（sinα﹣3）=0，∴4k=（sinα﹣），当sinα=1时，4k有最小值为﹣2，当sinx=﹣1时，4k有最大值为4，故k最小值为﹣，K的最大值为1，综上，实数k的取值范围为[﹣，1]点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，以及二次函数的最值的求法．18．f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R，a≠0），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（﹣x）﹣mf（x）+1，若g（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数m的范围；（3）设h（x）=log2[n﹣f（x）]，若此函数不存在零点，求n的范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据已知条件有，这样便可解出a=1，b=2，c=0，从而f（x）=x2+2x；（2）求g（x）=（1﹣m）x2﹣2（1+m）x+1，根据g（x）是否为二次函数，讨论m：m=1时，容易判断出符合条件，m＜1，m＞1时，g（x）都为二次函数，根据二次函数的单调区间和对称轴的关系即可求出m的范围，并上m=1即可得出m的范围；（3）求出h（x）=，该函数无零点，从而有﹣x2﹣2x+n＞0，且﹣x2﹣2x+n≠1，由判别式的取值即可得出n的范围．解答：解：（1）由条件；解得a=1，b=2，c=0；∴f（x）=x2+2x；（2）g（x）=（1﹣m）x2﹣2（1+m）x+1；①若m=1，则g（x）=﹣4x+1满足在[﹣1，1]上为减函数；②若m＜1，1﹣m＞0，g（x）的对称轴为x=；g（x）在[﹣1，1]上为减函数；∴；解得0≤m＜1；③若m＞1，1﹣m＜0；∴；解得m＞1；∴综上得实数m的范围为[0，+∞）；（3）h（x）=则﹣x2﹣2x+n＞0，且﹣x2﹣2x+n≠1；﹣x2﹣2x+n＞0；∴△=4+4n＞0；∴n＞﹣1；﹣x2﹣2x+n≠1；∴﹣x2﹣2x+n﹣1≠0；∴△=4+4（n﹣1）＜0；∴n＜0；∴﹣1＜n＜0；∴n的范围为（﹣1，0）．点评：考查求二次函数最值的公式，已知函数解析式求值，二次函数单调性和其对称轴的关系，以及解分式不等式，函数零点的定义，一元二次方程是否有解与判别式取值的关系，要熟悉二次函数的图象．19．已知sinx+siny=，求sinx﹣cos2y的最大值和最小值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由已知等式变形表示出sinx，根据sinx的值域确定出siny的范围，把表示出sinx 代入原式，并利用同角三角函数间基本关系变形，利用二次函数性质求出最大值与最小值即可．解答：解：由sinx+siny=，得sinx=﹣siny，∵﹣1≤sinx≤1，∴﹣≤siny≤1，∵sinx﹣cos2y=sin2y﹣siny﹣=（siny﹣）2﹣，∴当siny=时，最小值为﹣；当siny=﹣时，最大值为．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），最大值为2，函数与直线y=1的交点中，距离最近两点间的距离为，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且，求f（x）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且，求出φ的值，可得函数的解析式；再利用正弦函数的单调性，求出f（x）的增区间．解答：解：因为函数的最大值为2，所以A=2，因为由2sin（ωx+ϕ）=1，可得或者，则或，所以距离最短为．若对x∈R恒成立，则，所以，．由，（k∈Z），可知sin（π+φ）＞sin（2π+φ），即sinφ＜0，所以，代入f（x）=sin（2x+φ），得．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ﹣，所以单调递增区间为．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，正弦函数的单调性，属于基础题．21．已知定义在R上的偶函数f（x）=a•3x+3﹣x，a为常数，（1）求a的值；（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；（3）若关于x的方程f（b）=f（|2x﹣1|）（b为常数）在R上有且只有一个实根，求实数b 的取值范围．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；证明题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）运用偶函数的定义，即可得到a=1；（2）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论等步骤；（3）由偶函数和f（x）在[0，+∞）上是增函数，得到b=|2x﹣1|和﹣b=|2x﹣1|，通过函数y=±b和y=|2x﹣1|的图象即可得到所求范围．解答：解：（1）由f（﹣x）=f（x）得a•3﹣x+3x=a•3x+3﹣x，所以（a﹣1）（3x﹣3﹣x）=0对x∈R恒成立，所以a=1；（2）证明：由（1）得f（x）=3x+3﹣x，任取m，n∈[0，+∞），且m＜n，则f（m）﹣f（n）=3m+3﹣m﹣3n﹣3﹣n=，由0≤m＜n，得3m﹣3n＜0，3m+n＞0，3m+n﹣1＞0则f（m）﹣f（n）＜0即有f（m）＜f（n），所以f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（3）因为偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，又f（b）=f（|2x﹣1|），①当b≥0时，得b=|2x﹣1|在R上有且只有一个实根，所以函数y=b与y=|2x﹣1|的图象有且只有一个交点，由图象得b≥1或b=0；②当b＜0时，得﹣b=|2x﹣1|在R上有且只有一个实根，所以函数y=﹣b与y=|2x﹣1|的图象有且只有一个交点，由图象得b≤﹣1综上所述：b≤﹣1或b=0或b≥1．点评：本题考查函数的奇偶性及运用，考查函数的单调性的判断及运用，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．22．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．专题：应用题．分析：要求的夹角θ取何值时的值最大，我们有两种思路：法一：是将向量根据向量加减法的三角形法则，进行分析，分解成用向量表示的形式，然后根据，即=0，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出的最大值；法二：是以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．求出各顶点的坐标后，进而给出向量的坐标，然后利用平面向量的数量值运算公式，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出的最大值．解答：解：如下图所示：解法一：∵，∴．∵，∴===﹣=﹣a2+a2cosθ．故当cosθ=1，即θ=0（与方向相同）时，最大．其最大值为0．解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB|=c|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|=2a，|BC|=a．设点P的坐标为（x，y），则Q（﹣x，﹣y）．∴，．∴=﹣（x2+y2）+cx﹣by．∵cosθ=．∴cx﹣by=a2cosθ．∴．故当cosθ=1，即θ=0（与方向相同）时，最大，其最大值为0．点评：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力．。

辽宁省沈阳二中2014_2015学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）期末数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合，P={x|﹣1≤x≤4}，则（∁U M）∩P等于（）A． {x|﹣4≤x≤﹣2} B． {x|﹣1≤x≤3} C．{x|3≤x≤4}D． {x|3＜x≤4}2．如果a，b∈R，且ab＜0那么下列不等式成立的是（）A． |a+b|＞|a﹣b| B． |a+b|＜|a﹣b| C． |a﹣b|＜||a|﹣|b|| D． |a﹣b|＜|a|+|b|3．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A． 8 B． 5 C． 3 D． 24．若0＜a＜1，且函数f（x）=|log a x|，则下列各式中成立的是（）A． f（2）＞f（）＞f（）B． f（）＞f（2）＞f（）C． f（）＞f（2）＞f（）D． f（）＞f（）＞f（2）5．不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是（）A．B．C．（﹣∞，﹣5]∪∪时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为若存在，求出所有的a，b值，若不存在，请说明理由．22．已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合，P={x|﹣1≤x≤4}，则（∁U M）∩P等于（）A． {x|﹣4≤x≤﹣2} B． {x|﹣1≤x≤3} C．{x|3≤x≤4}D． {x|3＜x≤4}考点：交、并、补集的混合运算；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先化简集合M，再求出C U M，再由交集的定义求出（C U M）∩P解答：解：∵={x|﹣2≤x≤3}，∴C U M═{x|x＜﹣2或x＞3}，又P={x|﹣1≤x≤4}，∴（C U M）∩P={x|3＜x≤4}故选D点评：本题非条件反射交、并、补集的混合运算，解题的关键是正确理解集合运算的定义，并能根据定义进行运算．本题考查基本运算的概念题．2．如果a，b∈R，且ab＜0那么下列不等式成立的是（）A． |a+b|＞|a﹣b| B． |a+b|＜|a﹣b| C． |a﹣b|＜||a|﹣|b|| D． |a﹣b|＜|a|+|b|考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件可得a、b异号，故有|a+b|＜|a﹣b|，从而得出结论．解答：解：由a，b∈R，且ab＜0，可得a、b异号，不妨令a=3，b=﹣1，检验可得只有选项B：|a+b|＜|a﹣b|成立，故选：B．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，属于基础题．3．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A． 8 B． 5 C． 3 D． 2考点：循环结构．专题：图表型．分析：根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．解答：解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．4．若0＜a＜1，且函数f（x）=|log a x|，则下列各式中成立的是（）A． f（2）＞f（）＞f（）B． f（）＞f（2）＞f（）C． f（）＞f（2）＞f（）D． f（）＞f（）＞f（2）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由0＜a＜1，将f（2）转化为log a，将f（）转化为log a，将f（）转化为log a，再利用对数函数f（x）=log a x在（0，+∞）上是减函数得到结论．解答：解：∵0＜a＜1∴f（2）=|log a2|=|﹣log a||=log af（）=|log a|=log af（）=|log a|=log a，∵0＜a＜1，函数f（x）=log a x，在（0，+∞）上是减函数，∴f（）＞f（）＞f（2）故选D点评：本题主要考查对数函数的图象分布及其单调性的应用，要注意：对数函数值的正负由“1”来划分，其单调性由底数来确定，另外，在解题时要充分利用数形结合的思想和方法．5．不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是（）A．B．C．（﹣∞，﹣5]∪∪∪时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为若存在，求出所有的a，b值，若不存在，请说明理由．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．专题：综合题．分析：（1）令x＜0，则﹣x＞0，由当x≥0时，f（x）=2x﹣x2，可得f（﹣x）的表达式，进而根据f（x）为奇函数，f（x）=﹣f（﹣x），可得答案；（2）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三种情况分别讨论，a，b的取值情况，最后综合讨论结果可得答案．解答：解：（1）设x＜0，则﹣x＞0于是f（﹣x）=﹣2x﹣x2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又f（x）为奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=2x+x2，即f（x）=2x+x2（x＜0），﹣﹣﹣（4分）（2）分下述三种情况：①0＜a＜b≤1，那么，而当x≥0，f（x）的最大值为1，故此时不可能使g（x）=f（x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）②若0＜a＜1＜b，此时若g（x）=f（x），则g（x）的最大值为g（1）=f（1）=1，得a=1，这与0＜a＜1＜b矛盾；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）③若1≤a＜b，因为x≥1时，f（x）是减函数，则f（x）=2x﹣x2，于是有，考虑到1≤a＜b，解得﹣﹣﹣﹣（15分）综上所述﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求解及常方法，二次函数的性质，其中利用奇函数的性质，求出函数的解析式，并分析其性质是解答本题的关键．22．已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题．分析：根据题意，设P（4，t）．（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，解得t=0，所以点P坐标为（4，0），由此能够求出两切线所夹劣弧长．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（﹣2，0），P（4，t），可以设，和圆x2+y2=4联立，代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2﹣144=0，因为直线AP经过点A（﹣2，0），M（x1，y1），所以﹣2，x1是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．解答：解：根据题意，设P（4，t）．（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，（2分）解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）所以两切线所夹劣弧长为．（5分）（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（﹣2，0），P（4，t），可以设，（6分）和圆x2+y2=4联立，得到，代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2﹣144=0，（7分）因为直线AP经过点A（﹣2，0），M（x1，y1），所以﹣2，x1是方程的两个根，所以有，，（8分）代入直线方程得，．（9分）同理，设，联立方程有，代入消元得到（4+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣16=0，因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，，，代入得到．（11分）若x1=1，则t2=12，此时显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，所以有，（13分）所以k MQ=k NQ，所以M，N，Q三点共线，即直线MN经过定点Q（1，0）．综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）点评：本题考查直线和圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解答．。

辽宁省第二高级中学2021-2022高一数学下学期期中试题

辽宁省第二高级中学2021-2022高一数学下学期期中试题考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，共60分）1.已知i为虚数单位，则复数A. 2iB.C. 2D.2.下列说法中正确的是A.棱柱的侧面可以是三角形B. 由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C. 正方体的各条棱长都相等D. 棱柱的各条棱长都相等3.已知角终边上一点M的坐标为，则A. B. C. D.4.把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为6cm，则己知圆锥的母线长为．A. 8B. 9C. 10D. 125.如果点位于第三象限，那么角所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.已知，，均为锐角，则A. B. C. D.7.在中，，，，则的面积为A. B. C. D.8.若，则A. B. 1 C. D.9.已知，那么A. B. C. D.10.如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是___________．A.B.C.D.11.将函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数，则最新函数的结论正确的是A. 最小正周期为B. 最新对称C. 最大值为1D. 最新对称12.函数在上单调递增，则的范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.如果复数其中i为虚数单位，b为实数的实部和虚部互为相反数，那么b等于__________．14.已知平面向量，，则15.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，其面积为，则16.已知，且，则三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）设向量，．若，求tan x的值；若，且，求向量的模．18.（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．Ⅰ求角A；Ⅱ求的面积．19.（12分）已知向量，．若，，求x的值；若，，求的最大值及相应x的值．20.（12分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．求角A的大小；若时，求：的取值范围．21.（12分）已知函数．求的单调递增区间．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求的中线AD的长．22.（12分）的内角A，B，C所对边分别为a，b，已知．求B；若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．辽油二高高一下学期期中考试数学答案一、选择题1【答案】C2【答案】C3【答案】D4.【答案】B5【答案】C6【答案】B 7【答案】C 8【答案】D9【答案】B 10【答案】B 11【答案】B 12【答案】B四、填空题（本大题共4小题，共20分）13 【答案】14【答案】815【答案】16【答案】1三解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）【答案】解：因为，所以，因为，所以，即．因为，即，所以，即，所以，因为，所以，所以，即，此时，所以18（12分）【答案】解：由正弦定理可得，所以，即，因为，所以，故．因为，所以；Ⅱ根据正弦定理有，所以，因为，所以，所以，所以，所以的面积为．19.（12分）【答案】解：，，，所以，所以，所以或，即或，因为，所以或．，，所以，因为，所以，所以，所以，所以当时，有最大值为．20.（12分）【答案】解：由知，由正弦定理得：，，，，，，，，又，．由正弦定理得：，，，，又，，，，的取值范围为．21.（12分）【答案】解：．令，，解得，，所以递增区间：由知，，在中又，，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理得，，因此得中线．22（12分）【答案】解：由题设及正弦定理得，因为，所以，由，可得，故，因为，故，因此；由题设及知的面积，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故，，由知，所以，故，从而，因此，面积的取值范围是．。

2023-2024学年辽宁省沈阳市沈阳二中高一(下)段考数学试卷(含解析)

2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={x |−3π2≤x <3π2}，B ={x |x =kπ+π2,k ∈Z }，C =A ∩B ，则集合C 中的元素个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 12.已知平面向量a =(10sinθ,1)，b =(cosθ,3)，若a ⊥b ，则tanθ=( )A. −13或−3B. 13或−3C. 13或3D. −13或33.3tan 85°tan 35°−tan 85°−tan 35°=( )A.33B. −33C.3 D. −34.古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼(现在的阿斯旺，在北回归线上)记为A ，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为B ，测得立杆与太阳光线所成的角约为7.2°.他又派人测得A ，B 两地的距离AB =800km ，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为(π≈3.14)( )A. 7260kmB. 6870kmC. 6369kmD. 5669km5.已知a ,b ,c 均为单位向量，且满足3a +4b +5c =0，则cos 〈a−b ,c〉=( )A.25 B.210C.55 D.2 236.如图，正六边形的边长为2 2，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA ⋅MB 的取值范围为( )A. [4,5]B. [5,7]C. [4,6]D. [5,8]7.在△ABC 中，AC =27，O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，AB ⋅AO =8，N 是直线OM 上异于M 、O 的任意一点，则AN ⋅BC =( )A. 3B. 6C. 7D. 98.设函数f (x )=sin(ωx +φ)−12(ω>0)，若对于任意实数φ，函数f (x )在区间[0,2π]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是( )A. [13,1)B. [1,43)C. [1,53)D. [43,53)二、多选题：本题共3小题，共18分。

辽宁省沈阳二中高一数学下学期期中试题

高一（15届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（）A ．第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限2. 一个扇形的圆心角为︒120，半径为3，则此扇形的面积为（） A. πB.45πC. 33πD.2932π 3. 已知3sin ,,052παα⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（）A. C.4. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值为（）A.5. 已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角的余弦值是（）A.12B.-D.12-6. 使函数)2cos(3)2sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，且在]4,0[π上是减函数的ϕ的一个值是（）A.3πB. 32πC. 34πD. 35π7. 已知函数()sin()(0)4f x x x R πωω=+∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度8. 函数sin (0)y x ωω=>的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点．若△ABC 是直角三角形，则ω的值为（）A ．4πB ．2πC ．3πD ．π9. 在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为,a b ，则AH →＝（） A.2455a b -- B. 2455a b - C. 2455a b -+ D. 2455a b +10.在锐角ABC ∆中，设(1sin )(1sin ),(1cos )(1cos ),x A B y A B =++=++则y x ,大小关系为（）A.y x ≤B. y x < C . y x > D. x y ≥ 11.已知,,A B C 为平面上不共线的三点，O 是△ABC 的垂心，动点P 满足1112322++OP OA OB OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则点P 一定为△ABC 的（）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C. 重心D. AB 边的中点12.平面向量的集合A 到A 的映射()()f x x x a a =-⋅，其中a 为常向量．若映射f 满足()()f x f y x y ⋅=⋅对任意的,x y A ∈恒成立，则a 的坐标可能是（）A.(4，4) B.(4，4-) C.(34，14) D. (14，4-)（第8题）第Ⅱ卷（90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________． 14. 函数211tan )(x x x f -+-=的定义域为．15. 已知()sin 2sin 20,βαβ++=且(),22k k k Z ππααβπ≠+≠+∈，则 ()3tan tan αβα++= ．16. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP xe ye =+（其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴正方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP 的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若60θ=，P (2,－1)，则||3OP =；②若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1212(,)OP OQ x x y y +=++； ③若P (x ，y )，R λ∈，则(),OP x y λλλ=；④若11(,)OP x y =，22(,)OQ x y =，则1212OP OQ x x y y ⋅=+；⑤若60θ=，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=．其中所有正确的结论的序号是______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）设 ()()()1,1,4,3,5,2a b c =-==- （Ⅰ）若()//a tb c +，求实数t 的值；（Ⅱ）求c 在a 方向上的正射影的数量． 18. （本小题满分12分）已知向量()sin ,2a θ=-与()1,cos b θ=互相垂直，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求sin θ和cos θ的值；（Ⅱ）若()5cos 35cos θϕϕ-=，02πϕ<<，求cos ϕ的值．19. （本小题满分12分）在ABC ∆中，3B π∠=.（Ⅰ）求sin sin A C +的取值范围；（Ⅱ）若A ∠为锐角，求()sin cos 2sin cos =f A A A A A ++的最大值并求出此时角A 的大小．20. （本小题满分12分）已知函数2()sincos()(0)2f x x x x πωωωω=⋅->，且函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （Ⅰ）求()f x 的对称中心；（Ⅱ）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调增区间．21. （本小题满分12分）已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin ),[0,]22222x x x x a b x π==-∈ （Ⅰ）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +；（Ⅱ）求函数()4f x a b a b =⋅-+的值域；（Ⅲ）设()g x a b t a b =⋅++，若关于x 的方程()20g x +=有两个不同的实数解，求实数t的取值范围．22. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，两个锐角α,β的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若1tan 7α=，sin β=，求2αβ+的值；（Ⅱ）若角αβ+的终边与单位圆交于C 点，设角,,αβαβ+的正弦线分别为,,MA NB PC ，试问：以,,MA NB PC 作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.沈阳二中2012——2013学年度下学期期中考试高一（15届）数学试题参考答案一、选择题DACBD BABDC BB 二、填空题 13.43 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,4π15. 0 16. ①②③⑤三、解答题17.解：（Ⅰ）()()14,13//5,2a tb t t +=-++- 故()()513214t t +=--+ 所以323t =-……5分（Ⅱ）cos ,22a c c a c a ⋅<>===-……10分 18.解：（Ⅰ） (1)∵a b ⊥，∴a b ⊥＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. ……6分（Ⅱ）∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ，∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.……12分19解：（Ⅰ）A C -=32π且320π<<A 所以A A A A C A cos 23sin 23)32sin(sin sin sin +=-+=+π)6sin(3π+=A ]121()6sin( 6566 ，A A ∈+∴<+<ππππ]3,23(sin sin 的取值范围是C A +∴ ……6分（Ⅱ）令sin cos 2sin 4t A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3,444A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭……8分所以(1,2t ⎤∈⎦，则22sin cos 1A A t =-，于是21y t t =+-，所以当2t =时，max 12y =+，此时4A π=.……12分20.解：（Ⅰ）1cos 231()sin 2sin(2)2262x f x x x ωπωω-=+=-+.由题意，22T π=，即T π=，所以22ππω=，即1ω=. 从而1()sin(2)62f x x π=-+，……4分令26x k ππ-=，则212k x ππ=+ 所以对称中心为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ……6分（Ⅱ）1()sin(2)62f x x π=-+ 由222262k x k πππππ-≤-≤+ ()k Z ∈可得： (),63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为单调递增函数……8分[]0,x π∈ ∴()f x 单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦……12分21.解：（Ⅰ）x xx x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=-=⋅……2分 x x x b a 22cos 4)2cos 1(212cos 21||=+=++=+]2,0[,cos 2||π∈=+x x b a ……4分（Ⅱ）x x b a b a x f cos 82cos ||4)(-=+-⋅=9)2(cos 21cos 8cos 222--=--=x x x又]2,0[π∈x ∴ ]1,0[cos ∈x ]1,7[)(--∈x f ……8分（Ⅲ）由02)(=+x g 得： 01cos 2cos 22=++x t x令[]cos 0,1x u =∈ 122)(2++=tu u u F ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<>-=∆0)1(0)0(14200842F F t t ……10分∴ )2,23[--∈t ……12分 22.解：（Ⅰ）∵0<α<π2，tan α＝17，∴cos α＝7210，sin α＝210.又∵0<β<π2，sin β＝1010，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin 2β＝45，sin2β＝1－cos 22β＝35. 于是cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝7210×45－210×35＝22.由已知条件知0<α＋2β<32π，∴α＋2β＝π4.……6分另解：由0<2β<π，cos2β＝1－2sin 2β＝45，可得出20,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 25β=，则3tan 24β=，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-，又()20,αβπ+∈，故α＋2β＝π4……6分（Ⅱ）解：以,,MA NB PC 作为三边的长能构成一个三角形，证明如下：∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,αβπ+∈ ∴sin MA α=，sin NB β=，()sin PC αβ=+∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1α∈，()cos 0,1β∈，于是有： ()sin sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+①……8分又∵()0,αβπ+∈，∴()()cos 1,1αβ+∈-，于是有：()()()()sin sin sin cos cos sin sin sin ααββαββαββαββ=+-=+-+<++⎡⎤⎣⎦②同理：()sin sin sin βαβα<++③由①②③可知，以,,MA NB PC 作为三边的长能构成一个三角形.……12分。

辽宁省沈阳高一下学期期中考试数学试卷有答案

辽宁省沈阳市东北育才学校2014年高一下学期期中考试数学试卷第Ⅰ卷 (共90分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知a b c >>，则一定成立的不等式是A.||||a c b c >B. ab ac >C. ||||a c b c ->-D.111a b c<< 2.函数)2cos 21(log 21x y -=的一个单调递减区间是A.)0,6(π-B.4,0(π) C. [2,6ππ] D.[2,4ππ] 3.锐角△ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则（）A ．Q>R>PB ．P>Q>RC ．R>Q>PD ．Q>P>R4．三角形两边长分别为1，3，第三边的中线长也是1，则三角形内切圆半径为（）A ．3－1B ．)13(21- C ．)33(21- D ．3－35.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，沈阳市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y （每平方面积的价格，单位为元）与第x 季度之间近似满足：y 500sin(x )9500(0)=ω+ϕ+ω>，已知第一、二季度平均单价如右表所示：则此楼群在第三季度的平均单价大约是（）元A ． 10000B ． 9500C ．9000D ．8500 6. 已知平面上直线的方向向量e =(53,54-),点)0,0(O 和)2,1(-A 在l 上的射影分别是O '和A '，则A O ''=λe ,其中λ等于（）A ．511B ．115-C ．2D ．2-7. 设函数)R x (x )x (f 3∈= , 若20π≤θ≤时, 0)m 1(f )sin m (f >-+θ⋅恒成立, 则实数 m 的取值范围是（）x 1 2 3 y 10000 9500 ？A. )1,0(B. )0,( -∞C. )1,( -∞D. )21,( -∞ 8. 在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9. 函数2sin()y x ϕ=+的图像为C ，则以下判断中，正确的是（）A ．过点(,2)3π的C 唯一 B ．过点(,0)6π-的C 唯一 C ．在长度为2π的闭区间上恰有一个最高点和一个最低点 D ．图像C 关于原点对称10. 若对任意实数a ，函数215sin()()36k y x k N ππ+=-∈在区间[,3]a a +上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )A ．2B ．4C ．3或4D ．2或311．在直角ABC ∆中,090,1BCA CA CB ∠===,P 为AB 边上的点AP AB λ=,若CP AB PA PB ≥,则λ的取值范围是( )A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.22,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.112,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1212,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦12．对于向量,a b ,定义a b ⨯为向量,a b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a b ⨯的模||||||sin a b a b θ⨯=(其中θ为向量a 与b 的夹角)，a b ⨯的方向与向量,a b 的方向都垂直，且使得,a b ,a b ⨯依次构成右手系．如图所示，在平行六面体中，60EAB EAD BAD ∠=∠=∠=,2AB AD AE ===,则(AB ×AD )·AE ＝( )A ．4B ．8C ．22D ．42第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）. 13．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是__________________．14. 构造一个周期为π，值域为［21,23］，在［0，2p］上是增函数的偶函数()f x ＝ .15.log (5)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则14m n+的最小值为．16．如图，己知2,1OA OB ==,AOB ∠为锐角，OM 平分AOB ∠，点N 为线段AB 的中点，OP xOA yOB =+，若点P 在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于,x y 的式子中，满足题设条件的为（写出所有正确式子的序号）． ①0,0x y ≥≥；②0x y -≥；③0x y -≤；④20x y -≥；⑤20x y -≥．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）.17.（本题满分10分）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，已知,2cos caB =（1）判断ABC 的形状；（2）若3sin ,33B b ==，求ABC 的面积。

2014-2015学年度高一下学期期中考试数学试题_Word版含答案

2014－2015学年第二学期期中考试高一数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-20题，共100分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（本卷共计50 分）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）1．化简0015tan 115tan 1-+等于 ( ) A. 3 B.23C. 3D. 1 2. 在中，下列三角式ABC ∆ ①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③2tan 2tanCB A + ④cos 2sec 2AC B +,其中恒为定值的是 ( ) A ．①② B ②③ C ②④D ③④3. 已知函数f(x)=sin(x+2π)，g(x)=cos(x －2π)，则下列结论中正确的是( ) A ．函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2π B ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1C ．将函数y=f(x)的图象向左平移2π单位后得g(x)的图象D ．将函数y=f(x)的图象向右平移2π单位后得g(x)的图象4．圆：0y 6x 4y x 22=+-+和圆：0x 6y x 22=-+交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（）．A ．03y x =++B ．05y x 2=--C ． 09y x 3=--D ．07y 3x 4=+- 5．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23x图4-3-17．下列命题正确的是（）．A ．a//b, a⊥α⇒a⊥bB ．a⊥α, b⊥α⇒a//bC ．a⊥α, a⊥b ⇒b//αD ．a//α,a⊥b ⇒b⊥α8．圆：02y 2x 2y x 22=---+上的点到直线2y x =-的距离最小值是（）． A ．0 B ．21+ C ．222- D ．22- 9．曲线0y 4x 4y x 22=-++关于（）A ．直线4x =对称B ．直线0y x =+对称C ．直线0y x =-对称D ．直线)4,4(-对称10．已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（）． A ．︒90 B ．︒45 C ．︒60D ．︒30第Ⅱ卷（本卷共计100分）二．填空题：（每小题5分，共计20分）11. 使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在[0，4π]上是减函数的θ的一个值____________.12．一个圆锥的母线长为4，中截面面积为π，则圆锥的全面积为____________．13．已知z ,y ,x 满足方程C ：22(3)(2)4x y ++-=，的最大值是___________．14．在三棱锥A B C P -中，已知2PC PB PA ===，︒=∠=∠=∠30CPA BPC BPA ，一绳子从A 点绕三棱锥侧面一圈回到点A 的距离中，绳子最短距离是_____________．三．解答题：(本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)15. （本小题满分12分）已知π2 <α<π,0<β<π2 ,tan α=－ 34 ,cos(β－α)= 513,求sinβ的值.ＡＢＣＰDC 1A 1B 1CBA16．（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD 的两条邻边AB 、AD 所在的直线方程为02y 4x 3=-+；02y x 2=++，它的中心为M )3,0(，求平行四边形另外两条边CB 、CD 所在的直线方程及平行四边形的面积．17．（本小题满分14分）正三棱柱111C B A ABC -中，2BC =，6AA 1=，Ｄ、Ｅ分别是1AA 、11C B 的中点，（Ⅰ）求证：面E AA 1⊥面BCD ；（Ⅱ）求直线11B A 与平面BCD 所成的角．18．（本小题满分14分）直线L 经过点)2,1(P ，且被两直线L 1：02y x 3=+-和 L 2：01y 2x =+-截得的线段AB 中点恰好是点P ，求直线L 的方程．19.（本小题满分14分）如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,12A A AB ==,3BC =. （1）求证：1//AB 平面1BC D ； (2) 求四棱锥11-B AAC D 的体积.20.（本小题满分14分）设关于x 函数a x a x x f 2cos 42cos )(+-= 其中02π≤≤x（1）将f(x)的最小值m 表示成a 的函数m=g(a); （2）是否存在实数a,使f(x)>0在]2,0[π∈x 上恒成立？（3）是否存在实数a ，使函数f(x) 在]2,0[π∈x 上单调递增？若存在，写出所有的a组成的集合；若不存在，说明理由。

2014-2015年辽宁省沈阳二中高二(下)期中数学试卷(文科)(1)和答案

2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．完全归纳推理B．类比推理C．归纳推理D．演绎推理2．（5分）设i是虚数单位，“a=1”是“复数（a2﹣1）+（a2+3a+2）i是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A．假设三内角至多有两个大于60°B．假设三内角都不大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角都大于60°4．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 5．（5分）某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（）A．125B．45C．5D．36．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．4C．2D．7．（5分）若实数x、y满足则z=3x+2y的最大值是（）A．B．9C．1D．38．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞1）的焦点F恰为双曲线=1（a＞0，b ＞0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．10．（5分）已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），，若，则的值为（）A．B．C．2D．311．（5分）已知实数a，b＞0，a，b的等差中项为，设，则m+n的最小值为（）A．3B．4C．5D．612．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=30.3f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z的共轭复数对应的点位于第象限．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．15．（5分）已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=．16．（5分）设函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：将月收入不低于55的人称为“高收人族”，月收入低于55的人称为“非高收入族”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2x2列联表，问赞成楼市限购令与收入高低是否有关？（Ⅱ）现从月收入在[15，25）的人中随机抽取两人，所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率．附：）18．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB1；（Ⅱ）试确定点E的位置，使得CF∥面AEB1．20．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆∑：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与∑相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F 1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设，证明数列{c n}是等差数列；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．22．（12分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]的极值；（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求正实数a的取值范围．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．完全归纳推理B．类比推理C．归纳推理D．演绎推理【解答】解：由金导电、银导电、铜导电、铁导电，而金、银、铜、铁都属于金属，由此归纳得到一切金属都导电，属归纳推理．故选：C．2．（5分）设i是虚数单位，“a=1”是“复数（a2﹣1）+（a2+3a+2）i是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若复数（a2﹣1）+（a2+3a+2）i是纯虚数，则，即，解得a=1，则，“a=1”是“复数（a2﹣1）+（a2+3a+2）i是纯虚数”的充要条件，故选：C．3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A．假设三内角至多有两个大于60°B．假设三内角都不大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角都大于60°【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，故选：D．4．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选：C．5．（5分）某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（）A．125B．45C．5D．3【解答】解：已知某同学进入高二后，四次月考的数学成绩的茎叶图可得该同学四次考试成绩分别为114，126，128，132，则该同学数学成绩的平均数为=125，方差=[（114﹣125）2+（126﹣125）2+（128﹣125）2+（132﹣125）2]=45．故选：B．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．4C．2D．【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．===4．∴V P﹣ABC故选：B．7．（5分）若实数x、y满足则z=3x+2y的最大值是（）A．B．9C．1D．3【解答】解：作出不等式对应的平面区域，设m=x+2y，由m=x+2y，得y=﹣x+m，平移直线y=﹣x+m，由图象可知当直线y=﹣x+m经过点A（0，1）时，直线y=﹣x+m的截距最大，此时m最大，为m=0+2=2，．代入目标函数z=3x+2y得z最大值z=32=9，故选：B．8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解析：由f（x）的图象及f'（x）的意义知，在x＞0时，f'（x）为单调递增函数，且f'（x）＜0；在x＜0时，f'（x）为单调递减函数且f'（x）＜0．故选：D．9．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞1）的焦点F恰为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞1）的焦点F恰为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，∴c=．∵两曲线的交点连线过点F，∴其中一个交点．∴2，∴c2﹣a2=2ac，化为e2﹣2e﹣1=0，解得e=+1．故选：B．10．（5分）已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），，若，则的值为（）A．B．C．2D．3【解答】解：由，，得，∴，∴，=．故选：B．11．（5分）已知实数a，b＞0，a，b的等差中项为，设，则m+n的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，∴a+b=1又∵m+n=a+b+=1++=当且仅当a=b时，等号成立，∴m+n取得最小值5故选：C．12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=30.3f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵，所以＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z的共轭复数对应的点位于第一象限．【解答】解：∵（﹣1+i）z=（1+i）2=2i，则z====1﹣i，则=1+i，对应的坐标为（1，1），位于第一象限，故答案为：一．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．15．（5分）已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=3．【解答】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有四面体的体积V=4••r=，∴r==，即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：316．（5分）设函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=0．【解答】解：∵f（x）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x﹣abc，∴f′（x）=3x2﹣2（a+b+c）x+ab+bc+ca．又f′（a）=（a﹣b）（a﹣c），同理f′（b）=（b﹣a）（b﹣c），f′（c）=（c﹣a）（c﹣b）．∴++=0．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：将月收入不低于55的人称为“高收人族”，月收入低于55的人称为“非高收入族”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2x2列联表，问赞成楼市限购令与收入高低是否有关？（Ⅱ）现从月收入在[15，25）的人中随机抽取两人，所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率．附：）【解答】解（Ⅰ），我们有95%的把握认为赞成楼市限购令与收入高低有关；…（5分）（Ⅱ）月收入在[15，25）的人有4人赞成1人不赞成分别记为A1，A2，A3，A4，a；从中选出两人有10种结果，分别为：（A1，A2）（A1，A3）（A1，A4）（A1，a）（A2，A3）（A2，A4）（A2，a）（A3，A4）（A3，a）（A4，a）两人都赞成楼市限购令的有6种可能，两人都赞成楼市限购令的概率为…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB1；（Ⅱ）试确定点E的位置，使得CF∥面AEB1．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC．又∵CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1．∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，∴CF⊥AB．又∵BB1∩AB=B，∴CF⊥平面ABB1．…（6分）（Ⅱ）点E为CC1的中点，证明如下：取A1B1的中点，记为M．连接FM，MC1．设AB1∩FM=N，∵FM∥CC1，且FM=CC1，∴四边形CC1MF是平行四边形，∵CF∥面AEB1，CF⊂面CC1MF，面CC1MF∩面AEB1=EN，∴CF∥EN，∵N是MF的中点，∴E是CC1的中点．…（12分）20．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆∑：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与∑相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F 1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，∴F2（2，0），即c=2；又e==，∴a=；∴b==，∴椭圆∑的方程为+=1；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD，∵CD∥AB，∴k CD=k AB=﹣1，设直线CD的方程为y=﹣x+m，由，得x2+3（﹣x+m）2﹣6=0；即4x2﹣6mx+（3m2﹣6）=0，∴△=（﹣6m）2﹣4×4（3m2﹣6）=96﹣12m2＞0；（*）设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=；由已知F1C=F1D，若线段CD的中点为E，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；F1（﹣2，0），E（，），即E（，）；由==1，解得m=﹣4；当m=﹣4时，96﹣12m2=﹣96＜0，这与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD．（方法二）假设存在C（x1，y1），D（x2，y2），且线段CD的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=，=﹣1；由，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，代入、化简得：x0﹣y0=0，①由已知F1C=F1D，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；由==1，得y 0=x0+2，②由①②解得x0=﹣3，y0=﹣1，即E（﹣3，﹣1）直线CD的方程为：y=﹣（x+4），联立方程组，消去y得4x2+24x+42=0，∵△=242﹣4×4×42=﹣96＜0，∴方程（组）无解，即不存在满足条件的直线CD．21．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设，证明数列{c n}是等差数列；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵a1=，a n+b n=1，∴b1=；又∵b n+1===，∴b1=，b2=，b3=，b4=；（Ⅱ）证明：∵b n+1﹣1=﹣1，∴==﹣1+，∴c n+1=﹣1+c n，而c1==﹣4，∴数列{c n}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．∴c n=﹣4+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣3．（Ⅲ）∵c n==﹣n﹣3，∴b n=，∴a n=1﹣b n=，∴S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1=++…+=﹣=；∴4aS n﹣b n=﹣=，由条件可知（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可满足条件，设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，当a=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立，当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a＜1时，对称轴，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．f（1）=（a﹣1）+（3a﹣6）﹣8=4a﹣15＜0，∴a＜；∴a＜1时，4aS n＜b n恒成立．综上所述，a≤1时，4aS n＜b n恒成立．22．（12分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]的极值；（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求正实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=a2x2﹣2ax（I）当a=1时，f′（1）=﹣1，f（1）=0所以f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=﹣x+1（II）令f′（x）=0得（1）当，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增所以当x=0时，有极大值；当有极小值（2）当，f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）递减所以f（x）极大值为f（0）=，无极小值（III）设F（x）=f（x）﹣g（x）=，F′（x）=a2x2﹣2ax+a=a2x2+a（1﹣2x）∵∴F′（x）=a2x2+a（1﹣2x）＞0∴则依题意，只需F（x）max＞0即解得所以实数a的取值范围是（。

2014-2015年辽宁省沈阳二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．完全归纳推理B．类比推理C．归纳推理D．演绎推理2．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．（5分）命题“关于x的方程ax=b（a≠0）的解是唯一的”的结论的否定是（）A．无解B．两解C．至少两解D．无解或至少两解4．（5分）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．以上都不对5．（5分）一个物体的运动方程为s=1﹣2t+2t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．9米/秒B．10米/秒C．12米/秒D．13米/秒6．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4B．3C．D．27．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项9．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．（5分）已知实数a，b＞0，a，b的等差中项为，设，则m+n的最小值为（）A．3B．4C．5D．611．（5分）设复数，Z在复平面内的对应点（）A．一定不在一、二象限B．一定不在二、三象限C．一定不在三、四象限D．一定不在二、三、四象限12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）已知函数，当x=﹣1时函数f（x）的极值为，则f（2）=．16．（5分）设函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．19．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆∑：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与∑相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F 1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．21．（12分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]的极值；（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求正实数a的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号，每小题满分10分.【选修4-4；坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【选修4-5；不等式选讲】23．若不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．完全归纳推理B．类比推理C．归纳推理D．演绎推理【解答】解：由金导电、银导电、铜导电、铁导电，而金、银、铜、铁都属于金属，由此归纳得到一切金属都导电，属归纳推理．故选：C．2．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论是：直线b∥直线a；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．故选：A．3．（5分）命题“关于x的方程ax=b（a≠0）的解是唯一的”的结论的否定是（）A．无解B．两解C．至少两解D．无解或至少两解【解答】解：关于x的方程ax=b（a≠0）的解是唯一的，命题的结论是：解唯一，∴其否定是：关于x的方程ax=b（a≠0）无解或至少两解．故选：D．4．（5分）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．以上都不对【解答】解：因为（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，所以x2﹣1=0并且x2+3x+2≠0，解得x=1；故选：A．5．（5分）一个物体的运动方程为s=1﹣2t+2t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．9米/秒B．10米/秒C．12米/秒D．13米/秒【解答】解：∵s=1﹣2t+2t2，∴s′=﹣2+4t，把t=3代入上式可得s′=﹣2+4×3=10由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是10米/秒，故选：B．6．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4B．3C．D．2【解答】解：当0≤x≤时，cosx≥0，当π≤x≤时，cosx≤0，∴所求面积S==sinx|﹣sinx|=sin=1+1+1=3，故选：B．7．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解析：由f（x）的图象及f'（x）的意义知，在x＞0时，f'（x）为单调递增函数，且f'（x）＜0；在x＜0时，f'（x）为单调递减函数且f'（x）＜0．故选：D．8．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．9．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选：C．10．（5分）已知实数a，b＞0，a，b的等差中项为，设，则m+n的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，∴a+b=1又∵m+n=a+b+=1++=当且仅当a=b时，等号成立，∴m+n取得最小值5故选：C．11．（5分）设复数，Z在复平面内的对应点（）A．一定不在一、二象限B．一定不在二、三象限C．一定不在三、四象限D．一定不在二、三、四象限【解答】解：复数，可得m＜﹣1，复数的虚部为正，实部是实数．复数，Z在复平面内的对应点，一定不在三、四象限．故选：C．12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（log π3）•f （log π3），c=（log 3）•f （log 3），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【解答】解：令F （x ）=xf （x ），则F ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）．因为f （x ）+xf ′（x ）＜0，所以函数F （x ）在x ∈（﹣∞，0）上为减函数．因为函数y=x 与y=f （x ）都是定义在R 上的奇函数，所以函数F （x ）为定义在实数上的偶函数．所以函数F （x ）在x ∈（0，+∞）上为增函数．又30.3＞30=1，0=log π1＜log π3＜log ππ=1，．则F （||）＞F （30.3）＞F （log π3）．所以（log 3）•f （log 3）＞（30.3）•f （30.3）＞（log π3）•f （log π3），即c ＞a ＞b ．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）函数f （x ）=2ln3x+8x ，则的值为 ﹣20 ．【解答】解：∵，∴==﹣2f ′（1） =﹣2×=﹣20．故答案为﹣20． 14．（5分）已知，则的值为 ﹣1 ．【解答】解：由，得到x 2+x+1=0，设方程的一个根为a+bi （a ，b是实数）则另一个根为a ﹣bi ，所以，解得，所以x=i，若x=+i，则x2=﹣i，x3=1，则x2015=x671×3+2=x2=﹣i，则=﹣i+=﹣i+（+i）=﹣1，若x=﹣i，则x2=+i，x3=1，则x2015=x2=+i，则=+i+=+i+（﹣i）=﹣1，综上恒有则=﹣1，故答案为：﹣115．（5分）已知函数，当x=﹣1时函数f（x）的极值为，则f（2）=．【解答】解：由题意f'（x）=x2+2a2x+a，则f（﹣1）=，f′（﹣1）=0，△≠0，解得，∴f（2）=．故答案为16．（5分）设函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=0．【解答】解：∵f（x）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x﹣abc，∴f′（x）=3x2﹣2（a+b+c）x+ab+bc+ca．又f′（a）=（a﹣b）（a﹣c），同理f′（b）=（b﹣a）（b﹣c），f′（c）=（c﹣a）（c﹣b）．∴++=0．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴…（1分）由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，得，…（2分）∵，∴AE2+CE2=AC2，AE⊥CE…（3分）∵ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴C1C⊥AE，∵CE∩CC1=C，∴AE⊥平面BCC1B1…（4分）∵AE⊂平面AC1E，∴平面AC1E⊥平面BCC1B1…（5分）（2）解：过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH…（6分）由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1=C1E，CH⊥平面AC1E…（7分）∴CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH=C，∴AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角…（9分）在Rt△ACC1中，，CC1=a，AC1=2a，，在Rt△ECC1中，，CC1=a，，，、，求得任何一个给（2分），两个全对给（3分）…（12分）GH==，cos∠CGH==．∴二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值是．…（13分）19．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆∑：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与∑相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F 1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，∴F2（2，0），即c=2；又e==，∴a=；∴b==，∴椭圆∑的方程为+=1；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD，∵CD∥AB，∴k CD=k AB=﹣1，设直线CD的方程为y=﹣x+m，由，得x2+3（﹣x+m）2﹣6=0；即4x2﹣6mx+（3m2﹣6）=0，∴△=（﹣6m）2﹣4×4（3m2﹣6）=96﹣12m2＞0；（*）设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=；由已知F1C=F1D，若线段CD的中点为E，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；F1（﹣2，0），E（，），即E（，）；由==1，解得m=﹣4；当m=﹣4时，96﹣12m2=﹣96＜0，这与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD．（方法二）假设存在C（x1，y1），D（x2，y2），且线段CD的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=，=﹣1；由，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，代入、化简得：x0﹣y0=0，①由已知F1C=F1D，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；由==1，得y 0=x0+2，②由①②解得x0=﹣3，y0=﹣1，即E（﹣3，﹣1）直线CD的方程为：y=﹣（x+4），联立方程组，消去y得4x2+24x+42=0，∵△=242﹣4×4×42=﹣96＜0，∴方程（组）无解，即不存在满足条件的直线CD．20．（12分）已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ），∵[lg（S n﹣m）+lg（S n+2﹣m）]=2lg（S n+1﹣m），∴．…（4分）（Ⅱ）∵，∴，…（5分）∴数列{c n}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．∴c n=﹣4+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣3．…（7分）（Ⅲ）由于，所以，从而..…（8分）∴∴…（10分）由条件知（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可满足条件，设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，当a=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a＜1时，对称轴，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．f（1）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8=（a﹣1）+（3a﹣6）﹣8=4a﹣15＜0，∴，∴a＜1时4aS n＜b n恒成立综上知：a≤1时，4aS n＜b n恒成立…（14分）21．（12分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]的极值；（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求正实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=a2x2﹣2ax（I）当a=1时，f′（1）=﹣1，f（1）=0所以f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=﹣x+1（II）令f′（x）=0得（1）当，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增所以当x=0时，有极大值；当有极小值（2）当，f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）递减所以f（x）极大值为f（0）=，无极小值（III）设F（x）=f（x）﹣g（x）=，F′（x）=a2x2﹣2ax+a=a2x2+a（1﹣2x）∵∴F′（x）=a2x2+a（1﹣2x）＞0∴则依题意，只需F（x）max＞0即解得所以实数a的取值范围是（请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号，每小题满分10分.【选修4-4；坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．（1）因为过点（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程，【解答】解：由题意，将x0=1，y0=1，α=代入上式得直线l的参数方程为（t为参数）．（2）因为A，B都在直线l上，故可设它们对应的参数分别为t1，t2，则点A，B的坐标分别为A，B，将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4中，整理得，则t1，t2是此方程的两根，由韦达定理得t1t2=﹣2，所以|PA|•|PB|=|t1t2|=2．即点P到A、B两点的距离之积为2．【选修4-5；不等式选讲】23．若不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．【解答】解：得或得﹣2＜x＜﹣1 （3分）综上不等式的解集为，又由已知与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，所以解得（7分）则|x﹣a|+|x﹣b|≥|x﹣a﹣x+b|=|b﹣a|=5，所以当|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解为空集时，k＜5．（10分）。

辽宁省沈阳二中高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2014-2015学年某某省某某二中高一（下）期中数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），垂直于，则||=（）A． 1 B． C． D． 42．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cosθ=（）A． B． C． D．3．设圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值X围是（）A． [﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣，﹣1）∪（1，）D．（﹣，）4．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B． C． 0 D．5．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（） A． 2x+y﹣3=0 B． 2x﹣y﹣3=0 C． 4x﹣y﹣3=0 D． 4x+y﹣3=06．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A． B． C． D．﹣27．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A． y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B． y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C． y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D． y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A． B． C． D．9．函数+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 810．设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A． f（0）＜f（2）＜f（3） B． f（0）=f（2）＜f（3） C． f（3）＜f（2）=f（0）D． f（0）＜f（3）＜f（2）11．给出以下四个选项，正确的个数是（）①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到．③函数y=ln与y=lntan是同一函数．④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 0个12．C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足||=||=4，|﹣|=2，=，=λ，=+m（+），m＞0，则λ=（）A． 1 B． C． 4 D． 2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．14．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（cm）．15．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为．16．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2005•某某）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2﹣bc=a2和=+，求∠A和tanB的值．18．（12分）（2010秋•某某校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．19．（12分）（2010•某某一模）已知向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），函数f（x）=m（•+sin2x），（m为正实数）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．20．（12分）（2015春•某某校级期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．21．（12分）（2011•某某校级模拟）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为4，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．22．（12分）（2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2014-2015学年某某省某某二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），垂直于，则||=（）A． 1 B． C． D． 4考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量垂直的坐标表示，列出方程，求出向量，再求||的值．解答：解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n），且⊥，∴1×（﹣1）+n2=0，解得n=±1；∴=（1，±1）∴||==．故选：C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量垂直的坐标表示，是基础题目．2．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cosθ=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由同角三角函数的基本关系可得sin（θ+），而cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos （θ+）+sin（θ+），代入计算可得．解答：解：∵cos（θ+）=，θ∈（0，），∴sin（θ+）==，∴cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）+sin（θ+）=+=，故选：B．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．3．设圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值X围是（）A． [﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣，﹣1）∪（1，）D．（﹣，）考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．解答：解：由圆C的方程：x2+y2=4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1直线l的一般方程为：x﹣y+b=0∴d=＜1解得﹣＜b＜故选D点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，其中分析出圆心O到直线l：y=x+b的距离d小于1是解解答的关键．4．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B． C． 0 D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．5．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（） A． 2x+y﹣3=0 B． 2x﹣y﹣3=0 C． 4x﹣y﹣3=0 D． 4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．6．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A． B． C． D．﹣2考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．解答：解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=﹣所以故选A．点评：此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．7．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A． y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B． y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C． y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D． y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的X围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．解答：解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]=2cos（2x+φ﹣），∵ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选B点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A． B． C． D．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，该程序框图的意图是求S=1+++的值，由此不难得到本题的答案．解答：解：由题意，k、S初始值分别为1，0．当k为小于5的正整数时，用S+的值代替S，k+1代替k，进入下一步运算．由此列出如下表格因此，最后输出的s=1+++=故选：C点评：本题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了分数的加法和程序框图的理解等知识，属于基础题．9．函数+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．专题：综合题．分析：构造函数，确定函数图象关于直线x=1对称，利用﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个，即可得到函数的所有零点之和．解答：解：构造函数∵﹣2≤x≤4时，函数图象都关于直线x=1对称∴函数图象关于直线x=1对称∵﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个∴函数的所有零点之和等于3×2=6故选C．点评：本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数．10．设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A． f（0）＜f（2）＜f（3） B． f（0）=f（2）＜f（3） C． f（3）＜f（2）=f（0）D． f（0）＜f（3）＜f（2）考点：对数函数图象与性质的综合应用；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2．然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0），再根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．解答：解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，联立得．解得A点坐标为（﹣1，﹣1）根据中点坐标公式得到=﹣1，即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2），且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0），故选B．点评：此题是一道综合题，考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质，要求学生掌握反函数的性质，会利用二次函数的图象与性质解决实际问题，属于中档题．11．给出以下四个选项，正确的个数是（）①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到．③函数y=ln与y=lntan是同一函数．④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 0个考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数图象的对称变换，分析函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称后的函数解析式与原函数解析式的关系，可判断①；根据指数的运算性质及函数图象平移变换法则，可判断②；分析两个函数的定义域和对应关系是否一致，可判断③；根据已知结合向量数量积的定义及正弦定理的边角互化，求出tanA：tanB：tanC的值，可判断④解答：解：①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称变换后的解析式为：f（x）=sin2（2π﹣x）cos（2π﹣x）=sin（4π﹣2x）cos（2π﹣x）=﹣sin2xcosx，x=π不是函数f（x）=sin2xcosx的图象的对称轴，故①错误；②函数y=3•2x+1=的图象可以由函数y=2x的图象向左平移log23个单位，再向上平移1个单位得到，故②正确；③函数y=ln=ln=ln=ln=lntan，但函数y=ln的定义域与函数y=lntan的定义域不同，故两个函数不是同一函数，故③错误；④在△ABC中，若==，则，则，则tanA=3tanB且tanA=2tanC，则tanA：tanB：tanC=6：3：2，故④错误．故正确的命题的个数是1个，故选：A点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．12．C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足||=||=4，|﹣|=2，=，=λ，=+m（+），m＞0，则λ=（）A． 1 B． C． 4 D． 2考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据向量的正交分解，将沿和方向分解，设得到两个向量为和，得到四边形ADIE为菱形，由菱形的性质及根据角平分线定理即可求出．解答：解：∵=，∴PC平分∠APB，将沿和方向分解，设得到两个向量为和，设为m倍的方向上的单位向量，为m倍的方向上的单位向量，∵单位向量的模长为1，∴||=||=m，∴四边形ADIE为菱形，∴AI平分∠PAC，∵|﹣|=||=2，||=||=4，=λ，∴根据角平分线定理，得λ===4，故选：C．点评：本题考查了向量的正交分解，以及有关四边形和角平分线的性质，属于中档题二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：利用题目提供的α的X围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．解答：解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣点评：本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．14．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（cm）．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥；结合图中数据即可求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为矩形，高为=的直四棱锥；且底面矩形的长为4，宽为2，所以，该四棱锥的体积为V=×4×2×=．故答案为：．点评：本题考查了利用三视图求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．15．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为P＞Q ．考点：两角和与差的余弦函数；三角函数线；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：作差由和差化积公式可得P﹣Q=2cos（sin﹣cos），由锐角三角形角的X围可判每个式子的正负，由此可得结论．解答：解：由题意可得P﹣Q=（sinA+sinB）﹣（cosA+cosB）=2sin cos﹣2cos cos=2cos（sin﹣cos）∵△ABC是锐角三角形，∴A+B=π﹣C＞，∴＞，∴sin＞cos，由A和B为锐角可得﹣＜＜，∴cos＞0，∴P﹣Q＞0，即P＞Q，故答案为：P＞Q．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及和差化积公式及三角函数的值域，属中档题．16．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m= ﹣4028 ．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f （y）+2014成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=﹣2014，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2014，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4028．记h（x）=f（x）+2014x2013+2014，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+2014（﹣x）2013+2014]+f（x）+2014x2013+2014=f（x）+f（﹣x）+2014x2013﹣2014x2013+4028=f（x）+f（﹣x）+4028=0，∴y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴﹣A≤f（x）+2014x2013+2014≤A，∴﹣A﹣2014≤f（x）+2014x2013≤A﹣2014，∵g（x）=f（x）+2014x2013，∴∴﹣A﹣2014≤g（x）≤A﹣2014，∵函数g（x）有最大值M和最小值m，∴M=A﹣2014，m=﹣A﹣2014，∴M+m=A﹣2014+（﹣A﹣2014）=﹣4028．故答案为：﹣4028．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2005•某某）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2﹣bc=a2和=+，求∠A和tanB的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，把已知条件b2+c2﹣bc=a2代入化简后，根据特殊角的三角函数值及cosA大于0即可得到∠A；利用三角形的内角和定理和∠A表示出∠C与∠B的关系，然后根据正弦定理得到与相等，把∠C与∠B的关系代入到中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后得到一个关于cotB的方程，求出方程的解即可得到cotB的值，根据同角三角函数的关系即可得到tanB的值．解答：解：由b2+c2﹣bc=a2，根据余弦定理得cosA===＞0，则∠A=60°；因此，在△ABC中，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=120°﹣∠B．由已知条件，应用正弦定理+=====cotB+，解得cotB=2，从而tanB=．所以∠A=60°，tanB=．点评：此题考查学生灵活运用余弦、正弦定理化简求值，灵活运用三角形的内角和定理、两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．18．（12分）（2010秋•某某校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．考点：三角形的形状判断；向量的模；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）由得整理可得cosA=结合0＜A＜π可求A=．（2）由已知可得b+c=a结合正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，从而有sinB+sin（﹣B）=×，sin（B+）=．由0＜B＜可得＜B+＜，结合正弦函数的性质可求B，进一步可求C，判断三角形的形状解答：解：（1）由得即1+1+2（cos cos+sin sin）=3，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵||+||=||，∴b+c=a，由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，∴sinB+sin（﹣B）=×，即sinB+cosB=，∴sin（B+）=．∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴B+=或，故B=或．当B=时，C=；当B=时，C=．故△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查了向量的向量的模的求解，向量数量积的运算，和角的三角函数及正弦定理的应用，由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用，属于综合试题．19．（12分）（2010•某某一模）已知向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），函数f（x）=m（•+sin2x），（m为正实数）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．考点：平面向量的综合题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：（1）向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），代入f（x）=m（•+sin2x），利用二倍角公式两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式，求出它的周期，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间即可．（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，从而可求g（x）的解析式，利用函数g（x）的最值结合图象即可得出答案．解答：解：（1）==…（2分）由m＞0知，函数f（x）的最小正周期T=π．（4分）又，（k∈Z）解得，（k∈Z）..（5分）所以函数的递减区间是：，（k∈Z）（6分）（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，所以：g（x）=2msinx．…（7分）由0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m …（8分）所以当0＜m＜时，y=g（x）与y=1无交点当m=时，y=g（x）与y=1有唯一公共点当m＞时，y=g（x）与y=1有两个公共点…（12分）点评：本题是基础题，考查向量的数量积，三角函数的周期以及单调增区间的求法，三角函数的图象的平移，是常考题型．20．（12分）（2015春•某某校级期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明PD⊥BC．BC⊥CD．推出BC⊥平面PCD．然后证明PC⊥BC．（2）说明GC是三棱锥G﹣DEC的高．求出S△EDC．然后通过V C﹣DEG=V G﹣DEC，求解几何体的体积．（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．利用直线与平面平行的判定定理证明．通过△OCG≌△OAM，求解所求AM的长．解答：解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（2）∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵E是PC的中点，∴S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．∴V C﹣DEG=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12点评：本题考查直线与平面平行，几何体的体积的求法，距离公式的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．21．（12分）（2011•某某校级模拟）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为4，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．解答：解：（1）直线PQ的方程为y﹣3=×（x+1）即直线PQ的方程为x+y﹣2=0，C在PQ的中垂线y﹣=1×（x﹣）即y=x﹣1上，设C（n，n﹣1），则r2=|CQ|2=（n+1）2+（n﹣4）2，由题意，有r2=（2）2+|n|2，∴n2+12=2n2﹣6n+17，∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=13．（2）设直线l的方程为x+y+m=0，由，得2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1﹣m，x1x2=，∵∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，整理得m2+m﹣12=0，∴m=3或﹣4（均满足△＞0），∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0．点评：本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想．22．（12分）（2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．考点：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依题意，由f（﹣x）=﹣f（x），即可求得k的值；（Ⅱ）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈∈[，+∞），通过对mX围的讨论，结合题意h（t）min=﹣2，即可求得m的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k ﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）=0，（k﹣2）（a x+a﹣x）=0，∵x为任意实数，a x+a﹣x＞0，∴k=2．（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．word故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x ，则22x +2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）=﹣2，﹣3m+2=﹣2，解得m=（舍去）．当m≥时，则h（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．21 / 21。

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一(下)4月月考数学试卷

辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．设0a >，角α的终边经过点(3,4)P a a -，则sin 2cos αα+的值等于（） A ．25B ．25-C ．15-D ．452．下列关于函数πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称B ．图象关于直线π4x =成轴对称 C ．在区间π5π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．在区间5ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增3．已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（）A ．127B ．127- C ．247D ．247-4．已知π1cos 53a 骣琪-=琪桫，则πsin 210a 骣琪+=琪桫（）A ．79B ．79-CD ．5 ） A ．sin4cos4+ B ．sin 4cos4- C ．cos4sin 4- D ．sin4cos4--6．若tan 2θ=-，则()sin 12sin cos sin cos θθθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．657．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2co s c o s 0b c A a C ++=，b =若边BC 的中线长等于3，则c =（）AB ．C ．D ．8．已知圆O 半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2AB BO ⋅=u u u r u u u rB ．AB AC ⋅uu u r uu u r的最大值为6C ．[]0,4OC AB AO --∈u u u r u u u r u u u rD ．满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r的点C 有一个二、多选题9．已知向量()()cos ,sin ,3,4a b θθ==-r r，则（） A ．若//a br r ，则4tan 3θ=- B ．若a b ⊥r r ，则3sin 5θ=C ．a b -r r 的最大值为5D ．若()0a a b ⋅-=r r r ，则a b -=r r 10．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列说法正确的是（）A ．若sin sin AB >，则A B >B ．若222a b c +<，则ABC V 为钝角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 为等腰三角形D ．若2,30b A ==︒的三角形有两解，则a 的取值范围为()1,211．已知函数ππ()cos cos cos sin 36f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．π12x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调D ．将()f x 的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于原点对称三、填空题12．已知tan 3α=，则()()πsin cos π23πsin πcos 2αααα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 13．在梯形ABCD 中，//,2,1,120,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=︒、分别为线段BC 和线段CD 上的动点，且1,2BP BC DQ DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u ur ，则DP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围为． 14．函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合.若方程()45f x =在5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上的解为12,x x ，则()12cos x x +=.四、解答题15．函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若函数()f x 在区间[]0,m 有5个零点,求m 的取值范围.16．在sin sin cos sin sin A C A C B C +=+，②222sin sin cos 1sin sin B C A B C ++=+，③sin sin sin sin b B c C a A A c B +-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4a =，且选择条件______. (1)求角A ；(2)若AM 为BAC ∠的平分线，且与BC交于点,M AM =ABC V 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD 所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD 区域中，将三角形ABD 区域设立成花卉观赏区，三角形BCD 区域设立成烧烤区，边AB 、BC 、CD 、DA 修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中100CD =米，200BC =米，π3A ∠=.(1)若150BD =米，求烧烤区的面积？(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD 区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB 的长度.18．已知函数()2π2cos sin R 3f x x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭.(1)求函数的对称中心与对称轴；(2)当[]0,πx ∈时，求函数()f x 的单调递增区间；(3)将函数()f x 的图象向左平移π6个单位后，所得图象对应的函数为()h x .若关于x 的方程()()22[]10h x mh x ++=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.19．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b c ba+==(1)求C .(2)若1b =，点,M N 是边AB 上的两个动点，当π3MCN ∠=时，求MCN △面积的取值范围. (3)若点,M N 是直线AB 上的两个动点，记π(0),,2MCN CMN CNM θθαβ∠=<≤∠=∠=.若2cos (sin cos )sin sin (cos 1)sin βαααβαα++-=恒成立，求θ的值.。