03-02一维单原子链

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不同原子间相位差
相邻原子的相位差
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Solid State Physics
格波 波矢的取值和布里渊区：
相邻原子相位差 —— 原子的振动状态相同
格波1的波矢
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相邻原子相位差
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格波 格波2的波矢
aq1 / 2
令
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原子坐标和简正坐标的变换
—— 有3N个取值
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—— 线性变换为幺正变换
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动能和势能的形式 原子位移 为实数 ——
—— N项独立的模式 正交性 动能的正则坐标表示 势能的正则坐标表示
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格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
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一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原 子间距a
—— 原子之间的作用力 —— 第n个原子离开平 衡位置的位移
—— 第n个原子和第n＋1个 原子间的相对位移
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等 价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑 到环链的循环性 设第n个原子的位移
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再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移
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则有 要求
—— h为整数
波矢的取值范围
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晶格振动 ——声子体系
—— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用
—— 声子具有能量_动量，看作是准粒子
—— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究
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—— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的
—— 声子系统是无相互作用的声子气组成的系统
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第n个原子和第n＋1个原子间的距离
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平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移 势能 后，相互作用
—— 常数
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—— 平衡条件
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简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
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—— 恢复力常数
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原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
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—— 每一个原子 运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
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格波 —— 长波极限情况
当
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—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
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格波 —— 短波极限情况
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—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
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玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等
价的，每个原子的振动形式都一样
实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，
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链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
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—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
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格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度
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势能
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系统势能
将
代入得到
哈密顿量
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—— 系统复数形式的简正坐标
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—— 实数形式的简正坐标
令
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哈密顿量
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能量本征值
本征态函数 —— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是 以简正坐标为宗量的谐振子波函数
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声子 —— 晶格振动的能量量子； 或格波的能量量子
当这种振动模处于 时，说明有 个声子
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固体物理 Solid State Physics
第三章 晶格振动
§ 3.2 一维单原子链
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§3.2 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描 述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
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2 h 波矢 q Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 —— 第一布里渊区包含N个状态
每个波矢在第一布里渊区占的线度
第一布里渊区的线度
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第一布里渊区状态数
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方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
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得到 应用三角公式
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格波方程 格波的意义：
连续介质中的机械波 波数 晶体中的格波
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波长 —— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
格波的色散关系
格波相速度 — 不同波长的格波传播速度不同
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色散关系 频率是波数的偶函数
Байду номын сангаас
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色散关系
—— q空间的周期
频率极小值
频率极大值
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只有频率在
之间的格波才能在
晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
相邻原子的位相差
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—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
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—— 相邻原子的相位差取值
波矢的取值 —— 第一布里渊区
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—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题
—— 其它区域不能提供新的物理内容
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长波极限下
相邻两个原子振动相位差
—— 晶格可看作是连续介质
短波极限下
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—— 相邻原子的振动相位相反
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原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移 第n个原子总的位移