3.1 一维单原子链
3.1一维晶格振动
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链PPT参考课件
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2
2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2
体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动 能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E
3N i 1
i
3N i 1
ni
1 2
hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐 标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标 小结
每个原子的位移画在 垂直链的方向
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
31一维单原子解析
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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主 要 内 容
• • • • • 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数； 3-1.2体系恢复力与相对位移关系； 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律)； 3-1.4解出一维单原子链的色散关系； 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) Fn1,n n1,n ( xn1 xn ) F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )] F ( xn1 xn1 2 xn ) n ( xn1 xn1 2 xn ) m x
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实 组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑， 这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
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3 – 1 一维单原子链
3.1一维晶格振动
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结
为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
晶格具有周期性，因此晶格的振动模具有波的形式， 称为格波。格波和一般连续介质波有共同的特征，但也有
它不同的特点。
1.一维单原子链的振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距为a（即
原胞体积为a），原子质量为m。原子限制在沿链的方向 运动。原子间的力常数均为β。
u (r ) u (a )
按一般简谐振动把近似互作用能保留到二次项
1 d 2u 2 du u (r ) u (a) 2 2 dr a dr a 2 du d u 在上式中 0, 2 dr a dr a
2n
Q原子： M
2n1 2n1 22n
2 n 1
2 n 1 2 n 2 2 n 1 2 n
2n2 2n 22n1
上面两个方程是原子运动的典型方程，当原子链包含N个原胞
π π q a a
上述q以外的值，并不能提供其它不同的波。
格波波数q的不唯一性特点可以如图说明：
a
4a
μ
a
4a 5
q 2a
5 xq 2a
高二物理竞赛课件：一维单原子链模型
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
0.01
0.1
1
100
10000
声子
• 离子实比电子重103~105倍，离子实振动速度比电子慢很多
• 将电子的运动和离子实的运动分开
V
O
• 电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代
简谐近似：保留2次项，忽略高阶项 2
v
1 v
v(a ) v(a) ( ) a ( 2 ) a 2 ...
r
2 r
所有原子的振动没有影响
• 红线：q=π/2a
• 绿线：q=5π/2a
• 将波数q取值限制为 q
a
a
• 即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
• 第一章内容：
简约布里渊区内的全部波矢代
表了晶体中所有的状态，区外
的波矢都可通过平移倒格矢在
该区内找到等价状态点；讨论
固体性质时，可以只考虑第一
ℏ被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重
要的结论！
3-2 一维单原子链模型
声子
1
振动能量的本征值为 n (nq 2 )q
q
其中nq为声子
数
➢ 声子是晶格振动的能量量子ℏ
➢ 声子具有能量ℏ，也具有准动量ℏ ，它的行为类似于电子或光子，具
有粒子的性质。但声子与电子或光子具有本质区别，声子只是反映晶体
获得ℏ的能量，则称晶格发射一个声子
➢ 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，
声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量
固体物理第7课晶格振动一维单原子链-资料
晶格振动和声子
波的数学形式可以表示为波动函数 f(r,t)
波动函数形式复杂，某一种特殊的波，有一些基本 的传输模式，对固体中的振动模型，可以采用最简单 的一维单原子链的振动模型。 一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的 球，它们被弹性系数为k的弹簧联起来，某一个球随 时间作纵向振动，所有球都会振动。
则将形成驻波，L=n·λ/2，即1/λ = n / 2L。所以q只能取分
立值，q=2π/ λ= n π / L。
3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格）
1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原子质量：
原子标号：
平衡间距：
纵向位移：
向右
向左
m n a xn xn 0 xn 0
n 号原子的受力：
f 左＝－
f 右＝－
xn xn1 xn1 xn
f 左 与 f 右 方向相反
f f左 f右
(xn1xn12xn)mdd2xt2n mdd2xt2n (xn1xn12xn)
运动方程的解
由N个原子组成的一原维子链中有N个这样方的程
1.简谐近似
f ：常系数 ＝ a a 0： f 0，吸引力 0： f 0，排斥力
(rn1rn)(rn1rn)
rn1rn1(rnrn)xn1xn
f (xn1xn)
简谐近似下的运动方程
，方向沿波的传播方向
(2)
可a取任q
意实数
，且只可
a
取分立值
x：连续介质中任意点的 位置 (3) na ：格点的位置
3.1.3 晶格振动的色散关系
m
固体物理答案3
色散关系(ω2--κ)图如 右，这是一个双原子 （例如H2）晶体。
M ν n = β ( μ n + 1 − ν n ) − 10 β (ν n − μ n )
= β ( μ n + 1 + 10 μ n − 11ν n )
设试探解为：
μ n = μ e − i (ω t − naq )
ω+ = ω− =
4β aq cos m 2 4β aq sin m 2
长波极限情况下 q → 0
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波， 总的格波数目为2N 。
sin(
qa qa )≈ 2 2
ω− = (2
β
m
)q
与一维单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子晶格格波的色散关系一致
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间 的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且 最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a 处的ω(k)。并粗 略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2。 解：绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
2 j
=
2 kT Nm ω
2 j
1 = m∑α 2ω 2 cos2 (ω j t + nαq j + δ j ) j j 2 n
kT 1 2 αj = 2 Nm ω 2 j
=
1 mα 2ω 2 N j j 4
其中：M=ρL
所以，每个原子的平方平均位移：
2 μ n = ∑ μ nj = ∑ α 2 = j
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）μ2 n =⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠= ∑μj2nj+ ∑ μ μnj*nj′j j′由于μ μnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。
所以2= ∑ μ 2njn j由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛dμ⎞2 ⎤ρw a2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ρnj⎥= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T⎜⎟dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ⎢ 2 ⎝dt⎠⎥2T0 j j j j 4 j j其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2μKT因此将此式代入（2）式有nj2 = ρ ωL 2 jμ所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT= KT∑1n njρ ωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
一维单原子链,原子间距为a,但力常数交错
一维单原子链,原子间距为a,但力常数交错一维单原子链是由一排原子组成的链状结构，原子间的距离为a。
在这个链中，每个原子之间存在一种交错的力常数关系。
本文将探讨这种交错力常数的特性及其在物理学中的应用。
我们来解释什么是力常数。
力常数是描述物体在受力时的刚度或弹性的物理量。
在一维单原子链中，原子之间的力常数交错意味着相邻原子之间的刚度或弹性不完全相同。
原子链中的力常数交错可以由两个方面来实现：原子的质量和原子之间的键强度。
首先，原子的质量会影响其惯性和受力后的振动频率。
较重的原子会具有较高的力常数，而较轻的原子则会具有较低的力常数。
其次，原子之间的键强度也会影响力常数。
键强度较高的原子之间会具有较高的力常数，而键强度较低的原子之间则会具有较低的力常数。
在物理学中，一维单原子链的力常数交错现象可以应用于多个领域。
首先，它在固体力学中起着重要作用。
通过研究力常数交错的原子链，我们可以了解固体的弹性特性和变形行为。
这对于材料工程师来说是非常重要的，因为他们可以根据这些特性来设计具有特定弹性和刚度的材料。
力常数交错的原子链在纳米科学和纳米技术中也有广泛的应用。
纳米材料是由纳米尺度的原子或分子构成的材料。
通过控制一维单原子链中的力常数交错，科学家可以设计出具有特定性质和功能的纳米材料，如纳米传感器、纳米机器人等。
这些纳米材料在医学、环境监测和信息技术等领域有着广泛的应用前景。
力常数交错的原子链还可以用于研究声子晶体。
声子晶体是一种具有特殊声学性质的材料，其声子频率的禁带结构可以通过调节原子链中的力常数交错来实现。
这种材料在声学隔离、声波传感和声子学器件等领域有着重要的应用潜力。
一维单原子链中的力常数交错是一种重要的物理现象，具有广泛的应用前景。
通过研究和控制这种交错，我们可以深入了解材料的弹性特性和变形行为，并设计出具有特定功能和性质的纳米材料。
此外，力常数交错还可以用于研究声子晶体，为声学隔离和声波传感等领域提供新的解决方案。
一维单原子链推导
一维单原子链推导
一维单原子链是指一维无限长的单原子链，其中原子质量为m，原子间距为a。
热运动使得原子离开平衡位置，假设第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量，第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ，则：$\delta=μn+1-μn$。
当原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为$V(a)$；相对位移为$\delta$时，两个原子相互作用势为$V(a+\delta)$。
将$V(a+\delta)$在平衡位置用泰勒级数展开，可得：$\cdots(21)(222=+++=aaδaδdrdVaVdrVddrdVaVaVrVδ$。
由于考虑的是微振动，即$\delta$很小，展开式可以近似保留到$\delta^2$项，可得：$10(\cdots)!(\cdots)!2)(\cdots)('\theta'\theta'\theta'\theta'\theta'\approx++++ +++2222\delta\delta\delta$。
只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：$\cdots212)(μ221−−=≈∑nnnVμββδ$。
第n个原子所受的力为：$\cdots2(11+−−−−=−≈∂δ∂−=nnnnVfμμμββδβ$，其中β是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定，$a$是两个原子间的平衡间距。
若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力为来自左边弹簧的张力β$(μn-μn-1)$与来自右边弹簧的张力β$(μn+1-μn)$之和。
3-1一维单原子链振动
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
3
一维单原子链运动
一维单原子链晶格周期为a，原子质量m，相对各自平衡位置的 位移分别为un 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U(a) 发生相对位移 = un–un-1后，相互作用势能U(r)= U(a+)
2 l a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态 例如 波长
2 5 2 2 q1 , q2 , q2 q1 2a 1 2a 2 a
1 4a, 2 a
5
4
格波1(Red)相邻原子位相差
aq1 / 2 格波2(Green)相邻原子位相差 aq2 2 / 2
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律
能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 E 3Nk BT 1 mol晶体的定容比热 CV ,m 3Nk B 3N 0 k B 但实际上，低温下比热随温度的降低而降低。
1 sin aq m 2
w/(4/m)
1/2
2
0.6 0.4 0.2 0.0
解得色散关系——波的频率-波矢关系 真空中光波 = cq，空气中声波 = vq 而格波的色散关系是非线性的。
3.1一维单原子
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相 同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动 以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei (t naq )
—— 格波的波形图
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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e
i[ 2n )]
=1
e cos x i sin x
ix
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 2 sin aq m 2
两种波矢的格波中，原子的振动完 全相同
- 2a -
a
0
a
2 a
波矢的取值
波矢q的周期:
2 / a
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
基本概念
1、晶格振动：晶体中的原子、离子实际上不是静止 在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，即为 晶格振动；
2、关于热学性质(热容、热膨胀、热传导)：对晶格 振动的研究是从解释固体的热学性质开始的。最初认为 固体比热容服从杜隆—珀替定律；1907年爱因斯坦提出 固体比热容的量子理论；1912年德拜提出固体的比热容 理论，把固体当成连续介质处理；此后，玻恩及其学派 建立与发展了比较系统的晶格振动理论。
一维单原子链
一维单原子链
一维单原子链，是由单个原子组成的一条直线结构。
这样的结构
具有稳定性和强的原子间作用力，因此一维单原子链在纳米科学领域
中被广泛应用。
一维单原子链的材料种类多样，通常包括金属、半导体和氧化物等。
在制备一维单原子链时，需要使用类似于扫描隧道显微镜等高技
术仪器，将原子逐个逐个地排列在一起，制成精细的结构。
利用一维单原子链，可以制作出具有独特性能的纳米器件。
例如，在光学应用方面，可以通过改变单原子链的排列方式，来控制其吸收、反射和透射等特性，进而实现光学信息存储、光伏电池和量子计算等
方面的研究。
在电子学应用方面，一维单原子链可以用于制作高性能
电子器件，例如纳米电缆、纳米场效应晶体管和纳米传感器等。
此外，一维单原子链的制备也为物理学和化学学科的发展带来了
新的思想和方法。
例如，在材料科学和固体物理学领域，研究人员可
以利用单原子链构建的新型组织结构，来探索材料的独特性能和物理
行为；在化学领域，通过单原子链的构建，可以实现对反应过程的控
制和调节，从而开发新型化学反应催化剂等。
总的来说，一维单原子链的制备和应用具有非常广泛的前景和重
要的意义，对于人类社会的发展和科学技术的进步都将发挥重要的作用。
固体物理答案3
第三章习题3.1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个个点引起的位移μnj 为：δj 为任意位相因子。
并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。
)sin(j j j j nj naq t δωαμ++=21)(sin 12=++∫dt q n t Tj j j Tδαω根据=2nj μ22221)(sin jj j j j q n t αδαωα=++解：其中T =2π/ωj 为振动周期，所以：格波的平均动能：∑=nnj m E 221μNm jj 2241ωα=一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有：)(cos 21222j j j j nj q n t m δαωωα++=∑平均动能=平均势能= 格波平均能量=kT 2121其中：M =ρL其中振幅222jjNm kT ωα=得：kTN m E j j 214122==ωα所以有：22221jj nj Nm kTωαμ==所以，每个原子的平方平均位移：∑∑∑===222121jjnj nNmkT ωαμμ其中：M =ρL 3.2 讨论讨论N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N 个格波解，当M=m 时与一维单原子链结果一一对应。
解：质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……。
质量为m 的原子位于2n ，2n+2，2n+4 ……。
)2()2(2221212121222nn n n n n n n M m μμμβμμμμβμ−−−=−−−=+++−+ 牛顿运动方程体系有N 个原胞，有2N 个独立的方程])12([12])2([2aq n t i n q na t i nBeAe+−+−==ωωμμ方程的解：22(2)(2cos )0(2cos )(2)0m A aq B aq A M B βωβββω⎧−−=⎪⎨−+−=⎪⎩A ,B 有非零解02cos 2cos 2222=−−−−ωβββωβM aqaqm 用户名登录立即注册安全高效便捷扫码登录请使用百度App 扫码登录12222()4{1[1sin ]}()m M mMaq mM m M ωβ+=±−+两种不同的格波的色散关系为：1222212222()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()m M mMaq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+−+=+−++=−−+对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波，总的格波数目为2N。
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一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 特点
N很大，原子运动 近似为直线运动
处理问题时要考虑 到环链的循环性
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有
动能的正则坐标表示 势能的正则坐标表示
——正交性
T 1
2
q
Q q 2
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
势能
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波的色散关系
2 sin( aq )
m2
频率是波数的偶函数 色散关系曲线具有周期性
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
色散关系
频率极小值 min 0 频率极大值 max 2 / m
—— q空间的周期
只有频率在
要求
q 2 h
Na
波矢的取值范围
—— h为整数
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N h N
2
2
波矢 q 2 h
Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
—— 第一布里渊区包含N个状态
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q 2
Na
第一布里渊区的线度 2
a
第一布里渊区状态数 2 / a N 2 / Na
之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 当
VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令 原子坐标和简正坐标的变换
mn (1/ N )einaqQq
q
3N
mn anjQ j
j 1
—— 线性变换为么正变换
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
动能和势能的形式 原子位移
为实数 ——
—— N项独立的模式，具有正交性
相邻原子之间的作用力
长波极限情况
格波传播速度 c a K m/a
连续介质弹性波相速度 VElastic K /
—— 伸长模量
—— 连续介质的弹性模量和介质密度
—— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下
—— 相邻两个原子振动的位相相反
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长波极限下 相邻两个原子振动位相差
短波极限下
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 相邻原子的位相差
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 波矢的取值和布里渊区
—— 每一个原子运动方程类似
—— 方程的数目和原子数相同
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
2 4 sin2( aq)
m
2
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 n Aei(tnaq)
相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
相邻原子的位相差
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 两种波矢的格波中， 原子的振动完全相同
相邻原子的位相差
波矢的取值 q —— 第一布里渊区
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )