3.1 一维单原子链

2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
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格波 —— 长波极限情况 当
VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
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动能的正则坐标表示 势能的正则坐标表示
——正交性
T 1
2
q
Q q 2
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势能
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 相邻原子的位相差
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格波 波矢的取值和布里渊区
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
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原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )
原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令 原子坐标和简正坐标的变换
mn (1/ N )einaqQq
q
3N
mn anjQ j
j 1
—— 线性变换为么正变换
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动能和势能的形式 原子位移
为实数 ——
—— N项独立的模式，具有正交性
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N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 特点
N很大，原子运动 近似为直线运动
处理问题时要考虑 到环链的循环性
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设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有
要求Fra Baidu bibliotek
q 2 h
Na
波矢的取值范围
—— h为整数
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N h N
2
2
波矢 q 2 h
Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
—— 第一布里渊区包含N个状态
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q 2
Na
第一布里渊区的线度 2
a
第一布里渊区状态数 2 / a N 2 / Na
相邻原子之间的作用力
长波极限情况
格波传播速度 c a K m/a
连续介质弹性波相速度 VElastic K /
—— 伸长模量
—— 连续介质的弹性模量和介质密度
—— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质
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§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
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相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
相邻原子的位相差
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—— 两种波矢的格波中， 原子的振动完全相同
相邻原子的位相差
波矢的取值 q —— 第一布里渊区
格波 —— 短波极限情况
长波极限下
，相邻两个原子之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下
—— 相邻两个原子振动的位相相反
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长波极限下 相邻两个原子振动位相差
短波极限下
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—— 每一个原子运动方程类似
—— 方程的数目和原子数相同
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方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
2 4 sin2( aq)
m
2
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格波方程 n Aei(tnaq)
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格波的色散关系
2 sin( aq )
m2
频率是波数的偶函数 色散关系曲线具有周期性
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色散关系
频率极小值 min 0 频率极大值 max 2 / m
—— q空间的周期
只有频率在
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
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平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
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玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述