第七章第五节正态总体均值和方差的区间估计
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第五节正态总体参数的区间估计汇总
本方差，给定置信度 1 求:方差 2 的置信区间.
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
7.4 (正态总体均值与方差的区间估计)
s tα 2 ( n − 1) x+ n
,
计算得到灯泡平均使用寿命µ 的90%、95%及99%的 、 及 的 置信区间分别为(1479.15,1500.85)、(1476.80,1503.20) 置信区间分别为 、 其长度分别为21.7,26.4和36.48． 和(1471.76,1508.24),其长度分别为 其长度分别为 和 ． 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长． 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长．
( n − 1) S 2 2 = ~ χ （n − 1) σ2
Xi − X 作为枢轴量 作为枢轴量. σ i =1
n 2
所以， 所以，可以取 χ 2 = ∑
已知的情形， 的一个信水平为1– 类似µ 已知的情形，容易得到σ2的一个信水平为 α n 的置信区间为 n 2 2 即
计．
（一）
正态总体均值的区间估计
1. σ2已知时，µ 的置信区间 已知时，
X −µ ~ N (0, 1) 的无偏估计， 由于 X 是µ 的无偏估计，且有 σ/ n 容易想到将 Z = X − µ 作为求µ 的置信区间的枢轴 σ/ n
量． 对给定的置信水平1 对给定的置信水平1 – α， 由右图易知
X −Y ± z α 2
1
n1
+
n2
2
两正态总体均值差的区间估计 说明: 说明 实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的, 实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的 在两个样本容量都比较大的情况下(n 在两个样本容量都比较大的情况下 1,n2≥ 30)，一 ， 般采用两个样本方差S 近似代替σ 般采用两个样本方差 12和S22近似代替σ12和σ22，于 的一个置信水平为 是，µ1 – µ2的一个置信水平为1 – α 的置信区间可 以由
,
计算得到灯泡平均使用寿命µ 的90%、95%及99%的 、 及 的 置信区间分别为(1479.15,1500.85)、(1476.80,1503.20) 置信区间分别为 、 其长度分别为21.7,26.4和36.48． 和(1471.76,1508.24),其长度分别为 其长度分别为 和 ． 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长． 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长．
( n − 1) S 2 2 = ~ χ （n − 1) σ2
Xi − X 作为枢轴量 作为枢轴量. σ i =1
n 2
所以， 所以，可以取 χ 2 = ∑
已知的情形， 的一个信水平为1– 类似µ 已知的情形，容易得到σ2的一个信水平为 α n 的置信区间为 n 2 2 即
计．
（一）
正态总体均值的区间估计
1. σ2已知时，µ 的置信区间 已知时，
X −µ ~ N (0, 1) 的无偏估计， 由于 X 是µ 的无偏估计，且有 σ/ n 容易想到将 Z = X − µ 作为求µ 的置信区间的枢轴 σ/ n
量． 对给定的置信水平1 对给定的置信水平1 – α， 由右图易知
X −Y ± z α 2
1
n1
+
n2
2
两正态总体均值差的区间估计 说明: 说明 实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的, 实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的 在两个样本容量都比较大的情况下(n 在两个样本容量都比较大的情况下 1,n2≥ 30)，一 ， 般采用两个样本方差S 近似代替σ 般采用两个样本方差 12和S22近似代替σ12和σ22，于 的一个置信水平为 是，µ1 – µ2的一个置信水平为1 – α 的置信区间可 以由
心理及教育统计学第7章参数估计
第七章 参数估计
章节内容
第一节 点估计、区间估计及标准误 第二节 总体平均数的估计 第三节 标准差与方差的区间估计 第四节 相关系数的区间估计 第五节 比率及比率差异的区间估计
总体参数估计：在研究中从样本获得一组数 据后，通过这组信息，对总体特征进行估计， 即从局部结果推论总体的情况。
总体参数估计分点估计和区间估计两种。
7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7 7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7
71.9684.04
当n2=36时，df2=35，t0.05/2=2.042
7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2 7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2
75.982.1
【例7-4】
根据n2=36的样本估计总体参数μ：
0.95的置信区间 7 8 1 . 9 6 1 . 1 8 7 9 1 . 9 6 1 . 1 8
76.781.3
0.99的置信区间
7 9 2 . 5 8 1 . 1 8 7 9 2 . 5 8 1 . 1 8
75.782.04
83.686.4
总体方差σ2未知，对总体平均数的估计
总体方差未知，用样本的无偏方差(
s
2 n 1
)作为总体
方差的估计值，实现对总体平均数μ的估计。因为在总
体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值
表，确定t/2或t(1－)/2。
有两种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n之大小。
（2）总体分布为非正态时，只有n＞30，才能用概率对 其抽样分布进行解释，否则不能推论。
0.05水平和0.01水平是人们习惯上常用的两个显著性 水平。
区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计值， 解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分 布规律及抽样分布的标准误(SE)。
章节内容
第一节 点估计、区间估计及标准误 第二节 总体平均数的估计 第三节 标准差与方差的区间估计 第四节 相关系数的区间估计 第五节 比率及比率差异的区间估计
总体参数估计：在研究中从样本获得一组数 据后，通过这组信息，对总体特征进行估计， 即从局部结果推论总体的情况。
总体参数估计分点估计和区间估计两种。
7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7 7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7
71.9684.04
当n2=36时，df2=35，t0.05/2=2.042
7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2 7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2
75.982.1
【例7-4】
根据n2=36的样本估计总体参数μ：
0.95的置信区间 7 8 1 . 9 6 1 . 1 8 7 9 1 . 9 6 1 . 1 8
76.781.3
0.99的置信区间
7 9 2 . 5 8 1 . 1 8 7 9 2 . 5 8 1 . 1 8
75.782.04
83.686.4
总体方差σ2未知，对总体平均数的估计
总体方差未知，用样本的无偏方差(
s
2 n 1
)作为总体
方差的估计值，实现对总体平均数μ的估计。因为在总
体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值
表，确定t/2或t(1－)/2。
有两种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n之大小。
（2）总体分布为非正态时，只有n＞30，才能用概率对 其抽样分布进行解释，否则不能推论。
0.05水平和0.01水平是人们习惯上常用的两个显著性 水平。
区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计值， 解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分 布规律及抽样分布的标准误(SE)。
正态分布总体均值和方差的区间估计
2
(n
1)
1
因此，当总体 N (, 2 ) 中的参数
为未知的情况下，方差 2的置信区间为
(n 1)s2
2 1
(n
1)
2
,
(n 1)s2
2
2
(n
1)
注 临界值 2 (n 1), 2 (n 1)不是唯一的。
2
1 2
可以选取
2 (n 1), 2 (n 1)
2
1
3
3
例5：某自动车床生产的零件，其长度X服从 正态分布，现抽取16个零件，测得长度（单 位：mm）如下：
s
2 2
是分别来自于两总体
且容量各为m和n的独立样本的方差。
考虑统计量 由于
s12 / s22
12
/
2 2
(m 1)s12
2 1
~
2 (m 1)
(n 1)s22 ~ 2 (n 1)
2 2
所以
(m 1)s12
2 1
/(m
1)
(n
1)
s
2 2
/(n
1)
2 2
s12
12
/ s22
/
2 2
~
F(m 1, n 1)
1 x (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95
6
2 0.06, 0.06
x1.96
14.95 1.96
0.06 14.75
n
6
x 1.96
14.95 1.96
0.06 15.15
n
6
故所求置信区间为 14.75,15.15
n 注 对于不是服从正态分布的总体，只要
(n
1)
1
因此，当总体 N (, 2 ) 中的参数
为未知的情况下，方差 2的置信区间为
(n 1)s2
2 1
(n
1)
2
,
(n 1)s2
2
2
(n
1)
注 临界值 2 (n 1), 2 (n 1)不是唯一的。
2
1 2
可以选取
2 (n 1), 2 (n 1)
2
1
3
3
例5：某自动车床生产的零件，其长度X服从 正态分布，现抽取16个零件，测得长度（单 位：mm）如下：
s
2 2
是分别来自于两总体
且容量各为m和n的独立样本的方差。
考虑统计量 由于
s12 / s22
12
/
2 2
(m 1)s12
2 1
~
2 (m 1)
(n 1)s22 ~ 2 (n 1)
2 2
所以
(m 1)s12
2 1
/(m
1)
(n
1)
s
2 2
/(n
1)
2 2
s12
12
/ s22
/
2 2
~
F(m 1, n 1)
1 x (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95
6
2 0.06, 0.06
x1.96
14.95 1.96
0.06 14.75
n
6
x 1.96
14.95 1.96
0.06 15.15
n
6
故所求置信区间为 14.75,15.15
n 注 对于不是服从正态分布的总体，只要
概率论与数理统计课件：7-4 参数估计_正态总体均值和方差的区间估计
解
X
z
2
n
得 的置信度为 1的置信区间为
( X z , X z )
2n
2n
(2) 方差2 未知 , 的置信区间
X t (n 1) S , X t (n 1) S (2)
2
n
2
n
推导 选取枢轴量
t
X S
~
t(n 1)
X
n
由P
S
n
t (n 1) 确定 t (n 1)
=x 569.3750，sx2=2140.5536，
m=8
=y487.0000，sy2=3256.2222， n=10
可以认为两个品种亩产量的标准差相同， 则可采用两样本t区间。此处
sw
m 1 sx2
n
1
s
2 y
mn2
7 2110.5536 93256.2222 52.4880 16
t1 2 m n 2 t0.975 16 2.1199
记
1 p1 2a (b
b2 4ac )
1 p2 2a (b
b2 4ac )
可得p的一个近似的置信水平为1-α的置信区间
为 ( p1, p2 )
§7 单侧置信区间
• 在某些实际问题中，例如对于元件的寿命来 说，我们关心的是平均寿命θ的“下限”； 与此相反，在考虑化学药品中杂质含量的均 值μ时，我们关心的是它的“上限”。
2 1
,
2 2
未知(
但
12
2 2
2
) 1 2 的置信区间
X
Y
~
N(
1
2
2
, n
2
m
)
(n 1)S12
第7章 参数估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计
这个误差的可信度为95%. 这个误差的可信度为
续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解
α
2
975,
n − 1 = 15,
附表2-2 附表
查 χ 2 ( n − 1) 分布表可知 :
= 1 − α,
即
S12 σ12 S12 1 1 P 2 < 2< 2 S2 F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1) S2 Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1) σ 2
2 S12 S1 1 1 2 . , 2 S F (n − 1, n − 1) S F (n1 − 1, n2 − 1) 2 1−α / 2 2 α/2 1 2
注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况
2 1 2 2
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为
σ 于是得 的一个置信度为1 − α 的置信区间 σ
2 1 2 2
= 1 − α,
例5
2
生产的钢管内径, 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差
为s1 = 0.34(mm 2 ); 抽取机器 生产的管子 13 只, 抽取机器B生产的管子
2 测得样本方差 s 2 = 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
其中
续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解
α
2
975,
n − 1 = 15,
附表2-2 附表
查 χ 2 ( n − 1) 分布表可知 :
= 1 − α,
即
S12 σ12 S12 1 1 P 2 < 2< 2 S2 F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1) S2 Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1) σ 2
2 S12 S1 1 1 2 . , 2 S F (n − 1, n − 1) S F (n1 − 1, n2 − 1) 2 1−α / 2 2 α/2 1 2
注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况
2 1 2 2
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为
σ 于是得 的一个置信度为1 − α 的置信区间 σ
2 1 2 2
= 1 − α,
例5
2
生产的钢管内径, 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差
为s1 = 0.34(mm 2 ); 抽取机器 生产的管子 13 只, 抽取机器B生产的管子
2 测得样本方差 s 2 = 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
其中
正态总体均值及方差的区间估计
第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。
①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。
由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n SX α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。
αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。
正态总体均值方差的区间估计
2 2 2
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
概率论-7.4 正态总体均值和方差的区间估计
给定置信度为1 ，设样本 X1, X2,L , Xn 来自正态
总体
N
(
1
,
2 1
)
， 样 本 Y1,Y2,L
,Ym
来自正态总体
N
(
2
,
2 2
)
，两个样本相互独立，
X
,
S12
,
Y
,
S
2 2
分别表示两
个样本的样本均值和样本方差．
(1)若
2 1
，
2 2
均已知，因
X
，Y
分别为 1 ， 2
的无
偏估计，故 X Y 为 1 2 的无偏估计，由 X ，Y 的独
x
n
u / 2 , x
n
u
/
2
．
将 x 6.0, 0.6 ，n 9 ， z0.025 1.96 ，代入上式得 的
置信区间为 (5.602,6.392) ．
2020年4月26日星期日
3
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【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设干燥时间总体服从正态分布 N(, 2) ．求 的置信度
为 0.95 的置信区间：
(1)若由以往经验知 0.6 (h)；(2)若 未知．( 0.05) 解 (2)由题可知，总体方差未知，采用统计量 T ， 的
置信区间为
x
s n
t
/
2
(n
1),
x
s n
t
/
2
(n
1)
．
将 x 6.0 ， s 0.57 ， n 9 ， t0.025 (8) 2.306 ，代入上式
7.5正态总体均值与方差的区间估计7.7单侧置信区间
7 2
随机区间 1 , 是的置信度为1 的单侧置信区间 。
P 2 X1 , 则称 2 X 1 ,
又若将 7 2 式改为： , X n 1 , , X n 为的单侧置信上限 。
7 3
随机区间 , 2 是的置信度为1 的单侧置信区间 。
, X n 2 X1,
, X n 1
7 1
则称随机区间 1 , 2 是的双侧 1 置信区间 ；称 1 为置信度；
1和 2分别称为双侧置信下限和双侧置信上限。
2
第3页
上述置信区间中置信限是双侧的，但对于有 些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的 界限，即上限或下限. 例如：对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿 命过长没什么问题，过短就有问题了.
10
2 2 n 36, X 15, S 16
第11页
S S 置信区间为： X t 2 n 1 , X t 2 n 1 n n
S S 由P X t0.025 X t0.025 1 0.05 n n
查表得：t0.025 35 2.0301
又： 15 2.0301 4 13.647,15 2.0301 4 16.353 6 6
的置信区间为13.647,16.353
？求置信度为99％时 1 2
两种情况下的置信区间
? 答案：1 13.333,16.667
2 1
n1
2 1
~ N 0,1
n2
概率与数理统计课件 正态总体均值与方差的区间估计PPT文档49页
概率与数理统计课件 正态 总体均值与方差的区间估计
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
参数估计第二讲区间估计、正态总体均值与方差的区间估计
第二讲区间估计、正态总体均值与方差的区间估计Ⅰ.授课题目（章节）§7.4区间估计§7.5正态总体均值与方差的区间估计 Ⅱ.教学目的与要求1. 理解置信区间的基本概念；2. 掌握正态总体均值和方差的置信区间的求法. Ⅲ.教学重点与难点：重点：置信区间的基本概念的理解难点：正态总体均值和方差在给定置信水平条件下的置信区间的求法 Ⅳ.讲授内容：§7.4区间估计对于一个未知量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度（亦即所求真值所在的范围）.类似地，对于未知参数θ，除了求出它的点估计θˆ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度，这样的范围通常以区间的形式给出，同时还给出此区间包含参数θ真值的可信程度.这种形式的估计称为区间估计，这样的区间即所谓置信区间. 置信区间 设总体X 的分布函数);(θx F 含有一个未知参数θ，,Θ∈θ（Θ是θ可能取值的范围），对于给定值α)10(<<α,若由来自X 的样本1X ,n X X ,,2 确定的两个统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 )和θ=θ(1X ,n X X ,,2 )(θθ<),对于任意Θ∈θ满足P {θ(1X ,n X X ,,2 )<<θθ(1X ,n X X ,,2 )α-≥1},则称随机区间（θ,θ）是θ的置信水平为α-1的置信区间，θ和θ分别称为置信水平为α-1的双侧置信区间的置信下限和置信上限，α-1称为置信水平.例 1.设总体设X ～N (μ,2σ),2σ为已知,μ为未知,设1X ,n X X ,,2 是来自X 的样本,求μ的置信水平为α-1的置信区间.解 X 是μ的无偏估计,且有nX /σμ-～N (0,1).nX /σμ-所服从的分布N (0 ,1)不依赖于任何未知参数,按标准正态分布的上α分位点的定义,有⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-2//ασμz n X P =α-1, 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<<-2/2/αασμσz n X z n X P =α-1.这样,我们得到了μ的一个置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2/2/,αασσz n X z n X . 这样的置信区间常写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2/ασz n X .通过例1，可以看到寻求未知参数θ的置信区间的具体做法如下.1.寻求一个样本1X ,n X X ,,2 的函数：) ;X ,,X ,X (n 21θ W W =，它包含待估参数θ，而不含其它未知参数，并且W 的分布已知且不依赖于任何未知参数（当然不依赖于待估参数θ）；2.对于给定的置信水平α-1，定出常数b a ,，使<a P {) ;X ,,X ,X (n 21θ W }b < ≥α-1；3.若能从<a ) ;X ,,X ,X (n 21θ W b <得到等价的不等式θθ<θ<,其中θ=θ(1X ,n X X ,,2 ),θ=θ(1X ,n X X ,,2 )都是统计量,那么（θ,θ）就是θ的一个置信水平为α-1的置信区间.§7.5正态总体均值与方差的区间估计一、单个总体N (μ,2σ)的情况设已经定置信水平为α-1，并设1X ,n X X ,,2 为总体N (μ,2σ)的样本.X ，S 2分别是样本均值和样本方差。
第五节 正态总体均值与方差的区间估计 7-5
\ 2 的置信度为 1 - a 的置信区间为 2 2 ( n - 1)S ( n - 1)S ( 2 ) ， 2 a / 2 ( n - 1) 1 - a / 2 ( n - 1)
而 的置信度为 1 - a 的置信区间为 (
n - 1S
2 / 2 ( n - 1) a
，
n - 1S
2 1 - a / 2 ( n - 1)
2 2 1 2 的置信区间包含1, 在实际中我们认为 1 , 由于 2
2 两者没有显著差别。 2
17
全章要求
1. 了解点估计的概念， 掌握矩估计法、极大 似然估计法； 2. 了解估计量的评选标准：
无偏性、有效性、一致性。
2 1 n1 + 2 n 2 2
~ N(0,1),
即 可 得 到 1 - 2的 一 个 置 信 度 为 a的 置 信 区 间 12 ( X - Y z a / 2 1 n1 + 2 n 2 ). 2
2. 当 和 均 未 知 时求 1 - 2的 置 信 区 间 ,
2 1 2 2
1
第七章 参 数 估 计
§5.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计: 二. 两个正态总体的区间估计:
2
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体 ~ N(, ), X1 , X2 , , Xn是一个样本 X .
2
1 .当 2 已知时，求 的置信区间。 X - 选取 Z = n
本题中的置信下限大于零，实际中可认为μ1比μ2大。
13
三. 两个总体方差比的置信区间:
仅讨论总体均值 1 , 2 未知的 情况，由于
2 ( n1 - 1) S1
第五节 正态总体均值与方差的区间估计
（2）方差未知，对均值的区间估计 构造T-统计量，查t-分布临界值表，确定T的双侧分位数
t 2 (n 1)
得EX的区间估计为
X
S n
t
2
(n
1)
,
X
S n
t
2
(n
1)
小结
数理统计
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计
假设置信水平为1-
（3）均值已知，对方差的区间估计
解
计算
6
xi 2 2931
i 1
查表 2 (6) 1.24, 2 (6) 14.45
10.05 2
0.05 2
果树方差的置信区间为
2931 14.45
,
2931 1.24
202.84,
2363.71
2. 均值未知方差 σ 2的置信区间
数理统计
构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数
2 (n), 2 (n)
1 2
2
得2的区间估计为
n
Xi 2
i1
,
2 (n)
2
n
Xi
2
i 1
2 (n)
1 2
小结
数理统计
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体
标准差 σ 的置信水平0.95为的置信区间.
t 2 (n 1)
得EX的区间估计为
X
S n
t
2
(n
1)
,
X
S n
t
2
(n
1)
小结
数理统计
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计
假设置信水平为1-
（3）均值已知，对方差的区间估计
解
计算
6
xi 2 2931
i 1
查表 2 (6) 1.24, 2 (6) 14.45
10.05 2
0.05 2
果树方差的置信区间为
2931 14.45
,
2931 1.24
202.84,
2363.71
2. 均值未知方差 σ 2的置信区间
数理统计
构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数
2 (n), 2 (n)
1 2
2
得2的区间估计为
n
Xi 2
i1
,
2 (n)
2
n
Xi
2
i 1
2 (n)
1 2
小结
数理统计
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体
标准差 σ 的置信水平0.95为的置信区间.
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
7.5 正太总体均值与方差的区间估计
或
X Y 1 2 ~ N 0, 1, 2 2
1 2 n1 n2
于是得 1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 1 2 X Y u . /2 n1 n2
总结
两个总体服从正态分布，相应的方差已知，求均值差 的估计： ①构造枢轴量为 X Y 1 2
由此得置信区间：
15 0.00244 15 0.00244 , , 0.00130.0058 27.5 6.26
(2)已知的情况 由第五章的定理3知, 2 又由于P{
2 2
1
1
2
(n)} 1
2 2
2 i 1
2
( X i ) 2 ~ 2 ( n), , P{ (n)}
t n1 n2 2
②给定样本，和样本容量n1和n2； ③求两个样本均值与方差； ④根据置信度 1 临界值 t n1 n2 2
2
,查t分布表 t n1 n2 2， 得到 2
⑤代入估计区间即可得到所需的估计区间。
例1机床厂某日从两台机床加工的零件中,分别抽 取若干个样品,测得零件尺寸分别如下(单 位:cm): 第一台机器 6.2, 5.7, 6.5, 6.0, 6.3, 5.8 5.7, 6.0, 6.0, 5.8, 6.0 第二台机器 5.6, 5.9, 5.6, 5.7, 5.8 6.0, 5.5, 5.7, 5.5 假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布,且 方差相等,试求两机床加工的零件平均尺寸之差的 区间估计 ( 0.05)
②给定样本，和样本容量n； ③求样本方差； ④根据置信度 1 ,查自由度为n-1的卡方分布表得到
正态总体均值与方差的区间估计
2
2
例7
为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,
随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为
x1 500(m / s),标准差 s1 1.10(m / s), 随机地取ІІ 型子弹20发, 得枪口速度平均值为 x 2 496(m / s),
标准差 s2 1.20(m / s), 假设两总体都可认为近似
代入公式得标准差的置信区间 (4.58, 9.60 ).
例6
(续例1) 求例1中总体方差 2 和标准差 的
n 1 11,
置信度为0.95的置信区间. 0.025, 1 0.975, 解 2 2
查 2 ( n 1) 分布表可知:
2 0 .025 (11) 21.920,
2
个总体 N ( 2 , 2 )的样本, X ,Y 分别是第一、二个
2
总体的样本均值 , S1 , S2 分别是第一、二个总体 的样本方差.
讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.
2
2
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1) 1 和 2 均为已知
2 2
1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 0 .975 (11) 3.816,
方差 2 的置信区间 (78.97, 453.64);
标准差 的置信区间 (8.87 , 21.30 ).
二、两个总体 N ( 1 , ), N ( 2 , ) 的情况
2 1 2 2
设给定置信度为 1 , 并设 X 1 , X 2 ,, X n 为 第一个总体N ( 1 , 1 )的样本, Y1 ,Y2 ,,Yn 为第二
2 2 1 2 X Y z / 2 . n n 1 2
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解 此 未 时 , n 知 1,2
0.x 0 5 5 .9 0 ,,2 2 s1.23,5
附表3-2
查t(n1)分布表:可t0知 .02(51)12.201, 于s n 是 t/2 (n 1 ) 11 .3 2 2 5 2 .2 0 7 .8 1 ,5
得 的置信 95% 度 的为 置信 (4区 9 .0,5 7 5 间 1 .7)0 7.
2020/3/1
例4 设X1,X2,,Xn是来自正N 态 (,总 2)体 的样,其 本中 2和为未知,设 参随 数机L变 是量 关于 的置信1度 的 为置信区间 ,求的 E(L长 2). 度
解 当2未知,时
的置信度 1为 的置信区间为
X
Snt/2(n1),
2020/3/1
二、两个总体N (情1 ,况1 2 )N ,(2 ,2 2 )
的
设给定置信1度为,并设X1, X2, , Xn 为 第一个总N体 (1,12)的样本 ,Y1,Y2,,Yn为第二 个总体 N(2,22)的样本 , X,Y分别是第一、二个
总体的样本,均S1值 2, S22分别是第一、二个总 的样本方. 差
的置信 0.度 9的 5为 置信 . 区间
解 0.n 0 1 5 1,,5
附表3-1
查t(n1)分布表:可t0知 .02(1 5 )52.131,5
计算 x 5.7 0 得 ,5 3 s 6 .20 , 22
2020/3/1
得 的置信 95% 度 的为 置信区间
50.7356.2106222.131 5即(50 .4,050 .1)7. 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
2020/3/1
例7 为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为 x 15(0 m /0 s)标 , s 1 准 1 .1(m 差 0 /s )随,机地取ІІ 型子弹20发, 得枪口速度平均值为 x 24(9 m /6 s), 标s 2 准 1 .2(m 差 0 /s )假,设两总体都可认为近似 地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差
解 0.0 1 2 5 0,.9n 7 1 5 1,,1
2
2
查2(n1)分布表可: 知
0 2.02(1 5 )12.1 92, 002.97(1 5 )13.81, 6
方差 2的置信区(7 间 .9 8,7 45 .63 )4;
标准差 的置信区 (8.8间 ,72.1 3)0.
推导过程如下:
由于区 X间 nz/2中含有未 ,不 知能 参数
直接使用 , 此区间
但S 因 2是 2 为 的无 ,可 偏 S 用 估 S 2替 计 ,换
2020/3/1
又根据第六章 X定 ~理 t(n三 1), 知
S/ n
则 P t /2 ( n 1 ) S X / n t /2 ( n 1 ) 1 , 即 P X S n t /2 ( n 1 ) X S n t /2 ( n 1 ) 1 ,
n 4[t/2(n1)2]E(S2)n 4[t/2(n1)2]2.
2020/3/1
2. 方差 2的置信区间
根据实 ,只 际 介 需 未 绍 要 知.的情况 方差 2的置信 1的 度置 为信区间
( n 2/2 (1 n) S1 2), 1 (2 n /21 (n )S 21).
x
nz/
2
50.922
101.64 549.18,7 12
x
ห้องสมุดไป่ตู้
nz/
2
50.922
101.64 550.67,7 12
即 的置信 90度 的 %为 置信区间为
(49 .1,8 7 50 .6)7 7.
(2 )当 0 .0时 5 , 10.97,5 2
2020/3/1
于是得 2的方 置差 1信 的 度 置 为 信区
( n 2/2 (1 n) S1 2), 1 (2 n /21 (n )S 21).
2020/3/1
进一步可得:
标准 的 差 一个1置 的 信 置 度 信 为 区
n1S ,
2/2(n1)
1222
n1 n2
2020/3/1
于是 12 的 得一个 1 的 置置 信信 度
XYz/2
n112n222.
(2) 12和22均为未 , 知
只 n 1 和 n 2 都 要 ( 实 很 5 即 用 0 大 )则 , 可 上 有
12的一个1 置 的信 近度 似为 置信
(1) 2为已,知由上节例2可知:
的一个置1信 的 水置 平信 为 X区 n间 z/2.
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例1 包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单 位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,
513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布,
查表得 z/2z0.02 51.96,
附表2-2
同理的 可置 得信 95的 度 %置 为信区间
(49 .2,7 6 50 .5)8 8.
从此例可,以看出
当置信 1度 较大,置 时信区间;也较大 当置信 1度 较小,置 时信区间.也较小
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(2) 2为未,知
的置信 1 度 的为 置信 X区 Sn间 t/2(n1).
2
2
查2(n1)分布表可 : 附知 表4-1
附表4-2
02.02(515)27.488, 02.97(515)6.262,
计算 s得 6.20,22
代入公式得标准差的置信区间 (4.5,89.6)0.
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例6 (续例1) 求 1 中 例总2 体 和方 标 的 差 准
置信 0.的 度 95置 为. 信区间
于是 的 得 置1 信 的 度置 为信区间
X
Snt/2(n1).
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例2 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重 量(克)如下:
505604895905305414095712
515404594395605605204996
设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值
讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.
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1. 两个总1 体 2的 均置 值信 差区
(1) 12和 22均为已知
12的一个 1置 的信 置度 信为 区
XYz/2
n112n222.
推导过程如下:
因X ,为 Y分别 1,2的 是无 , 偏估计
两总体均值差 12 的置信 0 .9 的 5 水 信 置 平 .区
解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
置信区 L间 2S nt/长 2(n1 度 ),
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L24n S2[t/2(n1)2],
又 E (S2)E n1 1i n 1(X iX )2 E n1 1i n1Xi2nX2 n1 1 i n1E(Xi2)n(E X2)
若依此区间内为 任的 一近 值似 作 , 值
其误6 差 .20 2 不 .2 12 3 2 大 1 6 .6 5(于 克 1). 16
这个误差的可信度为95%.
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例3 (续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布
N (,2),试求糖 的 9 包 5的 % 重 置 量 .信
第五节 正态总体均值与方差 的
区间估计
一、单个总体的情况 二、两个总体的情况 三、小结
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一、单个总体N(,2) 的情况
设给定置信1水 ,平 并为 设 X1,X2,,Xn为 总 体 N(,2)的 样, 本 X,S2 分 别 是 样 本 均 值
本 方. 差
1. 均值 的置信区间
XYz/2
Sn112Sn222.
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(3 )12222,但 2为,未知
12的一个 1置 的信 置度 信为 区
X Yt/2(n 1n 22 )S wn 1 1n 1 2 . 其 S w 2 中 (n 1 1 ) n S 1 1 2 n 2 (n 2 2 1 )S 2 2 , S w S w 2 .
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n 1 1 i n 1 [D (X i) E (X i) 2 ] n [D (X ) E 2 (X ) ] n1 1 i n1[22]n n 22 2,
于E 是 (L 2)E 4n S2[t/2(n1)2]
相等, 求两总体均值差 12的置0 信 .9的 5 度 置 为
信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
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0.025,
2
n 1 1,0 n 22,0n 1n 222,8
查t(n1)分布表:可 t0.0知 2(2 5 )82.04,84
sw 291.120 218 9 1.220 , sw Sw21.168, 8
且标准 差 10试 为 , 求糖包的 的 平 1均质 置信(区 分间 别 取 0.1和 00.05).
解 1,0n1,2
计算 x5得 0 .9,2 2
(1 )当 0 .1时 0 ,10.95, 2 查表 z/2z得 0 .0 51.645,
附表2-1
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所X 以 Y是 12的无,偏估计
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由X, Y的独立性及
X
~
N1,
12
n1
,
Y