讲义_-_追寻守恒量_功

第1节 追寻守恒量 第2节 功辅导讲义教师：______ 学生：______ 时间:_____年_____月____日时间：__________：________要点一 能及其转化与守恒的认识能是描述物质(或系统)运动状态的一个物理量，是物质运动的一种量度．任何物质都离不开运动，在自然界中物质的运动是多种多样的，相对于各种不同的运动形式，就有各种不同形式的能量．自然界中主要有机械能、热能、光能、电磁能和原子能等．各种不同形式的能可以相互转化，而在转化过程中，能的总量是不变的，这是能的最基本的性质．图7－(1、2)－1为伽利略的理想斜面示意图．伽利略发现：无论斜面B 比斜面A 陡些还是缓些，小球最后总会在斜面上的某点速度变为0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同．这个过程中势能先转化为动能，动能又转化为势能，动能和势能的总量保持不变，因此小球才能上升到与出发点等高处．图7－(1、2)－1能量守恒告诉我们，尽管物质世界千变万化，但这种变化不是没有规律的，基本的规律就是守恒定律，也就是说，一切运动变化无论属于什么形式，反映什么样的物质特性，都要满足一定的守恒定律．机械能守恒定律是人们在认识到动能和势能的具体形式，以及探索了它们之间能以一定的数量关系相互转化之后建立起来的．要点二 对功的公式W ＝Flcos α的理解1．F 表示力的大小，l 表示力的作用点相对于地面位移的大小，当力的作用点的位移与物体的位移相同时，也常常说是物体相对地面的位移大小，α表示力与位移方向间的夹角．2．公式仅适用于求恒力的功．3．计算功时首先要分清是求单个力做功还是求合力做功．(1)求单个力做功时，某一个力做的功，不受其它力的影响．例如从斜面上滑下的物体，重力对物体做的功与斜面是光滑的还是粗糙的没有关系．(2)求解合力做功时，有两种方法，一种方法是合力做的总功等于各个力做功的代数和，另一种方法是先求出物体所受各力的合力，再用公式W 总＝F 合lcos α计算．4．功是过程量，是力在空间的积累量．功只有大小，没有方向，是标量．5．实际计算时，不必生搬硬套公式W ＝Flcos α，一般通过分解力或分解位移的方法求解． 要点三 关于正功、负功的理解功是标量，但有正功、负功之分，功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示两种相反的做功效果，即为动力功还是阻力功．1．当0≤α<π2，cos α>0，W>0，力对物体做正功，力是物体运动的动力，使物体的动能增加．2．当α＝π2时，cos α＝0，W ＝0，表示力对物体不做功，力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用，力没有使物体的动能发生变化．3．当π2<α≤π时，cos α<0，W<0，力对物体做负功(或者说物体克服阻力做功)，力是物体运动的阻力，使物体的动能减少．对以上特别说明的是：当力对物体做负功时，常常说成“物体克服某力做功”，这两种说法是等效的． 要点四 变力做功的求法 1．图象法我们可以用图象来描述力对物体做功的大小．以Fcos α为纵坐标，以l 为横坐标．当恒力F 对物体做功时，由Fcos α和l 为邻边构成的矩形面积，即表示功的大小，如图7－(1、2)－2甲所示．图7－(1、2)－2如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和，如图7－(1、2)－2乙所示．2．分段法(或微元法)当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．图7－(1、2)－3例如：用水平拉力，拉着一物块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图7－(1、2)－3所示，已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m ，求此过程中摩擦力做的功．由题意知，物块受到的摩擦力在整个过程中大小不变为F ＝μmg 、方向时刻变化，是变力，把圆轨道分成l 1、l 2、l 3、…、l n 微小段，摩擦力在每一段上可视为恒力，则在每一段上做的功W 1＝μmgl 1，W 2＝μmgl 2，W 3＝μmgl 3，…，W n ＝μmgl n ，摩擦力在一周内所做的功W ＝W 1＋W 2＋W 3＋…，W n ＝μmg(l 1＋l 2＋l 3＋…＋l n )＝μmg ·2πR.从上述例子，可得到大小恒定的空气阻力、滑动摩擦力做功的大小，计算式为W ＝－Fl ，其中l 为路程． 3．平均值法当力F 的大小发生变化，但F 、l 成线性关系时，可以代入F 的平均值计算F 做的功． 例如：如图7－(1、2)－4所示，图7－(1、2)－4轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m 的物块连接，物块放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉物块，使物块前进的位移为l，求这一过程中拉力对物体做了多少功？缓慢拉动物块，可认为物块处于平衡状态，故拉力等于弹力，大小为F＝kl.因该力与位移成正比，可用平均力F＝kl2求功W＝F·l＝12kl2.1.一个力是否对物体做功，如何判断？公式中W＝Flcos α的位移l是以哪个物体为参考系的？判断一个力对物体是否做功，可根据该力和物体位移方向的夹角是否为90°，或力与物体速度方向的夹角是否总是90°判断．例如：如图7－(1、2)－5所示，图7－(1、2)－5斜面体a放在光滑水平桌面上，物体b由光滑斜面的顶端从静止开始下滑，由题意可知物体b下滑的同时，斜面体a将沿桌面向右运动，由图可知，物体b所受斜面的弹力FN虽然垂直斜面，但它与物体b的位移l的夹角大于90°，所以弹力FN对物体b做负功．同理，b对a的弹力FN′对a做正功．上述例子中b物体的位移l是以大地为参考系的，若误以斜面为参考系，则会错误的判断出FN对b不做功．公式中位移l必须是受力物体相对大地的位移．2．摩擦力一定对物体做功吗？一对相互作用力的功也一定相等吗？不一定．(1)摩擦力做功有以下特点：①静摩擦力和滑动摩擦力都可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功．例如：汽车载着集装箱加速前进，集装箱与汽车间无相对滑动，则汽车施于集装箱的静摩擦力对集装箱做正功，集装箱施于汽车的静摩擦力对汽车做负功；物体在水平转台上随转台一起匀速转动，物体与转台间无相对滑动，则转台施于物体的静摩擦力对物体就不做功．又如，将工件放在运转中的传送带上，传送带施于工件的滑动摩擦力将对工件做正功，而工件施于传送带的滑动摩擦力将对传送带做负功；物体在粗糙地面上滑动，物体施于地面的滑动摩擦力对地面就不做功．②一对静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能．一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况同时发生：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能．③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做的功的总和等于零；一对滑动摩擦力所做的功的总和总是负值，其绝对值恰好等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，即恰等于系统损失的机械能．(其中，机械能、内能在后面将会学到)(2)一对相互作用力做功的特点①作用力与反作用力的特点：大小相等、方向相反，且作用在不同物体上．②作用力、反作用力作用下的物体运动的特点：可能向相反方向运动，也可能向同一方向运动，也可能一个运动，而另一个静止，还可能两物体都静止．③由W＝Flcos α不难判断，作用力做的功与反作用力做的功，没有必然的关系，可能相等，也可能不等；可能同为正功，也可能一正一负；可能一个为零，另一个不为零.一、功的公式W ＝Flcos α的基本应用例1 质量m ＝3 kg 的物体，受到与斜面平行向下的拉力F ＝10 N ，沿固定斜面下滑距离l ＝2 m ，斜面倾角θ＝30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝33.求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功．(g 取10 m/s 2) 解析 物体所受到的各个力均为恒力，可用功的公式进行计算．如右图所示，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动，其位移的大小与移动的距离相等．所以，重力所做的功为WG ＝mglcos α＝mglcos(90°－θ) ＝3×10×2×cos 60° J ＝30 J拉力所做的功WF ＝Fl ＝10×2 J ＝20 J支持力与物体运动方向垂直，它所做的功WN ＝0 滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为WF f ＝－(μmgcos θ)l ＝－33×3×10×2×32J ＝－30 J 总功W ＝WG ＋WF ＋WN ＋WF f＝30 J ＋20 J ＋(－30) J ＝20 J答案 WG ＝30 J ，WF ＝20 J ，WN ＝0，WF f ＝－30 J W 总＝20 J方法总结求力的功，首先对物体受力分析，明确求哪个力的功，如果此力是恒力，可应用W ＝Flcos α求功.二、有关摩擦力的功的计算例2 如图7－(1、2)－6所示的水平传送装置，图7－(1、2)－6AB 间距为l ，传送带以速度v 匀速运转．把一质量为m 的零件无初速地放在传送带的A 处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A 到B 的过程中，摩擦力对零件所做的功．解析 要求摩擦力对零件做的功，关键是要弄清零件在摩擦力方向上的位移是多少．由于题中没有给出各物理量之间的定量关系，故存在两种可能．当零件与传送带之间存在摩擦力时，摩擦力的大小为 F ＝μmg.分两种情况进行讨论：(1)零件在到达B 处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v ，零件在从A 到B 的过程中一直受摩擦力作用，则摩擦力对零件所做的功W ＝Fl ＝μmgl.(2)零件在到达B 处之前已经达到传送带的速度v ，零件只是在达到速度v 之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v 运动，零件就不受摩擦力作用，即无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在，则摩擦力对零件所做的功W ′＝Fl ′＝μmg v 22μg ＝12mv 2.答案 见解析方法总结1．摩擦力做功可以是正，也可以是负，也可以是零．2．在传送带上分析摩擦力做的功，有可能出现两种情况：一种情况是物体在传送带上一直加速运动，另一种情况是物体在传送带上先加速，后匀速，匀速时不受摩擦力作用.三、变力做功问题例3 如图7－(1、2)－7所示，图7－(1、2)－7摆球质量为m ，悬线的长为l ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力Ff 的大小不变，求摆球从A 运动到竖直位置B 时，重力mg 、绳的拉力FT 、空气阻力Ff 各做了多少功？解析 因为拉力FT 在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即WF T ＝0.重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB 在竖直方向上的投影OB ，且OB ＝l ，所以WG ＝mgl.空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题．如果将AB 分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上Ff 的大小、方向可以认为不变(即为恒力)，这样就把变力做功的问题转化为恒力做功的问题，如右图所示．因此Ff 所做的总功等于每一小段弧上Ff 所做功的代数和．即WF f ＝－(Ff Δl 1＋Ff Δl 2＋…)＝－12Ff πl故重力mg 做的功为mgl ，绳子拉力FT 做功为零，空气阻力Ff 做的功为－12Ff πl.答案 WF T ＝0，WG ＝mgl ，WF f ＝－12Ff πl方法总结1．求变力做功有微元法，图象法，有时可通过转换研究对象，转换为恒力的功来计算．2．滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过程细分，其中每一小段做功为Fl ，整个过程中所做的功是力与各小段位移大小之积的 和.1.伽利略的斜面实验反映了一个重要的事实：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地到达同它出发时相同高度的点，决不会更高一点，也不会更低一点．这说明，小球在运动过程中有一个“东西”是不变的，这个“东西”应是()A．弹力B．势能C．速度D．能量答案 D解析在伽利略的斜面实验中，小球从一个斜面滚到另一个斜面，斜面弹力是不同的，势能先减小后增大，速度先增大后减小，所以A、B、C错，不变的“东西”应是能量，包括动能和势能，D对．2．下列关于做功的说法中正确的是()A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功D．只要物体受力，又在力的方向上发生位移，则力一定对物体做功答案 D解析做功有两个要素，第一要有力，第二在力的方向上物体要发生位移．A项错在物体可能没有发生位移，B项错在物体可能没受力，C项错在位移和力可能垂直，D项正确．3．如图7－(1、2)－8所示，图7－(1、2)－8木块A放在木块B的左上端，用恒力F拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做的功为W1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，F做的功为W2，比较两次做功，可能是()A．W1<W2B．W1＝W2C．W1>W2D．无法比较答案AB解析若A、B间接触面光滑，则第二次即使B不固定，用水平力F拉木块A时，木块B也会静止，则W1＝W2；若A、B间接触面粗糙，则把A拉至B的右端时，A相对地面的位移大于第一种情况下的位移，所以W1<W2，应选A、B.4．人以20 N的恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车还前进了2.0 m才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为()A．100 J B．140 J C．60 J D．无法确定答案 A5.图7－(1、2)－9质量是2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动，物体运动的速度—时间图象如图7－(1、2)－9所示，若物体受摩擦力为10 N，则下列说法正确的是()A．拉力做功150 JB ．拉力做功100 JC ．摩擦力做功250 JD ．物体克服摩擦力做功250 J 答案 AD解析 由图可知：a ＝Δv Δt ＝105 m/s 2＝2 m/s 2，物体做匀减速运动，故Ff －F ＝ma ，F ＝Ff －ma ＝(10－2×2) N＝6 N ，由图可知：l ＝v 02t ＝102×5 m ＝25 m ，故拉力做的功：WF ＝Fl ＝6×25 J ＝150 J ，摩擦力做的功WF f ＝－Ffl＝－10×25 J ＝－250 J ，故物体克服摩擦力做功250 J.6．如图7－(1、2)－10所示，图7－(1、2)－10在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F 1＝3 N 和F 2＝4 N 的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m ，求：(1)F 1和F 2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？ (2)F 1和F 2合力为多大？合力做功是多少？ 答案 (1)18 J 32 J 50 J (2)5 N 50 J 解析 (1)力F 1做的功W 1＝F 1lcos θ1＝3×10×cos 53° J ＝18 J 力F 2做的功W 2＝F 2lcos θ2＝4×10×cos 37° J ＝32 J W 1与W 2的代数和W ＝W 1＋W 2＝18 J ＋32 J ＝50 J (2)F 1与F 2的合力F ＝F 21＋F 22＝32＋42N ＝5 N合力F 做的功W ′＝Fl ＝5×10 J ＝50 J7.如图7－(1、2)－11所示，图7－(1、2)－11磨杆长为L ，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F ，求杆绕轴转动一周的过程中力F 所做的功． 答案 F ·2πL解析 磨杆绕轴转动过程中，力的方向不断变化，不能直接用公式W ＝Flcos α进行计算．这时，必须把整个圆周分成许多小弧段，使每一小段弧都可以看作是这段弧的切线即可以看成是这段的位移，这样，由于F的大小不变，加之与速度的方向相同，因而对于每一小段圆弧均可视为恒力做功．杆绕轴转动一周所做功的总和为W＝W1＋W2＋…＋W n＝F·Δl1＋F·Δl2＋…＋F·Δl n因为Δl1＋Δl2＋…＋Δl n＝2πL所以W＝F·2πL.8．如图7－(1、2)－12所示，是一个物体受到的力F与位移l的关系图象，由图象求力F对物体所做的功．图7－(1、2)－12答案－20 J解析F—l的面积表示F做的功：0～2 m内：W1＝20 J；2 m～5 m：W2＝－60 J；5 m～6 m：W2＝20 J，故整个过程W＝W1＋W2＋W3＝－20 J.题型①功的正负判断及计算如图1所示，图1质量m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面成θ＝37°，大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2.求：(1)拉力F所做的功W1.(2)摩擦力Ff所做的功W2.(3)重力G所做的功W3.(4)弹力FN所做的功W4.(5)合力F合所做的功W.答案(1)16 J(2)－8.4 J(3)0(4)0(5)7.6 J解析(1)对物体进行受力分析，如右图所示．W1＝Flcos θ＝10×2×0.8 J＝16 J(2)FN＝G－Fsin θ＝20 N－10×0.6 N＝14 NFf＝μFN＝0.3×14 N＝4.2 NW2＝Fflcos180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J(3)W3＝Glcos 90°＝0(4)W4＝FNlcos 90°＝0(5)W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7.6 J或由合力求总功F合＝Fcos θ－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 NF合与l方向相同，则W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J拓展探究若上例中物体运动的加速度为4.9 m/s2，则合外力F合所做的功是多少？答案19.6 J解析由牛顿第二定律F合＝maW合＝F合·l＝mal＝2×4.9×2 J＝19.6 J归纳总结1．计算力的功，首先明确是哪个力做的功．2．判断功的正负与力的性质无关，只看F与l的夹角α.若0≤α<90°，则W>0；α＝0，则W＝0；90°<α≤180°，则W<0.3．求总功有两种方法，可灵活选择.题型②摩擦力做功的特点质量为M的长木板放在光滑水平地面上，如图2所示．一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A端滑到B点，在木板上前进的距离为L，而木板前进的距离为x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求：图2(1)摩擦力对滑块所做的功多大？(2)摩擦力对木板所做的功多大？答案(1)－μmg(l＋L)(2)μmgl解析由题图可知，木板的位移为l时，滑块的位移为l＋L，m与M之间的滑动摩擦力Ff＝μmg.由公式W＝Flcos α可得摩擦力对滑块所做的功为W m＝μmgl m cos180°＝－μmg(l＋L)，负号表示做负功．摩擦力对木板所做的功为W M＝μmgl M＝μmgl.拓展探究如图3所示，图3质量为M的长木板B被固定在水平面上，一个质量为m的滑块A以某一速度沿木板表面由C点滑至D点，在木板上前进了L，若滑块与木板间动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？答案－μmgL0解析对滑块W1＝－μmg·L对木板：因为板对地的位移为0，故摩擦力对木板做功W2＝0.归纳总结1．不能认为摩擦力总是做负功，摩擦力可以做正功，可以做负功也可以不做功，要搞清摩擦力与物体位移之间的关系，其中位移是相对地面的位移．2．作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可以做正功，也可以做负功.1.如图5所示，图5电动小车沿斜面从A匀速运动到B，则在运动过程中()A．动能减少，势能增加B．动能不变，势能增加C．动能减少，势能不变D．动能不变，势能减少答案 B2．下列说法正确的是()A．功是矢量，正、负表示方向B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功C．力对物体做正功还是负功，取决于力和位移的方向关系D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量答案BCD解析功是标量，功的正、负表示力对物体做正功还是做负功，功是力在位移上的积累，功是过程量．3．关于摩擦力对物体做功，下列说法中正确的是()A．滑动摩擦力总是做负功B．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功C．静摩擦力对物体一定做负功D．静摩擦力对物体总是做正功答案 B4．如图6所示，图6在加速向左运动的车厢中，一个人用力沿车前进的方向推车厢，已知人与车厢始终保持相对静止，那么人对车厢做功的情况是()A．做正功B．做负功C．不做功D．无法确定答案 B解析先分析水平方向车厢对人的作用力的合力的方向．人随车厢加速运动，车厢对人的作用力的合力方向向左，则人对车厢的作用力方向向右，故人对车厢做负功．正确选项为B.5．如图7所示，图7重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止，关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是()A．摩擦力对重物做正功B．摩擦力对重物做负功C．支持力对重物不做功D．支持力对重物做正功答案 D解析重物P受到的摩擦力方向始终与速度方向垂直，故不做功，支持力的方向始终与速度方向相同，故做正功，只有D项正确．11。