2.3_一元二次方程的应用(1)(优质课)--
一元二次方程的应用-几何问题数学九年级上册同步教学课件(人教版)
D.x2+3x+16=0
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P
沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从 点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的
围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的
长各是多少米？
25 m
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
A
D
(80 − 2x)x = 600.
整理得 x2 − 40x + 300 = 0，
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的 性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是 求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围
成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是
B
C
解得 x1 = 10，x2 = 30. 当 x = 10 时，80 − 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 − 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12
八年级下册数学浙教版教习题课件：2.3 一元二次方程的应用 第1课时
22.6k＋b＝34.8， 24k＋b＝32，
解得：kb＝ ＝－80，2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋80. 当x＝23.5时，y＝－2x＋80＝33. 答：当天该水果的销售量为33千克．
(2)根据题意得：(x－20)(－2x＋80)＝150， 解得：x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25. 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该 天水果的售价为25元．
600(1＋x)(x＋10%)＝120 ．
7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由 于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生 产成本是361万元． 假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率 都相同． (1)求每个月生产成本的下降率； (2)请你预测4月份该公司的生产成本．
解：(1)设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400(1－x)2＝361， 解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍 去). 答：每个月生产成本的下降率为5%. (2)361×(1－5%)＝342.95(万元). 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元
2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数 字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这 两位数小4，设个位数字为x，则方程为( C ) A．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x－4－4 C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4
4．某工厂三月份的利润为16万元，五月份的利 润为25万元，则平均每月增长的百分率为_2_5_%_．
5．李先生存入银行6万元，先存一个定期，一年 后将本息自动转存另一个一年定期(年利率不变) ，两年后共得本息6.84万元，存款的年利率是多 少？根据题意列出的方程是： 6×(1＋x)2＝6.8．4
2.3+二次函数与一元二次方程不等式(共2课时)(教学课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
(1)若此不等式的解集是 1,2 ，求a 的值；
(2)讨论此不等式的解集．
详解
(2) x2 x a2 a 0 就是 x2 x aa 1 0 ，即 x a 1 x a 0 ．
方程 x a 1 x a 0 的两根是 x1 a 1， x2 a ．
(①1)当由a题意1知a，，即1，a2是 1时x2 ， x此 a不2 等a式 0的的解两集根是，a 1, a ．
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法 【练习 1】解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.
解 (3)方程 x2－2x－3＝0 的两根是 x1＝－1，x2＝3. 函数 y＝x2－2x－3 的图象是开口向上的抛物线， 与 x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示． 结合图象可得不等式的解集为{x|x<－1 或 x>3}．
函数的零点
ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0
其中a、b、c为常数，a≠0．
方程的根
2.使一元二次不等式成立的的所有解 x 组成的集合叫做 一元二次不等式的解集(用集合的描述法表示).
函数图象与x 轴交点横坐标
3.方程ax2＋bx＋c=0的实数解x叫做二次函数y=ax2＋bx＋c的零点.
注：使得 ax2 bx c 0 成立的实数x（方程 ax2 bx c 0 的解）即为二次函 数 y ax2 bx c 的零点．
学习新知
观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？
二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．
一元二次方程的应用PPT教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
一个长为10 m梯子斜靠在墙上,梯子顶端A 处到地面距离为8 m.假如梯子顶端沿墙面 下滑1 m,那么梯子底端B在地面上滑动距
离也是1 m吗?你能列方程处理这个问题吗 ?
第2页
例题 已知一本数学书长为26 cm,宽为18.5 cm,厚为1 cm.一张长方形包书纸如图所表示 ,它面积为1260 cm2,虚线表示是折痕.由长方
整理,得x2+32x-68=0. 解这个方程,得x1=2, x2=-34(不合题意,舍去). 答:正方形边长是2 cm.
第4页
做一做
已知一个直角三角形两直角边和是12,斜边长是10, 求这个直角三角形两直角边长.
【思索】 1.题目中有几个未知量?未知量之间有什么数量关 系?
两个未知量,两直角边和是12.
(1)该项绿化工程原计划天天完成多少平方米? (2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米 矩形空地,计划在其中修建两块相同矩形绿地, 它们面积之和为56平方米,两块绿地之间及周围 留有宽度相等人行通道(如图所表示),则人行通 道宽度是多少米?
第Байду номын сангаас0页
解:(1)设该项绿化工程原计划天天完成x平
方米,依据题意得 46000 22000 46000 22000 4，
2.设一个未知量为x,则另一个未知量怎样用未知数表 示?
设一条直角边长为x,则另一条直角边长为（12-x）.
3.直角三角形中直角边和斜边之间数量关系
是什么?
勾股定理
第5页
检测反馈
1.用10米长铝材制成一个矩形窗框,使它面积
为6平方米.若设它一条边长为x米,则依据题意
可列出关于x方程为 ( )
一元二次方程复习 全国优质课一等奖-课件
1.数字与方程
例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 :设 这 两 位 数 的 个 位 数 字 为 x,根 据 题 意 ,得
x2 10x 3 x.
整 理 得 x2 11x 30 0.
解 得 x1 5, x2 6 . x 3 5 3 2,或 x 3 6 3 3. 答 :这 个 两 位 数 为 25,或 36.
解 :设 小 路 的 宽 度 xm,根 据 题 意 ,得 20+2x
( 2 0 2 x )1 5 2 x 2 5 1 5 2 4 6 .
20
15+2x 15
整理得 :
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不 2
合 题 意,舍 去 ).
第22章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 因为当 a≠0，b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根， 即 k＋1≠0，b2－4ac＝22－4(k＋1)×(－1)＝8＋4k>0，
∴k≠－1，k>－2. ∴k 的取值范围是 k>－2 且 k≠－1.
方法技巧 根的判别式主要应用：(1)不解方程，判别一元二次方程根的情况； (2)已知一元二次方程根的情况，确定方程中某些字母的取值 (范 围)．在解题时一定要注意不能忽略二次项系数不为 0.
一元二次方程根与系数的关系
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
b
c
x1+x2=
a , x1x2=
a.
回顾与复习 5
解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
优质课 精品教案 (省一等奖)《二次函数与一元二次方程(第1课时)》公开课教案
22.2 二次函数与一元二次方程教学时间课题22.2 二次函数与一元二次方程课型新授课教 学 目 标知 识 和能 力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
过 程 和方 法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情 感 态 度 价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教学准备教师多媒体课件学生“五个一〞课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝时，涵洞顶点与水面的距离为。
这时，离开水面处，涵洞宽ED 是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元二次不等式及其解法(优质课)教案
一元二次不等式及其解法（优质课）教案 教学目标：教学重点： 正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点： 理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。
教学过程：1. 一元二次不等式（1） 一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；（2） 一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；（3） 同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
2. 一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程()200ax bx c a ++=>设24b ac ∆=-它的解按0,0,0∆>∆<∆=可分为三种情况，列表如下： 0>∆ 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=23. 一元二次不等式的解法步骤（1） 对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；（2） 计算相应方程的根的判别式；（3） 当0∆>时，求出相应的一元二次方程的两根；（4） 根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。
注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。
（一看，二算，三写）4. 含参数的一元二次不等式的解法（1） 二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；（2） 解∆得过程中，若∆表达式含有参数且参数的取值影响∆的符号，这时根据∆的符号确定的需要，对参数进行讨论；（3） 方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。
5. 不等式的恒成立问题（1） 结合二次函数的图像和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般用此法；（2） 从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（3） 能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；（4） 数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
第21章一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在面积和动点问题中的应用，增强学生的数学应用意识。
2.提升学生逻辑思维和推理能力，通过分析问题、建立一元二次方程模型，培养学生严谨的数学思维。
3.培养学生的空间想象力和图形感知能力，结合坐标系和几何图形，提高学生对几何问题的理解和解决能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程在实际问题中的基本应用。一元二次方程是描述两个变量之间二次关系的数学模型，它在解决面积计算、动点问题等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用一元二次方程解决实际的面积问题，以及如何计算动点的位置。
其次，在小应用题的讲解中，我发现学生们对一些题型的解题策略掌握不够熟练。这可能是因为我在教学中对这类问题的讲解不够详细，或者练习量不足。为此，我计划在接下来的课程中，增加一些具有代表性的小应用题，让学生们多加练习，提高解题能力。
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性，能够主动参与到讨论和实验操作中。这说明他们对于动手实践和合作学习的方式非常感兴趣。但在这一过程中，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，独立思考能力有待提高。因此，我将在后续的教学中，注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们大胆提出自己的观点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决移动点位置的问题？”（如户外活动场地面积的测量、机器人路径规划等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在这些方面的奥秘。
4一堂“一元二次方程应用(1)”教研感受与体会(王桂昌)
一堂“一元二次方程应用（1）”教研感受与体会浙江省兰溪市黄店初中王桂昌【摘要】：“一元二次方程应用（1）”这一堂课有几点体会，即：一、“地方式”课题引入，精心设计导课，激发学生学习兴趣；二、“分解式”解决难点，精心设计问题，激发学生的创造性思维；三、“畅想式”课堂小结，精心设计结尾，拓展学生的创造性思维。
我认为，教师进行课堂教学方式的改革，一方面，要改进教学方法，教给学生自己打开知识宝库大门的金钥匙。
另一方面，教师还应努力创设促使学生独立探索、发散求异的教学情景，形成鼓励学生自由发表独创见解、热烈讨论的课堂气氛，以训练学生的创造性思维，鼓励学生大胆质疑，重视培养学生发现问题和提出问题的创新能力。
【关健词】：一元二次方程感悟地方式分解式畅想式根据学校统一安排我有幸参加市2008年初中数学优质评比活动观摩，这次教研活动由各市（县）教研员组织，吸引全市骨干教师、青年教师参与，其中各市（县）共有12名优秀教师参加这次优质课评选，他们展开三个课题的抽选，分别是浙教版七下《2.3平移变换》、八下《2.3一元二次方程的应用（1）》和《3.1定义和命题（2）》。
通过这次教学观摩活动,感觉真正调动了学生的积极性，充分发挥学生的主体作用，以现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花。
特别是八下《2.3一元二次方程的应用（1）》其中的一堂课感受及其深刻，具体我有以下几个感受与体会：一、“地方式”课题引入从与课题有关的地方经济事例出发，引入课题，通过建立问题情境，以引起学生注意，激发学习兴趣，明确学习目标。
例如讲到求“一元二次方程（1）”连继两年的平均增长率问题时，授课教师给出的有异与课本的例题，具体如下：例题1：据统计，2005年中国**博览会实现交易成交额80.9亿元，比上届增长10.9%；2006年成交额达94.5亿元，比上届增长16.7%；2007年成交额108.9亿元，比上届增长15.3%，取得了首个超百亿元成交额。
2.2一元二次方程的解法(1)说课稿 2022-2023学年浙教版数学八年级下册
一元二次方程的解法一、教材分析本节课是八年级下册数学中的第二章第二节，主要围绕一元二次方程的解法展开讲解。
通过本节课的学习，学生将掌握解一元二次方程的一般方法，强化对解方程的理解和应用能力。
二、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式；2.掌握求解一元二次方程的常见方法，如因式分解法和配方法；3.能够运用所学方法解决实际问题。
三、教学重点1.掌握一元二次方程的定义和一般形式；2.掌握因式分解法和配方法求解一元二次方程。
四、教学难点1.运用所学方法解决实际问题。
五、教学过程1. 导入与承前启后（5分钟）首先，我将通过提问导入本节课的内容，引发学生对一元二次方程求解的思考，进而与上节课所学内容进行联系。
2. 理解一元二次方程的定义与一般形式（10分钟）接下来，我将通过课件展示一元二次方程的定义和一般形式，与学生进行互动讨论，确保学生对一元二次方程的基本概念有清晰的理解。
3. 学习因式分解法（15分钟）在本节课中，因式分解法是求解一元二次方程常用的方法之一。
我将结合具体的例子，讲解因式分解法的步骤和应用技巧，并通过小组合作的方式进行练习和巩固。
4. 学习配方法（15分钟）除了因式分解法外，配方法也是求解一元二次方程的重要方法之一。
我将通过课件展示配方法的步骤和实例，帮助学生理解并掌握配方法的运用。
5. 拓展与应用（15分钟）在本节课的最后部分，我将提供一些拓展题目和实际问题，引导学生运用所学方法解决更加复杂和实用的问题，提高他们的综合应用能力。
六、板书设计根据本节课的内容，我设计了以下板书：一元二次方程的解法一、定义与一般形式二、因式分解法三、配方法四、拓展与应用七、教学反思本节课通过活动导入、互动讨论和小组合作练习等多种教学方式，使学生主动参与到学习中，提高了教学的趣味性和互动性。
同时，在教学过程中注重理论与实践的结合，引导学生将所学的解方程的方法应用到实际问题中。
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1. 某农场要建一个长方形养鸡场,鸡场一边靠墙(墙 长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1) 鸡场面积能到达
180m2吗?
25m
(2) 鸡场面积能到达 200m2吗?
(3) 鸡场面积能到达 250m2吗?
假如能,请给出设计方案;假如不能,请说明理由.
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独立
作业
知识升华
2. 某农场要建一个长方形养鸡场,鸡场一边靠墙(墙 长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
2. 某农场要建一个长方形养鸡场,鸡场一边靠墙(墙 长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(2)设养鸡场宽为xm,依据题意得
x40 2x 200.
25m
即x2 20x 100 0. 解这个方程, 得
180m2
x
x1 x2 10.
40-2x
答 : 鸡场的面积能达到200m2,这时鸡场的宽为10m. 老师提示 : 学了二次函数后我们可以知道,当宽为10m时,
这是鸡场最大的面积.
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独立
作业
知识升华
2. 某农场要建一个长方形养鸡场,鸡场一边靠墙(墙 长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(3)设养鸡场长为xm,依据题意得
x 40 x 250. 2 即x2 40x 500 0.
解这个方程, 知
25m 250m2
40 x 2
x 40 x 200. 2 即x2 40x 400 0.
解这个方程, 得
25m 200m2
40 x 2
x1 x2 20.
x
答 : 鸡场的面积能达到200m2 , 这时鸡场的长为20m.
老师提示 : 学了二次函数后我们可以知道,当长为20m时,
省级优质课一元二次方程的公开课教案（精）
省级优质课一元二次方程的公开课教案（精）第一篇：省级优质课一元二次方程的公开课教案 (精)教学目标知识技能目标：22．1 一元二次方程第一课时1、理解一元二次方程的概念；2、会把一个一元二次方程化为一般形式，会正确地判断一元二次方程的项与系数；3、通过本节课的学习，培养学生观察、比较、分析、探究和归纳的能力。
过程方法目标：1、让学生通过分析实际问题，建立数学模型列出方程，从而引导他们发现问题，然后通过自主探究和合作交流，类比出一元二次方程的概念；2、从实际问题引入新课，类比给出概念，通过巩固训练、合作探究到课外作业布置，完成本节课的教学并激发学生学习的热情和课后预习解方程的热情。
情感态度目标：通过本节课的学习使学生认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学生学数学的热情和用数学的意识；重点难点1、重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2、难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程：一、新课引入数学来源于生活，服务于生活。
日常生活更是离不开数学知识，例如建筑，雕塑等。
下面我们来看相关图片。
（出示图片）它们都给人非常匀称的感觉，且充满了美感。
这些都与数学的一个重要知识黄金分割有关。
我们现在将上面的实际问题抽象为数学模型，问题如下（出示PPT）通过分析,化简，则所列方程为： x2+2x-4=0这就是我们今天要学习的一元二次方程。
通过这章的学习同学们就能解决这个问题，今天我们学习第一节，认识一元二次方程。
二、出示目标知识技能目标：1、理解一元二次方程的概念；2、会正确地判断一元二次方程的项与系数；过程方法目标：1、通过分析实际问题，建立数学模型，•类比一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2、解决一些概念性的题目．情感态度目标：通过本节课的学习认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活，激发学数学热情、用数学的意识；三、预习导学阅读教材第1至4页，并思考完成下列问题．(3分钟)1、什么是一元二次方程？2、一元一次方程与一元二次方程的的异同？3、一元二次方程的一般形式及各部分的名称是什么？4、一元二次方程的一般形式中为什么a ≠ 0？要求：学生在课本上画出来，并在关键词下做上记号。
一元二次方程的应用优质课
增加1株 增加2株
…
增加x株
每每株株利利润润 × 株数数 = 利利润润
3
3
3×3
3﹣0.5×1 3﹣0.5×2
3+1间接设未知数
3+2
…
…
3﹣0.5x
3+x
10
第10页，本讲稿共22页
回顾与思索
如果每束玫瑰盈利10元，平 小新家的花圃用花盆培育玫
由题意得： （10-X）（40+8X）= 432
要注意 哦！
整理得： X2-5X+4=0
解得：
X1=1 我X们2=利有4用效一的元解二决次日方常程生可活以中帮的助问
检验：X2=4 是方程题的解。且符合题意
答：每束X1玫=瑰1 应不降符价合4题元意。应舍去
第6页，本讲稿共22页
列一元二次方程解应用题 的基本步骤：
分析：2000年12月31日花苗的株数为 892万株 .
若年平均增长率为X，则2002年12月31日
花苗的株数为 892（1+X） 2 .
第14页，本讲稿共22页
解：设2000年12月31日至2002年12月31日，花苗株 数的年平均增长率为X，
由题意可得：
892 (1+X)2 = 2083
直接开 平方法
第20页，本讲稿共22页
瞧我的！！！
某初三年级初一开学时就参加课改
试验，重视能力培养，初一 阶段就
有48人次在县级以上各项活动中
得奖，之后逐年增加，到三年级
结束共有183人次在县级以上得奖
。求这两年中得奖人次的平均年增
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解：设2001年12月31日至2003年12月 31日，花苗株数的年平均增长率为Y， 由题意可得： 1254（1+Y）2 = 3089 解得： Y1=－1+
Y2=－1－
3089 1254 3089 1254
≈56.9℅ (不合题意，舍去）
可见：
56.9℅
＞
52.8℅
瞧我的！！！
某初三年级初一开学时就参加 课改试验，重视能力培养，初 一 阶段就有48人次在县级以上 各项活动中得奖，之后逐年增 加，到三年级结束共有 183 人 次在县级以上得奖 ,求这两年中 得奖人次的平均年增长率.
解 验
答
检验：X2=4 是方程的解 且符合题意 答：小新家每天要盈利432元， 那么每束玫瑰应降价4元。
问题二
小新家的花圃用花盆培育玫瑰花 苗 . 经过试验发现，每盆植入 3 株 时，平均每株盈利3元；以同样的 栽培条件，每盆每增加1株，平均 每株盈利就减少 0.5 元 . 要使每盆 的盈利达到 10 元，并尽量降低成 本，则每盆应该植多少株？
列一元二次方程解应用题 的基本步骤：
数量关系
（
每束利润 ）×（ 束数 ） = 利润 10-X
40+8X
审 设 列
432
解：设每束玫瑰应降价X元， 则每束获利（10-X）元， 平均每天可售出（40+8X） 束， 由题意，得 （10-X）（40+8X）= 432 X2-5X+4=0 解得： X1=1 X2=4
回顾与归纳
增 长 率 间隔时期 现量 原量 问 若间隔时期为两年，则有： 题 中数 2=现量 原量×（ 1+ 增长率） 的量 关 温馨提示： 系 若间隔时期为两年，则有： 原量×（1- 降低率）2= 现量
892（1+X）2 = 2083
花苗株数 （万株）
3200 2400 1600 800 0
2000年1月至2003年12月培养花苗株数
每束利润 降价1元 10 10﹣1 × 束数 = 利润 10×40 40 40﹢8×1
降价2元 10﹣2 … …
40﹢8×2 … 40﹢8X 432
降价X元
10﹣X
数量关系 （ 每束利润 ）×（ 束数 ） = 利润 432 10-X 40+8X 解：设每束玫瑰应降价X元，则每束获利 （10-X）元，平均每天可售出（40+8X）束， 由题意得：（10-X）（40+8X）= 432 X2-5X+4=0 整理得： 解得： X1=1 X2=4
利润问题：
单件利润 × 件数
＝ 利润
借助列表
想一想
小新家的花圃面积逐年增加，并且年 平均增长率相同.前年花圃总面积25亩， 若年平均增长率为X，则去年花圃面积可 表示为 25（1+X） . 你还能表示出今年的年平均增长率吗？
25（1+X）2
花苗株数 2000年1月至2003年12月培养花苗株数 （万棵） 3200 3089 2083 2400 1254 1600 892 800 350 0 年份
2083
3089
350
892
1254
2000年 2000年 2001年 2002年 2003年 年份 1月1日 12月31日 12月31日 12月31日12月31日
分析： 2000年12月31日花苗的株数为 892万株 . 若年平均增长率为X，则2002年12月31日
花苗的株数为 892（1+X） 2 .
小新家的花圃用花盆培育玫瑰花苗 .经 过试验发现，每盆植入3株时，平均每 株盈利3元；以同样的栽培条件，每盆 每增加 1 株，平均每株盈利就减少 0.5 盈利 元.要使每盆的盈利达到 10元，并尽量 降低成本，则每盆应该植多少株？ 每株利润 × 3 3﹣0.5×1 3﹣0.5×2
3﹣0.5x 株数 株数 3 3+1 3+2 3+x 10 = 利润 利润 3×3
解：这两年中得奖人次 解：这两年中得奖人次的 的平均年增长率为X， 平均年增长率为X， 由题意得： 由题意得：
48+48（1+X）+ 48（1+X）2=183
48（1+X）2=183
聪明的你，能 对原题进行适 当的修改，使 所列的方程为 上述方程吗
瞧我的！！！
某初三年级初一开学时就参加课 改试验，重视能力培养，初一 阶段就有48人次在县级以上各项 活动中得奖，之后逐年增加，到 三年级结束共有 183 人次在县级 以上得奖。求这两年中得奖人次 的 平 均 年 增 长 率 .
2083 350
3089
892
1254
2000年 2000年 2001年 2002年 2003年 年份 1月1日 12月31日 12月31日 12月31日12月31日
⑵求2000年12月31日至2002年12月31日花苗 株数的年平均增长率. ⑶将上题结果与2001年12月31日至2003年12 月31日花苗株数的年平均增长率作比较，哪段 时间年平均增长率较大？
归纳列一元二次方程解应用题 的基本步骤： 审 设 列 解 验 答 利润问题： （单件利润）×（件数） = 利润
增长率问题： 原量×（1+增长率）2 = 现量
分层 作业
1.必做题：作业本（复习题） 2.选做题：(学有余力的同学不妨
探讨一下)
一个容器装满40升纯酒精倒出一部分 后用水注满，在倒出与第一次同量的 混合液后用水加满，此时溶液内含纯 酒精10升，求每次倒出的升数.
2000年 2000年 2001年 2002年 2003年 1月1日 12月31日 12月31日 12月31日12月31日
⑴你能从图中获得哪些信息，说说看！
⑵求2000年12月31日至2002年12月31日 花苗株数的年平均增长率。
花苗株数 （万株）
3200 2400 1600 800 0
2000年1月至2003年12月培养花苗株数
解： 设2000年12月31日至2002年12月31日，花 苗株数的年平均增长率为X， 由题意可得： 直接开 2 892 (1+X) = 2083 平方法 解得： 2083 X1=－1+ 892 ≈52.8℅
X2=－1－
2083 892
（不合题意，舍去）
答：2000年12月31日至2002年12月31日 花苗株数的年平均增长率为52.8℅.
数量关系 （ 每束利润 ）×（ 束数 ） = 利润 432 10-X 40+8X 解：设每束玫瑰应降价X元，则每束获利 （10-X）元，平均每天可售出（40+8X） 束， 要注意 由题意得： （10-X）（40+8X）= 432 哦！ 整理得： X2-5X+4=0 利用一元二次方程可以 解得： X1=1 X2=4 帮助我们有效的解决日常生 检验：X2=4 是方程的解且符合题意 活中的问题。 X1=1 不符合题意应舍去 答：每束玫瑰应降价4元。
检验：X1=1 ，X2=4 都是方程的解
因式分 解法
答:
小新家每天要盈利432元， 那么每束玫瑰应降价1元或4元。
情急之下，小新家准备零售这批玫 瑰.如果每束玫瑰盈利10元，平均 每天可售出40束.为扩大销售，经 调查发现，若每束降价1元，则平 均每天可多售出8束. 如果小新家 每天要盈利432元， 同时也让顾客 获得最大的实
间接设未知数
…
…
增加x株
回顾与思索
如果每束玫瑰盈利 10 元， 平均每天可售出 40 束 . 为扩 大销售，经调查发现，若 每束降价 1 元，则平均每天 可多售出8束.如果小新家每 天要盈利 432 元，那么每束 玫瑰应降价多少元？ 小新家的花圃用花盆培育 玫瑰花苗，经过试验发现 , 每盆植入 3 株时，平均每株 盈利 3 元；以同样的栽培条 件，每盆每增加 1 株，平均 每株盈利就减少 0.5 元。要 使每盆的盈利达到 10 元， 则每盆应该植多少株？
问题一：如果每束玫瑰盈利10元，
平均每天可售出 40束.为扩大销售， 经调查发现，若每束降价1元，则 平均每天可多售出8束. 如果小新 家每天要盈利 432 元， 同时也让 顾客获得最大的实惠 . 那么每束玫 瑰 应 降 价 多 少 元 ？
分析：
数量关系
如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可 售出40束.为扩大销售，经调查发现， 若每束降价1元，则平均每天可多售出 盈利432元， 8束. 如果小新家每天要盈利 同时也让顾客获得最大的实惠.那么每 束玫瑰应降价多少元？