(完整版)定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题

【定弦定角题型的识别】

有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。【题目类型】

图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题

【解题原理】

同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．2441-

解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°

∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）

如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值

∵∠BDC ＝135°

∴∠BO ′C ＝90°

∴△BO ′C 为等腰直角三角形

∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°

∴AO ′＝5

又O ′B ＝O ′C ＝4

∴AD ＝5－4＝1

【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）

A ．213-

B ．213+

C ．5

D ．9

16

解：连接AE

∵AD 为⊙O 的直径

∴∠AEB ＝∠AED ＝90°

∴E 点在以AB 为直径的圆上运动

当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-

【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．324-

解：连接CD

∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°

∴∠BDC ＝135°

如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值

∵∠BDC ＝135°

∴∠BO ′C ＝90°

∴O ′B ＝O ′C ＝4

又∠ACO ′＝90°

∴AO ′＝5

∴AD 的最小值为5－4＝1

【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）

A ．3612+

B ．336+

C ．3312+

D ．346+

【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）

A ．

21 B ．22 C ．

2

3 D ．43

【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________

解：连接DM

∵D 是弦EF 的中点

∴DM ⊥EF

∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动

当CD 过圆心A 时，CD 有最小值

连接CM

∵C 为弧AB 的中点

∴CM ⊥AB

∴CD 的最小值为12-

【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________

解：连接OD

∵D 为弦AP 的中点

∴OD ⊥AP

∴点D 在以AO 为直径的圆上运动

当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值

过点C 作CM ⊥AB 于M

∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°

∴△OBC 为等边三角形

∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝4

7 ∴CD 的最小值为2147-