(完整版)定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题
【定弦定角题型的识别】
有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】
图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题
【解题原理】
同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）
③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．2441-
解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°
∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）
如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值
∵∠BDC ＝135°
∴∠BO ′C ＝90°
∴△BO ′C 为等腰直角三角形
∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°
∴AO ′＝5
又O ′B ＝O ′C ＝4
∴AD ＝5－4＝1
【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）
A ．213-
B ．213+
C ．5
D ．9
16
解：连接AE
∵AD 为⊙O 的直径
∴∠AEB ＝∠AED ＝90°
∴E 点在以AB 为直径的圆上运动
当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-
【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．324-
解：连接CD
∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°
∴∠BDC ＝135°
如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值
∵∠BDC ＝135°
∴∠BO ′C ＝90°
∴O ′B ＝O ′C ＝4
又∠ACO ′＝90°
∴AO ′＝5
∴AD 的最小值为5－4＝1
【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）
A ．3612+
B ．336+
C ．3312+
D ．346+
【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）
A ．
21 B ．22 C ．
2
3 D ．43
【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________
解：连接DM
∵D 是弦EF 的中点
∴DM ⊥EF
∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动
当CD 过圆心A 时，CD 有最小值
连接CM
∵C 为弧AB 的中点
∴CM ⊥AB
∴CD 的最小值为12-
【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________
解：连接OD
∵D 为弦AP 的中点
∴OD ⊥AP
∴点D 在以AO 为直径的圆上运动
当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值
过点C 作CM ⊥AB 于M
∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°
∴△OBC 为等边三角形
∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝4
7 ∴CD 的最小值为2147-。