08弯曲强度1(剪力图与弯矩图)-jianhua

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工程力学-第十六章

16.5.2 纯弯曲正应力的分布规律
由平面假设可知，矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如下特点：（1）中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。（2）距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也相等。（3）在图所示的受力情况下，中性轴上部的各点正应力为负值，中性轴下部的各点正应力为正值。（4）正应力沿y轴呈线性分布，如图所示，其中，K为待定常数。最大正应力（绝对值）在距中性轴最远的上、下边缘处。
16.1.1 对称弯曲的概念
工程中最常见的梁，其轴线是直线，横截面一般都有1根或2根对称轴，如图所示。
16.1.1 对称弯曲的概念
由横截面的纵向对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面，如图所示。如果梁上的外力全部作用在这个对称面内，那么梁变形后，其轴线也将变成这个对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。
04
弯矩、剪力与载荷集度间的关系
16.4 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
一般情况下，梁上不同截面的 FQ 和 M 是不同的。为描述内力沿梁轴变化的规律，用 x 轴表示梁横截面的位置，则梁各横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标 x 的函数，即
FQ FQ (x) M M (x)
16.4 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
Wz
πd 3 32
16.5.3 纯弯曲正应力的计算公式
常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：
截面形状
惯性矩
抗弯截面系数
Iz
Iy
πD4 64
(1
α4)
Wz
πD3 32
(1
α4)
16.5.4 弯曲切应力简介
1．矩形截面梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力不是均匀分布的，对于矩形截面梁横截面上的切应力，假设其分布特点为：

工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图

05 剪力图与弯矩图的计算与分析
CHAPTER
剪力与弯矩的计算方法
要点一
剪力计算
根据受力分析，通过力的平衡原理计算剪力。在梁的截面上，剪力方向与梁的轴线垂直，大小等于通过截面形心的剪切面上的剪力。
要点二
弯矩计算
弯矩是描述梁弯曲变形的量，其计算方法包括截面法、力矩分配法等。弯矩的计算需要考虑梁的长度、截面尺寸、材料属性以及外力分布等因素。
在工程实践中，许多结构和设备都需要承受弯曲负荷，如桥梁、建筑、车辆等，因此弯曲强度的研究具有重要意义。
弯曲强度的基本原理
弯曲强度的基本原理包括剪力和弯矩的分析。剪力是指在弯曲过程中垂直于轴线的力，而弯矩则是指弯曲过程中产生的力矩。
剪力和弯矩的分析是确定结构在弯曲负荷下的应力和变形的重要手段，也是进行结构设计和优化的基础。
谢谢
THANKS
剪力图与弯矩图的受力分析
剪力图
通过绘制剪力随梁长度变化的曲线图，可以直观地表示出梁在不同位置受到的剪力大小和方向。根据剪力图，可以分析梁在受力过程中的稳定性以及剪切破坏的可能性。
弯矩图
弯矩图表示弯矩随梁长度变化的曲线图，可以用来分析梁在不同位置的弯曲变形程度以及弯曲应力分布情况。通过弯矩图，可以判断梁在受力过程中是否会发生弯曲失稳或弯曲破坏。
CHAPTER
剪力图与弯矩图在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，剪力图与弯矩图是进行结构设计的关键工具。通过分析剪力和弯矩的分布和大小，可以确定结构的受力情况和变形趋势，从而优化结构设计，提高结构的稳定性和安全性。
在进行结构设计时，需要综合考虑多种因素，如载荷、材料属性、连接方式等。剪力图与弯矩图可以帮助工程师更好地理解和分析

工程力学第八章：弯曲课件

§8–5 平面弯曲梁横截面上的正应力
8.5.1纯弯曲、剪切弯曲的概念
1、剪切弯曲：各横截面内既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲或横力弯曲。
2、纯弯曲各横截面上剪力等于零，弯矩为一常数，这种弯曲称为纯弯曲。为了更集中地分析正应力与弯矩之间的关系，先考虑纯弯曲梁横截面上的正应力。
8.5.2梁的纯弯曲实验及简化假设一、简化假设（1）弯曲的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平
例8－3 如图8－13(a)所示，一简支梁AB受均布载荷q作用，试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。
图8－13(a)
解：（1）首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，
可直接得到约束力为
方（向2向）上按。图9－13(b)R所A =示RB，= q2列L 剪力方程和弯矩方程。由内力计
图8－5
(2)固定铰支座能阻止支承处截面沿水平和垂直方向移动，但不能阻止其发
生转动的支座称为固定铰支座，其简化形式如图8－5(d)或(e)所示。
(3)固定端支座（固定端）这种支座使梁端既不发生移动也不发生转动。其简化形式及
支反力如图8－5（g）、图8－5（h）、图8－5（i）所示。图8－ 1(c)中的钻床横梁的左端以及长轴承、车刀刀架等均可简化为固定端支座。
2.利用内力计算规则求指定截面上的内力
例8-2 如图8-11所示，悬臂梁作用有均布载荷q及力偶，求A点右侧截面、C点左侧和右侧截面、B点左侧截面的弯矩。
图8-11
解：对于悬臂梁不必求支座反力，可由自由端开始分析。
截面B-上的内力，由截面右段梁，得截面C+上的内力，由截面右段梁，得截面C-上的内力，由截面右段梁，得截面A+上的内力，由截面右段梁，得

梁弯矩图梁内力图(剪力图和弯矩图)

各种荷载作用下双铰抛物线拱计算公式表2-23
注：表中的K为轴向力变形影响的修正系数。
（1）无拉杆双铰拱
1）在竖向荷载作用下的轴向力变形修正系数
式中 Ic——拱顶截面惯性矩；
Ac——拱顶截面面积；
A——拱上任意点截面面积。
当为矩形等宽度实腹式变截面拱时，公式I＝Ic/cosθ所代表的截面惯性矩变化规律相当于下列的截面面积变化公式：
简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）
梁的简图
剪力Fs图
弯矩M图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁
表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征
某一段梁上的外力情况
剪力图的特征
弯矩图的特征
无载荷
水平直线
斜直线
集中力
突变
转折
集中力偶
无变化
突变
均布载荷
斜直线
抛物线
零点
极值
表3 各种约束类型对应的边界条件
2）三跨等跨梁的力和挠度系数表2-12
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql；。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F；。
3）四跨等跨连续梁力和挠度系数表2-13
注：同三跨等跨连续梁。
4）五跨等跨连续梁力和挠度系数表2-14
注：同三跨等跨连续梁。
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql；。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F；。
[例1] 已知二跨等跨梁l＝5m，均布荷载q＝11.76kN/m，每跨各有一集中荷载F＝29.4kN，求中间支座的最大弯矩和剪力。

08第八章弯曲变形

二、梁计算简图 1支座形式与支反力作用在梁上的外力，包括载荷和支座反力载荷和支座反力。工程中常见支座有以下载荷和支座反力三种形式: （1）固定铰支座。如图8-3（a）所示，固定铰支座限制梁在支承处固定铰支座。固定铰支座任何方向的线位移，其支座反力可用2个正交分量表示，沿梁轴线方向的XA和垂直于梁轴线方向的YA。（2）活动铰支座。如图8-3（b）所示，活动铰支座只能限制梁在支活动铰支座。活动铰支座承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。（3）固定端。如图8-3（c）所示，固定端支座限制梁在支承处的任固定端。固定端何方向线位移和角位移，其支座反力可用3个分量表示，沿梁轴线方向的XA和垂直于梁轴线方向的YA，以及位于梁轴平面内的反力偶 MA。
解：（1）列弯矩方程选取A为坐标原点，坐标轴如图8-13所示。在截面x处切开，取左段为研究对象，列平衡方程：（2）作弯矩图由弯矩方程可知，弯矩M为x的一次函数，所以弯矩图为一条斜直线。（由两点可画出一条直线）
例8-7图8-14（a）所示悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。作该梁的弯矩图。
例8-1：如图8-8所示悬臂梁，求图中1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。
解：（1）计算1-1上的剪力和弯矩。假想在1-1截面处把梁截开，考虑左段梁的平衡，剪力和弯矩按正方向假设。
得：
（2）计算2-2上的剪力和弯矩。假想在2-2截面处把梁截开，考虑左段梁的平衡，剪力和弯矩按正方向假设。
弯矩图如图8-11（b）所示，由于在C点处有集中力偶Mo作用，C点左侧与C点右侧弯矩不变，有突变，突变值即为集中力偶Me。如b>a，则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上。
例8-5：图8-12（a）所示简支梁，在全梁上受集度为q的均布载荷，作此梁的弯矩图。

剪力图和弯矩图几种作法的异同

鼗i塑、曼凰
剪力图和弯矩图几种作法的异同
赵萍 ( 无锡旅游商贸高等职业技术学校，江苏无锡214000)
脯要】建筑力学中的剪力图和弯矩图绘制使许多人感到不易掌握，本文对剪力图和弯矩图的三种作法—函数法、微积分关系法、叠加法作了进一步详细的阐述，使人们从整体E对剪力图和弯矩图的绘制有一个新的认识，从而达到掌握的目的。巨键词1剪力图和弯矩图绘制；函数法；微积分关系法；叠加法
时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形的弯矩图。 ‘ 用叠加法画剪力图和弯矩图的步骤为： 1)荷载分解；2) 作分解荷载的剪力图和弯矩图；3)叠加作荷载
共同作用下的剪力图和弯矩图。注意：剪力图和弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是
对应点处纵坐标的相加。仍以例1为例，用叠加法绘制剪力图和弯矩图( 见图4) ：
这种方法是从本质入手，以数学函数的形式来描述剪力与弯矩的情况，又以函数图形体现剪力与弯矩的分布，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置，为解决梁的强度和刚度问题打下了基础。
2微积分关系法
对于多种复杂荷载的梁，用函数法计算显得较为复杂，绘图有诸多不便。在这种情况下，可以采用微积分关系法，利用q、Q、M三者间的微分关系绘制内力图的突出优点是快而正确，其绘图速度更是其它方法不能比拟的。故我在这一段的教学中重点推荐此法，在讲清概念后，
在这种情况下可以采用微积分关系法利用三者间的微分关系绘制内力图的突出优点是快而正确其绘图速度更是其它方又般绘图形象化其速度又可进一步提高试用后颇受学生欢遇到均布荷算点再连线弯矩图图的绘制口诀是遇着外力偶顺正逆负变算点连成线方直斜曲分口诀中的算点就是利用以下的基本计算公式右左二截面间的面积例图中神邓截面间的面积右枷廿二截面间的面积正面积为正反之为负例图中截面问的面积梁梁式桥的主梁等都是以弯曲变形为主的构件

怎样快速绘制剪力图和弯矩图

怎样快速绘制剪力图和弯矩图3毛和业(黔南职业技术学院机电系,贵州,都匀558022)摘　要:在工程构件中,最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。

它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提,而这一绘制过程复杂,计算量大。

根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化,可找到一种学生易于掌握,且准确率高的方法。

关键词:剪力图;弯矩图;绘制;快速中图分类号:T B23 文献标识码:B 文章编号:1005-6769(2005)03-0081-03How to D raw the Shear i n g Force D i a gram and Bend i n g M o m en t D i a gram Rap i dlyMAO He -ye(Mechanical and Electr onic Depart m ent,Q iannan Vocati onal and Technical College,Duyun 558022,China )Abstract:I n structural me mbers,the defor mati on is usually caused by bending or by a combinati on of bending and t orsi on .W e calculate their strength based on finding the critical secti on by drawing the shearing force diagra m and bending moment diagra m that is relatively comp lex and needs l ots of work .Theref ore,according t o the regulati ons of shearing f orce diagra m and bending moment diagra m caused by different l oad models,this paper si m p lifies the p r ocess and finds an easy and accurate method .Key words:shearing f orce diagra m;bending moment diagra m;dra w;rap id1　引言《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课,特别对于机电类专业,学生学习质量的好坏,对后续课程的学习,如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。

(剪力图与弯矩图)

3．建立剪力方程和弯矩方程
在AC和CB两段分别以坐标为x1 和x2的横截面将梁截开，并在截开的横截面上，假设剪力FS(x1)、FS(x2)和弯矩M(x1)、 M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。
y
MO=2FPl
O A l x1 x2
例题5
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶 M＝2FPl 的作用。梁的全长为2l。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
MO=2FPl
C
FP
B
A l
l
y
MO=2FPl
O A l
C
FP
x B
l
解：1．分段本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，因此，需要分为 AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。 2．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系。
二、基本概念
1、弯曲变形 (1) 受力特征外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. (2) 变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2、梁
三、受弯杆件的简化
1. 杆件本身的简化：通常取梁的轴线代替梁。 2. 载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
例3 轴的计算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN ，
a = 230mm,b = 100 mm 和c = 1000 mm.求 C 、D 点处横截面上的剪力和弯矩. F1=F

范钦珊版材料力学习题全解第5章梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图

M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a）：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ，位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b）： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB

工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图

例题
y
MO=2FPl
O A
C
FP
B
x
l x1
x2
l
悬臂梁在B 、 C两处分别承受集中力FP 和集中力偶 M＝2FPl 的作用。梁的全长为2l。试求梁的剪力和弯矩方程。
解：由载荷分布可知需要分为AC和CB两段分析。以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系。在AC和CB两段分别以坐标为x1 和x2 的横截面将梁截开，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。
例题
20kN
作图示平面刚架的内力图.
10kN
C M= -10· kN·m (0≤x≤2) x x 轴力正值画在外侧，负值画在内侧。 Q =20kN BA段 FN =-10kN 3m x 剪力正值画在外侧，负值画在内侧。 M= -20-20· kN·m (0≤x﹤3) x 弯矩正值画在受压侧。 A
2、1-1面上的内力弯曲变形有两个内力参数： ★ 自左向右计算 P M M 剪力Q和弯矩M Pb
Q Q’
l
RB
x
RA
RB
l Pbx M RA x l
★ 自右向左计算又如何？
Q RA
弯曲变形的内力
剪力符号规定：左和右指什么，
Q R A x x l
CB段：
Pa / l
⊕
(0 x a )
RB Pa Q(x) l
(a x l )
M
Pab / l
⊕
Pa M ( x ) RB (l x ) (l x ) l (a x l )
例题
RA
A C
M
RB

梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图

4.5 图和弯矩图.
F AX
l
F
FS x F B M x Fx
kN
FL
0 xL 0x L
kNm
8
例题 4.6
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
F+qL
1/2qL2+FL
FL
q B
l
qL
1/2qL2
19
例题 4.14
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
20
例题 4.15
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m 2m 2m 2m
M2 M1
x2 x1
FS x
11
dx
q
A
C
D
B
FA
a
c
l
b
FB
FA +
x
-
FB
+
FAa
FBb
12
例题
4.7 4.8
a
F

第八章弯曲内力、应力及强度计算

例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程

材料力学-5-弯矩图与剪力图

从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。

剪力图和弯矩图-课件(PPT-精)

02 剪力图和弯矩图的绘制
绘制步骤
确定受力点
首先确定梁的受力点，通常为梁的两端或支撑点。
分析受力
分析梁所受的剪力和弯矩，确定剪力和弯矩的大小和方向。
绘制剪力图和弯矩图
根据分析结果，在梁上标出剪力和弯矩的大小和方向，并绘制剪力图和弯矩图。
标注数据
在剪力图和弯矩图上标注相关数据，如剪力和弯矩的大小、
3
优化施工图设计
通过分析剪力图和弯矩图，可以发现施工图设计中的不足之处，并进行优化改进，提高施工图设计的合理性和可行性。
在施工过程中的应用
监控施工过程
在施工过程中，通过实时监测剪力图和弯矩图的动态变化，可以及时发现施工中的问题，采取相
应的措施进行调整和处理。
评估施工效果
根据剪力图和弯矩图的监测结果，可以对施工效果进行评估，判断施工是否符合设计要求和质量标
计算公式
剪力Q=F*sin(a)，其中F为外力，a为外力与杆件轴线的夹角；弯矩M=F*d，其中F为外力，d为外力作用点到杆件固定端的距离。
计算步骤
注意事项
在计算过程中应注意单位的统一，并考虑杆件的固定端约束条件。
先确定杆件上各点的外力大小和方向，然后根据公式计算各点的剪力和弯矩，最后绘制剪力图和弯矩图。
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实例3
一斜梁在水平载荷作用下的剪力图和弯矩图解读。
04 剪力图和弯矩图的应用
在结构设计中的应用
评估结构的承载能力
通过分析剪力图和弯矩图，可以确定结构在不同受力情况下的承载能力，从而确保结构的安全性和稳定性。
优化结构设计
通过调整剪力图和弯矩图的分布和大小，可以优化结构设计，降低材料消耗，提高结构的经济性和环保性。

工程力学第章弯曲强度答案(整理)

43 第7章弯曲强度7－1 直径为d 地圆截面梁,两端在对称面内承受力偶矩为M 地力偶作用,如图所示.若已知变形后中性层地曲率半径为ρ；材料地弹性模量为E .根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受地力偶矩M .现在有4种答案,请判断哪一种是正确地.(A)M ＝E π d 习题7－1图(B) 64ρ M ＝64ρ (C) E π d4M ＝E π d (D)32ρM ＝32ρ E π d 3正确答案是A .7－2关于平面弯曲正应力公式地应用条件,有以下4种答案,请判断哪一种是正确地.(A)细长梁、弹性范围内加载；(B)弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C)细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D)细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内.正确答案是C _.7－3长度相同、承受同样地均布载荷q 作用地梁,有图中所示地4种支承方式,考虑,请判断哪一种支承方式最合理.l 5习题7－3图d . 7－4悬臂梁受力及截面尺寸如图所示.图中地尺寸单位为mm .求：梁地1－1截面上A 、−⎜ ⎟ A z B 两点地正应力.习题7－4图解：1. 计算梁地1－1截面上地弯矩：M =⎛1×103N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞=−1300N ⋅m⎝2 ⎠2. 确定梁地1－1截面上A 、B 两点地正应力： A 点：⎛150×10−3m ⎞ 1300N ⋅m ×⎜−20×10−3m ⎟σ =M z y =⎝2⎠＝2.54×106Pa =2.54MPa(拉应力) I zB 点：100×10-3m ×(150×10-3m )3121300N ⋅m ×⎜0.150m−0.04m ⎟⎛⎞σ=M z y =⎝2⎠=1.62×106Pa =1.62MPa(压应力)B 0.1m×(0.15m )3 127－5 简支梁如图所示.试求I-I 截面上A 、B 两点处地正应力,并画出该截面上地正应力分布图. 习题7－5图A (a)A C B(b)F R AkN ⋅解：（1）求支座约束力F RA =3.64kN,F RB =4.36kN习题7－5解图（2）求I －I 截面地弯矩值（见习题7－5解图b ）M I −I =3.64kN ⋅m（3）求所求点正应力σ=M I-I y AI z33I =bh 12=75×150 12=21.1×106mm 4 y A =(75−40)=35mm6∴σ=−3.64×10 ×35=−6.04MPa A 21.1×1066σ=3.64×10 ×75=12.94MPa B 21.1×1067－6加热炉炉前机械操作装置如图所示,图中地尺寸单位为mm .其操作臂由两根无缝钢管所组成.外伸端装有夹具,夹具与所夹持钢料地总重F P ＝2200N ,平均分配到两根钢管上.求：梁内最大正应力（不考虑钢管自重）.3习题7－6图解：1．计算最大弯矩：−33M max =−2200N ×2395×10m=−5.269×10N ⋅m2．确定最大正应力：σ=Mmax = M max,α= 66mm=0.611max32W σ=Mmax =2×πD32(1−α4)5.268N ⋅m108m m=24.71×106P a =24.71M P a max2W=π(1=08×10−3m ) 2×(1−0.6114) 327－7图示矩形截面简支梁,承受均布载荷q 作用.若已知q ＝2 kN/m ,l ＝3 m ,h ＝2b＝240mm .试求：截面竖放(图c)和横放(图b)时梁内地最大正应力,并加以比较. 习题7－7图解：1．计算最大弯矩： ql22×103N/m ×(3m )2M max ===2.25×103N ⋅m882．确定最大正应力：3平放：σ =M max = 2.25×10N ⋅m ×6 =3.91×106Pa=3.91MPamax 2−3 −32hb6240×10 m ×(120×10 m )4 ⎝ ⎠ 竖放：σ=M max = 2.25×103N ⋅m ×6=1.95×106Pa=1.95MPamax 2−3 −32 bh 6120×10m ×(240×10 m )3．比较平放与竖放时地最大正应力：σmax (平放) () 3.91 ≈2.07－8圆截面外伸梁,图中尺寸单位为mm .已知F P ＝10kN ,q ＝ M解：σ( )M max1 =32×30.65×10N ⋅m =113[σ] max 实＝ W 1π(140×10-3m )3σ( )M max2 = 32×20×103N ⋅m =100.3×106Pa=100.3MPa<[σ] max 空＝⎡⎛⎞⎤ W 2π(140×10-3m )3⎢1− ⎢⎣ 100⎜140⎟⎥所以,梁地强度是安全地.7－9悬臂梁AB 受力如图所示,其中F P ＝10kN ,M ＝70kN ·m ,a ＝3m .梁横截面地形状及尺寸均示于图中(单位为mm),C 为截面形心,截面对中性轴地惯性矩I z ＝1.02×108mm 4,拉伸许用应力[σ]＋＝40MPa ,压缩许用应力[σ]－＝120MPa .试校核梁地强度是否安全.解：画弯矩图如图所示：σ σ σ σ M (kN.m) C 截面30x+max =30×10N ⋅m ×96.4×10 m =28.35×106Pa=28.35MPa 1.02×108×10−12m 43−3 D 截面－max =30×10N ⋅m ×153.6×10m =45.17×106Pa=45.17MPa 1.02×108×10−12m 43−3 +max =40×10N ⋅m ×153.6×10m =60.24×106Pa=60.24MPa>[σ] 1.02×108×10−12m 43−3－ max =40×10N ⋅m ×96.4×10 m =37.8×106Pa=37.8MPa 1.02×108×10−12m 4所以,梁地强度不安全.7－10由No.10BC 连接,BC 杆在C 处用铰链悬挂[σ]＝160MPa ,试求:M8max P习题7－10图解：画弯矩图如图所示：对于梁：M max =0.5qσ=M max ≤[σ], 0.5q ≤[σ] max WW[σ]W 160×106×49×10−6q ≤ ==15.68×103N/m=15.68kN/m 0.50.5对于杆： σ=F N ≤[σ],4F B =4×2.25q ≤[σ] maxA πd 2 πd 2πd 2×[σ] π×(20×10-3)2×160×106q ≤ ==22.34×103N/m=22.34kN/m4×2.254×2.25所以结构地许可载荷为[q ]=15.68kN/m7－11 图示外伸梁承受集中载荷F P 作用,尺寸如图所示.已知F P ＝20kN ,许用应力[σ]＝160MPa ,试选择工字钢地号码. 习题7－11图解：M =F ×1m=20×103N ×1m=20×103N ⋅m σmax =M maxW≤[σ], F ×1m 20×103×1m W ≥ P ==0.125×10－3m 3＝125cm 3[σ] 所以,选择No.16 工字钢. 160×106Pa7－12图示之AB 为简支梁,当载荷F P 直接作用在梁地跨度中点时,梁内最大弯曲正应力超过许用应力30％.为减小AB 梁内地最大正应力,在AB 梁配置一辅助梁CD ,CD 也可以习题7－12图看作是简支梁.试求辅助梁地长度a .解：1．没有辅助梁时σmax=M max≤[σ], WF P l4 =1.30[σ] W σmax=M max≤[σ], WF P l(3−2a ) 2=[σ]W F P l (3−2a ) F P l2= 4=[σ]W 1.30×W 1.30×(3−2a )=3a =1.384m7－13一跳板左端铰接,中间为可移动支承.为使体重不同地跳水者站在跳板前端在跳板中所产生地最大弯矩M zmax 均相同,问距离a 应怎样变化? 习题7－13图解：最大弯矩发生在可移动简支点B 处.（见图a 、b ）设不同体重分别为W ,W +ΔW ,则有,W (l −a )=(W +ΔW )(l −a −Δa ) ABW A整理后得 a 图 Δa = ΔW(W +ΔW )b 图(l −a ) 此即为相邻跳水者跳水时,可动点B 地调节距离Δa 与他们体重间地关系.7－14利用弯曲内力地知识,说明为何将标准双杠地尺寸设计成a=l /4.M MF习题7－14图解：双杠使用时,可视为外伸梁..A C Bb 图若将a 地长度设计能达到下述情况为最经济、省工： M +=M −, max max即正负弯矩地绝对值相等,杠为等值杆.当a=l /4时,+ max− max=F P l /4（如图a,在中间面C ）； =F P l /4（发生在图b 所示受力情况下地A 面或B 面）.7－15图示二悬臂梁地截面均为矩形(b×h ),但(a)梁为钢质,(b)梁为木质.试写出危险截面上地最大拉应力与最大压应力地表达式,并注明其位置.二梁地弹性模量分别为E 、 E .P FP习题7－15图解：（1）两悬臂梁均为静定梁,故应力与材料弹性常数无关.（2）两悬臂梁均发生平面弯曲,危险面均在固定端处.σ σ σ σ 6 I 6I （3）钢梁：（4）木梁：+ max− max=6F P l bh 2 =6F P l bh 2（在固定端处顶边诸点）（在固定端处底边诸点） + max − max=6F P l hb 2=6F Pl hb 2（在固定端处后侧边诸点）（在固定端处前侧边诸点） 7－16T 形截面铸铁梁受力如图所示,其截面地I z=2.59×10−6m 4.试作该梁地内力图,求出梁内地最大拉应力和最大压应力,并指出它们地位置.画出危险截面上地正应力分布图.习题7－16图解：（1）求支座约束力F RA =37.5kN, F RB =112.5kN（2）作内力图,剪力图、弯矩图分别见习题7－16解图b 、c . （3）求所最大正应力和最小正应力E 、B 两截面分别发生最大正弯矩与最大负弯矩.所以,两个截面均有可能是危险截面.σ+=M E y2=14×10 ×142=76.8MPa （在E 截面下缘）z2.59×107σ−=M B y 2 =25×10 ×142=−137MPa （在B 截面下缘）z 2.59×107正应力分布图见图d.σ σ σ y m (a)AqEBD2m 1m50kN37.5kN⊕(b)⊕Ө1 62.5kN43.6MPa(d)(c)14kN·my 2⊕Ө25 kN·m 76.8MPa137MPa习题7－16解图7－17.在横放和竖放两种情况下,(a)比较许用弯曲力偶矩m O 绘出危险截面上地正应力分布图.解：(a)F R A2M (b) Өy 1(c)y 235y 1y 2σ习题7－17解图33（1）求支座约束力F RA=FRB=mOkN 5（2）作弯矩图见习题7－17解图b 所示. （3）竖放下地许用弯曲力偶矩m O由型钢表查得从b 图中得：W =269.6×103 mm 3M =3m O由强度条件maxσmax =5 M maxW≤[σ] m ≤5W [σ]=5×269.6×10×160=71.89kN ⋅mO33（4）横放下地许用弯曲力偶矩m O由型钢表查得由强度条件W =30.61×103 mm 3m ≤5W [σ]=5×30.61×10 ×160=8.16kN ⋅mO33危险截面上地正应力分布图见图c.7－18制动装置地杠杆用直径d =30mm 地销钉支承在B 处.若杠杆地许用应力 [σ]=140MPa ,销钉地剪切许用应力[τ]=100MPa ,求许可载荷[F P1],[F P2].F P1F P2习题7－18图解：（1）求F P1 与F P2地关系4杠杠平衡时有：F P1×1000=F P2×250, （2）作弯矩图,如图 a 所示F P2 =4F P11000F（3σmax =M max W≤[σ]20×603 (20×303−)W = 1212=1.05×104mm 330 1000F p1W≤[σ] F ≤W [σ]=1.05×10×140=1.47kN P11000 1000∴F P2 ≤5.88kN（4）校核销钉地剪切强度剪切强度条件：F Q τmax = A≤[τ] 其中,F=5F=3.675mm 2 Q2P13 ∴τmax=3.675×10706.86=5.2MPa<[τ]则,销钉安全.（5）杠杆系统地许可载荷为[FP1]=1.47kN,[FP2]=5.88kN.上一章返回总目录下一章。

材料力学课件—— 弯曲强度计算

q Ba YB QB左 B MB左
B左截面
C YA - QB左 0
qa 2 YAa - M B左 0
Q B左
YA
3 qa 2
M B左
1 qa2 2
（2）计算各截面内力（续）
qa 2
A
a
YA
q
Ba C YB
QB右 q
MB右B
aC
B右截面
QB右 - qa 0
M B右
qa
1 2
a
0
Q
B右
第五章弯曲强度计算
第一部分弯曲内力 (Bending forces)
第一节概述第二节静定梁的基本形式第三节平面弯曲时梁横截面上的内力第四节剪力图和弯矩图第五节剪力、弯矩和分布载荷间的关系第六节用叠加法作剪力图和弯矩图第七节刚架的弯矩图、轴力图
第一节概述
构件（Component, Structural member）杆（bar）梁（beam）
RB
r
M0b/l M0a/l
m0/l
aM0= Par b
Ax C
B
RA
l
RB
Q
(+)
x
M
(+)
(-)
x
例为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图所示。试作轴的剪力图和弯矩图。
a
b
aP b
A
C
RA x
l
RB
aP b
A
C
RA x
l
RB
Q
(+)
qa
M B右
1 qa 2 2

剪力图和弯矩图(史上全面)剪刀图弯矩图特征

2
2
右端点D： Q
1 2
qa
;M
0
23
1、练习直接画内力图 P129 4、4－d、j（对称载荷）、m(反对称载荷)
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
P q
Pa 2
qa2 2
A
BM
x x
+ P
=
=+
A
B M1
Pa 2
+
+
q
qa2
A
B M2
2 +
x
29
三、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
30
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0L 0.5P L 0.5P L
Q
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
C x
Q>0 Q<0 增函数降函数 Q1–
M
斜直线
曲线
自左Q2向=P右折角自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M1 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M2
增函数降函数碗状馒头状折向与P反向 M1 M220 m
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。

剪力图与弯矩图的画法

RA
P1 2KN
m 10KN .m
将梁分为AC、CD、
q 1KN m
DB、BE 四段
A
c
D
RB
P2 2KN BE
剪力图
4m
4m
4m
3m
AC：向下斜的直线（）
CD：向下斜的直线 ( ) DB：水平直线 (—） Q =P2 -RB=- 3KN EB：水平直线 (—）
Q = - 3KN
+
CD段：向上凸的二次抛物线。
a 该段内弯矩没有极值。
bc
d
Md 0
例题计算下图中的梁 C、 E 两横截面上的剪力和弯矩。
解：在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN (b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
剪力图
AC段：水平直线 Q1 = RA = 80 KN
CD段：向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
弯矩图 AC段：
CD段：其极值点在Q=0的中点E处的横截面上。

08弯曲强度1(剪力图与弯矩图)-jianhua

工程力学-第十六章

工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图

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梁弯矩图梁内力图(剪力图和弯矩图)

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剪力图和弯矩图几种作法的异同

怎样快速绘制剪力图和弯矩图

(剪力图与弯矩图)

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