北师大版小学数学总复习 数的运算

减法
乘法 除法
a-a=0 a-0=a
0×a=0 a×0=0
a×1=a 1×a=a
0÷a=0(a≠0) a÷1=a a÷a=1(a≠0)
1.估算的意义
对事物的数量或计算结果做出粗略的推断或预 测的过程叫做估算。 例：某校有20个班，每班约有40多个学生。经 估算可知该校的学生数大约在800至1000人之间。
2.估算的方法
2.根据已知数据的部分高位数字估算。 例如：3543+446+55，由于此题中各百位数的 约是10，千位上的数字和是3，所以原式的结果大 约是4000。 3456×23，由于题中各数的最高位数的积（3 千×2十）是60000，又由于第一个因数第二位与 第二个因数最高位数的积（4百×2十）约等于 10000，所以计算结果大约是7万多。
2.估算的方法
1.根据已知数据的最高位数字和最低位数字 估算。 例如：1547+4076-2358，由于此题中的三个 数最高位上的数字计算结果是3，最低位上的数字 计算结果是5，所以此题的计算结果约在3000左右， 并且末尾的数字一定是5。 309×607，由于题中两个数的最高位数的积 是：300×600=180000，最低位的数字之积是 9×7=63，所以此题的计算结果是略大于180000的 六位数，末位数字一定是3。
解：根据题意得： 速度和：80+70＝150（米/分） 相遇时间：750÷150＝5（分） 乙行路程：70×5＝350（米）
解题规律： 同时同地相背而行： 路程＝速度和×时间。 同时相向而行： 相遇时间＝速度和×时 间 速度和＝路程÷相遇时 间 路程＝速度和×相遇时 答：甲距乙出发地350米处和乙相遇。 间
8.小数除法运算法则
1.除数是整数的小数除法：先按照整数除法的法 则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐； 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面 添“0”，再继续除。 2.除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点， 使它变成整数(除数的小数点向右移动几位，被除 数的小数点也向右移动几位_位数不够的补“0”)， 然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
10.整数、小数、分数的运算顺序
1.整数、小数、分数的运算顺序相同。 2.没有括号的，同级运算从左到右依次运算；两 级运算，先算乘除法，后算加减法。 3. 有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里 面的，最后算括号外面的。 4. 加减法叫做第一级运算；乘除法叫做第二级运 算。
11.0和1的四则运算 0 加法 a+0=a 0+a=a 1
解：根据题意得： 6930÷（4774÷31） ＝6930÷154 ＝45（天） 答：织布6930米，需要45天。
4.典型应用题· 归总问题
例：修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完。实 际4天修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这 类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求出总量； 归总问题是先求出总量，再单一量。
6.典型应用题· 行程问题－相遇问题
例：甲乙两人从相距750米的两地相向走来，甲每分行 80米，乙每分行70米，问甲距乙出发地多远的地方和 乙相遇？
分析：两个物体以不同速度从两地同时出发相向而行，并且相遇。在路程、 速度和时间中，已知两个量，求第三个量。此题中路程和甲乙两人的速度已知， 发求出乙走的路程就要先求出乙走了好长的时间（即相遇时间）。
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙 （ 16-9 ）千米，这是速度差。
解：根据题意得： 28÷（16－9）＝4（小时） 答：甲4小时可以追上乙。
解题关键及规律： 同时同向而行（速度慢的在前， 快的在后）： 追及时间＝路程÷速度差。 同时同地同向而行（速度慢的 在后，快的在前）： 路程＝速度差×时间。
1.小数、分数的加、减、乘、除法的意义与整数 加、减、乘、除法的意义相同。 2.求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如： 3×3=32=9 3.乘积是1的两数叫做互为倒数。
5.整数加、减法运算法则
1.整数加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一 位上的数相加满十，就向前一位进一。 2.整数减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一 位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和 本位上的数合并在一起，再减。
1、两端植树 棵数=段数＋1 =总距离÷棵距＋1 总距离=棵距×（棵数－1） 棵距=总距离÷（棵数-1） 2、一端植，另一端不植： 总距离=棵距×棵数 棵数=总距离÷棵距 棵距=总距离÷棵数
解：根据题意得： 100÷5＋1=21（棵） 答：一共需要种21棵。
8.典型应用题· 植树问题
例2：一根木头长100分米，现在要把全部锯成4分米长 的短木头，每锯开一处需要3分钟。全部锯完需要几分 钟？ 解题思路：
3、两端都不植： 棵数=总距离÷棵距－1 此题如果把“锯开处”看作“树”，这个问题就相当于在不封闭 的公路上两端都不植树的问题。
解：根据题意得： （100÷4－1）×3=72（分钟） 答：全部锯完需要72分钟。
（大盈－小盈）÷（两次分得的差）＝人数 （大亏－小亏）÷（两次分得的差）＝人数
解：根据题意得： （13+1）÷（3－2）＝14（人） 3×14－1＝41（粒）或2 ×14+13＝41（粒） 答：甲距乙出发地350米处和乙相遇。
8.典型应用题· 年龄问题
概述：已知若干人的年龄，求他们之间的某种数量关系；或已知他们年龄之 间的数量关系，求这几个人的年龄的一类问题称为年龄问题。
例：父亲今年45岁，女儿今年11岁，几年后父亲的年 龄是女儿的3倍？ 解题思路：抓住年龄差不变的量，利用和差、和倍、差倍的知识来
解决。 几年后＝大小年龄之差÷倍数差－小年龄
解：根据题意得： （45－11）÷（3－1）－11＝6（年） 答：6年后父亲的年龄是女儿的3倍。
8.典型应用题· 植树问题
例1：一条公路长100米，在路的一边从头至尾每隔5米 种一棵树，一共需要种多少棵？ 解题思路：不封闭路线
1.简单应用题
1、已知乙数是甲数的几倍，求乙数是多少。 2、已知乙数是甲数的几分之几，求乙数是多少。 3、把甲数平均分成几份，每份是多少。 4、已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。 5、已知甲乙两数，求甲数是乙数的几倍或求乙 数是甲数的几分之几。 6、常见数量关系： 总价＝单价×数量 路程＝速度×时间 工作总量＝工作效率×工作时间 总产量＝单产量×数量
2.估算的方法
3.利用四舍五入把各个已知数，变成近似的 整万、整千、整百或整十。 例如：56317÷812可这样估算： 56000÷800＝70，此题的结果大约是70。 4.利用一些基本口算进行估算。 例如：1248×809，题中两个数分别接近1250 和800，利用基本口算125×8＝1000，估算出结果 在1000000左右。
6.整数乘、除法运算法则
1.整数乘法：先用一个因数每一位上的数分别去 乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上 的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后 再把各次乘得的数加起来。 2.整数除法：先从被除数的高位除起，除数是几 位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多 看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位 的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。 每次除得的余数要小于除数。
2.典型应用题· 平均数问题
例：一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙， 又以每小时60千米的速度双乙地开往甲地，这辆汽车 的平均速度是多少？
分析：求汽车的平均速度可以利用公式“数量之和÷数量个数＝平均数” 的公式进行计算。此题设甲乙两地的路程为“1”，则汽车行驶的总路程为“2”， 由此可求出从甲地到乙的时间和从乙到甲地用的时间，再用总路程÷总时间＝平 均速度。
解：根据题意得：
1 1 ) 75( 千米 /时） 2÷ ( 100 60
答：这辆汽车的平均速度是75千米/时。
3.典型应用题· 归一问题
例：一个织布工人，在七月份织布4774米，照这样计 算，织布6930米，需要多少天？
分析：此题必须先求出每天织布多少米（即单一量）。数量关系式：单一 量×份数＝总数量（正归一）；总数量÷单一量＝份数（反归一）。
3.整数除法
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因 数的运算叫做除法。 被除数÷除数=商 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 在除法中，0不能做除数。因为0和任何数相乘 都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确 定的商。但0除以任何数都得0，即0÷a=0. 乘法和除法 互为逆运算
4.小数、分数的加、减、乘、除法
7.典型应用题· 盈亏问题
概述：把一定数量的物品平均分给一定数量的人，在两次分配中物品有余 （盈）或不足（亏），已知余和所不足的数量，要求出物品的数量及参加分配的 人数的一类问题称为盈亏问题。
例：幼儿园老师给小朋友分糖，每位小朋友3粒，糖少 1粒，每位小朋友2粒，糖多余13粒。问糖有几粒？小 朋友有几人？ 解题思路：（盈＋亏）÷（两次分得的差）＝人数
解：根据题意得： 800×6÷4 ＝4800÷4 ＝1200（米） 答：实际每天修了1200米。
5.典型应用题· 和差问题
例：某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需 要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班 人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：此类题的解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两 个小数的和），然后再求另一个数。这一题中从乙班调 46 人到甲班，对于总数 没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 94－12 ，由此得到现在的乙班是 （94－12 ÷2=41（人），乙班在调出46人之前应该为41+46=87（人），甲班为 94－87＝7（人）。
数的运算运算的意义来自估算计算与应用
运算律
1.整数加、减法