【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等差、等比数列的综合应用》练习题(含答案)

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【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)

第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解A 级基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________．解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《数列》单元测试题(含答案)

高中数学必修5第二章《数列》单元测试题（含答案）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6722．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A ．1B ．2C ．4D ．84．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋16．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( )A ．－2 013B ．－1 017C ．2 013D ．1 0077．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－28．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.15810．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．15．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．16．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列三个命题：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1；②若S n ＝a n (a 为非零常数)，则{a n }是等比数列；③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列．其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d＝1，前n项和为S n，b n＝1 S n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)设数列{b n}前n项和为T n，求T n.20．(本小题满分12分)求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)a n－1的前n项和．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.高中数学必修5第二章《数列》单元测试题（含答案）（参考答案）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．672解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672.答案：D2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋n ，所以λ＝－1.答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4，所以a 5＝a 7q 2＝422＝1. 答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ， a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7，即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大．答案：A5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋1解析：由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，故数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，故S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.答案：A6．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( )A ．－2 013B ．－1 017C ．2 013D ．1 007解析：S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2解析：依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，所以q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.所以q ＝－1或q ＝2.答案：C8．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0.由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5. 答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.158和5 B.3116和5 C.3116 D.158解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3，又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2.故a n ＝q ·q n －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4. 答案：B11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，所以a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，所以a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23，所以a 3a 5＝12×32＝34. 答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2.答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63. 答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)；所以a n ＝2a n －1，经检验n ＝1也符合．所以{a n }是等比数列．所以a n＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，有下列三个命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n＝a n＋1；②若S n＝a n(a为非零常数)，则{a n}是等比数列；③若S n＝1－(－1)n，则{a n}是等比数列．其中真命题的序号是________．解析：易知①是真命题，由等比数列前n项和S n＝a1（1－q n）1－q＝a11－q－a11－q·q n知②不正确，③正确．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2 (n＝1，2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解：因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）.解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝1，前n 项和为S n ，b n ＝1S n. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }前n 项和为T n ，求T n .解：因为等差数列{a n }中a 1＝1，公差d ＝1.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋n 2. 所以b n ＝2n 2＋n. (2)b n ＝2n 2＋n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2⎝ ⎛1－12＋12－13＋13－14＋…＋⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2. 当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1，aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n ，此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1. 21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)． (2)由(1)知：a n ＝3n－12，所以1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________．解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数，则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

2020-2021版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质及应用练习新人教A版必修5

第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=π,则cos a3=()A. B. C.- D.解析因为{a n}是等差数列,所以a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=3a3=π,所以a3=,故cos a3=cos.答案D2.设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则由a n+b n所组成的数列的第37项的值为()A.0B.37C.100D.-37解析设c n=a n+b n,{c n}也是等差数列,设其公差为d,则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.故d=c2-c1=0.故c n=100(n∈N*).从而c37=100.答案C3.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m等于()A.8B.4C.6D.12解析因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8.答案A4.(2021·江西九江一中月考)已知等差数列{a n}满足a m-1+a m+1--1=0,且m>1,则a1+a2m-1=()A.10B.9C.3D.2解析由等差数列的性质知, a m-1+a m+1=2a m,则2a m--1=0,即(a m-1)2=0,解得a m=1.所以a1+a2m-1=2a m=2,故选D.答案D5.已知等差数列{a n},{b n}的公差分别为2和3,且b n∈N*,则数列{}是()A.等差数列,且公差为5B.等差数列,且公差为6C.等差数列,且公差为8D.等差数列,且公差为9解析依题意,得=a1+(b n-1)×2=2b n+a1-2=2b1+2(n-1)×3+a1-2=6n+a1+2b1-8,故=6,即数列{}是等差数列,且公差为6,故选B.答案B6.在等差数列{a n}中,a3,a8是方程x2-3x-5=0的两个根,则a1+a10=.解析依题意,得a3+a8=3,所以a1+a10=a3+a8=3.答案37.已知等差数列{a n}共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则公差是.答案48.若数列{a n}是等差数列,a3+a4+a5=12,则a1+a2+…+a7=.解析∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,∴a1+a2+…+a7=7a4=28.答案289.已知等差数列2,6,10,…,190,…和等差数列2,8,14,…,200,…,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{a n},则数列{a n}的通项公式a n=.解析两个等差数列的公共项为2,14,26,…,即新数列的首项为2,公差为12,故a n=2+(n-1)×12=12n-10.答案12n-1010.导学号04994031在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+2n.设b n=,证明{b n}是等差数列,并求数列{a n}的通项公式.解由a n+1=2a n+2n,得b n+1=+1=b n+1.又b1=a1=1,所以{b n}是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,故a n=n·2n-1.B组1.在等差数列{a n}中,若a13=3,a2+a42=21,则a19=()A.11B.10C.9D.8解析因为a13+a2+a42=a13+a17+a27=a17+a19+a21=3a19=24,所以a19=8.答案D2.(2021·广东中山一中月考)已知等差数列{a n},a2=2,a4=8,若=3n-1,则b2 017=()A.2 016B.2 017C.2 018D.0解析由a2=2,a4=8,得数列{a n}的公差d==3,所以a n=2+(n-2)×3=3n-4,所以a n+1=3n-1.又数列{a n}的公差不为0,所以数列{a n}为单调数列,所以结合=3n-1,可得b n=n+1,故b2 017=2 018.故选C.答案C3.设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0解析设b n=,则b n+1=,由于{}是递减数列,因此b n>b n+1,即.∵y=2x是单调增函数,∴a1a n>a1a n+1,∴a1a n-a1(a n+d)>0,∴a1(a n-a n-d)>0,即a1(-d)>0,∴a1d<0.答案D4.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析不妨设角A=120°,c<b,则a=b+4,c=b-4,于是cos 120°==-,解得b=10,所以a=14,c=6.所以S△ABC=bc s in 120°=15.答案155.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列,则=.解析由题意,得a1-a2=,b1-b2=,所以.答案6.已知中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 017,则该数列的首项为.解析设等差数列为{a n},若这组数有(2m+1)个,则a m+1=1 010,a2m+1=2 017.又a1+a2m+1=2a m+1,即a1+2 017=2×1 010,所以a1=3;若这组数有2m个,则a m+a m+1=1 010×2=2 020,a2m=2 017.又a1+a2m=a m+a m+1,即a1+2 017=2 020,所以a1=3.综上,该数列的首项为3.答案37.古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”求该问题中未到三人共得金多少斤.解由题意,得{a n}为等差数列,则解得所以a4+a5+a6=a1+a2+a3+9d=4+9×.故未到三人共得金斤.8.导学号04994032已知{a n}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若从数列{a n}中,依次取出第2项、第4项、第6项、…、第2n项,按原来顺序组成一个新数列{b n},试求出{b n}的通项公式.解(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,∴a n=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.∴{b n}是以4为首项,4为公差的等差数列.∴b n=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

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等比数列测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在等比数列｛a 」中,+a 2 =29a 3+a 4 =50,则公比g 的值为等比数列｛%｝中，a n > 0, a 3a 4 = 4,则 log 2 Oj 4- log 2 a 2 + • + log 2 a 6 值为5.等比数列｛咳｝中勺=9,侏=243,则｛色｝的前4项和为1.A. 25B. 5C. -5D. 土52.3.4. C. 7 =10,為+兔=则数列｛a n ｝的通项公式为 ~=2心 C.讣2 已知等差数列｛①｝的公差为2,若％,成等比数列，则色=A. 5B. D. 8 A. a fl = 24~nB. D. 3, A. -4 B. -6C. -8D. -10A. 81B. 120C. 140D. 192 6.设等比数列｛色｝的前料项和为若 S 6:53=l:2,则 S 9:S 3 = C. 3:4 D. A. 1:2 B. 2:3 7.已知等比数列｛ %｝的首项为8, S “是其前〃项的和，某同学经计算得52=20, 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 A. $ B. S 2 C. S3 1:353=36, ( 54=65，)D. S4 8.已知/（Q 二加+ 1为兀的一次函数，b 为不等于1 的常量，且g （n ）= <（心0）,设 a n =^(n)-g(n-l)(«e N )则数列他｝为A.等差数列B.等比数列C.递增数列 9.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10 H 到银行存入。

元定期储蓄，若年利率为"且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将D.递减数列所有的存款及利息全部取冋，则可取冋的钱的总数（元）为 ( )A ・a(\ + p)1 B. «(1 + /?)8c. —［（1+卩）7 -（1+P ）］ D . —r （1+p ）8 -（1+p ）~|P 」10.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a + b + c 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.已知等比数列｛aj,a 2>a 3=l,则使不等式 (山--) + (d ・ ---- ) + •• ・ + (a 〃 -—) n 0A. 4B. 5C. 6D. 712.在等比数列｛陽｝中,公比gHl,设前〃项和为S”,则x = S； + Sj, y = S2（54 + S6）的大小关系是（）A. x> yB. x= yC. x< yD.不确定第II卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13.等比数列仏”｝的前斤项和S〃二a・2"+d — 2,则色二 ______ :14.已知数列前斤项和必=2"—1,则此数列的奇数项的前刃项的和是____________15.已知等比数列｛%｝及等差数列｛$｝,其中/,.=（）,公差〃工（）.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1, 1, 2,…，则这个新数列的前10项之和为____________________ .16.如果b是a与C的等差中项，y是兀与Z的等比中项，月？,x,z都是正数，则0 一c） log w:兀 + （c 一a） log,” y + （a一b） log w z 二（m>0,m^L）三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知数歹ij ｛a…｝, ｛b n｝满足a】=2, a2 =4, h n = a n+i - a n, b n+｛ = 2b n +2.（12 分）（1）求证:数列｛久+2｝是公比为2的等比数列;（2）求给.18.已知数列仏｝的前n项和为S〃,S” =丄（色一1）（必M）. （12分）（1）求（2）求证数列仏｝是等比数列.+ 219.数列｛禺｝的前n项和记为S”己知G = l, a n+i= -----------S n5=1, 2, 3,…）•证明：（12分）nS（1）数列｛」｝是等比数列；（2）盼1=4如n20.已知数列｛a“｝满足：a x,且a” - a n_x =厶.（12分）2 2（1）求a2,a3f©；（2）求数列｛%｝的通项色.21.已知数列｛a“｝是等差数列,且% =2,%+偽+偽=12・（12分）（1）求数列｛色｝的通项公式;（2）令b n=a n x n（xe /?）・求数列｛仇｝前n项和的公式.22.甲、乙、丙3人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球.（14分）（1）若经过5次传球后，球仍冋到甲手小，则不同的传球方式有多少种？（2）设第n次传球后，球回到甲手小不同的传球方式有如种，求％答案一、选择题1. B2. D 3・ A 4. B 5. B 6. C 7. C 8. B 9. D 10. A ll.B 12.B二、填空题三、解答题17. (1)由处=级+2得如出=如兰=2, A ｛b n + 2)是公比为2的等比数列.久+ 2 b n +2(2)由(1)可知 b“+2 = 4・2”T =2"+1 . :.b n =2n+1-2.则 a fl+l =2,,+1 - 2.令兀二1, 2,・••/?— 1,贝0 ci2 -a\ =22 -2,f73 -«2 =23 -2,«--a n -a n -\ =2n - 2 ,各式相加得=(2 + 22 +23 +... + 2")-2(w-l) = 2,,+l -2-2n + 2 = 2,t+i -2n .18. (l)|l ：| S] = —(Q] — 1)，得 — — (t?j ~ 1), d x — --- , 乂 S?=—(①一1)， 3 3 2 3即务 +a 2 = —(a 2 _ 1),得 a?=—. I(2)当n»时,"—冷⑷-1)*”,得介T ，所％｝是首项弓公比为冷的等比数列•19. (1) 由 ai= 1 ,a n+i= - S n (n= 1,2,3, …)，a2=^^-Si=3a h ^- = —= 2, — = 1,= 2 .n 12 2 1、 T又 a n+i=S n+rS n (n= 1,2,3» …)，则 S n+i-S n =-^i^ S…(n=l,2,3, •••), /.nS n+1=2(n+l)S n n21. (1)设数列[a n ]公差为 d ，则 a x +a 2 +a 3 = 3q + 3d = 12,又q = 2,d = 2.所以= In.(2)令 S” 二也 + 仇 + …+ 仇，则由仇=a n x n = 2nx n ,得 S” = 2x + 4x 2+--(2n-2)x n '] + 2nx n ,① = 2x 2 + 4x 3 4-+ (2n-2)x H + 2/u ,,+l ,② 当兀幻时， ①式减去②13. 2灯1 ° 「(27). 15, 978. 16. 0. ^J- = 2(n=l,2,3,…).n 故数列｛警｝是首项为1，公比为2的等比数列•(2) 由(I)知，A±L = 4.A Z L (H >2),于是 S n+i=4(n+l) •乩=4^01^2).// +1 W-1 川一 1又a 2=3S|=3,则S2=ai+a 2=4=4a h 因此对于任意正整数n>l 都有S n+i=4a n ._15 “、 _ 1 _ 1 _ 1 =©•(2)。

山西省高中数学人教新课标A版必修5第二章数列2.4等比数列同步练习

山西省高中数学人教新课标A版必修5 第二章数列 2.4 等比数列同步练习姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）已知等比数列满足，则（）A . 64B . 81C . 128D . 243．2. （2分）定义在（—， 0）（0，+）上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{}，{）仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在（—， 0）（0，+）上的如下函数：①;②；③；④f(x)=|inx|．则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为（）A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④3. （2分）在等差数列{an}中，n≥2，公差d＜0，前n项和是Sn ，则有（）A . nan＜Sn＜na1B . na1＜Sn＜nanC . Sn≥na1D . Sn≤nan4. （2分）已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前n项和，则的值为（）A . 2B . 3C .D . 不存在5. （2分）已知f（x）=，则f（）的值是（）A . 0B . 1C .D . -6. （2分）若1既是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（）A . 1或B . 1或C . 1或D . 1或7. （2分） (2016高一下·临川期中) 已知数列{an}满足：，对于任意的n∈N* ，，则a999﹣a888=（）A .B .C .D .8. （2分）(2016高二上·吉林期中) 等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A . 12B . 10C . 8D . 2+log359. （2分） a,b,c成等比数列，其中则b=（）A . -1B . 1C . 5D . 1或-110. （2分）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。

人教A版高中数学必修五第二章数列测试题 (1).docx

高中数学学习材料唐玲出品姓名______ 学号_______ 班级______ 第二章数列测试题（1）命题洞口三中方锦昌一、选择题 1、设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==,则数列{}n a 前8项的和为( )A.128B.80C.64D.562、记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（）A 、2B 、3C 、6D 、7 3、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（） A ．2B ．4C ．215 D ．217 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275、在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6、若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 7、已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++=( ) （A ）16（n --41）（B ）16（n --21）（C ）332（n --41）（D ）332（n--21）8、非常数数列}{n a 是等差数列，且}{n a 的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为（） A ．51 B ．5 C ．2 D ．219、已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（）A ．0B ．3-C ．3D ．23 10、在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,黑、白两只蚂蚁均从点A 出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA 1⇒A 1D 1⇒D 1C 1⇒…；黑蚂蚁的爬行路线是AB ⇒BB 1⇒B 1C 1⇒…,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i 段所在的直线必为异面直线(其中i 为自然数),设黑、白蚂蚁都爬完2008段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 ( )A 1B 2C 3D 0二、填空题 11．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________ 12．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________。

高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案

等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)，∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2).∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， ∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________. 解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m ＝2.答案：29．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A. 3 B．±3C．－33D．－ 3解析：选D由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列，公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。

2019-2020学年人教A版高中数学必修五习题：第二章2.5第2课时等差、等比数列的综合应用 Word版含答案

第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第2课时等差、等比数列的综合应用A 级基础巩固一、选择题1．数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9答案：D2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( )A.13B.512C.12D.712解析：因为a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，所以b n ＝1an ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋111×12＝12－112＝512.答案：B3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9.() A ．99 B ．98 C ．97 D ．96解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n＋1－n （n ＋1－n ）（n ＋1＋n ）＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. 令n ＋1－1＝9⇒n ＋1＝100，所以n ＝99.答案：A4．数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）·（3n ＋2），…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2解析：因为1（3n －1）·（3n ＋2）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和 S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4. 答案：B5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31 解析：a n ＝log 2n ＋1n ＋2，所以S n ＝a 1＋…＋a n＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34·…·n ＋1n ＋2 ＝log 22n ＋2，令S n <－5，则log 22n ＋2<－5，所以n ＋2>26＝64，所以n >62，故n 的最小值为63.答案：B二、填空题6．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1（n 为正奇数）2n －1（n 为正偶数），则它的前n 项和S n ＝________．解析：易知数列{a n }的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．(1)当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项有n －12项，所以S n ＝1－4n ＋121－4＋（n －1）×32＋n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－12· 4＝2n ＋1－13＋n2－n 2； (2)当n 为偶数时，奇数项、偶数项各有n 2项，所以S n ＝1－4n 21－4＋n 2×3＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－12×4＝2n －13＋n2＋n 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1－13＋n2－n 2（n 为奇数），2n －13＋n2＋n 2（n 为偶数）7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n 2＋3)－2，那么log 23是这个数列的第________项．解析：令a n ＝log 23⇒log 2(n 2＋3)－2＝log 23⇒n 2＋3＝12，所以n 2＝9，n ＝3. 答案：38．下列命题中正确命题为________(填序号)． ①常数列一定是等比数列；②等比数列前n 项和S n ＝a1（1－qn ）1－q (其中a 1为首项，q 为公比)；③前n 项和S n 为n 的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．答案：④三、解答题9．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)由题意，得2a 2＝a 1＋a 3－1，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－1，整理得2q ＝q 2.又q ≠0，解得q ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)当n ＝1时，b 1＝a 1＝1；当n ≥2时，nb n ＝a n －a n －1＝2n －2，即b n ＝2n －2n，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2n，n≥2. 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －5（n 为奇数），4n （n 为偶数），求S n .解：①当n 为奇数时，S n ＝＋(42＋44＋…＋4n －1)＝（1＋6n －5）2·n ＋12＋42（4n －1－1）42－1＝（n ＋1）（6n －4）4＋4n ＋1－1615＝（n ＋1）（3n －2）2＋4n ＋1－1615. ②当n 为偶数时，S n ＝＋(42＋44＋…＋4n －1＋4n )＝n （3n －5）2＋4n ＋2－1615.B 级能力提升1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 解析：因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，所以a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝lnn ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n . 答案：A2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，所以q 3＝a4a1＝－8，所以q ＝－2，所以a n ＝12(－2)n －1，所以|a n |＝2n －2，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n －12. 答案：2n －123．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（an ＋1）n ＋1（bn ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b1＋d ，17＝2b1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，得T n ＝3×， 2T n ＝3×，两式作差，得－T n ＝3×＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（2n －1）2－1－（n ＋1）×2n＋2＝－3n ·2n ＋2 所以T n ＝3n ·2n ＋2。

人教A版高中数学必修五同步练测：第二章数列本章练测(含答案解析).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章同步练测（人教A 版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1.数列{}21n +的第40项40a 等于( )A.9B.10C.40D.412.在等差数列{23}n －中，公差d 等于( ) A.2 B.3 C.－1 D.－33.已知数列{}n a 的通项公式是2n n a ＝，n S 是数列{}n a的前n 项和，则10S 等于( ) A.10 B.210C.210－2D.211－24.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项1a ＝3，前三项和为21，则3a ＋45a a +＝( ) A ．33B ．72C ．84D ．1895.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a成等差数列．若11a ＝，则4S 等于( )A.7B.8C.15D.166.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a ＋＝，则19S 的值是( )A.55B.95C.100D.不确定7.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，12380a a a ＝，则111213a a a ＋＋等于( )A.120B.105C.90D.758.数列是首项1a ＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果n a ＝2 005，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6709.已知三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab等于( )A.－2B.2C.－4D.410．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n ＝1,2，…，且25252n n a a －＝（n ≥3)，则当n ≥1时，2123log log a a ＋＋…＋221log n a －等于( )A.(21)n n －B.2(1)n ＋C.2nD.2(1)n －11.在一条笔直的公路上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.4 12.若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，20072008a a >＋0， 2 007 2 0080a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若数列{}n a 的前n 项和222n S n n ＝－＋，则通项公式n a ＝________.14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若 2 006a 和 2 007a 是方程24830x x －＋＝的两根，则 2 008 2 009a a ＋＝_____.15.在等差数列{}n a 中，若1248S S ＝，且0d ≠，则1ad＝________． 16.在等比数列{}n a 中： (1)若345a a a ⋅⋅＝8，则234a a a a a⋅⋅⋅⋅＝；(2)若12a a +＝324，34a a +＝36，则56a a +＝；(3)若n S 为{}n a 的前n 项和，4S ＝2，8S ＝6，则17181920+++=a a a a .三、解答题(共70分)17．(10分)已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三个数．18．(12分) (1)已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝232-，n n 求证：数列{}n a 是等差数列. (2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证：a c b +，ba c +，cba +也成等差数列. 19．(12分)已知数列{}n a 是等差数列，25618a a ＝，＝；数列{}nb 的前n 项和是n T ，且n T ＋12n b ＝1.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：数列{}n b 是等比数列．20．(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米？21．(12分)设1a ＝1，2a ＝53，2n a +＝531n a +－23na*()n ∈N ．(1)令1n n n b a a ＋＝－*()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S .22．(12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．第二章同步练测（人教A版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第二章同步练测（人教A 版必修5）答案一、选择题1.A 解析：40a ＝2×40＋1＝81＝9.2.D 解析：设23n a n ＝－，则1[23(1)](23)3n n a a n n ＋－＝－＋－－＝－. 3.D 解析：∵ 11222n n n n a a ++==，∴ 数列{}n a 是公比为2的等比数列且1a ＝2，∴ 1011102(12)2212S -==--. 4.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞0)，由题意得1a ＋23a a +＝21，即1a (1＋2q q +)＝21.又1a ＝3，∴ 1＋2q q +＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴ 345a a a ++＝a 1q 2(1＋2q q +)＝3×22×7＝84．5.C 解析：设公比为q ，由于1234,2,a a a 成等差数列，则21344a a a ＝＋，所以244q q ＝＋，解得2q ＝.所以4414(1)1215112a q S q --==--＝.6.B 解析：∵ 317119a a a a ＋＝＋，∴ 1191919()2a a S +＝＝192×10＝95.7.B 解析：∵ 12315a a a ＋＋＝，即32a ＝15，∴ 2a ＝5.又123a a a ＝80，∴ 13a a ＝(5)(5)d d －＋＝16.又数列{}n a 是公差为正数的等差数列，∴ d ＝3. ∵ 1221035a a d =+=，∴ 111213123105a a a a ++==.8. C 解析：由题意知2 005＝1＋3(n －1)，∴ n ＝669．9.D 解析：∵ 2b a c ＝＋，∴ 2c b a ＝－.∵ 2c ab ＝，∴ 22540a ab b －＋＝，∴ a b ＝(舍去)或4a b ＝，∴ ab＝4.10.C 解析：设公比为q ，则42622225251112n n n n a a a q a q a q ---=⋅==，所以112n n a q -=，即2n n a =，所以原式=2132122132122log ()log 2log 2n n n a a a n +++--===.11.A 解析：设将小旗集中到第x 面小旗处，则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x －1)m ，然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x －2)m ，…，从第（x －1）面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ，从第x 面小旗处到第(1)x ＋面小旗处来回的路程为20 m ，从第x 面小旗处到第(2)x ＋面小旗处的来回路程为20×2 m ，…. 总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯＝－＋－＋－＋＋＋＋＋＋－10(1)x ＝－＋(2)(1)202x x --⋅＋(13)(14)202x x --⋅＝210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x －＋－－＋－－＝－＋229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝.∵ *x ∈N ，∴ 当x ＝7时，s 有最小值为780 m ，即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短． 12.B 解析：由已知10a >， 2 007 2 0080a a <，可得数列{}n a 为递减数列，即0d <， 2 0070a >， 2 0080a <.利用等差数列的性质及前n 项和公式，得1 4 014 2 007 2 0084 014()4014() 4 014022a a a a S +⨯ +⨯==>，1 4 0154 015() 4 0152a a S +⨯== 2 0084 0150a <，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4 014，故选B.二、填空题13.1,1,23,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：当n ＝1时，11a S ＝＝1；当n ≥2时，221(22)[(1)2(1)2]23n n n a S S n n n n n －＝－＝－＋－－－－＋＝－. 又当n ＝1时，2n －3≠1a ，所以1,1,23, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14.18 解析：方程24830x x －＋＝的两根是x =12或x =32.又1q >，所以 2 00612a =.所以 2 0072 0063aq a ==.所以2 008 2 009a a +=2 2 006 2 007()18q a a +=.15.910 解析：∵ 1211266S a d ＝＋，4146S a d ＝＋，又124=8S S ，∴ 1112663248a d a d ＋＝＋.∴12018a d ＝.∴1910a d =. 16.（1）32 （2）4 （3）32 解析：（1）由35a a ⋅＝24a ，得4a ＝2，∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ，，∴ 56a a +＝(12a a +)4q ＝4．（3）2＝6＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅，， ∴ 17181920a a a a +++＝164S q ＝32．三、解答题17.解：设这三个数分别为,,a a aq q .由题意，得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18. 分析：判定给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：（1）n ＝1时，11a S =＝3－2＝1；当n ≥2时，1n n n a S S -=-＝322n n -－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. n ＝1时，亦满足，∴ n a ＝6n －5*()n ∈N ．首项1a ＝1，n a －1n a -＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)， ∴ 数列{}n a 是等差数列且1a ＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴ b 2＝a 1＋c 1，化简得2ac ＝()b a c +．∴ a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b ca ＋，∴ a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列．19.(1)解：设{}n a 的公差为d ，则116,418,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n ＝＋－＝－.(2)证明：当n ＝1时，11b T ＝，由11112T b ＋＝，得123b ＝；当n ≥2时，∵ 112n n T b ＝－，11112n n T b －－＝－，，∴ 111()2n n n n T T b b －－－＝－．∴ 11()2n n n b b b －＝－．∴ 113n n b b －＝..∴ 数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列．20.解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列，其中1a ＝250，d ＝50，则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯＝＋＝＋. 令225225 4 750n n ＋＝，即291900n n ＋－＝，解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴ n ＝10.故到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米．21.解：(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ＋＋＋＋＋＋＝－＝－－＝－＝，所以数列{}n b 是首项为12123b a a ＝－＝，公比为23的等比数列，所以*2(N )3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝nn b n ．（2）由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =，所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以*123(N )3-=-∈n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②，得2112222221313333333n n n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⋅⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+⋅=+++=++++-=++-）2.22. 解：（1）由题设2312a a a =+，即221a q ＝1a ＋1a q . ∵ 1a ≠0，∴ 221q q --＝0，∴ q ＝1或q ＝－21．（2）若q ＝1，则2n S n =＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝22＋1－))((n n ＞0，故n S ＞n b ．若q ＝－21，则2n S n =＋21－)(n n ⨯ (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝4－11－)0)((n n .故对于*∈N n ，当2≤n ≤9时，n S ＞n b ；当n ＝10时，n S =n b ；当n ≥11时，n S <n b ．。

【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式(含答案)

第二章数列2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通n 项公式A 级基础巩固一、选择题1．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14. 答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d .由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )，则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2＝3.答案：C3．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，所以log 2b 2＝log 2ac即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，所以log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．答案：A4．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．±6D ．±12解析：a ＝1＋22＝32， b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，所以ab ＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：设第n 年的研发投资资金为a n ，a 1＝130，则a n ＝130×1.12n －1，由题意，需a n ＝130×1.12n －1≥200，解得n ≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________．解析：a 4＝a 1q 3＝18×23＝1， a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q ，由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得⎩⎨⎧a 1（1＋q 2）＝10，a 1q （1＋q 2）＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝8n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －1）2＝2－12n 2＋72n ，于是当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q ＞0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3.q ＝2q ，所以2q ＋2q ＝203. 解得q ＝13或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，所以a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94. 又因为a 1<0，所以a 1＝－32. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)． (2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项． B 级能力提升1．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：A2．已知等比数列{a n }，若a 3a 4a 8＝8，则a 1a 2…a 9＝________．答案：5123．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n ，αβ＝1a n .代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…. 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

高中数学 2章整合课后练习同步导学新人教A版必修5

第2章(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等比数列{a n}中，a5a14＝5，则a8a9a10a11＝( )A．10 B．25C．50 D．75解析：∵a8a11＝a9a10＝a5a14＝5，∴a8a9a10a11＝(a5a14)2＝25.答案： B2．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝( )A．45 B．50C．75 D．60解析：由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.答案： B3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A．5 B．4C．3 D．2解析：∵S偶－S奇＝5d，∴5d＝15，∴d＝3.答案： C4．在等差数列{a n}中，设公差为d，若前n项和为S n＝－n2，则通项和公差分别为( ) A．a n＝2n－1，d＝－2 B．a n＝2n－1，d＝2C．a n＝－2n＋1，d＝－2 D．a n＝－2n＋1，d＝2解析：a n＝S n－S n－1＝－n2－[－(n－1)2]＝－2n＋1(n>1，n∈N*)．当n＝1时，a1＝S1＝－1满足上式，显然d＝－2.答案： C5．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )A ．16B ．81C ．36D ．27解析： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝1－a 1a 1q 3＝9－a 1q2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝3.∴a 4＋a 5＝14×33＋14×34＝27.答案： D6．已知数列{a n }的前三项依次是－2,2,6，前n 项的和S n 是n 的二次函数，则a 100＝( ) A ．394 B ．392 C ．390D ．396解析：设S n ＝an 2＋bn ＋c ，又a 1＝－2，a 2＝2，a 3＝6，∴c ＝0⇒{a n }为等差数列，公差为4， ∴a 100＝－2＋99×4＝394. 答案： A7．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．60B ．24C ．18D ．90解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 42＝a 3×a 7，S 8＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋8×72×d ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.S 10＝10×(－3)＋10×92×2＝60，故选A. 答案： A8．数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3，a 1＝0，则此数列的第5项是( ) A ．255 B ．15 C ．20D ．8解析：设a n ＋a ＝4(a n －1＋a )，即a n ＋a ＝4a n －1＋4a ，a n ＝4a n －1＋3a ，又a n ＝4a n －1＋3，∴a ＝1， ∴a n ＋1＝4(a n －1＋1)．∴a n ＋1＝(a 1＋1)×4n －1＝4n －1，∴a n ＝4n －1－1，∴a 5＝45－1－1＝255.答案： A9．某人有人民币a 元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n 年后他所拥有的人民币总额为______元(不包括a 元的投资)( )A ．4a (1.06n－1) B ．a (1.06n－1) C ．0.24a (1＋6%)n －1D ．4(1.06n－1)解析：设n 年后他拥有的红利与利息之和为a n 元．则a 1＝a ·24%＝0.24a ；a 2＝a ·24%＋a 1(1＋6%)＝0.24a ＋0.24a ·1.06； a 3＝a ·24%＋a 2·1.06＝0.24a ＋0.24a ·1.06＋0.24a ·1.062； …a n ＝0.24a ＋0.24a ·1.06＋0.24a ·1.062＋…＋0.24a ·1.06n －1＝0.24a (1＋1.06＋1.062＋…＋1.06n －1)＝0.24a ·1－1.06n1－1.06＝4a (1.06n－1)答案： A10．数列1,2＋12，3＋12＋14，…，n ＋12＋14＋…＋12n －1的前n 项和为( )A ．n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1B.12n 2＋32n ＋12n －1－2 C.12n 2＋12n ＋12n －1－2 D ．n ＋12n －1－1解析：此数列的第n 项为a n ，则a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝n ＋12＋14＋…＋12n －1＝n ＋12－12n 1－12＝n ＋1－12n －1，也适合n ＝1，故a n ＝n ＋1－12n －1.∴该数列的前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－120＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋1－121＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋1－122＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1－12n －1＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝nn＋12＋n －1－12n1－12＝12n 2＋32n ＋12n －1－2. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．递减等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n 最大，则n ＝______. 解析：方法一：∵S 5＝S 10，∴S 10－S 5＝0，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴5a 8＝0，从而a 8＝0，又{a n }是递减数列，故a 1>a 2>…>a 7>a 8＝0>a 9>…，要使S n 最大，故n ＝7或8时，S 7＝S 8最大．方法二：∵{a n }为递减等差数列，且S 5＝S 10,∴公差d <0，S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .如图，抛物线的对称轴为n 0＝5＋102＝7.5，不是整数，由对称性知，S 7＝S 8且最大，∴n＝7或8.答案： 7或812．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为________．解析： ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t .∵{a n }为等比数列，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15·4t ，∴t ＝5或t ＝0(舍去)．答案： 513．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －7<0⇒n <3.5， ∵n ∈N *，∴n ＝1,2,3，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝S 15－2S 3＝153.答案： 15314．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任何m ，n ∈N *，都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26，其中正确的个数是________个．解析： ∵f (1,1)＝1且f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴数列{f (m,1)}构成以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴f (5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；当m ＝1时，条件①变为f (1，n ＋1)＝f (1，n )＋2，又f (1,1)＝1，∴数列{f (1，n )}是以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴f (1,5)＝f (1,1)＋4×2＝9.故(1)正确． ∵f (5,1)＝16，f (5，n ＋1)＝f (5，n )＋2， ∴{f (5，n )}也成等差数列． ∴f (5,6)＝16＋(6－1)·2＝26， ∴(3)正确，故有3个正确．答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)数列{a n }为等差数列，且a n 为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，b 1＝1，数列{ba n }是公比为64的等比数列，S 2b 2＝64.试求{a n }，{b n }的通项公式．解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝qn －1，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ba n ＋1ba n ＝q 2＋ndq2＋n －1d ＝q d ＝64＝26 ①S 2b 2＝6＋d q ＝64 ②，由(6＋d )q ＝64，知q 为正有理数，又q d＝26，故d 为6的因子1,2,3,6之一，由①②，解得d ＝2，q ＝8，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.16．(本小题满分12分)设f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝f 2(n )，数列{b n }中，b 1＝2，b n ＝f 1(b n －1)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －1}是等比数列．解析： (1)S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，故a n ＝2n －1.(2)证明：由题意知b n ＝2b n －1－1，即b n －1＝2(b n －1－1)，即b n －1b n －1－1＝2，∵b 1－1＝1，∴{b n －1}是以2为公比，以1为首项的等比数列． 17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)(1)令b n ＝a n2n ，求证：{b n }是等差数列；(2)在(1)的条件下，设T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解析： (1)证明：由a n ＝2a n －1＋2n ＋1得a n 2n ＝a n －12n －1＋2， ∴a n 2n －a n －12n －1＝2(n ≥2)．又b n ＝a n2n ，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知b n ＝2n －1， ∴1b n b n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分14分)设数列{a n }为等比数列，T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，已知T 1＝1，T 2＝4.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)求数列{T n }的通项公式．解析： (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，由⎩⎪⎨⎪⎧T 1＝1，T 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，2a 1＋a 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝2，∴q ＝2.故首项a 1＝1，公比q ＝2.(2)方法一：由(1)知a 1＝1，q ＝2， ∴a n ＝a 1×qn －1＝2n －1.∴T n ＝n ×1＋(n －1)×2＋…＋2×2n －2＋2n －1，①2T n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋2×2n －1＋1×2n，② 由②－①得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋2－2×2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝－(n ＋2)＋2n ＋1.方法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，由(1)知a n ＝2n －1，∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋ (2))－n＝2－2×2n 1－2－n ＝－(n ＋2)＋2n ＋1.。

数学人教A版必修5练习第二章2.5第2课时等差、等比数列的综合应用 Word版含解析

第二章数列
等比数列的前项和
第课时等差、等比数列的综合应用
级基础巩固
一、选择题
．数列＝，其前项之和为，则项数为( )
．．．．
答案：．已知等比数列{}的首项为，公比为，前项和为，则数列
的前项和为( )
．－
．－解析：数列的首项为，公比为，它的前项和为＝＝，又＝，
所以＝·＝－·.
答案：．数列{}的通项公式＝，则该数列的前项之和等于.( )
．．．．
解析：＝＝＝
－，
所以＝＋＋＋…＋＝
(－)＋(－)＋…＋(－)＝－.
令－＝⇒＋＝，所以＝.
答案：
．数列，，，…，，…的前项和为( )
解析：因为＝
，得前项和
＝(－＋－＋－＋…＋－)＝＝.
答案：．已知数列{}的前项和为＝－＋－＋－＋…＋(－)－(－)，则＋
－的值是( )
．．－．．
解析：＝－×＋＝－＋＝，＝－×＝－，＝－×＋＝－×＋＝，
＋－＝－－＝－.
答案：
二、填空题
．求和：＋＋＋…＋＝．
解析：＋＝[＋＋…＋(＋)]＋＝＋＋－.
答案：＋＋－．已知数列{}的通项公式为＝(＋)－，那么是这个数列的第项．
解析：令＝⇒(＋)－＝⇒＋＝，所以＝，＝.
答案：
．下列命题中正确命题为(填序号)．
①常数列一定是等比数列；②等比数列前项和＝
(其中为首项，为公比)；③前项和为的二次函数的数列一定是等差
数列；④不可能是任何等比数列的一项．
答案：④
三、解答题．已知数列{}的通项公式＝，试问：该数列的前多少项之和最。

【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.5第2课时等差、等比数列的综合应用(含答案)

第二章数列2.5等比数列的前n 项和第 2 课时等差、等比数列的综合应用A基稳固一、．数列n＝1，其前 n 之和9，数 n ()1a n（n＋1）10A．12 B．11 C．10 D．9答案： D2．数列 {a n }、{b n }足 a n b n＝1，a n＝n2＋3n＋2， {b n}的前 10之和 ()1517A.3B.12C.2D.12分析：因 a n＝(n＋1)(n＋2)，1111因此 b n＝a n＝＝－，（n＋1）（ n＋2） n＋1n＋2111115因此S10＝2×3＋3×4＋⋯＋11×12＝2－12＝12.答案： B．数列n的通公式n ＝1，数列的前 ________ 3{a }a n＋ n＋1之和等于 9.()A．99 B．98 C．97 D ．961＝n＋1－ n＝分析： a n＝＋－）（＋n＋ n＋1（n n ＋）1n1n n＋1－n，因此 S n＝a1＋a2＋a3＋⋯＋a n＝( 2－1)＋( 3－2)＋⋯＋( n＋1－n)＝n＋1－1.令 n＋ 1－1＝9? n＋1＝100，因此 n＝99.答案： A4．数列1111×，5×，×，⋯，（3n－1）·（3n＋2），⋯的258811前 n 和 ()n nA.3n＋ 2B.6n＋43n n＋1C.6n＋4D.n＋ 2 1分析：因＝（3n－1）·（3n＋2）111－3n＋2，得前 n 和3 3n－11 11111111 1 11S n＝3(2－5＋5－8＋8－11＋⋯＋3n－1－3n＋2)＝3 2－3n＋2n＝.6n＋4答案： Bn＋15．已知数列 {a n }的通公式 a n＝log2n＋2(n∈N* )， {a n}的前 n和 S n ，使 n－ 5 建立的正整数n()S < A ．有最大 63 B ．有最小 63 C ．有最大 31D ．有最小 31n ＋1分析： a n ＝log 2，n ＋2因此 S n ＝a 1＋⋯＋a n23n ＋1＝ log 23＋ log 24＋⋯＋log 2n ＋22 3n ＋12 ··⋯·＝ log 3 4n ＋ 2＝2 2 ，令n<－5， log 22<－5，logSn ＋2n ＋2因此 n ＋2>26＝64，因此 n>62，故 n 的最小 63.答案： B二、填空．数列 n 中， n ＝ 2n －1（n 正奇数），它的前 n 和 S n6 {a } a2n －1（n 正偶数）＝ ________．分析：易知数列 {a n }的奇数以1 首， 4 公比的等比数列，偶数是以3 首，4 公差的等差数列．(1)当 n 奇数，奇数有n ＋1n －12 ，偶数有2 ，n ＋1n －1 n －11 － 4 2（－）× 32 ·－1n12·因此 S n ＝＋ 2 ＋21－44＝2n ＋ 1－1n 2－n3 ＋ 2 ；(2)当 n 为偶数时，奇数项、偶数项各有n2项，nn n －1n2因此 S n ＝1－42＋n ×3＋2 2×4＝ 2 －1 ＋ n ＋n .1－42 23 2答案：2n ＋1－1＋n 2－n （n 为奇数），3 22n －1 n 2＋n3 ＋ 2 （n 为偶数）7．已知数列 {a n }的通项公式为 a n ＝log 2(n 2＋3)－2，那么 log 23是这个数列的第 ________项．分析：令 a n ＝log 23? log 2(n 2＋3)－2＝log 23? n 2＋3＝12，因此 n2＝ 9，n ＝3.答案： 38．以下命题中正确命题为 ________(填序号 )．a 1（1－ q n）①常数列必定是等比数列； ②等比数列前 n 项和 S n ＝1－q(此中 a 1 为首项， q 为公比 )；③前 n 项和 S n 为 n 的二次函数的数列必定是等差数列；④ 0 不行能是任何等比数列的一项．答案： ④三、解答题4．(1)求数列 {a n }的通公式；(2)若数列 {b n }足 b1＋2b2＋ 3b3＋⋯＋ nb n＝a n(n∈N* )，求{b n}的通公式 b n.解： (1)由意，得 2a2＝a1＋a3－1，即 2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得 2q＝q2.又 q≠0，解得 q＝2，因此 a n＝2n－1.(2)当 n＝1 ， b1＝a1＝1；当 n≥ 2 ， nb n＝a n－a n－1＝2n－2，2n－2即 b n＝n，1，n＝1，因此 b n＝2n－2n，n≥2.10．已知数列 {a n }的通公式 a n＝求 S n.解：①当 n 奇数，6n－5（n奇数），4n（ n偶数），S n＝[1＋13＋⋯＋(6n－5)] ＋(42＋44＋⋯＋4n－1)＝（1＋6n－5） n＋1 42（4n－1－1）2·2＋42－1＝（n＋1）（ 6n－4） 4n＋1－164＋15＝（n＋1）（ 3n－2） 4n＋1－162＋15.②当 n 偶数，S n＝[1＋13＋⋯＋(6n－11)]＋(42＋44＋⋯＋4n－1＋4n)＝n（3n－5） 4n＋2－16 2＋15.B能力提高．在数列n中，1＝，n＋ 1＝ n＋＋1， a n等于()1{a }a 2 a a ln 1nA．2＋ln n B．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n D．1＋ n＋ln n分析：因 a n＋1＝n＋＋1a ln 1n，1n＋1因此 a n＋1－a n＝ln 1＋n＝ln n＝ln( n＋1)－ln n.又 a1＝2，因此 a n＝a1＋(a2－ a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋⋯＋(a n－a n－1)＝2＋[ln 2 －ln 1 ＋ln 3 －ln 2＋ln 4 －ln 3 ＋⋯＋ln n－ln( n－1)]＝2＋ln n－ln 1 ＝2＋ln n.答案： A12．在等比数列 {a n}中，若 a1＝2，a4＝－ 4，|a1|＋|a2|＋|a3|＋⋯＋|a n|＝________．1分析：因 {a n} 等比数列，且a1＝2， a4＝－ 4，因此3＝a4＝－，因此＝－，因此a n＝1(－2)n－1，q8q22a11（1－2n）因此n|＝2n－2，因此2＝|a＋|a＋|a＋⋯＋|a＝|a1－2 2n－12.2n－1答案：23．(2016 ·山卷 )已知数列 {a n} 的前 n 和 S n＝3n2＋8n，{b n} 是等差数列，且 a n＝ b n＋b n＋1.(1)求数列 {b n }的通公式；（a n＋1）n＋1(2)令cn ＝（b n＋2）n.求数列{c n}的前n和T n.分析： (1)由意知当 n≥2 ， a n＝S n－S n－1＝6n＋5，当 n＝ 1 ， a1＝S1＝11，因此 a n＝6n＋5.数列 {b n }的公差 d，a1＝b1＋b2，由a2＝b2＋b3，11＝2b1＋d，即17＝2b1＋3d，可解得 b1＝4，d＝3，因此 b n＝3n＋1.（6n＋6）n＋1(2)由(1)知 c n＝＝3(n ＋n 1，·＋（3n＋3）n1) 2又 T n＝c1＋c2＋c3＋⋯＋c n，得 T n＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋⋯＋(n＋1)×2n＋1]，2T n＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋⋯＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－ T n＝ 3×[2×22＋23＋24＋⋯＋2n＋1－(n＋1)×2n＋4（2n－1）2＋－（ n＋1）×2n＋2＝－·n＋2]＝3× 42－13n 2因此 T n＝3n·2n＋2。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章同步练测（人教A 版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1.数列{}21n +的第40项40a 等于( )A.9B.10C.40D.412.在等差数列{23}n －中，公差d 等于( ) A.2 B.3 C.－1 D.－33.已知数列{}n a 的通项公式是2n n a ＝，n S 是数列{}n a的前n 项和，则10S 等于( ) A.10 B.210C.210－2D.211－24.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项1a ＝3，前三项和为21，则3a ＋45a a +＝( ) A ．33B ．72C ．84D ．1895.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a成等差数列．若11a ＝，则4S 等于( )A.7B.8C.15D.166.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a ＋＝，则19S 的值是( )A.55B.95C.100D.不确定7.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，12380a a a ＝，则111213a a a ＋＋等于( )A.120B.105C.90D.758.数列是首项1a ＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果n a ＝2 005，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6709.已知三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab等于( )A.－2B.2C.－4D.410．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n ＝1,2，…，且25252n n a a －＝（n ≥3)，则当n ≥1时，2123log log a a ＋＋…＋221log n a －等于( )A.(21)n n －B.2(1)n ＋C.2nD.2(1)n －11.在一条笔直的公路上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.4 12.若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，20072008a a >＋0， 2 007 2 0080a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若数列{}n a 的前n 项和222n S n n ＝－＋，则通项公式n a ＝________.14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若 2 006a 和 2 007a 是方程24830x x －＋＝的两根，则 2 008 2 009a a ＋＝_____.15.在等差数列{}n a 中，若1248S S ＝，且0d ≠，则1ad＝________． 16.在等比数列{}n a 中： (1)若345a a a ⋅⋅＝8，则234a a a a a⋅⋅⋅⋅＝；(2)若12a a +＝324，34a a +＝36，则56a a +＝；(3)若n S 为{}n a 的前n 项和，4S ＝2，8S ＝6，则17181920+++=a a a a .三、解答题(共70分)17．(10分)已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三个数．18．(12分) (1)已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝232-，n n 求证：数列{}n a 是等差数列. (2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证：a c b +，ba c +，cba +也成等差数列. 19．(12分)已知数列{}n a 是等差数列，25618a a ＝，＝；数列{}nb 的前n 项和是n T ，且n T ＋12n b ＝1.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：数列{}n b 是等比数列．20．(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米？21．(12分)设1a ＝1，2a ＝53，2n a +＝531n a +－23na*()n ∈N ．(1)令1n n n b a a ＋＝－*()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S .22．(12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．第二章同步练测（人教A版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第二章同步练测（人教A 版必修5）答案一、选择题1.A 解析：40a ＝2×40＋1＝81＝9.2.D 解析：设23n a n ＝－，则1[23(1)](23)3n n a a n n ＋－＝－＋－－＝－. 3.D 解析：∵ 11222n n n n a a ++==，∴ 数列{}n a 是公比为2的等比数列且1a ＝2，∴ 1011102(12)2212S -==--. 4.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞0)，由题意得1a ＋23a a +＝21，即1a (1＋2q q +)＝21.又1a ＝3，∴ 1＋2q q +＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴ 345a a a ++＝a 1q 2(1＋2q q +)＝3×22×7＝84．5.C 解析：设公比为q ，由于1234,2,a a a 成等差数列，则21344a a a ＝＋，所以244q q ＝＋，解得2q ＝.所以4414(1)1215112a q S q --==--＝.6.B 解析：∵ 317119a a a a ＋＝＋，∴ 1191919()2a a S +＝＝192×10＝95.7.B 解析：∵ 12315a a a ＋＋＝，即32a ＝15，∴ 2a ＝5.又123a a a ＝80，∴ 13a a ＝(5)(5)d d －＋＝16.又数列{}n a 是公差为正数的等差数列，∴ d ＝3. ∵ 1221035a a d =+=，∴ 111213123105a a a a ++==.8. C 解析：由题意知2 005＝1＋3(n －1)，∴ n ＝669．9.D 解析：∵ 2b a c ＝＋，∴ 2c b a ＝－.∵ 2c ab ＝，∴ 22540a ab b －＋＝，∴ a b ＝(舍去)或4a b ＝，∴ ab＝4.10.C 解析：设公比为q ，则42622225251112n n n n a a a q a q a q ---=⋅==，所以112n n a q -=，即2n n a =，所以原式=2132122132122log ()log 2log 2n n n a a a n +++--===.11.A 解析：设将小旗集中到第x 面小旗处，则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x －1)m ，然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x －2)m ，…，从第（x －1）面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ，从第x 面小旗处到第(1)x ＋面小旗处来回的路程为20 m ，从第x 面小旗处到第(2)x ＋面小旗处的来回路程为20×2 m ，…. 总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯＝－＋－＋－＋＋＋＋＋＋－10(1)x ＝－＋(2)(1)202x x --⋅＋(13)(14)202x x --⋅＝210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x －＋－－＋－－＝－＋229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝.∵ *x ∈N ，∴ 当x ＝7时，s 有最小值为780 m ，即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短． 12.B 解析：由已知10a >， 2 007 2 0080a a <，可得数列{}n a 为递减数列，即0d <， 2 0070a >， 2 0080a <.利用等差数列的性质及前n 项和公式，得1 4 014 2 007 2 0084 014()4014() 4 014022a a a a S +⨯ +⨯==>，1 4 0154 015() 4 0152a a S +⨯== 2 0084 0150a <，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4 014，故选B.二、填空题13.1,1,23,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：当n ＝1时，11a S ＝＝1；当n ≥2时，221(22)[(1)2(1)2]23n n n a S S n n n n n －＝－＝－＋－－－－＋＝－. 又当n ＝1时，2n －3≠1a ，所以1,1,23, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14.18 解析：方程24830x x －＋＝的两根是x =12或x =32.又1q >，所以 2 00612a =.所以 2 0072 0063aq a ==.所以2 008 2 009a a +=2 2 006 2 007()18q a a +=.15.910解析：∵ 1211266S a d ＝＋，4146S a d ＝＋，又124=8S S ，∴ 1112663248a d a d ＋＝＋.∴12018a d ＝.∴1910a d =. 16.（1）32 （2）4 （3）32 解析：（1）由35a a ⋅＝24a ，得4a ＝2，∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ，，∴ 56a a +＝(12a a +)4q ＝4．（3）2＝6＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅，， ∴ 17181920a a a a +++＝164S q ＝32．三、解答题17.解：设这三个数分别为,,a a aq q .由题意，得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18. 分析：判定给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：（1）n ＝1时，11a S =＝3－2＝1；当n ≥2时，1n n n a S S -=-＝322n n -－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. n ＝1时，亦满足，∴ n a ＝6n －5*()n ∈N ．首项1a ＝1，n a －1n a -＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)， ∴ 数列{}n a 是等差数列且1a ＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴ b 2＝a 1＋c 1，化简得2ac ＝()b a c +．∴ a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b c a ＋，∴ a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列．19.(1)解：设{}n a 的公差为d ，则116,418,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n ＝＋－＝－.(2)证明：当n ＝1时，11b T ＝，由11112T b ＋＝，得123b ＝；当n ≥2时，∵ 112n n T b ＝－，11112n n T b －－＝－，，∴ 111()2n n n n T T b b －－－＝－．∴ 11()2n n n b b b －＝－．∴ 113n n b b －＝..∴ 数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列．20.解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列，其中1a ＝250，d ＝50，则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯＝＋＝＋. 令225225 4 750n n ＋＝，即291900n n ＋－＝，解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴ n ＝10.故到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米．21.解：(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ＋＋＋＋＋＋＝－＝－－＝－＝，所以数列{}n b 是首项为12123b a a ＝－＝，公比为23的等比数列，所以*2(N )3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝nn b n ．（2）由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =，所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以*123(N )3-=-∈n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②，得2112222221313333333n n n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⋅⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+⋅=+++=++++-=++-）2.22. 解：（1）由题设2312a a a =+，即221a q ＝1a ＋1a q . ∵ 1a ≠0，∴ 221q q --＝0，∴ q ＝1或q ＝－21．（2）若q ＝1，则2n S n =＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝22＋1－))((n n ＞0，故n S ＞n b ．若q ＝－21，则2n S n =＋21－)(n n ⨯ (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝4－11－)0)((n n .故对于*∈N n ，当2≤n ≤9时，n S ＞n b ；当n ＝10时，n S =n b ；当n ≥11时，n S <n b ．。

高中数学 2.5.2等差、等比数列的综合应用练习新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.5.2等差、等比数列的综合应用练习新人教A 版必修5►基础梳理1．(1)重要公式：1＋2＋3＋…＋n ＝____________； 12＋22＋32＋…＋n 2＝____________．(2)数列a n ＝n 2＋n 的前n 项和为：________________________________________________________________________.2．(1)裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．1n （n ＋1）＝__________________．(2)11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝______． 3．累加法求数列通项公式：数列的基本形式为a n ＋1－a n ＝f(n)(n∈N *)的解析式，而f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的和可求出．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n (n ∈N *)且a 1＝1，则其通项公式为________________．4．累乘法求数列通项公式：数列的基本形式为a n ＋1a n＝f (n )(n ∈N *)的解析式，而f (1)·f (2)·…·f (n )的积可求出．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋1n(n ∈N *)，a 1＝2，则其通项公式为__________(n ∈N *)．5．待定系数法：数列有形如a n ＋1＝ka n ＋b (k ≠1)的关系，可用待定系数法求得{a n ＋t }为等比数列，再求得a n .已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，a 1＝1，则{a n ＋1}是________．数列{a n }通项公式为________________________________________________________________________．6．分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可．数列113，219，3127，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋13n 的前n 项和S n ＝________________．7．倒序相加法：这是在推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n 个a 1＋a n .sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝____________．8．错位相减法：这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差和等比数列．基础梳理1．(1)n （n ＋1）2n （n ＋1）（2n ＋1）6(2)S n ＝n （n ＋1）（n ＋2）32．(1)1n －1n ＋1 (2)563．a n ＝n 2－n ＋224．a n ＝2n5．等比数列 a n ＝2n－16.12n (n ＋1)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 7.892►自测自评1．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.232．数列{(－1)nn }的前n 项和为S n ，则S 2 014等于( ) A ．1 007 B ．－1 007 C ．2 014 D ．－2 0143．(2014·安徽卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．自测自评1．解析：由S 10＝70，可以得到a 1＋a 10＝14，即 a 1＝4.所以d ＝a 10－a 19＝23. 答案：D2．解析：S 2 014＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 013＋2 014)＝1 007. 答案：A3．解析：设出等差数列的公差，根据等比中项性质列方程求解．设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：1►基础达标1．数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．91．D2. 已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A .1S nB ．S n q n －1C ．S n q 1－nD .q nS n2．解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的首项为1，公比为1q ，它的前n 项和为T n ＝1－1q n1－1q＝q n －1q n －1（q －1），又S n ＝1－q n1－q，∴T n ＝1qn －1·S n ＝q1－n·S n .故选C.答案：C3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前____项之和等于9.( )A ．99B ．98C ．97D ．963．解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（n ＋1－n ）（n ＋1＋n ）＝n ＋1－n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝9⇒n ＋1＝100，∴n ＝99.故选A. 答案：A4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比q 为________．4．解析：设{a n }的公比为q ，由题意知4S 2＝S 1＋3S 3，若q ＝1，则8a 1＝a 1＋9a 1，∴a 1＝0，不合题意；若q ≠1，则4(1－q 2)＝(1－q )＋3(1－q 3)，即(q －1)(3q －1)＝0，∴q ＝13.答案：135. 求和：112＋314＋518＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）＋12n ＋1＝____________________． 5．解析：S n ＋1＝[]1＋3＋…＋（2n ＋1）＋(12＋14＋…＋12n ＋1)＝n 2＋2n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.答案：n 2＋2n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1►巩固提高6．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．6．解析：依题意得S 22＝S 1S 4，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.答案：－127．(2014·大纲全国卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．37．解析：利用等比数列的性质及对数的运算法则求解．数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg (2×5)4＝4.答案：C8．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝________．8．解析：由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ⇒1＝1a n －1a n ＋1⇒1a n ＋1－1a n＝－1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，1a n＝－1＋(n －1)(－1)＝－n ，∴a n ＝－1n(n ∈N *)．答案：－1n(n ∈N *)9．(2014·江西卷)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .9．解析：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0，n ∈N *，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)·3n，所以S n ＝(n －1)·3n＋1.10. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －5 ，n 为奇数，4n ，n 为偶数，求S n .10．解析：①当n 为奇数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －5)]＋(42＋44＋…＋4n －1) ＝（1＋6n －5）2·n ＋12＋42（4n －1－1）42－1 ＝（n ＋1）（6n －4）4＋4n ＋1－1615＝（n ＋1）（3n －2）2＋4n ＋1－1615.②当n 为偶数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －11)]＋(42＋44＋…＋4n －1＋4n)＝n （3n －5）2＋4n ＋2－1615.1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、a n 、n 、d (q )、S n “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、拆项法、裂项法、累加法、等价转化等．。

人教A版高中数学必修5同步数列2-【完整版】

【习练·破】
若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N*),求证:数
列{an}为等差数列.
【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2, 所以an+1=10+(n+1)lg2. 所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2) =lg2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.
【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;
2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为
1 － 1 =某常数的形式,
a n＋1 a n
方法二:bn+1-bn是常数.
【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N*, 所以数列{an}是等差数列,其公差为2, 因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1. 答案:-1
a
1 1
1
又数列 1 为等差数列,所以其公差d=
an 1
1 2
1 3
,
a 1 3
1
2 1
6
1
,
=
1 2
,
所以 1 = 1 +(n-1)d
an 1 a1 1
=1 1
36
(n-1)= n 1
6
,所以an= 5 n
n 1
.
答案: 5 n
n 1
3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,
ab c
a
b
c
成等差数列. 世纪金榜导学号
【思维·引】1.a,b的等差中项为 1 (a+b).
2
2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差. 3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.

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第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第2课时等差、等比数列的综合应用A 级基础巩固一、选择题 1．数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．92．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712 3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9.( )A ．99B ．98C ．97D ．96 4．数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）·（3n ＋2），…的前n 项和为( ) A.n3n ＋2 B.n6n ＋4 C.3n6n ＋4D.n ＋1n ＋2 5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31二、填空题6．数列{a n }中，a n ＝⎩⎨⎧2n －1（n 为正奇数）2n －1（n 为正偶数），则它的前n 项和S n ＝________．7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n 2＋3)－2，那么log 23是这个数列的第________项．8．下列命题中正确命题为________(填序号)．①常数列一定是等比数列；②等比数列前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q (其中a 1为首项，q 为公比)；③前n 项和S n 为n 的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．三、解答题9．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式b n .10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧6n －5（n 为奇数），4n （n 为偶数），求S n .B 级能力提升1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．3．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第2课时等差、等比数列的综合应用（参考答案）一、选择题 1．数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9 答案：D2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712 解析：因为a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，所以b n ＝1a n＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋111×12＝12－112＝512.答案：B3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9.( )A ．99B ．98C ．97D ．96 解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（n ＋1－n ）（n ＋1＋n ）＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝ (2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝9⇒n ＋1＝100，所以n ＝99.答案：A4．数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）·（3n ＋2），…的前n 项和为( ) A.n3n ＋2 B.n6n ＋4 C.3n6n ＋4D.n ＋1n ＋2解析：因为1（3n －1）·（3n ＋2）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和 S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4.答案：B5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31解析：a n ＝log 2n ＋1n ＋2，所以S n ＝a 1＋…＋a n＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23·34·…·n ＋1n ＋2 ＝log 22n ＋2，令S n <－5，则log 22n ＋2<－5，所以n ＋2>26＝64，所以n >62，故n 的最小值为63.答案：B 二、填空题6．数列{a n }中，a n ＝⎩⎨⎧2n －1（n 为正奇数）2n －1（n 为正偶数），则它的前n 项和S n ＝________．解析：易知数列{a n }的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．(1)当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项有n －12项，所以S n ＝1－4n ＋121－4＋（n －1）×32＋n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－12·4＝2n ＋1－13＋n 2－n2；(2)当n 为偶数时，奇数项、偶数项各有n2项，所以S n ＝1－4n 21－4＋n2×3＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－12×4＝2n －13＋n 2＋n 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1－13＋n 2－n2（n 为奇数），2n －13＋n 2＋n 2（n 为偶数）7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n 2＋3)－2，那么log 23是这个数列的第________项．解析：令a n ＝log 23⇒log 2(n 2＋3)－2＝log 23⇒n 2＋3＝12，所以n 2＝9，n ＝3.答案：38．下列命题中正确命题为________(填序号)．①常数列一定是等比数列；②等比数列前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q (其中a 1为首项，q 为公比)；③前n 项和S n 为n 的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．答案：④ 三、解答题9．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式b n .解：(1)由题意，得2a 2＝a 1＋a 3－1，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－1，整理得2q ＝q 2. 又q ≠0，解得q ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)当n ＝1时，b 1＝a 1＝1；当n ≥2时，nb n ＝a n －a n －1＝2n －2，即b n ＝2n －2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2n ，n ≥2.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧6n －5（n 为奇数），4n （n 为偶数），求S n .解：①当n 为奇数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －5)]＋(42＋44＋…＋4n －1)＝（1＋6n －5）2·n ＋12＋42（4n －1－1）42－1＝（n ＋1）（6n －4）4＋4n ＋1－1615＝（n ＋1）（3n －2）2＋4n ＋1－1615.②当n 为偶数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －11)]＋(42＋44＋…＋4n －1＋4n)＝n （3n －5）2＋4n ＋2－1615.B 级能力提升1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，所以a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .答案：A2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，所以q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2，所以a n ＝12(－2)n －1，所以|a n |＝2n －2，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n －12.答案：2n －123．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4＋4（2n －1）2－1－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2所以T n ＝3n ·2n ＋2。